北京四中2019-2020学年度第二学期开学考试高三测试数学试题(含答案)2.13

开始m =1, i =1m =m (2-i )+1i = i +1m =0?结束输出i是否北京市西城区2019-2020学年高三下学期开学考试数学（理）试题（本卷答题时间120分钟，满分150分）（一）、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数()2421ii -=+( )A.12i -B.12i +C.12i -+D.12i -- 答案：D2．已知集合{}|11M x x =-<<，|01x N x x ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，则M N =I A ．{}|01x x ≤< B ．{}|01x x << C ．{}|0x x ≥ D ．{}|10x x -<≤答案：A3．执行如图所示的程序框图，则输出的i 值为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案：B4． “1a >”是“函数()cos f x a x x =⋅+在R 上单调递增”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A5．给出下列函数：①2log y x = ； ②2y x = ； ③2xy =； ④2y x=. 其中图象关于y 轴对称的是A. ①②B. ②③C. ①③D. ②④ 答案：B6. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ．3πB ．12πC ．2πD ．7π 答案： A7. 设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F ,且与y 轴交于点A ,若OAF ∆（O 为坐标原点）的面积为4,则抛物线方程为A.24y x =±B. 24y x =C. 28y x =±D. 28y x =8. 某地实行阶梯电价，以日历年(每年1月1日至12月31日)为周期执行居民阶梯电价，即：一户居民用户全年不超过2880度（1度=千瓦时）的电量，执行第一档电价标准，每度电0.4883元；全年超过2880度至4800度之间的电量，执行第二档电价标准，每度电0.5383元；全年超过4800度以上的电量，执行第三档电价标准，每度电0.7883元.下面是关于阶梯电价的图形表示，其中正确的有① ②③参考数据：0.4883元/度⨯2880度=1406.30元，0.5383元/度⨯(4800-2880)度+1406.30元=2439.84元.(A) ①② (B) ②③ (C) ①③ (D)①②③ 答案：B(二)、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题纸上.9．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题: “今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？答曰：二千一百一十二尺.术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一” .这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一.”就是说：圆堡瑽(圆柱体)的体积为：V ＝112×(底面的圆周长的平方×高)．则圆周率π的取值0.7883元/0.5383元/0.4883元/线段PQ 左侧阴影部分的面积表示年用电量为x 度时的电费为 . 答案：310．口袋中有三个大小相同、颜色不同的小球各一个，每次从中取一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取了5次停止种数 为 。

2019年北京四中高考数学模拟试卷（文科）（二）（4月份）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知全集U=R，A={x|x＞1}，B={x|x2＞1}，那么（∁U A）∩B等于（）A. {x|-1＜x≤1}B. {x|-1＜x＜1}C. {x|x＜-1}D. {x|x≤-1}2.在复平面内，复数z）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知曲线C1：y=sin x，C2）A. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平C2B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平C2C. 把C1C2D. 把C1C24.某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如图茎叶图：则下列结论中表述不正确的是（）A. 第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟B. 第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高C. 这40名工人完成任务所需时间的中位数为80D. 无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟．5.一个棱长为2的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图如图所示，则截去部分与剩余部分体积的比为（）A. 1：3B. 1：4C. 1：5D. 1：66.若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A. 若α⊥β，m⊥β，则m∥αB. 若m∥α，n⊥m，则n⊥αC. 若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βD. 若m∥β，m⊂α，α∩β=n，则m∥n7.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）8.若函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足条件：|x1x2+y1y0，则称f（x）为“柯西函数”，则下列函数：①f（x）=x（x＞0）；②f（x）=ln x（0＜x＜e）；③f（x）=cos x；④f（x）=x2-1．其中为“柯西函数”的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.曲线f（x）=xe x+2在点（0，f（0））处的切线方程为______．10.若变量x，y z=x+4y的最大值为______．11.将数列3，6，9，……按照如下规律排列，记第m行的第n个数为a m，n，如a3，2，如a3，2=15，若a m，n=2019，则m+n=______．12.已知函数f（x）=|ln x|，实数m，n满足0＜m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间[m2，n]上的最大值是2______．13.设D为△ABCλ∈R），则λ=______．14.若圆x2+y2=1与圆x2+y2-6x-8y-m=0相切，则m的值为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.若数列{a n}的前n项和为S n，首项a1＞0且2S n a n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若a n＞0（n∈N*），令b n{b n}的前n项和T n．16.（1）求ω和ϕ的值；（217.某商场营销人员进行某商品M市场营销调查发现，每回馈消费者一定的点数，该商品当天的销量就会发生一定的变化，经过试点统计得到以如表：（1）经分析发现，可用线性回归模型拟合当地该商品一天销量y（百件）与该天返还点数x之间的相关关系．请用最小二乘法求y关于x的线性回归方程y=bx+a，并预测若返回6个点时该商品当天销量；（2）若节日期间营销部对商品进行新一轮调整．已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，经过营销部调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：将对返点点数的心理预期值在，）和，的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，求抽出的3人中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的概率．（参考公式及数据：①回归方程y=bx+a18.如图，四棱锥P一ABCD中，AB=AD=2BC=2，BC∥AD，AB⊥AD，△PBD为正三角形．且PA（1）证明：平面PAB⊥平面PBC；（2）若点P到底面ABCD的距离为2，E是线段PD上一点，且PB∥平面ACE，求四面体A-CDE的体积．19.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C F1（0），F20），圆O的直径为F1F2．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB l的方程．20.已知函数g（x）=a ln x，f（x）=x3+x2+bx．（1）若f（x）在区间[1，2]上不是单调函数，求实数b的范围；（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；（3）当b=0时，设F（x）a，曲线y=F（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．2019年北京四中高考数学模拟试卷（文科）（二）（4月份）答案和解析【答案】1. C2. D3. C4. D5. A6. D7. C8. B9. y=x+210. 2811. 4412. e213. -314. -9或1115. 解：（1）当n=1时，2a1=2S1=a12+a1，则a1=1；当n≥2时，a n=S n-S n-1即（a n+a n-1）（a n-a n-1-1）=0，可得a n=-a n-1或a n-a n-1=1，可得a n=（-1）n-1或a n=n；（2）由a n＞0，则a n=n，b n即有前n项和T n+-+…-+--16. 解：（1得ω=2………………………………………………………………………………………（3分）∵∴…（5分）……………（6分）（2）由（1）知：………………………………………………………………（8分）……（10分）∴cos（cosα-sinα）12分）17. 解：（1）易知，∴==0.32，=-=1.04-0.32×3=0.08，则y关于x的线性回归方程为y=0.32x+0.08，当x=6时，y=2.00，即返回6个点时该商品每天销量约为2百件…（6分）（2）设从“欲望膨胀型”消费者中抽取x人，从“欲望紧缩型”消费者中抽取y人，x=2，y=4在抽取的6人中，2名“欲望膨胀型”消费者分别记为A1，A2，4名“欲望紧缩型”消费者分别记为B1，B2，B3，B4，则所有的抽样情况如下：{A1，A2，B1}，{A1，A2，B2}，{A1，A2，B3}，{A1，A2，B4}，{A1，B1，B2}，{A1，B1，B3}，{A1，B1，B4}，{A1，B2，B3}，{A1，B2，B4}，{A1，B3，B4}，{A2，B1，B2}，{A2，B1，B3}，{A2，B1，B4}，{A2，B2，B3}，{A2，B2，B4}，{A2，B3，B4}，{B1，B2，B3}，{B1，B2，B4}，{B1，B3，B4}，{B2，B3，B4}共20种，其中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的情况由16种记事件A为“抽出的3人中至少有1名‘欲望膨胀型’消费者”，12分）18. （1）证明：∵AB⊥AD，且AB=AD=2BD又，△PBD为正三角形，∴PB=PD=BD∵AB=2，PA∴AB⊥PB，又∵AB⊥AD，BC∥AD，∴AB⊥BC，PB∩BC=B，∴AB⊥平面PBC，又∵AB⊆平面PAB，∴平面平面PAB⊥平面PBC．……（6分）（2）如图，设BD，AC交于点O，∵BC∥AD，且AD=2BC，∴OD=2OB，连接OE，∵PB∥平面ACE，∴PB∥OE，则DE=2PE，由（1）点P到平面ABCD的距离为2，∴点E到平面ABCD的距离为h∴V A-CDE=V E-CDA×即四面体A-CDE…………（12分）19. 解：（1）由题意可设椭圆方程为∵焦点F1（0），F20），∴．a2-b2=c2=3，解得a=2，b=1．∴椭圆C O的方程为：x2+y2=3．（2）①可知直线l与圆O相切，也与椭圆C，且切点在第一象限，因此k一定小于0，∴可设直线l的方程为y=kx+m，（k＜0，m＞0）．由圆心（0，0）到直线l4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0，△=（8km）2-4（4k2+1）（4m2-4）=0，可得m2=4k2+1，∴3k2+3=4k2+1，结合k＜0，m＞0，解得k m=3．将k m=3解得x y=1，故点P的坐标为（．②设A（x1，y1），B（x2，y2），k＜联立直线与椭圆方程得（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0，|x2-x1|=O到直线l的距离d，|AB2-x1△OAB的面积为S，（正值舍去），m=3．∴y解：（1）由f（x）=x3+x2+bx得f'（x）=3x2+2x+b因f（x）在区间[1，2]上不是单调函数所以f'（x）=3x2+2x+b在[1，2]上最大值大于0，最小值小于0，∴-16＜b＜-5…（4分）（2）由g（x）≥-x2+（a+2）x，得（x-ln x）a≤x2-2x．∵x∈[1，e]，∴ln x≤1≤x，且等号不能同时取，∴ln x＜x，即x-ln x＞0∴a a6分），求导得，当x∈[1，e]时，x-1≥0，0≤ln x≤1x+2-2ln x＞0，从而f′（x）≥0，∴f（x）在[1，e]上为增函数，f（1）=-1，∴a≤-1．…（8分）（3）由条件，F（x）假设曲线y=F（x）上存在两点P，Q满足题意，则P，Q只能在y轴两侧，…（9分）不妨设P（t，F（t）），t＞0则Q（-t，t3+t2），且t≠1．∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，∴-t2+F（t）（t3+t2）=0 （*），是否存在P，Q等价于方程（*）在t＞0且t≠1时是否有解．①若0＜t＜1时，方程（*）为-t2+（-t3+t2）（t3+t2）=0，化简得t4-t2+1=0，此方程无解；…（12分）②若t＞1时，方程（*）为-t2+a ln t（t3+t2）=0，设h（t）=（t+1）ln t，（t＞1），则h′（x）=ln t，显然，当t＞1时，h′（x）＞0，即h（x）在（1，+∞）上为增函数，∴h（t）的值域为（h（1），+∞），即（0，+∞），∴当a＞0时，方程（*）总有解．∴对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上总存在两点P，Q，使得△POQ是以O（O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．…（14分）【解析】1. 解：B={x|x＜-1，或x＞1}，∁U A={x|x≤1}；∴（∁U A）∩B={x|x＜-1}．故选：C．可求出集合B，然后进行补集、交集的运算即可．考查描述法的定义，以及交集、补集的运算．2. i+2所对应的点为（2，-1），该点位于第四象限故选：D．根据1=-i2点所在的位置．本题主要考查了复数代数形式的运算，复数和复平面内的点的对应关系，属于基础题．3. 解：曲线C1：y=sin x，把C1得到y=sin2x，得到曲线C2故选：C．直接利用三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．4. 解：由茎叶图的性质得：在A中，第一种生产方式的工人中，有：的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟，故A正确；在B中，第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高，故B正确；在C中，这40，故C正确；在D中，第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是超过80分钟．第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是不到80分钟，故D错误．故选：D．第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是超过80分钟．第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是不到80分钟．本题考查命题真假的判断，考查茎叶图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5. 解：由题意可知：几何体被平面ABCD平面分为上下两部分，设：正方体的棱长为2；下部为：2×2×2-2=6．故选：A．画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．本题考查三视图与几何体的直观图的关系，棱柱的体积的求法，考查计算能力．6. 解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中，若α⊥β，m⊥β，则m∥α或m⊂α，故A错误；在B中，若m∥α，n⊥m，则n与α相交、平行或n⊂α，故B错误；在C中，若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，若m∥β，m⊂α，α∩β=n，则由线面平行的性质定理得m∥n，故D正确．故选：D．在A中，m∥α或m⊂α；在B中，n与α相交、平行或n⊂α；在C中，α与β相交或平行；由线面平行的性质定理得m∥n．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．7.设内切圆的半径为r，则5-r+12-r=13，解得r=2．∴内切圆的面积为πr2=4π，∴豆子落在内切圆外部的概率P故选：C．求出内切圆半径，计算内切圆和三角形的面积，从而得出答案．本题考查了几何概型的概率计算，属于基础题．8. 解：由柯西不等式得：对任意实数x1，y1，x2，y2：|x1x2+y1y恒成立（当且仅当存在实数k，使得x1=kx2，y1=ky2取等号），又函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），满足条件：|x1x2+y1y0，则函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2、即存在点A、B与点O共线；设AB的方程为y=kx，对于①，由于y=kx（x＞0）与f（x）=x不是柯西函数；对于②，由于y=kx与f（x）=ln x（0＜x＜e）最多只有一个交点，所以②不是柯西函数；对于③，取A（0，0），点B任意，均满足定义，所以③是柯西函数；对于④，取A（-1，0），B（1，0），均满足定义，所以④是柯西函数．故选：B．由“柯西函数”得函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2由），A、B与点O共线，判断满足条件即可．本题考查了函数的新定义与应用问题，也考查了函数性质与应用问题，是中档题．9. 解：f（x）=xe x+2的导数为f′（x）=（x+1）e x，可得曲线在点（0，f（0））处的切线斜率为1，切点为（0，2），可得在点（0，f（0））处的切线方程为y=x+2，故答案为：y=x+2．求得函数f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由斜截式方程可得所求切线方程．本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，属于基础题．10. 解：变量x，y满足则目标函数不等式组表示的平面区域如图所示，当直线z=2x-y过点A时，z取得最大值，A（4，6）时，在y轴上截距最大，此时z取得最大值4+4×6=28．故答案为：28．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x+4y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．11. 解：根据上面数表的数的排列规律3、6、9、12、15是以3为首项，以3为公差的等差数列，其通项公式为a t=3t，由a t=2019=3t，解得t=673，前m当m=36=666，当m=37，∴m=37，∵673-666=7，∴n=7，即m+n=37+7=44故答案为：44根据上面数表的数的排列规律3、6、9、12、15是以3为首项，以3为公差的等差数列，可得2019是第673的数字，根据等差数列的求和公式可得m=37，即可求出n=7，问题得以及解决本题主要考查归纳推理的问题，关键是根据数表，认真分析，找到规律，然后进行计算，即可解决问题．12. 解：∵f（m）=f（n），∴-ln m=l n n∴mn=1．∵f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2，∴f（x）在区间[m2上的最大值为2，∴-ln m2=2，则ln m=-1，解得m∴n=e，e2，故答案为：e2．由题意和对数函数的性质得m＜1＜n、ln m＜0、l n n＞0，代入已知的等式由对数的运算性质化简，由f（x）的最大值和对数函数的性质列出方程，求出m、n的值．本题考查了对数函数的性质，以及对数的运算性质，属于基础题．13. 解：D为△ABC整理得：，解得：=λ则：λ=-3；故答案为：-3．直接利用向量的线性运算求出结果．本题考查的知识要点：向量的线性运算及相关的恒等变换问题．14. 解：圆x2+y2-6x-8y-m=03，4m=-9，，解得m=11．故答案为：-9或-11．由圆x2+y2-6x-8y-m=0，求出圆心和半径，分两圆内切和外切两种情况，求出m的值即可．本题考查两圆的位置关系的判定，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题．15. （1）由数列的递推式：当n=1时，a1=S1；当n≥2时，a n=S n-S n-1，化简计算可得所求通项公式；（2）求得b n和．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列递推式，考查数列的裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于基础题．16. （1）根据勾股定理列方程可解得ω=2，再根据对称中心列式可解得φ；（2）根据已知等式解得sinα，再得c osα，再由和角的余弦公式可得．本题考查了由y=A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，属中档题．17. （1）求出平均数，求出相关系数，从而求出回归方程即可；（2）列举出所有的基本事件以及满足条件的事件，求出满足条件的概率即可．本题考查了求回归方程问题，考查转化思想以及概率求值，是一道常规题．18. （1）证明AB⊥PB，AB⊥BC，推出AB⊥平面PBC，然后证明平面平面PAB⊥平面PBC．（2）设BD，AC交于点O，连接OE，点P到平面ABCD的距离为2，点E到平面ABCD的距离为h V A-CDE=V E-CDA，转化求解四面体A-CDE的体积．本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．19. （1a2-b2=c2=3，解得a=2，b=1即可．（2）①可设直线l的方程为y=kx+m，（k＜0，m＞0）．4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0，△=（8km）2-4（4k2+1）（4m2-4），解得k=-，m=3．即可②设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆方程得（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0，O到直线l的距离d|AB2-x1△OAB的面积为S=解得k，（正值舍去），m=3．即可本题考查了椭圆的方程，直线与圆、椭圆的位置关系，属于中档题．20. （1）利用函数的导数在区间[1，2]上有极值，即可得到不是单调函数，求实数b的范围；（2）利用对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x2+（a+2）x恒成立，转化为a的不等式，通过函数的最值，求实数a的取值范围；（3）b=0，设F（x）a，曲线y=F（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，通过构造函数以及函数的导数的单调性，判断方程的解从而说明三角形斜边中点在y轴上．本题考查函数的导数的综合应用，函数的最值的应用函数的单调性以及构造法的应用，难度比较大的综合题目．。

北京西第四中学2020年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 是纯虚数，则（）A． B． C． D．参考答案：B略2. 函数是A.周期为的奇函数B.周期为的偶函数C.周期为的奇函数D.周期为的偶函数参考答案：D略3. ()A. 8B.－8C.D.参考答案：C【分析】利用诱导公式将化为，通分后可利用二倍角公式和辅助角公式将所求式子化为，由可约分得到结果.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查三角恒等变换中的化简求值问题，涉及到诱导公式、二倍角公式和辅助角公式的应用.4. 阿基米德在《论球与圆柱》一书中推导球的体积公式时，得到一个等价的三角恒等式，若在两边同乘以，并令，则左边.因此阿基米德实际上获得定积分的等价结果.则（）A．-2 B．1 C. -1 D．2参考答案：D试题分析：，故选D.考点：定积分的计算.5. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为人，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高三年级抽取的学生人数为 ( )参考答案：B三个年级的学生人数比例为，按分层抽样方法，在高三年级应该抽取人数为人，故选6.已知等差数列，则n的值为（） A．18 B．17 C．16 D．15参考答案：答案:D7. 下列命题中是假命题的是A.，使是幂函数B. ，函数都不是偶函数C.，使D. ，函数有零点参考答案：B8.如上右图所示，C是半圆弧上一点，连接AC并延长至D，使|CD|=|CB|，则当C点在半圆弧上从B点移动至A点时，D点所经过的路程为（）A． B． C． D．2参考答案：答案：C9. 设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥，n∥，则m⊥n；②若∥，∥，m⊥，则m⊥；③若m∥，n∥，则m∥n；④若⊥，⊥，则∥。

其中正确命题的序号是A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④参考答案：A略10. 已知向量a＝(2，－3)，b＝(3，λ)，若a∥b，则λ等于（）A、 B、－2 C、－ D、－参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知的展开式中的系数与的展开式中的系数相等，则．参考答案：答案：12. 如图，已知，，M为BC的中点，D为以AC为直径的圆上一动点，则的最小值是．参考答案：13. 给个则上而下相连的正方形着黑色或白色.当时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：由此推断，当时，黑色正方形互不相邻着色方案共有种，至少有两个黑色正方形相邻着色方案共有种.（结果用数值表示）参考答案：21，43.14. 数列{14－2n}的前n项和为S n，数列{︱14－2n︱}的前n项和为S n′，若S n的最大值为S m，则n≥m时，S n′＝参考答案：15. （理）如图是一个算法框图，则输出的的值是_______．参考答案：略16. 已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果为 .参考答案：17. 在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，D为斜边AB的中点，则= ．参考答案：﹣1【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题．【分析】根据含有30°角的直角三角形的性质，得到AB与CD的长度，求出两个向量的夹角是120°，利用向量的数量积公式写出表示式，得到结果．【解答】解：：∵∠C=90°，∠A=30°，BC=1，∴AB=2．∵D为斜边AB的中点，∴CD=AB=1，∠CDA=180°﹣30°﹣30°=120°．∴=2×1×cos120°=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查平面向量的数量积的运算，考查含有30°角的直角三角形的性质，是一个基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

高三数学2020.4.21试卷满分150分 考试时间120分钟一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1．tan 570= （A）3（B）3-（C（D）22．等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++= （A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）843．下列选项中，说法正确的是（A ）“2000,0x x x ∃∈-R ”的否定是“2,0x x x ∃∈->R ”（B ）若向量,a b 满足0⋅<a b ，则a 与b 的夹角为钝角 （C ）若22am bm ，则a b（D ）“()x A B ∈”是“()x A B ∈”的必要条件4．已知0a >，0b >，1a b +=，若1a a α=+，1b bβ=+，则αβ+的最小值是 （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）65．某四棱锥的三视图如图所示，该几何体的体积是（A ）8 （B ）83（C ）4（D ）436．函数ππtan()42y x =-的部分图象如图所示，则()OA OB AB +⋅=（A ）6 （B ）5（C ）4 （D ）37．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为（A ）15（B ）625（C ）825（D ）258．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线与抛物线22(0)y px p =>的准线分别交于A ,B 两点，O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2， △AOB p = （A ）1 （B ）32（C ）2 （D ）39．ABC ∆中，三边的长为,,a b c ，若函数32221()(+)13f x x bx a c ac x =++-+有极值点，则B∠的取值范围是（A ）π(0,)3（B ）π(0,]3（C ）π[,π]3（D ）π(,π)310单位正方体1111ABCD A B C D -，黑、白两蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”．白蚂蚁爬地的路线是111AA A D →→，黑蚂蚁爬行的路线是1AB BB →→，它们都遵循如下规则：所爬行的第2i +段与第i 段所在直线必须是异面直线（*N i ∈）.设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是 （A ）1 （B （C （D ）0二．填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．某中学数学竞赛培训班共有10人，分为甲、乙两个小组，在一次 阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，若甲组5名同学成绩的平均 数为81，乙组5名同学成绩的中位数为73，则x y -的值为 ．12．在251(2)x x-的二项展开式中，x 的系数为 ．（用数值作答）13．直线sin 20x y α++=的倾斜角的取值范围是 ．14．已知0,0x y >>，且211x y +=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是 ．15．函数2()cos ()1f x A x ωϕ=++（π0,0,02A ωϕ>><<）的最大值为3，若()f x 的图象与 y 轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则(1)(2)(2015)f f f +++= ．三．解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分14分）已知如图1，在Rt ABC∆中，30ACB∠=︒，90ABC∠=︒，D为AC中点，AE BD⊥于E，延长AE交BC于F，将ABD∆沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，如图2所示．（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCD；（Ⅱ）求二面角A DC B--的余弦值；（Ⅲ）求三棱锥B AEF-与四棱锥A FEDC-的体积的比（只需写出结果，不要求过程）．图1 图217．（本小题满分14分）已知函数π()sin()(0,)2f x xωϕωϕ=+><恰好满足下列三个条件中的两个条件：①函数()f x的最小正周期为π；②π6x=是函数()f x的对称轴；③π()04f=且在区间ππ(,)62上单调，（Ⅰ）请指出这两个条件，说明理由，并求出函数()f x的解析式；（Ⅱ）若π[0,]3x∈，求函数()f x的值域．某工厂的机器上有一种易损元件A ，这种元件在使用过程中发生损坏时，需要送维修处维修．工厂规定当日损坏的元件A 在次日早上8：30之前送到维修处，并要求维修人员当日必须完成所有损坏元件A 的维修工作．每个工人独立维修A 元件需要时间相同．维修处记录了某月从1日到20日每天维修元件A 的个数，具体数据如下表：从这20天中随机选取一天，随机变量X 表示在维修处该天元件A 的维修个数． （Ⅰ）求X 的分布列与数学期望；（Ⅱ）若,a b *∈N ，且6b a -=，求()P a X b 最大值；（Ⅲ）目前维修处有两名工人从事维修工作，为使每个维修工人每天维修元件A 的个数的数学期望不超过4个，至少需要增加几名维修工人？（只需写出结论）19．（本小题满分14分）已知点()1,2P 到抛物线C ：()220y px p =>准线的距离为2． （Ⅰ）求C 的方程及焦点F 的坐标；（Ⅱ）设点P 关于原点O 的对称点为点Q ，过点Q 作不经过点O 的直线与C 交于两点,A B ，直线,PA PB 分别交x 轴于,M N 两点，求MF NF ⋅的值．设函数2()ln f x ax a x =--，1e()ex g x x =-，其中a ∈R ，e 2.718=为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）证明：当1x >时，()0g x >；（Ⅲ）确定a 的所有可能取值，使得()()f x g x >在区间(1,)+∞内恒成立．21．（本小题满分14分）如图，设A 是由n n ⨯个实数组成的n 行n 列的数表，其中ij a (,1,2,3,,)i j n =表示位于第i行第j 列的实数，且{1,1}ij a ∈-.记(,)S n n 为所有这样的数表构成的集合．对于(,)A S n n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之积，()j c A 为A 的第j 列各数之积．令11()()()nni j i j l A r A c A ===+∑∑．（Ⅰ）请写出一个(4,4)A S ∈，使得()0l A =； （Ⅱ）是否存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =？说明理由；（Ⅲ）给定正整数n ，对于所有的(,)A S n n ∈，求()l A 的取值集合．。

数 学 试 卷（试卷满分为150分，考试时间为120分钟）一、选择题共10题，每题4分，共40分。

在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 若集合{2,1,0,1,2}A =--，集合2{|log (1)}B x y x ==-，则A B =I （A ）{2}（B ）{1,2}（C ）{2,1,0}-- （D ）{2,1,0,1}--2. 直线10x y +-=与圆2222ππcos cos 36x y +=+的公共点的个数 （A ）0个（B ）1个（C ）2个（D ）不能确定3. 若复数z 满足23i z z +=-（z 是z 的共轭复数），则||z =（A ）2（B（C（D ）34. 设2log 3P =，3log 2Q =，23log (log 2)R =，则 （A ）R Q P << （B ）P R Q << （C ）Q R P <<（D ）R P Q <<5. 给出下列命题：① 若直线l 上有两个点到平面α的距离相等，则直线//l 平面α； ② 长方体是直四棱柱；③ 两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥. 其中正确命题的个数是（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）36. “sin 0α=”是“sin20α=”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件7. 截至2019年10月，世界人口已超过75亿.若按千分之一的年增长率计算，则两年增长的人口就可相当于一个 （A ）新加坡（570万） （B ）希腊（1100万） （C ）津巴布韦（1500万） （D ）澳大利亚（2500万）8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的体积为（A ）83 （B ）23（C ）43（D ）29. 已知函数13,10,()1,01,x f x x x x ⎧--<⎪=+⎨⎪<⎩≤≤则当102m <<时，函数()()g x f x mx m =--在区间(1,1]-内的零点个数为 （A ）0（B ）1（C ）2（D ）310.对于数列{}n a ，若存在常数M ，使得对任意正整数n ，n a 与1n a +中至少有一个不小于M ，则记作{}n a M >，那么下列命题正确的是 （A ）若{}n a M >，则数列{}n a 各项均不小于M （B ）若{}n a M >，{}n b M >，则{}2n n a b M +>（C ）若{}n a M >，则22{}na M > （D ）若{}n a M >，则{21}21n a M ++>二、填空题共5题，每题5分，共25分。

2019年北京四中高考数学模拟试卷（文科）（二）（4月份）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知全集U=R，A={x|x＞1}，B={x|x2＞1}，那么（∁U A）∩B等于（）A. B. C. D.2.在复平面内，复数z=对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知曲线C1：y=sin x，C2：，则下面结论正确的是（）A. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线B. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线D. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线4.某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如图茎叶图：则下列结论中表述不正确的是（）A. 第一种生产方式的工人中，有的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟B. 第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高C. 这40名工人完成任务所需时间的中位数为80D. 无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟．5.一个棱长为2的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图如图所示，则截去部分与剩余部分体积的比为（）A. 1：3B. 1：4C. 1：5D. 1：66.若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，，则D. 若，，，则7.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）A. B. C. D.8.若函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足条件：|x1x2+y1y2|的最大值为0，则称f（x）为“柯西函数”，则下列函数：①f（x）=x+（x＞0）；②f（x）=ln x（0＜x＜e）；③f（x）=cos x；④f（x）=x2-1．其中为“柯西函数”的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.曲线f（x）=xe x+2在点（0，f（0））处的切线方程为______．10.若变量x，y满足则目标函数，，，则目标函数z=x+4y的最大值为______．11.将数列3，6，9，……按照如下规律排列，记第m行的第n个数为a m，n，如a3，2，如a3，2=15，若a m，n=2019，则m+n=______．12.已知函数f（x）=|ln x|，实数m，n满足0＜m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间[m2，n]上的最大值是2，则的值为______．13.设D为△ABC所在平面内一点，=-+，若=λ（λ∈R），则λ=______．14.若圆x2+y2=1与圆x2+y2-6x-8y-m=0相切，则m的值为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.若数列{a n}的前n项和为S n，首项a1＞0且2S n=+a n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若a n＞0（n∈N*），令b n=，求数列{b n}的前n项和T n．16.设函数＞，＜＜的图象的一个对称中心为，，且图象上最高点与相邻最低点的距离为．（1）求ω和ϕ的值；（2）若＜＜，求的值．17.某商场营销人员进行某商品M市场营销调查发现，每回馈消费者一定的点数，该商品当天的销量就会（）经分析发现，可用线性回归模型拟合当地该商品一天销量（百件）与该天返还点数x之间的相关关系．请用最小二乘法求y关于x的线性回归方程y=bx+a，并预测若返回6个点时该商品当天销量；（2）若节日期间营销部对商品进行新一轮调整．已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，经过营销部调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：将对返点点数的心理预期值在，）和，的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，求抽出的3人中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的概率．（参考公式及数据：①回归方程y=bx+a，其中，；②．）18.如图，四棱锥P一ABCD中，AB=AD=2BC=2，BC∥AD，AB AD，△PBD为正三角形．且PA=2．（1）证明：平面PAB平面PBC；（2）若点P到底面ABCD的距离为2，E是线段PD上一点，且PB∥平面ACE，求四面体A-CDE的体积．19.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（，），焦点F1（-，0），F2（，0），圆O的直径为F1F2．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为，求直线l的方程．20.已知函数g（x）=a ln x，f（x）=x3+x2+bx．（1）若f（x）在区间[1，2]上不是单调函数，求实数b的范围；（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；（3）当b=0时，设F（x）=，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：B={x|x＜-1，或x＞1}，∁U A={x|x≤1}；∴（∁U A）∩B={x|x＜-1}．故选：C．可求出集合B，然后进行补集、交集的运算即可．考查描述法的定义，以及交集、补集的运算．2.【答案】D【解析】解：==-i+2所对应的点为（2，-1），该点位于第四象限故选：D．根据1=-i2将复数进行化简成复数的标准形式，得到复数所对应的点，从而得到该点所在的位置．本题主要考查了复数代数形式的运算，复数和复平面内的点的对应关系，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：曲线C1：y=sinx，把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到y=sin2x，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2：，故选：C．直接利用三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．4.【答案】D【解析】解：由茎叶图的性质得：在A中，第一种生产方式的工人中，有：=75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟，故A正确；在B中，第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高，故B正确；在C中，这40名工人完成任务所需时间的中位数为：=80，故C正确；在D中，第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是超过80分钟．第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是不到80分钟，故D错误．故选：D．第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是超过80分钟．第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是不到80分钟．本题考查命题真假的判断，考查茎叶图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】A【解析】解：由题意可知：几何体被平面ABCD平面分为上下两部分，设：正方体的棱长为2，上部棱柱的体积为：=2；下部为：2×2×2-2=6．截去部分与剩余部分体积的比为：．故选：A．画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．本题考查三视图与几何体的直观图的关系，棱柱的体积的求法，考查计算能力．6.【答案】D【解析】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中，若αβ，mβ，则m∥α或mα，故A错误；在B中，若m∥α，n m，则n与α相交、平行或nα，故B错误；在C中，若mα，n∥β，m n，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，若m∥β，mα，α∩β=n，则由线面平行的性质定理得m∥n，故D正确．故选：D．在A中，m∥α或mα；在B中，n与α相交、平行或nα；在C中，α与β相交或平行；由线面平行的性质定理得m∥n．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．7.【答案】C【解析】解：直角三角形的斜边长为，设内切圆的半径为r，则5-r+12-r=13，解得r=2．∴内切圆的面积为πr2=4π，∴豆子落在内切圆外部的概率P=1-=1-，故选：C．求出内切圆半径，计算内切圆和三角形的面积，从而得出答案．本题考查了几何概型的概率计算，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：由柯西不等式得：对任意实数x1，y1，x2，y2：|x1x2+y1y2|≤0恒成立（当且仅当存在实数k，使得x1=kx2，y1=ky2取等号），又函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），满足条件：|x1x2+y1y2|的最大值为0，则函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得、共线，即存在点A、B与点O共线；设AB的方程为y=kx，对于①，由于y=kx（x＞0）与f（x）=x+只有一个交点，所以①不是柯西函数；对于②，由于y=kx与f（x）=lnx（0＜x＜e）最多只有一个交点，所以②不是柯西函数；对于③，取A（0，0），点B任意，均满足定义，所以③是柯西函数；对于④，取A（-1，0），B（1，0），均满足定义，所以④是柯西函数．故选：B．由“柯西函数”得函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2由），使得、共线，即存在点A、B与点O共线，判断满足条件即可．本题考查了函数的新定义与应用问题，也考查了函数性质与应用问题，是中档题．9.【答案】y=x+2【解析】解：f（x）=xe x+2的导数为f′（x）=（x+1）e x，可得曲线在点（0，f（0））处的切线斜率为1，切点为（0，2），可得在点（0，f（0））处的切线方程为y=x+2，故答案为：y=x+2．求得函数f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由斜截式方程可得所求切线方程．本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，属于基础题．10.【答案】28【解析】解：变量x，y满足则目标函数不等式组表示的平面区域如图所示，当直线z=2x-y过点A时，z取得最大值，由，可得A（4，6）时，在y轴上截距最大，此时z取得最大值4+4×6=28．故答案为：28．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x+4y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．11.【答案】44【解析】解：根据上面数表的数的排列规律3、6、9、12、15是以3为首项，以3为公差的等差数列，其通项公式为a t=3t，由a t=2019=3t，解得t=673，前m行的数字个数和为，当m=36时，=666，当m=37时，=703，∴m=37，∵673-666=7，∴n=7，即m+n=37+7=44故答案为：44根据上面数表的数的排列规律3、6、9、12、15是以3为首项，以3为公差的等差数列，可得2019是第673的数字，根据等差数列的求和公式可得m=37，即可求出n=7，问题得以及解决本题主要考查归纳推理的问题，关键是根据数表，认真分析，找到规律，然后进行计算，即可解决问题．12.【答案】e2【解析】解：∵f（m）=f（n），∴-lnm=lnn∴mn=1．∵f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2，∴f（x）在区间[m2，]上的最大值为2，∴-lnm2=2，则lnm=-1，解得m=，∴n=e，∴=e2，故答案为：e2．由题意和对数函数的性质得m＜1＜n、lnm＜0、lnn＞0，代入已知的等式由对数的运算性质化简，由f（x）的最大值和对数函数的性质列出方程，求出m、n的值．本题考查了对数函数的性质，以及对数的运算性质，属于基础题．13.【答案】-3【解析】解：D为△ABC 所在平面内一点，=-+，则：，整理得：，则：，解得：，若=λ，则：λ=-3；故答案为：-3．直接利用向量的线性运算求出结果．本题考查的知识要点：向量的线性运算及相关的恒等变换问题．14.【答案】-9或11【解析】解：圆x2+y2-6x-8y-m=0的圆心为（3，4），半径，若两圆外切，则，解得m=-9，若两圆内切，则，解得m=11．故答案为：-9或-11．由圆x2+y2-6x-8y-m=0，求出圆心和半径，分两圆内切和外切两种情况，求出m的值即可．本题考查两圆的位置关系的判定，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题．15.【答案】解：（1）当n=1时，2a1=2S1=a12+a1，则a1=1；当n≥2时，a n=S n-S n-1=-，即（a n+a n-1）（a n-a n-1-1）=0，可得a n=-a n-1或a n-a n-1=1，可得a n=（-1）n-1或a n=n；（2）由a n＞0，则a n=n，b n===（-），即有前n项和T n=（1-+-+-+…+-+-）=（1+--）=-．【解析】（1）由数列的递推式：当n=1时，a1=S1；当n≥2时，a n=S n-S n-1，化简计算可得所求通项公式；（2）求得b n ===（-），再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列递推式，考查数列的裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于基础题．16.【答案】解：（1）由图象上相邻两最高点与最低点之间的距离为得∴ω=2………………………………………………………………………………………（3分）∵函数的图象的一个对称中心为，∴，∈………………………………………………………………（5分）∵＜＜∴………………………………………………………………………………………（6分）（2）由（1）知：∴∴ …………………………………………………………………………（8分）∵＜＜∴………………………………………………………………………………（10分）∴cos（α+）=（cosα-sinα）=（-）=…………………………（12分）【解析】（1）根据勾股定理列方程可解得ω=2，再根据对称中心列式可解得φ；（2）根据已知等式解得sinα，再得cosα，再由和角的余弦公式可得．本题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，属中档题．17.【答案】解：（1）易知，，，∴==0.32，=-=1.04-0.32×3=0.08，则y关于x的线性回归方程为y=0.32x+0.08，当x=6时，y=2.00，即返回6个点时该商品每天销量约为2百件…（6分）（2）设从“欲望膨胀型”消费者中抽取x人，从“欲望紧缩型”消费者中抽取y人，由分层抽样的定义可知，解得x=2，y=4在抽取的6人中，2名“欲望膨胀型”消费者分别记为A1，A2，4名“欲望紧缩型”消费者分别记为B1，B2，B3，B4，则所有的抽样情况如下：{A1，A2，B1}，{A1，A2，B2}，{A1，A2，B3}，{A1，A2，B4}，{A1，B1，B2}，{A1，B1，B3}，{A1，B1，B4}，{A1，B2，B3}，{A1，B2，B4}，{A1，B3，B4}，{A2，B1，B2}，{A2，B1，B3}，{A2，B1，B4}，{A2，B2，B3}，{A2，B2，B4}，{A2，B3，B4}，{B1，B2，B3}，{B1，B2，B4}，{B1，B3，B4}，{B2，B3，B4}共20种，其中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的情况由16种记事件A为“抽出的3人中至少有1名‘欲望膨胀型’消费者”，则…（12分）【解析】（1）求出平均数，求出相关系数，从而求出回归方程即可；（2）列举出所有的基本事件以及满足条件的事件，求出满足条件的概率即可．本题考查了求回归方程问题，考查转化思想以及概率求值，是一道常规题．18.【答案】（1）证明：∵AB AD，且AB=AD=2，∴BD=2，又，△PBD为正三角形，∴PB=PD=BD=2，又∵AB=2，PA=2，∴，∴AB PB，又∵AB AD，BC∥AD，∴AB BC，PB∩BC=B，∴AB平面PBC，又∵AB⊆平面PAB，∴平面平面PAB平面PBC．……（6分）（2）如图，设BD，AC交于点O，∵BC∥AD，且AD=2BC，∴OD=2OB，连接OE，∵PB∥平面ACE，∴PB∥OE，则DE=2PE，由（1）点P到平面ABCD的距离为2，∴点E到平面ABCD的距离为h==，∴V A-CDE=V E-CDA=△ =×=，即四面体A-CDE的体积为．…………（12分）【解析】（1）证明AB PB，AB BC，推出AB平面PBC，然后证明平面平面PAB平面PBC．（2）设BD，AC交于点O，连接OE，点P到平面ABCD的距离为2，点E到平面ABCD的距离为h==，通过V A-CDE=V E-CDA，转化求解四面体A-CDE的体积．本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．19.【答案】解：（1）由题意可设椭圆方程为，＞＞，∵焦点F1（-，0），F2（，0），∴．∵∴，又a2-b2=c2=3，解得a=2，b=1．∴椭圆C的方程为：，圆O的方程为：x2+y2=3．（2）①可知直线l与圆O相切，也与椭圆C，且切点在第一象限，因此k一定小于0，∴可设直线l的方程为y=kx+m，（k＜0，m＞0）．由圆心（0，0）到直线l的距离等于圆半径，可得，即．由，可得（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0，△=（8km）2-4（4k2+1）（4m2-4）=0，可得m2=4k2+1，∴3k2+3=4k2+1，结合k＜0，m＞0，解得k=-，m=3．将k=-，m=3代入可得，解得x=，y=1，故点P的坐标为（，．②设A（x1，y1），B（x2，y2），由＜，＞△＞⇒k＜-．联立直线与椭圆方程得（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0，|x2-x1|==，O到直线l的距离d=，|AB|=|x2-x1|=，△OAB的面积为S===，解得k=-，（正值舍去），m=3．∴y=-为所求．【解析】（1）由题意可得．，又a2-b2=c2=3，解得a=2，b=1即可．（2）①可设直线l的方程为y=kx+m，（k＜0，m＞0）．可得．由，可得（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0，△=（8km）2-4（4k2+1）（4m2-4）=0，解得k=-，m=3．即可②设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆方程得（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0，O到直线l的距离d=，|AB|=|x2-x1|=，△OAB 的面积为S===，解得k=-，（正值舍去），m=3．即可本题考查了椭圆的方程，直线与圆、椭圆的位置关系，属于中档题．20.【答案】解：（1）由f（x）=x3+x2+bx得f'（x）=3x2+2x+b因f（x）在区间[1，2]上不是单调函数所以f'（x）=3x2+2x+b在[1，2]上最大值大于0，最小值小于0，∴-16＜b＜-5…（4分）（2）由g（x）≥-x2+（a+2）x，得（x-ln x）a≤x2-2x．∵x∈[1，e]，∴ln x≤1≤x，且等号不能同时取，∴ln x＜x，即x-ln x＞0∴a≤恒成立，即a≤…（6分）令，∈，，求导得，，∈，，当x∈[1，e]时，x-1≥0，0≤ln x≤1x+2-2ln x＞0，从而f （x）≥0，∴f（x）在[1，e]上为增函数，∴=f（1）=-1，∴a≤-1．…（8分）（3）由条件，F（x）=，假设曲线y=F（x）上存在两点P，Q满足题意，则P，Q只能在y轴两侧，…（9分）不妨设P（t，F（t）），t＞0则Q（-t，t3+t2），且t≠1．∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，∴，∴-t2+F（t）（t3+t2）=0 （*），是否存在P，Q等价于方程（*）在t＞0且t≠1时是否有解．①若0＜t＜1时，方程（*）为-t2+（-t3+t2）（t3+t2）=0，化简得t4-t2+1=0，此方程无解；…（12分）②若t＞1时，方程（*）为-t2+a ln t（t3+t2）=0，即，设h（t）=（t+1）ln t，（t＞1），则h （x）=ln t++1，显然，当t＞1时，h （x）＞0，即h（x）在（1，+∞）上为增函数，∴h（t）的值域为（h（1），+∞），即（0，+∞），∴当a＞0时，方程（*）总有解．∴对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上总存在两点P，Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．…（14分）【解析】（1）利用函数的导数在区间[1，2]上有极值，即可得到不是单调函数，求实数b的范围；（2）利用对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x2+（a+2）x恒成立，转化为a的不等式，通过函数的最值，求实数a的取值范围；（3）b=0，设F（x）=，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，得到，通过构造函数以及函数的导数的单调性，判断方程的解从而说明三角形斜边中点在y轴上．本题考查函数的导数的综合应用，函数的最值的应用函数的单调性以及构造法的应用，难度比较大的综合题目．。

2022届北京市第四中学高三下学期开学考试数学试题一、单选题1．已知集合()(){|210}A x x x =∈+-<Z ，{}2,1B =--，那么A B ⋃=（ ） A ．{}2,1,0,1-- B ．{}2,1,0-- C ．{}2,1-- D ．{}1-【答案】B【分析】求解一元二次不等式从而求解集合A ，再根据并集的定义求解A B . 【详解】由()(){|210}A x x x =∈+-<Z ，得{}1,0A =-， 结合{}2,1B =--，可知{}2,1,0A B =--. 故选：B.2．已知i 为虚数单位，则复数12i13iz +=-对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】根据复数的除法法则化简复数z ，即可得到对应的坐标. 【详解】()()()()12i 13i 12i 55i 11i 13i 13i 13i 1022z +++-+====-+--+ 则复数z 对应的点11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭位于第二象限．故选：B ．3．“sin cos αα=”是“cos20α=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】试题分析：因为，所以“sin cos αα=”是“cos20α=”的充分不必要条件；故选A ． 【解析】1．二倍角公式；2．充分条件和必要条件的判定．4．三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥面ABC ，.AB BC ⊥则下列两条直线中，不互相垂直的是（ ）A ．1AA 和BCB ．1AB 和1BC C ．1A B 和BCD ．AB 和1B C【答案】B【分析】根据线面垂直的性质以及判定即可得到线线垂直，由选项即可逐一求解. 【详解】对于A ，因为1AA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1AA BC ⊥； 对于B ，1AB 与1BC 不一定垂直； 对于C ，因为1AA BC ⊥，AB BC ⊥，且1AA AB A =，1,AA AB ⊂平面11ABB A ,所以BC ⊥平面11ABB A ，1AB ⊂平面11ABB A ,所以1AB BC ⊥；对于D ，因为1AA ⊥平面ABC ，11//CC AA ，所以1CC ⊥平面ABC ，AB 平面ABC ,所以1CC AB ⊥，又AB BC ⊥，且1BC CC C =，1,BC CC ⊂平面11BCC B ,所以AB ⊥平面11BCC B ， 又1B C ⊂平面11BCC B ，所以1AB B ⊥C . 故选：B ．5．设E ，F 分别是正方形ABCD 的边AB ，BC 上的点，且1=2AE AB ，2=3BF BC ，如果=+EF mAB nAC （m n ，为实数），那么m n +的值为 A ．12-B ．0C ．12D ．1【答案】C【详解】 由题意得，如图所示1123EF EA AC CF AB AC BC =++=-+-1112()2363AB AC BA AC AB AC =-+-+=-+, 所以12,63m n =-=，所以12m n +=，故选C.6．已知点(1,0)A ，直线:10l x y -+=，则点A 到直线l 的距离为（ ） A ．1 B ．2C 2D ．2【答案】C【解析】利用点到直线的距离公式计算即可.【详解】解：点(1,0)A ，直线:10l x y -+=，则点A 到直线l 22101211-+=+故选：C.【点睛】点()00,P x y 到直线0Ax By C ++=的距离0022Ax By C d A B+++.7．已知函数()sin()(0)6f x x πωω=+>的最小正周期为4π，则（ ）A ．函数f （x ）的图象关于原点对称B ．函数f （x ）的图象关于直线3x π=对称C ．函数f （x ）图象上的所有点向右平移3π个单位长度后，所得的图象关于原点对称 D ．函数f （x ）在区间（0，π）上单调递增 【答案】C【详解】分析：函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为4π，求出ω，可得()f x 的解析式，对各选项进行判断即可.详解：函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为4π，24ππω∴=，12ω∴=， ()1n 26si f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，由对称中心横坐标方程：1,26+=∈x k k Z ππ，可得23x k ππ=-，∴A 不正确；由对称轴方程：1,262x k k Z πππ+=+∈，可得22,3x k k Z ππ=+∈， ∴B 不正确；函数f （x ）图象上的所有点向右平移3π个单位，可得：1sin sin 2236x x ππ⎡⎤⎛⎫-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，图象关于原点对称， ∴C 正确；令122,2262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈， 可得：4244,33k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， ∴函数f （x ）在区间（0，π）上不是单调递增， ∴D 不正确；故选C.点睛：本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，注意图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x 而言，而不是看角ωx ＋φ的变化．8．设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为,l P 为抛物线上一点，,PA l A ⊥为垂足．若直线AF 的斜率为PF =A ．B ．6C ．8D ．16【答案】C【分析】写出直线AF 的方程，求得A 点坐标，即可求得P 点坐标，利用抛物线定义即可求得答案.【详解】∵抛物线方程为28y x = ， ∴焦点F (2,0)，准线l 方程为2x =- ，∵直线AF 的斜率为直线AF 的方程为2)y x =- ，由)22x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩,可得A 点坐标为(2,A -， ∵P A ⊥l ，A 为垂足，∴P 点纵坐标为代入抛物线方程28y x =,得P 点坐标为(6,P ， ∴()628PF PA ==--= ，故选:C9．已知函数()log ,03,40a x x f x x x >⎧=⎨+-≤<⎩（0a >且1a ≠），若函数()f x 图象上有且仅有两个点关于y 轴对称，则a 的取值范围是（ ） A ．()0,1 B ．()1,4 C ．()()0,11,+∞ D ．()()0,11,4⋃【答案】D【分析】()f x 在40x -≤<关于y 轴对称记为()g x ，转化为()g x 与()f x 只有一个交点，即可求解.【详解】[4,0)x ∈-时，()f x 关于y 轴对称记为()|3|,(0,4]g x x x =-+∈， 依题意()g x 与()f x 只有一个交点，当01a <<，()g x 与()f x 只有一交点，满足题意。

北京市第四中学2019-2020学年上学期期中考试高一数学试题卷（Ⅰ）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 1．如果(1,)A =-+∞，那么正确的结论是（ ）．A ．0A ⊆B ．{}0A ∈C ．{}0A ÜD ． A φ∈2．函数()2x f x =12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）．A ．0B ．CD ． 3．与函数lg(1)y x =-的定义域相同的函数是（ ）．A ．1y x =-B ．1y x =-C ．y D ．y =4．若函数()33x x f x -=+与()33x x g x -=-的定义域均为R ，则（ ）．A ．()f x 与()g x 均为偶函数B ．()f x 为奇函数，()g x 为偶函数C ．()f x 与()g x 均为奇函数D ．()f x 为偶函数，()g x 为奇函数5． 设lg0.2a =，3log 2b =，125c =，则（ ）．A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<6．若指数函数(1)x y a =+在(,)-∞+∞上是减函数，那么（ ）．A ．01a <<B ．10a -<<C ．1a =-D ．1a <-7．设函数3y x =与12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象的交点为00(,)x y ，则0x 所在的区间是（ ）．A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)8．已知函数()f x 是R 上的偶函数，当0x ≥时()22f x x =-，则()0f x <的解集是（ ）．A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,1)-D ．(,1)(1,)-∞-+U ∞9．某商店卖出两套不同品牌的西服，售价均为1680元．以成本计算，一套盈利20%，另一套亏损20%，此时商店（ ）． A ．不亏不盈B ．盈利372元C ．亏损140元D ．盈利140元10．设函数()f x 在(,)-∞+∞上是减函数，则（ ）．A ．()(2)f a f a >B ．2()()f a f a <C ．2()()f a a f a +<D ．2(1)()f a f a +<二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 11．2366log 4log 98+-=__________．12．已知函数()y f x =为奇函数，若(3)(2)1f f -=，则(2)(3)f f ---=__________． 13．函数2()3f x x ax =--+在区间(,1]-∞-上是增函数，则实数a 的取值范围为__________． 14．已知关于x 方程2log (1)10x k -+-=在区间[]2,5上有实数根，那么k 的取值范围是__________． 三、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分．15．记函数2()log (23)f x x =-的定义域为集合M ，函数()g x N ．求： （Ⅰ）集合M 、N ． （Ⅱ）集合M N I 、M N U ．16．已知函数2()22f x x x =--．（Ⅰ）用定义证明：函数()f x 在区间(,1]-∞上是减函数． （Ⅱ）若函数()()g x f x mx =-是偶函数，求实数m 的值．17．已知函数()log ()x a f x a ka =-，其中01a <<，k ∈R ． （Ⅰ）若1k =，求函数()f x 的定义域．（Ⅱ）若12a =，且()f x 在[1,)+∞内总有意义，求k 的取值范围．卷（Ⅱ）一、选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 18．定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)2()f x f x =-，且1(1)2f -=，则(2)f 的值为（ ）． A ．1B ．2-C ．2D ．1-19．若1a >，10b -<<，则函数()f x ax b =+的图象一定不过（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限20．如果1x >，0.5log a x =，那么（ ）．A ．22a a a >>B ．22a a a >>C ．22a a a >>D ．22a a a >>二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分21． 若函数21()232f x x x =-+在区间[]0.(0)m m >有最大值3，最小值1，则m 的取值范围是__________．22．设函数()f x 的定义域为D ．如果对任意x D ∈，都存在常数M ，使得()f x M ≥，称()f x 具有性质Γ．现给出下列函数：①,0()1,0x x f x x >⎧=⎨-⎩≤；②()31f x x =-；③()ln f x x =；④()lg f x x =．其中具有性质Γ的函数序号是__________．23．pH 值是水溶液的重要理化参数．若溶液中氢离子的浓度为H +⎡⎤⎣⎦（单位：mol/l ），则其pH 值为lg H +⎡⎤-⎣⎦．在标准温度和气压下，若水溶液pH 7=，则溶液为中性，pH 7<时为酸性，pH 7>时为碱性．例如，甲溶液中氢离子浓度为0.0001mol/l ，其pH 为10.0001g -，即p H 4=．已知乙溶液的pH 2=，则乙溶液中氢离子浓度为__________mol/l ．若乙溶液中氢离子浓度是丙溶液的两千万倍，则丙溶液的酸碱性为__________（填中性、酸性或碱性）． 三、解答题：(本大题共2小题，每小题10分，共20分) 24．设函数22()log log (1)f x x x =+-． （Ⅰ）求()f x 的定义域．（Ⅱ）指出()f x 的单调递减区间（不必证明），并求()f x 的最大值．25．若定义在D 上的函数()f x 满足：对任意x D ∈，存在常数0M >，都有()M f x M -<<成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界．（Ⅰ）判断函数2()22f x x x =-+，[]02x ∈，是否是有界函数，请说明理由． （Ⅱ）若函数1()124x xa f x =++，0)[x ∈+∞，是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．北京市第四中学2019-2020学年上学期期中考试高一数学试题参考答案卷（Ⅰ）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 1．如果(1,)A =-+∞，那么正确的结论是（ ）．A ．0A ⊆B ．{}0A ∈C ．{}0A ÜD ． A φ∈【答案】C【解析】根据集合与集合之间的关系为包含和包含于，元素与集合之间的关系是属于和不属于得：A ．元素与集合，故错误；B ．集合与集合，故错；C ．集合与集合，正确；D ．集合与集合，故错．故选C ．2．函数()2x f x =12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）．A ．0B ．C D ． 【答案】A【解析】将12x =代入解析式可得121202f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故选A ．3．与函数lg(1)y x =-的定义域相同的函数是（ ）．A ．1y x =-B ．1y x =-C ．y D ．y =【答案】C【解析】函数lg(1)y x =-的定义域为(1,)+∞，A ．中定义域为R ；B ．中定义域为R ；C ．中定义域为(1,)+∞；D ．中定义域为[1,)+∞．故选C ．4．若函数()33x x f x -=+与()33x x g x -=-的定义域均为R ，则（ ）．A ．()f x 与()g x 均为偶函数B ．()f x 为奇函数，()g x 为偶函数C ．()f x 与()g x 均为奇函数D ．()f x 为偶函数，()g x 为奇函数 【答案】D【解析】试题分析：因为()33()x x f x f x ---=+=，所以()f x 为偶函数．因为()33()x x g x g x --=-=-，所以()g x 为奇函数，故选D ．5． 设lg0.2a =，3log 2b =，125c =，则（ ）．A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】A【解析】lg0.2lg10a =<=，3330log 1log 2log 31b =<=<=，102551c =>=，则a b c <<，故选A ．6．若指数函数(1)x y a =+在(,)-∞+∞上是减函数，那么（ ）．A ．01a <<B ．10a -<<C ．1a =-D ．1a <-【答案】B【解析】由于指数函数(1)x y a =+在(,)-∞+∞上是减函数，则011a <+<，得10a -<<，故选B ．7．设函数3y x =与12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象的交点为00(,)x y ，则0x 所在的区间是（ ）．A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【答案】A【解析】试题分析：根据题意，由于函数3y x =与12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象的交点为00(,)x y ，则0x 就是图像与图像的交点的横坐标，那么可知也是方程的解，也是函数312xy x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点，因此结合零点存在性定理可知，则有031(0)0102f ⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭，11(1)1022f =-=>，那么可知0x 所在的区间是(0,1)，选A ．考点：函数零点点评: 本题主要考查函数的零点和方程的根的关系和零点存在性定理，考查考生的灵活转化能力和对零点存在性定理的理解，属于基础题．8．已知函数()f x 是R 上的偶函数，当0x ≥时()22f x x =-，则()0f x <的解集是（ ）．A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,1)-D ．(,1)(1,)-∞-+U ∞【答案】C【解析】由函数()y f x =为偶函数可得()()f x f x -=，∵0x ≥时，()22x f x =-设0x <，则0x ->，()22()x f x f x --=-=，22,0()22,0xx x f x x -⎧-⎪=⎨-<⎪⎩≥，当()0f x <时，有11x -<<，故选C ．点睛：本题主要考查了偶函数的定义及利用偶函数的性质求解函数的解析式，不等式的解法，属于知识的综合应用；根据函数的奇偶性可求出函数在整个定义域上的解析式，解分段函数的不等式可得最后结果．9．某商店卖出两套不同品牌的西服，售价均为1680元．以成本计算，一套盈利20%，另一套亏损20%，此时商店（ ）． A ．不亏不盈 B ．盈利372元C ．亏损140元D ．盈利140元【答案】C【解析】设盈利20%的进价是x 元，则(120%)1680x +=，1400x =；设亏损20%的进价是y 元，则有(120%)1680y -=，2100y =，则进价和是140021003500+=元，售价和是168023360⨯=元，35003360140-=元，即亏损140元， 故选C ．10．设函数()f x 在(,)-∞+∞上是减函数，则（ ）．A ．()(2)f a f a >B ．2()()f a f a <C ．2()()f a a f a +<D ．2(1)()f a f a +<【答案】D【解析】由于函数()f x 在(,)-∞+∞上的减函数，22131024a a a ⎛⎫+-=-+> ⎪⎝⎭，则21a a +>，故2(1)()f a f a +<成立，故选D ．点睛：本题考查函数单调性的应用．当一个函数是减函数时，大自变量对应小函数值，小自变量对应大函数值．而当一个函数是增函数时，大自变量对应大函数值，小自变量对应小函数值；先比较题中变量的大小关系，再利用减函数中大自变量对应小函数值，小自变量对应大函数值来找答案即可．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 11．2366log 4log 98+-=__________．【答案】2-【解析】原式2336log 36(2)242=-=-=-，故答案为2-．12．已知函数()y f x =为奇函数，若(3)(2)1f f -=，则(2)(3)f f ---=__________． 【答案】1 【解析】略13．函数2()3f x x ax =--+在区间(,1]-∞-上是增函数，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】(2],-∞【解析】由题意，函数的对称轴是2ax =-，开口向下， ∵函数2()3f x x ax =--+在区间(,1]--∞上是增函数，∴12a--≥，解得2a ≤，故答案为(2],-∞．点睛：本题考查函数单调性的性质，解答本题的关键是熟练掌握了二次函数的性质与图象，根据其性质与图象直接得出关于参数的不等式，求出其范围，属于基础题；是二次函数中区间定轴动的问题，先求出函数的对称轴，再确定出区间与对称轴的位置关系求出实数a 的取值范围．14．已知关于x 方程2log (1)10x k -+-=在区间[]2,5上有实数根，那么k 的取值范围是__________． 【答案】[]1,1-【解析】令2()log (1)1f x x k =-+-，易知该函数为增函数，方程在区间上有实数根等价于函数在区间内有零点，则22(2)log 110(5)log 410f k f k =+-⎧⎨=+-⎩≤≥得11k -≤≤，故答案为[]1,1-．三、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分．15．记函数2()log (23)f x x =-的定义域为集合M，函数()g x N ．求： （Ⅰ）集合M 、N ． （Ⅱ）集合M N I 、M N U ．【答案】（Ⅰ）32|M x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，|3{N x x =≥或1}x ≤；（Ⅱ）{}|3M N x x I ≥； {|1M N x x U ≤或3}2x >．【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数()f x 和函数()g x 的定义域即可；（Ⅱ）根据定义分别求出交集和并集即可．试题解析：（Ⅰ）{}3|2|302M x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭；{|()(31)3}{|0N x x x x x =--=≥≥或1}x ≤．（Ⅱ）{}|3M N x x I ≥；{|1M N x x U ≤或3}2x >．16．已知函数2()22f x x x =--．（Ⅰ）用定义证明：函数()f x 在区间(,1]-∞上是减函数． （Ⅱ）若函数()()g x f x mx =-是偶函数，求实数m 的值． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）2-【解析】试题分析：（Ⅰ）设121x x -<<≤∞，计算12()()f x f x -的结果等于1212()(2)x x x x -+-，可得12()()f x f x >，从而判断函数()f x 在区间(,1]-∞上是减函数；（Ⅱ）因为函数2()()(2)2g x f x mx x m x =-=-+-，()g x 是偶函数，从而得到20m +=，由此求得m 的值．试题解析：（Ⅰ）设1x ，2(,1]x ∈-∞，且121x x <≤，所以221211221212()()(22)(22)()(2)f x f x x x x x x x x x -=-----=-+-， 因为121x x <≤，所以120x x -<，1220x x +-<． 所以12()()0f x f x ->．即12()()f x f x >． 所以函数()f x 在区间(,1]-∞上是减函数．（Ⅱ）因为函数()()g x f x mx =-，所以22()22(2)2g x x x mx x m x =---=-+-． 又因为()g x 是偶函数，所以()()g x g x -=．所以22()(2)()2(2)2x m x x m x --+--=-+-． 所以2(2)0m x +=．因为x 是任意实数，所以20m +=．所以2m =-．点睛：本题主要考查了利用定义证明函数的单调性，其具体步骤为：1、取值；2、作差；3、化简；4、判断，得结论．其关键步骤是化简中的因式分解，将最后的结果和0比较；考查了函数奇偶性的性质，若函数为偶函数，则对定义域内任意x 均有()()f x f x -=恒成立，代入后根据对应系数相等可得结果．17．已知函数()log ()x a f x a ka =-，其中01a <<，k ∈R ． （Ⅰ）若1k =，求函数()f x 的定义域．（Ⅱ）若12a =，且()f x 在[1,)+∞内总有意义，求k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）{}1|x x >；（Ⅱ）1k <【解析】试题分析：（Ⅰ）要使函数有意义，须满足真数部分大于0，即0x a a ->，解出不等式即可；（Ⅱ）将题意转化为恒成立问题，结合分离参数的思想即12x k -<对于[1,)x ∈+∞恒成立，求出12x - 的最小值即可．试题解析：（Ⅰ）当1k =时，由0x a a ->得x a a >．因为01a <<，所以1x >，即函数()f x 的定义域为{}1|x x >．（Ⅱ）令0x a ka ->，即1112x x k a --⎛⎫<= ⎪⎝⎭．上式对于[1,)x ∈+∞恒成立，所以k 应小于12x -的最小值． 因为1[0,)x -∈+∞，所以12x -的最小值为1． 所以1k <．卷（Ⅱ）一、选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 18．定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)2()f x f x =-，且1(1)2f -=，则(2)f 的值为（ ）． A ．1 B ．2- C ．2D ．1-【答案】A【解析】由于函数()f x 为奇函数且1(1)2f -=，所以1(1)(1)2f f =--=-， 又因为(2)2()f x f x =-，所以(2)2(1)1f f =-=，故选A ．19．若1a >，10b -<<，则函数()f x ax b =+的图象一定不过（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】试题分析：指数函数x y a =为增函数，过第一二象限，x y a b =+只需将x y a =向下平移b 个单位，其中1b <，所以图像不过第四象限． 考点：指数函数性质及图像平移．20．如果1x >，0.5log a x =，那么（ ）．A ．22a a a >>B ．22a a a >>C ．22a a a >>D ．22a a a >>【答案】C【解析】∵1x >，0.5log a x =，∴0a <，∴20a >，02a a >>， ∴22a a a >>，故选C ．二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分21． 若函数21()232f x x x =-+在区间[]0.(0)m m >有最大值3，最小值1，则m 的取值范围是__________．【答案】[]2,4【解析】由题意可知抛物线的对称轴为2x =，开口向上，由于02<，则函数在[]0.m 上单调递减或者先减后增，∵函数()f x 在[]0.m 上有最大值3，最小值1，且(0)3f =，21(2)222312f =⨯-⨯+= ，∴2m ≥，∵抛物线的图象关于2x =对称即(4)3f =， ∴4m ≤，故答案为[]2,4．点睛：本题考查了抛物线的图象和性质，做题时一定要记清抛物线的性质和图象，根据抛物线的图象及性质我们可知函数最小值为2，然后利用抛物线图象关于对称轴对称的性质判定即可．22．设函数()f x 的定义域为D ．如果对任意x D ∈，都存在常数M ，使得()f x M ≥，称()f x 具有性质Γ．现给出下列函数：①,0()1,0x x f x x >⎧=⎨-⎩≤；②()31f x x =-；③()ln f x x =；④()lg f x x =．其中具有性质Γ的函数序号是__________． 【答案】①②③【解析】对于①，可取1M =-；对于②，可取1M =-；对于③，可取0M =；对于④，函数的值域为R ，故不存在M 满足题意，故正确答案为①②③．23．pH 值是水溶液的重要理化参数．若溶液中氢离子的浓度为H +⎡⎤⎣⎦（单位：mol/l ），则其pH 值为lg H +⎡⎤-⎣⎦．在标准温度和气压下，若水溶液pH 7=，则溶液为中性，pH 7<时为酸性，pH 7>时为碱性．例如，甲溶液中氢离子浓度为0.0001mol/l ，其pH 为10.0001g -，即p H 4=．已知乙溶液的pH 2=，则乙溶液中氢离子浓度为__________mol/l ．若乙溶液中氢离子浓度是丙溶液的两千万倍，则丙溶液的酸碱性为__________（填中性、酸性或碱性）．【答案】（1）0.01 （2）碱性【解析】由pH 2=可得：lg H 2+⎡⎤-=⎣⎦，即乙溶液中氢离子浓度H +为0.01mol/l ；由乙溶液中氢离子浓度是丙溶液的两千万倍可得：乙溶液中氢离子浓度为1070.01510210-=⨯⨯，显然7lg 5107-⎡⎤-⨯>⎣⎦，故丙溶液的酸碱性为碱性，故答案为0.01，碱性．三、解答题：(本大题共2小题，每小题10分，共20分)24．设函数22()log log (1)f x x x =+-．（Ⅰ）求()f x 的定义域．（Ⅱ）指出()f x 的单调递减区间（不必证明），并求()f x 的最大值．【答案】（1）{}1|0x x <<；（2）详见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）要使函数有意义，需满足对数的真数大于0，列出不等式组解出即可；（Ⅱ）利用对数运算公式结合复合函数的单调性可得结果，结合单调性得最值．试题解析：（Ⅰ）定义域为{}1|0x x <<．（Ⅱ）22()log ()f x x x =-．设2u x x =-，其最大值为14，所以()f x 的最大值为21log 24=-． 单调递减区间为1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭．25．若定义在D 上的函数()f x 满足：对任意x D ∈，存在常数0M >，都有()M f x M -<<成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界．（Ⅰ）判断函数2()22f x x x =-+，[]02x ∈，是否是有界函数，请说明理由． （Ⅱ）若函数1()124x x a f x =++，0)[x ∈+∞，是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）详见解析；（2）[]5,1-．【解析】试题分析：（Ⅰ）通过二次函数的性质计算出()f x 的范围即可；（Ⅱ）根据有界函数的定义可得对任意0x ≥，都有3()3f x -≤≤，利用分离参数可得11422222x x x x a -⨯-⨯-≤≤在[1,)+∞上恒成立求出左端的最大值右端的最小值即可． 试题解析：（Ⅰ）22()22(1)1f x x x x =-+=-+．当02x ≤≤时，1()2f x ≤≤，则2()2f x -≤≤．由有界函数定义可知2()22f x x x =-+，[]02x ∈，是有界函数． （Ⅱ）由题意知对任意0x ≥，都有3()3f x -≤≤． 所以有1142424x x x a ---≤≤， 即11422222x x x x a -⨯-⨯-≤≤在[1,)+∞上恒成立． 设2x t =，由0x ≥，得1t ≥． 设1()4(1)h t t t t =--≥，1()2(1)p t t t t=-≥． 由题可得max min ()()h t a p t ≤≤．而()h t 在[1,)+∞上递减，()p t 在[1,)+∞上递增．（单调性证明略）()h t 在[1,)+∞上的最大值为(1)5h =-，()p t 在[1,)+∞上的最小值为(1)1p =．所以实数a 的取值范围为[]5,1-．点睛：本题主要考查了了二次函数在给定区间内值域的求法以及函数恒成立问题，难度一般；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为()a h x >或()a h x <恒成立，即max ()a h x >或min ()a h x <即可，利用导数知识结合单调性求出max ()h x 或min ()h x 即得解．。

2020届北京市第四中学高三第二学期统练数学试题一、单选题1．tan570°=（ ）A ．B ．CD 【答案】A【解析】直接利用诱导公式化简求解即可． 【详解】tan 570°=tan （360°+210°）=tan 210°=tan （180°+30°）=tan 30° 故选：A ． 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，主要考查诱导公式的应用，属于基础题. 2．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（ ） A ．21 B ．42 C ．63 D ．84【答案】B【解析】由a 1+a 3+a 5=21得242421(1)21172a q q q q q ++=∴++=∴=∴ a 3+a 5+a 7=2135()22142q a a a ++=⨯=，选B.3．下列选项中，说法正确的是（ ）A ．“20000x R x x ∃∈-≤，”的否定是“2000x R x x ∃∈->，”B ．若向量a b r r ，满足0a b ⋅<r r ，则a r 与b r的夹角为钝角 C ．若22am bm ≤，则a b ≤D ．“()x A B ∈U ”是“()x A B ∈I ”的必要条件 【答案】D【解析】对于A 根据命题的否定可得：“∃x 0∈R ，x 02-x 0≤0”的否定是“∀x ∈R ，x 2-x ＞0”，即可判断出；对于B 若向量a b r r ，满足0a b ⋅<r r ，则a r 与b r 的夹角为钝角或平角；对于C当m =0时，满足am 2≤bm 2，但是a ≤b 不一定成立；对于D 根据元素与集合的关系即可做出判断． 【详解】选项A 根据命题的否定可得：“∃x 0∈R ，x 02-x 0≤0”的否定是“∀x ∈R ，x 2-x ＞0”，因此A 不正确；选项B 若向量a b r r ，满足0a b ⋅<r r ，则a r 与b r的夹角为钝角或平角，因此不正确. 选项C 当m =0时,满足am 2≤bm 2，但是a ≤b 不一定成立，因此不正确；选项D 若“()x A B ∈I ”，则x A ∈且x B ∈，所以一定可以推出“()x A B ∈U ”，因此“()x A B ∈U ”是“()x A B ∈I ”的必要条件，故正确. 故选：D . 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，涉及知识点有含有量词的命题的否定、不等式性质、向量夹角与性质、集合性质等，属于简单题. 4．已知a >0，b >0，a +b =1，若 α=11a b a bβ+=+，，则αβ+的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】根据题意，将a 、b 代入αβ+，利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】∵a >0，b >0，a +b =1，∴211111152a b a bab a b αβ+=+++=+≥+=+⎛⎫⎪⎝⎭， 当且仅当12a b ==时取“＝”号． 答案：C 【点睛】本题考查基本不等式的应用，“1”的应用，利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是首先要判断参数是否为正；二定是其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是最后一定要验证等号能否成立，属于基础题.5．某四棱锥的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）A ．8B ．83C ．4D ．43【答案】D【解析】根据三视图知，该几何体是一条垂直于底面的侧棱为2的四棱锥，画出图形，结合图形求出底面积代入体积公式求它的体积． 【详解】根据三视图知，该几何体是侧棱PA ⊥底面ABCD 的四棱锥，如图所示：结合图中数据知，该四棱锥底面为对角线为2的正方形， 高为P A =2，∴四棱锥的体积为21242323V =⋅⋅=.故选：D . 【点睛】本题考查由三视图求几何体体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．属于中等题.6．函数tan 42y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 的部分图象如图所示，则 ()OA OB AB +⋅=u u u r u u u r u u u r （ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A【解析】根据正切函数的图象求出A 、B 两点的坐标，再求出向量的坐标，根据向量数量积的坐标运算求出结果． 【详解】由图象得,令tan 42y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭=0,即42x ππ-=kπ，k Z ∈k =0时解得x =2， 令tan 42y x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭=1,即424x πππ-=，解得x =3，∴A (2,0),B (3,1)，∴()()()2,0,3,1,1,1OA OB AB ===u u u r u u u r u u u r，∴()()()5,11,1516OA OB AB +⋅=⋅=+=u u u r u u u r u u u r.故选：A . 【点睛】本题考查正切函数的图象，平面向量数量积的运算，属于综合题，但是难度不大，解题关键是利用图象与正切函数图象求出坐标，再根据向量数量积的坐标运算可得结果，属于简单题.7．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为A ．15B ．625C ．825D ．25【答案】A【解析】阳数：1,3,5,7,9，阴数：2,4,6,8,10，然后分析阴数和阳数差的绝对值为5的情况数，最后计算相应概率. 【详解】因为阳数：1,3,5,7,9，阴数：2,4,6,8,10，所以从阴数和阳数中各取一数差的绝对值有：5525⨯=个，满足差的绝对值为5的有：()()()()()1,6,3,8,5,10,7,2,9,4共5个，则51255P ==. 故选：A. 【点睛】本题考查实际背景下古典概型的计算，难度一般.古典概型的概率计算公式：P =目标事件的个数基本本事件的总个数.8．已知双曲线的两条渐近线与抛物线22,(0)y px p =>的准线分别交于点、，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，三角形AOB 的面积3p=（ ）． A ．1 B ．32C ．2D ．3【答案】C【解析】试题分析：抛物线22,(0)y px p =>的准线为x =-ｐ２，双曲线的离心率为2，则222221=4c b e a a==+，b a =y =，求出交点(2p A -，(,)22p B --，12AOB S ∆=⨯224p p ==2p =；选C 【考点】1.双曲线的渐近线和离心率；2.抛物线的准线方程； 9．在ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠所对的边，若函数()()322213f x x bx a c ac x =+++- 1+有极值点，则B Ð的范围是（ ）A ．0,3π⎛⎫⎪⎝⎭ B ．0,3π⎛⎤⎥⎝⎦C ．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,3π⎛⎫π⎪⎝⎭【答案】D【解析】试题分析：由已知可得()()222'20f x x bx a c ac =+++-=有两个不等实根()2222222221440cos 22a cb b ac ac a c b ac B B ac +-⇒∆=-+->⇒+-<⇒=<⇒∈,3π⎛⎫π ⎪⎝⎭. 【考点】1、余弦定理；2、函数的极值.【方法点晴】本题考查余弦定理，函数的极值，涉及函数与方程思想思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先利用转化化归思想将原命题转化为()()222'20f x x bx a c ac =+++-=有两个不等实根，从而可得()2222222221440cos 22a cb b ac ac a c b ac B B ac +-∆=-+->⇒+-<⇒=<⇒∈,3π⎛⎫π ⎪⎝⎭. 10．单位正方体ABCD -1111D C B A ，黑、白两蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”．白蚂蚁爬地的路线是AA 1→A 1D 1→‥，黑蚂蚁爬行的路线是AB→BB1→‥，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线（i∈N）.设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是（）A．1 B．2C．3D．0【答案】B【解析】根据规则，观察黑蚂蚁与白蚂蚁经过几段后又回到起点，得到每爬6步回到起点，周期为6．计算黑蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点以及计算白蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点，即可计算出它们的距离．【详解】由题意,白蚂蚁爬行路线为AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA，即过6段后又回到起点，可以看作以6为周期，÷=L，由202063364白蚂蚁爬完2020段后到回到C点；同理,黑蚂蚁爬行路线为AB→BB1→B1C1→C1D1→D1D→DA，黑蚂蚁爬完2020段后回到D1点，2.故选B.【点睛】本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，考查空间想象与推理能力，属于中等题.二、填空题11．某中学数学竞赛培训班共有10人，分为甲、乙两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，若甲组5名同学成绩的平均数为81，乙组5名同学成绩的中位数为73，则x- y 的值为________．【答案】3-【解析】根据茎叶图中的数据，结合平均数与中位数的概念，求出x 、y 的值. 【详解】根据茎叶图中的数据，得：甲班5名同学成绩的平均数为1(7277808690)815x ⨯+++++=， 解得0x =；又乙班5名同学的中位数为73，则3y =；033x y -=-=-.故答案为：3-. 【点睛】本题考查茎叶图及根据茎叶图计算中位数、平均数，考查数据分析能力，属于简单题.12．在5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，x 的系数为________．（用数值作答） 【答案】-40【解析】由题意，可先由公式得出二项展开式的通项()51031521rr rr r T C x --+=-，再令10-3r =1，得r =3即可得出x 项的系数 【详解】5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式的通项公式为()()5251031551221rrr r r r r r T C xC x x ---+⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭， r =0，1，2，3，4，5， 令1031,3r r -==，所以5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中x 项的系数为()3325=4210C ⋅--.故答案为：-40. 【点睛】本题考查二项式定理的应用，解题关键是灵活掌握二项式展开式通项的公式，属于基础题.13．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________________．【答案】π30,,π44π⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【解析】因为sin α∈[－1，1]， 所以－sin α∈[－1，1]，所以已知直线的斜率范围为[－1，1]，由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围是π30,,π44π⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭． 答案：π30,,π44π⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭14．已知0x >，0y >，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是____． 【答案】（-4，2）【解析】试题分析：因为2142(2)()4+48y x x y x y x y x y +=++=+≥+=当且仅当2x y =时取等号，所以22842m m m +<⇒-<< 【考点】基本不等式求最值 15．已知函数()()2cos10,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=++>>0,0<<⎪⎝⎭的最大值为3，()f x 的图象与y 轴的交点坐标为()0,2，其相邻两条对称轴间的距离为2，则()()()122015f f f ++⋅⋅⋅+=【答案】4030【解析】12)22cos(21)(cos )(2+++=++=Ax A x A x f ϕωϕω，由题意，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===++==+2220122cos 2)0(31ωπϕT A A f A , 解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===πωπϕ442A ，则x x x f 2sin 22)22cos()(πππ-=++=的周期为4，且3)3(,2)2(,1)1(,2)0(====f f f f ，所以4030)3()2()1(8503)2015()3()2()1(=+++⨯=+⋅⋅⋅+++f f f f f f f .【考点】三角函数的图像与性质.三、解答题16．已知如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =30°，∠ABC =90°，D 为AC 中点，AE ⊥BD 于E ，延长AE 交BC 于F ，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，如图2所示。