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Black-Scholes期权定价模型的精确性及适用性分析黄本尧【期刊名称】《财贸研究》【年(卷),期】2002(13)6【摘要】布莱克—斯科尔斯定价模型是1973年由费雪·布莱克(Fisher Black)和迈伦·斯科尔斯(Myron Scholes)提出的有关期权定价的模型,该模型一直被认为是应用经济学最成功的模型。
本文通过对该模型的假设条件和现实世界进行对比分析,探讨了模型的精确性和适用性。
最后得出的结论是:尽管该模型的假设条件并不能完美描述现实世界,但它还是胜过其它的期权价值评估方法,仍然是交易中不可或缺的分析工具。
投资者在实践中更多地是通过交易技巧而不是采用更复杂的扩展模型来克服B—S定价模型的各种缺陷。
【总页数】4页(P56-59)【关键词】Black-Scholes定价模型;期权定价模型;精确性;适用性;看涨期权;看跌期权;股票价格;股票市场;布莱克-斯科尔斯定价模型【作者】黄本尧【作者单位】复旦大学博士后流动站【正文语种】中文【中图分类】F830.9【相关文献】1.基于Black-Scholes期权定价模型的割差法在A股市场的适用情况分析r——以A股白酒行业为例 [J], 孙智敏;李玉菊;郭雨鑫;于洪远2.Black-Scholes期权定价、二叉树定价及其在我国权证市场适用性分析 [J], 朱鸵华;谢燕3.基于Black-Scholes期权定价模型的可转换债券定价问题的实证分析 [J], 胡一帆;4.基于偏微分方程框架分析下期权定价中Black-Scholes模型与二叉树模型 [J], 石雨辰5.基于Black-Scholes期权定价模型的可转换债券定价问题的实证分析 [J], 胡一帆因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
金融工程中的衍生品定价模型资料衍生品是金融市场中重要的金融工具，它们的价值来源于基础资产或指标的变化。
衍生品定价是金融工程中的一项核心任务，其准确性和有效性对于金融市场的稳定与健康发展至关重要。
在金融工程的研究与实践中，涌现出了许多衍生品定价模型，本文将介绍其中几种常见的模型及其资料。
一、调整后的黑-斯科尔定价模型（Black-Scholes-Merton Model）调整后的黑-斯科尔定价模型是对原始黑-斯科尔定价模型的改进和扩展。
它考虑了市场不完全性和风险溢价等因素，提高了模型的适用性。
在使用该模型进行衍生品定价时，需要的资料包括：标的资产价格、标的资产的波动率、无风险利率、期权到期时间以及期权行权价。
二、卡里-鲁宾斯坦定价模型（Cox-Ross-Rubinstein Model）卡里-鲁宾斯坦定价模型是一种在二叉树框架下进行衍生品定价的模型。
该模型将时间划分为离散的步长，通过构建二叉树推导出衍生品的定价公式。
使用该模型进行衍生品定价时，需要的资料包括：标的资产价格、标的资产的波动率、无风险利率、时间步长、期权到期时间以及期权行权价。
三、韦春华公式模型（Weng's Formula）韦春华公式模型是近年来提出的一种衍生品定价方法。
该模型适用于凸概率风险中性测度下的金融市场，可以快速、准确地计算欧式期权的理论价格。
使用该模型进行衍生品定价时，需要的资料包括：标的资产价格、标的资产的波动率、无风险利率、期权到期时间、期权行权价以及风险溢价。
四、蒙特卡洛模拟方法（Monte Carlo Simulation Method）蒙特卡洛模拟方法是一种基于随机模拟的衍生品定价方法。
通过生成大量的随机数路径，模拟标的资产价格的变化，并计算衍生品的预期收益。
使用该方法进行衍生品定价时，需要的资料包括：标的资产价格、标的资产的波动率、无风险利率、期权到期时间、期权行权价以及模拟路径的数量。
五、隐含波动率曲面在很多衍生品定价模型中，隐含波动率扮演着重要的角色。
Black-Scholes期权定价模型和特性Black-Scholes期权定价模型是一个广泛应用于金融市场的数学模型，它被用来计算欧式期权的价格。
该模型是由美国经济学家费希尔·布莱克（Fischer Black）和莱蒙德·斯科尔斯（Myron Scholes）于1973年开发的，并获得了1997年诺贝尔经济学奖。
Black-Scholes模型基于一些假设，包括市场无摩擦、标的资产价格服从几何布朗运动、无风险利率恒定不变、期权可以无限制地买卖等。
它利用随机微分方程和偏微分方程来描述期权价格的变化以及与标的资产价格和时间的关系。
Black-Scholes模型的公式如下：C = S*N(d1) - X*e^(-r*T)*N(d2)P = X*e^(-r*T)*N(-d2) - S*N(-d1)其中，C代表期权的买入价格，P代表期权的卖出价格，S代表标的资产的当前价格，X代表期权的行权价格，r代表无风险利率，T代表期权的时间，在期权到期日之间的年份，N(d1)和N(d2)代表标准正态分布的累积分布函数。
Black-Scholes模型的特性有以下几点：1. 理论完备性：Black-Scholes模型是一个完备的期权定价模型，可以通过输入特定的参数来计算期权的价格。
它提供了一种可行的方法，用来解决期权定价的问题。
2. 自洽性：Black-Scholes模型是自洽的，意味着如果市场满足了模型的所有假设条件，那么模型计算的期权价格将与实际市场价格一致。
3. 敏感性分析：Black-Scholes模型可以用来分析期权价格对各个因素的敏感性。
通过改变模型中的参数，例如标的资产价格、无风险利率、期权行权价格和时间等，我们可以研究它们如何影响期权的价格。
4. 适用性：Black-Scholes模型广泛适用于欧式期权的定价，包括股票期权、货币期权和商品期权等。
然而，对于美式期权和一些特殊类型的期权，Black-Scholes模型可能不适用。
修正的Black-Scholes期权定价及套期保值的开题报告
这份开题报告将讨论修正的Black-Scholes期权定价模型及其在套期保值中的应用。
本报告将从以下几个方面进行分析：
1. 期权定价
首先，将介绍Black-Scholes期权定价模型的基本原理，并讨论其在实际交易中的应用和局限性。
然后，将介绍修正的Black-Scholes模型，包括考虑波动率变化和股息率等因素的修正。
最后，将分析在修正的Black-Scholes模型中如何计算欧洲期权的价格。
2. 套期保值
此外，将讨论在修正的Black-Scholes模型中如何进行套期保值。
我们将介绍套期保值的基本原理，包括买入或卖出期货合约以对冲风险。
然后，将讨论如何使用修正的Black-Scholes模型来计算期货合约的价值，以及如何利用这些价值来进行套期保值。
3. 研究方法
本报告将采用文献综述和数学模型分析相结合的方法进行研究。
使用文献综述的方法，我们将收集和分析相关的文献和研究成果，以了解Black-Scholes模型和套期保值的基本理论和应用。
使用数学模型分析的方法，我们将开发修正的Black-Scholes模型，并使用数学公式和计算方法进行模拟。
4. 结论
最后，报告将得出关于修正的Black-Scholes模型和套期保值的结论，并讨论这些结论在实际交易中的应用和局限性。
通过这份开题报告的研究，我们将对修正的Black-Scholes模型和套期保值有更深入的理解，并为实际交易提供更好的决策支持。
Black—Scholes模型及其在新型期权定价中的应用作者：苏旻旸来源：《时代金融》2013年第36期【摘要】虽然Black-Scholes模型成功解决了在有效市场下的期权定价问题，但由于它是在一定的假设条件下建立的，在实际的交易实施中，投资者会在得到一定的股票红利同时忽视了交易成本。
Black-Scholes模型是近年来在期权定价方面应用的重要模型之一，极大推动了期权市场的革命性变化。
本文围绕着Black-Scholes模型的期权定价，对其在新型期权定价中的应用进行了分析，并给出了一些自己的看法和建议。
【关键词】Black-Scholes模型期权定价期权市场欧式期权美式期权一、Black-Scholes模型基本原理期权是为了套期保值而创造出来的一种金融衍生工具，在Black-Scholes模型中，理论上只要人们通过合理的手段选择手中持有的证券和其衍生工具，就可以获得套期保值并无风险收益。
在Black-Scholes模型中，主要基于资产价格的运动服务产品组合从而消除了模型中的随机变量，获得了风险条件下的期权定价模型。
在该模型下，主要存在以下几个假设：第一，无风险利率r为常数，且对于任何到期日均为相同；第二，标的资产价格S服从对数正态分布；第三，在期权有效期内，无红利支付；第四，在套期保值中无交易成本；第五，无套利机会，标的资产可以实现连续交易。
由于标的资产的价格&=µS dt+σSdZ，由此可以得出S和t的函数G遵循测过程为：在此S和G都受到同一个不确定性来源dz的影响。
对此过程应用于标的资产价格的对数变化。
同时，由于期权都是其对应的标的资产和时间的代表函数，假设f是基于某种看涨期权或其他衍生的价格，那么，变量f一定是S和t的函数。
因此，根据Ito引理就有：在构造标的资产和对应期权的证券组合以期望消除在上述过程中的不确定性为d，根据以上公式，我们可以选择证券组合为：卖空一份期和买入标的资产，并由此定义组合证券价值为：则有：，次方程就消除随机项目，又因风险中性假设为前提，使得证券组合的收益和它的短期无风险收益率相同。
对期权定价模型的偏微分方程分析--Black-Scholes期权定
价模型
Black-Scholes（BS）期权定价模型是20世纪70年代由Fisher Black、Myron Scholes和Robert Merton独立发明和发展的。
BS模型将期权定价问题转化为偏微分方程问题，并提供了一种通过经济因素来解决期权定价的方法。
BS模型假设股票价格服从几何布朗运动，并使用随机微分方程来描述它们的漂移和随机波动性。
该模型还假定期权的价格服从Black-Scholes PDE：
$$\\frac{\\partial V}{\\partial
t}+\\frac{1}{2}\\sigma^2S^2\\frac{\\partial^2 V}{\\partial S^2}+rS\\frac{\\partial V}{\\partial S}-rV=0$$
其中，$V(S,t)$是期权价格，$S$是标的资产价格，
$\\sigma$是波动率，$r$是无风险利率，$t$是时间。
该方程可以被解释为投资组合在动态套利环境中的漂移和随机波动性，其中投资组合由一单股票和一个期权组成。
该方程的求解需要使用特殊函数，如Black-Scholes方程的解析解。
这个解析解有助于我们理解期权价格如何受到各种因素的影响，例如股票价格、波动率、时间和无风险利率。
总之，BS模型的偏微分方程分析提供了一种方法，使我们能够根据标的资产价格、波动率、时间和无风险利率来定价期权。
BLACKSCHOLES期权定价模型计算公式套用数据Black-Scholes期权定价模型是一种用于计算欧式期权价格的数学模型，它基于以下假设：资产价格的波动性是已知且恒定的、市场无摩擦、无风险利率是已知且恒定的、欧式期权只能在到期日行使以获得支付。
根据Black-Scholes模型，欧式期权的价格可以通过以下公式计算：C=S*N(d1)-X*e^(-rT)*N(d2)P=X*e^(-rT)*N(-d2)-S*N(-d1)其中C表示认购期权的价格P表示认沽期权的价格S表示标的资产的当前价格X表示期权的行权价格r表示无风险利率T表示剩余期限，单位为年份d1 = (ln(S/X) + (r + σ^2/2)T) / (σ * √T)d2=d1-σ*√TN(d)和N(-d)是标准正态分布函数。
标准正态分布函数可以通过查找Z表或使用计算机程序进行近似计算。
在应用Black-Scholes模型时，需要提供以下数据：1.标的资产的当前价格（S）2.期权的行权价格（X）3.无风险利率（r）4.剩余期限（T）（以年为单位）5.标的资产的波动率（σ）下面举一个实例来说明如何使用Black-Scholes模型计算期权价格。
假设只股票的当前价格为100美元，期权的行权价格为105美元，无风险利率为5%，剩余期限为6个月（0.5年），股票的波动率为20%。
首先，根据给定的数据，计算d1和d2：d1 = (ln(100/105) + (0.05 + 0.2^2/2) * 0.5) / (0.2 * √0.5) d2=d1-0.2*√0.5然后，使用标准正态分布函数计算N(d1)、N(d2)、N(-d1)和N(-d2)的值。
假设N(d1)=0.6、N(d2)=0.5、N(-d1)=0.4和N(-d2)=0.3接下来，根据公式可计算出认购期权和认沽期权的价格：C=100*0.6-105*e^(-0.05*0.5)*0.5=7.16美元P=105*e^(-0.05*0.5)*0.3-100*0.4=3.84美元因此，在给定的条件下，该认购期权的价格为7.16美元，认沽期权的价格为3.84美元。
不变方差弹性(CEV)过程下障碍期权的定价¹谢 赤(湖南大学工商管理学院,长沙410082)摘要:论证了当基础资产遵循不变方差弹性(constant elasticity of variance,CEV)过程时障碍期权的定价问题,构建了一个三项式模型来对CEV过程进行近似化并利用其为障碍期权定价.就标准期权而言,CEV与Black-Scholes模型之间的相关量相对较小.结论是,拥有一个准确的模型描述对依赖极限期权比标准期权要重要得多.关键词:CEV过程;障碍期权;期权定价;三项式模型;标准期权中图分类号:F830 文献标识码:A 文章编号:1007-9807(2001)05-0013-080 引 言目前奇异期权(如障碍期权)在场外市场变得越来越流行,默顿提出了一个“下跌失效”看跌期权问题的较理想的解答[1].此后学术界又开发出许多欧式路径依赖期权问题的较好答案,并且也提出了处理美式或其它复杂路径依赖期权的数量方法.大多数文献的研究都在基础资产遵循几何布朗运动的假设前提下着眼于路径依赖期权,即基础资产的价格是按对数型分布的.正如Black-Scholes模型所假定的,它拥有一些“回收”[2].实证研究表明,股票价格一般不太可能呈对数型分布.当将B-S模型运用于股票期权定价时,某些如众所周知那样的结算价格偏差还是保持下来了.本文重新考察了当基础资产遵循CEV发散过程时某些路径依赖期权的定价问题,这一过程具备基础资产的波动与其价格水平相联系的优点,它与股票波动趋于股票价格上涨和下跌变化的实证研究相一致.正如Cox所指出的,“波动微笑”的缘由便是股票价格变动与波动变化之间是负相关的[3].由Cox提出的CEV期权定价模型分离了这种负相关联系[4].这样,将CEV过程应用于路径依赖期权以及标准期权就应该是一种明智的做法.采用三项式方法对CEV过程进行近似处理.三项式方法的分过程是通过变量转换来建立的,然后构建起三项式概率以保证非负性,因而也保证了收剑性.当这一方法用来评价CEV过程下的标准期权时其准确性相当高.然后使用同样方法来评价障碍期权,并表明了CEV过程下这种期权的价格可以在对波动偏差进行调整后方便地由对数型过程下的期权推导出来.对标准期权而言, CEV模型与B-S模型之间的这种差别相当小.直觉上,基于极限的期权应表现出比那些基于基础资产平均值或三项式值的期权的偏差更大.1 CEV过程的描述B-S期权定价模型假设基础股票价格遵循几何布朗运动[2]:d S=L S d t+R S d z(1)其中,z(t)为标准布朗运动.这一假设意味着,在一个小区间d t内,股票价格的变动百分率d S/S呈正态分布,其平均值为L d t,瞬态方差为R2d t.第4卷第5期2001年10月管 理 科 学 学 报 JOU RN A L OF M AN A GEM EN T SCIEN CES IN CHIN A V ol.4No.5Oct.,2001¹收稿日期:2000-02-14;修订日期:2001-05-25.基金项目:国家自然科学基金资助项目(79970015);湖南省自然科学基金资助项目(99JJY20065).作者简介:谢赤(1963-),男,湖南株洲人,博士,教授.如我们所知,对数正态假定并没有取得对股票价格或股票指数的实证检验,作为其替代方法的随机过程便受到关注并广泛应用于期权定价.例如,Cox和Ross就对称作不变方差弹性(CEV)过程的随机过程作了研究[4,5]:d S=L S d t+S A/2d z(2)其中,A为常数,称作弹性因子,且有0≤A< 2.对0≤A<2,当资产价值达到零时CEV过程具有一种吸收障碍.在A=2的极端情况下,式(2)简化成式(1),意味着几何布朗运动为CEV过程的特例.根据Cox的研究[4],可将A的范围限定在区间[0,2], A<0的过程并不具备合理的经济性质,因为随着接近起始点波动的消失,资产价格变负.式(2)是建立在自然概率量度,即P-量度的基础上的,为了给CEV过程下的证券定价,首先将式(2)中的随机过程转换成在其中所有证券的收缩价格过程都是加倍的Q量度方法.在这种情况下,使用累积货币市场账户作计算数据.在Q 量度法中,修正过的过程除了以无风险利率r(这里假设的常数)替代L外其它保持不变:d S=r S d t+R S A/2d z(3)采用加倍性质可以通过确定Q量度方法下到期时正整化后的清偿期望值来评价衍生品.有关衍生品评价中Q量度地位的问题可参见文[6].为了对在时间T到期的衍生品实施这一步骤,需要Q量度方法下资产价格的密度函数.条件S t(t<T)下S T的密度中的连续部分由下式给出:f(S T,T;S t,t)=(2-A)r1/(2-A)(ab1-2A)1/(4-2A)õ e-a-b I1/2-A(2ab)(4)其中 S=T-tC=2rR2(2-A)(e r(2-A)S-1)a=C S2-At e r(2-A)Tb=C S2-AT且I q为第一类级q的修正型Bassel函数.Cox推导出了欧式看涨期权的价格C(S,S)=S t Q(2c;2+2/(2-A),2a)-X e-r S Q(2c;2-2/(2-A),2a)(5)其中c=C X2-A;X为期权的清算价格;Q(c;u,v)为自由度为u和非中心系数为v的非中心V2分布余函数.Q(c;u,v)定义为Q(c;u,v)=∫x c/2e-w-v/2(2w/v)(u-2)/4I(u-2)/2(2vw)d w(6)非中心V2分布余函数也可以写成无穷级数之和Q(c;u,v)=∑∞n=1g(n,v/2)G(n+(u-2)/2,c/2)其中g(u,v)=e-v M u-1/#(u)为C密度函数,且G(u,v)=∫∞v g(u,x)d x(7)为珈玛分布余函数.2 CEV过程的三项式模型这里提出使用三项式方法的CEV过程的离数近似法,假设资产价格增量按照Q量度法表示.转换变量S使转换后的过程具有不变波动.设y=y(t,S)应用Ito定理,y的随机差分方程为d y=q(t,S)d t+5y5S R SA/2d z(8)其中q(t,S)=5y5t+rS5y5S+12R2S A52y5S2为了保证式(8)所对应的过程具有不变波动,必须找到一种变换以便对某个正常数M,有 5y5S R SA/2=M(9)这相当于5y5S=MR S-A/2对A≠2,该转换由下式给出 y=MR(1-A/2)S1-A/2(10)对于A=2,合适的转换由下式给出 y=M/R log(S)就后一种情况,一些学者已对三项式近似方法作了检验[7-10].对A≠2的情况,转换方程变成d y=r(1-A/2)y-A M24(1-A/2)yd t+M d z(11)转换过程式(11)具有不变波动,它具有一个三叉树的二维栅极的简单结构.然而,转换后的过程具有更复杂的移动项,当y→0时(仅当A=0时有唯一例外),它将发散.当区域接近于y=0—14—管 理 科 学 学 报 2001年10月时标准三项式分过程便会产生问题,因而三项式跳跃和概率一定要选择得与移动(和波动)匹配.为了解决这一问题,按Tian所建议的那样对标准三项式方法作修改[1].按照这一方案,三项式分过程能同时利用转换过程式(11)和原始过程式(3).这一方法分两步实施.首先,过程式(11)用于定义一个平滑空间,空间(t,y)二维栅极通过分步完成:t0,t0+$t,t0+2$t,…,t0+N$ty0-M1$y,…,y0-$y,y0,y0+$y,…,y0+ M2$y其中,(t0,y0)为三项式过程的起始点,$t 和$y分别为时间和状态变量的增量;y0通过下述变换与初始资产价格S0关联.y0=MR(1-A/2)S1-A/2为简单起见,定义t i=t0+i$t,i=0,1,2,…,N y i=y0+j$y,j=-M1,…,-1,0,+1,…,M2为了保证三项式方法的稳定性,有必要施加下述约束:$y=K M$t(12)其中 K≥1为任意常数正常情况下,三项式分过程定义在二维栅极上,后者又与转换过程的移动和波动相匹配.然而,这种标准方法由于转换过程的移动项没有约束在零,并且存在从上面可以接近的零状态(y= 0,S=0)的正概率而对CEV过程的所有的A值都将无效.其解决办法就是将(t,y)空间中的二维栅极影射到(t,S)空间中等价的二维栅极上,影射手段为由下式定义的式(10)的逆变换S=A(1-A/2)M y11-A/2,y>00 ,其它(13)这一新的栅极分步表示为t0,t1,t2,…,t NS-M1,…,S-1,S0,S1,…,S M2其中S j=A(1-A/2)M y11-A/2,y>0 0 ,其它下一步就是要与这种在(t,S)空间的新的二维栅极上确定三项式分过程.基础资产的价格被限制仅仅在这种栅极上的点运动.这保证了计算的效率,合.假设资产价格的目前状态为S j,下一步运动将分别以概率p1(j),p2(j),p3(j)使资产价值取S k+1,S k或S k-1.对k=j的情形这种分支过程显示在图1中.图1 一般化后的三项式分过程在标准三项式分过程中,一般有k=j.换句话说,基础资产在下一时期可能上移一个水平,也可能下移一个水平,或保持不变.这种标准三项式分过程对对数正态发散过程(A=2)效果良好.然而,对象CEV过程这样的其它发散过程,为了使移动和波动与非负概率匹配,k要能从j推导出来.对这种一般化后的三项式分过程,三个概率分别由以下方程组给定:p1(j)+p2(j)+p3(j)=1 (14) p1(j)S k+1+p2(j)S k+p3(j)S k-1=M jp1(j)S2k+1+p2(j)S2k+p3(j)S2k-1=M2j+V j其中 M j=S j+rS j$t V j=R2S A j$t由上述议程组解出概率,可得p1(j)=(S k-M j)(S k-1-M j)+V j(S k-S k+1)(S k-1-S k+1)p2(j)=(S k+1-M j)(S k-1-M j)+V j(S k+1-S k)(S k-1-S k)p3(j)=(S k+1-M j)(S k-M j)+V j(S k+1-S k-1)(S k-S k-1)(15)为了保证概率的非负性,必须恰当地选择分过程k的中间运动.为了将这些移动排好队,应该将三项式树的中心分支尽可能安排靠近在连续过程式(3)基础上的区间期末时刻的期望资产价格.换言之,还要找到一个k,以使中心运动后的基础资产价格与基础随机过程的期望资产价格相匹配,这意味着在下列条件下可最后达到: S k=S j+rS j$t当S j>0时,上述条件可简化成y k=y j(1+r$t)1-A/2或等价地写成1-A/2(16)—15—第5期 谢赤:不变方差弹性(CEV)过程下障碍期权的定价当然,式(16)右边一般不会是整数,其简单解就是要选择一个整数使之尽可能地接近它:k=y j(1+r$t)1-A/2-y0K M$t(17)其中[]给出了接近于实际数字的整数一旦适当定义好了分过程和概率,则标准向后循环程序可能被用来评价看涨或看跌期权.表1中所列的数据表示了一般化后的三项式模型对CEV过程的表现.基于非分红股票的欧式看涨期权可用于这一目的.当前的股票价格为100,结算价格为95,100或105,期限为6个月,无风险利率为每年0.10,(股票价格的变动百分率)瞬态波动为每年0.25.使用三个A值来表现其对期权价格的影响.它们分别对应对数正态模型(A=2)、平方根模型(A=1)和绝对模型(A=0).在对数正态模型中采用了标准三项式模型.为了保证基于不同A值的期权价格存在广泛的可比性,将每一模型中的R值再作调整以使初始瞬态波动在不同模型中都相同.设R BS为对数正态(R=2)瞬态波动,如前面所选择的为0.25.根据MacBeth和M erville的研究[12],用作其它A值的模型的R值要调整为R=R BS S1-A/2为了完成评价步骤,要给三项式模型两个常数(K和M)安排好近似值.根据有关文献[7-9],选择K= 1.5.这一特殊的K值可以说提供了最快速的收敛方式,因为它使得三个三项式概率具有大致相同的值.M值没有对模型的准确性产生影响,为方便起见取M=R.表1 ECV过程下标准看涨期权的收敛过程时步骤(N)A=0A=1A=2X=95X=100X=105X=95X=100X=105X=95X=100X=1051012.78649.5459 6.979512.70119.53297.054812.62049.52347.1344 2012.72839.5682 6.919512.64899.5583 6.990112.57429.55247.0653 3012.75549.5758 6.952912.67559.56697.027212.60029.56237.1067 4012.75819.5797 6.956312.67779.57137.032212.60199.56727.1135 5012.75399.5821 6.951512.67309.57407.028212.59679.57027.1103 6012.74759.5837 6.644312.66639.57587.021412.58959.57227.1040 7012.74059.5848 6.936512.65909.57707.013912.58199.57367.0967 8012.74069.5856 6.936912.66169.57807.011512.58729.57477.0914 9012.74519.5863 6.942312.66589.57887.017712.59119.57557.0984 10012.74749.5868 6.945112.66799.57947.020912.59289.57627.1022 20012.74479.5893 6.942312.66559.58227.018512.59039.57927.0999 30012.74149.5901 6.938512.66249.58307.015812.58769.58027.0987 40012.74449.5906 6.942012.66499.58397.019112.58889.58077.1010 50012.74349.5910 6.940812.66469.58447.017412.58889.58107.0985 60012.74409.59129.641512.66489.58477.018912.58839.58127.1005 70012.74329.5914 6.940612.66479.58517.017412.58859.58147.0988 80012.74419.5915 6.941612.66539.58537.019012.58859.58157.1002 90012.74329.5916 6.940612.66449.58567.018412.58799.58167.0998 100012.74399.5918 6.941412.66569.58587.018712.58869.58167.0994分析值12.74269.5915 6.940312.66299.56457.017012.58809.58227.0996 由表1可知,三项式价格在给定结算价格和A 值条件下迅速收敛于封闭形式的解.绝对模型和平方根模型的看涨价格的收敛过程可类比对数正态模型看涨价格的收敛过程.3 障碍期权的定价为了给象“下跌失效”看跌期权这样的障碍期权进行评价,不能直接采用前节中提出的三项—16—管 理 科 学 学 报 2001年10月式模型.Boyle和Lau指出,直接采用树基模型当时间步骤数较大时会导致明显较大的障碍期权定价误差[13].随着时步数的增加,定价误差会表现出带有定期重复的较大定价误差的可见刀刃方式.问题的根源在于“障碍”一般位于树上结点的水平层面上.可以看到,在所有位于相邻的节点后面之间的障碍水平上,尽管障碍水平不同,但由树上所计算出的期权价格都是相等的,当障碍位于不同节点后面之间时,期权值呈离数跳跃.随着时步数的变化,相邻节点层面之间障碍的相对状态也发生变化,而且这会影响到模型的准确性,如果水平节点层面准确地位于障碍上,则定价误差会达到最小.为了进一步了解这一行为,还要看一看在决策树模型中到底是如何处理障碍的.在二叉树或三叉树的范畴内,只在树的节点上估价障碍.如果障碍没有准确地位于节点的层面上,则期权的敲进或敲出就不会发生在障碍上,而是发生在障碍上面(上升期权)或障碍下面(下降期权)的节点层面上.这种决策树就有效地将障碍理解成由节点层面表示的价格水平.前节中提出的三项式模型必须加以修改才能用于准确地评价障碍期权.根据Ritchken的研究[14],使用“伸展系数”K来调整三项式“跳跃”的程度,以使节点层面位于障碍上,作为基本方法讨论单障碍看涨期权和双障碍看涨期权.首先考虑一个具有较低障碍B d(B d<S0)的下跌失效看涨期权.从伸展系数的初始值开始: K0= 1.5为了得到障碍的水平节点层面,对整数j必须有S j=B d这等价于y d=y0+j K0M$t 其中y d=MR(1-A/2)B1-A/2d解出j,得到j=y d-y0K0M$t(18)可是,式(18)右边一般不会是一个整数,这样障碍通常就会位于两个水平节点层面之间.为了使节点层面准确地按照障碍向上排列,就要改变伸展系数以使式(18)对某一整数j准确成立.设J d 为最接近式(18)右边值的整数,即J d=y d-y0K0M$t如下定义一个新的伸展系数K dK d=y d-y0J d M$t(19)使用这一新的伸展系数,三项式网络可以在J d连续向下移动后准确地达到较低的障碍上.这保证了水平节点层面准确地位于障碍上.三项式运动现在可以由这些栅极点来定义:S j=R(1-A/2)M y j11-A/2,y j>00 ,其它其中y j=y0+j K d M$t借助于这一新的伸展系数值,可以用式(15)和式(17)再造出三项式网络的分过程和概率.修改后的三项式模型便可以用来评价下跌失效看涨期权.上扬失效期权可用类似的方法进行评价.考虑带有较低障碍B d和较高障碍B u(B d<S0<B u)的双敲击看涨期权,还是使用K0 = 1.5作为伸展系数的初始值.现在要求两个新的伸展系数保证两个障碍都准确地位于节点层上.为了使较低的障碍能与一个节点层面匹配,可以按照式(19)来选择伸展系数K d.类似地,为了使较高的障碍也能准确地位于节点层面上,可以根据下式来选择伸展系数: K u=y u-y0J u M$t其中 y u=MR(1-A/2)B1-A/2uJ u=y u-y0K0M$t三项式运动现在可以由这些栅极点来定义: S j=R(1-A/2)M y j11-A/2,y j>00 ,其它其中 y j=y0+j K u M$t,j≥0y0+j K d M$t,其它借助于新的伸展系数,利用式(15)和式(17)对三项式网络的分过程和概率进行再造,然后修改后的三项式模型就可以用来评价双敲击看涨期权.表2展示了看跌失效、看涨失效及双敲击看涨期权的价格,它是采用针对CEV过程的修改后的三项式模型计算出来的.股票的当前价格为—17—第5期 谢赤:不变方差弹性(CEV)过程下障碍期权的定价100,结算价格为100,期限为6个月,无风险利率为每年0.10,(股票价格变化百分率)瞬态波动为每年0.25.上障碍定为140,下障碍定为95.如前所述,三个A值被用来表现其对期权价格的作用,分别表示成对数正态模型(A=2),平方根模型(A=1)和绝对模型(A=0).对对数正态模型,Ritchken的三项式模型可用来计算障碍期权价格.所采用的时区数从10到1000.对所有所采用的A值和全部三种类型的障碍期权,看涨期权价格收敛得非常快.对其它A值期权价格也收敛(没有列在表中).表2 敲击看涨期权的收敛时步数(N)看跌失效看涨看涨失效看涨双敲击看涨A=0A=1A=2A=0A=1A=2A=0A=1A=210 3.5309 4.3450 4.63617.6870 6.8932 6.0130 4.0657 3.52160.000020 5.6328 5.6535 5.67607.66837.0128 6.2075 4.0805 3.60500.000030 5.6245 5.6448 5.66687.68377.0007 6.2764 4.0923 3.6118 3.121540 5.6203 5.6404 5.66227.69487.0206 6.2866 4.0992 3.6245 3.134050 5.6279 5.6540 5.67687.69077.0206 6.2959 4.0975 3.6224 3.142760 5.6318 5.6527 5.67517.68987.0221 6.3150 4.0981 3.6251 3.154070 5.6306 5.6515 5.67387.69017.0241 6.3186 4.0990 3.6274 3.157780 5.6297 5.6506 5.67287.69687.0260 6.3147 4.1023 3.6292 3.157790 5.6291 5.6499 5.67217.69697.0278 6.3187 4.1028 3.6308 3.1444100 5.6285 5.6493 5.67157.69307.0295 6.3220 4.1014 3.6321 3.1470 200 5.6289 5.6498 5.67317.69677.0337 6.3298 4.1041 3.6358 3.1519 300 5.6291 5.6500 5.67277.69757.0348 6.3329 4.1048 3.6369 3.1555 400 5.6292 5.6501 5.67237.69797.0359 6.3349 4.1051 3.6376 3.1556 500 5.6289 5.6499 5.67237.69797.0363 6.3353 4.1053 3.6381 3.1555 600 5.6290 5.6499 5.67237.69817.0364 6.3360 4.1054 3.6382 3.1563 700 5.6289 5.6498 5.67217.69837.0368 6.3363 4.1056 3.6385 3.1562 800 5.6290 5.6499 5.67227.69837.0370 6.3364 4.1056 3.6386 3.1565 900 5.6289 5.6498 5.67217.69837.0371 6.3367 4.1056 3.6388 3.1565 1000 5.6288 5.6498 5.67217.69837.0372 6.3369 4.1057 3.6389 3.1567封闭形式n/a n/a 5.6719n/a n/a 6.3383n/a n/a 3.15784 几点结论为了进一步考察CEV过程弹性因子A的影响,针对不同的A值、结算价格和障碍来计算障碍期权的价格.表3列出了采用具有1000个时步数的修正后的三项式模型所计算出来的标准、看跌失效、看涨失效和双敲击看涨期权的价格.由此可以指出结果的几个特点.首先,A值对期权价格的影响可能是正方向的,也可能是负方向的,但是对某一给定期权,其影响看起来总是单调的.换句话说,随着A值由0增加至2,期权值要不就单调增加,要不就单调减少.其次,对标准看涨期权,A的影响看起来相当小,特别是对货币上期权更是如此.对数正态分布中看涨期权的最大的百分比偏差仅为2.23%,这正是我们所期望的,由于R值要调整到A值以使股票价格的效率变化的瞬态波动对具有不同A值的CEV过程是一致的,这意味着A值的偏差对标准看涨期权价格几乎没什么影响.更要注意的是,A值对障碍期权的价格特别是看涨失效和双敲击看涨期权有着强烈的影响.对看跌失效看涨期权,表3中所列的最大偏差为期权值的3.58%,与标准看涨期权相比有时大有时小.可是,对看涨失效和双敲击看涨期权,最大偏差分别高达32.84%和34.72%.显然,A的偏差可能引起这些敲击看涨期权的非常大的定价误差.表3中还可以看到一个有趣的现象是A的影响对具有顶部障碍的看涨期权比具有底部障碍的看涨期权更大.有人可能认为资产价格的初始值(100)对底部障碍(90或95)较之顶部障碍(120—18—管 理 科 学 学 报 2001年10月或140)更近,并且在尾部比中部分布更加不同.可是,A 对看跌期权(表3中未列出)的影响恰好相反:对具有底部障碍看跌期权的影响比具有顶部障碍的更大.因此,障碍水平本身并不能解释价格差异.期权的报酬结构也十分重要.看涨期权可以从其分布的顶端尾部推导出其报酬;而看跌期权可以从其底端尾部推导出其报酬.所以,具有底部障碍的看涨期权受较低的尾部和较高的顶部的影响.由于本例中两个尾部都被覆盖了,因而分布偏差的影响便减小了.另一方面,具有顶部障碍的看涨期权仅受到顶端尾部的影响,对于分布偏差的影响就达到最大.对障碍看跌期权也可作类似分析.表3 具有不同A 值的CEV 过程的敲出期权价格S 0=100,r =0.1,T =0.5,R =0.25,N =1000B uB dX看涨价格A =0A =0.5A =1A = 1.5A =2最大偏差%标准看涨+∞09512.743112.702612.663512.625512.5886 1.23+∞01009.59109.59699.58409.58229.58160.10+∞1056.9408 6.97837.01727.05767.0994 2.23看跌失效看涨+∞909510.573310.587410.601710.616310.63130.55+∞901008.24138.27258.30438.33688.3702 1.54+∞90105 6.1447 6.1998 6.2560 6.3133 6.3730 3.58+∞9595 6.9982 6.9884 6.9785 6.9685 6.95830.57+∞951005.6288 5.6392 5.6498 5.6607 5.67210.58+∞95105 4.3329 4.3650 4.3977 4.4313 4.4659 2.98看涨失效看涨120095 3.4424 3.2851 3.1358 2.9946 2.860420.351200100 1.9350 1.826217.233 1.6262 1.534726.0812001050.88910.82890.77220.71890.669332.8414009510.622610.22499.81169.38718.9856918.6014001007.69837.37487.0372 6.6897 6.336921.48140105 5.2757 5.0318 4.7756 4.5105 4.241324.39双敲击看涨1209095 2.0771 1.9745 1.8778 1.7868 1.701322.0912090100 1.2360 1.1626 1.0936 1.02890.968227.66120901050.59330.55100.51150.47460.440434.721409595 5.2922 5.0141 4.7274 4.4362 4.144327.7014095100 4.1057 3.8960 3.6389 3.3980 3.156730.06140951052.99282.81302.62712.43792.248833.08参考文献:[1] M erton R C.T he theory of rational option pricing [J].Bell Journal of Economics and M anag em ent Science,1973,(4):141-183[2] Black F ,Scholes M .T he pricing o f options and cor por ate liabilities [J ].Journal of Po litical Economy ,1973,(81):637-659[3] Cheuk T H F,Vo rst T C F.T he constant elasticity o f v ariance option pricing model[J].Journal of P ortfo lio M ana-gement ,1996,(22):15-17[4] Co x J C .N ot es on o ptio n pr icing I :const ant elasticity o f var iance diffusions [M ].U npubl .N ot e Stanford U niv .,—19—第5期 谢赤:不变方差弹性(CEV )过程下障碍期权的定价1975[5] Cox J C,R oss S A.T he valuation of options f or alter native stochastic processes[J].Jo ur nal o f Financial Eco 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学 学 报 2001年10月。
