最新新课标2013年全国高考理科数学试题分类汇编6：不等式

2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数学(理科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。

2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题。

每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合M=｛x|(x+1)2 < 4,x∈R｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M∩N=（）（A）｛0，1，2｝（B）｛-1，0，1，2｝（C）{-1，0，2，3} （D）{0，1，2，3}（2）设复数z满足（1-i）z=2 i，则z= （）（A）-1+i （B）-1-i （C）1+i （D）1-i（3）等比数列｛a n｝的前n项和为S n，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，则a1= （）（A）（B）-（C）（D）-（4）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β。

直线l满足l ⊥m，l ⊥n，l β，则（）（A）α∥β且l ∥α（B）α⊥β且l⊥β（C）α与β相交，且交线垂直于l （D）α与β相交，且交线平行于l（5）已知（1+ɑx）(1+x)5的展开式中x2的系数为5，则ɑ=（A）-4 （B）-3 （C）-2 （D）-1（6）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的s=（A）1+ + +…+（B ）1++ +…+（C ）1+ + +…+（D ）1++ +…+（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为搞影面，则得到正视图可以为(A) (B) (C) (D)（8）设ɑ=log 36,b=log 510,c=log 714,则（A ）c ＞b ＞a （B ）b ＞c ＞a（C ）a ＞c ＞b (D)a ＞b ＞c（9）已知a ＞0，x ，y 满足约束条件 ,若z=2x+y 的最小值为1，则a=(A)(B) (C)1 (D)2（10）已知函数f(x)=x2+αx2+bx+，下列结论中错误的是（A ）∑x α∈R f(x α)=0（B ）函数y=f(x)的图像是中心对称图形（C ）若x α是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,x α）单调递减（D ）若xn 是f （x ）的极值点，则f 1(x α)=0（11）设抛物线y2=3px(p ≥0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|=5若以MF 为直径的园过点（0，3），则C 的方程为（A ）y2=4x 或y2=8x （B ）y2=2x 或y2=8x（C ）y2=4x 或y2=16x （D ）y2=2x 或y2=16x（12）已知点A （-1，0）；B （1，0）；C （0，1），直线y=ax+b(a>0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是x ≥1, x+y ≤3, y ≥a(x-3). {（A）（0，1）(B)（1-，1/2）( C)（1-，1/3）(D)[ 1/3, 1/2）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。

2013届全国各地高考押题数学（理科）精选试题分类汇编6：不等式一、选择题1 ．（2013届海南省高考压轴卷理科数学）设变量x,y 满足约束条件,则目标函数z=2x+3y+1的最大值为（ ）A ．11B ．10C ．9D ．8.5【答案】答案:B考点:二元一次不等式(组)与平面区域. 分析:首先做出可行域,将目标函数转化为,求z 的最大值,只需求直线l:在y 轴上截距最大即可.解答:解:做出可行域如图所示: 将目标函数转化为,求z 的最大值,只需求直线l:在y 轴上截距最大即可.作出直线l 0:,将直线l 0平行移动,当直线l:经过点A 时在y 轴上的截距最大,故z 最大. 由可求得A(3,1),所以z 的最大值为2×3+3×1+1=102 ．（2013届湖北省高考压轴卷 数学（理）试题）设实数12,,,x a a y 成等差数列,实数12,,,x b b y 成等比数列,则21212()a a b b +的取值范围是（ ）A ．[4,)+∞B ．(,0][4,)-∞+∞C ．[0,4]D ．(,4)(4,)-∞-+∞【答案】B 【解析】:由于实数12,,,x a a y 成等差数列,则12x y a a +=+;由于实数12,,,x b b y成等比数列,则12xy b b =,所以21212()a a b b +2()x y xy +=2222222x y xy x y x y xy xy y x +++==+=++,利用基本不等式易得,当,x y 同号时,21212()a a b b +2224x yy x=++≥+=;当,x y 异号时,21212()a a b b +2220x y y x=++≤-+=.故选B ．3 ．（2013届重庆省高考压轴卷数学理试题）若a 是12b +与12b -的等比中项,则22aba b+的最大值为 （ ）ABCD【答案】解析:由2122x y x x ==-++可得122,2,12(1),21(2)x y k y y x y x x =-''===+=+=++ 应选（ ）A ．4 ．（2013届辽宁省高考压轴卷数学理试题）已知正数x 、y 满足20350{x y x y -≤-+≥,则y x z -∙=4)21(的最小值为)(A 1 )(B 14 )(C 116)(D 132 【答案】D5 ．（2013届江西省高考压轴卷数学理试题）设变量,x y 满足约束条件20510080x y x y x y -+⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≤≤,则目标函数34z x y =-的最大值和最小值分别为（ ）A ．3,11-B ．3,11--C ．11,3-D ．11,3【答案】A【解析】作出满足约束条件的可行域,如右图所示,可知当直线z=3x-4y 平移到点 (5,3)时,目标函数z=3x-4y 取得最大值3;当直线z=3x-4y 平移到点(3,5)时,目标函数z=3x-4y 取得最小值-11,故选（ ）6 ,x y 满足线性约束条件1020410x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪++≥⎩,（ ）5D ．7【答案】C7 ．（2013届浙江省高考压轴卷数学理试题）设变量x 、y 满足1,0,220,x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪--≥⎩则目标函数z=2x+y 的最小值为 （ ）A ．6B ．4C ．2D ．32【答案】C【解析】由题意可得,在点B 处取得最小值,所以z=2,故选C8 ．（2013届安徽省高考压轴卷数学理试题）实数满足不等式组2303270210x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩,则x y -的最小值是 （ ） A ．-1 B ．-2 C ．1 D ．2【答案】B 【解析】本题考查简单的线性规划问题中的求最值问题.根据题目可得如下的可行域,其中 ,令Z x y =- ,将这条直线平移可以得到在A 点使得x y - 取得最小值,所以min ()112x y -=--=-,故选B9 ．（2013届陕西省高考压轴卷数学（理）试题）若y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥+-,001532,0653y y x y x ,当且仅当3==y x 时,y ax z -=取最小值,则实数a 的取值范围是（ ）A ．32,43⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．23,34⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．23,35⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．33,45⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】画出可行域,得到最优解()3,3,把y ax z -=变为z ax y -=,即研究z -的最大值.当⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈53,32a 时,z ax y -=均过()3,3且截距z -最大 . 10．（2013届重庆省高考压轴卷数学理试题）设偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥,则{|(2)0}x f x ->= ks5u（ ）A ． {|24}x x x <->或B ．{|04}x x x <>或C ．{|0x x x <>或【答案】解析:当0x <时,则0x ->,由偶函数满()f x 足3()8(0)f x x x =-≥可得,3()()8f x f x x =-=--,则338(0)()8(0)x x f x x x ⎧-≥=⎨--<⎩,33(2)8(2)(2)(2)8(2)x x f x x x ⎧--≥-=⎨---<⎩ 令(2)0f x ->,可解得4,0x x ><或.应选B ．另解:由偶函数满()f x 足3()8(0)f x x x =-≥可得3()()8f x f x x ==-, 则3(2)(2)28f x f x x -=-=--,要使(2)0f x ->,只需3280,22x x -->->解得4,0x x ><或.应选B ．二、填空题11．（2013届福建省高考压轴卷数学理试题）若正数,x y 满足230x y +-=,则2x yxy+的最小值为________.【答案】3【解析】由题意:2230133x yx y +-=⇒+=, 221212252523333333x y x y y x xy x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+⎛⎫=+=+⋅+=++≥⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12．（2013届湖南省高考压轴卷数学（理）试题）已知实数,x y 满足不等式组20302x y x y x y m -≤⎧⎪+-≥⎨⎪+≤⎩,且z x y =-的最小值为3-,则实数m 的值__.【答案】613．（2013届重庆省高考压轴卷数学理试题）若变量,x y 满足约束条件329,69,x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩则2z x y =+的最小值为 ___.【答案】解析:画出区域图知,过239x y x y +=⎧⎨-=⎩的交点(4,-5)时,min 6z =- 14．（2013届上海市高考压轴卷数学（理）试题）设,x y 满足约束条件112210x y x x y ≥⎧⎪⎪≥⎨⎪+≤⎪⎩,向量(2,),(1,1)a y x m b =-=-,且//a b ,则m 的最小值为_________________.【答案】6-【解析】不等式对应的可行域是顶点为)2,4(),21,1(),8,1(C B A 的三角形及其内部,由b a //,得2m x y =-,可知在)8,1(A 处2m x y =-有最小值6-15．（2013届江西省高考压轴卷数学理试题）若不等式211ax bx c -<++<的解集为(1,3)-,则实数a 的取值范围是______.【答案】1122a -<<16．（2013届福建省高考压轴卷数学理试题）若整数．．,x y 满足不等式组0700y x x y x -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩,则2x y +的最大值为________【答案】10【解析】由题意,绘出可行性区域如下:设2z x y =+,即求2y x z =-+的截距的最大值.因为,x y Z ∈,不妨找出77,22⎛⎫ ⎪⎝⎭附近的“整点”.有(3, 3)、(3, 4)满足. 显然过(3, 4)时,10z =最大.17当对数函数()10log ≠>=a a x y a 且的图,0x y R ⎫≥⎪∈⎬⎪≥⎭内的一个点时,实数a 的取值范围为,log a y x =的图像分别过点(3,3),(4,4),(5,3)时,a的值分别为, 因为<<,所以a的取值范围是.18．（2013届广东省高考压轴卷数学理试题）设,x y 满足约束条件02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩,则z x y =-的最大值是_________.【答案】0 线性规划,三角形区域,最优解(1,1)19．（2013届上海市高考压轴卷数学（理）试题）已知定义域为R 上的偶函数()f x 在(,0]-∞上是减函数,且1()22f =,则不等式(2)2xf >的解集为_____________.【答案】()+∞-,1【解析】因为函数为偶函数,所以11()()222f f -==,且函数在(0,)+∞上递增.所以由(2)2x f >得122x >,即1x >-,所以不等式()22>xf 的解集为()+∞-,1. 20．（2013届湖南省高考压轴卷数学（理）试题）已知,x y R +∈,且满足22x y xy +=,那么+4x y的最小值是____________【答案】3+21．（2013届四川省高考压轴卷数学理试题）若实数,x y 满足222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩,则目标函数1y z x =+的最大值是__________. 【答案】222．（2013新课标高考压轴卷（一）理科数学）已知实数y x ,满足1218y y x x y ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩,则目标函数y x z -=的最小值为_____________【答案】2-【解析】由z x y =-得y x z =-.作出不等式对应的平面区域BCD,平移直线y x z =-,由平移可知,当直线y x z =-经过点C 时,直线的截距最大,此时z 最小.由218y x x y =-⎧⎨+=⎩,解得35x y =⎧⎨=⎩,即(3,5)C ,代入z x y =-得最小值为352z =-=-.ks5u。

新课标全国统考区（吉林、河南、黑龙江、内蒙古、山西、云南）2013届最新高三名校理科数学试题精选分类汇编6：不等式一、选择题1 ．（河南省六市2013届高三第二次联考数学（理）试题）当实数,x y 满足不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥2200y x y x 时,恒有3ax y +≤成立,则实数a 的取值范围是（ ）A ．0a ≤B ．0a ≥C ．02a ≤≤D ．3a ≤【答案】D2 ．（河南省中原名校2013届高三下学期第二次联考数学（理）试题）若*1(),()(),2f n n g n n n n N nϕ==-=∈,则(),(),()f n g n n ϕ的大小关系 （ ） A ．()()()f n g n n ϕ<< B ．()()()f n n g n ϕ<< C ．()()()g n n f n ϕ<<D ．()()()g n f n n ϕ<<【答案】B3 ．（云南省玉溪市2013年高中毕业班复习检测数学（理）试题）已知变量x ,y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩,则z =3x +y 的最大值为( )（ ）A ．12B ．11C ．3D ．-1【答案】B4 ．（河南省豫东、豫北十所名校2013届高三阶段性测试(四) 数学（理）试题（word 版)）已知实数⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≥.,13,1,m y x x y y y x 满足如果目标函数y x z 45-=的最小值为—3,则实数m=（ ）A ．3B ．2C ．4D ．311 【答案】A5 ．（河南省中原名校2013届高三下学期第二次联考数学（理）试题）若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩所示的平面区域,则当a 从-2连续变化到1时,动直线x +y=a 扫过A 中的那部分区域面积为 （ ）A ．2B ．1C ．34D ．74【答案】D6 ．（河南省商丘市2013届高三第三次模拟考试数学（理）试题）若0.5222,log 3,log sin5a b c ππ===,则,,a b c 之间的大小关系是（ ）A ．c a b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】B7 ．（云南省2013年第二次高中毕业生复习统一检测数学理试题（word 版） ）已知()f x 是定义域为实数集R的偶函数,10x ∀≥,20x ∀≥,若12x x ≠,则1212()()0f x f x x x -<-.如果13()34f =,184(log )3f x >,那么x 的取值范围为（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭C ．()1,12,2⎛⎤+∞⎥⎝⎦D ．110,,282⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B8 ．（河南省开封市2013届高三第四次模拟数学（理）试题）若a>1,设函数4)(-+=x a x f x 的零点为m,g(x)4log -+=x x a 的零点为n,则nm 11+的取值范围是 （ ）A ．(3.5,+∞)B ．(1,+∞)C ．(4,+∞)D ．(4.5,+∞)【答案】B9 ．（吉林省吉林市2013届高三三模（期末）试题 数学理 ）已知点(),P x y 在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-0220102y x y x 表示的平面区域上运动,则z x y =-的取值范围是 （ ）A ．[]2,1--B ．[]2,1-C ．[]1,2-D ．[]1,2【答案】C10．（黑龙江省哈师大附中2013届第三次高考模拟考试 理科数学 Word 版含答案）设x 、y 满足约束条件2040220x y x y x y -+-≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩,则目标函数z = 2x + y 的最大值为 A ．-4B ．5C ．6D ．不存在【答案】C11．（山西省临汾一中、忻州一中、康杰中学、长治二中2013届高三第四次四校联考数学（理）试题）若实数x ,y 满足约束条件142x y x y y -≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,则目标函数 24z x y =+的最大值为（ ）A ．10B ．12C ．13D ．14【答案】C12．（河南省三市（平顶山、许昌、新乡）2013届高三第三次调研（三模）考试数学（理）试题）设实数,x y 满足约束条件:360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12,则2294a b +的最小值为（ ）A ．12 B ．1325C ．1D ．2【答案】A 13．（河北省石家庄市2013届高中毕业班第二次模拟考试数学理试题（word 版） ）设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥,1434,,0y x x y x 则21++x y 的取值范围是 （ ）A ．]617,21[ B ．]43,21[C ．]617,43[ D ．),21[+∞【答案】A 二、填空题14．（河南省郑州市2013届高三第三次测验预测数学（理）试题）已知⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤++101553,034x y x y x ,则z =______.【答案】812[,]15515．（吉林省实验中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知点P (x ,y )的坐标满足条件0,0,20,≥≥≤x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩则z =2x -y 的最大值是_________. 【答案】416．（2013年红河州高中毕业生复习统一检测理科数学）设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤--≥+-0,0048022y x y x y x ,若目标函数)0,0(>>+=b a y abx z 的最大值为8,则b a +的最小值为_______. 【答案】417．（山西省山大附中2013届高三4月月考数学（理）试题）设二次函数c x ax x f +-=4)(2的值域为[)+∞,0,_______18．（云南省玉溪市2013年高中毕业班复习检测数学（理）试题）若正实数a,b 满足:(a-1)(b-1)=4,则ab 的最小值是_____.【答案】919．（内蒙古包头市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）设x,y 满足条件20360,(0,0)0,0x y x y z ax by a b x y -+≥⎧⎪--≤=+>>⎨⎪≥≥⎩若目标函数的最大值为12,则32a b +的最小值为________【答案】 420．（河北省衡水中学2013届高三第八次模拟考试数学（理）试题 ）已知点P (x ,y )在不等式组1003x y x y x ⎧⎪⎨⎪⎩＋－≥，－≥，≤表示的平面区域内运动,则34z x y =-的最小值为________ 【答案】解析:可行域是以11(,),(3,3),(3,2)22A B C -三点为顶点的三角形,当过点B 时,z 取最小值是3-.21．（河南省开封市2013届高三第四次模拟数学（理）试题）实数x,y 满足条件yx z y x y x y x -=⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤-+2,0,002204则的最小值为_________. 【答案】1-22．（山西省山大附中2013届高三4月月考数学（理）试题）在平面直角坐标系中,不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-≥+a x y x y x 00a (为常数)表示的平面区域的面积为8,则32+++x y x 的最小值为_________23．（2013年长春市高中毕业班第四次调研测试理科数学）设,x y 满足约束条件00+2y y xx y a ⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤,若目标函数3x y +的最大值为6,则a =______.【答案】【命题意图】本小题通过线性规划问题考查学生的运算求解能力,是一道基本题.【试题解析】由题意可知,3z x y =+取最大值6时,直线 36y x =-+过点(2,0),则点(2,0)必在线性规划区域内,且可以使一条斜率为3-的直线经过该点时取最大值,因此点 (2,0)为区域最右侧的点,故直线0+2x y a -=必经过点(2,0), 因此2a =.24．（吉林省实验中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知P 是面积为1的△ABC 内的一点(不含边界),若△PBC ,△PCA 和△PAB 的面积分别为,,x y z ,则1x yx y z +++的最小值是_________. 【答案】325．（山西省太原市第五中学2013届高三4月月考数学（理）试题）设实数x ,y 满足约束条件2220,20,220,x y x y x y x y ⎧-≤⎪-≥⎨⎪+--≤⎩,则目标函数z x y =+的最大值为_________. 【答案】4。

2013 年全国高考理科数学试题分类汇编6：不等式一、选择题1 ．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））设正实数x, y, z满足x23xy 4 y2xy 21 2z, 则当 z取得最大值时 ,xyz的最大值为（）9A ． 0B ． 1C ．4D ． 3【答案】 B2 ．（ 2013 年高考陕西卷（理） ） 设[ x ] 表示不大于 x 的最大整数 , 则对任意实数 x , y , 有 （）A ． [- x ] = -[ x ]B ． [2 x ] = 2[x ]C ． [ x +y ] ≤[x ]+[y ] D ． [ x - y ] ≤[x ]-[ y ]【答案】 Dy 2x3 ．（ 2013 年高考湖南卷（理） ） 若变量 x, y 满足约束条件xy 1, 则x 2y 的最大值是y1A ． -5B ． 0C ．5D ．5232【答案】 C4 ．（ 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 天 津 数 学 （ 理 ） 试 题 （ 含 答 案 ）） 已知 函数（ ）f ( x) x(1 a | x |) . 设关于 x 的不等式 则实数 a 的取值范围是A ．1 5,0 B ．1 3,022【答案】 A5 ．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试新课标f ( x a) f ( x) 的解集为A , 若1 , 1 A ,2 2C ．1 5,0 0,1 322Ⅱ 卷数学（理） （纯 WORD 版含答案） ） 已知（）D ．,1 52x 1a 0 , x, y 满足约束条件 xy3, 若 z 2x y 的最小值为 1, 则 a（）y a( x3)A ．1B ．1C ． 1D ． 242【答案】 B6 ．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案）） 设变量 x , y 满足约3xy 60,束条件x y 2 0,则目标函数z =-2 x 的最小值为（）yy 3 0,第 1 页 共 5 页A ． -7B ． -4C ． 1D ． 2【答案】 A7 ．（ 2013 年高考湖北卷（理） ） 一辆汽车在高速公路上行驶, 由于遇到紧急情况而刹车 , 以速度 v t7 3t25( t 的单位 : s , v 的单位 : m / s ) 行驶至停止 . 在此期间汽车继续1 t行驶的距离 ( 单位 ; m ) 是（）A ． 1 25ln5B ．811 C ． 4 25ln5D ． 4 50ln 225ln【答案】 C38 ．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版）） 已知一元二次不等式 f (x)<0 的解集为 x |x<-1或 x>1, 则 f (10x )>0 的解集为（）2A ． x|x<-1或 x>lg2B ． x|-1<x<lg2C ． x |x>-lg2D ． x|x<-lg2【答案】 D9 ．（ 2013 年上海市春季高考数学试卷( 含答案 ) ） 如果 a b 0 , 那么下列不等式成立的是（）A ．1 1B ． ab b 2C ． aba 2D ． 11 ab ab【答案】 D10．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））在平面直角坐标系xoy2x y 2 0,x2y1 0,中 , M为不等式组3x y80,所表示的区域上一动点 , 则直线OM斜率的最小值为（）11A ． 2B ． 1C ．3D ．2【答案】 C11 ．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ 卷数学（理） （纯 WORD 版含答案） ） 设a log 3 6,b log 5 10, clog 7 14 , 则（）A ． c b aB ． b c aC ． a c bD ． a b c【答案】2x y 1 0,12．（ 2013 年高考北京卷（理） ）设关于 x , y 的不等式组x m 0, 表示的平面区域内存y m 0在点 P ( x 0, y 0), 满足 x 0-2 y 0=2, 求得 m 的取值范围是（ ）第 2 页 共 5 页A ． 4B ．1C ． 2D ． 5,,,,3333【答案】 C二、填空题13．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对） ） 记不等式x 0,组 x 3y4, 所表示的平面区域为 D , 若直线 yax 1 与 D 公共点 , 则 a 的取值3x y4,范围是 ______.【答案】 [1, 4]214．（ 2013 年高考陕西卷（理） ） 若点 ( x , y ) 位于曲线 y | x 1| 与 y =2 所围成的封闭区域 , 则2x - y 的最小值为 ___-4_____.【答案】 - 415 ．（ 2013 年 高 考 四 川 卷 （ 理 ）） 已 知 f ( x) 是 定 义 域 为 R 的 偶 函 数 , 当 x ≥ 0时, f ( x)x 2 4x , 那么 , 不等式 f ( x 2) 5 的解集是 ____________.【答案】 (7,3)16 ．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版）） 给定区域x 4 y 4x y4D : x 0, 令点集T{ x 0 , y 0 D | x 0 , y 0Z, x 0, y0 ,是 zx y在 D 上取得最大值或最小值的点}, 则 T中的点共确定 ______条不同的直线 .【答案】617．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版）） 设zkx y , 其xy 2 0中实数 x, y 满足 x2y4 0 , 若 z 的最大值为 12, 则实数 k ________.2x y 4 0【答案】 218．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案）） 设 a + b = 2, b >0, 则当 a = ______ 时 ,1| a | 2 | a |b 取得最小值 .【答案】 219．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯 WORD 版））不等式 x 2x 2 0第 3 页 共 5 页的解集为 ___________.【答案】2,120．（2013年 高考 湖南 卷（理 ） ）已知a,b,c ,23c 229ca 2则 b6的最,小值a 为4b .【答案】 12三、解答题21．（ 2013 年上海市春季高考数学试卷( 含答案 ) ）如图 , 某校有一块形如直角三角形ABC 的空地 , 其中B 为直角 , AB 长 40 米 , BC 长 50 米 , 现欲在此空地上建造一间健身房, 其占地形状为矩形 , 且 B 为矩形的一个顶点, 求该健身房的最大占地面积 .ABC【答案】 [ 解 ] 如图 , 设矩形为 EBFP , FP 长为 x 米, 其中 0x40 ,AEPBFC健身房占地面积为 y 平方米 . 因为 CFP ∽ CBA ,以 FPCF , x 50BF , 求得 BF505x ,BACB 40 504从而 yBF FP(505x) x5 x 2 50x5( x 20) 2500500 ,444当且仅当 x20 时 , 等号成立 .答 : 该健身房的最大占地面积为 500 平方米 .22．（ 2013 年高考上海卷（理） ） (6 分 +8 分 ) 甲厂以 x 千克 / 小时的速度运输生产某种产品( 生产条件要求 1x 10 ), 每小时可获得利润是 100(5 x 13) 元.x(1) 要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元, 求 x 的取值范围 ;(2) 要使生产 900 千克该产品获得的利润最大 , 问: 甲厂应该选取何种生产速度?并求最大利润 .【答案】 (1) 根据题意 , 200(5 x1 3)30005x 143 0又 1 x 10 , 可解得 3 x 10xx(2) 设利润为 y 元 , 则 y900 100(5x 1 3) 9 104[ 3( 11)261]xxx 6 12第 4 页 共 5 页故 x 6 时,y max 457500元.第 5页共5页。

最新新课标2013年全国高考理科数学试题分类汇编16：不等式选讲一、填空题1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））若关于实数x 的不等式53x x a -++<无解,则实数a 的取值范围是_________【答案】(],8-∞2 ．（2013年高考陕西卷（理））(不等式选做题) 已知a , b , m , n 均为正数, 且a +b =1, mn =2, 则(am +bn )(bm +an )的最小值为_______.【答案】23 ．（2013年高考江西卷（理））(不等式选做题)在实数范围内,不等式211x --≤的解集为_________【答案】[]0,44 ．（2013年高考湖北卷（理））设,,x y z R ∈,且满足:2221x y z ++=,23x y z ++=,则x y z ++=_______.二、解答题 5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））选修4—5;不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a ++≥. 【答案】6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））选修4-5:不等式选讲已知函数()f x x a =-,其中1a >.(I)当=2a 时,求不等式()44f x x ≥=-的解集;(II)已知关于x 的不等式()(){}222f x a f x +-≤的解集为{}|12x x ≤≤,求a 的值.【答案】7 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））不等式选讲:设不等式*2()x a a N -<∈的解集为A ,且32A ∈,12A ∉. (1)求a 的值;(2)求函数()2f x x a x =++-的最小值.【答案】解:(Ⅰ)因为32A ∈,且12A ∉,所以322a -<,且122a -≥ 解得1322a <≤,又因为*a N ∈,所以1a = (Ⅱ)因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--=当且仅当(1)(2)0x x +-≤,即12x -≤≤时取得等号,所以()f x 的最小值为38 ．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））D.[选修4-5:不定式选讲]本小题满分10分.已知b a ≥>0,求证:b a ab b a 223322-≥-[必做题]第22、23题,每题10分,共20分.请在相应的答题区域内作答,若多做,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【答案】D 证明:∵=---b a ab b a 223322()=---)(223223b b a ab a ())(22222b a b b a a --- ())2)()(()2(22b a b a b a b a b a --+=--=又∵b a ≥>0,∴b a +>0,0≥-b a 02≥-b a ,∴0)2)()((≥--+b a b a b a∴0222233≥---b a ab b a∴b a ab b a 223322-≥-9 ．（2013年高考新课标1（理））选修4—5:不等式选讲 已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +.(Ⅰ)当a =2时,求不等式()f x <()g x 的解集;(Ⅱ)设a >-1,且当x ∈[2a -,12)时,()f x ≤()g x ,求a 的取值范围. 【答案】当a =-2时,不等式()f x <()g x 化为|21||22|30x x x -+---<,设函数y =|21||22|3x x x -+---,y =15, 212, 1236, 1x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩, 其图像如图所示从图像可知,当且仅当(0,2)x ∈时,y <0,∴原不等式解集是{|02}x x <<.(Ⅱ)当x ∈[2a -,12)时,()f x =1a +,不等式()f x ≤()g x 化为13a x +≤+, ∴2x a ≥-对x ∈[2a -,12)都成立,故2a -≥2a -,即a ≤43,∴a 的取值范围为(-1,43]. 10．（2013年高考湖南卷（理））在平面直角坐标系xOy 中,将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径成为M 到N 的一条“L 路径”.如图6所示的路径1231MM M M N MN N 与路径都是M 到N 的“L 路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy 内三点(3,20),(10,0),(14,0)A B C -处.现计划在x 轴上方区域(包含x 轴)内的某一点P 处修建一个文化中心.(I)写出点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值的表达式(不要求证明);(II)若以原点O 为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L路径”不能进入保护区,请确定点P 的位置,使其到三个居民区的“L 路径”长度值和最小.【答案】解: .0),,(≥y y x P 且设点(Ⅰ) d L A P 路径”的最短距离的“到点点)20,3(,|20 -y | + |3 -x |=+d 垂直距离，即等于水平距离,其中.,0R x y ∈≥(Ⅱ)本问考查分析解决应用问题的能力,以及绝对值的基本知识.点P 到A,B,C 三点的“L 路径”长度之和的最小值d = 水平距离之和的最小值h + 垂直距离之和的最小值v.且h 和v 互不影响.显然当y=1时,v = 20+1=21;时显然当]14,10[-∈x ,水平距离之和h=x – (-10) + 14 – x + |x-3| 24≥,且当x=3时, h=24.因此,当P(3,1)时,d=21+24=45.所以,当点P(x,y)满足P(3,1)时,点P 到A,B,C 三点的“L 路径”长度之和d 的最小值为45.。

2013年全国高考理科数学分类汇编一、集合与简易逻辑辽宁2013（2）已知集合{}{}4|0log 1,|2A x x B x x AB =<<=≤=，则A ．()01，B ．(]02，C ．()1,2D ．(]12， 辽宁2013（4）下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列；{}4:3n p a nd +数列是递增数列； 其中的真命题为（A ）12,p p （B ）34,p p （C ）23,p p （D ）14,p p 江西2013.1.已知集合M={1,2，zi}，i ，为虚数单位,N={3,4}，则复数z=A.-2iB.2iC.-4iD.4i 全国1.1、已知集合A=｛x |x 2－2x ＞0｝，B=｛x |－5＜x ＜5｝，则 ( ) A 、A∩B=∅ B 、A ∪B=R C 、B ⊆A D 、A ⊆B全国2.1.已知集合{}{}3,2,1,0,1,,4)1(|2-=∈<-=N R x x x M ，则=⋂N M （ ）A {}2,1,0B {}2,1,0,1-C {}3,2,0,1-D {}3,2,1,0北京2013.1.已知集合A={－1，0，1}，B={x |－1≤x ＜1}，则A∩B= ( ) A.{0} B.{－1，0} C.{0，1} D.{－1,0,1}四川1．设集合{|20}A x x =+=，集合2{|40}B x x =-=，则AB =（ ）（A ）{2}- （B ）{2} （C ）{2,2}- （D ）∅ 重庆（1）已知集合{1,2,3,4}U =，集合={1,2}A ，={2,3}B ，则()U AB =ð（A ）{1,3,4} （B ）{3,4} （C ）{3} （D ）{4} 天津卷(1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1]2013安微（1）设集合{}{}{}1,2,3,4,5,|,,,A B M x x a b a A b B ====+∈∈则M 中元素的个数为（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6山东（2）设集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x ∈A, y ∈A }中元素的个数是( )A. 1B. 3C. 5D.9重庆（2）命题“对任意x R ∈，都有20x ≥”的否定为（A ）对任意x R ∈，使得20x < （B ）不存在x R ∈，使得20x <（C ）存在0x R ∈，都有200x ≥ （D ）存在0x R ∈，都有200x <2013广东1.设集合M={x ∣x 2+2x=0,x ∈R},N={x ∣x 2-2x=0,x ∈R},则M ∪N= A. {0} B. {0，2} C. {-2,0} D {-2,0,2} 北京2013.3.“φ=π”是“曲线y=sin(2x ＋φ)过坐标原点的” A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件四川4．设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题:,2p x A x B ∀∈∈，则（ ） （A ）:,2p x A x B ⌝∃∈∉ （B ）:,2p x A x B ⌝∀∉∉ （C ）:,2p x A x B ⌝∃∉∈ （D ）:,2p x A x B ⌝∃∈∈2013广东8.设整数n ≥4，集合X=｛1，2，3……，n ｝。

河南省各地市2013年高考数学 最新联考试题分类汇编（6）不等式 一、选择题: 5.(河南省郑州市2013年高三第二次质量预测理)若，则a，b，c的大小关系为A. c>b>aB. b>c>aC. a>b>cD. b>a>c 【答案】B 11.(河南省郑州市2013年高三第二次质量预测理)设f(x)是定义在R上的增函数,且对于任意的x都有f(2—x)+f(x)=0恒成立.如果实数m、n满足不等式组’则m2+n2的取值范围是A. (3,7)B. (9,25)C. (13,49)D. (9,49) 【答案】C 3、　，则满足不等式f（1－x）＞f（2x）的x的取值范围A、（－，0］B、（－，）C、（－，）D、 【答案】B 10、(河南省焦作市2013届高三第一次模拟文)已知实数x，y满足，则2x＋y的最小值，最大值分别为A、3,6B、0,3C、0,6D、－，6 【答案】D 1．，，则 A．B．C．D． 9. (河南省三市平顶山、许昌、新乡2013届高三第三次调研理)设实数满足约束条件：，若目标函数的最大值为12，则的最小值为 A. B. C. D. 【答案】A 12. (河南省十大名校2013届高三第四次联合模拟文)已知是定义在R上的偶函数，在区间上为增函数，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. －x－2＞0}，B＝{x｜1＜＜8)，则（CUA）∩B等于 A．[－1，3） B．（0，2] C．（1，2] D．（2，3） 【答案】B 8．(河南省六市2013年高中毕业班第一次联考文)若A为不等式组表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为 A． B． C． D．1 【答案】A 二、填空题: 14.(河南省郑州市2013年高三第二次质量预测理)已知O为坐标原点，点M(3,2),若N(x,y)满足不等式组则的最大值为______. 【答案】12 15. (河南省郑州市2013年高三第二次质量预测理)已知不等式，若对任意x∈[l,2],且y∈[2,3],该不等式恒成立,则 实数a的取值范围是______. 【答案】 (13) (河南省豫东、豫北十所名校2013届高三阶段性测试四)如果实数满足条件那么目标函数z=2x - y的最小值为______ 【答案】-3 13．已知实数x，y满足条件 ，则目标函数z=2x－y的最大值是 . ＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则的最小值为______________． 【答案】4 三、解答题: 19. (河南省十大名校2013届高三第四次联合模拟文) (本小题12分)鑫隆房地产公司用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为层，则每平方米的平均建筑费用为（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝）。

一、选择题 1 ．（宁夏银川一中2013届高三第二次模拟数学(理)试题）已知函数y =f (x )是定义在R 上的增函数,函数y =f (x -1)的图象关于点(1,0)对称,若任意的x ,y ∈R ,不等式f (x 2-6x +21)+f (y 2-8y )<0恒成立,则当x >3时,x 2+y 2的取值范围是 （ ） A ．(3,7) B ．(9,25) C ．(13,49) D ．(9,49) 2 ．（宁夏银川一中2013届高三第二次模拟数学(理)试题）已知正数x ,y 满足⎩⎨⎧≥+-≤-05302y x y x ,则y x z )21(4⋅=-的最小值为（ ）A ．1B ．3241C ．161 D ．3213 ．（宁夏银川市育才中学2013届高三第五次月考数学（理）试题 ）△ABC 满足23AB AC ⋅=,∠BAC=30°,设M 是△ABC 内的一点(不在边界上),定义f(M)=(x,y,z),其中x,y,z 分别表示△MBC,△MCA,△MAB 的面积,若f(M)=(x,y,12),则14x y +的最小值为（ ）A ．9B ．8C ．18D ．164 ．（宁夏银川二中2013届高三第六次月考数学（理）试题）设两个正数满足1x y +=,则49x y+的最小值为（ ）A ．24B ．26C ．25D ．15 ．（吉林省实验中学2013年高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题）已知32()69f x x x x abc =-+-,a b c <<,且()()()0f a f b f c ===. 现给出如下结论:①(0)(1)0f f >; ②(0)(1)0f f <; ③(0)(3)0f f >; ④(0)(3)0f f <; ⑤4abc <; ⑥4abc >.其中正确结论的序号是 （ ）A ．①③⑤B ．①④⑥C ．②③⑤D ．②④⑥6 ．（吉林省吉林市普通中学2013届高三下学期期中复习检测数学（理）试题）不等式2log 0a x x -<在1(0,)2x ∈时恒成立,则a 的取值范围是（ ）A ．1116a ≤< B ．01a << C ．1a > D ．1016a <≤7 ．（吉林省2013年高三复习质量监测数学（理）试题）设x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≤--,0,0,023y y x y x 则z=-2x+y的最小值为（ ）A ．-34B ．-1C ．0D ．18 ．（黑龙江省教研联合体2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题 ）设函数1()f x x x=-,对任意[1,),()()0x f mx mf x ∈+∞+<恒成立,则实数m 的取值范围是（ ）A ．(1,1)-B ．,0m R m ∈≠C ．--∞（，1）D ．--∞（，1）或+∞（1，）9 ．（黑龙江省哈尔滨市六校2013届高三第一次联考理科数学试题 ）实数对(x,y)满足不等式组20,250,20,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩则目标函数z=kx-y 当且仅当x=3,y=1时取最大值,则k 的取值范围是 （ ） A ．[)1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,|2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．1.12⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．(],1-∞-10．（黑龙江哈尔滨市九中2013届高三第五次月考数学（理）试题）若()224ln f x x x x =--,不等式()'0f x >的解集为p ,关于x 的不等式2(1)0x a x a +-->的解集记为q ,已知p 是q 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(]2,1--B ．[]2,1--C ．φD ．[)2,-+∞二、填空题11．（宁夏育才中学2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）当实数,x y 满足约束条件{220x y x x y a ≥≤++≤ (a 为常数)时3z x y =+有最大值为12,则实数a 的值为___12．（吉林省延边州2013届高三高考复习质量检测数学（理）试题）设函数b ax x x f ++=2)(,且方程0)(=x f 在区间()1,0和()2,1上各有一解,则b a -2的取值范围用区间表示为________________.13．（吉林省实验中学2013年高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题）已知x ,y 为正实数 ,且满足3x y xy ++=,若对任意满足条件的x ,y ,都有2()()10x y a x y +-++≥恒成立,则实数a 的取值范围为_______________.14．（吉林省实验中学2013年高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题）设x ,y 满足约束条件112210x y x x y ⎧⎪⎪⎨⎪+⎪⎩≥≥≤,向量(2)(11)a b y x m =-=-，，，,且a ∥b ,则m 的最小值为_________________.15．（黑龙江省教研联合体2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题（word 版，含答案） ）“求方程34()()155x x +=的解”有如下解题思路:设34()()()55x x f x =+,则()f x 在R 上单调递减,且(2)1f =,所以原方程有唯一解2x =.类比上述解题思路,不等式632(2)(2)x x x x -+>+-的解集为____ 16．（黑龙江省哈三中等四校联考2012届四校联考第三次高考模拟考试数学（理）试题）已知y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥.052,02,0y x y x x 则y x z 3+=的最大值是____________ 17．（黑龙江省大庆实验中学2013届高三下学期开学考试数学（理）试题）若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域,则当a 从-2连续变化到1时,动直线x y a += 扫过A 中的那部分区域的面积为 ____________.18．（黑龙江哈尔滨市九中2013届高三第五次月考数学（理）试题）若在不等式组02y x x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩所确定的平面区域内任取一点(),P x y ,则点P 的坐标满足221x y +≤的概率是__________________.19．（2013年宁夏回族自治区石嘴山市高三第一次联考理科数学试题）已知变量x 、y 满足202300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩,则41log (24)2u x y =+++的最大值为__________.【精品推荐】新课标全国统考区（宁夏、吉林、黑龙江）2013届高三名校理科最新试题精选（一）分类汇编6：不等式参考答案一、选择题 1. C 2. C3. C4. C5. C6. A7. A8. C9. C 10. D二、填空题 11. -12 12. ()2,8-- 13. 37(,]6-∞ 14. -615. ),2()1,(+∞⋃--∞ 16. 10 17.7418.；8π19. 2。

2013 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5 分）已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|﹣＜x＜}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B2．（5分）若复数z 满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z 的虚部为（）A．﹣4 B．C．4 D．3．（5分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样4．（5 分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C 的渐近线方程为（）A．y= B．y= C．y=±x D．y=5．（5 分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s 属于（）A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5] 6．（5 分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）A．B．C．D．7．（5分）设等差数列{a n}的前n 项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3 B．4 C．5 D．68．（5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π9．（5 分）设m 为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1 展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（）A．5 B．6 C．7 D．810．（5 分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F 的， ，直线交椭圆 E 于 A 、B 两点．若 AB 的中点坐标为（1，﹣1），则 E 的方程为（）A ．B ．C ．D ．11．（5 分）已知函数f （x ）=，若|f （x ）|≥ax ，则 a 的取值范围是（）A ．（﹣∞，0]B ．（﹣∞，1]C ．[﹣2，1]D ．[﹣2，0]12．（5 分）设△A n B n C n 的三边长分别为 a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为 S n ，n=1， 2，3…若 b 1＞c 1，b 1+c 1=2a 1，a n +1=a n，则（ ）A ．{S n }为递减数列B ．{S n }为递增数列C ．{S 2n ﹣1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D ．{S 2n ﹣1}为递减数列，{S 2n }为递增数列二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.13．（5 分）已知两个单位向量，的夹角为 60°，=t +（1﹣t ）．若•=0，则 t=．14．（5 分）若数列{a n }的前 n 项和为 S n =a n +，则数列{a n }的通项公式是 a n =．15．（5 分）设当 x=θ 时，函数 f （x ）=sinx ﹣2cosx 取得最大值，则 cosθ=．16．（5 分）若函数 f （x ）=（1﹣x 2）（x 2+ax +b ）的图象关于直线 x=﹣2 对称，则 f （x ）的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12 分）如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P 为△ABC 内一点，∠BPC=90°．（1）若PB=，求PA；（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．18．（12 分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（I）证明AB⊥A1C；（II）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C 与平面BB1C1C 所成角的正弦值．19．（12 分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4 件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4 件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1 件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（I）求这批产品通过检验的概率；（II）已知每件产品检验费用为100 元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X 的分布列及数学期望．20．（12 分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C．（I）求C 的方程；（Ⅱ）l 是与圆P，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|．21．（12 分）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P 处有相同的切线y=4x+2．（I）求a，b，c，d 的值；（II）若x≥﹣2 时，f（x）≤kg（x），求k 的取值范围．四、请考生在第22、23、24 题中任选一道作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.22．（10 分）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB 为圆的切线，切点为B，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E，DB 垂直BE 交圆于D．（I）证明：DB=DC；（II）设圆的半径为1，BC=，延长CE 交AB 于点F，求△BCF 外接圆的半径．23．已知曲线C1 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为ρ=2sinθ．（1）把C1 的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1 与C2 交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．24．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（I）当a=﹣2 时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（II）设a＞﹣1，且当x∈[﹣， ]时，f（x）≤g（x），求a 的取值范围．2013 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5 分）已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|﹣＜x＜}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B【考点】1D：并集及其运算；73：一元二次不等式及其应用．【专题】59：不等式的解法及应用；5J：集合．【分析】根据一元二次不等式的解法，求出集合A，再根据的定义求出A∩B 和A∪B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x＞0}={x|x＞2 或x＜0}，∴A∩B={x|2＜x＜或﹣＜x＜0}，A∪B=R，故选：B．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，以及并集的定义，属于基础题．2．（5 分）若复数z 满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z 的虚部为（）A．﹣4 B．C．4 D．【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】由题意可得z==，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为+i，由此可得z 的虚部．【解答】解：∵复数z 满足（3﹣4i）z=|4+3i|，∴z====+i，故z 的虚部等于，故选：D．【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．3．（5分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单的随机抽样C．按学段分层抽样B．按性别分层抽样D．系统抽样【考点】B3：分层抽样方法．【专题】21：阅读型．【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C．【点评】本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题．4．（5 分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C 的渐近线方程为（）A．y= B．y= C．y=±x D．y=【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由离心率和abc 的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x= x，故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题．5．（5 分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s 属于（）A．[﹣3，4] B．[﹣5，2] C．[﹣4，3] D．[﹣2，5]【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；EF：程序框图．【专题】27：图表型；5K：算法和程序框图．【分析】本题考查的知识点是程序框图，分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为t＜1 我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式．【解答】解：由判断框中的条件为t＜1，可得：函数分为两段，即t＜1 与t≥1，又由满足条件时函数的解析式为：s=3t；不满足条件时，即t≥1 时，函数的解析式为：s=4t﹣t2故分段函数的解析式为：s=，如果输入的t∈[﹣1，3]，画出此分段函数在t∈[﹣1，3]时的图象，则输出的s 属于[﹣3，4]．故选：A．【点评】要求条件结构对应的函数解析式，要分如下几个步骤：①分析流程图的结构，分析条件结构是如何嵌套的，以确定函数所分的段数；②根据判断框中的条件，设置分类标准；③根据判断框的“是”与“否”分支对应的操作，分析函数各段的解析式；④对前面的分类进行总结，写出分段函数的解析式．6．（5 分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）A．B．C．D．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M，可得圆心M 为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M 的半径为4，由球的截面圆性质建立关于R 的方程并解出R=5，用球的体积公式即可算出该球的体积．【解答】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M，则圆心M 为正方体上底面正方形的中心．如图．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M 的半径为4，由球的截面圆性质，得R2=（R﹣2）2+42，解出R=5，∴根据球的体积公式，该球的体积V===．故选：A．【点评】本题给出球与正方体相切的问题，求球的体积，着重考查了正方体的性质、球的截面圆性质和球的体积公式等知识，属于中档题．7．（5分）设等差数列{a n}的前n 项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n 项和．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】由a n 与S n 的关系可求得a m+1 与a m，进而得到公差d，由前n 项和公式及S m=0 可求得a1，再由通项公式及a m=2 可得m 值．【解答】解：a m=S m﹣S m﹣1=2，a m+1=S m+1﹣S m=3，所以公差d=a m﹣a m=1，+1S m==0，m﹣1＞0，m＞1，因此m 不能为0，得a1=﹣2，所以a m=﹣2+（m﹣1）•1=2，解得m=5，另解：等差数列{a n}的前n 项和为S n，即有数列{}成等差数列，则，，成等差数列，可得2•=+，即有0=+，解得m=5．又一解：由等差数列的求和公式可得（m﹣1）（a1+a m﹣1）=﹣2，m（a1+a m）=0，（m+1）（a1+a m+1）=3，可得a1=﹣a m，﹣2a m+a m+1+a m+1=+=0，解得m=5．故选：C．【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式及通项a n 与S n 的关系，考查学生的计算能力．8．（5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】16：压轴题；27：图表型．【分析】三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，依据三视图的数据，得出组合体长、宽、高，即可求出几何体的体积．【解答】解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4．∴长方体的体积=4×2×2=16，半个圆柱的体积=×22×π×4=8π所以这个几何体的体积是16+8π；故选：A．【点评】本题考查了几何体的三视图及直观图的画法，三视图与直观图的关系，柱体体积计算公式，空间想象能力9．（5 分）设m 为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1 展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】根据二项式系数的性质求得a 和b，再利用组合数的计算公式，解方程13a=7b 求得m 的值．【解答】解：∵m 为正整数，由（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，以及二项式系数的性质可得a= ，同理，由（x+y）2m+1 展开式的二项式系数的最大值为b，可得b== ．再由13a=7b，可得13 =7 ，即13×=7×，即13=7×，即13（m+1）=7（2m+1），解得m=6，故选：B．【点评】本题主要考查二项式系数的性质的应用，组合数的计算公式，属于中档题．10．（5 分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F 的直线交椭圆E 于A、B 两点．若AB 的中点坐标为（1，﹣1），则E 的方程为（）A．B．C．D．【考点】K3：椭圆的标准方程．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=﹣2，利用斜率计算公式可得==．于是得到，化为a2=2b2，再利用c=3=，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，∴．∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2，==．∴，化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．∴椭圆E 的方程为．故选：D．【点评】熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键．11．（5 分）已知函数f（x）= ，若|f（x）|≥ax，则a 的取值范围是（）A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C．[﹣2，1] D．[﹣2，0]【考点】7E：其他不等式的解法．【专题】16：压轴题；59：不等式的解法及应用．【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax 的图象，由导数求切线斜率可得l 的斜率，进而数形结合可得a 的范围．【解答】解：由题意可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax 的图象，由图象可知：函数y=ax 的图象为过原点的直线，当直线介于l 和x 轴之间符合题意，直线l 为曲线的切线，且此时函数y=|f（x）|在第二象限的部分解析式为y=x2﹣2x，求其导数可得y′=2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l 的斜率为﹣2，故只需直线y=ax 的斜率a 介于﹣2 与0 之间即可，即a∈[﹣2，0]故选：D．【点评】本题考查其它不等式的解法，数形结合是解决问题的关键，属中档题．12．（5 分）设△A n B n C n 的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n 的面积为S n，n=1，，，2，3…若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n ，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列【考点】82：数列的函数特性；8H：数列递推式．【专题】16：压轴题；54：等差数列与等比数列；55：点列、递归数列与数学归纳法．=a n 可知△ A n B n C n的边B n C n 为定值a1 ，由b n+1+c n+1 ﹣【分析】由a n+12a1=及b1+c1=2a1 得b n+c n=2a1，则在△A n B n C n 中边长B n C n=a1 为定值，另两边A n C n、A n B n 的长度之和b n+c n=2a1 为定值，由此可知顶点A n 在以B n、C n 为焦点的椭圆上，根据b n+1﹣c n+1= ，得b n﹣c n= ，可知n→+∞时b n→c n，据此可判断△A n B n C n 的边B nC n 的高h n 随着n 的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．【解答】解：b1=2a1﹣c1 且b1＞c1，∴2a1﹣c1＞c1，∴a1＞c1，∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1，又b1﹣c1＜a1，∴2a1﹣c1﹣c1＜a1，∴2c1＞a1，∴，由题意，+a n，∴b n+1+c n+1﹣2a n=（b n+c n﹣2a n），∴b n+c n﹣2a n=0，∴b n+c n=2a n=2a1，∴b n+c n=2a1，由此可知顶点A n 在以B n、C n 为焦点的椭圆上，﹣c n+1=，∴=a1﹣b n，又由题意，b n+1﹣a1=，∴b n﹣a1= ，∴b n+1∴，c n=2a1﹣b n= ，∴[ ][]=[ ﹣]单调递增（可证当n=1 时＞0）故选：B．【点评】本题主要考查由数列递推式求数列通项、三角形面积海伦公式，综合考查学生分析解决问题的能力，有较高的思维抽象度，是本年度全国高考试题中的“亮点”之一．二.填空题：本大题共4 小题，每小题5 分.13．（5 分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t= 2 ．【考点】9H：平面向量的基本定理；9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】由于•=0 ，对式子=t + （1 ﹣t ）两边与作数量积可得=0，经过化简即可得出．【解答】解：∵，，∴=0，∴tcos60°+1﹣t=0，∴1 =0，解得t=2．故答案为2．【点评】熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键．14．（5 分）若数列{a n}的前n 项和为S n=a n+，则数列{a n}的通项公式是a n=（﹣2）n﹣1 ．【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】把n=1 代入已知式子可得数列的首项，由n≥2 时，a n=S n﹣S n﹣1，可得数列为等比数列，且公比为﹣2，代入等比数列的通项公式分段可得答案．【解答】解：当n=1 时，a1=S1=，解得a1=1当n≥2 时，a n=S n﹣S n﹣1=（）﹣（）=，整理可得，即=﹣2，故数列{a n}从第二项开始是以﹣2 为首项，﹣2 为公比的等比数列，故当n≥2 时，a =（﹣2）n﹣1，n经验证当n=1 时，上式也适合，故答案为：（﹣2）n﹣1【点评】本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的判定，属基础题．15．（5分）设当x=θ时，函数（f x）=sinx﹣2cosx 取得最大值，则cosθ=﹣．【考点】GP：两角和与差的三角函数；H4：正弦函数的定义域和值域．【专题】16：压轴题；56：三角函数的求值．【分析】f（x）解析式提取，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x=θ时，函数f（x）取得最大值，得到sinθ﹣2cosθ=，与sin2θ+cos2θ=1 联立即可求出cosθ 的值．【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx= （sinx﹣cosx）= sin（x﹣α）（其中cosα=，sinα=），∵x=θ时，函数f（x）取得最大值，∴sin（θ﹣α）=1，即sinθ﹣2cosθ=，又sin2θ+cos2θ=1，联立得（2cosθ+ ）2+cos2θ=1，解得cosθ=﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．16．（5 分）若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2 对称，则f（x）的最大值为16 ．【考点】57：函数与方程的综合运用；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】11：计算题；16：压轴题；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】由题意得f（﹣1）=f（﹣3）=0 且f（1）=f（﹣5）=0，由此求出a=8且b=15，由此可得f（x）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15．利用导数研究f（x）的单调性，可得f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数，结合f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，即可得到f（x）的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2 对称，∴f（﹣1）=f（﹣3）=0 且f（1）=f（﹣5）=0，即[1﹣（﹣3）2][（﹣3）2+a•（﹣3）+b]=0 且[1﹣（﹣5）2][（﹣5）2+a•（﹣5）+b]=0，解之得，因此，f（x）=（1﹣x2）（x2+8x+15）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15，求导数，得f′（x）=﹣4x3﹣24x2﹣28x+8，令f′（x）=0，得x1=﹣2﹣，x2=﹣2，x3=﹣2+，当x∈（﹣∞，﹣2﹣）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2﹣，﹣2）时，f′（x）＜0；当x∈（﹣2，﹣2+）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2+，+∞）时，f′（x）＜0∴f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2 -，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数．又∵f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，∴f（x）的最大值为16．故答案为：16．【点评】本题给出多项式函数的图象关于x=﹣2对称，求函数的最大值．着重考，查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12 分）如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P 为△ABC 内一点，∠BPC=90°．（1） 若 PB=，求 PA ；（2） 若∠APB=150°，求 tan ∠PBA ．【考点】HP ：正弦定理；HR ：余弦定理． 【专题】58：解三角形．【分析】（I ）在 Rt △PBC ，利用边角关系即可得到∠PBC=60°，得到∠PBA=30°．在 △PBA 中，利用余弦定理即可求得 PA ．（II ）设∠PBA=α，在 Rt △PBC 中，可得 PB=sinα．在△PBA 中，由正弦定理得，即，化简即可求出．【解答】解：（I ）在 Rt △PBC 中 =，∴∠PBC=60°，∴∠PBA=30°．在 △ PBA 中 ， 由 余 弦 定 理得PA 2=PB 2+AB 2 ﹣ 2PB•ABcos30°= =．∴PA=．（II ）设∠PBA=α，在 Rt △PBC 中，PB=BCcos （90°﹣α）=sinα．在△PBA 中，由正弦定理得，即，化为．∴．【点评】熟练掌握直角三角形的边角关系、正弦定理和余弦定理是解题的关键．18．（12 分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（I）证明AB⊥A1C；（II）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C 与平面BB1C1C 所成角的正弦值．【考点】LW：直线与平面垂直；LY：平面与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（Ⅰ）取AB 的中点O，连接OC，OA1，A1B，由已知可证OA1⊥AB，AB ⊥平面OA1C，进而可得AB⊥A1C；（Ⅱ）易证OA，OA1，OC 两两垂直．以O 为坐标原点，的方向为x 轴的正向，||为单位长，建立坐标系，可得，，的坐标，设=（x，y，z）为平面BB1C1C 的法向量，则，可解得=（，1，﹣1），可求|c o s ＜，＞|，即为所求正弦值．【解答】解：（Ⅰ）取AB 的中点O，连接OC，OA1，A1B，因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°，所以△AA1B 为等边三角形，所以OA1⊥AB，又因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC 两两垂直．以O 为坐标原点，的方向为x 轴的正向，||为单位长，建立如图所示的坐标系，可得A（1，0，0），A 1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），则=（1，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣，），设=（x，y，z）为平面BB1C1C 的法向量，则，即，可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞== ，又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，故直线A1C 与平面BB1C1C 所成角的正弦值为：．【点评】本题考查直线与平面所成的角，涉及直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的判定，属难题．19．（12 分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4 件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4 件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1 件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（I）求这批产品通过检验的概率；（II）已知每件产品检验费用为100 元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X 的分布列及数学期望．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）设第一次取出的4 件产品中恰有3 件优质品为事件A1，第一次取出的4 件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4 件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1 件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1 与A2B2 互斥，由概率得加法公式和条件概率，代入数据计算可得；（Ⅱ）X 可能的取值为400，500，800，分别求其概率，可得分布列，进而可得期望值．【解答】解：（Ⅰ）设第一次取出的4 件产品中恰有3 件优质品为事件A1，第一次取出的4 件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4 件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1 件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1 与A2B2 互斥，所以P（A）=P（A1B1）+P（A2B2）=P（A1）P（B1|A1）+P（A2）P（B2|A2）==（Ⅱ）X 可能的取值为400，500，800，并且P（X=800）=，P（X=500）=，P（X=400）=1﹣﹣=，故X 的分布列如下：X 400 500 800P故EX=400×+500×+800×=506.25【点评】本题考查离散型随机变量及其分布列涉及数学期望的求解，属中档题．20．（12 分）已知圆 M ：（x +1）2+y 2=1，圆 N ：（x （I ） 求 C 的方程；（Ⅱ）l 是与圆 P ，圆 M 都相切的一条直线，l 与曲线 C 交于 A ，B 两点，当圆 P 的半径最长时，求|AB |．【考点】J3：轨迹方程；J9：直线与圆的位置关系． 【专题】5B ：直线与圆．【分析】（I ）设动圆的半径为 R ，由已知动圆 P 与圆 M 外切并与圆N 内切，可得 |PM |+|P N|=R+1（3﹣R）=4，而|N（II ） 设曲线 C 上任意一点 P （x ，y ），由于|PM |﹣|PN |=2R ﹣2≤4﹣2=2，所 以 R≤2，当且仅当⊙P 的圆心为（2，0）R=2 时，其半径最大，其方程为（x ﹣2） 2+y 2=4．分①l 的倾斜角为 90°，此时 l 与 y 轴重合，可得|AB |．②若 l 的倾斜 角不为 90°，由于⊙M 的半径 1≠R ，可知 l 与 x 轴不平行，设 l 与 x 轴的交点为 Q ，根据，可得 Q （﹣4，0），所以可设 l ：y=k （x +4），与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出． 【解答】解：（I ）由圆 M ：（x +1）2+y 2=1，可知圆心 M （﹣1，0）；圆 N ：（x ﹣1） 2+y 2=9，圆心 N （1，0），半径 3．设动圆的半径为 R ， ∵动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内切，∴|PM |+|PN |=R +1+（3﹣R ）=4， 而|NM |=2，由椭圆的定义可知：动点 P 的轨迹是以 M ，N 为焦点，4 为长轴长的椭圆， ∴a=2，c=1，b 2=a 2﹣c 2=3．∴曲线 C 的方程为（x ≠﹣2）．（II ）设曲线 C 上任意一点 P （x ，y ）， 由于|PM |﹣|PN |=2R ﹣2≤3﹣1=2，所以 R ≤2，当且仅当⊙P 的圆心为（2，0） R=2 时，其半径最大，其方程为（x ﹣2）2+y 2=4．①l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB|= ．②若l 的倾斜角不为90°，由于⊙M 的半径1≠R，可知l 与x 轴不平行，设l 与x 轴的交点为Q，则，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），由l 于M 相切可得：，解得．当时，联立，得到7x2+8x﹣8=0．∴，．∴|AB|= ==由于对称性可知：当时，也有|AB|=．综上可知：|AB|= 或．【点评】本题综合考查了两圆的相切关系、直线与圆相切问题、椭圆的定义及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式等基础知识，需要较强的推理能力和计算能力及其分类讨论的思想方法．21．（12 分）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P 处有相同的切线y=4x+2．（I）求a，b，c，d 的值；（II）若x≥﹣2 时，f（x）≤kg（x），求k 的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）对f（x），g（x）进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线y=f （x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），从而解出a，b，c，d 的值；（Ⅱ）由（I）得出f（x），g（x）的解析式，再求出F（x）及它的导函数，通过对k 的讨论，判断出F（x）的最值，从而判断出f（x）≤kg（x）恒成立，从而求出k 的范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意知f（0）=2，g（0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4，而f′（x）=2x+a，g′（x）=e x（cx+d+c），故b=2，d=2，a=4，d+c=4，从而a=4，b=2，c=2，d=2；（Ⅱ）由（I）知，f（x）=x2+4x+2，g（x）=2e x（x+1）设F（x）=kg（x）﹣f（x）=2ke x（x+1）﹣x2﹣4x﹣2，则F′（x）=2ke x（x+2）﹣2x﹣4=2（x+2）（ke x﹣1），由题设得F（0）≥0，即k≥1，令F′（x）=0，得x1=﹣lnk，x2=﹣2，①若1≤k＜e2，则﹣2＜x1≤0，从而当x∈（﹣2，x1）时，F′（x）＜0，当x∈（x1，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，x1）上减，在（x1，+∞）上是增，故F（x）在[﹣2，+∞）上的最小值为F（x1），而F（x1）=﹣x1（x1+2）≥0，x≥﹣2 时F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．②若k=e2，则F′（x）=2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），从而当x∈（﹣2，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，+∞）上是增，而F（﹣2）=0，故当x≥﹣2 时，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．③若k＞e2时，F′（x）＞2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），而F（﹣2）=﹣2ke﹣2+2＜0，所以当x＞﹣2 时，f（x）≤kg（x）不恒成立，综上，k 的取值范围是[1，e2]．【点评】此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数恒成立问题，考查分类讨论思想，解题的关键是能够利用导数工具研究函数的性质，此题是一道中档题．四、请考生在第22、23、24 题中任选一道作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.22．（10 分）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB 为圆的切线，切点为B，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E，DB 垂直BE 交圆于D．（I）证明：DB=DC；（II）设圆的半径为1，BC=，延长CE 交AB 于点F，求△BCF 外接圆的半径．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【专题】5B：直线与圆．【分析】（I）连接DE 交BC 于点G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE 为⊙O 的直径，Rt△DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB．（II）由（I）可知：DG 是BC 的垂直平分线，即可得到BG=．设DE 的中点为O，连接BO，可得∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．进而得到Rt△BCF 的外接圆的半径=．【解答】（I）证明：连接DE 交BC 于点G．由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，而∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．又∵DB⊥BE，∴DE 为⊙O 的直径，∠DCE=90°．∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．（II）由（I）可知：∠CDE=∠BDE，DB=DC．故DG 是BC 的垂直平分线，∴BG=．设DE 的中点为O，连接BO，则∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．∴CF⊥BF．∴Rt△BCF 的外接圆的半径= ．【点评】本题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等边三角形的性质、三角形全等、三角形的外接圆的半径等知识，需要较强的推理能力、分析问题和解决问题的能力．23．已知曲线C1 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为ρ=2sinθ．（1）把C1 的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1 与C2 交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）曲线C1 的参数方程消去参数t，得到普通方程，再由，能求出C1 的极坐标方程．（2）曲线C2 的极坐标方程化为直角坐标方程，与C1 的普通方程联立，求出C1 与C2 交点的直角坐标，由此能求出C1 与C2 交点的极坐标．【解答】解：（1）将，消去参数t，化为普通方程（x﹣4）2+（y﹣5）2=25，即C1：x2+y2﹣8x﹣10y+16=0，将代入x2+y2﹣8x﹣10y+16=0，得ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0．∴C1 的极坐标方程为ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0．（2）∵曲线C2 的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴曲线C2 的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0，。

2013年高考试题选（不等式选讲）1.（2013·全国卷Ⅰ）已知函数()212f x x x a =-++，()3g x x =+. （Ⅰ）当2a =-时，求不等式()()f x g x <的解集；（Ⅱ）设1a >-，且当1[,)22a x ∈-时，()()f x g x ≤，求a 的取值范围. 2.（2013·全国卷Ⅱ）设,,abc 均为正数，且1a b c ++=，证明： （Ⅰ）13ab bc ca ++≤ （Ⅱ）2221a b c b c a++≥ 3.（2013·山东卷理科）在区间[]3,3-上随机取一个数x ，使得121x x +--≥成立的概率为____.4.（2013·福建卷理科）设不等式2()x a a N +-<∈的解集为A 且A A ∉∈21,23（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数()2f x x a x =-+-的最小值.5.（2013·辽宁卷）已知函数()f x x a =-，其中1a >.（Ⅰ）当=2a 时，求不等式()44f x x ≥--的解集；（Ⅱ）已知关于x 的不等式(2)2()2f x a f x +-≤的解集为{}12x x ≤≤，求a 的值.6.（2013·陕西卷理科）已知,,,a b m n 均为正数, 且1a b +=,2mn =, 则 ()()am bn bm an ++的最小值为 .7.（2013·湖南卷理科）已知,,,236a b c R a b c ∈++=，则22249a b c ++的最小值为 .8.（2013·陕西卷文科）设,a b R ∈,2a b ->, 则关于实数x 的不等式2x a x b -+->的解集是 .9.（2013·重庆卷理科）若关于实数x 的不等式53x x a -++<无解，则实数a 的取值范围是 ．10. （2013·湖北卷理科）设,,x y z R ∈，且满足2221x y z ++=,23x y z ++=则x y z ++= .。

考点 基本不等式一、选择题1.（2013·重庆高考理科·Ｔ363)a -≤≤的最大值为 ( )A.9 B .29 C.3 D. 2232. （2013·山东高考文科·Ｔ12）设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ，则当z xy取得最大值时，2x y z +-的最大值为（ ）A.0B.98C.2D.943. （2013·山东高考理科·Ｔ12）设正实数,,x y z 满足x 2-3xy+4y 2-z =0.则当xy z 取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ） A.0 B.1 C.94D.34.(2013·福建高考文科·T7)若221x y +=,则x+y 的取值范围是 ( )A ．[]0,2B ．[]2,0-C ．[)2,-+∞D ．(],2-∞-二、填空题5. （2013·四川高考文科·Ｔ13）已知函数()4(0,0)a f x x x a x=+>>在3x =时取得最小值，则a =____________。

6.（2013·天津高考文科·Ｔ14）设a + b = 2, b >0, 则1||2||a a b+的最小值为 .7. （2013·天津高考理科·Ｔ14）设a + b = 2, b >0, 则当a = 时,1||2||a a b +取得最小值.8.（2013·上海高考文科·T13）设常数a ＞0.若291a x a x +≥+对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为 .9. （2013·陕西高考文科·Ｔ14）在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x 为 (m ).。

2013年全国卷新课标——数学理科（适用地区：吉林 黑龙江 山西、河南、新疆、宁夏、河北、云南、内蒙古） 本试卷包括必考题和选考题两部分，第1-21题为必考题，每个考生都必须作答.第22题~第24题，考生根据要求作答.一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合}5,4,3,2,1{=A ，},,|),{(A y x A y A x y x B ∈-∈∈=，则B 中所含元素的个数为 A. 3 B. 6 C. 8 D. 102. 将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由一名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 A. 12种 B. 10种 C. 9种 D. 8种3. 下面是关于复数iz +-=12的四个命题： :1P 2||=z:2P i z 22= :3P z 的共轭复数为i +1:4P z 的虚部为1-其中的真命题为A. 2P ，3PB. 1P ，2PC. 2P ，4PD. 3P ，4P4. 设21,F F 是椭圆:E 12222=+by a x )0(>>b a 的左右焦点，P 为直线23a x =上的一点，12PF F △是底角为︒30的等腰三角形，则E 的离心率为A.21B.32 C.43D.545. 已知}{n a 为等比数列，274=+a a ，865-=a a , 则=+101a a A.7B. 5C.5-D. 7-6. 如果执行右边的程序框图，输入正整数N )2(≥N 和实数N a a a ,,,21 ，输出A ，B ，则A. B A +为N a a a ,,,21 的和B.2BA +为N a a a ,,,21 的算术平均数 C. A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最大的数和最小的数D. A 和B 分别是N a a a ,,,21 中最小的数和最大的数7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的 是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 A. 6 B. 9 C. 12 D. 188. 等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于A ，B ，两点，34||=AB ，则的实轴长为A.2B. 22C. 4D. 89. 已知0>ω，函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ单调递减，则ω的取值范围是A. ]45,21[B. ]43,21[C. ]21,0(D. ]2,0(10. 已知函数xx x f -+=)1ln(1)(，则)(x f y =的图像大致为11. 已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC △是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2=SC ，则此棱锥的体积为A.62 B.63 C.32 D.22 12. 设点P 在曲线xe y 21=上，点Q 在曲线)2ln(x y =上，则||PQ 的最小值为A. 2ln 1-B.)2ln 1(2- C. 2ln 1+D.)2ln 1(2+二、填空题.本大题共4小题，每小题5分.13.已知向量a ，b 夹角为︒45，且1=||a ，102=-||b a ，则=||b .14. 设y x ,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+-≥-0031y x y x y x 则y x Z 2-=的取值范围为 .15. 某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）服从正态分布)50,1000(2N ，且各元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 .16. 数列}{n a 满足12)1(1-=-++n a a n n n ，则}{n a 的前60项和为 .三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，0s i n 3c o s =--+c b C a C a .(Ⅰ) 求A ；(Ⅱ) 若2=a ，ABC △的面积为3，求b ，c .18. （本小题满分12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理. (Ⅰ) 若花店某天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：枝，N n ∈）的函数解析式；以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. （ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列、数学期望及方差； （ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.19. （本小题满分12分）如图，直三棱柱111C B A ABC -中，121AA BC AC ==，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1(Ⅰ) 证明：BC DC ⊥1(Ⅱ) 求二面角11C BD A --的大小.20. （本小题满分12分）设抛物线:C py x 22=)0(>p 的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B 、D 两点(Ⅰ) 若90BFD ∠=︒，ABD △面积为24，求p 的值及圆F 的方程；(Ⅱ)若A 、B 、F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 的距离的比值.21. （本小题满分12分） 已知函数121()(1)(0)2x f x f ef x x -'=-+. (Ⅰ) 求)(x f 的解析式及单调区间；(Ⅱ) 若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的最大值 请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分，作答时请写清题号.22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，D ，E 分别为ABC △边AB ，AC 的中点，直线DE 交ABC △的 外接圆于F ，G 两点.若AB CF //，证明： (Ⅰ) BC CD =；(Ⅱ) GBD BCD ∽△△.23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程是2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ.正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为)3,2(π.(Ⅰ)点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(Ⅱ) 设P 为1C 上任意一点，求2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围.24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数|2|||)(-++=x a x x f .(Ⅰ) 当3a =-时，求不等式3)(≥x f 的解集；(Ⅱ) |4|)(-≤x x f 的解集包含]2,1[，求a 的取值范围.。

2013 年全国高考理科数学试题分类汇编6：不等式一、选择题1 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试山东数学（理）试题（含答案））设正实数x, y, z知足x23xy 4 y2xy2 12 z 0, 则当 z获得最大值时 ,xyz9A ． 0B ． 1C ．4【答案】 B的最大值为（ ）D ． 32 ．（ 2013 年高考陕西卷（理） ）设[ x ] 表示不大于 x 的最大整数 , 则对随意实数 x , y , 有 （ ）A ． [- x ] = -[ x ]B ． [2 x ] = 2[ x ]C ． [ x +y ] ≤[x ]+[ y ]D ． [ x - y ] ≤[x ]-[ y ]【答案】 Dy 2x3 ．（ 2013 年高考湖南卷（理） ） 若变量 x, y 知足拘束条件xy 1, 则 x 2y 的最大值是y1．5 B ．C ．5D ．5-3 22【答案】 C4 ．（2013 年一般高等学校招生一致考试天津数学（理）试题（含答案）） 已知函数f ( x)x(1 a | x |) . 设对于 x 的不等式f ( x a )f ( x)的解集为A , 若1 1,A ,2 2则实数 a 的取值范围是A ．15,0B ．13,0C ．15,00,123222【答案】 A5 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试新课标Ⅱ 卷数学（理） （纯WORD 版含答案） ） 已知（）（ ）D ．,152x 1a 0 , x, y 知足拘束条件 xy3, 若 z 2x y 的最小值为 1, 则 a（）y a( x3)A ．1B ．1C ． 1D ． 242【答案】 B6 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试天津数学（理）试题（含答案）） 设变量 x , y 知足约3xy 60,束条件x y 2 0, 则目标函数z =-2 x 的最小值为（）yy 3 0,A ． -7B ． -4C ． 1D ． 2【答案】 A7 ．（ 2013 年高考湖北卷（理） ） 一辆汽车在高速公路上行驶, 因为碰到紧迫状况而刹车 , 以速度 v t7 3t25( t 的单位 : s , v的单位 : m / s ) 行驶至停止 . 在此时期汽车持续1 t行驶的距离 ( 单位 ; m ) 是（ ）A ． 1 25ln5B ．8 11 C ． 4 25ln5 D ． 450ln 225ln【答案】 C38 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版）） 已知一元二次不等式 f (x)<0 的解集为 x |x<-1或 x>1, 则 f (10x )>0 的解集为（）2A ． x|x<-1或 x>lg2B ． x|-1<x<lg2C ． x |x>-lg2D ． x|x<-lg2【答案】 D9 ．（ 2013 年上海市春天高考数学试卷( 含答案 ) ） 假如 ab 0 , 那么以下不等式建立的是（）A ．1 1B ． ab b 2C ． aba 2D ．1 1 abab【答案】 D10．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试山东数学（理）试题（含答案））在平面直角坐标系xoy2x y 2 0,x2y 1 0,中 , M 为不等式组 3x y80,所表示的地区上一动点 , 则直线OM斜率的最小值为（）11A ． 2B ． 1C ．3D ．2【答案】 C11 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试新课标 Ⅱ 卷数学（理） （纯WORD 版含答案） ） 设a log 3 6,b log 5 10, clog 7 14 , 则（）A ． c b aB ． b c aC ． a c bD ． a b c【答案】2x y 1 0,12．（ 2013 年高考北京卷（理） ）设对于 x , y 的不等式组x m 0, 表示的平面地区内存y m 0在点 P ( x 0, y 0), 知足 x 0-2 y 0=2, 求得 m 的取值范围是（ ）A ．,4B ．,1C ．, 2D ．,53333【答案】 C二、填空题13．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试纲领版数学（理）WORD 版含答案（已校正） ） 记不等式x 0,组 x3y 4, 所表示的平面地区为 D , 若直线 ya x1 与 D 公共点 , 则 a 的取值3xy4,范围是 ______.【答案】 [1, 4]214．（ 2013 年高考陕西卷（理） ） 若点 ( x , y ) 位于曲线 y | x 1| 与 y =2 所围成的关闭地区 , 则2x - y 的最小值为 ___-4_____.【答案】 - 415 ．（ 2013 年 高 考 四 川 卷 （ 理 ）） 已 知 f ( x) 是 定 义 域 为 R 的 偶 函 数 , 当 x ≥ 0时, f ( x)x 2 4x , 那么 , 不等式 f ( x 2) 5 的解集是 ____________.【答案】 (7,3)16 ．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版）） 给定地区x 4 y 4x y4D : x 0, 令点集T{ x 0, yD | x 0 , y 0Z, x 0, y0 , 是zx y 在 D 上取得最大值或最小值的点}, 则 T 中的点共确立 ______条不一样的直线.【答案】617．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版）） 设zkx y , 其xy 2 0中实数 x, y 知足 x2 y 4 0 , 若 z 的最大值为 12, 则实数 k ________.2x y 4 0【答案】 218．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试天津数学（理）试题（含答案）） 设 a + b = 2, b >0, 则当 a = ______ 时 ,1 | a |获得最小值 .2 | a |b【答案】 219．（ 2013 年一般高等学校招生一致考试广东省数学（理）卷（纯 WORD 版））不等式 x 2x2 0的解集为 ___________.【答案】2,120． （ 2013年 高考 湖南 卷（理 ） ）已知a,b,c ,23c 229ca 2则b 6的最,小值a 为4b .【答案】 12三、解答题21．（ 2013 年上海市春天高考数学试卷( 含答案 ) ）如图 , 某校有一块形如直角三角形ABC 的空地, 此中 B 为直角 , AB 长 40 米 , BC 长50 米 , 现欲在此空地上建筑一间健身房, 其占地形状为矩形 , 且 B 为矩形的一个极点 , 求该健身房的最大占地面积 .ABC【答案】 [ 解 ] 如图 , 设矩形为 EBFP , FP 长为 x 米, 此中 0 x 40 , AEPBFC健身房占地面积为 y 平方米 . 因为 CFP ∽ CBA ,以 FPCF , x 50BF,求得 BF505x ,BACB 40 504进而 yBF FP(50 5 x) x5 x 250x5 ( x 20)2 500 500 ,444当且仅当 x20 时, 等建立 .答 : 该健身房的最大占地面积为 500 平方米 .22．（ 2013 年高考上海卷（理） ） (6 分 +8 分 ) 甲厂以 x 千克 / 小时的速度运输生产某种产品( 生产条件要求 1x 10 ), 每小时可获取收益是 100(5x 1 3)元.x(1) 要使生产该产品 2 小时获取的收益不低于 3000 元, 求 x 的取值范围 ;(2) 要使生产 900 千克该产品获取的收益最大, 问: 甲厂应当选用何种生产速度?并求最大收益 .【答案】 (1) 依据题意 , 200(5x13 ) 30005x 143 0x x又 1 x 10 , 可解得 3x 10(2) 设收益为 y 元 , 则 y900100(5x 1 3) 9 104[ 3( 11) 2 61]xxx 6 12故 x 6 时 ,ymax457500 元 .。

2013年高考试题分类汇编（不等式）考点1 不等式的基本性质1.（2013·北京卷·文科）设,,a b c R ∈，且a b <，则 A.ac bc > B.11a b< C.22a b > D.33a b > 4.（2013·天津卷·文科）设,a b R ∈,则“2()0a b a -<”是“a b <”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件考点2 解不等式或证明不等式考法1 一元二次不等式1.（2013·广东卷·理科）不等式220x x +-<的解集为 .2.（2013·全国卷Ⅰ·理科）已知集合2{20}A x x x =->，{B x x =<<， 则A.A B =∅B.A B R =C.B A ⊆D.A B ⊆ 3.（2013·全国卷Ⅱ·理科）已知集合2{(1)4,}M x x x R =-<∈，{}1,0,1,2,3N =- ，则MN =A.{}0,1,2B.{}1,0,1,2-C.{}1,0,2,3-D.{}0,1,2,3 4.（2013·重庆卷·文科）关于x 的不等式22280x ax a --<（0a >）的解集为12(,)x x ，且2115x x -=，则a =A.52B.72C.154D.1525.（2013·安徽卷·理科）已知一元二次不等式()<0f x 的解集为{|<1x x -或1>}2x ，则(10)>0x f 的解集为 A.{|<1,>lg2}x x x - B.{|1<<lg2}x x - C.{|>lg2}x x - D.{|<lg2}x x -6.（2013·安徽卷·文科）函数1ln(1)y x=++的定义域为_______.7.（2013·陕西卷·理科）设全集为R , 函数()f x =M ,则U C M 为A.[1,1]-B.(1,1)-C.(,1][1,)-∞-+∞D.(,1)(1.)-∞-+∞ 8.（2013·重庆卷·文科）设0απ≤≤，不等式28(8sin )cos20x x αα-+≥对x R ∈恒成立，则a 的取值范围为 ． 考法2 分式不等式1.（2013·江西卷·文科）下列选项中，使不等式21x x x<<成立的x 的取值范围是A.(,1)-∞-B.(1,0)-C.(0,1)D.(1)+∞，考法3 含有绝对值符号的不等式1.（2013·山东卷·理科）在区间[]3,3-上随机取一个数x ，使得121x x +--≥成立的概率为____.2.若关于实数x 的不等式53x x a -++<无解，则实数a 的取值范围是 ． 考法4 数的的大小比较1.（2013·重庆卷·理科）（2013·全国卷Ⅱ·理科）设3log 6a =,5log 10b =,7log 14c =,则A.c b a >>B.b c a >>C.a c b >>D.a b c >> 2.（2013·全国卷Ⅱ·文科）设3log 2a =,5log 2b =,2log 3c =,则A. a c b >>B.b c a >>C. c b a >>D.c b a >>考点3 基本不等式1.（201363a -≤≤）的最大值为A.9B.92 C.3 D.22.（2013·山东卷·文科）设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ，则当zxy取得最大值时，2x y z +-的最大值为A.0B.98C.2D.943.（2013·山东卷·理科）设正实数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=.则当xy z取得最大值时，212x y z++的最大值为A.0B.1C.94D.3 4.（2013·天津卷·理科）设2a b +=,0b >，则当a = 时,12a a b+取得最小值.5.（2013·陕西卷·理科）已知,,,a b m n 均为正数，且1a b +=，2mn =，则()()am bn bm an ++的最小值为 .6.（2013·四川卷·理科）已知函数()4(0,0)af x x x a x=+>>在3x =时取得最小值，则a =_ _ __.考点4 线性规划考法11.（2013·四川卷·理科）若变量,x y 满足约束条件82400x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩且5z y x =-的最大值为a ，最小值为b ，则a b -的值是A.48B.30C.24D.162.（2013·陕西卷·理科）若点(),x y 位于曲线|1|y x =-与2y =所围成的封闭区域，则2x y -的最小值为 .3.（2013·天津卷·理科）设变量,x y 满足约束条件3602030x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩，则目标函数2z y x =-的最小值为A.-7B.-4C.1D.24.（2013·全国卷Ⅰ·文科）设,x y满足约束条件1310xx y≤≤⎧⎨-≤-≤⎩，则2z x y=-的最大值为______.5.（2013·全国卷Ⅱ·文科）设,x y满足约束条件10103x yx yx-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y=-的最小值是A.-7B.-6C.-5D.-36.（2013·大纲全国卷·文科）若x y、满足约束条件0,34,34,xx yx y≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩则z x y=-+的最小值为 .7.（2013·天津卷·理科）设变量,x y满足约束条件360,20,30,x yyx y≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数2z y x=-的最小值为A.-7B.-4C.1D.2 考法21．（2013·福建卷·文科）若变量,x y满足约束条件21,0,x yxy+≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则2z x y=+的最大值和最小值分别为A．4和3 B．4和2 C．3和2 D．2和04.（2013·湖南卷·理科）若变量,x y满足约束条件211y xx yy≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y+的最大值是A.52- B.0 C.53D.523.（2013·湖南卷·文科）若变量,x y满足约束条件280403x yxy+≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则x y+的最大值为________.4.（2013·全国卷Ⅱ·理科）已知0a >，,x y 满足约束条件()1 3 3x x y y a x ⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩,若2z x y =+的最小值为1，则a =A.14B.12C.1D.2 5.（2013·安徽卷·文科）若非负数变量,x y 满足约束条件124x y x y -≥-⎧⎨+≤⎩，则x y +的最大值为_______ . 考法31.（2013·大纲全国卷·理科）记不等式组0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域为.D 若直线()1y a x =+与D 有公共点，则a 的取值范围是 .2.（2013·山东卷·理科）在平面直角坐标系xoy 中，M 为不等式组220210380x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为 A.2 B.1 C.13- D.12-3.（2013·浙江卷·文科）设z kx y =+，其中实数,x y 满足2240240x x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩若z 的最大值为12，则实数k =____.4.（2013·浙江卷·理科）设z kx y =+，其中实数,x y 满足20240240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩若z 的最大值为12，则实数k =____.5.（2013·北京卷·理科）设关于,x y 的不等式组21000x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点P 00(,)x y 满足0022x y -=，求得m 的取值范围是A.4(,)3-∞-B.1(,)3-∞C.2(,)3-∞-D.5(,)3-∞-6.（2013·北京卷·文科）设D 为不等式组02030x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________.考点5 柯西不等式1.（2013·湖南卷·理科）已知,,,236a b c R a b c ∈++=，则22249a b c ++的最小值为 .。

高考数学理科高考试题分类汇编：不等式E1 不等式的概念与性质 5．，，[山东卷] 已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( )A. 1x 2＋1＞1y 2＋1 B. ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1) C. sin x ＞sin y D. x 3＞y 35．D [解析] 因为a x ＜a y (0＜a ＜1)，所以x ＞y ，所以sin x ＞sin y ，ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)，1x 2＋1＞1y 2＋1都不一定正确，故选D.4．[四川卷] 若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a c >b d B.a c <b d C.a d >b c D.a d <b c4．D [解析] 因为c ＜d ＜0，所以1d <1c ＜0，即－1d >－1c ＞0，与a ＞b ＞0对应相乘得，－a d >－b c ＞0，所以a d <bc.故选D.E2 绝对值不等式的解法 9．、[安徽卷] 若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．5或8 B ．－1或5 C ．－1或－4 D ．－4或8 9．D [解析] 当a ≥2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1（x >－1），x ＋a －1⎝⎛⎭⎫－a 2≤x ≤－1，－3x －a －1⎝⎛⎭⎫x <－a 2.由图可知，当x ＝－a2时，f min (x )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a 2－1＝3，可得a ＝8. 当a <2时，f (x )⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1⎝⎛⎭⎫x >－a2，－x －a ＋1⎝⎛⎭⎫－1≤x ≤－a 2，－3x －a －1（x <－1）.由图可知，当x ＝－a 2时，f min (x )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a2＋1＝3，可得a ＝－4.综上可知，a 的值为－4或8.E3 一元二次不等式的解法 2．、[全国卷] 设集合M ＝{x |x 2－3x －4<0}，N ＝{x |0≤x ≤5}，则M ∩N ＝( ) A ．(0，4] B ．[0，4) C ．[－1，0) D ．(－1，0]2．B [解析] 因为M ＝{x |x 2－3x －4<0}＝{x |－1<x <4}，N ＝{x |0≤x ≤5}，所以M ∩N ＝{x |－1<x <4}∩{0≤x ≤5}＝{x |0≤x <4}．12．、[新课标全国卷Ⅱ] 设函数f (x )＝3sin πx m，若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋[f (x 0)]2＜m 2，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)12．C [解析] 函数f (x )的极值点满足πx m ＝π2＋k π，即x ＝m ⎝⎛⎭⎫k ＋12，k ∈Z ，且极值为±3，问题等价于存在k 0使之满足不等式m 2⎝⎛⎭⎫k 0＋122＋3<m 2.因为⎝⎛⎭⎫k ＋122的最小值为14，所以只要14m 2＋3<m 2成立即可，即m 2>4，解得m >2或m <－2，故m 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．E4 简单的一元高次不等式的解法 E5 简单的线性规划问题5．[安徽卷] x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．2或12 C ．2或1 D ．2或－1 5．D [解析]方法一：画出可行域，如图中阴影部分所示，可知点A (0，2)，B (2，0)，C (－2，－2), 则z A ＝2，z B ＝－2a ，z c ＝2a －2.要使对应最大值的最优解有无数组，只要z A ＝z B >z C 或z A ＝z C >z B 或z B ＝z C >z A ， 解得a ＝－1或a ＝2.方法二：画出可行域，如图中阴影部分所示，z ＝y －ax 可变为y ＝ax ＋z ，令l 0：y ＝ax ，则由题意知l 0∥AB 或l 0∥AC ，故a ＝－1或a ＝2.6．[北京卷] 若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－126．D [解析] 可行域如图所示，当k >0时，知z ＝y －x 无最小值，当k <0时，目标函数线过可行域内A 点时z 有最小值．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，kx －y ＋2＝0，解得A ⎝⎛⎭⎫－2k ，0，故z min ＝0＋2k ＝－4，即k ＝－12.11．[福建卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，x ≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为________．11．1 [解析] 作出不等式组表示的平面区域(如图所示)，把z ＝3x ＋y 变形为y ＝－3x ＋z ，则当直线y ＝3x ＋z 经过点(0，1)时，z 最小，将点(0，1)代入z ＝3x ＋y ，得z min ＝1，即z ＝3x ＋y 的最小值为1.3．[广东卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．83．B [解析] 本题考查运用线性规划知识求目标函数的最值，注意利用数形结合思想求解．画出不等式组表示的平面区域，如图所示．当目标函数线经过点A (－1，－1)时，z 取得最小值；当目标函数线经过点B (2，－1)时，z 取得最大值．故m ＝3，n ＝－3，所以m －n ＝6.14．[湖南卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k＝________.14．－2 [解析] 画出可行域，如图中阴影部分所示，不难得出z ＝2x ＋y 在点A (k ，k )处取最小值，即3k ＝－6，解得k ＝－2.14．[全国卷] 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋2y ≤3，x －2y ≤1，则z ＝x ＋4y 的最大值为________．14．5 [解析] 如图所示，满足约束条件的可行域为△ABC 的内部(包括边界), z ＝x ＋4y 的最大值即为直线y ＝－14x ＋14z 的纵截距最大时z 的值．结合题意，当y ＝－14x ＋14z 经过点A 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋2y ＝3，可得点A 的坐标为(1，1)， 所以z max ＝1＋4＝5.9．、[新课标全国卷Ⅰ] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ，有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2，p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2， p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3， p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1. 其中的真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 2 C ．p 1，p 4 D ．p 1，p 39．B [解析] 不等式组表示的区域D 如图中的阴影部分所示，设目标函数z ＝x ＋2y ，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A (2，－1)处取得最小值，且z min ＝2－2＝0，即x ＋2y 的取值范围是[0，＋∞)，故命题p 1，p 2为真，命题p 3，p 4为假．9．[新课标全国卷Ⅱ] 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．29．B [解析] 已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A (5，2)处取得最大值，故目标函数的最大值为2×5－2＝8.9．[山东卷] 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)在该约束条件下取到最小值2 5时，a 2＋b 2的最小值为( )A. 5B. 4C. 5D. 29．B [解析] 画出约束条件表示的可行域(如图所示)．显然，当目标函数z ＝ax ＋by 过点A (2，1)时，z 取得最小值，即2 5＝2a ＋b ，所以2 5－2a ＝b ，所以a 2＋b 2＝a 2＋(2 5－2a )2＝5a 2－8 5a ＋20，构造函数m (a )＝5a 2－8 5a ＋20(5>a >0)，利用二次函数求最值，显然函数m (a )＝5a 2－85a ＋20的最小值是4×5×20－（8 5）24×5＝4，即a 2＋b 2的最小值为4.故选B.18．，[陕西卷] 在直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上．(1)若P A →＋PB →＋PC →＝0，求|OP →|；(2)设OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值． 18．解：(1)方法一：∵P A →＋PB →＋PC →＝0，又P A →＋PB →＋PC →＝(1－x ，1－y )＋(2－x ，3－y )＋(3－x ，2－y )＝(6－3x ，6－3y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2， 即OP →＝(2，2)，故|OP →|＝2 2. 方法二：∵P A →＋PB →＋PC →＝0，则(OA →－OP →)＋(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)＝0， ∴OP →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝(2，2)，∴|OP →|＝2 2.(2)∵OP →＝mAB →＋nAC →， ∴(x ，y )＝(m ＋2n ，2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减得，m －n ＝y －x ，令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2，3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.5．，[四川卷] 执行如图1-1所示的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为( )图1-1A ．0B ．1C ．2D ．35．C [解析] 题中程序输出的是在⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ≥0，y ≥0的条件下S ＝2x ＋y 的最大值与1中较大的数．结合图像可得，当x ＝1，y ＝0时，S ＝2x ＋y 取得最大值2，2>1，故选C.2．[天津卷] 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．52．B [解析] 画出可行域，如图所示．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即点A (1，1)．当目标函数线过可行域内A 点时，目标函数有最小值，即z min ＝1×1＋2×1＝3.13． [浙江卷] 当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．13.⎣⎡⎦⎤1，32 [解析] 实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，图中A (1，0)，B (2，1)，C ⎝⎛⎭⎫1，32.当a ≤0时，0≤y ≤32，1≤x ≤2，所以1≤ax ＋y ≤4不可能恒成立；当a >0时，借助图像得，当直线z ＝ax ＋y 过点A 时z 取得最小值，当直线z ＝ax ＋y 过点B 或C 时z 取得最大值，故⎩⎪⎨⎪⎧1≤a ≤4，1≤2a ＋1≤4，1≤a ＋32≤4，解得1≤a ≤32.故a ∈⎣⎡⎦⎤1，32.E6 2a b+≤16．、[辽宁卷] 对于c >0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，3a －4b ＋5c的最小值为________．16．－2 [解析] 由题知2c ＝－(2a ＋b )2＋3(4a 2＋3b 2)．(4a 2＋3b 2)⎝⎛⎭⎫1＋13≥(2a ＋b )2⇔4a 2＋3b 2≥34(2a ＋b )2，即2c ≥54(2a ＋b )2，当且仅当4a 21＝3b 213，即2a ＝3b ＝6λ(同号)时，|2a ＋b |取得最大值85c ，此时c ＝40λ2.3a －4b ＋5c ＝18λ2－1λ＝18⎝⎛⎭⎫1λ－42－2≥－2， 当且仅当a ＝34，b ＝12，c ＝52时，3a －4b ＋5c取最小值－2.14．，[山东卷] 若⎝⎛⎭⎫ax 2＋b x 6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________． 14．2 [解析]T r ＋1＝C r 6(ax 2)6－r ·⎝⎛⎭⎫b x r＝C r 6a 6－r ·b r x 12－3r ，令12－3r ＝3，得r ＝3，所以C 36a 6－3b 3＝20，即a 3b 3＝1，所以ab ＝1，所以a 2＋b 2≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ，且ab ＝1时，等号成立．故a 2＋b 2的最小值是2.10．，[四川卷] 已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.1728D.1010．B [解析] 由题意可知，F ⎝⎛⎭⎫14，0.设A (y 21，y 1)，B (y 22，y 2)，∴OA →·OB →＝y 1y 2＋y 21y 22＝2，解得y 1y 2＝1或y 1y 2＝－2.又因为A ，B 两点位于x 轴两侧，所以y 1y 2＜0，即y 1y 2＝－2. 当y 21≠y 22时，AB 所在直线方程为y －y 1＝y 1－y 2y 21－y 22(x －y 21)＝ 1y 1＋y 2(x －y 21)， 令y ＝0，得x ＝－y 1y 2＝2，即直线AB 过定点C (2，0)．于是S △ABO ＋S △AFO ＝S △ACO ＋S △BCO ＋S △AFO ＝12×2|y 1|＋12×2|y 2|＋12×14|y 1|＝18(9|y 1|＋8|y 2|)≥18×29|y 1|×8|y 2|＝3，当且仅当9|y 1|＝8|y 2|且y 1y 2＝－2时，等号成立．当y 21＝y 22时，取y 1＝2，y 2＝－2，则AB 所在直线的方程为x ＝2，此时求得S △ABO ＋S △AFO ＝2×12×2×2＋12×14×2＝1728，而1728>3，故选B. 14．，[四川卷] 设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________．14．5 [解析] 由题意可知，定点A (0，0)，B (1，3)，且两条直线互相垂直，则其交点P (x ，y )落在以AB 为直径的圆周上，所以|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10.∴|P A ||PB |≤|P A |2＋|PB |22＝5，当且仅当|P A |＝|PB |时等号成立．E7 不等式的证明方法20．[北京卷] 对于数对序列P ：(a 1，b 1)，(a 2，b 2)，…，(a n ，b n )，记T1(P)＝a1＋b1，T k(P)＝b k＋max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}(2≤k≤n)，其中max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}表示T k－1(P)和a1＋a2＋…＋a k两个数中最大的数．(1)对于数对序列P：(2，5)，(4，1)，求T1(P)，T2(P)的值；(2)记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对(a，b)，(c，d)组成的数对序列P：(a，b)，(c，d)和P′：(c，d)，(a，b)，试分别对m＝a和m＝d两种情况比较T2(P)和T2(P′)的大小；(3)在由五个数对(11，8)，(5，2)，(16，11)，(11，11)，(4，6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5(P)最小，并写出T5(P)的值．(只需写出结论)20．解：(1)T1(P)＝2＋5＝7，T2(P)＝1＋max{T1(P)，2＋4}＝1＋max{7，6}＝8.(2)T2(P)＝max{a＋b＋d，a＋c＋d}，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}．当m＝a时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋d＋b.因为a＋b＋d≤c＋b＋d，且a＋c＋d≤c＋b＋d，所以T2(P)≤T2(P′)．当m＝d时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋a＋b.因为a＋b＋d≤c＋a＋b，且a＋c＋d≤c＋a＋b，所以T2(P)≤T2(P′)．所以无论m＝a还是m＝d，T2(P)≤T2(P′)都成立．(3)数对序列P：(4，6)，(11，11)，(16，11)，(11，8)，(5，2)的T5(P)值最小，T1(P)＝10，T2(P)＝26，T3(P)＝42，T4(P)＝50，T5(P)＝52.19．、、[天津卷] 已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M＝{0，1，2，…，q －1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋x n q n－1，x i∈M，i＝1，2，…，n}．(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A.(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋a n q n－1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，其中a i，b i∈M，i＝1，2，…，n.证明：若a n<b n，则s<t.19．解：(1)当q＝2，n＝3时，M＝{0，1}，A＝{x|x＝x1＋x2·2＋x3·22，x i∈M，i＝1，2，3}，可得A＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．(2)证明：由s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋a n q n－1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，a i，b i∈M，i ＝1，2，…，n及a n<b n，可得s－t＝(a1－b1)＋(a2－b2)q＋…＋(a n－1－b n－1)q n－2＋(a n－b n)q n－1≤(q－1)＋(q－1)q＋…＋(q－1)q n－2－q n－1＝（q－1）（1－q n－1）1－q－q n－1＝－1<0，所以s<t.E8 不等式的综合应用9．、[安徽卷] 若函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为() A．5或8 B．－1或5C．－1或－4 D．－4或89．D[解析] 当a≥2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1（x >－1），x ＋a －1⎝⎛⎭⎫－a 2≤x ≤－1，－3x －a －1⎝⎛⎭⎫x <－a 2.由图可知，当x ＝－a2时，f min (x )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a 2－1＝3，可得a ＝8. 当a <2时，f (x )⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1⎝⎛⎭⎫x >－a2，－x －a ＋1⎝⎛⎭⎫－1≤x ≤－a 2，－3x －a －1（x <－1）.由图可知，当x ＝－a 2时，f min (x )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a2＋1＝3，可得a ＝－4.综上可知，a 的值为－4或8.13．[福建卷] 要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．13．160 [解析] 设底面矩形的一边长为x ，由容器的容积为4 m 3，高为1 m 得，另一边长为4xm.记容器的总造价为y 元，则 y ＝4×20＋2⎝⎛⎭⎫x ＋4x ×1×10 ＝80＋20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≥80＋20×2x ·4x＝160(元)，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时，等号成立．因此，当x ＝2时，y 取得最小值160元， 即容器的最低总造价为160元． 21．，，，[陕西卷] 设函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝xf ′(x )，x ≥0，其中f ′(x )是f (x )的导函数． (1)令g 1(x )＝g (x )，g n ＋1(x )＝g (g n (x ))，n ∈N ＋，求g n (x )的表达式； (2)若f (x )≥ag (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(3)设n ∈N ＋，比较g (1)＋g (2)＋…＋g (n )与n －f (n )的大小，并加以证明．21．解：由题设得，g (x )＝x1＋x (x ≥0)．(1)由已知，g 1(x )＝x 1＋x， g 2(x )＝g (g 1(x ))＝x 1＋x 1＋x 1＋x ＝x1＋2x ，g 3(x )＝x 1＋3x ，…，可得g n (x )＝x 1＋nx. 下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，g 1(x )＝x1＋x ，结论成立．②假设n ＝k 时结论成立，即g k (x )＝x1＋kx.那么，当n ＝k ＋1时，g k ＋1(x )＝g (g k (x ))＝g k （x ）1＋g k （x ）＝x 1＋kx 1＋x 1＋kx ＝x1＋（k ＋1）x ，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．(2)已知f (x )≥ag (x )恒成立，即ln(1＋x )≥ax1＋x恒成立． 设φ(x )＝ln(1＋x )－ax1＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝11＋x －a（1＋x ）2＝x ＋1－a （1＋x ）2， 当a ≤1时，φ′(x )≥0(仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)， ∴φ(x )在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0， ∴φ(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a ≤1时，ln(1＋x )≥ax1＋x 恒成立(仅当x ＝0时等号成立)．当a >1时，对x ∈(0，a －1]有φ′(x )<0， ∴φ(x )在(0，a －1]上单调递减， ∴φ(a －1)<φ(0)＝0.即a >1时，存在x >0，使φ(x )<0，故知ln(1＋x )≥ax1＋x不恒成立． 综上可知，a 的取值范围是(－∞，1]．(3)由题设知g (1)＋g (2)＋…＋g (n )＝12＋23＋…＋nn ＋1，比较结果为g (1)＋g (2)＋…＋g (n )>n －ln(n ＋1)．证明如下：方法一：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x1＋x，x >0. 令x ＝1n ，n ∈N ＋，则1n ＋1<ln n ＋1n .下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，12<ln 2，结论成立．②假设当n ＝k 时结论成立，即12＋13＋…＋1k ＋1<ln(k ＋1)．那么，当n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋1k ＋1＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋ln k ＋2k ＋1＝ln(k＋2)，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．方法二：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x1＋x，x >0. 令x ＝1n ，n ∈N ＋，则ln n ＋1n >1n ＋1.故有ln 2－ln 1>12，ln 3－ln 2>13，……ln(n ＋1)－ln n >1n ＋1，上述各式相加可得ln(n ＋1)>12＋13＋…＋1n ＋1，结论得证．方法三：如图，⎠⎛0n x x ＋1d x 是由曲线y ＝xx ＋1，x ＝n 及x 轴所围成的曲边梯形的面积，而12＋23＋…＋nn ＋1是图中所示各矩形的面积和，∴12＋23＋…＋n n ＋1>⎠⎛0n x x ＋1d x ＝ ⎠⎛0n⎝⎛⎭⎫1－1x ＋1d x ＝n －ln (n ＋1)， 结论得证．E9 单元综合16．、[辽宁卷] 对于c >0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，3a －4b ＋5c的最小值为________．16．－2 [解析] 由题知2c ＝－(2a ＋b )2＋3(4a 2＋3b 2)．(4a 2＋3b 2)⎝⎛⎭⎫1＋13≥(2a ＋b )2⇔4a 2＋3b 2≥34(2a ＋b )2，即2c ≥54(2a ＋b )2， 当且仅当4a 21＝3b213，即2a ＝3b ＝6λ(同号)时，|2a ＋b |取得最大值85c ，此时c ＝40λ2.3a －4b ＋5c ＝18λ2－1λ＝18⎝⎛⎭⎫1λ－42－2≥－2， 当且仅当a ＝34，b ＝12，c ＝52时，3a －4b ＋5c取最小值－2.12．、[辽宁卷] 已知定义在[0，1]上的函数f (x )满足： ①f (0)＝f (1)＝0；②对所有x ，y ∈[0，1]，且x ≠y ，有|f (x )－f (y )|<12|x －y |.若对所有x ，y ∈[0，1]，|f (x )－f (y )|<k 恒成立，则k 的最小值为( ) A.12 B.14 C.12πD.18 12．B [解析] 不妨设0≤y <x ≤1.当x －y ≤12时，|f (x )－f (y )|<12|x －y |＝12(x －y )≤14.当x －y >12时，|f (x )－f (y )|＝|f (x )－f (1)－(f (y )－f (0))|≤|f (x )－f (1)|＋|f (y )－f (0)|<12|x －1|＋12|y －0|＝－12(x －y )＋12<14.故k min ＝14.3．[天津卷] 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．53．B [解析] 画出可行域，如图所示．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即点A (1，1)．当目标函数线过可行域内min ＝1×1＋2×1＝3. 16．[广州七校联考] 不等式|x ＋2|＋|x －1|≤5的解集为________．16．[－3，2] [解析] 根据绝对值的几何意义，得不等式的解集为－3≤x ≤2.4．[安徽六校联考] 若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1xy≥M 恒成立，则M 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．A [解析] ∵x ＋y ≥2xy ，且x ＋y ＝2，∴2≥2xy ，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立，∴xy ≤1，∴1xy≥1，∴1≥M ，∴M max ＝1.7．[福建宁德期末] 已知关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，则x 1＋x 2＋ax 1x 2的最小值是( )A.63B.23 3C.43 3D.236 7．C [解析] 由题知x 1＋x 2＝4a ，x 1x 2＝3a 2，∴x 1＋x 2＋a x 1x 2＝4a ＋13a ≥2 43＝4 33，当且仅当a ＝36时，等号成立．6．[长沙模拟] 若f (x )为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增，f (2)＝0，则f （x ）－f （－x ）x＞0的解集是( )A ．(－2，0)∪(0，2)B ．(－∞，－2)∪(0，2)C ．(－2，0)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)6．D [解析] 因为f (x )为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )在区间(－∞，0)上单调递增．又f (－x )＝－f (x )，所以f （x ）－f （－x ）x >0等价于2f （x ）x>0.根据题设作出f (x )的大致图像如图所示．由图可知，2f （x ）x>0的解集是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．13．[浙江六市六校联考] 已知正数x ，y 满足x ＋y ＋1x ＋9y＝10，则x ＋y 的最大值为________．13．8 [解析] ∵1x ＋9y ＝10－(x ＋y )，∴(x ＋y )1x ＋9y ＝10(x ＋y )－(x ＋y )2.又(x ＋y )1x ＋9y＝10＋9x y ＋yx≥10＋6＝16，∴10(x ＋y )－(x ＋y )2≥16，即(x ＋y )2－10(x ＋y )＋16≤0，∴2≤x ＋y ≤8，∴x ＋y 的最大值为8.。

2013年高考数学（文）解析分类汇编6：不等式一、选择题1 ．（2013年高考四川卷（文8））若变量,x y 满足约束条件8,24,0,0,x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩且5z y x =-的最大值为a ,最小值为b ,则a b -的值是（）A ．48B ．30C ．24D ．16【答案】C【解析】条件8,24,0,0,x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩表示以(0,0)、(0,2)、(4,4)、(8,0)为顶点的四边形区域，检验四顶点可知，当4=x ，4=y 时，16445max =-⨯==z a ，当8=x ，0=y 时，8805min -=-⨯==b ，所以24=-b a ，选C.2 ．（2013年高考福建卷（文））若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+012y x y x ,则y x z +=2的最大值和最小值分别为 （）A ．4和3B ．4和2C ．3和2D ．2和0 【答案】B【解析】本题考查的简单线性规划．如图，可知目标函数最大值和最小值分别为4和2．3 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文3）） 设,x y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值是（ ）（A ）7- （B ）6- （C ）5- （D ）3- 【答案】B【解析】由z=2x-3y 得3y=2x-z ，即233zy x =-。

作出可行域如图,平移直线233z y x =-，由图象可知当直线233z y x =-经过点B 时，直线233zy x =-的截距最大，此时z 取得最小值，由103x y x -+=⎧⎨=⎩得34x y =⎧⎨=⎩，即(3,4)B ,代入直线z=2x-3y 得32346z =⨯-⨯=-，选B.4 ．（2013年高考福建卷（文））若122=+y x ,则y x +的取值范围是（） A ．]2,0[B ．]0,2[-C ．),2[+∞-D ．]2,(--∞【答案】D【解析】本题考查的是均值不等式．因为y x y x222221⋅≥+=，即222-+≤y x ，所以2-≤+y x ，当且仅当yx 22=，即y x =时取等号．5 ．（2013年高考江西卷（文6））下列选项中,使不等式x<1x<2x 成立的x 的取值范围是 （） A ．(,-1)B ．(-1,0)C ．0,1)D ．(1,+)【答案】A【解析】本题考查不等式的解法。