高考真题理科数学解析分类汇编8不等式

全国高考数学分类解析——不等式1.（安徽理科第4题）设变量,x y 满足1,x y +≤则2x y +的最大值和最小值分别为（ ）（Ａ）１，－１ （Ｂ）２，－２ （Ｃ）１，－２ （Ｄ）２，－１ 答案：B解：1≤+y x 是由点)1,0(),1,0(),0,1(),0,1(--四点为顶点的正方形及其内部，当直线y x z 2+=经过)1,0(),1,0(-时，z 分别取到最大值和最小值2和2-。

（本小题满分12分） 2.(安徽理科第19题） （Ⅰ）设1,1,x y ≥≥证明 xy yx xy y x ++≤++111 (Ⅱ）1a b c ≤≤≤，证明log log log log log log a b c b c a b c a a b c ++≤++.解：（1）不等式等价于证明22221y x x y xy y x ++≤++ 而)]1)([()1()()1(222222xy y x y x xy y x y x y x -++-=--++-)1)(1())(1()1)(1(y x xy xy y x xy xy xy -+--=+--+-=)1)(1)(1(---=y x xy ，当1,1≥≥y x 时，此式大于等于零。

所以原不等式成立。

(2)令c y b x b a log ,log ==，由已知条件c b a ≤≤≤1得，1,1≥≥y x 则有xya b a b c c 1log log log =⋅=，由(1)中的证明可得：不等式成立3.（安徽文科第6题）设变量x,y 满足,x y 1x y 1x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥0⎩,则x y +2的最大值和最小值分别为（ ）说明：若对数据适当的预处理，可避免对大数字进行运算.（A ） 1，-1 (B) 2，-2 (C ) 1，-2 (D)2，-1[（6）B 【命题意图】本题考查线性目标函数在线性约束条件下的最大值与最小值问题.属中等难度题.【解析】1,1,0x y x y x +=-==三条直线的交点分别为（0,1），（0，－1），（1,0），分别代入x y +2，得最大值为2，最小值为－2.故选B. 4.（安徽文科13题）函数216y x x=--的定义域是 .(13)（－3,2）【命题意图】本题考查函数的定义域，考查一元二次不等式的解法. 【解析】由260x x -->可得260x x +-<，即()()+320x x -<，所以32x -<<. 5.（北京理科第8题）设()0,0A ,()4,0B ，()4,4C t +,()(),4D t t R ∈.记()N t 为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数()N t 的值域为（ ）（A ）{}9,10,11 （B ）{}9,10,12 （C ）{}9,11,12 （D ）{}10,11,12解：分别作直线3,2,1===y y y 夹在平行四边形内部的整点个数，在三条直线上其横坐标的取值范围分别是)443,43(),442,42(),44,4(+++tt t t t t当R t ∈时，考虑把t 按照34,24,14,4+=+=+==k t k t k t k t 及在期区间上取值进行分类讨论：（1）当k t 4=时，在每条直线上均有三个整点，共9个整点；（2）当14+=k t 时，在每条直线上均有4个整点，共12个整点；（3）当24+=k t 时，在直线3,1==y y 上均有4个整点，在直线2=y 上有3个整点，共11个整点。

2022届全国高考数学真题分类（不等式）汇编一、选择题1.（2022∙全国甲（文）T12） 已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（ ）A. 0a b >>B. 0a b >>C. 0b a >>D. 0b a >>2.（2022∙全国甲（理）T12） 已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则（ ） A. c b a >> B. b a c >> C. a b c >> D. a c b >>3.（2022∙新高考Ⅰ卷T7）设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，，则（ ）A. a b c <<B. c b a <<C. c a b <<D.a cb <<4.（2022∙新高考Ⅱ卷T12） 对任意x ，y ，221+-=x y xy ，则（ ）A. 1x y +≤B. 2x y +≥-C. 222x y +≤D. 221x y +≥参考答案一、选择题1. 【答案】A【答案解析】【名师分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知9log 101m =>，再利用基本不等式，换底公式可得lg11m >，8log 9m >，然后由指数函数的单调性即可解出．【答案详解】由910m =可得9lg10log 101lg 9m ==>，而()222lg 9lg11lg 99lg 9lg111lg1022+⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg10lg11lg 9lg10>，即lg11m >，所以lg11101110110m a =->-=． 又()222lg8lg10lg80lg8lg10lg 922+⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg 9lg10lg8lg 9>，即8log 9m >， 所以8log 989890m b =-<-=．综上，0a b >>．故选：A.2. 【答案】A【答案解析】 【名师分析】由14tan 4c b =结合三角函数的性质可得c b >；构造函数21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞，利用导数可得b a >，即可得解. 【答案详解】因为14tan 4c b =,因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭ 所以11tan 44>,即1c b >,所以c b >； 设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞， ()sin 0f x x x '=-+>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增， 则1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,所以131cos 0432->， 所以b a >,所以c b a >>，故选：A3. 【答案】C【答案解析】【名师分析】构造函数()ln(1)f x x x =+-， 导数判断其单调性，由此确定,,a b c 大小.【答案详解】设()ln(1)(1)f x x x x =+->-，因为1()111x f x x x'=-=-++， 当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，当,()0x ∈+∞时()0f x '<，所以函数()ln(1)f x x x =+-在(0,)+∞单调递减，在(1,0)-上单调递增， 所以1((0)09f f <=，所以101ln 099-<，故110ln ln 0.999>=-，即b c >， 所以1((0)010f f -<=，所以91ln +01010<，故1109e 10-<，所以11011e 109<， 故a b <，设()e ln(1)(01)xg x x x x =+-<<，则()()21e 11()+1e 11x x x g x x x x -+'=+=--, 令2()e (1)+1x h x x =-，2()e (21)x h x x x '=+-，当01x <<-时，()0h x '<，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递减，11x <<时，()0h x '>，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递增， 又(0)0h =，所以当01x <<时，()0h x <，所以当01x <<时，()0g x '>，函数()e ln(1)x g x x x =+-单调递增， 所以(0.1)(0)0g g >=，即0.10.1e ln 0.9>-，所以a c >故选：C.4. 【答案】BC【答案解析】【名师分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假． 【答案详解】因为22222a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭（,a b ÎR ），由221+-=x y xy 可变形为，()221332x y x y xy +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，解得22x y -≤+≤，当且仅当1x y ==-时，2x y +=-，当且仅当1x y ==时，2x y +=，所以A 错误，B 正确；由221+-=x y xy 可变形为()222212x y x y xy ++-=≤，解得222x y +≤，当且仅当的1x y ==±时取等号，所以C 正确；因为221+-=x y xy 变形可得223124y x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，设cos ,sin 22y x y θθ-==，所以cos ,x y θθθ==，因此2222511cos sin cos 12cos 2333x y θθθθ=θ-θ+=+++ 42π2sin 2,23363θ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以当,33x y ==-时满足等式，但是221x y +≥不成立，所以D 错误．故选：BC ．。

2021（高|考）真题分类汇编：不等式1.【2021（高|考）真题重庆理2】不等式0121≤+-x x 的解集为 A.⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,21 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21 C.[)+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,121. D.[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,121, 对【答案】A【解析】原不等式等价于0)12)(1(<+-x x 或01=-x ,即121<<-x 或1=x ,所以不等式的解为121≤<-x ,选A. 2.【2021（高|考）真题浙江理9】设a 大于0 ,b 大于0.2a +2a =2b 2a +2a =2b +3b ,那么a ＞b 2a -2a =2b -2a -2a =a b -3b ,那么a ＜b 【答案】A【解析】假设2223a b a b +=+ ,必有2222a b a b +>+．构造函数：()22x f x x =+ ,那么()2ln 220x f x '=⋅+>恒成立 ,故有函数()22x f x x =+在x ＞0上单调递增 ,即a ＞b 成立．其余选项用同样方法排除．应选A3.【2021（高|考）真题四川理9】某公司生产甲、乙两种桶装产品 .生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克 ,B 原料1千克 .每桶甲产品的利润是300元 ,每桶乙产品的利润是400元 .公司在生产这两种产品的方案中 ,要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克 .通过合理安排生产方案 ,从每天生产的甲、乙两种产品中 ,公司共可获得的最|大利润是 ( )A 、1800元B 、2400元C 、2800元D 、3100元【答案】C.【解析】设生产x 桶甲产品 ,y 桶乙产品 ,总利润为Z ,那么约束条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>≤+≤+00122122y x y x y x ,目标函数为300400Z x y =+ ,可行域为 ,当目标函数直线经过点M 时z 有最|大值 ,联立方程组⎩⎨⎧=+=+122122y x y x 得)4,4(M ,代入目标函数得2800=z ,应选C.4.【2021（高|考）真题山东理5】变量,x y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩,那么目标函数3z x y =-的取值范围是(A )3[,6]2- (B )3[,1]2-- (C )[1,6]- (D )3[6,]2-【答案】A【解析】做出不等式所表示的区域如图 ,由y x z -=3得z x y -=3 ,平移直线x y 3= ,由图象可知当直线经过点)0,2(E 时 ,直线z x y -=3的截距最|小 ,此时z 最|大为63=-=y x z ,当直线经过C 点时 ,直线截距最|大 ,此时z 最|小 ,由⎩⎨⎧=+-=-4214y x y x ,解得⎪⎩⎪⎨⎧==321y x ,此时233233-=-=-=y x z ,所以y x z -=3的取值范围是]6,23[-,选A. 5.【2021（高|考）真题辽宁理8】设变量x ,y 满足,15020010⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+≤≤-y y x y x 那么y x 32+的最|大值为(A) 20 (B) 35 (C) 45 (D) 55 【答案】D【解析】画出可行域 ,根据图形可知当x =5,y =15时2x +3y 最|大 ,最|大值为55 ,应选D 【点评】此题主要考查简单线性规划问题 ,难度适中 .该类题通常可以先作图 ,找到最|优解求出最|值 ,也可以直接求出可行域的顶点坐标 ,代入目标函数进行验证确定出最|值 .6.【2021（高|考）真题广东理5】变量x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤112y x y x y ,那么z =3x +y 的最|大值为A.12B.11C.3D. -1 【答案】B【解析】画约束区域如下图 ,令0=z 得x y 3-= ,化目标函数为斜截式方程z x y +-=3得 ,当2,3==y x 时 ,11max =z ,应选B .7.【2021（高|考）真题福建理5】以下不等式一定成立的是 A.B.C.D.【答案】Ｃ.【解析】此类题目多项选择用筛选法 ,对于Ａ当41=x 时 ,两边相等 ,故Ａ错误；对于Ｂ具有根本不等式的形式 ,但是x sin 不一定大于零 ,故Ｂ错误；对于Ｃ ,0)1(012||21222≥±⇔≥+±⇔≥+x x x x x ,显然成立；对于Ｄ任意x 都不成立．应选Ｃ．8.【2021（高|考）真题江西理8】某农户方案种植黄瓜和韭菜 ,种植面积不超过50计 ,投入资金不超过54万元 ,假设种植黄瓜和韭菜的产量、本钱和售价如下表 年产量/亩 年种植本钱/亩 每吨售价 黄瓜 4吨 韭菜 6吨为使一年的种植总利润 (总利润 =总销售收入减去总种植本钱 )最|大 ,那么黄瓜和韭菜的种植面积 (单位：亩 )分别为A ．50 ,0B ．30 ,20C ．20 ,30D ．0 ,50 【答案】B【命题立意】此题考查函数的简单应用 ,以及简单的线性规划问题 .【解析】设黄瓜的种植面积为x ,韭菜的种植面积为y ,那么有题意知⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+0,549.02.150y x y x y x ,即⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+0,1803450y x y x y x ,目标函数y x y x y x z 1099.02.163.0455.0+=--⨯+⨯= ,作出可行域如图,由图象可知当直线经过点E 时 ,直线z x y 910910+-=的解决最|大 ,此时z 取得最|大值 ,由⎩⎨⎧=+=+1803450y x y x ,解得⎩⎨⎧==2030y x ,选B.9.【2021（高|考）真题湖北理6】设,,,,,a b c x y z 是正数 ,且22210a b c ++= ,22240x y z ++= ,20ax by cz ++= ,那么a b cx y z++=++A ．14B ．13C ．12D ．34【答案】C【解析】由于222222)())((2cz by ax z y x c b a ++≥++++等号成立当且仅当,t zcy b x a ===那么a =t x b =t y c =t z ,10)(2222=++z y x t 所以由题知2/1=t ,又2/1,==++++++++===t zy x cb a z y xc b a z c y b x a 所以 ,答案选C. 10.【2021（高|考）真题福建理9】假设函数y =2x 图像上存在点 (x ,y )满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥--≤-+m x y x y x 03203 ,那么实数m 的最|大值为A ．12 B.1 C. 32【答案】Ｂ．【解析】如图当直线m x =经过函数xy 2=的图像与直线03=-+y x 的交点时 ,函数x y 2=的图像仅有一个点在可行域内 ,有方程组⎩⎨⎧=-+=032y x y x得1=x ,所以1≤m ,应选Ｂ． 11.【2021（高|考）真题山东理13】假设不等式42kx -≤的解集为{}13x x ≤≤ ,那么实数k =__________. 【答案】2=k【解析】由2|4|≤-kx 可得62≤≤kx ,所以321≤≤x k ,所以12=k,故2=k . 12.【2021（高|考）真题安徽理11】假设,x y 满足约束条件：02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩；那么x y -的取值范围为_____． 【答案】[3,0]-【命题立意】此题考查线性规划知识 ,会求目标函数的范围 .【解析】约束条件对应ABC ∆边际及内的区域：3(0,3),(0,),(1,1)2A B C ,那么[3,0]t x y =-∈- .13.【2021（高|考）真题全国卷理13】假设x ,y 满足约束条件那么z =3x -y 的最|小值为_________.【答案】1-【解析】做出做出不等式所表示的区域如图,由y x z -=3得z x y -=3 ,平移直线x y 3= ,由图象可知当直线经过点)1,0(C 时 ,直线z x y -=3的截距最| 大 ,此时z 最|小,最|小值为1-3=-=y x z .14.【2021（高|考）江苏13】 (5分 )函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞， ,假设关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +， ,那么实数c 的值为 ▲ ． 【答案】9 .【考点】函数的值域 ,不等式的解集 .【解析】由值域为[0)+∞， ,当2=0x ax b ++时有240a b =-= ,即24a b =, ∴2222()42a a f x x ax b x ax x ⎛⎫=++=++=+ ⎪⎝⎭. ∴2()2a f x x c ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭解得2a c x c -<+< ,22a a c x c --<<- .∵不等式()f x c <的解集为(6)m m +， ,∴()()2622aa c c c ----== ,解得9c = .15.【2021（高|考）江苏14】 (5分 )正数a b c ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，那么ba的取值范围是 ▲ ． 【答案】[] 7e ，. 【考点】可行域 .【解析】条件4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，可化为：354a c a b c c a bc cb e c⎧⋅+≥⎪⎪⎪+≤⎨⎪⎪⎪≥⎩ . 设==a bx y c c， ,那么题目转化为： x y ，满足35400xx y x y y e x >y >+≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪⎩， ,求y x 的取值范围 . 作出 (x y ， )所在平面区域 (如图 ) .求出=x y e 的切 线的斜率e ,设过切点()00P x y ，的切线为()=0y ex m m +≥ , 那么00000==y ex m me x x x ++,要使它最|小 ,须=0m . ∴yx的最|小值在()00P x y ，处 ,为e .此时 ,点()00P x y ，在=x y e 上,A B 之间 . 当 (x y ， )对应点C 时 , =45=205=7=7=534=2012y x y x yy x y x y xx --⎧⎧⇒⇒⇒⎨⎨--⎩⎩ , ∴yx的最|大值在C 处 ,为7 . ∴y x 的取值范围为[] 7e ，,即ba的取值范围是[] 7e ， . 16.【2021（高|考）真题浙江理17】设a ∈R ,假设x ＞0时均有[(a －1)x －1]( x 2－ax －1)≥0 ,那么a ＝______________．【答案】a =【解析】此题按照一般思路 ,那么可分为一下两种情况： (A )2(1)1010a x x ax ≤⎧⎨≤⎩－－－－ , 无解； (B )2(1)1010a x x ax ≥⎧⎨≥⎩－－－－ , 无解． 因为受到经验的影响 ,会认为此题可能是错题或者解不出此题．其实在x ＞0的整个区间上 ,我们可以将其分成两个区间(为什么是两个 ?) ,在各自的区间内恒正或恒负．(如下答图)我们知道：函数y 1＝(a －1)x －1 ,y 2＝x 2－ax －1都过定点P (0 ,1)． 考查函数y 1＝(a －1)x －1：令y ＝0 ,得M (11a - ,0) ,还可分析得：a ＞1； 考查函数y 2＝x 2－ax －1：显然过点M (11a - ,0) ,代入得：211011a a a ⎛⎫--= ⎪--⎝⎭ ,解之得：2a =± ,舍去2a =- ,得答案：2a =．17.【2021（高|考）真题新课标理14】 设,x y 满足约束条件：,013x y x y x y ≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩；那么2z x y=-的取值范围为 【答案】]3,3[-【解析】做出不等式所表示的区域如图 ,由y x z 2-=得z x y 2121-=,平移直线x y 21= ,由图象可知当直线经过点)0,3(D 时 ,直线z x y 2121-=的截距最|小 ,此时z 最|大为32=-=y x z ,当直线经过B 点时 ,直线截距最|大 ,此时z 最|小 ,由⎩⎨⎧=+-=-31y x y x ,解得⎩⎨⎧==21y x ,即)2,1(B ,此时3412-=-=-=y x z ,所以33≤≤-z ,即z 的取值范围是]3,3[-.。

2012 高考真题分类汇编：不等式x 1【2012 高考真题重庆理2】不等式02x 1的解集为1 A. ,121B. ,121 1C. . 1,D. , 1, 对2 2【答案】 A1【解析】原不等式等价于( x 1)(2x 1) 0或x 1 0，即x 1 或x 1，所以不21等式的解为 1x ，选 A.21.【2012 高考真题浙江理9】设a 大于0，b 大于0.A.若2a+2a=2b+3b，则a＞b B.若2a+2a=2b+3b，则a＞ba b- a bC.若2 -2a=2 3b，则a＞bD.若2 -2a=a -3b，则a＜b【答案】 Aa ab b ，必有 2 2 2 2 xa ab b ．构造函数： 2 2【解析】若 2 2 2 3 f x x ，则x xf x 2 l n 2 2 恒0 成立，故有函数 f x 2 2x 在x＞0 上单调递增，即a＞b 成立．其余选项用同样方法排除．故选 A2.【2012 高考真题四川理9】某公司生产甲、乙两种桶装产品。

已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、 B 原料 2 千克；生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克， B 原料 1 千克。

每桶甲产品的利润是300 元，每桶乙产品的利润是400 元。

公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗 A 、B 原料都不超过12 千克。

通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（）A、1800 元B、2400 元C、2800 元D、3100 元【答案】 C.【解析】设生产x桶甲产品，y 桶乙产品，总利润为Z，则约束条件为x2xx2yy1212，目标函数为Z 300 x400 y ，y 0第1 页共10 页可行域为，当目标函数直线经过点M 时z 有最大值，联立方程组x2x2 yy1212得M ( 4,4) ，代入目标函数得z 2800 ，故选 C.x 2y 23.【2012 高考真题山东理5】已知变量x, y满足约束条件2x y 4，则目标函数4x y 1z 3x y 的取值范围是（A）3[ ,6]2（B）3[ , 1]2（C）[ 1,6] （D）3 [ 6, ]2【答案】 A【解析】做出不等式所表示的区域如图，由z 3x y 得y 3x z，平移直线y 3x ，由图象可知当直线经过点E( 2,0) 时，直线y 3x z的截距最小，此时z 最大为z 3x y 6，当直线经过 C 点时，直线截距最大，此时z最小，第2 页共10 页由4x2xyy 41，解得xy123，此时3 3z 3x y 3 ，所以z 3x y 的取值范2 23围是[ ,6] ，选 A.2x y 104.【2012 高考真题辽宁理8】设变量x，y 满足0 x y 20,则2x 3y 的最大值为0 y 15(A) 20 (B) 35 (C) 45 (D) 55【答案】 D【解析】画出可行域，根据图形可知当x=5,y=15 时2x+3y 最大，最大值为55，故选 D【点评】本题主要考查简单线性规划问题，难度适中。

2012年高考真题理科数学解析汇编：不等式一、选择题 1．（2012年高考（重庆理））设平面点集{}221(,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x y B x y x y x ⎧⎫=--≥=-+-≤⎨⎬⎩⎭,则A B 所表示的平面图形的面积为（ ） A ．34πB ．35πC ．47πD ．2π2 ．（2012年高考（重庆理））不等式0121≤+-x x 的解集为（ ） A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,21B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21C ．[)+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,121.D ．[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,121,3 ．（2012年高考（四川理））某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B 原料2千克;生产乙产品1桶需耗A 原料2千克,B 原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是（ ） A ．1800元B ．2400元C ．2800元D ．3100元4 ．（2012年高考（山东理））已知变量,x y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩,则目标函数3z x y =-的取值范围是（ ）A ．3[,6]2-B ．3[,1]2--C ．[1,6]-D ．3[6,]2- 5 ．（2012年高考（辽宁理））若[0,)x ∈+∞,则下列不等式恒成立的是（ ）A ．21xe x x ++…B211124x x <-+C ．21cos 12x x -…D ．21ln(1)8x x x +-… 6 ．（2012年高考（辽宁理））设变量x,y 满足,15020010⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+≤≤-y y x y x 则y x 32+的最大值为（ ）A ．20B ．35C ．45D ．557 ．（2012年高考（江西理））某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元 韭菜 6吨 0.9万元 0.3万元为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为（ ） A ．50,0B ．30.0C ．20,30D ．0,508 ．（2012年高考（湖北理））设,,,,,a b c x y z 是正数,且22210a b c ++=,22240x y z ++=,20ax by cz ++=,则a b cx y z++=++（ ）A ．14B ．13C ．12D ．349 ．（2012年高考（广东理））已知变量x 、y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩,则3z x y =+的最大值为（ ）A ．12B ．11C ．3D ．1-10．（2012年高考（福建理））若函数2xy =图像上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m+-≤⎧⎪⎪--≤⎨⎪≥⎪⎩,则实数m 的最大值为（ ） A ．12B ．1C ．32D ．2 11．（2012年高考（福建理））下列不等式一定成立的是（ ）A ．21lg()lg (0)4x x x +>>B ．1sin 2(,)sin x x k k Z xπ+≥≠∈ C ．212||()x x x R +≥∈D ．211()1x R x >∈+ 12．（2012年高考（大纲理））已知125ln ,log 2,x y z e π-===,则（ ）A ．x y z <<B ．z x y <<C ．z y x <<D ．y z x <<二、填空题13．（2012年高考（新课标理））设,x y 满足约束条件:,013x y x y x y ≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩;则2z x y =-的取值范围为_________14．（2012年高考（浙江理））设a ∈R,若x >0时均有[(a -1)x -1]( x 2-ax -1)≥0,则a =______________.15．（2012年高考（上海春））若不等式210x kx k -+->对(1,2)x ∈恒成立,则实数k 的取值范围是______.16．（2012年高考（陕西理））设函数ln ,0()21,0x x f x x x >⎧=⎨--≤⎩,D 是由x 轴和曲线()y f x =及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域,则2z x y =-在D 上的最大值为___________.17．（2012年高考（陕西理））观察下列不等式213122+< 231151233++<,222111712344+++<照此规律,第五个．．．不等式为________________________________________. 18．（2012年高考（江苏））已知正数a b c ，，满足:4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则ba的取值范围是____.19．（2012年高考（江苏））已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，,若关于x的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，,则实数c 的值为____.20．（2012年高考（大纲理））若,x y 满足约束条件1030330x y x y x y -+≥⎧⎪⎪+-≤⎨⎪+-≥⎪⎩,则3z x y =-的最小值为_________________.21．（2012年高考（安徽理））若,x y 满足约束条件:02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩;则x y -的取值范围为_____2012年高考真题理科数学解析汇编：不等式参考答案一、选择题 1.【答案】D【考点定位】本小题主要考查二元一次不等式(组)与平面区域,圆的方程等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,化归与转化思想,属于基础题. 2.【答案】A【解析】(1)(21)01101212210x x x x x x -+≤⎧-⎪≤⇒⇒<≤⎨++≠⎪⎩【考点定位】本题主要考查了分式不等式的解法,解题的关键是灵活运用不等式的性质,属于基础试题,属基本题. 3.[答案]C[解析]设公司每天生产甲种产品X 桶,乙种产品Y 桶,公司共可获得 利润为Z 元/天,则由已知,得 Z=300X+400Y且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+00122122Y X Y X Y X 画可行域如图所示,目标函数Z=300X+400Y 可变形为 Y=400zx 43+-这是随Z 变化的一族平行直线 解方程组⎩⎨⎧=+=+12y 2x 12y x 2⎩⎨⎧==∴4y 4x 即A(4,4) 280016001200max =+=∴Z [点评]解决线性规划题目的常规步骤:一列(列出约束条件)、二画(画出可行域)、三作(作目标函数变形式的平行线)、四求(求出最优解).4.【解析】做出不等式所表示的区域如图,由y x z -=3得z x y -=3,平移直线x y 3=,由图象可知当直线经过点)0,2(E 时,直线z x y -=3的截距最小,此时z 最大为63=-=y x z ,当直线经过C 点时,直线截距最大,此时z 最小,由⎩⎨⎧=+-=-4214y x y x ,解得⎪⎩⎪⎨⎧==321y x ,此时233233-=-=-=y x z ,所以y x z -=3的取值范围是]6,23[-,选A.5.【答案】C【解析】设2211()cos (1)cos 122f x x x x x =--=-+,则()()sin ,g x f x x x '==-+ 所以()cos 10g x x '=-+≥，所以当[0,)x ∈+∞时,()()()(0)0,g x g x f x g '==为增函数，所以≥ 同理21()(0)0cos (1)02f x f x x =∴--≥，≥，即21cos 12x x -…,故选C【点评】本题主要考查导数公式,以及利用导数,通过函数的单调性与最值来证明不等式,考查转化思想、推理论证能力、以及运算能力,难度较大. 6.【答案】D【解析】画出可行域,根据图形可知当x=5,y=15时2x +3y 最大,最大值为55,故选D 【点评】本题主要考查简单线性规划问题,难度适中.该类题通常可以先作图,找到最优解求出最值,也可以直接求出可行域的顶点坐标,代入目标函数进行验证确定出最值. 7.B 【解析】本题考查线性规划知识在实际问题中的应用,同时考查了数学建模的思想方法以及实践能力.设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x,y 亩,总利润为z 万元,则目标函数为(0.554 1.2)(0.360.9)0.9z x x y y x y =⨯-+⨯-=+.线性约束条件为50,1.20.954,0,0.x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩即50,43180,0,0.x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩作出不等式组50,43180,0,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩表示的可行域,易求得点()()()0,50,30,20, 0,45A B C .平移直线0.9z x y =+,可知当直线0.9z x y =+经过点()30,20B ,即30,20x y ==时,z 取得最大值,且max 48z =(万元).故选B.【点评】解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为:(1)审题——仔细阅读,明确有哪些限制条件,目标函数是什么? (2)转化——设元.写出约束条件和目标函数;(3)求解——关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系; (4)作答——就应用题提出的问题作出回答.体现考纲中要求会从实际问题中抽象出二元线性规划.来年需要注意简单的线性规划求最值问题.8.考点分析:本题主要考察了柯西不等式的使用以及其取等条件.解析:由于222222)())((2cz by ax z y x c b a ++≥++++等号成立当且仅当,t zcy b x a ===则a=t x b=t y c=t z ,10)(2222=++z y x t 所以由题知2/1=t 又2/1,==++++++++===t zy x c b a z y x c b a z c y b x a 所以,答案选C.9.解析:B.画出可行域,可知当代表直线过点A 时,取到最大值.联立21y y x =⎧⎨=-⎩,解得32x y =⎧⎨=⎩,所以3z x y =+的最大值为11. 10.【答案】B【解析】30x y +-=与2y x =的交点为(1,2),所以只有1m ≤才能符合条件,B 正确.【考点定位】本题主要考查一元一次不等式组表示平面区域,考查分析判断能力、逻辑推理能力和求解计算能力.11.【答案】C【解析】由基本不等式得212||()x x x R +≥∈,答案C 正确.【考点定位】此题主要考查基本不等式和均值不等式成立的条件和运用,考查综合运用能力,掌握基本不等式的相关内容是解本题的关键. 12.答案D【命题意图】本试题主要考查了对数、指数的比较大小的运用,采用中间值大小比较方法.【解析】ln ln 1e π>=,551log 2log 2<=,1212z e -==>=,故选答案D.二、填空题13.【解析】2z x y =-的取值范围为[3,3]-约束条件对应四边形OABC 边际及内的区域:(0,0),(0,1),(1,2),(3,0)O A B C 则2[3,3]z x y =-∈-14.【解析】本题按照一般思路,则可分为一下两种情况:(A )2(1)1010a x x ax ≤⎧⎨≤⎩－－－－, 无解;(B )2(1)1010a x x ax ≥⎧⎨≥⎩－－－－, 无解. 因为受到经验的影响,会认为本题可能是错题或者解不出本题.其实在x >0的整个区间上,我们可以将其分成两个区间(为什么是两个?),在各自的区间内恒正或恒负.(如下答图)我们知道:函数y 1=(a -1)x -1,y 2=x 2-ax -1都过定点P (0,—1). 考查函数y 1=(a -1)x -1:令y =0,得M (11a -,0),还可分析得:a >1; 考查函数y 2=x 2-ax -1:显然过点M (11a -,0),代入得:211011a a a ⎛⎫--= ⎪--⎝⎭,解之得:302a or =,舍去0a =,得答案:32a =. 【答案】32a =15.(,2]-∞16.解析:1,0()2,0x y f x x x ⎧>⎪'==⎨⎪-≤⎩,(1)1f '=,曲线()y f x =及该曲线在点(1,0)处的切线方程为1y x =-,围成的封闭区域为三角形,2z x y =-在点(0,1)-处取得最大值2.17.解析:第五个．．．不等式为2222211111111234566+++++< 18.【答案】[] 7e ，.【考点】可行域.【解析】条件4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，可化为:354a c a bc c a bc cb e c⎧⋅+≥⎪⎪⎪+≤⎨⎪⎪⎪≥⎩.设==a bx y c c，,则题目转化为: 已知x y ，满足35400x x y x y y e x >y >+≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪⎩，,求y x 的取值范围. 作出(x y ，)所在平面区域(如图).求出=x y e 的切线的斜率e ,设过切点()00P x y ，的切线为()=0y ex m m +≥, 则00000==y ex m m e x x x ++,要使它最小,须=0m . ∴yx的最小值在()00P x y ，处,为e .此时,点()00P x y ，在=x y e 上,A B 之间. 当(x y ，)对应点C 时, =45=205=7=7=534=2012y x y x yy x y x y xx --⎧⎧⇒⇒⇒⎨⎨--⎩⎩,∴yx 的最大值在C 处,为7. ∴y x 的取值范围为[] 7e ，,即b a的取值范围是[] 7e ，. 19.【答案】9.【考点】函数的值域,不等式的解集.【解析】由值域为[0)+∞，,当2=0x ax b ++时有240a b =-=V ,即24a b =, ∴2222()42a a f x x ax b x ax x ⎛⎫=++=++=+ ⎪⎝⎭.∴2()2a f x x c ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭解得2a x <+<,22a a x <<.∵不等式()f x c <的解集为(6)m m +，,∴)()622aa --==,解得9c =.20.答案:1-【命题意图】本试题考查了线性规划最优解的求解的运用.常规题型,只要正确作图,表示出区域,然后借助于直线平移法得到最值.【解析】做出不等式所表示的区域如图,由y x z -=3得z x y -=3,平移直线x y 3=,由图象可知当直线经过点)1,0(C 时,直线z x y -=3的截距最 大,此时z 最小,最小值为1-3=-=y x z .21.【解析】x y -的取值范围为_____[3,0]-约束条件对应ABC ∆边际及内的区域:3(0,3),(0,),(1,1)2A B C 则[3,0]t x y =-∈-。

一、选择题1.（2014 安徽理 5）x ，y 满足约束条件20220220x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩，若z y ax =-取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（）.A.12或1- B. 2或12C. 2或1D.2或1- 2.（2014 北京理 6）若,x y 满足20200x y kx y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为（ ）.A.2B.2-C.12 D.12- 3.（2014 广东理 3）若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ⎧⎪+=+⎨⎪-⎩且的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -=（）. A ．5B.6C.7 D. 84.（2014 湖北理 7）由不等式0020x y y x ⎧⎪⎨⎪--⎩确定的平面区域记为1Ω，不等式组12x y x y +⎧⎨+-⎩确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（）. A.18 B.14 C. 34 D.785.（2014 湖南理 8）某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（）.A.2p q+ B.()()1112p q ++- pq ()()111p q ++6.（2014 辽宁理 3）已知132a -=，21log 3b =，121log 3c =，则（）. A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>7.（2014 辽宁理 11）当[]2,1x ∈-时，不等式32430ax x x -++恒成立，则实数a 的取值范围是（）.A ．[]5,3--B ．96,8⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．[]6,2--D ．[]4,3-- 8.（2014 山东理 2）设集合{}[]{}12,2,0,2xA x xB y y x =-<==∈，则=B A （ ）.A. []0,2B.()1,3C.[)1,3D. ()1,4 9.（2014 山东理 5）已知实数y x ,满足()01xya a a <<<，则下列关系式恒成立的是（ ）. A.111122+>+y x B.()()22ln 1ln 1x y +>+ C.y x sin sin > D.33y x > 10.（2014 山东理 9）已知,x y 满足的约束条件10,230,x y x y --⎧⎨--⎩当目标函数()0,0z ax by a b =+>>在该约束条件下取得最小值22a b +的最小值为().A.5B.4D.211.（2014 四川理 1）已知集合{}220A x x x =--，集合B 为整数集，则A B =（）.A ．{}1,0,1,2-B ．{}2,1,0,1--C ．{}0,1D ．{}1,0- 12.（2014 四川理 4）若0a b >>，0c d <<，则一定有（）. A ．a b c d >B ．a b c d <C ．a b d c > D ．a b d c<13.（2014 天津理 2）设变量x ，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧⎪⎩-⎪-⎨则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）.A.2B.3C.4D.514.（2014 新课标1理 1）已知集合{}2230A x x x =--，{}22B x x =-<，则AB =（）.A.[]2,1--B.[)1,2-C.[]1,1-D. [)1,215.（2014 新课标1理9）不等式组124x y x y +⎧⎨-⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(),x y D ∀∈，22x y +-；2p ：(),x y D ∃∈，22x y +；3p ：(),x y D ∀∈，23x y +；4p ：(),x y D ∃∈，21x y +-.其中真命题是（）.A.2p ，3pB.1p ，2pC.1p ，4pD. 1p ，3p 16.（2014 新课标2理1）设集合{}0,1,2M =，{}2320x x x N -+=，则MN =（）.A.{}1B.{}2C.{}0,1D.{}1,217.（2014 新课标2理9）设,x y 满足约束条件70310350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩，则2z x y =-的最大值为（）.A.10B.8C.3D.218.（2014 浙江理1）设全集{}2U x x =∈N ，集合{}25A x x =∈N ，则UA =（）.A.∅B. {}2C. {}5D. {}2,519.（2014 重庆理 10）已知ABC △的内角,,A B C 满足()sin2sin A A B C +-+=()1sin 2C A B --+，面积S 满足12S ，记,,a b c 分别为,,A B C 所对的边，则下列不等式成立的是（）.A.()8bc b c +>B.()ab a b +> C.612abc D.1224abc二、填空题1.（2014 大纲理 14）设x ，y 满足约束条件02321x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪-⎩，则4z x y =+的最大值为.2.（2014 福建理 11）若变量y x ,满足约束条件102800x y x y x -+⎧⎪+-⎨⎪⎩，则y x z +=3的最小值为.3.（2014广东理 9）不等式125x x -++的解集为.4.（2014 湖南理 14）变量y x ,满足约束条件4y x x y y k ⎧⎪+⎨⎪⎩，且2z x y =+的最小值为6-，则k =________.5.（2014 辽宁理 16）对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=且使|2|a b +最大时，345a b c-+的最小值为.6.（2014 四川理 14）设m ∈R ，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB ⋅的最大值是.7.（2014 浙江理13）当实数,x y 满足240101x y x y x +-⎧⎪--⎨⎪⎩时，14ax y +恒成立，则实数a 的取值范围是________.三、解答题1.（2014 辽宁理 24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()211f x x x =-+-，()21681g x x x =-+，记()1f x 的解集为M ，()4g x 的解集为N . （1）求M ； （2）当x MN ∈时，证明：()()2214x f x x f x +⎡⎤⎣⎦.。

2016-2018年高考数学分类汇编：专题8不等式、线性规划目录全国1 (2)全国2 (3)全国3 (3)北京 (4)天津 (6)上海 (7)浙江 (7)江苏 (8)【2018 全国 1 卷理 13 文 14】若x ,y 满足约束条件 ⎨ x - y + 1 ≥ 0 .则 z =3x + 2 y 的最大值2016-2018 年高考数学分类汇编：专题 8 不等式、线性规划考纲解读细目 题号全国Ⅰ 文科 理科 14 13 全国Ⅱ 文科 理科 14 全国Ⅲ 北京文科 理科 文科 理科 15 11,12 8,12 天津 文科 理科 2 13 上海 文科 理科14 浙江 江苏 文科 理科 文\理12 13 2018 题型分值 填 填 5 5 填 5 填 填 选填 5 10 10 选 填 5 5 填 4 填 填 4 5 2017 题号题型分值 7 11,14 选 选填 5 5 5 选 5 5 13 4,13 4,13 选 填 选填 选填 5 5 10 10 13 2 填 选 5 5 3 填 44 8 选 填 4 52016 题号题型分值16 16 填 填 5 513 13 7 2 填 填 选 选 5 5 5 52 选 51 填 44 3,8 5,12,14 选 选 填 4 8 15考纲解读命题趋势不等式1.不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.2.一元二次不等式 (1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. (2)通过函数图像了解一元二次不等式与相应的 二次函数、一元二次方程的联系. (3)会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.3.二元一次不等式组与简单线性规划问题(1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. (2)了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等 式组. (3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决. 4.基本不等式(1)了解基本不等式的证明过程. (2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.以选择,填空,解答形式出现.线性规划难度属于中等,均值不等式偏难.重点线性规划区域的画法,线性规划求最值,均 值不等式求最值等内容.线性规划可能结合实际应用问题考查.均值不等式一般不单独命题,会结合函数,三角,数列,导 数等知识综合考查其应用.真题链接全国 1⎧ x - 2 y - 2 ≤ 0⎪ ⎪⎩y ≤ 0为。

（2008年-2020年）高考数学分类汇编全国1卷（理）--不等式一、选择填空题1（2008）函数y =的定义域为（）A ．{}|0x x ≥B ．{}|1x x ≥C ．{}{}|10x x ≥D ．{}|01x x ≤≤2(2010)（13x ≤1的解集是。

3（2014）9.不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥,3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是A .2p ，3PB .1p ，4pC .1p ，2pD .1p ，3P 二、解答题1（2011）(24)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲设函数()3f x x a x =-+,其中0a >。

（Ⅰ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集；（Ⅱ）若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤-，求a 的值。

2（2014）24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲若0,0a b >>，且11a b+=.（Ⅰ）求33a b +的最小值；（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由.3(2015)（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数f（x）=|x+1|-2|x-a|，a>0.（Ⅰ）当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；（Ⅱ）若f(x)的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围4（2016）（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数321)(--+=x x x f ．（Ⅰ）在答题卡第（24）题图中画出)(x f y =的图像；（Ⅱ）求不等式1)(>x f 的解集．5(2017)23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│.（1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集；（2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围.6(2018)23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）已知()|1||1|f x x ax =+--.（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围.xyO117(2019)23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明：（1）222111a b c a b c++≤++；（2）333()()()24a b b c c a +++≥++．8（2020）（多选）11.已知a>0，b>0,且a+b=1,则A.2212a b +≥B.122a b ->C.22log log 2a b +≥-2≤答案与解析：一、选择填空题1.C.由(1)x x x -≥≥0,0得0x x =≥1,或；2.解析:原不等式等价于2221(1),10x x x ⎧+≤+⎨+≥⎩解得0≤x≤2.3.B二、解答题1.【答案】（本小题满分10分）解：（Ⅰ）当1a =时，()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥。

2024年全国高考数学真题分类（不等式与不等关系）汇编一、单选题1．（2024ꞏ全国1卷）已知函数为()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（ ）A ．(10)100f >B ．(20)1000f >C ．(10)1000f <D ．(20)10000f <2．（2024ꞏ全国1卷）已知函数为22,0()e ln(1),0xx ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩，在R 上单调递增，则a 取值的范围是（ ） A ．(,0]-∞B ．[1,0]-C ．[1,1]-D ．[0,)+∞3．（2024ꞏ全国2卷）已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（ ） A ．p 和q 都是真命题 B ．p ⌝和q 都是真命题 C ．p 和q ⌝都是真命题D ．p ⌝和q ⌝都是真命题4．（2024ꞏ全国2卷）设函数()()ln()f x x a x b =++，若()0f x ≥，则22a b +的最小值为（ ）A ．18B ．14C ．12D ．15．（2024ꞏ全国甲卷文）若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（ ） A ．5B ．12C ．2-D ．72-6．（2024ꞏ北京）已知集合{|41}M x x =-<≤，{|13}N x x =-<<，则M N ⋃=（ ） A ．{}43x x -<< B ．{}11x x -<≤ C ．{}0,1,2D ．{}14x x -<<7．（2024ꞏ北京）记水的质量为1ln S d n-=，并且d 越大，水质量越好．若S 不变，且1 2.1d =，2 2.2d =，则1n 与2n 的关系为（ ） A ．12n n <B ．12n n >C ．若1S <，则12n n <；若1S >，则12n n >；D ．若1S <，则12n n >；若1S >，则12n n <；8．（2024ꞏ北京）已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =图象上不同的两点，则下列正确的是（ ）A ．12122log 22y y x x ++> B ．12122log 22y y x x ++< C ．12212log 2y y x x +>+ D ．12212log 2y y x x +<+ 9．（2024ꞏ天津）若0.30.34.24.2 4.2log 0.2a b c -===，，，则a b c ，，的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>二、填空题10．（2024ꞏ上海）已知,x ∈R 则不等式2230x x --<的解集为 ．三、解答题11．（2024ꞏ全国甲卷文）已知函数()()1ln 1f x a x x =--+． (1)求()f x 的单调区间；(2)若2a ≤时，证明：当1x >时，()1e xf x -<恒成立．12．（2024ꞏ全国甲卷理）已知函数()()()1ln 1f x ax x x =-+-． (1)当2a =-时，求()f x 的极值；(2)当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．参考答案1．B【详细分析】代入得到(1)1,(2)2f f ==，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.【答案解析】因为当3x <时()f x x =，所以(1)1,(2)2f f ==， 又因为()(1)(2)f x f x f x >-+-，则(3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5f f f f f f >+=>+>，(5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21f f f f f f f f f >+>>+>>+>， (8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,(10)(9)(8)89f f f f f f f f f >+>>+>>+>， (11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(11)377f f f f f f f f f >+>>+>>+> (14)(13)(12)610,(15)(14)(13)987f f f f f f >+>>+>，(16)(15)(14)15971000f f f >+>>，则依次下去可知(20)1000f >，则B 正确；且无证据表明ACD 一定正确. 故选：B.【名师点评】关键点名师点评：本题的关键是利用(1)1,(2)2f f ==，再利用题目所给的函数性质()(1)(2)f x f x f x >-+-，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可. 2．B【详细分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.【答案解析】因为()f x 在R 上单调递增，且0x ≥时，()()e ln 1xf x x =++单调递增，则需满足()02021e ln1aa -⎧-≥⎪⨯-⎨⎪-≤+⎩，解得10a -≤≤， 即a 的范围是[1,0]-. 故选：B. 3．B【详细分析】对于两个命题而言，可分别取=1x -、1x =，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.【答案解析】对于p 而言，取=1x -，则有101x +=<，故p 是假命题，p ⌝是真命题， 对于q 而言，取1x =，则有3311x x ===，故q 是真命题，q ⌝是假命题，综上，p ⌝和q 都是真命题. 故选：B. 4．C【详细分析】解法一：由题意可知：()f x 的定义域为(),b ∞-+，分类讨论a -与,1b b --的大小关系，结合符号详细分析判断，即可得1b a =+，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质详细分析ln()x b +的符号，进而可得x a +的符号，即可得1b a =+，代入可得最值. 【答案解析】解法一：由题意可知：()f x 的定义域为(),b ∞-+， 令0x a +=解得x a =-；令ln()0x b +=解得1x b =-； 若-≤-a b ，当(),1x b b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +>+<， 此时()0f x <，不合题意；若1b a b -<-<-，当(),1x a b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +>+<， 此时()0f x <，不合题意；若1a b -=-，当(),1x b b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +<+<，此时()0f x >； 当[)1,x b ∞∈-+时，可知()0,ln 0x a x b +≥+≥，此时()0f x ≥； 可知若1a b -=-，符合题意；若1a b ->-，当()1,x b a ∈--时，可知()0,ln 0x a x b ++， 此时()0f x <，不合题意； 综上所述：1a b -=-，即1b a =+，则()2222211112222a b a a a ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当11,22a b =-=时，等号成立，所以22a b +的最小值为12；解法二：由题意可知：()f x 的定义域为(),b ∞-+， 令0x a +=解得x a =-；令ln()0x b +=解得1x b =-；则当(),1x b b ∈--时，()ln 0x b +<，故0x a +≤，所以10b a -+≤；()1,x b ∞∈-+时，()ln 0x b +>，故0x a +≥，所以10b a -+≥；故10b a -+=， 则()2222211112222a b a a a ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当11,22a b =-=时，等号成立，所以22a b +的最小值为12. 故选：C.【名师点评】关键点名师点评：分别求0x a +=、ln()0x b +=的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性详细分析判断. 5．D【详细分析】画出可行域后，利用z 的几何意义计算即可得.【答案解析】实数,x y 满足43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，作出可行域如图：由5z x y =-可得1155y x z =-， 即z 的几何意义为1155y x z =-的截距的15-， 则该直线截距取最大值时，z 有最小值， 此时直线1155y x z =-过点A ， 联立43302690x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得321x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即3,12A ⎛⎫⎪⎝⎭， 则min 375122z =-⨯=-. 故选：D. 6．A【详细分析】直接根据并集含义即可得到答案. 【答案解析】由题意得()4,3M N ⋃=-，故选：A. 7．C【详细分析】根据题意详细分析可得12.1112.22e e S S n n --⎧=⎪⎨⎪=⎩，讨论S 与1的大小关系，结合指数函数单调性详细分析判断.【答案解析】由题意可得11221 2.1ln 1 2.2ln S d n S d n -⎧==⎪⎪⎨-⎪==⎪⎩，解得12.1112.22e e S S n n --⎧=⎪⎨⎪=⎩， 若1S >，则112.1 2.2S S -->，可得112.1 2.2e e S S -->，即12n n >； 若1S =，则1102.1 2.2S S --==，可得121n n ==； 若1S <，则112.1 2.2S S --<，可得112.1 2.2e e S S --<，即12n n <； 结合选项可知C 正确，ABD 错误； 故选：C. 8．A【详细分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式详细分析判断AB ；举例判断CD 即可.【答案解析】由题意不妨设12x x <，因为函数2x y =是增函数，所以12022x x <<，即120y y <<，对于选项AB：可得121222222x x x x ++>=，即12122202x x y y ++>>， 根据函数2log y x =是增函数，所以121212222log log 222x x y y x x+++>=，故A 正确，B 错误；对于选项C ：例如120,1x x ==，则121,2y y ==， 可得()12223log log 0,122y y +=∈，即12212log 12y y x x +<=+，故C 错误； 对于选项D ：例如121,2x x =-=-，则1211,24y y ==，可得()122223log log log 332,128y y +==-∈--，即12212log 32y y x x +>-=+，故D 错误， 故选：A.9．B【详细分析】利用指数函数和对数函数的单调性详细分析判断即可. 【答案解析】因为 4.2x y =在R 上递增，且0.300.3-<<， 所以0.300.30 4.2 4.2 4.2-<<<，所以0.30.30 4.21 4.2-<<<，即01a b <<<， 因为 4.2log y x =在(0,)+∞上递增，且00.21<<， 所以 4.2 4.2log 0.2log 10<=，即0c <， 所以b a c >>， 故选：B10．{}|13x x -<<【详细分析】求出方程2230x x --=的解后可求不等式的解集. 【答案解析】方程2230x x --=的解为=1x -或3x =， 故不等式2230x x --<的解集为{}|13x x -<<， 故答案为：{}|13x x -<<.11．(1)见答案解析 (2)见答案解析【详细分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性； （2）先根据题设条件将问题可转化成证明当1x >时，1e 21ln 0x x x --++>即可.【答案解析】（1）()f x 定义域为(0,)+∞，11()ax f x a x x'-=-= 当0a ≤时，1()0ax f x x-'=<，故()f x 在(0,)+∞上单调递减； 当0a >时，1,x a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减.综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；0a >时，()f x 在1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.（2）2a ≤，且1x >时，111e ()e (1)ln 1e 21ln x x x f x a x x x x ----=--+-≥-++，令1()e 21ln (1)x g x x x x -=-++>，下证()0g x >即可. 11()e 2x g x x -'=-+，再令()()h x g x '=，则121()e x h x x-'=-， 显然()h x '在(1,)+∞上递增，则0()(1)e 10h x h ''>=-=， 即()()g x h x ='在(1,)+∞上递增，故0()(1)e 210g x g ''>=-+=，即()g x 在(1,)+∞上单调递增， 故0()(1)e 21ln10g x g >=-++=，问题得证12．(1)极小值为0，无极大值. (2)12a ≤-【详细分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.（2）求出函数的二阶导数，就12a ≤-、102a -<<、0a ≥分类讨论后可得参数的取值范围.【答案解析】（1）当2a =-时，()(12)ln(1)f x x x x =++-，故121()2ln(1)12ln(1)111x f x x x x x+'=++-=+-+++， 因为12ln(1),11y x y x=+=-++在()1,∞-+上为增函数， 故()f x '在()1,∞-+上为增函数，而(0)0f '=， 故当10x -<<时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>， 故()f x 在0x =处取极小值且极小值为()00f =，无极大值.（2）()()()()11ln 11ln 1,011a x axf x a x a x x x x +-=-+'+-=-+->++， 设()()()1ln 1,01a x s x a x x x+=-+->+，则()()()()()()222111211111a a x a a ax a s x x x x x ++++-++=-=-=-+++'+， 当12a ≤-时，()0s x '>，故()s x 在()0,∞+上为增函数，故()()00s x s >=，即()0f x '>，所以()f x 在[)0,∞+上为增函数，故()()00f x f ≥=.当102a -<<时，当210a x a+<<-时，()0s x '<， 故()s x 在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上为减函数，故在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上()()0s x s <，即在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上()0f x '<即()f x 为减函数，故在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上()()00f x f <=，不合题意，舍.当0a ≥，此时()0s x '<在()0,∞+上恒成立，同理可得在()0,∞+上()()00f x f <=恒成立，不合题意，舍； 综上，12a ≤-.【名师点评】思路名师点评：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.。

第八部分 不等式（2012湖南卷文）7 . 设 a ＞b ＞1，0c < ，给出下列三个结论： ①c a ＞c b；② c a ＜cb ； ③ log ()log ()b a ac b c ->-， 其中所有的正确结论的序号是__.A ．① B.① ② C.② ③ D.① ②③ 【答案】D【解析】由不等式及a ＞b ＞1知11a b <，又0c <，所以c a ＞cb，①正确;由指数函数的图像与性质知②正确；由a ＞b ＞1，0c <知11a c b c c ->->->，由对数函数的图像与性质知③正确.1. (2012年福建卷理下列不等式一定成立的是（ ）A ．)0(lg )41lg(2>>+x x x B ．),(2sin 1sin Z k k x xx ∈≠≥+π C ．)(||212R x x x ∈≥+ D ．)(1112R x x ∈>+ 2. (2012年福建卷理若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203，则实数m 的最大值为（ ）A ．21B ．1C ．23D ．2（2012年广东卷理）5．已知变量,x y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为A ．12B ．11C ．3D ．-1(2012年安徽文)（8）若x ，y 满足约束条件 02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则y x z -=的最小值是（A ） -3 （B ）0 （C ） 32（D ）3 【解析】选A【解析】x y -的取值范围为_____[3,0]-约束条件对应ABC ∆边际及内的区域：3(0,3),(0,),(1,1)2A B C 则[3,0]t x y =-∈-（2012年山东卷文）(6)设变量,x y 满足约束条件22,24,41,x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩则目标函数3z x y =-的取值范围是(A)3[,6]2- (B)3[,1]2-- (C)[1,6]- (D)3[6,]2-（2012年广东卷理）9．不等式|2|||1x x +-≤的解集为___________． （2012年山东卷理）（13）若不等式的解集为，则实数k=__________。

浙江省高考数学试题（理）分类解析汇编专题6：不等式一、选择题1. （全国 理5分）不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是【 】 （A ）}10|{<≤x x （B ）0|{<x x 且}1-≠x （C ）}11|{<<-x x （D ）1|{<x x 且}1-≠x 【答案】D 。

【考点】解绝对值不等式。

【分析】因为是绝对值不等式需要去绝对值号才能求解，故需要用分类讨论的思想分2种情况分别求解即可：情况1：()()110010x x x <x ⎧+->⎪⇒≤⎨≥⎪⎩；情况2：()()110010x x x <x x <⎧++>⎪⇒≠-⎨⎪⎩且。

∴两种情况取并集得1|{<x x 且}1-≠x 。

故选D 。

2.（浙江 理5分）“a ＞b ＞0”是“a b ＜222b a +”的【 】(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不允分也不必要条件【答案】A 。

【考点】基本不等式，必要条件、充分条件与充要条件的判断。

【分析】a b ＜222b a +为基本的不等式，成立的充要条件为a ，b ∈R 且a ≠b ，因此由a ＞b ＞0能推出a b ＜222b a +；但反之不然。

故选A 。

3.（浙江 理5分）“1x >”是“2x x >”的【 】 Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件【答案】A 。

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断。

【分析】由2x x >可得1x >或0x <，∴1x >可得到2x x >，即1x >是2x x >的充分条件；但2x x >得不到1x >，即1x >不是2x x >的必要条件。

故选A 。

4.（浙江 理5分）已知a ，b 都是实数，那么“22a >b ”是“a >b ”的【 】A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】D 。

2012 高考真题分类汇编：不等式1.【2012 高考真题重庆理 2】不等式x 10 的解集为2x 1A. 1,1 B. 1,1 C. . 1 1,D. , 1 1,对22 22【答案】 A【解析】原不等式等价于 ( x 1)(2x 1) 0 或 x 1 0 ，即 1 1 或 x1 ，所以不x 1 2 x 1 ，选 A.等式的解为2 2.【2012 高考真题浙江理 9】设 a 大于 0， b 大于 0.A.若 2a +2a=2b +3b ，则 a ＞ bB.若 2a +2a=2b +3b ，则 a ＞ bC.若 a b - 3b ，则 a ＞ bD.若 a b 2 -2a=2 2 -2a=a -3b ，则 a＜ b 【答案】 A 【 解 析 】 若 2a2 a 2b 3 ， 必 有 2 a 2a b b2 ． 构 造 函 数 ： f x 2x 2x ，则 b 2 x 恒成立，故有函数 x 在 x ＞ 0 上单调递增， 即 a ＞ b 成立．其f x 2 2x f x 2 l n 2 2 0 余选项用同样方法排除．故选A 3.【 2012 高考真题四川理 9】某公司生产甲、乙两种桶装产品。

已知生产甲产品1 桶需耗A 原料 1 千克、B 原料 2 千克；生产乙产品1 桶需耗 A 原料2 千克， B 原料 1 千克。

每桶甲 产品的利润是 300 元，每桶乙产品的利润是 400 元。

公司在生产这两种产品的计划中， 要求 每天消耗 A 、 B 原料都不超过12 千克。

通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种 产品中，公司共可获得的最大利润是（） A 、1800 元 B 、2400 元 C 、 2800 元 D 、3100 元【答案】 C.【解析】设生产x 桶甲产品，y 桶乙产品，总利润为Z，x 2 y 122x y 12则约束条件为，目标函数为Z 300x 400 y ，x0y 0第 1 页共 10 页可行域为，当目标函数直线经过点 M 时 z 有最大值，x 2 y 12得 M (4,4) ，代入目标函数得 z 2800 ，故选 C.联立方程组y 12 2xx 2 y 2 4.【2012 高考真题山东理 5】已知变量 x, y 满足约束条件 2x y 4 ，则目标函数4x y 1z 3x y 的取值范围是（ A ） [3, 6] （ B ） [ 3 ,1] 2 2 3] （ C ） [ 1,6] （ D ） [ 6, 2【答案】 A【解析】 做出不等式所表示的区域如图，由 z 3x y得 y 3x z ，平移直线 y 3x ，由图象可知当直线经过点 E( 2,0) 时，直线 y3x z 的截距最小，此时 z 最大为 z 3x y 6 ，当直线经过C 点时，直线截距最大，此时z 最小，第 2 页共 10 页4x y 1 x 1 3 3由 ，解得2 ，此时 z 3x y3 ，所以 z 3x y 的取值范2x y 4 y 3 2 2 围是 [ 3,6] ，选 A.2 x y 105.【2012 高考真题辽宁理8】设变量 x ， y满足0 x y 20, 则 2x 3y 的最大值为 0 y 15(A) 20 (B) 35(C) 45(D) 55【答案】 D【解析】 画出可行域，根据图形可知当 x=5,y=15 时 2x+3y 最大，最大值为 55，故选 D 【点评】 本题主要考查简单线性规划问题， 难度适中。

2013年全国高考理科数学试题分类汇编8：不等式一、选择题1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））设正实数,,x y z满足22340x xy y z-+-=,则当xyz取得最大值时,212x y z+-的最大值为（）A．0 B．1 C．94D．3【答案】B2 ．（2013年高考陕西卷（理））设[x]表示不大于x的最大整数, 则对任意实数x, y, 有（）A．[-x] = -[x] B．[2x] = 2[x] C．[x+y]≤[x]+[y] D．[x-y]≤[x]-[y]【答案】D3 ．（2013年高考湖南卷（理））若变量,x y满足约束条件211y xx yy≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,2x y+则的最大值是（）A．5-2B．0C．53D．52【答案】C4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知函数()(1||)f x x a x=+. 设关于x的不等式()()f x a f x+<的解集为A, 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦,则实数a的取值范围是（）A．⎫⎪⎪⎝⎭B．⎫⎪⎪⎝⎭C．⎛⋃⎝⎫⎪⎝⎭⎪⎭D．⎛-⎝⎭∞【答案】A5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））已知a>,,x y满足约束条件13(3)xx yy a x≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,若2z x y=+的最小值为1,则a=（）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】B6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y -2x 的最小值为（ ）A ．-7B ．-4C ．1D ．2【答案】A7 ．（2013年高考湖北卷（理））一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度()25731v t t t=-++(t 的单位:s ,v 的单位:/m s )行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位;m )是（ ）A ．125ln 5+B ．11825ln 3+ C ．425ln 5+ D ．450ln 2+【答案】C8 ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））已知一元二次不等式()<0f x 的解集为{}1|<-1>2x x x 或,则(10)>0x f 的解集为（）A ．{}|<-1>lg2x x x 或B ．{}|-1<<lg2x xC ．{}|>-lg2x x D ．{}|<-lg2x x【答案】D9 ．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）如果0a b <<,那么下列不等式成立的是（ ） A ．11a b< B ．2ab b <C ．2ab a -<-D ．11a b-<- 【答案】D10．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））在平面直角坐标系xoy 中,M 为不等式组220,210,380,x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩所表示的区域上一动点,则直线OM 斜率的最小值为（ ）A ．2B ．1C ．13-D ．12-【答案】C11．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））设357log 6,log 10,log 14a b c ===,则（ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．a b c >>【答案】12．（2013年高考北京卷（理））设关于x ,y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点P (x 0,y 0),满足x 0-2y 0=2,求得m 的取值范围是（ ） A ．4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】C 二、填空题13．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））记不等式组0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域为D ,若直线()1y a x =+与D 公共点,则a 的取值范围是______.【答案】1[,4]214．（2013年高考陕西卷（理））若点(x , y )位于曲线|1|y x =-与y =2所围成的封闭区域, 则2x -y 的最小值为___-4_____.【答案】- 415．（2013年高考四川卷（理））已知()f x 是定义域为R 的偶函数,当x ≥0时,2()4f x x x =-,那么,不等式(2)5f x +<的解集是____________.【答案】(7,3)-16．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））给定区域D :4440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,令点集()()000000{,|,,,T x y D x y Z x y =∈∈,是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定______条不同的直线.【答案】617．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））设y kx z +=,其中实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+04204202y x y x y x ,若z 的最大值为12,则实数=k ________【答案】218．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））设a + b = 2, b >0,则当a = ______时,1||2||a a b+取得最小值. 【答案】2-19．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））不等式220x x +-<的解集为___________.【答案】()2,1-20．（2013年高考湖南卷（理））已知222,,,236,49a b c a b ca b c ∈++=++则的最小值为______.【答案】12 三、解答题21．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）如图,某校有一块形如直角三角形ABC 的空地,其中B ∠为直角,AB 长40米, BC 长50米,现欲在此空地上建造一间健身房,其占地形状为矩形,且B 为矩形的一个顶点,求该健身房的最大占地面积.【答案】[解]如图,设矩形为EBFP , FP 长为x 米,其中040x <<,ABC健身房占地面积为y 平方米.因为CFP ∆∽CBA ∆,以FP CF BA CB =,504050x BF -=,求得5504BF x =-, 从而255(50)5044y BF FP x x x x =⋅=-=-+25(20)5005004x =--+≤,当且仅当20x =时,等号成立.答:该健身房的最大占地面积为500平方米. 22．（2013年高考上海卷（理））(6分+8分)甲厂以x千克/小时的速度运输生产某种产品(生产条件要求110x ≤≤),每小时可获得利润是3100(51)x x+-元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元,求x 的取值范围;(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求最大利润.【答案】(1)根据题意,33200(51)30005140x x x x+-≥⇒--≥ 又110x ≤≤,可解得310x ≤≤ (2)设利润为y 元,则4290031161100(51)910[3()]612y x x x x =⋅+-=⨯--+ 故6x =时,max 457500y =元.ABC FP E。

2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编（理科）不等式选讲（精解精析版）1．(2021年高考全国乙卷理科)已知函数()3f x x a x =-++．(1)当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集;(2)若()f x a >-，求a 的取值范围．【答案】（1）(][),42,-∞-+∞ ．（2）3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．解析：（1）当1a =时，()13f x x x =-++，13x x -++表示数轴上的点到1和3-的距离之和，则()6f x ≥表示数轴上的点到1和3-的距离之和不小于6，故4x ≤-或2x ≥，所以()6f x ≥的解集为(][),42,-∞-+∞ ．（2）依题意()f x a >-，即3a x a x -+>-+恒成立，333x a x x a a x -++-+=≥++，故3a a +>-，所以3a a +>-或3a a +<，解得32a >-．所以a 的取值范围是3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．【点睛】解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法．2．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知函数()|31|2|1|f x x x =+--．(1)画出()y f x =的图像；(2)求不等式()(1)f x f x >+的解集．【答案】（1）详解解析；（2）7,6⎛⎫-∞-⎪⎝⎭．【解析】（1）因为()3,1151,1313,3x x f x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩，作出图象，如图所示：（2）将函数()f x 的图象向左平移1个单位，可得函数()1f x +的图象，如图所示：由()3511x x --=+-，解得76x =-．所以不等式()(1)f x f x >+的解集为7,6⎛⎫-∞-⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题．3．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+．(1)当2a =时，求不等式()4f x 的解集；(2)若()4f x ，求a 的取值范围．【答案】（1）32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；（2）(][),13,-∞-+∞ ．解析：（1）当2a =时，()43f x x x =-+-．当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤；当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解；当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥；综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭．（2）()()()()22222121211f x x a x a x a x a a a a =-+-+≥---+=-+-=-（当且仅当221a x a -≤≤时取等号），()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞ ．【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型．4．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1．(1)证明：ab +bc +ca <0；(2)用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析．解析：（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++= ，()22212ab bc ca a b c ∴++=-++.1,,,abc a b c =∴ 均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<；（2）不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--= ，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=．当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即max{,,}a b c ．【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题．5．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)设,,x y z R ∈，且1x y z ++=．(1)求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；(2)若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a -≤或1a -≥．【答案】【答案】(1)43；(2)见详解．【官方解析】（1）由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-2223(1)(1)(1)x y z ⎡⎤-++++⎣⎦故由已知得232(1)(1)143()x y z -++++≥，当且仅当511,,333x y z ==-=-时等号成立．所以232(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43．（2）由于2[(2)(1)()]x y z a -+-+-222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤-+-+-⎣⎦故由已知得2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-，当且仅当4122,,333aa a x y z ---===时等号成立．因此222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +由题设知2(2)133a +，解得3a -≤或1a -≥．【解法2】柯西不等式法(1)22222222[(1)(1)(1)](111)[(1)(1)(1)](1)4x y z x y z x y z -++++++-++++=+++=≥，故2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥，当且仅当511,,333x y z ==-=-时等号成立．所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43．(2)2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥，所以222222[(2)(1)()](111)1x y z a -+-+-++≥．当且仅当4122,,333aa a x y z ---===时等号成立．22222222[(2)(1)()](111)(21)(2)x y z a x y z a a -+-+-++=-+-+-=+成立．所以2(2)1a +≥成立，所以有3a -≤或1a -≥．【点评】本题两问思路一样，既可用基本不等式，也可用柯西不等式求解，属于中档题型．6．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知函数()()2f x x a x x x a =-+--．()1当1a =时，求不等式()0f x <的解集；()2当(),1x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围．【答案】()1(),1-∞；()2[)1,+∞【官方解析】()1当1a =时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---.当1x <时，2()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥.所以，不等式()0f x <的解集为(,1)-∞.()2因为()=0f a ，所以1a ≥.当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x -----所以，a 的取值范围是[1,)+∞.【分析】()1根据1a =，将原不等式化为()1210x x x x -+--<，分别讨论1x <，12x <≤，2x ≥三种情况，即可求出结果；()2分别讨论1a ≥和1a <两种情况，即可得出结果.【解析】()1当1a =时，原不等式可化为()1210x x x x -+--<；当1x <时，原不等式可化为，即()210x ->，显然成立，此时解集为(),1-∞；当12x <≤时，原不等式可化为()()()1210x x x x -+--<，解得1x <，此时解集为空集；当2x ≥时，原不等式可化为()()()1210x x x x -+--<，即()210x -<，显然不成立；此时解集为空集；综上，原不等式的解集为(),1-∞；()2当1a ≥时，因为(),1x ∈-∞，所以由()0f x <可得()()()20a x x x x a -+--<，即()()10x a x -->，显然恒成立；所以1a ≥满足题意；当1a <时，()()()2,1()21,x a a x f x x a x x a-<⎧⎪=⎨--<⎪⎩≤，因为1a x <≤时，()0f x <显然不能成立，所以1a <不满足题意；综上，a 的取值范围是[)1,+∞.【点评】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型.7．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知a ，b ，c 为正数，且满足1abc =．证明：(1)222111a b c a b c++++≤；(2)333()()()24a b b c c a +++++≥．【答案】解：（1）因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +++≥≥≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c ++++++==++≥．所以222111a b c a b c++++≤.（2）因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥3(+)(+)(+)a b b c a c=324⨯⨯⨯=≥所以333()()()24a b b c c a +++++≥．8．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)【选修4—5：不等式选讲】(10分)设函数()211f x x x =++-．(1)画出()y f x =的图象；(2)当[)0,x ∈+∞时，()f x ax b ≤+，求a b +的最小值．【答案】【官方解析】（1）()13,212,123,1x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩()y f x =的图像如图所示（2）由（1）知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b ≤+在[)0,+∞成立，因此a b +的最小值为5．【民间解析】（1）()211f x x x =++-3,112,12132x x x x x x ⎧⎪>⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪-<-⎪⎩，可作出函数()f x的图象如下图（2）依题意可知()f x ax b ≤+在[)1,+∞上恒成立，在[)0,1上也恒成立当1x ≥时，()3f x x ax b =≤+恒成立即()30a x b -+≥在[)1,+∞上恒成立所以30a -≥，且30a b -+≥，此时3a ≥，3a b +≥当01x ≤<时，()2f x x ax b =+≤+即()120a x b -+-≥恒成立结合3a ≥，可知20b -≥即2b ≥综上可知32a b ≥⎧⎨≥⎩，所以当3a =，2b =时，a b +取得最小值5．9．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)[选修4－5：不等式选讲](10分)设函数()5|||2|f x x a x =-+--．(1)当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；(2)若()1f x ≤，求a 的取值范围．【答案】解析：（1）当1a =时，24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +-⎧⎪=-<⎨⎪-+>⎩≤ ≤可得()0≥f x 的解集为{}|23≤≤x x -．（2）()1f x ≤等价于|||2|4≥x a x ++-．而|||2||2|≥x a x a ++-+，且当2x =时等号成立，故()1f x ≤等价于|2|4≥a +．由|2|4≥a +可得6≤a -或2≥a ，所以a 的取值范围是(][),62,-∞-+∞ ．10．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)[选修4–5：不等式选讲](10分)已知()|1||1|f x x ax =+--．(1)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(2)若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．【答案】解析：（1）当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >．（2）当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立．若0a ≤，则当(0,1)x ∈时|1|1ax -≥；若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，所以21a≥，故02a <≤．综上，a 的取值范围为(0,2]．11．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)[选修4—5:不等式选讲]已知函数()24f x x ax =-++,()11g x x x =++-．(1)当1a =时,求不等式()()f x g x ≥的解集;(2)若不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-,求a 的取值范围2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科【答案】(1)112x x ⎧-+⎪-≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭;(2)[]1,1-．【分析】(1)将1a =代入,不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤,对x 按1x <-,11x -≤≤,1x >讨论,得出最值的解集;(2)当[1,1]x ∈-时,()2g x =．若()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-,等价于当[]1,1x ∈-时,()2f x ≥,则()f x 在[]1,1-的最小值必为()1f -与()1f 之一,所以()12f -≥且()12f ≥,得11a -≤≤,所以a的取值范围为[]1,1-．【解析】(1)当1a =时,不等式()()f x g x ≥等价于21140x x x x -+++--<①当1x <-时,①式化为2340x x --≤,无解;当11x -≤≤时,①式化为220x x --≤,从而11x -≤≤;当1x >时,①式化为240x x +-≤,从而11712x -+<≤所以不等式()()f x g x ≥的解集为11712x x ⎧-+⎪-≤≤⎨⎪⎪⎩⎭(2)当[]1,1x ∈-时,()2g x =所以()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-,等价于当[]1,1x ∈-时,()2f x ≥又()f x 在[]1,1-的最小值必为()1f -与()1f 之一,所以()()1212f f -≥⎧⎪⎨≥⎪⎩,得11a -≤≤．所以a 的取值范围为[]1,1-．【考点】绝对值不等式的解法,恒成立问题【点评】零点分段法是解答绝对值不等式问题的常用方法,也可以将绝对值函数转化为分段函数,借助图像解题．12．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)[选修4—5：不等式选讲](10分)已知函数()12f x x x =+--．(1)求不等式()1f x ≥的解集；(2)若不等式()2f x x x m ≥-+的解集非空，求m 的取值范围．【答案】(Ⅰ){}1x x ≥;(Ⅱ)5-，4⎛⎤∞ ⎥⎝⎦【解析】（1）因为()3, 11221, 123, 2x f x x x x x x -<-⎧⎪=+--=-≤≤⎨⎪>⎩所以不等式()1f x ≥等价于131x <-⎧⎨-≥⎩或12211x x -≤≤⎧⎨-≥⎩或231x >⎧⎨≥⎩由131x <-⎧⎨-≥⎩⇒x 无解；由1222x x -≤≤⎧⎨≥⎩12x ⇒≤≤；由231x >⎧⎨≥⎩2x ⇒≥综上可得不等式()1f x ≥的解集为[)1,+∞．（2）解法一：先求不等式()2f x x x m ≥-+的解集为空集时m 的取值范围不等式()2f x x x m ≥-+的解集为空集等价于不等式()2m f x x x >-+恒成立记()()2F x f x x x =-+2223, 131, 123, 2x x x x x x x x x ⎧-+-<-⎪-+-≤≤⎨⎪-++>⎩，则()maxm F x >⎡⎤⎣⎦当1x <-时，()()2211131524F x x x x F ⎛⎫=-+-=---<-=- ⎪⎝⎭当12x -≤≤时，()223535312424F x x x x F ⎛⎫⎛⎫=-+-=--+≤=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当2x >时，()()2211332124F x x x x F ⎛⎫=-++=--+<= ⎪⎝⎭所以()max 3524F x F ⎛⎫==⎡⎤⎪⎣⎦⎝⎭所以不等式()2f x x x m ≥-+的解集为空集时，54m >所以不等式()2f x x x m ≥-+的解集非空时，m 的取值范围为5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．解法二：原式等价于存在x R ∈，使2()f x x x m -+≥成立，即2max [()]f x x x m-+≥设2()()g x f x x x=-+由（1）知2223,1()31,123,2x x x g x x x x x x x ⎧-+-≤-⎪=-+--<<⎨⎪-++≥⎩当1x ≤-时，2()3g x x x =-+-，其开口向下，对称轴112x =>-所以()()11135g x g ≤-=---=-当12x -<<时，()231g x x x =-+-，其开口向下，对称轴为32x =所以()399512424g x g ⎛⎫≤=-+-=⎪⎝⎭当2x ≥时，()23g x x x =-++，其开口向下，对称轴为12x =所以()()24231g x g ≤=-++=综上()max 54g x =⎡⎤⎣⎦所以m 的取值范围为5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【考点】绝对值不等式的解法【点评】绝对值不等式的解法有三种：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．13．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)[选修4-5：不等式选讲](10分)已知330,0,2a b a b >>+=，证明：(1)33()()4a b a b ++≥；(2)2a b +≤．【答案】【命题意图】不等式证明，柯西不等式【基本解法】（1）解法一：由柯西不等式得：55222222332()()))()4a b a b a b a b⎡⎤⎡⎤++=+⋅+≥+=⎣⎦⎣⎦解法二：5566553325533()()()2a b a b a b ab a b a b ab a b a b++=+++=+++-33233332()2()4a b a b a b ≥++-=+=解法三：()()()()()2555533553342a b a b a b a b a bab a b a b ++-=++-+=+-又0,0a b >>，所以()255332220ab a b a b ab a b +-=-≥．当a b =时，等号成立．所以，()()5540a b a b++-≥，即55()()4a b ab ++≥．（2）解法一：由332a b +=及2()4a b ab +≤得2222()()()()3a b a b ab a b a b ab ⎡⎤=+⋅+-=+⋅+-⎣⎦2233()()()4()4a b a b a b a b ⎡⎤+≥+⋅+-⎢⎥⎣⎦+=所以2a b +≤．解法二：（反证法）假设2a b +>，则2a b >-，两边同时立方得：3323(2)8126a b b b b >-=-+-，即3328126a b b b +>-+，因为332a b +=，所以261260b b -+<，即26(1)0b -<，矛盾，所以假设不成立，即2a b +≤．解法三：因为332a b +=，所以：()()()3333322333843344a b a b a baa b ab b a b +-=+-+=+++--()()()()222333a b a b a b a b a b =-+-=-+-．又0,0a b >>，所以:()()230a b a b -+-≤。

高考数学理科高考试题分类汇编：不等式E1 不等式的概念与性质 5．，，[山东卷] 已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( )A. 1x 2＋1＞1y 2＋1 B. ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1) C. sin x ＞sin y D. x 3＞y 35．D [解析] 因为a x ＜a y (0＜a ＜1)，所以x ＞y ，所以sin x ＞sin y ，ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)，1x 2＋1＞1y 2＋1都不一定正确，故选D.4．[四川卷] 若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a c >b d B.a c <b d C.a d >b c D.a d <b c4．D [解析] 因为c ＜d ＜0，所以1d <1c ＜0，即－1d >－1c ＞0，与a ＞b ＞0对应相乘得，－a d >－b c ＞0，所以a d <bc.故选D.E2 绝对值不等式的解法 9．、[安徽卷] 若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．5或8 B ．－1或5 C ．－1或－4 D ．－4或8 9．D [解析] 当a ≥2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1（x >－1），x ＋a －1⎝⎛⎭⎫－a 2≤x ≤－1，－3x －a －1⎝⎛⎭⎫x <－a 2.由图可知，当x ＝－a2时，f min (x )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a 2－1＝3，可得a ＝8. 当a <2时，f (x )⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1⎝⎛⎭⎫x >－a2，－x －a ＋1⎝⎛⎭⎫－1≤x ≤－a 2，－3x －a －1（x <－1）.由图可知，当x ＝－a 2时，f min (x )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a2＋1＝3，可得a ＝－4.综上可知，a 的值为－4或8.E3 一元二次不等式的解法 2．、[全国卷] 设集合M ＝{x |x 2－3x －4<0}，N ＝{x |0≤x ≤5}，则M ∩N ＝( ) A ．(0，4] B ．[0，4) C ．[－1，0) D ．(－1，0]2．B [解析] 因为M ＝{x |x 2－3x －4<0}＝{x |－1<x <4}，N ＝{x |0≤x ≤5}，所以M ∩N ＝{x |－1<x <4}∩{0≤x ≤5}＝{x |0≤x <4}．12．、[新课标全国卷Ⅱ] 设函数f (x )＝3sin πx m，若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋[f (x 0)]2＜m 2，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)12．C [解析] 函数f (x )的极值点满足πx m ＝π2＋k π，即x ＝m ⎝⎛⎭⎫k ＋12，k ∈Z ，且极值为±3，问题等价于存在k 0使之满足不等式m 2⎝⎛⎭⎫k 0＋122＋3<m 2.因为⎝⎛⎭⎫k ＋122的最小值为14，所以只要14m 2＋3<m 2成立即可，即m 2>4，解得m >2或m <－2，故m 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．E4 简单的一元高次不等式的解法 E5 简单的线性规划问题5．[安徽卷] x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．2或12 C ．2或1 D ．2或－1 5．D [解析]方法一：画出可行域，如图中阴影部分所示，可知点A (0，2)，B (2，0)，C (－2，－2), 则z A ＝2，z B ＝－2a ，z c ＝2a －2.要使对应最大值的最优解有无数组，只要z A ＝z B >z C 或z A ＝z C >z B 或z B ＝z C >z A ， 解得a ＝－1或a ＝2.方法二：画出可行域，如图中阴影部分所示，z ＝y －ax 可变为y ＝ax ＋z ，令l 0：y ＝ax ，则由题意知l 0∥AB 或l 0∥AC ，故a ＝－1或a ＝2.6．[北京卷] 若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－126．D [解析] 可行域如图所示，当k >0时，知z ＝y －x 无最小值，当k <0时，目标函数线过可行域内A 点时z 有最小值．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，kx －y ＋2＝0，解得A ⎝⎛⎭⎫－2k ，0，故z min ＝0＋2k ＝－4，即k ＝－12.11．[福建卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，x ≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为________．11．1 [解析] 作出不等式组表示的平面区域(如图所示)，把z ＝3x ＋y 变形为y ＝－3x ＋z ，则当直线y ＝3x ＋z 经过点(0，1)时，z 最小，将点(0，1)代入z ＝3x ＋y ，得z min ＝1，即z ＝3x ＋y 的最小值为1.3．[广东卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．83．B [解析] 本题考查运用线性规划知识求目标函数的最值，注意利用数形结合思想求解．画出不等式组表示的平面区域，如图所示．当目标函数线经过点A (－1，－1)时，z 取得最小值；当目标函数线经过点B (2，－1)时，z 取得最大值．故m ＝3，n ＝－3，所以m －n ＝6.14．[湖南卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k＝________.14．－2 [解析] 画出可行域，如图中阴影部分所示，不难得出z ＝2x ＋y 在点A (k ，k )处取最小值，即3k ＝－6，解得k ＝－2.14．[全国卷] 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋2y ≤3，x －2y ≤1，则z ＝x ＋4y 的最大值为________．14．5 [解析] 如图所示，满足约束条件的可行域为△ABC 的内部(包括边界), z ＝x ＋4y 的最大值即为直线y ＝－14x ＋14z 的纵截距最大时z 的值．结合题意，当y ＝－14x ＋14z 经过点A 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋2y ＝3，可得点A 的坐标为(1，1)， 所以z max ＝1＋4＝5.9．、[新课标全国卷Ⅰ] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ，有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2，p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2， p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3， p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1. 其中的真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 2 C ．p 1，p 4 D ．p 1，p 39．B [解析] 不等式组表示的区域D 如图中的阴影部分所示，设目标函数z ＝x ＋2y ，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A (2，－1)处取得最小值，且z min ＝2－2＝0，即x ＋2y 的取值范围是[0，＋∞)，故命题p 1，p 2为真，命题p 3，p 4为假．9．[新课标全国卷Ⅱ] 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．29．B [解析] 已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A (5，2)处取得最大值，故目标函数的最大值为2×5－2＝8.9．[山东卷] 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)在该约束条件下取到最小值2 5时，a 2＋b 2的最小值为( )A. 5B. 4C. 5D. 29．B [解析] 画出约束条件表示的可行域(如图所示)．显然，当目标函数z ＝ax ＋by 过点A (2，1)时，z 取得最小值，即2 5＝2a ＋b ，所以2 5－2a ＝b ，所以a 2＋b 2＝a 2＋(2 5－2a )2＝5a 2－8 5a ＋20，构造函数m (a )＝5a 2－8 5a ＋20(5>a >0)，利用二次函数求最值，显然函数m (a )＝5a 2－85a ＋20的最小值是4×5×20－（8 5）24×5＝4，即a 2＋b 2的最小值为4.故选B.18．，[陕西卷] 在直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上．(1)若P A →＋PB →＋PC →＝0，求|OP →|；(2)设OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值． 18．解：(1)方法一：∵P A →＋PB →＋PC →＝0，又P A →＋PB →＋PC →＝(1－x ，1－y )＋(2－x ，3－y )＋(3－x ，2－y )＝(6－3x ，6－3y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2， 即OP →＝(2，2)，故|OP →|＝2 2. 方法二：∵P A →＋PB →＋PC →＝0，则(OA →－OP →)＋(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)＝0， ∴OP →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝(2，2)，∴|OP →|＝2 2.(2)∵OP →＝mAB →＋nAC →， ∴(x ，y )＝(m ＋2n ，2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减得，m －n ＝y －x ，令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2，3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.5．，[四川卷] 执行如图1-1所示的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为( )图1-1A ．0B ．1C ．2D ．35．C [解析] 题中程序输出的是在⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ≥0，y ≥0的条件下S ＝2x ＋y 的最大值与1中较大的数．结合图像可得，当x ＝1，y ＝0时，S ＝2x ＋y 取得最大值2，2>1，故选C.2．[天津卷] 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．52．B [解析] 画出可行域，如图所示．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即点A (1，1)．当目标函数线过可行域内A 点时，目标函数有最小值，即z min ＝1×1＋2×1＝3.13． [浙江卷] 当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．13.⎣⎡⎦⎤1，32 [解析] 实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，图中A (1，0)，B (2，1)，C ⎝⎛⎭⎫1，32.当a ≤0时，0≤y ≤32，1≤x ≤2，所以1≤ax ＋y ≤4不可能恒成立；当a >0时，借助图像得，当直线z ＝ax ＋y 过点A 时z 取得最小值，当直线z ＝ax ＋y 过点B 或C 时z 取得最大值，故⎩⎪⎨⎪⎧1≤a ≤4，1≤2a ＋1≤4，1≤a ＋32≤4，解得1≤a ≤32.故a ∈⎣⎡⎦⎤1，32.E6 2a b+≤16．、[辽宁卷] 对于c >0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，3a －4b ＋5c的最小值为________．16．－2 [解析] 由题知2c ＝－(2a ＋b )2＋3(4a 2＋3b 2)．(4a 2＋3b 2)⎝⎛⎭⎫1＋13≥(2a ＋b )2⇔4a 2＋3b 2≥34(2a ＋b )2，即2c ≥54(2a ＋b )2，当且仅当4a 21＝3b 213，即2a ＝3b ＝6λ(同号)时，|2a ＋b |取得最大值85c ，此时c ＝40λ2.3a －4b ＋5c ＝18λ2－1λ＝18⎝⎛⎭⎫1λ－42－2≥－2， 当且仅当a ＝34，b ＝12，c ＝52时，3a －4b ＋5c取最小值－2.14．，[山东卷] 若⎝⎛⎭⎫ax 2＋b x 6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________． 14．2 [解析]T r ＋1＝C r 6(ax 2)6－r ·⎝⎛⎭⎫b x r＝C r 6a 6－r ·b r x 12－3r ，令12－3r ＝3，得r ＝3，所以C 36a 6－3b 3＝20，即a 3b 3＝1，所以ab ＝1，所以a 2＋b 2≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ，且ab ＝1时，等号成立．故a 2＋b 2的最小值是2.10．，[四川卷] 已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.1728D.1010．B [解析] 由题意可知，F ⎝⎛⎭⎫14，0.设A (y 21，y 1)，B (y 22，y 2)，∴OA →·OB →＝y 1y 2＋y 21y 22＝2，解得y 1y 2＝1或y 1y 2＝－2.又因为A ，B 两点位于x 轴两侧，所以y 1y 2＜0，即y 1y 2＝－2. 当y 21≠y 22时，AB 所在直线方程为y －y 1＝y 1－y 2y 21－y 22(x －y 21)＝ 1y 1＋y 2(x －y 21)， 令y ＝0，得x ＝－y 1y 2＝2，即直线AB 过定点C (2，0)．于是S △ABO ＋S △AFO ＝S △ACO ＋S △BCO ＋S △AFO ＝12×2|y 1|＋12×2|y 2|＋12×14|y 1|＝18(9|y 1|＋8|y 2|)≥18×29|y 1|×8|y 2|＝3，当且仅当9|y 1|＝8|y 2|且y 1y 2＝－2时，等号成立．当y 21＝y 22时，取y 1＝2，y 2＝－2，则AB 所在直线的方程为x ＝2，此时求得S △ABO ＋S △AFO ＝2×12×2×2＋12×14×2＝1728，而1728>3，故选B. 14．，[四川卷] 设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________．14．5 [解析] 由题意可知，定点A (0，0)，B (1，3)，且两条直线互相垂直，则其交点P (x ，y )落在以AB 为直径的圆周上，所以|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10.∴|P A ||PB |≤|P A |2＋|PB |22＝5，当且仅当|P A |＝|PB |时等号成立．E7 不等式的证明方法20．[北京卷] 对于数对序列P ：(a 1，b 1)，(a 2，b 2)，…，(a n ，b n )，记T1(P)＝a1＋b1，T k(P)＝b k＋max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}(2≤k≤n)，其中max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}表示T k－1(P)和a1＋a2＋…＋a k两个数中最大的数．(1)对于数对序列P：(2，5)，(4，1)，求T1(P)，T2(P)的值；(2)记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对(a，b)，(c，d)组成的数对序列P：(a，b)，(c，d)和P′：(c，d)，(a，b)，试分别对m＝a和m＝d两种情况比较T2(P)和T2(P′)的大小；(3)在由五个数对(11，8)，(5，2)，(16，11)，(11，11)，(4，6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5(P)最小，并写出T5(P)的值．(只需写出结论)20．解：(1)T1(P)＝2＋5＝7，T2(P)＝1＋max{T1(P)，2＋4}＝1＋max{7，6}＝8.(2)T2(P)＝max{a＋b＋d，a＋c＋d}，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}．当m＝a时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋d＋b.因为a＋b＋d≤c＋b＋d，且a＋c＋d≤c＋b＋d，所以T2(P)≤T2(P′)．当m＝d时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋a＋b.因为a＋b＋d≤c＋a＋b，且a＋c＋d≤c＋a＋b，所以T2(P)≤T2(P′)．所以无论m＝a还是m＝d，T2(P)≤T2(P′)都成立．(3)数对序列P：(4，6)，(11，11)，(16，11)，(11，8)，(5，2)的T5(P)值最小，T1(P)＝10，T2(P)＝26，T3(P)＝42，T4(P)＝50，T5(P)＝52.19．、、[天津卷] 已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M＝{0，1，2，…，q －1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋x n q n－1，x i∈M，i＝1，2，…，n}．(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A.(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋a n q n－1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，其中a i，b i∈M，i＝1，2，…，n.证明：若a n<b n，则s<t.19．解：(1)当q＝2，n＝3时，M＝{0，1}，A＝{x|x＝x1＋x2·2＋x3·22，x i∈M，i＝1，2，3}，可得A＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．(2)证明：由s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋a n q n－1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，a i，b i∈M，i ＝1，2，…，n及a n<b n，可得s－t＝(a1－b1)＋(a2－b2)q＋…＋(a n－1－b n－1)q n－2＋(a n－b n)q n－1≤(q－1)＋(q－1)q＋…＋(q－1)q n－2－q n－1＝（q－1）（1－q n－1）1－q－q n－1＝－1<0，所以s<t.E8 不等式的综合应用9．、[安徽卷] 若函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为() A．5或8 B．－1或5C．－1或－4 D．－4或89．D[解析] 当a≥2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1（x >－1），x ＋a －1⎝⎛⎭⎫－a 2≤x ≤－1，－3x －a －1⎝⎛⎭⎫x <－a 2.由图可知，当x ＝－a2时，f min (x )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a 2－1＝3，可得a ＝8. 当a <2时，f (x )⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1⎝⎛⎭⎫x >－a2，－x －a ＋1⎝⎛⎭⎫－1≤x ≤－a 2，－3x －a －1（x <－1）.由图可知，当x ＝－a 2时，f min (x )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a2＋1＝3，可得a ＝－4.综上可知，a 的值为－4或8.13．[福建卷] 要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．13．160 [解析] 设底面矩形的一边长为x ，由容器的容积为4 m 3，高为1 m 得，另一边长为4xm.记容器的总造价为y 元，则 y ＝4×20＋2⎝⎛⎭⎫x ＋4x ×1×10 ＝80＋20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≥80＋20×2x ·4x＝160(元)，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时，等号成立．因此，当x ＝2时，y 取得最小值160元， 即容器的最低总造价为160元． 21．，，，[陕西卷] 设函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝xf ′(x )，x ≥0，其中f ′(x )是f (x )的导函数． (1)令g 1(x )＝g (x )，g n ＋1(x )＝g (g n (x ))，n ∈N ＋，求g n (x )的表达式； (2)若f (x )≥ag (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(3)设n ∈N ＋，比较g (1)＋g (2)＋…＋g (n )与n －f (n )的大小，并加以证明．21．解：由题设得，g (x )＝x1＋x (x ≥0)．(1)由已知，g 1(x )＝x 1＋x， g 2(x )＝g (g 1(x ))＝x 1＋x 1＋x 1＋x ＝x1＋2x ，g 3(x )＝x 1＋3x ，…，可得g n (x )＝x 1＋nx. 下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，g 1(x )＝x1＋x ，结论成立．②假设n ＝k 时结论成立，即g k (x )＝x1＋kx.那么，当n ＝k ＋1时，g k ＋1(x )＝g (g k (x ))＝g k （x ）1＋g k （x ）＝x 1＋kx 1＋x 1＋kx ＝x1＋（k ＋1）x ，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．(2)已知f (x )≥ag (x )恒成立，即ln(1＋x )≥ax1＋x恒成立． 设φ(x )＝ln(1＋x )－ax1＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝11＋x －a（1＋x ）2＝x ＋1－a （1＋x ）2， 当a ≤1时，φ′(x )≥0(仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)， ∴φ(x )在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0， ∴φ(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a ≤1时，ln(1＋x )≥ax1＋x 恒成立(仅当x ＝0时等号成立)．当a >1时，对x ∈(0，a －1]有φ′(x )<0， ∴φ(x )在(0，a －1]上单调递减， ∴φ(a －1)<φ(0)＝0.即a >1时，存在x >0，使φ(x )<0，故知ln(1＋x )≥ax1＋x不恒成立． 综上可知，a 的取值范围是(－∞，1]．(3)由题设知g (1)＋g (2)＋…＋g (n )＝12＋23＋…＋nn ＋1，比较结果为g (1)＋g (2)＋…＋g (n )>n －ln(n ＋1)．证明如下：方法一：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x1＋x，x >0. 令x ＝1n ，n ∈N ＋，则1n ＋1<ln n ＋1n .下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，12<ln 2，结论成立．②假设当n ＝k 时结论成立，即12＋13＋…＋1k ＋1<ln(k ＋1)．那么，当n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋1k ＋1＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋ln k ＋2k ＋1＝ln(k＋2)，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．方法二：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x1＋x，x >0. 令x ＝1n ，n ∈N ＋，则ln n ＋1n >1n ＋1.故有ln 2－ln 1>12，ln 3－ln 2>13，……ln(n ＋1)－ln n >1n ＋1，上述各式相加可得ln(n ＋1)>12＋13＋…＋1n ＋1，结论得证．方法三：如图，⎠⎛0n x x ＋1d x 是由曲线y ＝xx ＋1，x ＝n 及x 轴所围成的曲边梯形的面积，而12＋23＋…＋nn ＋1是图中所示各矩形的面积和，∴12＋23＋…＋n n ＋1>⎠⎛0n x x ＋1d x ＝ ⎠⎛0n⎝⎛⎭⎫1－1x ＋1d x ＝n －ln (n ＋1)， 结论得证．E9 单元综合16．、[辽宁卷] 对于c >0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，3a －4b ＋5c的最小值为________．16．－2 [解析] 由题知2c ＝－(2a ＋b )2＋3(4a 2＋3b 2)．(4a 2＋3b 2)⎝⎛⎭⎫1＋13≥(2a ＋b )2⇔4a 2＋3b 2≥34(2a ＋b )2，即2c ≥54(2a ＋b )2， 当且仅当4a 21＝3b213，即2a ＝3b ＝6λ(同号)时，|2a ＋b |取得最大值85c ，此时c ＝40λ2.3a －4b ＋5c ＝18λ2－1λ＝18⎝⎛⎭⎫1λ－42－2≥－2， 当且仅当a ＝34，b ＝12，c ＝52时，3a －4b ＋5c取最小值－2.12．、[辽宁卷] 已知定义在[0，1]上的函数f (x )满足： ①f (0)＝f (1)＝0；②对所有x ，y ∈[0，1]，且x ≠y ，有|f (x )－f (y )|<12|x －y |.若对所有x ，y ∈[0，1]，|f (x )－f (y )|<k 恒成立，则k 的最小值为( ) A.12 B.14 C.12πD.18 12．B [解析] 不妨设0≤y <x ≤1.当x －y ≤12时，|f (x )－f (y )|<12|x －y |＝12(x －y )≤14.当x －y >12时，|f (x )－f (y )|＝|f (x )－f (1)－(f (y )－f (0))|≤|f (x )－f (1)|＋|f (y )－f (0)|<12|x －1|＋12|y －0|＝－12(x －y )＋12<14.故k min ＝14.3．[天津卷] 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．53．B [解析] 画出可行域，如图所示．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即点A (1，1)．当目标函数线过可行域内min ＝1×1＋2×1＝3. 16．[广州七校联考] 不等式|x ＋2|＋|x －1|≤5的解集为________．16．[－3，2] [解析] 根据绝对值的几何意义，得不等式的解集为－3≤x ≤2.4．[安徽六校联考] 若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1xy≥M 恒成立，则M 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．A [解析] ∵x ＋y ≥2xy ，且x ＋y ＝2，∴2≥2xy ，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立，∴xy ≤1，∴1xy≥1，∴1≥M ，∴M max ＝1.7．[福建宁德期末] 已知关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，则x 1＋x 2＋ax 1x 2的最小值是( )A.63B.23 3C.43 3D.236 7．C [解析] 由题知x 1＋x 2＝4a ，x 1x 2＝3a 2，∴x 1＋x 2＋a x 1x 2＝4a ＋13a ≥2 43＝4 33，当且仅当a ＝36时，等号成立．6．[长沙模拟] 若f (x )为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增，f (2)＝0，则f （x ）－f （－x ）x＞0的解集是( )A ．(－2，0)∪(0，2)B ．(－∞，－2)∪(0，2)C ．(－2，0)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)6．D [解析] 因为f (x )为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )在区间(－∞，0)上单调递增．又f (－x )＝－f (x )，所以f （x ）－f （－x ）x >0等价于2f （x ）x>0.根据题设作出f (x )的大致图像如图所示．由图可知，2f （x ）x>0的解集是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．13．[浙江六市六校联考] 已知正数x ，y 满足x ＋y ＋1x ＋9y＝10，则x ＋y 的最大值为________．13．8 [解析] ∵1x ＋9y ＝10－(x ＋y )，∴(x ＋y )1x ＋9y ＝10(x ＋y )－(x ＋y )2.又(x ＋y )1x ＋9y＝10＋9x y ＋yx≥10＋6＝16，∴10(x ＋y )－(x ＋y )2≥16，即(x ＋y )2－10(x ＋y )＋16≤0，∴2≤x ＋y ≤8，∴x ＋y 的最大值为8.。

高考数学分类理科版之不等式的综合应用及解析不等式的综合应用一、选择题1.(2018北京)设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-+>-≥≤则 A.对任意实数a ,(2,1)A ∈B.对任意实数a ,(2,1)A ∉C.当且仅当0a <时,(2,1)A ∉D.当且仅当32a ≤时,(2,1)A ∉2.(2017天津)已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+⎪⎩≥设a ∈R ,若关于x 的不等式()||2xf x a +≥在R 上恒成立,则a 的取值范围是A.[2,2]-B.[-C.[-D.[-3.(2015北京)设{}n a是等差数列.下列结论中正确的是A.若120a a +>,则230a a +>B.若130a a +<,则120a a +<C.若120a a <<,则2a > D.若10a <,则()()21230a a a a -->4.(2015陕西)设()ln f x x =,0a b <<,若p f =,()2a bq f +=,1(()())2r f a f b =+,则下列关系式中正确的是A.q r p =<B.q r p =>C.p r q =<D.p r q =>5.(2014重庆)若b a ab b a +=+则）（,log 43log24的最小值是 A.326+ B.327+ C.346+ D.347+6.(2013福建)若122=+yx ,则y x +的取值范围是A.]2,0[B.]0,2[-C.),2[+∞-D.]2,(--∞7.(2013山东)设正实数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=.则当xyz 取得最大值时,212x y z +-的最大值为A.0B.1C.94 D.38.(2013山东)设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ,则当zxy 取得最大值时, 2x y z +-的最大值为 A.0 B.98C.2D.949.(2012浙江)若正数,x y 满足35x y xy +=,则34x y +的最小值是A.245B.285 C.5 D.610.(2012浙江)若正数,x y 满足35x y xy +=,则34x y +的最小值是A.245B.285 C.5 D.611.(2012陕西)小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b (a b <),其全程的平均时速为v ,则A.a v <<vv <2a b + D.v =2a b+12.(2012湖南)已知两条直线1l :y m = 和2l :y =821m +(0m >),1l 与函数2log y x=的图像从左至右相交于点,A B ,2l 与函数2log y x=的图像从左至右相交于,C D .记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为,a b ,当m 变化时,ba 的最小值为A.B.13.(2011陕西)设0a b <<,则下列不等式中正确的是A.2a b a b +<<<B.2a ba b+<<<C.2a b a b +<<2a ba b+<<14.(2011上海)若,a b R ∈,且0ab >,则下列不等式中,恒成立的是A.222a b ab +>B.a b +≥C.11a b +>2b a a b +≥二、填空题15.(2018天津)已知,a b ∈R ,且360a b -+=,则128a b +的最小值为 .16.(2018浙江)已知λ∈R ,函数24,()43,x x f x x x x λλ-⎧=⎨-+<⎩≥,当2λ=时,不等式()0f x <的解集是___________.若函数()f x 恰有2个零点,则λ的取值范围是___________.17.(2017北京)已知0x ≥,0y ≥,且1x y +=,则22x y +的取值范围是_______.18.(2017天津)若,a b ∈R ,0ab >,则4441a b ab ++的最小值为___________.19.(2017江苏)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储费之和最小,则x 的值是 .20.(2017浙江)已知a ∈R ,函数4()||f x x a a x =+-+在区间[1,4]上的最大值是5,则a 的取值范围是 .21.(2014浙江)已知实数,,a b c 满足0a b c ++=,2221a b c ++=,则a 的最大值是__；22.(2014辽宁)对于0c >,当非零实数a ,b 满足22420a ab b c -+-=,且使|2|a b +最大时,124a b c ++的最小值为 .23.(2014辽宁)对于0c >,当非零实数a ,b 满足224240a ab b c -+-=,且使|2|a b +最大时,345a b c -+的最小值为 . 24.(2014湖北)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数,单位：辆/小时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶,单位：米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关,其公式为2760001820vF v v l =++.(Ⅰ)如果不限定车型, 6.05l =,则最大车流量为 辆/小时；(Ⅱ)如果限定车型,5l =,则最大车流量比(Ⅰ)中的最大车流量增加 辆/小时.25.(2013天津)设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b +取得最小值.26.(2013四川)已知函数()4(0,0)af x x x a x =+>>在3x =时取得最小值,则a =__.27.(2011浙江)若实数,x y 满足221x y xy ++=,则x y +的最大值是____. 28.(2011湖南)设,x y R ∈,则222211()(4)x y y x ++的最小值为 .29.(2010安徽)若0,0,2a b a b >>+=,则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号).①1ab ≤； ③222a b +≥； ④333a b +≥； ⑤112a b +≥不等式的综合应用答案部分1.D 【试题解析】点(2,1)在直线1x y -=上,4ax y +=表示过定点(0,4),斜率为a -的直线,当0a ≠时,2x ay -=表示过定点(2,0),斜率为1a 的直线,不等式2x ay -≤表示的区域包含原点,不等式4ax y +>表示的区域不包含原点.直线4ax y +=与直线2x ay -=互相垂直,显然当直线4ax y +=的斜率0a ->时,不等式4ax y +>表示的区域不包含点(2,1),故排除A ；点(2,1)与点(0,4)连线的斜率为32-,当32a -<-,即32a >时,4ax y +>表示的区域包含点(2,1),此时2x ay -<表示的区域也包含点(2,1),故排除B ；当直线4ax y +=的斜率32a -=-,即32a =时,4ax y +>表示的区域不包含点(2,1),故排除C,故选D.解法二 若(2,1)A ∈,则21422a a +>⎧⎨-⎩≤,解得32a >,所以当且仅当32a ≤时,(2,1)A ∉.故选D. 2.A 【试题解析】解法一 函数()f x 的图象如图所示,当||2xy a =+的图象经过点(0,2)时,可知2a =±.当2x y a =+的图象与2y x x =+的图象相切时,由22x a x x +=+,得2240x ax -+=,由0∆=,并结合图象可得2a =,要使()||2xf x a +≥恒成立,当0a ≤时,需满足2a -≤,即20a -≤≤,当0a >时,需满足2a ≤,所以22a -≤≤.解法二 由题意0x =时,()f x 的最小值2,所以不等式()||2x f x a +≥等价于||22xa +≤在R 上恒成立.当a =,令0x =,得|22x+>,不符合题意,排除C 、D ； 当a =-,令0x =,得|22x->,不符合题意,排除B ；选A.3.C 【试题解析】若{}n a 是递减的等差数列,则选项,AB 都不一定正确.若{}n a 为公差为0的等差数列,则选项D 不正确.对于C 选项,由条件可知{}n a 为公差不为0的正确数列,由等差中项的性质得1322a a a +=,由基本不等式得132a a+所以C 正确.4.B 【试题解析】∵0a b <<,∴2a b+又()ln f x x =在(0,)+?上单调递增, 故()2a b f f +<,即q p >,∵11(()())(ln ln )ln 22r f a f b a b f p=+=+===,∴p r q =<.5.D【试题解析】由已知得34a b ab +=,且0ab >,可知0,0a b >>,所以431a b +=(0,0a b >>),4343()()77b a a b a b a b a b +=++=+++≥当且仅当43b a ab =时取等号. 6.D 【试题解析】本题考查的是均值不等式.因为y x y x 222221⋅≥+=,即222-+≤y x , 所以2-≤+y x ,当且仅当yx 22=,即y x =时取等号.7.B 【试题解析】由22340x xy y z -+-=,得2234z x xy y =-+.所以2214343xy xy x y z x xy y y x ==-++-1≤=,当且仅当4x y y x =, 即2x y =时取等号此时22y z =,1)(max =z xy.xy y y z y x 2122212-+=-+)211(2)11(2y y x y -=-=1)221121(42=-+≤y y , 故选B.8.C 【试题解析】由22340x xy y z -+-=得2243x y xy z +-=, 22443331z x y xyxy xy xy +=-≥=-=,当且仅当224x y =即2x y =时,zxy 有最小值1,将2x y =代入原式得22z y =,所以22222224x y z y y y y y +-=+-=-+, 当1y =时有最大值2.故选C.9.C 【试题解析】35x y xy +=,135y x +=,113131213(34)()()555x y x y y x y x +⋅+=++≥1132555⨯=.10.C 【试题解析】35x y xy +=,135y x +=,113131213(34)()()555x y x y y x y x +⋅+=++≥1132555⨯=.11.A 【试题解析】设从甲地到乙地所走路程为S ,则222S ab v a b a ba b===<=+++.∵ a b <,∴ 2222ab a v aa b a =>=+,∴a v <<选A.12.B 【试题解析】在同一坐标系中作出y m =,y =821m +(0m >),2log y x=图像如下图,由2log x= m,得122,2m mx x -==,2log x =821m +,得821821342,2m m x x +-+==. 依题意得8218218218212222,22,22m m m m m m mm b a b a++--+--+-=-=-=-821821222m m mm +++==.814111432122222m m m m +=++-≥-=++,min()b a ∴=.13.B 【解】(方法一)已知ab <和2a b+<,比较a因为22()0a a a b -=-<,所以a<同理由22()0b b b a -=->得b <；作差法：022a b b ab +--=>,所以2a b b +<,综上可得2a ba b+<<；故选B.(方法二)取2a =,8b =,则4=,52a b +=,所以2a ba b+<<<.14.D 【试题解析】对于A 取1a b ==,此时2222a b ab +==,因此A 不正确；对于B 取1a b ==-,此时22a b +=-<=,因此B 不正确；对于C 取1a b ==-,此时1122a b +=-<=,因此C 不正确；对于D,∵0ab >, ∴0b a >,0ba >∴2b a a b +=≥,D 正确.15.14【试题解析】由360a b -+=,得36a b =-,所以36331112222824a b b b --+=+=⨯=≥,当且仅当363122b b -=,即1b =时等号成立.16.(1,4)；(1,3](4,)+∞【试题解析】若2λ=,则当2x ≥时,令40x -<,得24x <≤；当2x <时,令2430x x -+<,得12x <<.综上可知14x <<,所以不等式()0f x <的解集为(1,4).令40x -=,解得4x =；令2430x x -+=,解得1x =或3x =.因为函数()f x 恰有2个零点,结合函数的图象(图略)可知13λ<≤或4λ>.17.1[,1]2【试题解析】由题意,22222211(1)2212()22u x y x x x x x =+=+-=-+=-+,且[0,1]x ∈,又0x =时,221u x y =+=,12x =时,22min 12u x y =+=,当1x =时,221u x y =+=,所以22x y+取值范围为1[,1]2.18.4【试题解析】44224141144a b a b ab ab ab ab +++=+≥≥ ,当且仅当222a b =,且12ab =,即2a =时取等号.19.30【试题解析】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯,当且仅当900x x =,即30x =时等号成立.20.9(,]2-∞【试题解析】∵[1,4]x ∈,∴4[4,5]x x +∈①当5a ≥时,44()2224f x a x a a x a a x x =--+=---=-≤, 所以()f x 的最大值245a -=,即92a =(舍去)②当4a ≤时,44()5f x x a a x x x =+-+=+≤,此时命题成立.③当45a <<时,max ()max{|4|,|5|}f x a a a a =-+-+,则|4||5||4|5a a a a a a -+-+⎧⎨-+=⎩≥或|4||5||5|5a a a aa a -+<-+-+=,解得92a =或92a <,综上可得,实数a 的取值范围是9(,]2-∞.21.【试题解析】由0a b c ++=得,a b c =--,则2222()2a b c b c bc =--=++ ()2222222b c b c b c +++=+≤,又2221a b c ++=,所以232a ≤,解得a ,故a的最大值为.22.－1【试题解析】设|2|a b +最大,则必须,a b 同号,因为22224463()2a b a b ab c ab c +++=++≤,故有2(2)4a b c +≤,22()2a b c +≥,当且仅当2a b =时取等号,此时2c b =, 所以124a b c ++=2244114()112b b b +=+--≥.23.－2 【试题解析】 设2a b t +=,则2a t b =-,因为224240a ab b c -+-=,所以将2a t b =-代入整理可得22630b tb t c -+-=①,由0∆≥解得t 当2a b +取得最大值时,t =代入①式得b =再由2a t b =-得a =所以345a b c -+=55c c =222=--≥. 当且仅当52c =时等号成立. 24.1900 100【试题解析】(Ⅰ)76000190020 6.0518F v v ==⨯++,当且仅当11v =时等号成立. (Ⅱ)76000200020518F v v ==⨯++,当且仅当10v =时等号成立.20001900100-=.25.－2【试题解析】∵1||2||a a b +=||||4||4||4||a b a a b a a ba ab ++=++13114||4||44a a a a +=+-+=≥≥ 当且仅当||,04||b a a a b =<,即2,4a b =-=时取等号 故1||2||a a b +取得最小值时,2a =-.26.36【试题解析】因为0,0x a >>,()44a f x x x a x x =+≥=,当且仅当4a x x =,即3x ==,解得36a =.27.【试题解析】∵221x y xy ++=, ∴2()1x y xy +-=,即22()()12x y x y ++-≤,∴24()3x y +≤,x y +.28.9【试题解析】由柯西不等式可知2222211()(4)(12)9x y y x ++≥+=.29.①③⑤【试题解析】令1a b ==,排除②④；由21a b ab =+≥≤,命题①正确；222()2422a b a b ab ab +=+-=-≥, 命题③正确；1122a b a b ab ab ++==≥,命题⑤正确.。