2020年高考理科数学一轮总复习：基本不等式

第四节基本不等式突破点一利用基本不等式求最值抓牢双基自学回扣［基本知识］—— a + b1. 基本不等式：卫匕三一厂(1)基本不等式成立的条件：a>0, b>0.⑵等号成立的条件：当且仅当a^b时取等号.2. 几个重要的不等式1 a2+ b2>2ab, a, b€ R；2?+ 琴》2, ab>0;当且仅当a= b时等号成立.3.算术平均数与几何平均数设a>0, b>0,则a, b的算术平均数为a^,几何平均数为ab,两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.基本不等式可叙述为:4.利用基本不等式求最值问题已知x>0, y>0,则：(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x= y时，x+ y有最小值是小)(2) 如果和x+ y是定值p,那么当且仅当x= y时，xy有最大值是［基本能力］一、判断题(对的打，错的打“x” )1(1)函数y= x + -的最小值是2.( )⑵函数f(x)= cosx+ cOSx’ x€ 0, 2的最小值为4.( )(3) x>0 , y>0是:+ 2的充要条件.()⑷若a>0，贝U a3+占的最小值为2 a.( )a2 p.(简记：积定和最2》.(简记：和定积最大)答案：(1)x (2)x (3) x (4) x、填空题2x1.当x>0时，函数f(x)=孑匚!的最大值为 _____________ 答案：12.已知a , b € (0,+s )，若ab = 1，贝U a + b 的最小值为 ab 的最大值为 解析：由基本不等式得 a + b >2 ab = 2,当且仅当a = b = 1时取到等号；ab <解析：由 a + 2b = 3 得 fa + |b = 1,所以 f + 十=ga + 3答案：8研透高考•深化提能［全析考法］考法一通过拼凑法利用基本不等式求最值•利用基本(均值)不等式解题一定要注意应用的前提“一正”“二定”“三相等”. 所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本(均值)不等式求最值时，和或积为定值，“三相 等”是指满足等号成立的条件.1，当且仅当 4 a =b=2时取到等号. 答案:3.若 a , 4 4b € R , ab>0 ,则a + :; + 1的最小值为解析: ■/ a ,b € R ,abab=4ab +_1 > 2 ■ i' 4ab • = 4, ababa 2= 2b 2,当且仅当14ab =I ab"2迄 a = 2 , 即t厂.2退b= 4时取得等号.答案：44.已知 a>0, b>0 ,2 1a + 2b = 3,则a +b 的最小值为;若 a + b = 1,则4b= |.当且仅当a = 2b = 3时取等号.ba +b = 3 + 3b + 3a 》3+ 2［例1］(1)(2019泉州检测)已知0VXV1，则x(3 —3x)取得最大值时x的值为()［解析］ ⑴••• Ovxvl ,••• x(3 — 3x)= 3x(1 — x)w 3 X +— X )〔2= 3 当且仅当x = 1 — x , 即x =2时等号成立.⑵•/ x>2, m>0,当且仅当x = 2+ ,m 时取等号, 又函数y = x +(x>2)的最小值为6, x — 2•- 2 m + 2= 6，解得 m = 4. ［答案］(1)B (2)4［方法技巧］通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等 价变形；⑵代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提. 考法二通过常数代换法利用基本不等式求最值1 1［例2］ (1)(20佃 青岛模拟)已知x>0, y>0, lg 2x + lg 8y = Ig 2,则- + 3■的最小值是x 3y2 1(2)(2019齐齐哈尔八校联考)若对x>0, y>0, x + 2y = 1,有；+ y > m 恒成立，则 m 的最 大值是1 A — A. 3 B.2C.4(2)(2019南昌调研)已知函数y = x + 芝(x>2)的最小值为6，则正数m的值为• y = x — 2+mx — 2x m 2+ 2 = 2』+ 2,2x — 2_______________ .［解析］(1)因为lg 2x+ lg 8y= lg 2,所以x+ 3y= 1,所以片+ 莽g+ 士(x+ 3y) = 2+爭 +加4当且仅当3y= 3y,即x=1, y= 1时取等号.(2) ■/ x>0, y>0, x+ 2y= 1,二2+ - = (x+ 2y) •- + - = 2+ 2 + 4y+ -> 4 + 2 ,l4y^ = 8,x y x y x y -y1 1当且仅当x= 2, y=-时取等号，2+ -的最小值为8,x y又2+ -> m恒成立，x y••• m W 8, 即卩m的最大值为8.［答案］(1)4 (2)8［方法技巧］通过常数代换法利用基本不等式求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；⑵把确定的定值(常数)变形为1；(3) 把1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；(4) 利用基本不等式求解最值.［集训冲关］1. ________________________________________________ ［考法一］已知x<0,则函数y= 4+ x的最大值是 ______________________________________________ .解析：•/ x<0, • y=- ±+(—x生—4,当且仅当x=- 2时取等号.答案：—41 92. ［考法二］正数a, b满足_ + ；= 1,若不等式a+ b》—x2+ 4x+18 —m对任意实数x恒a b成立，则实数m的取值范围是_________ .解析：因为a>0, b>0,寸+1.所以a + b= (a+ b) £+ ： .= 10 + ?+ 岸> 10 + 2也=16. 由题意.得16》—x + 4x + 18—m，即卩x—4x—2》—m对任意实数x恒成立，又x? —4x —2= (x—2)2—6的最小值为一6，所以一6> —m,即卩m>6.答案：［6,+^ )突破点二基本不等式的实际应用问题［典例］如图，一个铝合金窗分为上、下两栏，四周框架和中间隔挡的材料为铝合金，宽均为6 cm,上栏与下栏的框内高度(不含铝合金部分)的比为1 : 2,此铝合金窗占用的墙面面积为28 800 cm2，设该铝合金窗的宽和高分别为 a cm， b cm，铝合金窗的透光部分的面积为S cm2.⑴试用a，b表示S;(2)若要使S最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少？［解］⑴T铝合金窗宽为 a cm,高为b cm, a>0, b>0,••• ab= 28 800.①b一18 设上栏框内高度为h cm,则下栏框内高度为2h cm,贝U 3h + 18= b,「. h=―,3 •••透光部分的面积S= (a- 18)x岂止+ (a-讣罟=(a- 16)(b- 18)= ab一2(9a+ 8b) + 288 = 28 800- 2(9a+ 8b) + 288 = 29 088- 2(9a+ 8b).(2) •/ 9a+ 8b> 2 9a 8b= 2 9 x 8X 28 800 = 2 880,当且仅当9a = 8b时等号成立，9此时b= "a，代入①式得a = 160,从而b= 180,即当a = 160, b= 180时，S取得最大值.•••铝合金窗的宽为160 cm,高为180 cm时，可使透光部分的面积最大.［方法技巧］利用基本不等式求解实际应用题的方法(1) 此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解.(2) 当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解.［针对训练］某品牌行车记录仪支架销售公司从2018年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t2万元之间满足函数关系式x= 3 —芮.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150% ”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是多少万元？解：由题意知t= 3—^- 1(1<x<3)，设该公司的月利润为y万元，则y= 48 + 士x—32x—3-1= 16x— - —3= 16x+ - —3= 45.5 —2 3—x 2116(3-x)+ 亍< 45.5—2 16= 37.5,当且11仅当x=严时取等号，即最大月利润为437.5万元.。

《基本不等式》专题一、相关知识点1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)； (2)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)．(3)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号且不为零)； (4)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(5)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)．2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(a ，b ∈R)．(6)a 2＋b 22≥(a ＋b )24≥ab (a ，b ∈R)．(7)a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a >0，b >0)． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则：(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)5．重要不等式链 若a ≥b ＞0，则a ≥a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b≥b . 题型一 基本不等式的判断1．若a ，b ∈R ，则下列恒成立的不等式是( )A.|a ＋b |2≥|ab | B ．b a ＋ab ≥2 C.a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 D ．(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4 2．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2abC ．1a ＋1b >2abD ．b a ＋ab ≥23．下列命题中正确的是( )A ．函数y ＝x ＋1x 的最小值为2 B ．函数y ＝x 2＋3x 2＋2的最小值为2C ．函数y ＝2－3x －4x (x ＞0)的最小值为2－4 3D ．函数y ＝2－3x －4x(x ＞0)的最大值为2－4 34．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，则( )A ．R <P <QB ．Q <P <RC ．P <Q <RD ．P <R <Q题型二 利用基本不等式求最值类型一 直接法或配凑法利用基本不等式求最值1．若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________．2．已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝4，则1ab 的最小值为3．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为4．已知x <0，则函数y ＝4x ＋x 的最大值是5．函数f (x )＝xx ＋1的最大值为6．若x ＞1，则x ＋4x －1的最小值为________．7．设0<x <2，则函数y ＝x (4－2x )的最大值为________．8．若x ，y 均为正数，则3x y ＋12yx ＋13的最小值是9．已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________．10．已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．11．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为12．已知x ，y 为正实数，则4x x ＋3y ＋3yx的最小值为13．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________.14．已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是15．已知x ，y 都为正实数，且x ＋y ＋1x ＋1y ＝5，则x ＋y 的最大值是16．已知a >b >0，则2a ＋4a ＋b ＋1a －b的最小值为17．已知正数a ，b 满足2a 2＋b 2＝3，则a b 2＋1的最大值为________．类型二 常数代换法利用基本不等式求最值1．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值为________．2．已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则2a ＋1b 的最小值为________．3．已知正实数x ，y 满足2x ＋y ＝2，则2x ＋1y 的最小值为________．4．已知正项等比数列{a n }的公比为2，若a m a n ＝4a 22，则2m ＋12n 的最小值为5．已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)，且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y 的最小值是6．已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为7．若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为________．8．已知a >0，b >0，函数f (x )＝a log 2x ＋b 的图像经过点⎝⎛⎭⎫4，12，则1a ＋2b 的最小值为________．9．已知函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋1n 的最小值为10．已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是11．已知直线l ：ax ＋by －ab ＝0(a >0，b >0)经过点(2,3)，则a ＋b 的最小值为________．12．已知x ，y 均为正实数，且1x ＋2＋1y ＋2＝16，则x ＋y 的最小值为13．若a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝2，则4a ＋1＋1b ＋c 的最小值是14．已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝3，则y x ＋1y 的最小值为________．15．设a >0，b >1，若a ＋b ＝2，则3a ＋1b －1的最小值为________．16．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求：(1)xy 的最小值；(2)x ＋y 的最小值．类型三 通过消元法利用基本(均值)不等式求最值1．若正实数m ，n 满足2m ＋n ＋6＝mn ，则mn 的最小值是________．2．已知正实数x ，y 满足xy ＋2x ＋y ＝4，则x ＋y 的最小值为________．3.设x ，y 均为正数，且xy ＋x －y －10＝0，则x ＋y 的最小值是________.4．已知x >0，y >0，且2x ＋4y ＋xy ＝1，则x ＋2y 的最小值是________．类型四：利用基本不等式求参数值或取值范围1．若对于任意的x ＞0，不等式xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为2．已知函数y ＝x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，则正数m 的值为________．3．若对x >0，y >0，x ＋2y ＝1，有2x ＋1y ≥m 恒成立，则m 的最大值是________．4．已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b恒成立，则m 的最大值为5．正数a ，b 满足1a ＋9b ＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是________．6．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为7．已知函数f (x )＝3x 2＋ax ＋26x ＋1，若存在x ∈N ＋使得f (x )≤2成立，则实数a 的取值范围为___题型三 基本不等式的综合问题类型一 基本不等式的实际应用问题1．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元2．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝__________吨．3．某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x (单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S (单位：m 2)． (1)求S 关于x 的函数关系式；(2)求S 的最大值．类型二 基本不等式与函数的交汇问题1．已知A ，B 是函数y ＝2x 的图象上不同的两点，若点A ，B 到直线y ＝12的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，－2)C ．(－∞，－3)D ．(－∞，－4)类型三 基本不等式与数列的交汇问题1．已知a >0，b >0，并且1a ，12，1b 成等差数列，则a ＋9b 的最小值为2．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 8－2S 4＝5，则a 9＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为3．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n (n ∈N ＋)，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n 的最小值是______.类型四 基本不等式与解析几何的交汇问题1． 已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是2．当双曲线M ：x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率最小时，M 的渐近线方程为3．两圆x 2＋y 2－2my ＋m 2－1＝0和x 2＋y 2－4nx ＋4n 2－9＝0恰有一条公切线，若m ∈R ，n4m2＋1n2的最小值为∈R，且mn≠0，则。

第3讲 基本不等式1．基本不等式设a >0，b >0，则a 、b 的算术平均数为□05a ＋b 2，几何平均数为□06ab ，基本不等式可叙述为□07两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 2．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则：(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有□01最小值是2p (简记：□02积定和最小)．(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有□03最大值是p 24(简记：□04和定积最大)．注：应用基本不等式求最值时，必须考察“一正、二定、三相等”，忽略某个条件，就会出现错误．3．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )， 2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(a ，b ∈R )． (5)a 2＋b 22≥a ＋b24≥ab (a ，b ∈R )． (6)a 2＋b 22≥a ＋b2≥ab ≥21a ＋1b(a >0，b >0)．1．概念辨析(1)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的．( )(2)函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( )(3)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为2.( )(4)x ＞0且y ＞0是x y ＋y x≥2的充要条件．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2．小题热身(1)已知f (x )＝x ＋1x－2(x <0)，则f (x )有( )A ．最大值0B ．最小值0C ．最大值－4D ．最小值－4答案 C解析 因为x <0，所以－x >0， 所以－x ＋1－x≥2－x1－x ＝2，当且仅当－x ＝1－x即x ＝－1时等号成立．所以x ＋1x ≤－2.所以f (x )＝x ＋1x－2≤－4.即f (x )有最大值－4.(2)设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．82 答案 C解析 由基本不等式18＝x ＋y ≥2xy ⇔9≥xy ⇔xy ≤81，当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值81，故选C.(3)已知lg a ＋lg b ＝2，则lg (a ＋b )的最小值为( ) A ．1＋lg 2 B ．2 2 C ．1－lg 2 D ．2 答案 A解析 由lg a ＋lg b ＝2，可知a >0，b >0， 则lg (ab )＝2，即ab ＝100. 所以a ＋b ≥2ab ＝2100＝20， 当且仅当a ＝b ＝10时取等号， 所以lg (a ＋b )≥lg 20＝1＋lg 2. 故lg (a ＋b )的最小值为1＋lg 2.(4)一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，则这个矩形的长为________m ，宽为________m 时菜园面积最大．答案 15152解析 设矩形的长为x m ，宽为y m ．则x ＋2y ＝30，所以S ＝xy ＝12x ·(2y )≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22＝2252，当且仅当x ＝2y ，即x ＝15，y ＝152时取等号．题型 一 利用基本不等式求最值角度1 直接应用1．(2019·沈阳模拟)已知a ＞b ＞0，求a 2＋1ba －b的最小值． 解 ∵a ＞b ＞0，∴a －b ＞0. ∴a 2＋1ba －b ≥a 2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22＝a 2＋4a 2 ≥2a 2·4a 2＝4，当且仅当b ＝a －b ，a 2＝2，a ＞b ＞0，即a ＝2，b ＝22时取等号．∴a 2＋1ba －b的最小值是4. 角度2 拼凑法求最值2．求f (x )＝4x －2＋14x －5⎝ ⎛⎭⎪⎫x <54的最大值．解 因为x ＜54，所以5－4x ＞0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.角度3 构造不等式求最值(多维探究)3．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值为( ) A ．3 B ．4 C.92 D.112答案 B解析 因为x >0，y >0，且x ＋2y ＋2xy ＝8， 所以x ＋2y ＝8－2xy ≥8－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22.整理得(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0，解得x ＋2y ≥4或x ＋2y ≤－8.又x ＋2y >0，所以x ＋2y ≥4.故x ＋2y 的最小值为4. 条件探究 把举例说明3的条件“x ＋2y ＋2xy ＝8”改为“4xy －x －2y ＝4”，其他条件不变，求xy 的最小值．解 因为x >0，y >0且4xy －x －2y ＝4，所以4xy －4＝x ＋2y ≥22xy . 整理可得2xy －2xy －2≥0.解得2xy ≥2即xy ≥2，所以xy 的最小值为2. 角度4 常数代换法求最值(多维探究)4．若直线x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 C解析 解法一：因为直线x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,1)， 所以1a ＋1b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a≥2＋2a b ·ba＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取“＝”，所以a ＋b 的最小值为4.解法二：因为直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,1)， 所以1a ＋1b＝1，所以b ＝aa －1>0，所以a >1，a －1>0，所以a ＋b ＝a ＋aa －1＝a ＋a －1＋1a －1＝a －1＋1a －1＋2 ≥2a －1a －1＋2＝4. 当且仅当a －1＝1a －1即a ＝2时等号成立，所以a ＋b 的最小值为4. 条件探究 将举例说明4条件变为“x ＞0，y ＞0且1x ＋9y＝1”，求x ＋y 的最小值．解 ∵x ＞0，y ＞0，∴y ＞9且x ＝yy －9.∴x ＋y ＝yy －9＋y ＝y ＋y －9＋9y －9＝y ＋9y －9＋1＝(y －9)＋9y －9＋10. ∵y ＞9，∴y －9＞0. ∴y －9＋9y －9＋10≥2y －9y －9＋10＝16. 当且仅当y －9＝9y －9，即y ＝12时取等号． 又1x ＋9y＝1，则x ＝4.∴当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取最小值16.1．拼凑法求解最值应注意的问题(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的条件． 2．通过消元法求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．如举例说明4解法二．3．常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式．如举例说明4解法一．(4)利用基本不等式求解最值．1．若正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，则x ＋y 的最小值是( ) A.23 B.223 C.33 D.233答案 B解析 对于x 2＋3xy －1＝0可得y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ，∴x ＋y ＝2x 3＋13x≥229＝223(当且仅当x ＝22时等号成立)．故选B. 2．(2018·天津高考)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a＋18b 的最小值为________．答案 14解析 因为a －3b ＋6＝0，所以a －3b ＝－6,2a ＋18b ＝2a ＋123b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b＝22a －3b＝22－6＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当2a ＝18b ＝18，即a ＝－3，b ＝1时取等号，所以2a ＋18b的最小值为14. 题型 二 基本不等式的综合应用角度1 基本不等式中的恒成立问题1．当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，2sin 2x －a sin2x ＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，3]解析 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，sin2x >0，原不等式可化为a sin2x ≤2sin 2x ＋1， a ≤2sin 2x ＋1sin2x.设f (x )＝2sin 2x ＋1sin2x，则f (x )＝2sin 2x ＋sin 2x ＋cos 2x 2sin x cos x ＝32tan x ＋12tan x.因为x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以tan x >0. 所以f (x )＝32tan x ＋12tan x≥232tan x ·12tan x＝3， 当且仅当32tan x ＝12tan x ，即tan x ＝33时等号成立，所以f (x )min ＝3，所以a ≤ 3.角度2 基本不等式与其他知识的综合问题2．(2018·西安模拟)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是( )A.6－24B.6＋24 C.6－22D.6＋22答案 A解析 由正弦定理，得a ＋2b ＝2c .所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋2b 222ab＝3a 2＋2b 2－22ab 8ab ≥26ab －22ab 8ab ＝6－24.当且仅当3a 2＝2b 2，即3a ＝2b 时，等号成立． 所以cos C 的最小值为6－24.基本不等式的综合运用常见题型及求解策略(1)应用基本不等式判断不等式的成立性或比较大小，有时也与其他知识进行综合命题，结合函数的单调性进行大小的比较．(2)利用基本不等式研究恒成立问题，以求参数的取值范围为主，如举例说明1. (3)与其他知识综合考查求最值问题，此时基本不等式作为求最值时的一个工具，常出现于解三角形求最值、解析几何求最值问题等．如举例说明2.1．已知f (x )＝32x－(k ＋1)3x＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，22－1) C ．(－1,22－1) D ．(－22－1,22－1)答案 B解析 由32x －(k ＋1)3x ＋2>0恒成立，得k ＋1<3x＋23x .∵3x＋23x ≥22，∴k ＋1<22，即k <22－1.2．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是( ) A.92 B.72 C ．22＋12D ．22－12答案 A解析 a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n＋n2， ∴S n ＋8a n＝n n ＋2＋8n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋16n ＋1≥12⎝⎛⎭⎪⎫2n ·16n ＋1＝92，当且仅当n ＝4时取等号．∴S n ＋8a n 的最小值是92.故选A. 题型 三 基本不等式在实际问题中的应用某厂家拟在2017年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，那么该产品的年销售量只能是1万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2017年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2017年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 解 (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1(万件)， ∴1＝3－k ，∴k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1. 由题意可知每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(元)，∴2017年的利润y ＝1.5x ·8＋16xx－8－16x －m＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋m ＋＋29(m ≥0)． (2)∵当m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， ∴y ≤－8＋29＝21， 当且仅当16m ＋1＝m ＋1，即m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)． 故该厂家2017年的促销费用投入3(万元)时，厂家的利润最大为21万元．利用基本不等式求解实际问题的求解策略(1)根据实际问题抽象出目标函数的表达式，再利用基本不等式求得函数的最值． (2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．提醒：利用基本不等式求最值时，一定要结合变量的实际意义验证等号是否成立．(2018·成都诊断)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元．答案 2 20解析 设工厂和仓库之间的距离为x 千米，运费为y 1万元，仓储费为y 2万元，则y 1＝k 1x (k 1≠0)，y 2＝k 2x(k 2≠0)，∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元， ∴k 1＝5，k 2＝20，∴运费与仓储费之和为⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋20x 万元，∵5x ＋20x≥25x ×20x ＝20，当且仅当5x ＝20x，即x ＝2时，运费与仓储费之和最小，为20万元．。

考点36 基本不等式1．（山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校级联合考试理）若x ，y ，z 是正数，且3412x y z ==，(),1x yn n z+∈+，n N ∈，则n 的值是 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B 【解析】令3412x y z k ===，得3log x k =，4log y k =，12log z k =，则111x y z +=，得1x y xy z +=，所以()22x y x y x y z xy y x++==++，注意到432y x x =>，即2y x >，且y x <，所以112y x >>，设y t x =，则1924,2x y t z t +⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭.所以4n =.故选B.2．（河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷理）已知,A B 为抛物线22(0)x py p =>上的两个动点，以AB 为直径的圆C 经过抛物线的焦点F ，且面积为2π，若过圆心C 作该抛物线准线l 的垂线CD ，垂足为D ，则||CD 的最大值为（ ）A ．2 BC D ．12【答案】A 【解析】根据题意，222AB ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴AB =设||||AF a BF b ==，，过点A 作AQ l ⊥于Q ，过点B 作BP l ⊥于P ， 由抛物线定义，得AF AQ BF BP ==，，在梯形ABPQ 中， ∴2CD AQ BP a b =+=+， 由勾股定理得，228a b =+，∵2222282244a b a b ab CD ab ++++⎛⎫==== ⎪⎝⎭2222424ab a b +++=…， 所以2CD ≤（当且仅当a b =时，等号成立）.3．（甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟理）已知非零向量a ,b 的夹角为60,且满足22a b -=,则a b ⋅的最大值为( )A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】因为非零向量a ,b 的夹角为60,且满足22a b -=, 所以2222444a ba b a b -=+-⋅=，即2244cos 604a b a b +-=，即22424a b a b +-=， 又因为2244a ba b +≥，当且仅当2a b =时，取等号；所以222424a b a b a b ≤+-=，即2a b ≤； 因此，1cos6012a b a b a b ⋅==≤. 即a b ⋅的最大值为1. 故选B4．（安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学理）已知函数()ln(1)f x x =-，若f （a ）＝f （b ），则a+2b 的取值范围为（ ）A ．（4，+∞）B ．[3)++∞C ．[6，+∞）D ．(4,3+【答案】B 【解析】∵函数f （x ）＝|ln （x ﹣1）|，f （a ）＝f （b ），且x ＞1，不妨设a b <，则12a b <<<. ∴﹣ln （a ﹣1）＝ln （b ﹣1），∴11a -＝b ﹣1，∴b ＝11a -+1，∴a+2b ＝a+222133311a a a +=-+++=+--…，当且仅当a 取等号，∴a+2b的取值范围是[3)++∞ 故选：B ．5．（陕西省2019年高三第三次教学质量检测理）若正数,m n 满足21m n +=，则11m n+的最小值为 A．3+B．3 C．2+ D ．3【答案】A 【解析】由题意，因为21m n +=，则11112()(2)333n m m n m n m n m n +=+⋅+=++≥+=+， 当且仅当2n mm n =，即n =时等号成立， 所以11m n+的最小值为3+ A.6．（天津市南开区2019届高三下学期模拟考试理）已知x ，y均为正实数，且272x y xy +=，则x+3y的最小值为_____________ 【答案】2; 【解析】 x ，y 均为正实数,22172x y xy y x +=+=+,)12113233)7722y xx y x y y x x y ⎛⎫+=++=++⎪⎝⎭17 2.72≥+==时等号成立.故答案为：2.7．（天津市河北区2019届高三一模数学理）若lg lg 0a b +=，则21a b+的最小值是_____________. 【答案】【解析】∵lga+lgb ＝lgab ＝0， ∴ab ＝1，且a ＞0，b ＞0，则21a b +≥=当且仅当21a b =且ab ＝1时即a =b 2=取得最小值故答案为8．（江西省临川一中2019届高三年级考前模拟考试理）如图，点D 在ABC ∆的边AC 上，且3CD AD =，BD =，cos2ABC ∠=，则3AB BC +的最大值为________．【答案】5【解析】因为cos24ABC ∠=，所以221cos 2cos121244ABC ABC ⎛∠∠=-=-= ⎝⎭因为3CD AD =，所以3uu u r uu u rCD DA =即()3uu u r uu u r uu r uu u r BD BC BA BD -=-，整理得到3144uu u r uu r uu u r BD BA BC =+，两边平方后有22291316168uu u r uu r uu u r uu r uu u rBD BA BC BA BC =++⋅，所以22913216168u u r u u u r u u r u u u r BA BC BA BC =++⋅即2291312||||161684u u r u u ur u u r u u u r BA BC BA BC =++⋅⨯，整理得到2233292u u r u u u r u u r u u u r BA BC BA BC =++⋅，设,uu r uu u r c BA a BC ==，所以()22239329322c a ac c a ac =++=+-，因为2933332222ac a c a c ⨯⨯+⎛⎫=≤⨯ ⎪⎝⎭，所以()()()()2222935323333288c a ac c a c a c a =+-≥+-+=+，35c a +≤=，当且仅当a =，15c =时等号成立，故填5. 9．（江苏省镇江市2019届高三考前模拟三模）若x ，y 均为正实数，则221(2)x y x y+++的最小值为_______.【解析】()()2222211122x ty t y x y x y xy y ++-+++=≥++()01t <<12=，即15t =时()2212x y x y +++=10．（宁夏石嘴山市第三中学2019届高三四模考试理）点(),M x y 在曲线C ：224210x x y -+-=上运动，22+1212150t x y x y a =+---，且t 的最大值为b ，若,a b R +∈，则111a b++的最小值为_____. 【答案】1 【解析】曲线C 可整理为：()22225x y -+= 则曲线C 表示圆心为()2,0，半径为5的圆()()2222+121215066222t x y x y a x y a =+---=++---设d =d 表示圆上的点到()6,6-的距离则max 515d ==2max 15222t a b ∴=--=，整理得：14a b ++=()111111*********b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫∴+=+++=⨯+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭又121b a a b ++≥=+（当且仅当11b a a b +=+，即1a =，2b =时取等号） 1114114a b ∴+≥⨯=+，即111a b ++的最小值为1 本题正确结果：111．（内蒙古2019届高三高考一模试卷数学理）设x ,y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12,则23a b+的最小值为______．【答案】256【解析】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线0,0()ax by z a b +=>>过直线20x y -+=与直线360x y --=的交点(4,6)时, 目标函数(0,0)z ax by a b =+>>取得最大12, 即4612a b +=,即236a b +=, 而2323236a b a b a b +⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭1313252666b a a b ⎛⎫++≥+= ⎪⎝⎭．故答案为：256． 12．（四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试理）ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 成等比数列，则cos B 的最小值为_____. 【答案】12【解析】因为,,a b c 成等比数列，所以2b ac =22222cos 22a c b a c acB ac ac+-+-==， 由基本不等式可以得到2221222a c ac ac ac ac ac +--≥=，当且仅当a c =时等号成立，故cos B 的最小值为12. 13．（山东省威海市2019届高三二模考试理）直三棱柱111ABC A B C -中，190,2BC A A A ︒∠==，设其外接球的球心为O ，已知三棱锥O ABC -的体积为1，则球O 表面积的最小值为__________． 【答案】16π. 【解析】如图，在Rt ABC ∆中，设,AB c BC a ==，则AC =分别取11,AC A C 的中点12,O O ，则12,O O 分别为111Rt A B C ∆和Rt ABC ∆外接圆的圆心， 连12,O O ，取12O O 的中点O ，则O 为三棱柱外接球的球心． 连OA ，则OA 为外接球的半径，设半径为R ．∵三棱锥O ABC -的体积为1，即1()1132O ABC acV -=⨯⨯=， ∴6ac =．在2Rt OO C ∆中，可得22222212()()11224O O AC a c R +=+=+=+， ∴222244(1)4(1)1644a c acS R ππππ+==+≥+=球表，当且仅当a c =时等号成立，∴O 球表面积的最小值为16π． 故答案为：16π．14．（山东省烟台市2019届高三5月适应性练习二数学（理）在V ABC 中,角A 的平分线交BC 于点D ,22BD CD ==,则V ABC 面积最大值为_________. 【答案】3 【解析】在V ABC 中,角A 的平分线交BC 于点D ,22BD CD ==,如下图所示：则1CD =，由三角形内角平分线定理可知：2AB BDAC CD==，设,2AC x BAC α=∠=，则2,0,2AB x πα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，由余弦定理可得：2223422cos 2x x x x α=+-⋅⋅⋅，即22954cos 2x x α=-，可得2954cos 2x α=-，V ABC 面积为219sin 22sin 2sin 2254cos 2S x x x αααα=⋅⋅⋅==-22222tan 918tan 181tan 311tan 19tan 9tan 54tan 1tan S αααααααα⋅+⇒====-++-⋅+…,当且仅当31tan =α时，等号成立，故V ABC 面积最大值为3.15．（江西省新八校2019届高三第二次联考）在锐角三角形ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3sin c b A =，则tan tan tanC A B ++的最小值是_______．【答案】12 【解析】由正弦定理可得：sin 3sin sin C B A =得：()sin sin cos cos sin 3sin sin A B A B A B B A +=+=sin cos cos sin 3sin sin cos cos cos cos A B A B B AA B A B+∴=，即tan tan 3tan tan A B A B +=又()tan tan tan tan tan tan tan tan tan A B C A B C A B A B ++==-+22tan tan 3tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan A B A BA B A B A B+-=-=-- 令tan tan A B t =，得：()()()22231613333tan tan tan 3161111t t t t A B C t t t t t -+-+-++====-++----ABC ∆为锐角三角形 ()tan tan tan tan 01tan tan A BC A B A B+∴-=+=<-得：tan tan 1A B >，即1t > 10t ∴->()3tan tan tan 3166121A B C t t ∴++=-++≥=- 当且仅当()3311t t -=-，即tan tan 2t A B ==时取等号 ()min tan tan tan 12A B C ∴++=本题正确结果：1216．（河北省保定市2019年高三第二次模拟考试理）若正数,a b 满足3ab a b ++=，则+a b 的最小值为__________． 【答案】2 【解析】因为,a b 2a b+≤成立. 所以()24a b ab +≤所以()()234a b ab a b a b =++++≤+即：()()21240b a a b +-+≥+ 解得：2a b +≥或6a b +≤-（舍去） 当3a bab a b =⎧⎨++=⎩时，等号成立，即：1a b ==时，等号成立.所以+a b 的最小值为217．（湖南湖北八市十二校（湖南师范大学附属中学、衡阳八中等理)2019届高三第二次调研联考）在菱形中，为边的中点，，则菱形面积的最大值是______．【答案】12 【解析】以对角线的交点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，在菱形ABCD 中，设，，，则，，，， 又E 为CD 边的中点，则，，，，由基本不等式有，，，当且仅当时取“”，即，菱形ABCD 的面积为，即菱形面积的最大值为12．故答案为：12．18．（四川省乐山市高中2019届高三第三次调查研究考试）已知正实数满足，则的最小值为_______．【答案】【解析】∵正实数满足，∴（2a+b），当且仅当时取等号．∴的最小值为故答案为．19．（山东省泰安市2019届高三第二轮复习质量检测理）如图，在中，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为______．【答案】【解析】因为的面积为，所以,因此，因为，所以因此，当且仅当时取等号即，的最小值为.20．（陕西省汉中市2019届高三全真模拟考试数学理）已知函数()f x x a x b =++-. （1）当1a =，1b =时，求不等式()4f x ≤的解集； （2）若0a >，0b >，()f x 的最小值为2，求12a b+的最小值.【答案】（1）{}22x x -≤≤；（2）32+ 【解析】（1）当1a =，1b =时，()114f x x x =++-≤，得124x x ≤-⎧⎨-≤⎩或1124x -<<⎧⎨≤⎩或124x x ≥⎧⎨≤⎩，解得：22x -≤≤，∴不等式()4f x ≤的解集为{}22x x -≤≤.（2）()()()f x x a x b x a x b a b =++-≥+--=+， ∴2a b +=，∴()121121213332222b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=⨯++=++≥+=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当2a =，4b =-.∴12a b +的最小值为3221．（江西省临川一中2019届高三年级考前模拟考试理）已知函数()211f x x x =--+． （1）解不等式()4f x ≤；（2）记函数()31y f x x =++的最小值m ，正实数a ，b 满足3m a b +=，求证：341log 2a b ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭． 【答案】（1）[]2,6-；（2）证明见解析. 【解析】（1）()4f x ≤等价于12114x x x ≤-⎧⎨-+++≤⎩ 或1122114x x x ⎧-<<⎪⎨⎪-+--≤⎩或122114x x x ⎧≥⎪⎨⎪---≤⎩， 故21x -≤≤-或112x -<<或162x ≤≤， 综上()4f x ≤解集为[]2,6-.（2）()()31212221223f x x x x x x ++=-++≥--+= 当且仅当()()21220x x -+≤取等号，∴3m =，1a b +=， ∴()41414559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当21,33a b ==时等号成立，∴3341log log 92a b ⎛⎫+≥= ⎪⎝⎭．22．（广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试数学理）已知()221f x x x =-++． （1）求不等式()6f x <的解集；（2）设m 、n 、p 为正实数，且()3m n p f ++=，求证：12mn np pm ++≤． 【答案】(1) ()1,3- (2)见证明 【解析】（1）①2x ≥时，()24133f x x x x =-++=-， 由()6f x <，∴336x -<，∴3x <，即23x ≤<，②12x -<<时，()4215f x x x x =-++=-，由()6f x <，∴56x -<，∴1x >-，即12x -<<， ③1x ≤-时，()42133f x x x x =---=-，由()6f x <，∴336x -<，∴1x >-，可知无解， 综上，不等式()6f x <的解集为()1,3-； （2）∵()221f x x x =-++，∴()36f =，∴()36m n p f ++==，且,,m n p 为正实数∴()222222236m n p m n p mn mp np ++=+++++=， ∵222m n mn +≥，222m p mp +≥，222n p np +≥， ∴222m n p mn mp np ++≥++，∴()()2222222363m n p m n p mn mp np mn mp np ++=+++++=≥++ 又,,m n p 为正实数，∴可以解得12mn np pm ++≤．23．（宁夏石嘴山市第三中学2019届高三四模考试数学理）选修4-5不等式选讲 已知关于x 的不等式20x m x -+≤的解集为{|2}x x ≤-，其中0m >. （1）求m 的值；（2）若正数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：2222b c aa b c++≥.【答案】（1）2m =（2）见证明 【解析】（1）由题意知：20x m x -+≤即20x m x m x ≥⎧⎨-+≤⎩或20x mm x x ≤⎧⎨-+≤⎩化简得：3x mm x >⎧⎪⎨≤⎪⎩或x m x m ≤⎧⎨≤-⎩ 0m > ∴不等式组的解集为{}x x m ≤- 2m ∴-=-，解得：2m =（2）由（1）可知，2a b c ++=由基本不等式有：22b a b a +≥，22c b c b +≥，22a c a c +≥三式相加可得：222222b c a a b c b c a a b c +++++≥++222b c a a b c a b c ∴++≥++，即：2222b c a a b c++≥24．（吉林省长春市北京师范大学长春市附属中学2019届高三第四次模拟考试理）已知()()0f x x a a =->． （1）若函数()()()2F x f x f x =+的最小值为3，求实数a 的值；（2）若2a =时，函数()()()g x f x f x =--的最大值为k ，且()230,0m n k m n +=>>．求123m n+的最小值．【答案】（1）6（2）2 【解析】（1）0a >，2aa ∴<，∴函数()()3222232x a x aa F x x a x a x x a a a x x ⎧⎪->⎪⎪⎛⎫=-+-=≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩∴当2a x =时，函数()F x 的最小值为322a aF ⎛⎫== ⎪⎝⎭，6a ∴=．（2）当2a =时，()22g x x x =--+， ()()22224x x x x --+≤--+=，4k∴=，所以234m n +=因为()12112134123442343434n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 所以当343n m m n =，即2n =1m =时，123m n +最小值为2。

第四节基本不等式一、基础知识批注——理解深一点12．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．和定积最大，积定和最小：两个正数的和为定值时，则可求其积的最大值；积为定值时，可求其和的最小值.二、常用结论汇总——规律多一点(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (3)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (4)b a ＋ab ≥2(a ，b ∈R ，且a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号．三、基础小题强化——功底牢一点(一)判一判(对的打“√”，错的打“×”) (1)当a ≥0，b ≥0时，a ＋b2≥ab .( ) (2)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的．( ) (3)x ＞0且y >0是x y ＋yx ≥2的充要条件．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×(二)选一选1．设a >0，则9a ＋1a 的最小值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选C 因为a >0，所以9a ＋1a ≥2 9a ×1a ＝6，当且仅当9a ＝1a ，即a ＝13时，9a ＋1a 取得最小值6.故选C.2．若x >0，y >0，且2(x ＋y )＝36，则xy 的最大值为( ) A ．9 B ．18 C ．36D ．81解析：选A 由2(x ＋y )＝36，得x ＋y ＝18，所以xy ≤x ＋y2＝9，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立．3．“x >0”是“x ＋1x ≥2”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 当x >0时，x ＋1x ≥2x ·1x ＝2( 当且仅当⎭⎫x ＝1x 时，等号成立.因为x ，1x同号，所以若x ＋1x ≥2，则x >0，1x >0，所以“x >0”是“x ＋1x ≥2”成立的充要条件，故选C.(三)填一填4．若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________． 解析：x 2＋2y 2＝x 2＋(2y )2≥2x (2y )＝22， 当且仅当x ＝2y 且xy ＝1时等号成立． 所以x 2＋2y 2的最小值为2 2.答案：2 25．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2. 解析：设一边长为x m ，则另一边长可表示为(10－x )m ，由题知0<x <10，则面积S ＝x (10－x )≤⎝⎛⎭⎫x ＋10－x 22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时等号成立，故当矩形的长与宽相等，且都为5 m 时面积取到最大值25 m 2.答案：25考点一 利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值的基本方法有拼凑法、常数代换法等.[典例] (1)已知a >2，则a ＋3a －2的最小值是( ) A ．6 B ．2 C ．23＋2D ．4(2)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________．(3)已知x >0，y >0，且x ＋2y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________．(4)已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值为________． [解析] (1)拼凑法因为a >2，所以a －2>0，所以a ＋3a －2＝(a －2)＋3a －2＋2≥2 (a －2)·3a －2＋2＝23＋2，当且仅当a －2＝3a －2，即a ＝2＋3时取等号．故选C. (2)拼凑法y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎡⎦⎤2x ＋(3－2x )22＝92，当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．∵34∈⎝⎛⎭⎫0，32，∴函数y ＝4x (3－2x )⎝⎛⎭⎫0<x <32的最大值为92. (3)常数代换法∵x >0，y >0，且x ＋2y ＝1，∴1x ＋1y ＝x ＋2y x ＋x ＋2yy ＝1＋2＋2y x ＋x y≥3＋2 2y x ·xy＝3＋2 2. 当且仅当2y x ＝x y 且x ＋2y ＝1，即x ＝2－1，y ＝1－22时，取得等号．∴1x ＋1y 的最小值为3＋2 2. (4)拼凑法 因为x >0，y >0，所以8＝x ＋2y ＋x ·2y ≤(x ＋2y )＋⎝⎛⎭⎫x ＋2y 22， 令x ＋2y ＝t ，则8≤t ＋t 24，即t 2＋4t －32≥0，解得t ≥4或t ≤－8，即x ＋2y ≥4或x ＋2y ≤－8(舍去)，当且仅当x ＝2y ，即x ＝2，y ＝1时等号成立． [答案] (1)C (2)92(3)3＋22 (4)4[解题技法] 基本不等式求最值的2种常用方法[题组训练]1.(常数代换法)若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab 的最小值为( ) A ．2 B.12 C ．4D.14解析：选B 因为a >0，b >0，故2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b 时取等号)．又因为2a ＋b ＝4，∴22ab ≤4⇒0<ab ≤2， ∴1ab ≥12，故1ab 的最小值为12.故选B. 2.(两次基本不等式)设x >0，y >0，且x ＋4y ＝40，则lg x ＋lg y 的最大值是( ) A ．40 B ．10 C ．4D ．2解析：选D 因为x ＋4y ＝40，且x >0，y >0，所以x ＋4y ≥2x ·4y ＝4xy .(当且仅当x ＝4y 时取“＝”) 所以4xy ≤40.所以xy ≤100. 所以lg x ＋lg y ＝lg xy ≤lg 100＝2. 所以lg x ＋lg y 的最大值为2. 3.(拼凑法)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选D a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝(a 2－ab )＋1(a 2－ab )＋1ab＋ab ≥2(a 2－ab )·1(a 2－ab )＋21ab ×ab ＝4，当且仅当a 2－ab ＝1a 2－ab 且1ab ＝ab ，即a ＝2，b ＝22时取等号，故选D. 4.(常数代换法)已知x >0，y >0，且x ＋2y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为________． 解析：由x >0，y >0，x ＋2y ＝xy ，得2x ＋1y ＝1， 所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝3＋2y x ＋xy ≥3＋2 2. 当且仅当x ＝2y 时取等号． 答案：3＋2 2考点二 基本不等式的实际应用[典例] 某工厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x －1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式．(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？[解] (1)因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.05×1 000x 万元，依题意得：当0<x <80时，L (x )＝(0.05×1 000x )－⎝⎛⎭⎫13x 2＋10x －250＝－13x 2＋40x －250. 当x ≥80时，L (x )＝(0.05×1 000x )－⎝⎛⎭⎫51x ＋10 000x －1 450－250＝1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x . 所以L (x )＝⎩⎨⎧－13x 2＋40x －250，0<x <80，1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ，x ≥80.(2)当0<x <80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950.此时，当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950万元． 当x ≥80时，L (x )＝1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ≤1 200－2 x ·10 000x＝1 200－200＝1 000.此时x ＝10 000x， 即x ＝100时，L (x )取得最大值1 000万元． 由于950<1 000，所以当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为1 000万元．[解题技法] 有关函数最值的实际问题的解题技巧(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． (2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解． [题组训练]1．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．解析：由题意，一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝⎛⎭⎫900x ＋x ≥8900x ·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.答案：302．某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的泳池，池的深度为1米，池的四周墙壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计)．则泳池的长设计为______米时，可使总造价最低．解析：设泳池的长为x 米，则宽为200x 米，总造价f (x )＝400×⎝⎛⎭⎫2x ＋2×200x ＋100×200x ＋60×200＝800×⎝⎛⎭⎫x ＋225x ＋12 000≥1 600x ·225x ＋12 000＝36 000(元)，当且仅当x ＝225x(x >0)，即x ＝15时等号成立．即泳池的长设计为15米时，可使总造价最低．答案：15 [课时跟踪检测]1．(2019·长春调研)“a >0，b >0”是“ab <⎝⎛⎭⎫a ＋b 22”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D 当a >0，b >0时，a ＋b 2≥ab ，即ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，当a ＝b 时，ab <⎝⎛⎭⎫a ＋b 22不成立，故“a >0，b >0”不是“ab <⎝⎛⎭⎫a ＋b 22”的充分条件．当ab <⎝⎛⎭⎫a ＋b 22时，a ，b 可以异号，故a >0，b >0不一定成立，故“a >0，b >0”不是“ab <⎝⎛⎭⎫a ＋b 22”的必要条件．故“a >0，b >0”是“ab <⎝⎛⎭⎫a ＋b 22”的既不充分也不必要条件，故选D.2．已知x >0，y >0，且x ＋2y ＝2，则xy ( ) A ．有最大值为1 B ．有最小值为1 C ．有最大值为12D ．有最小值为12解析：选C 因为x >0，y >0，x ＋2y ＝2， 所以x ＋2y ≥2x ·2y ，即2≥22xy ，xy ≤12，当且仅当x ＝2y ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立．所以xy 有最大值，且最大值为12.3．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4解析：选C 因为1a ＋2b ＝ab ，所以a >0，b >0， 由ab ＝1a ＋2b ≥21a ·2b ＝2 2ab ，所以ab ≥22(当且仅当b ＝2a 时取等号)， 所以ab 的最小值为2 2.4．已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B 由题意知ab ＝1，∴m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b ＝2a ，∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，故m ＋n 的最小值为4.5．(2019·长春质量监测)已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12D ．16解析：选B 由4x ＋y ＝xy 得4y ＋1x ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫4y ＋1x ＝4x y ＋y x ＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y ＝yx ，即x ＝3，y ＝6时取“＝”，故选B.6．若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值为( ) A.43 B.53 C.54D ．2解析：选D 30＝4x 2＋9y 2＋3xy ≥236x 2y 2＋3xy ， 即30≥15xy ，所以xy ≤2， 当且仅当4x 2＝9y 2，即x ＝3，y ＝233时等号成立． 故xy 的最大值为2.7．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( )A ．0 B.12C ．1D.32解析：选A y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝⎛⎭⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝⎛⎭⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为0.故选A.8．已知x >1，y >1，且log 2x ，14，log 2y 成等比数列，则xy 有( )A ．最小值 2B ．最小值2C ．最大值 2D ．最大值2解析：选A ∵x >1，y >1，∴log 2x >0，log 2y >0.又∵log 2x ，14，log 2y 成等比数列，∴116＝log 2x ·log 2y ，∴由基本不等式，得log 2x ＋log 2y ≥2log 2x ·log 2y ＝12，当且仅当log 2x ＝log 2y时取等号，故log 2(xy )≥12，即xy ≥ 2.选A.9．当3＜x ＜12时，函数y ＝(x －3)(12－x )x的最大值为________．解析：y ＝(x －3)(12－x )x ＝－x 2＋15x －36x＝－⎝⎛⎭⎫x ＋36x ＋15≤－2 x ·36x ＋15＝3，当且仅当x ＝36x ，即x ＝6时，y max ＝3.答案：310．(2018·南昌摸底调研)已知函数y ＝x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，则正数m 的值为________．解析：∵x >2，m >0，∴y ＝x －2＋mx －2＋2≥2 (x －2)·mx －2＋2＝2m ＋2，当x ＝2＋m 时取等号，又函数y ＝x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，∴2m ＋2＝6，解得m ＝4. 答案：411．(2018·天津高考)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________．解析：∵a －3b ＋6＝0，∴a －3b ＝－6. ∴2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b＝22a－3b＝22－6＝2×2－3＝14.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3b ，a －3b ＋6＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1时等号成立． 答案：1412．(2018·聊城一模)已知a >0，b >0,3a ＋b ＝2ab ，则a ＋b 的最小值为________．解析：由a >0，b >0,3a ＋b ＝2ab ，得32b ＋12a＝1， 所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫32b ＋12a ＝2＋3a 2b ＋b2a ≥2＋3，当且仅当b ＝3a 时等号成立，则a ＋b 的最小值为2＋ 3.答案：2＋ 313．(2019·孝感模拟)经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y (L)与速度x (km/h)(50≤x ≤120)的关系可近似表示为y ＝⎩⎨⎧175(x 2－130x ＋4 900)，x ∈[50，80)，12－x60，x ∈[80，120].(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？(2)已知A ，B 两地相距120 km ，假定该型号汽车匀速从A 地驶向B 地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？解：(1)当x ∈[50,80)时，y ＝175(x 2－130x ＋4 900)＝175[(x －65)2＋675]， 所以当x ＝65时，y 取得最小值，最小值为175×675＝9.当x ∈[80,120]时，函数y ＝12－x60单调递减，故当x ＝120时，y 取得最小值，最小值为12－12060＝10.因为9<10，所以当x ＝65，即该型号汽车的速度为65 km/h 时，可使得每小时耗油量最少．(2)设总耗油量为l L ，由题意可知l ＝y ·120x ，①当x ∈[50,80)时，l ＝y ·120x ＝85⎝⎛⎭⎫x ＋4 900x －130≥85⎝⎛⎭⎫2 x ×4 900x －130＝16，当且仅当x ＝4 900x ，即x ＝70时，l 取得最小值，最小值为16； ②当x ∈[80,120]时，l ＝y ·120x ＝1 440x －2为减函数， 所以当x ＝120时，l 取得最小值，最小值为10.因为10<16，所以当速度为120 km/h 时，总耗油量最少．。

高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明7.4 基本不等式 考试要求 1.掌握基本不等式及常见变型.2.会用基本不等式解决简单的最值问题． 知识梳理1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b 2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数． 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．利用基本不等式求最值(1)已知x ，y 都是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P .(2)已知x ，y 都是正数，如果和x ＋y 等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2. 注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22与ab ≤a ＋b 2等号成立的条件是相同的．( × ) (2)y ＝x ＋1x的最小值是2.( × ) (3)若x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则xy 的最小值为4.( √ )(4)函数y ＝sin x ＋4sin x，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的最小值为4.( × ) 教材改编题1．已知x >2，则x ＋1x －2的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．2 2 D ．4答案 D解析 ∵x >2，∴x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2≥2x －21x －2＋2＝4， 当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，等号成立． 2．函数y ＝4－x －1x(x <0)( ) A ．有最小值2B ．有最小值6C ．有最大值2D ．有最大值6答案 B解析 y ＝4＋(－x )＋1－x ≥4＋2－x ·⎝⎛⎭⎫－1x ＝6. 当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时取等号． 3．若a ，b ∈R ，下列不等式成立的是________．①b a ＋a b ≥2； ②ab ≤a 2＋b 22； ③a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22；④2ab a ＋b≤ab . 答案 ②③ 解析 当b a为负时，①不成立． 当ab <0时，④不成立.题型一 利用基本不等式求最值命题点1 配凑法例1 (1)(2022·乐山模拟)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为( ) A.94 B ．4 C.92D ．9 答案 C解析 y ＝4x (3－2x )＝2·2x ·(3－2x )≤2·⎝⎛⎭⎫2x ＋3－2x 22＝92. 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时取等号， ∴当x ＝34时，y max ＝92. (2)若x <23，则f (x )＝3x ＋1＋93x －2有( ) A ．最大值0B ．最小值9C ．最大值－3D ．最小值－3解析 ∵x <23， ∴3x －2<0， f (x )＝3x －2＋93x －2＋3＝－⎣⎡⎦⎤2－3x ＋92－3x ＋3≤－22－3x ·92－3x ＋3＝－3.当且仅当2－3x ＝92－3x ，即x ＝－13时取“＝”．(3)(2022·绍兴模拟)若－1<x <1，则y ＝x 2－2x ＋22x －2的最大值为________．答案 －1解析 因为－1<x <1，则0<1－x <2，于是得y ＝－12·1－x 2＋11－x＝－12⎣⎡⎦⎤1－x ＋11－x≤－12·21－x ·11－x ＝－1，当且仅当1－x ＝11－x ，即x ＝0时取“＝”，所以当x ＝0时，y ＝x 2－2x ＋22x －2有最大值－1.命题点2 常数代换法例2 (2022·重庆模拟)已知a >0，b >0，且a ＋b ＝2，则2a ＋12b 的最小值是() A ．1 B ．2C.94 D.92解析 因为a >0，b >0，且a ＋b ＝2，所以a ＋b 2＝1， 所以2a ＋12b ＝12(a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋12b ＝12⎝⎛⎭⎫2b a ＋a 2b ＋52 ≥12×⎝⎛⎭⎫2＋52＝94， 当且仅当a ＝43，b ＝23时，等号成立．命题点3 消元法例3 已知x >0，y >0且x ＋y ＋xy ＝3，则x ＋y 的最小值为________．答案 2解析 方法一 (换元消元法)∵x ＋y ＋xy ＝3，则3－(x ＋y )＝xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，即(x ＋y )2＋4(x ＋y )－12≥0，令t ＝x ＋y ，则t >0，∴t 2＋4t －12≥0，解得t ≥2，∴x ＋y 的最小值为2.方法二 (代入消元法)由x ＋y ＋xy ＝3得y ＝3－x x ＋1， ∵x >0，y >0，∴0<x <3，∴x ＋y ＝x ＋3－x x ＋1＝x ＋4x ＋1－1＝x ＋1＋4x ＋1－2≥2x ＋1·4x ＋1－2＝2，当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时取等号，∴x ＋y 的最小值为2.延伸探究 本例条件不变，求xy 的最大值．解 ∵x ＋y ＋xy ＝3，∴3－xy ＝x ＋y ≥2xy ，当且仅当x ＝y 时取等号，令t ＝xy ，则t >0，∴3－t 2≥2t ，即t 2＋2t －3≤0， 即0<t ≤1，∴当x ＝y ＝1时，xy 最大值为1.教师备选1．(2022·哈尔滨模拟)已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，则当x ＋y 取得最小值时，y 等于() A ．16 B ．6 C ．18 D ．12答案 B解析 因为x >0，y >0,2x ＋8y ＝xy ，所以2y ＋8x ＝1，所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫2y ＋8x ＝10＋2xy ＋8yx≥10＋22xy ·8yx ＝10＋2×4＝18，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2x y ＝8y x ，2x ＋8y －xy ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12，y ＝6时取等号，所以当x ＋y 取得最小值时，y ＝6.2．已知函数f (x )＝－x 2x ＋1(x <－1)，则( ) A ．f (x )有最小值4B ．f (x )有最小值－4C ．f (x )有最大值4D ．f (x )有最大值－4 答案 A解析 f (x )＝－x 2x ＋1＝－x 2－1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x －1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x ＋1＋1x ＋1－2 ＝－(x ＋1)＋1－x ＋1＋2. 因为x <－1，所以x ＋1<0，－(x ＋1)>0，所以f (x )≥21＋2＝4，当且仅当－(x ＋1)＝1－x ＋1，即x ＝－2时，等号成立． 故f (x )有最小值4.思维升华 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．跟踪训练1 (1)已知函数f (x )＝22x －1＋x (2x >1)，则f (x )的最小值为________． 答案 52解析 ∵2x >1，∴x －12>0， f (x )＝22x －1＋x ＝1x －12＋x －12＋12 ≥21x －12·⎝⎛⎭⎫x －12＋12＝2＋12＝52， 当且仅当1x －12＝x －12，即x ＝32时取“＝”． ∴f (x )的最小值为52. (2)已知x >0，y >0且x ＋y ＝5，则1x ＋1＋1y ＋2的最小值为________． 答案 12解析 令x ＋1＝m ，y ＋2＝n ，∵x >0，y >0，∴m >0，n >0，则m ＋n ＝x ＋1＋y ＋2＝8，∴1x ＋1＋1y ＋2＝1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ×18(m ＋n )＝18⎝⎛⎭⎫n m ＋m n ＋2≥18×(21＋2)＝12. 当且仅当n m ＝m n，即m ＝n ＝4时等号成立． ∴1x ＋1＋1y ＋2的最小值为12. 题型二 基本不等式的常见变形应用例4 (1)(2022·宁波模拟)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b 2≥ab (a >0，b >0) B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.2ab a ＋b ≤ab (a >0，b >0)D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)答案 D解析 由图形可知，OF ＝12AB ＝12(a ＋b )，OC ＝12(a ＋b )－b ＝12(a －b )，在Rt △OCF 中，由勾股定理可得，CF ＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋⎝⎛⎭⎫a －b 22＝12a 2＋b 2，∵CF ≥OF ，∴12a 2＋b 2≥12(a ＋b )(a >0，b >0)．(2)(2022·广州模拟)已知0<a <1，b >1，则下列不等式中成立的是() A ．a ＋b <4aba ＋bB.ab <2aba ＋bC.2a 2＋2b 2<2abD ．a ＋b <2a 2＋2b 2答案 D解析 对于选项A ，因为0<a <1，b >1，所以(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2>4ab ，故选项A 错误；对于选项B ，ab >21a ＋1b＝2aba ＋b，故选项B 错误；对于选项C ，2a 2＋b 2>2×2ab ＝2ab ，故选项C 错误；对于选项D,2a 2＋2b 2>a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2，所以a ＋b <2a 2＋2b 2，故选项D 正确．教师备选若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b≥2 答案 D解析 a 2＋b 2≥2ab ，所以A 错误；ab >0，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以当a <0，b <0时，B 错误；同时C 错误；a b 或b a都是正数，根据基本不等式求最值， a b ＋b a ≥2a b ×b a ＝2，故D 正确． 思维升华 基本不等式的常见变形(1)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22. (2)21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)． 跟踪训练2 (1)(2022·浙南名校联盟联考)已知命题p ：a >b >0，命题q ：a 2＋b 22>⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，则p是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 ∵a >b >0，则a 2＋b 2>2ab ，∴2(a 2＋b 2)>a 2＋b 2＋2ab ，∴2(a 2＋b 2)>(a ＋b )2， ∴a 2＋b 22>⎝⎛⎭⎫a ＋b 22， ∴由p 可推出q ，当a <0，b <0时，命题q 成立，如a ＝－1，b ＝－3时，a 2＋b 22＝5>⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝4，∴由q 推不出p ，∴p 是q 成立的充分不必要条件．(2)(2022·漳州质检)已知a ，b 为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是( )A.2a ＋bB.1a ＋1bC.2abD.2a 2＋b 2答案 B解析 ∵a ，b 为互不相等的正实数，∴1a ＋1b >2ab， 2a ＋b <22ab ＝1ab <2ab， 2a 2＋b 2<22ab ＝1ab <2ab， ∴最大的是1a ＋1b.柯西不等式是法国著名的数学家、物理学家、天文学家柯西(Cauchy,1789－1857)发现的，故命名为柯西不等式．柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，除了用柯西不等式来证明一些不等式成立外，柯西不等式还常用于选择、填空求最值的问题中，借助柯西不等式的技巧可以达到事半功倍的效果．1．(柯西不等式的代数形式)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时，等号成立．推广一般情形：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n ∈R ，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2(当且仅当b i＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个实数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立)．2．(柯西不等式的向量形式)设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，其中当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时等号成立．3．(柯西不等式的三角不等式)设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3为任意实数，则： x 1－x 22＋y 1－y 22＋x 2－x 32＋y 2－y 32 ≥x 1－x 32＋y 1－y 32.一、利用柯西不等式求最值例1 已知x ，y 满足x ＋3y ＝4，则4x 2＋y 2的最小值为________．答案 6437 解析 (x ＋3y )2≤(4x 2＋y 2)⎝⎛⎭⎫14＋9，所以4x 2＋y 2≥16×437＝6437， 当且仅当y ＝12x 时，等号成立，所以4x 2＋y 2的最小值为6437. 例2 已知正实数x ，y ，z 满足x 2＋y 2＋z 2＝1，正实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2＝9，则ax ＋by ＋cz 的最大值为________．答案 3解析 (ax ＋by ＋cz )2≤(a 2＋b 2＋c 2)·(x 2＋y 2＋z 2)＝9，∴ax ＋by ＋cz ≤3，当且仅当a ＝3x ，b ＝3y ，c ＝3z 时取“＝”，∴ax ＋by ＋cz 的最大值为3.例3 函数y ＝5x －1＋10－2x 的最大值为________． 答案 6 3 解析 y 2＝(5x －1＋10－2x )2＝(5x －1＋2·5－x )2≤(52＋2)(x －1＋5－x )＝108，当且仅当x ＝12727时等号成立，∴y ≤6 3.二、利用柯西不等式证明不等式例4 已知a 1，a 2，b 1，b 2为正实数，求证：(a 1b 1＋a 2b 2)·⎝⎛⎭⎫a 1b 1＋a 2b 2≥(a 1＋a 2)2. 证明 (a 1b 1＋a 2b 2)⎝⎛⎭⎫a 1b 1＋a 2b 2＝[(a 1b 1)2＋(a 2b 2)2]⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a 1b 12＋⎝⎛⎭⎫a 2b 22 ≥⎝⎛⎭⎫a 1b 1·a 1b 1＋a 2b 2·a 2b 22 ＝(a 1＋a 2)2.当且仅当b 1＝b 2时，等号成立．例5 已知a 1，a 2，…，a n 都是实数，求证：1n(a 1＋a 2＋…＋a n )2≤a 21＋a 22＋…＋a 2n . 证明 根据柯西不等式，有()12＋12＋…＋12n 个 (a 21＋a 22＋…＋a 2n )≥(1×a 1＋1×a 2＋…＋1×a n )2， 所以1n(a 1＋a 2＋…＋a n )2≤a 21＋a 22＋…＋a 2n . 课时精练1．下列函数中，最小值为2的是( )A ．y ＝x ＋2xB ．y ＝x 2＋3x 2＋2C ．y ＝e x ＋e －xD ．y ＝log 3x ＋log x 3(0<x <1)答案 C解析 当x <0时，y ＝x ＋2x<0，故A 错误； y ＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2， 当且仅当x 2＋2＝1x 2＋2， 即x 2＝－1时取等号，∵x 2≠－1，故B 错误；y ＝e x ＋e －x ≥2e x ·e －x ＝2，当且仅当e x ＝e －x ，即x ＝0时取等号，故C 正确；当x ∈(0,1)时，y ＝log 3x <0，故D 错误．2．(2022·汉中模拟)若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则ab 的最大值为( )A ．2 B.12 C ．4 D.14答案 A解析 4＝2a ＋b ≥22ab ，即2≥2ab ，平方得ab ≤2，当且仅当2a ＝b ，即a ＝1，b ＝2时等号成立，∴ab 的最大值为2.3．(2022·苏州模拟)若a ，b 是正常数，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，则a 2x ＋b 2y ≥a ＋b 2x ＋y ，当且仅当a x ＝b y 时取等号．利用以上结论，函数f (x )＝2x ＋91－2x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，12取得最小值时x 的值为( ) A.15 B.14 C.24 D.13答案 A解析 f (x )＝2x ＋91－2x ＝42x ＋91－2x ≥2＋322x ＋1－2x ＝25，当且仅当22x ＝31－2x ，即x ＝15时等号成立．4．(2022·重庆模拟)已知x >2，y >1，(x －2)(y －1)＝4，则x ＋y 的最小值是() A ．1 B ．4C ．7D ．3＋17答案 C解析 ∵x >2，y >1，(x －2)(y －1)＝4，∴x ＋y ＝(x －2)＋(y －1)＋3≥2x －2y －1＋3＝7，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3时等号成立． 5．已知函数f (x )＝14x ＋9x －1(x <1)，下列结论正确的是( )A ．f (x )有最大值114B ．f (x )有最大值－114C ．f (x )有最小值132D ．f (x )有最小值74答案 B解析 f (x )＝x －14＋9x －1＋14＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 4＋91－x ＋14≤－21－x 4·91－x＋14＝－114，当且仅当x ＝－5时等号成立．6．已知函数f (x )＝xx 2－x ＋4(x >0)，则( )A ．f (x )有最大值3B ．f (x )有最小值3C ．f (x )有最小值13 D ．f (x )有最大值13答案 D解析 f (x )＝xx 2－x ＋4＝1x ＋4x －1≤124－1＝13，当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时等号成立，∴f (x )的最大值为13.7．(2022·济宁模拟)已知a ，b 为正实数，则“aba ＋b ≤2”是“ab ≤16”的() A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由a ，b 为正实数，∴a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立，若ab ≤16，可得aba ＋b ≤ab2ab ＝ab2≤162＝2，故必要性成立；当a ＝2，b ＝10，此时aba ＋b ≤2，但ab ＝20>16，故充分性不成立，因此“ab a ＋b ≤2”是“ab ≤16”的必要不充分条件． 8．已知正实数a ，b 满足a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则下列不等式恒成立的有( ) ①2a ＋2b ≥22；②a 2＋b 2<1； ③1a ＋1b<4； ④a ＋1a >2. A ．①②B ．①③C ．①②④D ．②③④答案 C解析 ∵2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b ＝22，当且仅当a ＝b 时取等号，∴①正确； ∵a 2＋b 2<a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2＝1，∴②正确；∵1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ×a b ＝4， 当且仅当a ＝b 时取等号，∴③错误；∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴0<a <1，∵a ＋1a ≥2a ·1a＝2，当且仅当a ＝1时取等号， ∴a ＋1a>2，④正确． 9．若0<x <2，则x 4－x 2的最大值为________．答案 2解析 ∵0<x <2，∴x 4－x 2＝x 24－x 2≤x 2＋4－x 22＝2， 当且仅当x 2＝4－x 2，即x ＝2时取“＝”．10．若a >0，b >0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为________． 答案 4解析 依题意ab ＝a ＋b ，∴a ＋b ＝ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22， 即a ＋b ≤a ＋b 24，∴a ＋b ≥4，当且仅当a ＝b 时取等号，∴a ＋b 的最小值为4.11．已知x >0，y >0且3x ＋4y －xy ＝0，则3x ＋y 的最小值为________． 答案 27解析 因为x >0，y >0,3x ＋4y ＝xy ，所以3y ＋4x＝1， 所以3x ＋y ＝(3x ＋y )⎝⎛⎭⎫3y ＋4x ＝15＋9x y ＋4y x ≥15＋29x y ·4y x＝27， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 9x y ＝4y x ，3x ＋4y －xy ＝0即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝9时取等号， 所以3x ＋y 的最小值为27.12．(2021·天津)若a >0，b >0，则1a ＋a b2＋b 的最小值为________． 答案 2 2解析 ∵a >0，b >0，∴1a ＋a b 2＋b ≥21a ·a b 2＋b ＝2b ＋b ≥22b·b ＝22， 当且仅当1a ＝a b 2且2b＝b ，即a ＝b ＝2时等号成立， ∴1a ＋a b2＋b 的最小值为2 2.13．(2022·南京模拟)若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－233，233 B.⎝⎛⎭⎫－233，233 C.⎣⎡⎦⎤－223，223 D.⎝⎛⎭⎫－223，223 答案 A解析 ∵x 2＋y 2＋xy ＝1⇔xy ＝(x ＋y )2－1，又∵xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，∴(x ＋y )2－1≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，令x ＋y ＝t ， 则4t 2－4≤t 2，∴－233≤t ≤233， 即－233≤x ＋y ≤233，当且仅当x ＝y 时，取等号， ∴x ＋y 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－233，233. 14．设a >0，b >0，则下列不等式中一定成立的是________．(填序号)①a ＋b ＋1ab ≥22； ②2ab a ＋b >ab ； ③a 2＋b 2ab≥a ＋b ； ④(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4.答案 ①③④解析 因为a >0，b >0，所以a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab≥22， 当且仅当a ＝b 且2ab ＝1ab ，即a ＝b ＝22时取等号，故①正确； 因为a ＋b ≥2ab >0， 所以2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号， 故②错误；因为2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号， 所以a 2＋b 2a ＋b ＝a ＋b 2－2ab a ＋b ＝a ＋b －2ab a ＋b≥ 2ab －ab ＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，所以a 2＋b 2a ＋b ≥ab ，即a 2＋b 2ab≥a ＋b ，故③正确； 因为(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥ 2＋2b a ·a b＝4，当且仅当a ＝b 时取等号，故④正确．15．已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则1a ＋1b＋ab 的最小值为____________． 答案 174解析 因为a >0，b >0，且a ＋b ＝1，所以1＝a ＋b ≥2ab ，即0<ab ≤14，当且仅当a ＝b 时取等号， 令t ＝ab ，则1a ＋1b ＋ab ＝1ab ＋ab ＝1t＋t ，t ∈⎝⎛⎦⎤0，14， 因为函数y ＝1t＋t 在⎝⎛⎦⎤0，14上为减函数，所以当t ＝14时，函数y ＝1t ＋t 取得最小值，即y min ＝14＋4＝174. 16．(2022·沙坪坝模拟)若x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则x x －1＋2y y －1的最小值为________． 答案 3＋2 2解析 因为x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则xy ＝x ＋y >y ，即有x >1，同理y >1，由x ＋y ＝xy 得，(x －1)(y －1)＝1，于是得x x －1＋2y y －1＝1＋1x －1＋2＋2y －1＝3＋⎝⎛⎭⎫1x －1＋2y －1 ≥3＋21x －1·2y －1＝3＋22， 当且仅当1x －1＝2y －1， 即x ＝1＋22，y ＝1＋2时取“＝”， 所以x x －1＋2y y －1的最小值为3＋2 2.。

9.3基本不等式【考纲要求】1、了解基本不等式的证明过程.2、会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. 【基础知识】1、基本不等式(1)222(,,a b ab a b R a b +≥∈=当且仅当时，等号成立），(2)a+b(,,2a b R a b +≥∈=当且仅当时，等号成立）变形公式：2()(,,2a b ab a b R a b +≤∈=当且仅当时，等号成立）基本不等式(2)常用来求最小值，其变形公式常用来求最大值；求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，三者缺一不可。

2、使用基本不等式求最值时，要注意观察收集题目中的数学信息（正数、定值等），然后变形，配凑出基本不等式的条件。

3、使用基本不等式求最值，如果等号成立的条件不成立，就说明不能取到该最值，必须寻找另外的方法（如：函数的单调性和数形结合等）求最值。

【例题精讲】例1 已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1.求证：1a ＋1b ＋1c≥9.证明：∵a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ＋3. ∵a >0，b >0，c >0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ＋3≥9.例2 某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元．设f (n )表示前n 年的纯利润总和，(f (n )＝前n 年的总收入－前n 年的总支出－投资额)．(1)该厂从第几年开始盈利？(2)若干年后，投资商为开发新项目，对该厂有两种处理方案：①年平均纯利润达到最大时，以48万元出售该厂；②纯利润总和达到最大时，以16万元出售该厂，问哪种方案更合算？解：由题意知f (n )＝50n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n ＋n n －12×4－72.＝－2n 2＋40n －72(1)由f (n )>0，即－2n 2＋40n －72>0，解得2<n <18. 由n ∈N *知，从经三年开始盈利． (2)方案①：年平均纯利润f n n ＝40－2⎝⎛⎭⎪⎫n ＋36n ≤16， 当且仅当n ＝6时等号成立．故方案①共获利6×16＋48＝144(万元)，此时n ＝6. 方案②：f (n )＝－2(n －10)2＋128. 当n ＝10，f (n )max ＝128.故方案②共获利128＋16＝144(万元)比较两种方案，获利都是144万元，但由于第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①种方案更合算．9.3基本不等式强化训练【基础精练】1.设x 、y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y＝1，则xy 的最小值为 ( )A ．4B ．4 3C ．9D ．162．设a >0，b >0.若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为 ( )A ．8B ．4C ．1 D.143．已知不等式(x ＋y )(1x ＋ay)≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．8B ．6C ．4D ．2 4．若直线ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)和函数f (x )＝ax ＋1＋1(a >0且a ≠1)的图象恒过同一个定点，则当1a ＋1b取最小值时，函数f (x )的解析式是________．5.已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则 ( ) A ．ab ≤12 B ．ab ≥12 C ．a 2＋b 2≥2 D ．a 2＋b 2≤36．设a 、b 是正实数， 以下不等式 ①ab >2ab a ＋b ；②a >|a －b |－b ；③a 2＋b 2>4ab －3b 2；④ab ＋2ab>2恒成立的 序号为 ( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 7．已知a 、b 、c ∈(0，＋∞)且a ＋b ＋c ＝1， 求证：(1a －1)(1b －1)(1c－1)≥8.8.某商场中秋前30天月饼销售总量f (t )与时间t (0<t ≤30)的关系大致满足f (t )＝t 2＋10t ＋16，则该商场前t 天平均售出(如前10天的平均售出为f (10)10)的月饼最少为( )A ．18B ．27C ．20D ．169．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货 物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．10.若a 是2－b 与2＋b 的等比中项，则2ab |a |＋|b |的最大值为 ( )A. 2 B ．1 C.24 D.2211．若a ，b 是正常数，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，则a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y ，当且仅当a x ＝by时取等号．利用以上结论，函数f (x )＝2x ＋91－2x (x ∈(0，12))取得最小值时x 的值为( )A ．1 B.15 C ．2 D.1312．已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值 为________．13．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的 深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建 造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计．(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．【拓展提高】1．设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm 2，画面的宽与高的比为λ(λ<1)，画面的上下各留8 cm 的空白，左右各留5 cm 的空白，问怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？如果λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？2.为了提高产品的年产量，某企业拟在2020年进行技术改革．经调查测算，产品当年的产量x 万件与投入技术改革费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)．如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．由于市场行情较好，厂家生产的产品均能销售出去．厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的1.5倍(生产成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2020年该产品的利润y 万元(利润＝销售金额－生产成本－技术改革费用)表示为技术改革费用m 万元的函数；(2)该企业2020年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？【基础精练参考答案】1.D 【解析】：由32＋x ＋32＋y＝1可得xy ＝8＋x ＋y . ∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)， 即xy －2xy －8≥0，可解得xy ≥4，即xy ≥16，故xy 的最小值为16.2.B 【解析】：∵3是3a与3b的等比中项，∴(3)2＝3a ·3b. 即3＝3a ＋b，∴a ＋b ＝1.此时1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋(b a ＋a b )≥2＋2＝4(当且仅当a ＝b ＝12取等号)．3.C 【解析】：(x ＋y )(1x ＋a y )＝1＋a ·x y ＋y x＋a≥a ＋1＋2a ·x y ·yx ＝a ＋2 a ＋1， 当且仅当a ·x y ＝y x等号成立， 所以(a )2＋2a ＋1≥9，即(a )2＋2a －8≥0，得a ≥2或a ≤－4(舍)， 所以a ≥4，即a 的最小值为4. 4. f (x )＝(22－2)x ＋1＋1【解析】：函数f (x )＝a x ＋1＋1的图象恒过(－1,2)，故12a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝(12a ＋b )(1a＋1b )＝32＋b a ＋a 2b ≥32＋ 2.当且仅当b ＝22a 时取等号，将b ＝22a 代入12a ＋b ＝1得a ＝22－2，故f (x )＝(22－2)x ＋1＋1.5.C 【解析】：法一：由a ＋b2≥ab 得ab ≤(a ＋b2)2＝1，又a 2＋b 2≥2ab ⇒2(a 2＋b 2)≥(a＋b )2⇒a 2＋b 2≥2.法二：(特值法)取a ＝0，b ＝2满足a ＋b ＝2，代入选项可排除B 、D.又取a ＝b ＝1满足a ＋b ＝2.但ab ＝1，可排除A.6.D 【解析】：∵a 、b 是正实数，∴①a ＋b ≥2ab ⇒1≥2ab a ＋b ⇒ab ≥2ab a ＋b.当且仅当a ＝b 时取等号，∴①；②a ＋b >|a －b |⇒a >|a －b |－b 恒成立；③a 2＋b 2－4ab ＋3b 2＝(a －2b )2≥0，当a ＝2b 时，取等号，∴③不恒成立；④ab ＋2ab≥2ab ·2ab＝2 2>2恒成立．7.证明：∵a 、b 、c ∈(0，＋∞)且a ＋b ＋c ＝1，∴(1a －1)(1b －1)(1c －1)＝(1－a )(1－b )(1－c )abc＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )abc ≥2bc ·2ac ·2ababc＝8.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．8.A 【解析】：平均销售量y ＝f (t )t ＝t 2＋10t ＋16t ＝t ＋16t＋10≥18.当且仅当t ＝16t，即t ＝4∈等号成立，即平均销售量的最小值为18.9.5【解析】：设仓库建在离车站d 千米处，由已知y 1＝2＝k 110，得k 1＝20，∴y 1＝20d ，y 2＝8＝k 2·10，得k 2＝45，∴y 2＝45d ，∴y 1＋y 2＝20d ＋4d5≥220d ·4d5＝8， 当且仅当20d ＝4d5，即d ＝5时，费用之和最小．10.B 【解析】：∵a 是2－b 与2＋b 的等比中项， ∴a 2＝2－b 2⇒a 2＋b 2＝2.根据基本不等式知2ab |a |＋|b |≤2|a |·|b ||a |＋|b |≤a 2＋b 22＝1.即2ab |a |＋|b |的最大值为1. 11.B 【解析】：由a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y 得，f (x )＝222x ＋321－2x ≥(2＋3)22x ＋(1－2x )＝25.当且仅当22x ＝31－2x 时取等号，即当x ＝15时f (x )取得最小值25. 12.32【解析】：因为x >a ，所以2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a＋2a ≥2 2(x －a )·2x －a ＋2a ＝2a ＋4，即2a ＋4≥7，所以a ≥32，即a 的最小值为32. 13.【解析】：(1)设污水处理池的宽为x 米，则长为162x米．则总造价f (x )＝400×(2x ＋2×162x )＋248×2x ＋80×162＝1 296x ＋1 296×100x＋12 960＝1 296(x ＋100x)＋12 960≥1 296×2 x ·100x＋12 960＝38 880(元)，当且仅当x ＝100x(x >0)，即x ＝10时取等号．∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38 880元． (2)由限制条件知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤160<162x≤16，∴1018≤x ≤16.设g (x )＝x ＋100x (1018≤x ≤16)，由函数性质易知g (x )在上是增函数， ∴当x ＝1018时(此时162x＝16)，g (x )有最小值，即f (x )有最小值1 296×(1018＋80081)＋12 960＝38 882(元)．∴当长为16米，宽为1018米时，总造价最低，为38 882元．【拓展提高参考答案】1．【解析】：设画面的高为x cm ，宽为λx cm ，则λx 2＝4840，设纸张面积为S ，则有S ＝ (x ＋16)(λx ＋10)＝λx 2＋(16λ＋10)x ＋160＝5000＋4410⎝⎛⎭⎪⎫8λ＋5λ≥6760，当且仅当8λ＝5λ时，即λ＝58时，S 取最小值，此时，高x ＝4840λ＝88 cm ，宽λx ＝58×88＝55 cm. 如果λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34，则上述等号不能成立．现证函数S (λ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34上单调递增．设23≤λ1<λ2≤34，则S (λ1)－S (λ2)＝4410⎝⎛⎭⎪⎫8λ1＋5λ1－8λ2－5λ2＝4410()λ1－λ2⎝ ⎛⎭⎪⎫8－5λ1λ2，因为λ1λ2≥23>58⇒8－5λ1λ2>0，又λ1－λ2<0，所以S (λ1)－S (λ2)<0，故S (λ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34上单调递增，因此对λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34，当λ＝23时，S (λ)取得最小值．。

第三节基本不等式1．基本不等式≤ab a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b .2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)＋≥2(a ，b 同号)；b a a b(3)ab ≤2(a ，b ∈R)；(4)2≤(a ，b ∈R)；(a ＋b 2)(a ＋b 2)a 2＋b 22(5)≤≤≤ (a ＞0，b ＞0)．2aba ＋b ab a ＋b 2a 2＋b 223．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：a ＋b 2ab 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2(简记：积定和最小)．p (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是(简记：和定积最大)．q 24注：(1)此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.(2)连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)当a ≥0，b ≥0时，≥.( )a ＋b 2ab (2)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与≥成立的条件是相同的．( )a ＋b 2ab (3)x ＞0且y ＞0是＋≥2的充要条件．( )x y y x(4)函数f (x )＝cos x ＋，x ∈的最小值等于4.( )4cos x (0，π2)答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×二、选填题1．设x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( )A ．80 B ．77C ．81D ．82答案：C2．设0＜a ＜b ，则下列不等式中正确的是( )A ．a ＜b ＜＜B ．a ＜＜＜b ab a ＋b 2ab a ＋b 2C ．a ＜＜b ＜ D.＜a ＜＜b ab a ＋b 2ab a ＋b 2解析：选B 因为0＜a ＜b ，所以a －＝(－)＜0，故a ＜；b －＝＞0，ab a a b ab a ＋b 2b －a 2故b ＞；由基本不等式知＞，综上所述，a ＜＜＜b ，故选B.a ＋b 2a ＋b 2ab ab a ＋b 23．函数f (x )＝x ＋的值域为( )1xA ．[－2,2]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．R解析：选C 当x ＞0时，x ＋≥2 ＝2.1x x ·1x当x ＜0时，－x ＞0.－x ＋≥2 ＝2.1－x (－x )·1(－x )所以x ＋≤－2.1x所以f (x )＝x ＋的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．1x4．若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________．答案：225．若x ＞1，则x ＋的最小值为________．4x －1解析：x ＋＝x －1＋＋1≥4＋1＝5.4x －14x －1当且仅当x －1＝，即x ＝3时等号成立．4x －1答案：5考点一　利用基本不等式求最值[全析考法过关](一)　拼凑法——利用基本不等式求最值[例1]　(1)已知0＜x ＜1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________．(2)已知x ＜，则f (x )＝4x －2＋的最大值为________．5414x －5(3)函数y ＝(x ＞1)的最小值为________．x 2＋2x －1[解析]　(1)x (4－3x )＝·(3x )(4－3x )≤·2＝，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝1313[3x ＋(4－3x )2]4323时，取等号．故所求x 的值为.23(2)因为x ＜，所以5－4x ＞0，54则f (x )＝4x －2＋＝－＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝，即x 14x －5(5－4x ＋15－4x )15－4x ＝1时，取等号．故f (x )＝4x －2＋的最大值为1.14x －5(3)y ＝＝x 2＋2x －1(x 2－2x ＋1)＋(2x －2)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)＋＋2≥2＋2.3x －13当且仅当x －1＝，即x ＝＋1时，取等号．3x －13[答案]　(1)　(2)1　(3)2＋2233[解题技法]通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键． (二)　常数代换法——利用基本不等式求最值[例2]　已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则＋的最小值为________．1a 1b[解析]　因为a ＋b ＝1，所以＋＝(a ＋b )＝2＋≥2＋2 ＝2＋2＝4.当且仅当a ＝b ＝时，取等号．1a 1b (1a ＋1b )(b a ＋a b)b a ·a b 12[答案]　4[变式发散]1．(变条件)将条件“a ＋b ＝1”改为“a ＋2b ＝3”，则＋的最小值为________．1a 1b解析：因为a ＋2b ＝3，所以a ＋b ＝1.1323所以＋＝1a 1b (1a ＋1b )(13a ＋23b )＝＋＋＋≥1＋2 1323a 3b 2b 3a a 3b ·2b 3a＝1＋.当且仅当a ＝b 时，取等号．2232答案：1＋2232．(变设问)保持本例条件不变，则的最小值为________．(1＋1a )(1＋1b )解析：＝(1＋1a )(1＋1b )(1＋a ＋b a )(1＋a ＋b b )＝＝5＋2≥5＋4＝9.当且仅当a ＝b ＝时，取等号．(2＋b a )(2＋a b )(b a ＋a b )12答案：9[解题技法]通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；(4)利用基本不等式求解最值． (三)　消元法——利用基本不等式求最值[例3]　已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．[解析]　法一(换元消元法)：由已知得x ＋3y ＝9－xy ，因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋3y ≥2，3xy 所以3xy ≤2，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－(x ＋3y 2)108≥0.。

第4讲 基本不等式一、知识梳理1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0． (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． (4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．常用结论已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)二、教材衍化1．设x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为________．解析：因为x >0，y >0，所以x ＋y 2≥xy ，即xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81.答案：812．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2. 解析：设矩形的一边为x m ， 则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，所以y ＝x (10－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋（10－x ）22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25. 答案：25一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22成立的条件是ab >0.( )(3)“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件．( )(4)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值是2a .( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 二、易错纠偏 常见误区|Ｋ(1)忽视基本不等式成立的条件；(2)基本不等式不会变形使用． 1． “x >0”是“x ＋1x ≥2成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x＝2. 因为x ，1x 同号，所以若x ＋1x ≥2，则x >0，1x >0，所以“x >0”是“x ＋1x≥2成立”的充要条件，故选C.2．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为________．解析：y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝⎛⎭⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝⎛⎭⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0， 当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为0. 答案：0利用基本不等式求最值(多维探究) 角度一 通过配凑法利用基本不等式求最值(1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________．(2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________．【解析】 (1)x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋（4－3x ）22＝43， 当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号．(2)y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当(x －1)＝3（x －1），即x ＝3＋1时，等号成立．【答案】 (1)23(2)23＋2角度二 通过常数代换利用基本不等式求最值若a ＞0，b ＞0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为( )A ．8B ．6C ．4D ．2【解析】 由lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，得lg(ab )＝lg(a ＋b )，即ab ＝a ＋b ，则有1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，所以a ＋b 的最小值为4，故选C.【答案】 C角度三 通过消元法利用基本不等式求最值(一题多解)已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．【解析】 法一：由已知得x ＋3y ＝9－xy ， 又因为x >0，y >0，所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y 时，即x ＝3，y ＝1时取等号， (x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0.令x ＋3y ＝t ，则t >0且t 2＋12t －108≥0， 得t ≥6即x ＋3y ≥6. 法二：由x ＋3y ＋xy ＝9， 得x ＝9－3y1＋y，所以x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝9－3y ＋3y （1＋y ）1＋y＝9＋3y 21＋y ＝3（1＋y ）2－6（1＋y ）＋121＋y＝3(1＋y )＋121＋y －6≥23（1＋y ）·121＋y－6＝12－6＝6.当且仅当3(1＋y )＝121＋y ，即y ＝1时等号成立． 所以x ＋3y 的最小值为6. 【答案】 6角度四 多次利用基本不等式求最值若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________．【解析】 因为ab ＞0，所以a 4＋4b 4＋1ab ≥24a 4b 4＋1ab ＝4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab≥24ab ·1ab＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，ab ＝12时取等号，故a 4＋4b 4＋1ab的最小值是4. 【答案】 4(1)利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式． (2)常数代换法，主要解决形如“已知x ＋y ＝t (t 为常数)，求a x ＋by 的最值”的问题，先将a x ＋b y 转化为⎝⎛⎭⎫a x ＋b y ·x ＋y t，再用基本不等式求最值．(3)当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．(4)当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法．(2020·河南许昌、洛阳第三次质量检测)已知x >0，y >0，且1x ＋2y＝1，则xy ＋x ＋y 的最小值为________．解析：因为1x ＋2y ＝1，所以xy ＝y ＋2x ，xy ＋x ＋y ＝3x ＋2y ＝(3x ＋2y )⎝⎛⎭⎫1x ＋2y ＝7＋2y x ＋6x y≥7＋43(当且仅当y ＝3x ，即x ＝1＋233，y ＝2＋3时取等号)．所以xy ＋x ＋y 的最小值为7＋4 3. 答案：7＋4 3基本不等式的实际应用(师生共研)某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，则每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件【解析】 若每批生产x 件产品，则每件产品的生产准备费用是800x 元，仓储费用是x8元，总的费用是800x ＋x8≥2800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x8，即x ＝80时取等号，故选B. 【答案】 B利用基本不等式求解实际问题的注意事项(1)根据实际问题抽象出目标函数的表达式，再利用基本不等式求得函数的最值． (2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N +)，则该公司年平均利润的最大值是________万元．解析：每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ，而x ＞0，故yx ≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．答案：8基本不等式的综合应用(多维探究) 角度一 与其他知识的交汇问题(1)已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b＋1c的最小值是________． (2)设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是________．【解析】 (1)圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程， 得x 2＋(y －1)2＝6， 所以圆心为C (0，1)．因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ， 所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0， 即b ＋c ＝1.因此4b ＋1c ＝(b ＋c )⎝⎛⎭⎫4b ＋1c ＝4c b ＋b c ＋5. 因为b ，c >0， 所以4c b ＋b c≥24c b ·bc＝4. 当且仅当b ＝2c ，且b ＋c ＝1， 即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c 取得最小值9.(2)a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n （1＋n ）2，所以S n ＋8a n ＝n （1＋n ）2＋8n ＝12(n ＋16n ＋1)≥12⎝⎛⎭⎫2n ·16n ＋1＝92， 当且仅当n ＝4时取等号． 所以S n ＋8a n 的最小值是92.【答案】 (1)9 (2)92角度二 求参数的值或取值范围已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________．【解析】 (x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋axy ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2(x ，y ，a >0)， 当且仅当y ＝ax 时取等号，所以(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y 的最小值为(a ＋1)2， 所以(a ＋1)2≥9恒成立． 所以a ≥4. 【答案】 4(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解． (3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．1．已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3解析：选C.因为lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，所以lg(2x ·8y )＝lg 2，所以2x ＋3y ＝2，所以x ＋3y ＝1.因为x >0，y >0，所以1x ＋13y ＝(x ＋3y )⎝⎛⎭⎫1x ＋13y ＝2＋3y x ＋x3y ≥2＋23y x ·x3y＝4，当且仅当x ＝3y ＝12时取等号，所以1x ＋13y的最小值为4.故选C.2．已知直线l ：ax ＋by －ab ＝0(a >0，b >0)经过点(2，3)，则a ＋b 的最小值为________． 解析：因为直线l 经过点(2，3)，所以2a ＋3b －ab ＝0， 则3a ＋2b＝1， 所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫3a ＋2b ＝5＋3b a ＋2ab≥5＋2 6.当且仅当3b a ＝2ab，即a ＝3＋6，b ＝2＋6时等号成立． 答案：5＋2 63．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N +，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．解析：对任意x ∈N +，f (x )≥3恒成立， 即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3. 设g (x )＝x ＋8x ，当x ＝8x ，即x ＝22时，g (x )取得最小值，又x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝173. 因为g (2)＞g (3)，所以g (x )min ＝173， 所以－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3≤－83， 所以a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－83，＋∞. 答案：⎣⎡⎭⎫－83，＋∞ 利用均值定理连续放缩求最值已知a >b >0，那么a 2＋1b （a －b ）的最小值为________．【解析】 因为a >b >0，所以a －b >0，所以b (a －b )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22＝a 24，所以a 2＋1b （a －b ）≥a 2＋4a2≥2a 2·4a 2＝4，当且仅当b ＝a －b 且a 2＝4a 2，即a ＝2且b ＝22时取等号，所以a 2＋1b （a －b ）的最小值为4.【答案】 4设a >b >0，则a 2＋1ab ＋1a （a －b ）的最小值是________．【解析】 因为a >b >0，所以a －b >0，所以a 2＋1ab ＋1a （a －b ）＝(a 2－ab )＋1（a 2－ab ）＋1ab＋ab ≥2（a 2－ab ）·1（a 2－ab ）＋21ab ×ab ＝4(当且仅当a 2－ab ＝1a 2－ab 且1ab＝ab ，即a ＝2，b ＝22时取等号)． 【答案】 4利用基本不等式求函数或代数式的最值时一定要注意验证等号是否成立，特别是当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法．已知正实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝1，c ＋d ＝1，则1abc ＋1d的最小值是( )A ．10B ．9C ．42D ．3 3解析：选B.因为a ＋b ＝1，a >0，b >0，所以ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，所以1ab ≥4，当且仅当a＝b ＝12时，取等号．又因为c ＋d ＝1，c >0，d >0，所以1abc ＋1d ≥4·1c ＋1d ＝(c ＋d )·⎝⎛⎭⎫4c ＋1d ＝5＋4d c ＋c d≥5＋24d c ·cd＝9， 当且仅当a ＝b ＝12，且c ＝23，d ＝13时，取等号，即1abc ＋1d的最小值为9，故选B.[基础题组练]1．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 解析：选C.对于选项A ，当x >0时，x 2＋14－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122≥0，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x ； 对于选项B ，当sin x <0时显然不成立；对于选项C ，x 2＋1＝|x |2＋1≥2|x |，一定成立；对于选项D ，因为x 2＋1≥1，所以0<1x 2＋1≤1.故选C. 2．(2020·广西钦州期末)已知a ，b ∈R ，a 2＋b 2＝15－ab ，则ab 的最大值是( )A ．15B ．12C ．5D ．3解析：选C.因为a 2＋b 2＝15－ab ≥2ab ，所以3ab ≤15，即ab ≤5，当且仅当a ＝b ＝±5时等号成立．所以ab 的最大值为5.故选C.3．已知f (x )＝x 2－2x ＋1x，则f (x )在⎣⎡⎦⎤12，3上的最小值为( ) A.12B ．43C ．－1D ．0解析：选D.f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x －2≥2－2＝0，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号．又1∈⎣⎡⎦⎤12，3，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤12，3上的最小值是0. 4．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( ) A. 2B ．2C ．2 2D ．4解析：选C.因为1a ＋2b ＝ab ，所以a ＞0，b ＞0， 由ab ＝1a ＋2b ≥21a ×2b ＝22ab ， 所以ab ≥22(当且仅当b ＝2a 时取等号)，所以ab 的最小值为2 2.5．(2020·湖南衡阳期末)已知P 是面积为1的△ABC 内的一点(不含边界)，若△P AB ，△P AC 和△PBC 的面积分别为x ，y ，z ，则y ＋z x ＋1y ＋z的最小值是( ) A.23＋13B ．3＋23 C.13 D ．3解析：选D.因为x ＋y ＋z ＝1，0<x <1，0<y <1，0<z <1，所以y ＋z x ＋1y ＋z ＝1－x x ＋11－x ＝1－x x ＋1－x ＋x 1－x ＝1－x x ＋x 1－x ＋1≥21－x x ·x 1－x ＋1＝3，当且仅当x 1－x＝1－x x ，即x ＝12时等号成立，所以y ＋z x ＋1y ＋z的最小值为3.故选D. 6．已知a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，则a ＋b 的最小值为________．解析：由a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，得32b ＋12a＝1， 所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫32b ＋12a ＝2＋3a 2b ＋b 2a ≥2＋3，当且仅当b ＝3a 时等号成立，则a ＋b 的最小值为2＋ 3.答案：2＋ 37．(2020·江西吉安期末)已知函数f (x )＝sin 2x sin x ＋2，则f (x ) 的最大值为________． 解析：设t ＝sin x ＋2，则t ∈[1，3]，则sin 2x ＝(t －2)2，则g (t )＝（t －2）2t ＝t ＋4t－4(1≤t ≤3)，由“对勾函数”的性质可得g (t )在[1，2)上为减函数，在(2，3]上为增函数，又g (1)＝1，g (3)＝13，所以g (t )max ＝g (1)＝1.即f (x )的最大值为1. 答案：18．已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则实数λ的最小值为________．解析：依题意得x ＋22xy ≤x ＋(x ＋2y )＝2(x ＋y )，即x ＋22xy x ＋y≤2(当且仅当x ＝2y 时取等号)，即x ＋22xy x ＋y 的最大值为2.又λ≥x ＋22xy x ＋y恒成立，因此有λ≥2，即λ的最小值为2. 答案：29．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x <2，求函数y ＝x （4－2x ）的最大值．解：(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32. 当x <32时，有3－2x >0， 所以3－2x 2＋83－2x≥23－2x 2·83－2x＝4， 当且仅当3－2x 2＝83－2x， 即x ＝－12时取等号． 于是y ≤－4＋32＝－52， 故函数的最大值为－52. (2)因为0<x <2，所以2－x >0， 所以y ＝x （4－2x ）＝2·x （2－x ）≤2·x ＋2－x 2＝2，当且仅当x ＝2－x ， 即x ＝1时取等号，所以当x ＝1时，函数y ＝x （4－2x ）的最大值为 2.10．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求(1)xy 的最小值；(2)x ＋y 的最小值．解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1， 又x >0，y >0，则1＝8x ＋2y≥2 8x ·2y ＝8xy. 得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立．所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1， 则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ·(x ＋y ) ＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋2 2x y ·8y x＝18. 当且仅当x ＝12，y ＝6时等号成立，所以x ＋y 的最小值为18.[综合题组练]1．已知a ＞0，b ＞0，若不等式3a ＋1b ≥m a ＋3b恒成立，则m 的最大值为( ) A ．9B ．12C ．18D ．24解析：选B.由3a ＋1b ≥m a ＋3b， 得m ≤(a ＋3b )⎝⎛⎭⎫3a ＋1b ＝9b a ＋a b ＋6. 又9b a ＋a b＋6≥29＋6＝12， 当且仅当9b a ＝a b，即a ＝3b 时等号成立， 所以m ≤12，所以m 的最大值为12.2．(2020·湖北恩施2月教学质量检测)已知角α，β的顶点都为坐标原点，始边都与x 轴的非负半轴重合，且都为第一象限的角，α，β终边上分别有点A (1，a )，B (2，b )，且α＝2β，则1a＋b 的最小值为( ) A ．1B ． 2 C. 3 D ．2 解析：选C.由已知得，a >0，b >0，tan α＝a ，tan β＝b 2，因为α＝2β，所以tan α＝tan 2β，所以a ＝2·b 21－⎝⎛⎭⎫b 22＝4b 4－b 2，所以1a ＋b ＝4－b 24b ＋b ＝1b ＋3b 4≥21b ·3b 4＝3，当且仅当1b ＝3b 4，即b ＝233时，取等号．故1a ＋b 的最小值为 3.3．(2020·安徽合肥第二次教学质量检测)若a ＋b ≠0，则a 2＋b 2＋1（a ＋b ）2的最小值为________．解析：a 2＋b 2＋1（a ＋b ）2≥（a ＋b ）22＋1（a ＋b ）2≥212＝2，当且仅当a ＝b ＝2－34时，a 2＋b 2＋1（a ＋b ）2取得最小值 2. 答案： 24．当x ∈R 时，32x －(k ＋1)3x ＋2>0恒成立，则k 的取值范围是________．解析：由32x －(k ＋1)3x ＋2>0，解得k ＋1<3x ＋23x . 因为3x ＋23x ≥22⎝⎛当且仅当3x ＝23x ，即x ＝log 32时， ⎭⎪⎪⎫等号成立， 所以3x ＋23x 的最小值为2 2. 又当x ∈R 时，32x －(k ＋1)3x ＋2>0恒成立，所以当x ∈R 时，k ＋1<⎝⎛⎭⎫3x ＋23x min， 即k ＋1<22，即k <22－1.答案：(－∞，22－1)5．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20.求：(1)u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)1x ＋1y的最小值． 解：(1)因为x >0，y >0，所以由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .因为2x ＋5y ＝20， 所以210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.所以u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.所以当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)因为x >0，y >0，所以1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎫7＋2 5y x ·2x y ＝7＋21020. 当且仅当5y x ＝2x y时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.所以1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 6．某厂家拟定在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m (m ≥0)万元满足x ＝3－k m ＋1(k 为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？解：(1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1(万件)，所以1＝3－k ⇒k ＝2，所以x ＝3－2m ＋1(m ≥0)， 每件产品的销售价格为1.5×8＋16x x(元)， 所以2020年的利润y ＝1.5x ×8＋16x x－8－16x －m＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋（m ＋1）＋29(m ≥0)． (2)因为m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， 所以y ≤－8＋29＝21，当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)． 故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．。

第35讲 基本不等式考纲要求： 1.了解基本不等式的证明过程．2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.命题趋势： 对基本不等式的考查，主要是利用不等式求最值，且常与函数、数列、解析几何等知识结合在一起进行考查.探究案探究一 利用基本不等式证明不等式利用基本不等式证明不等式的方法(1)利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式．对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．(2)利用基本不等式对所证明的不等式中的某些部分放大或者缩小，在含有三个字母的不等式证明中要注意利用对称性．【例1】 (1)已知x ＞0，y ＞0，z ＞0，求证：y xy z z x x x y y z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥8.(2)已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c≥ 9．【跟踪训练1】已知,,,a b c R +∈且1a b c ++=，求证：（1）（1111)(1)(1)8;.a b c---≥ （2）111(1)(1)(1)64a b c+++≥探究二 利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值应注意的问题(1)利用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式求解．【例2】 (1)已知0＜x ＜1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( )A ．13B ．12C ．34D ．23(2)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( ) A ．1＋2 B ．1＋3 C ．3D ．4【例3】 (1)(2018·山东烟台期末)已知正实数x ，y 满足2x ＋1y ＝1，若x ＋2y > m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2,4)B ．(－4,2)C ．(－∞，2]∪[4，＋∞)D ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)(2)(2018·福建南平一模)已知x ，y 都是非负实数，且x ＋y ＝2，则8x ＋2y ＋4的最小值为( )A ．14B ．12 C ．1 D ．2(3)(2018·河南许昌二模)已知x ，y 均为正实数，且1x ＋2＋1y ＋2＝16，则x ＋y 的最小值为( )A ．24B ．32C ．20D ．28【跟踪训练2】（1）已知0,0,23,x y x y >>+=则11x y+的最小值是__________；(2)．已知x > 0,y > 0,且2x + 8y - xy =0, 求① xy 的最小值；② x +y 的最小值（3） 函数2y =的值域是____________（4）. 若2x ＋4y ＝4，则x ＋2y 的最大值是____________.（5）点P (,)x y 在经过点(3,0)A 和(1,1)B 的直线上，则24x y +的最小值是 。

年高三理科数学一轮复习讲义 【基本不等式及其应用】最新考纲1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小 )值问题 .知识梳理a ＋ b1.基本不等式：ab ≤2(1) 基本不等式成立的条件： a ≥ 0， b ≥ 0. (2) 等号成立的条件：当且仅当a ＝ b 时取等号 .(3) 其中a ＋ b称为正数 a ， b 的算术平均数， ab 称为正数 a ，b 的几何平均数 .22.两个重要的不等式(1) a 2＋ b 2≥ 2ab(a ，b ∈ )，当且仅当 a ＝ b 时取等号 .a ＋ b2(2) ab ≤(a ， b ∈ )，当且仅当 a ＝b 时取等号 . 2 3.利用基本不等式求最值 已知 x ≥ 0，y ≥ 0，则(1) 如果积 xy 是定值 p ，那么当且仅当 x ＝ y 时， x ＋y 有最小值是 2 p(简记：积定和最小).s 2(2) 如果和 x ＋ y 是定值 s ，那么当且仅当 x ＝ y 时， xy 有最大值是 4 (简记：和定积最大).[ 微点提醒 ] b a1. ＋≥ 2(a ，b 同号 )，当且仅当 a ＝b 时取等号 . a b2.ab ≤ a ＋ b 2 a 2＋b2.2 ≤22 ≤ ab ≤ a ＋b ≤ a 2＋ b 2 3.1 12 2 (a>0， b>0).a ＋b基础自测11.判断下列结论正误 (在括号内打“√”或“×”)(1) 两个不等式 a 2＋ b 2≥2ab 与 a ＋b ≥ ab 成立的条件是相同的 .() 2(2) 1的最小值是 2.()函数 y ＝ x ＋ x(3) 4 的最小值为 4.()函数 f(x)＝ sin x ＋ sin xx＋ y≥ 2 的充要条件 .()(4) x ＞ 0 且 y ＞ 0 是y x解析 (1)不等式 a 2＋ b 2≥ 2ab 成立的条件是 a ， b ∈ ；a ＋b a ≥0， b ≥ 0. 不等式≥ ab 成立的条件是 21(2) 函数 y ＝ x ＋x 的值域是 (－ ∞，－ 2]∪ [2，＋∞) ，没有最小值 .4(3) 函数 f(x)＝ sin x ＋sin x 没有最小值 .x ＋y≥ 2 的充分不必要条件 . (4) x>0 且 y>0 是 yx答案 (1)× (2) × (3)× (4) ×2.(必修 5P99 例 1(2)改编 )若 x>0， y>0，且 x ＋y ＝ 18，则 xy 的最大值为 ()A.9B.18C.36D.81因为 x ＋ y ＝ 18，所以 xy ≤ x ＋ y解析 2 ＝ 9，当且仅当 x ＝ y ＝9 时，等号成立 .答案 A13.(必修 5P100 练习 T1 改编 )若 x<0，则 x ＋ x ( )A. 有最小值，且最小值为 2B. 有最大值，且最大值为 2C.有最小值，且最小值为－2D. 有最大值，且最大值为－2解析 因为 x<0，所以－ x>0，－ x ＋ 1≥21＝2，当且仅当x ＝－ 1 时，等号成立，所以 x ＋ 1≤ －2.－ xx2答案 Dx 2－ 2x ＋ 11 上的最小值为 ()4.(2019 玉·溪一中月考 )已知 f(x) ＝，则 f(x)在， 3x214A. 2B.3C.－ 1D.0解析x 2－ 2x ＋ 111f( x)＝＝ x ＋ x － 2≥ 2－2＝ 0，当且仅当 x ＝ x ，即 x ＝1 时取等号 .x11又 1∈ 2， 3 ，所以 f(x)在 2，3 上的最小值为 0.答案 D5.(2018 济·宁一中月考 )一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m ，则这个矩形的长为________m ，宽为 ________m 时菜园面积最大 .解析 设矩形的长为x m ，宽为 y m.则 x ＋2y ＝ 30，1 1 x ＋2y2 225所以 S ＝ xy ＝2x ·(2y)≤ 2 2＝2 ，当且仅当 x ＝ 2y ，15即 x ＝ 15， y ＝2时取等号 .答案 15 152a＋16.(2018 天·津卷 )已知 a ， b ∈ ，且 a － 3b ＋ 6＝ 0，则2 8 b 的最小值为 ________.1a － 3b1解析 由题设知 a － 3b ＝－ abaa 11a6，又 2 >0， 8 >0，所以 2＋ b ≥ 22 ·b ＝ 2·2 2＝ ，当且仅当 2 ＝b ，即 a88483， b ＝1 时取等号 .故 2 a 11＝－ ＋8b 的最小值为 4. 答案 14考点一利用基本不等式求最值多维探究 角度 1通过配凑法求最值3【例 1－ 1】 (2019 ·乐山一中月考)设 0<x<3，则函数y＝ 4x(3－ 2x)的最大值为 ________. 2解析y＝ 4x(3 －2x)＝ 2[2 x(3－ 2x)]2≤2 2x＋（ 3－ 2x）＝ 9，22当且仅当2x＝ 3－ 2x，即 x＝34时，等号成立 .∵3∈ 0，3，∴函数 y＝ 4x(3－ 2x) 0＜ x＜3的最大值为9. 4222答案92角度 2通过常数代换法求最值【例 1－ 2】 (2019 ·潍坊调研 )函数 y＝ a1－x(a>0，a≠ 1)的图象恒过定点A，若点 A 在直线 mx＋ ny－ 1＝0 上，且 m， n 为正数，则1＋1的最小值为 ________.m n解析∵曲线 y＝ a1－x恒过定点A， x＝ 1 时， y＝ 1，∴A(1， 1).将 A 点代入直线方程 mx＋ ny－ 1＝ 0(m>0 ， n>0) ，可得 m＋n＝ 1，∴1 1＝1＋1 n＋m n m＋n·(m＋ n)＝ 2＋≥2＋2 ·＝4，m n m m n m n当且仅当n＝m且 m＋ n＝ 1(m>0， n>0)，即 m＝ n＝1时，取得等号 .m n 2答案 4规律方法在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，主要有两种思路：(1) 对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：折项法、变系数法、凑因子法、4换元法、整体代换法等.(2) 条件变形，进行“ 1”的代换求目标函数最值 .【训练 1】 (1)(2019 ·济南联考 )若 a>0， b>0 且 2a ＋ b ＝ 4，则1的最小值为 ()ab11A.2B.2C.4D. 4(2) 已知 x<5，则 f(x)＝4x － 2＋1 的最大值为 ______.44x － 5解析 (1)因为 a>0， b>0，故 2a ＋ b ≥2 2ab(当且仅当 2a ＝ b 时取等号 ). 又因为 2a ＋ b ＝ 4， ∴ 2 2ab ≤ 4? 0< ab ≤ 2，∴1 ≥ 1，故 1 的最小值为 1ab 2ab2(当且仅当 a ＝ 1，b ＝ 2 时等号成立 ).5(2) 因为 x<4，所以 5－ 4x>0， 则 f(x)＝ 4x － 2＋1 ＝－ 5－ 4x ＋1＋35－ 4x4x － 5≤－ 2（ 5－ 4x ） · 1 ＋ 3＝－ 2＋ 3＝1.5－4x 1当且仅当 5－ 4x ＝，即 x ＝ 1 时，等号成立.5－4x故 f(x)＝ 4x － 2＋ 1 的最大值为 1.4x － 5答案 (1)B (2)1考点二基本不等式在实际问题中的应用【例 2】 运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速行驶130 千米，按交通法规限制50≤ x ≤ 100(单位：千米 / 时).2假设汽油的价格是每升2 元，而汽车每小时耗油2＋ x 升，司机的工资是每小时 14 元.360(1) 求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式；5(2) 当 x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.130解 (1) 设所用时间为t＝x (h) ，130 x2 130y＝x × 2× 2＋360＋ 14×x， x∈[50 ，100].所以，这次行车总费用y 关于 x 的表达式是 y＝130×18＋2×130x， x∈ [50，100]x 3602 340 13(或 y＝x ＋18x， x∈ [50 ， 100]).130× 18＋2× 130(2) y＝x 360 x≥ 26 10，当且仅当 130× 18＝2× 130x 360 x，即 x＝ 18 10时等号成立 .故当 x＝ 18 10千米 /时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26 10元.规律方法1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解 .【训练 2】网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2019 年 1 月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x 万件与投入实体店体验安装的费用t 万元之间满足函数关系式x＝ 3－2t＋1.已知网店每月固定的各种费用支出为 3 万元，产品每 1 万件进货价格为32 万元，若每件产品的售价定为“进货价的 150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是________万元 .解析由题意知 t＝2－ 1(1<x<3) ，设该公司的月利润为y 万元，则 y＝ 48＋tt－ 3 3－ x2x x－32x－ 3－ t＝ 16x－21 1 13－x≤ 45.5－ 2＝16x－＋2－ 3＝45.5－16（3－x）＋16＝ 37.5，3－xx＝1137.5 万元 .当且仅当4时取等号，即最大月利润为答案37.5考点三基本不等式的综合应用6【例 3】 (1)(2019S n ＋ 10 河·南八校测评 )已知等差数列 { a n } 中，a 3＝ 7，a 9＝ 19，S n 为数列 { a n } 的前 n 项和，则a n ＋ 1的最小值为 ________.(2)( 一题多解 )(2018 江·苏卷 )在△ ABC 中，角 A ，B ， C 所对的边分别为 a ， b ，c ，∠ ABC ＝120 °，∠ ABC的 平分线交 AC 于点 D ，且 BD ＝ 1，则 4a ＋ c 的最小值为 ________.解析 (1)∵ a 3＝ 7， a 9＝19，∴d ＝ a 9－ a 3 19－ 7＝＝ 2， 9－ 36∴ a n ＝a 3＋ (n － 3)d ＝ 7＋2(n － 3)＝ 2n ＋ 1，∴S n ＝ n （ 3＋ 2n ＋1） ＝n(n ＋ 2)，2S n ＋ 10 n （ n ＋ 2）＋ 101 （n ＋ 1）＋ 9因此 a n ＋ 1 ＝ 2n ＋ 2 ＝ 2 n ＋1 ≥1× 2（ n ＋ 1）· 9 ＝ 3，2 n ＋1n ＋ 10 当且仅当 n ＝ 2 时取等号 .故 S的最小值为 3.a n ＋ 1 (2) 法一 依题意画出图形，如图所示 .易知 S △ABD ＋ S △ BCD ＝ S △ABC ，11 1，° 即 csin 60＋° asin 60＝° acsin 120 222 1 1∴ a ＋ c ＝ ac ，∴a ＋c ＝1， ∴ 4a ＋ c ＝ (4a ＋c)1a ＋1c ＝ 5＋a c ＋4ac ≥ 9，7当且仅当c＝4a，即 a＝3， c＝ 3 时取“＝”.a c2法二以 B 为原点， BD 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则 D (1， 0)，∵ AB＝ c， BC＝ a，∴A c3 a 3.2，2 c ，C2，－ 2 a→→∵A， D， C 三点共线，∴ AD ∥DC .c 3 3 a∴ 1－2 －2 a ＋2 c 2－1＝0，1 1∴a c＝ a＋ c，∴a＋c＝1，1 1 c 4a∴4a＋ c＝ (4a＋c) a ＋c ＝ 5＋a＋c≥ 9，当且仅当c ＝4a，即 a＝3， c＝3 时取“＝”.a c 2答案 (1)3 (2)9规律方法基本不等式的应用非常广泛，它可以和数学的其他知识交汇考查，解决这类问题的策略是：1.先根据所交汇的知识进行变形，通过换元、配凑、巧换“1”等手段把最值问题转化为用基本不等式求解，这是难点 .2.要有利用基本不等式求最值的意识，善于把条件转化为能利用基本不等式的形式.3.检验等号是否成立，完成后续问题.【训练 3】 (1)(2019 ·门模拟厦 )已知 f(x)＝32x－ (k＋ 1)3x＋2，当 x∈时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是()A.( －∞，－ 1)B.( －∞， 2 2－ 1)8C.(－ 1， 2 2－ 1)D.( －2 2－ 1， 2 2－ 1) (2) 在各项都为正数的等比数列{ a n } 中，若 a 2 018 ＝ 2，则1 ＋2的最小值为 ________.2a 2 017a 2 019(1)由 f(x)>0 得 3 2xxx2解析－ (k ＋ 1)3 ＋ 2>0，解得 k ＋ 1<3 ＋ 3x.x2x2又 3 ＋ 3x ≥ 2 2(当且仅当 3 ＝ 3x，即 x ＝log 32时，等号成立 ).所以 k ＋ 1<2 2，即 k<2 2－ 1.21(2) ∵ { a n } 为等比数列，∴ a 2 017·a 2 019＝ a 2 018＝2.∴12 ≥ 2 2 ＝ 2 4＝ 4.a 2017＋ a 2019a 2 017·a 2019当且仅当 1 ＝ 2，即 a 2 019＝ 2a 2 017 时，取得等号 .a 2 017 a 2 019 ∴12 的最小值为 4.a 2017＋ a 2019答案(1)B (2)4[ 思维升华 ]1.基本不等式具有将“ 和式 ” 转化为 “ 积式 ” 和将 “ 积式 ” 转化为 “ 和式 ” 的放缩功能，常常用于比较数(式 )的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点. 2.对于基本不等式，不仅要记住原始形式， 而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，同时还要注意 不等式成立的条件和等号成立的条件.m3.对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y ＝ x ＋x (m>0)的单调性 . [ 易错防范 ]1.使用基本不等式求最值，“ 一正 ”“ 二定 ”“ 三相等 ” 三个条件缺一不可.2.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.9基础巩固题组(建议用时： 35 分钟 )一、选择题1.(2019 孝·感调研 )“a>b>0”是“ ab<a 2＋b 2”的()2A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件a 2＋b 2解析 由 a>b>0，可知 a 2＋ b 2>2ab ，充分性成立，由 ab<，可知 a ≠ b ， a ， b ∈ ，故必要性不成立 .2答案 A2.下列结论正确的是 ()1A. 当 x>0 且 x ≠ 1，lg x ＋lg x ≥21B.x 2＋1<1( x ∈)1 C.当 x>0 时， x ＋≥ 2D.当 0<x ≤ 2 时， x －1x 无最大值解析对于 A ，当 0<x<1 时， lg x<0，不等式不成立；对于 B ，当 x ＝ 0 时，有 1＝1，不等式不成立；2 x ＋ 1 对于 C ，当 x>0 时， x ＋ 1≥ 2x ·1＝ 2，当且仅当 x ＝ 1 时等号成立；xx13对于 D ，当 0< x ≤2 时， y ＝x － x 单调递增，所以当 x ＝ 2 时，取得最大值，最大值为 2.答案 C3.(2018 绵·阳诊断 )已知 x>1 ， y>1，且 lg x ， 2， lg y 成等差数列，则 x ＋ y 有 ()A. 最小值 20B.最小值 200C.最大值 20D. 最大值 200解析由题意得 2×2＝ lg x ＋ lg y ＝ lg ( xy) ，所以 xy ＝ 10 000，则 x ＋ y ≥ 2 xy ＝ 200，当且仅当x ＝ y ＝ 100 时，10等号成立，所以x＋ y 有最小值 200.答案 Ba≥5 在 (1，＋∞ )上恒成立，则 a 的最小值为 ()4.设 a>0，若关于 x 的不等式 x＋x－1A.16B.9C.4D.2解析在 (1，＋∞ )上， x＋a ＝ (x－ 1)＋a＋ 1x－1 x－1≥2（x－1）×aa＋ 1(当且仅当 x＝ 1＋ a时取等号 ).＋1＝ 2（x－ 1）由题意知 2 a＋ 1≥ 5.所以 a≥ 4.答案 C5.(2019 太·原模拟 )若 P 为圆 x2＋y2＝1 上的一个动点，且A(－ 1，0)，B(1，0)，则 |PA|＋ |PB |的最大值为 ()A.2B.2 2C.4D.4 2解析由题意知∠ APB＝90°，∴ |PA|2＋ |PB |2＝ 4，2 |PA|2＋ |PB|2∴ |PA|＋ |PB| ≤2 ＝ 2(当且仅当 |PA|＝ |PB|时取等号 )，2∴|PA|＋ |PB|≤ 2 2，∴ |PA|＋ |PB|的最大值为 2 2.答案 Bx6.某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800 元，若每批生产 x 件，则平均仓储时间为8天，且每件产品每天的仓储费用为 1 元 .为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 ( )A.60 件B.80 件C.100 件D.120 件x 件，则每件产品的生产准备费用是800 x 800 x解析设每批生产产品x元，仓储费用是8元，总的费用是x ＋8元，800 x≥ 2 800 x 800 x由基本不等式得x ＋8 x＋8＝ 20，当且仅当x ＝8，即 x＝ 80 时取等号 .答案 B111＋2＝ ab，则 ab 的最小值为 ( )7.若实数 a， b 满足a bA. 2B.2C.2 2D.4解析依题意知 a>0， b>0，则1＋2≥ 2 2 ＝ 2 2，a b ab ab1 2当且仅当a＝b，即 b＝ 2a 时，“＝”成立 .因为1＋2＝ ab，所以ab≥22，a b ab1 5即 ab≥ 2 2(当且仅当 a＝ 24， b＝ 24时等号成立 )，所以 ab 的最小值为 2 2. 答案 C1＋9＝ 1，若不等式 a＋ b≥－ x2＋ 4x＋ 18－ m 对任意实数 x 恒成立，则8.(2019 衡·水中学质检 )正数 a，b 满足a b实数 m 的取值范围是 ( )A.[3 ，＋∞ )B.( －∞， 3]C.(－∞， 6]D.[6 ，＋∞ )1 9 1 9 b 9a解析因为 a>0， b>0，a＋b＝ 1，所以 a＋ b＝ (a＋ b) a＋b＝10＋a＋b≥ 16，b 9a当且仅当a＝b，即 a＝4， b＝ 12 时取等号 .依题意， 16≥ － x2＋ 4x＋ 18－ m，即 x2－ 4x－ 2≥ － m 对任意实数 x 恒成立 .又 x2－4x－ 2＝ (x－2) 2－ 6，所以 x2－ 4x－2 的最小值为－ 6，所以－ 6≥－ m，即 m≥6.答案 D二、填空题9.正数 a，b 满足 ab＝ a＋ b＋3，则 ab 的取值范围是 ________.解析∵ a， b 是正数，∴ ab＝ a＋ b＋ 3≥2 ab＋ 3(当且仅当 a＝ b＝3 时等号成立 )，解得ab≥ 3，即 ab≥9.答案[9，＋∞ )10.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元 )与机器运转时间x(单位：年 )的关系为y＝－ x2＋18x－ 25(x∈* )，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元 .解析每台机器运转x 年的年平均利润为y25y≤ 18－ 2 25＝ 8，当且仅当x＝ 5时x＝ 18－ x＋x ，而 x>0，故x12等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大值为8万元.答案8y≤x＋ 1，11.(2019 合·肥调研 )设 x，y 满足约束条件y≥2x－ 1，若目标函数 z＝ abx＋ y(a>0，b>0)的最大值为35，则x≥0， y≥0，a＋ b 的最小值为 ________.解析可行域如图所示，当直线abx＋ y＝ z(a>0， b>0)过点 B(2， 3)时， z 取最大值 2ab＋ 3.于是有 2ab＋ 3＝ 35， ab＝ 16.所以 a＋ b≥ 2 ab＝ 8，当且仅当 a＝b＝ 4 时等号成立，所以 (a＋ b)min＝ 8.答案81 112.已知直线 mx＋ ny－2＝ 0 经过函数 g(x)＝ log a x＋1(a>0 且 a≠1) 的定点，其中mn>0，则m＋n的最小值为________.解析因为函数 g(x)＝ log a x＋ 1(a>0 且 a≠1)的定点 (1， 1)在直线 mx＋ ny－ 2＝0 上，m n 1 1 1 1 m n n m所以 m＋n－ 2＝ 0，即2＋2＝ 1.所以m＋n＝m＋n2＋2＝1＋2m＋2n≥1＋ 2n m n＝m ，即 m＝ n＝ 1 时取等号，所以1 1的最小值为 2.·＝ 2，当且仅当2m 2n＋2m 2n m n答案 2能力提升题组(建议用时：15分钟)13.(2018 江·西师范大学附属中学月考)若向量＝(a－1，2)，＝(4，b)，且⊥，a>0，b>0，则log1a＋3131有()log 3 b111A. 最大值 log 32B. 最小值 log 32C.最大值 log 3 2D. 最小值 0解析 由 ⊥ ，得 ·＝ 0，即 4(a － 1)＋ 2b ＝ 0，∴2a ＋ b ＝ 2， ∴ 2≥ 212ab ， ∴ ab ≤ (当且仅当 2a ＝ b 时，等号成立 ).2又 log1a ＋ log 3 1＝ log 1 a ＋ log 1 b ＝ log 1 ab ≥log11＝log 3 2，3b 33332故 log1a ＋ log 31有最小值为 log 3 2.3b答案 B14.(2019 湖·南师大附中模拟 )已知△ ABC 的面积为 1，内切圆半径也为 1，若△ ABC 的三边长分别为 a ，b ，c ，则 4＋ a ＋ b 的最小值为 ( )a ＋b cA.2B.2＋ 2C.4D.2 ＋2 2解析 因为 △ ABC 的面积为 1，内切圆半径也为 1，1所以2(a ＋ b ＋ c)× 1＝ 1，所以 a ＋ b ＋ c ＝ 2，4 ＋ a ＋ b 2（ a ＋ b ＋ c ） a ＋b ＝2＋ 2c ＋ a ＋ b 所以 c ＝＋ c c ≥ 2＋ 2 2，a ＋b a ＋ ba ＋b 当且仅当 a ＋ b ＝ 2c ，即 c ＝2 2－ 2 时，等号成立，4 ＋a ＋b 2＋ 2 2.所以 c 的最小值为a ＋b 答案 Da 4＋4b 4＋ 1 15.若 a ， b ∈ ，ab>0，则 ab的最小值为 ________.解析 ∵ a ， b ∈ ， ab>0，144 4 2 2＋ 1 1 1 a2＝ 2b2，a2＝2，a ＋4b ＋ 1 4a b≥ 2 即2∴≥＝ 4ab＋ab 4ab·＝ 4，当且仅当1时取得等号 .ab ab abb2＝ 24ab＝ab，4答案 4x2＋ ax＋11x∈*，f(x)≥ 3 恒成立，则 a 的取值范围是 ________.16.已知函数 f(x)＝x＋ 1(a∈ )，若对于任意的解析对任意 x∈*， f(x)≥ 3，x2＋ ax＋ 11 88 * 8≥4 2，x＋ 1 ≥ 3 恒成立，即 a≥ － x＋x即＋ 3.设 g(x)＝ x＋x， x∈，则 g(x)＝ x＋x当 x＝ 2 2时等号成立，又g(2) ＝6， g(3)＝173，∵g(2)> g(3) ，∴ g(x)min＝17 .∴－x＋8＋ 3≤ －8，∴ a≥ －8，故 a 的取值范围是－8，＋∞.3 x 3 3 3答案－8，＋∞315。

2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练《基本不等式及应用》-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练《基本不等式及应用》2a b+的理解2a b+≤求最值【题型三】：基本不等式应用【题型四】：基本不等式在实际问题中的应用2a b+的理解 【例1】. 0a >，0b >，给出下列推导，其中正确的有 （填序号）.（1）a b++（2）11()()a b a b ++的最小值为4；（3）14a a ++的最小值为2-.【解析】（1）；（2）（1）∵0a >，0b >，∴a b+≥≥（当且仅当2a b ==时取等号）.（2）∵0a >，0b >，∴11()()4a ba b ++≥=（当且仅当a b =时取等号）.（3）∵0a >，∴11444244a a a a +=++-≥=-++， （当且仅当144a a +=+即413a a +==-，时取等号） ∵0a >，与3a =-矛盾，∴上式不能取等号，即124a a +>-+【总结升华】在用基本不等式求函数的最值时，必须同时具备三个条件：一正二定三取等，缺一不可.【变式训练】：【变式1】给出下面四个推导过程：① ∵,a b R +∈，∴2a b b a +≥=；② ∵,x y R +∈，∴lg lg x y +≥③ ∵a R ∈，0a ≠，∴ 44a a +≥=；④ ∵,x y R ∈，0xy <，∴[()()]2x y x y y x y x +=--+-≤-=-. 其中正确的推导为（ ）A.①②B.②③C.③④D.①④【解析】①∵,a b R +∈，∴,b aR a b+∈，符合基本不等式的条件，故①推导正确.②虽然,x y R +∈，但当(0,1)x ∈或(0,1)y ∈时，lg ,lg x y 是负数，∴②的推导是错误的.③由,a R ∈不符合基本不等式的条件，∴44a a +≥=是错误的.④由0,xy <得,y x x y 均为负数，但在推导过程中，将整体x yy x+提出负号后，()()x yy x-+-均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确.选D. 【变式2】下列命题正确的是（ ）A.函数1y xx =+的最小值为2. B.函数2y =的最小值为2C.函数423(0)y x x x =-->最大值为2-D.函数 423(0)y x x x=-->的最小值为2【答案】C【解析】A 选项中，∵0x ≠，∴当0,x >时由基本不等式12x x+≥； 当0x <时12x x+≤-.∴选项A 错误.B 选项中，∵22y === 21=时，成立）2≥，∴这是不可能的. ∴选项B 错误.C 选项中，∵0x >，∴44232(3)2y x x x x=--=-+≤-C 正确。