2021学年高三数学下学期入学考试试题一

第(6)题图2021年高三下学期入学考试数学（理）试题 含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合，则（为自然数集）为（ ）A ．B ．C ．D ．（2）设是虚数单位，则复数（ ）A ．B ．C ．D ．（3）我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1512石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约（ ）A ．164石B ．178石C ．189石D ．196石（4）已知，，则数列的通项公式是（ ）A ．B ． C. D ．（5）已知，，则（ ）A ．B ．C ．D ．（6）如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形,其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（ ）A ． B. C ． D.（7）直线有两个不同交点的一个充分不必要条件是（ ）A ．B ．C ．D ．（8）公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的值为（）参考数据：，，．A． B． C． D． 96（9）先将函数的图像纵坐标不变，横坐标压缩为原来一半，再将得到的图像向左平移个单位，则所得图像的对称轴可以为（）A． B． C． D．（10）已知是球的球面上三点，，，，且棱锥的体积为，则球的表面积为（）A． B． C． D．（11）双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则（）A． B． C． D．（12）已知函数f（x）=，g（x）=﹣4x+a•2x+1+a2+a﹣1（a∈R），若f（g（x））＞e对x∈R 恒成立（e是自然对数的底数），则a的取值范围是（）A．[﹣1，0] B．（﹣1，0）C．[﹣2，0] D．[﹣，0]第II卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

山东省2021高三下学期开学数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、一.选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2016·杭州模拟) 已知集合M={x|x2﹣1≤0}，N={x| ＜2x+1＜4，x∈Z}，则M∩N=（）A . {﹣1，0}B . {1}C . {﹣1，0，1}D . ∅2. （2分）(2017·大连模拟) 若i为复数单位，复数z= 在复平面内对应的点在直线x+2y+5=0上，则实数a的值为（）A . 4B . 3C . 2D . 13. （2分）学校为了解学生课外读物方面的支出情况，抽取了n个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在（单位：元），其中支出在（单位：元）的同学有33人，其频率分布直方图如下图所示，则支出在（单位：元）的同学人数是（）A . 100B . 120C . 30D . 3004. （2分） (2018高三上·湖北期中) 下列四个结论：命题“ ，”的否定是“ ，”；若是真命题，则可能是真命题；“ 且”是“ ”的充要条件；，都有．其中正确的是A .B .C .D .5. （2分） (2019高三上·湖南月考) 如图所示，在单位正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P 使得AP+D1P取得最小值，则此最小值为（）A . 2B .C .D .6. （2分） (2018高二上·霍邱期中) 设，满足约束条件，则的最小值是（）A .B .C .D .7. （2分） (2018高三上·沈阳期末) 《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，如图所示的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输出的的值为0，则输入的的值为（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高三上·焦作期中) 已知棱长都是2的直三棱柱的俯视图是一个正三角形，则该直三棱柱的主视图的面积不可能等于（）A . 4B . 2C .D . 39. （2分） (2019高二上·应县月考) 若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和x轴都相切，则该圆的标准方程是（）A . （x－3）2＋（y－1）2＝1B . （x－2）2＋（y＋1）2＝1C . （x＋2）2＋（y－1）2＝1D . （x－2）2＋（y－1）2＝110. （2分）(2020·上饶模拟) 上海地铁号线早高峰时每隔分钟一班，其中含列车在车站停留的分钟，假设乘客到达站台的时刻是随机的，则该乘客到达站台立即能乘上车的概率为（）A .B .C .D .11. （2分）(2019·泸州模拟) 已知，若点是抛物线上任意一点，点是圆上任意一点，则的最小值为A . 3B . 4C . 5D . 612. （2分）已知集合，则（）A .B .C .D .二、填空题： (共4题；共7分)13. （2分） (2019高三上·浙江月考) 在的展开式中，常数项为________，系数最大的项是________ ．14. （2分） (2019高二下·湖州期末) 已知是等差数列，公差不为零．若，，成等比数列，且，则 ________， ________．15. （2分）（exlnx）′=________（）′=________16. （1分）(2017·亳州模拟) 已知双曲线，过x轴上点P的直线与双曲线的右支交于M，N两点（M在第一象限），直线MO交双曲线左支于点Q（O为坐标原点），连接QN．若∠MPO=60°，∠MNQ=30°，则该双曲线的离心率为________．三、解答题 (共8题；共80分)17. （10分） (2018高二上·宁德期中) 已知等差数列的前n项和为，且，，．（1）求通项；（2）求数列的前n项和的最小值．18. （15分）(2017·邯郸模拟) 某重点中学为了解高一年级学生身体发育情况，对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得身高（单位：cm）频数分布表如表1、表2．表1：男生身高频数分布表身高（cm）[160，165）[165，170）[170，175）[175，180）[180，185）[185，190）频数 2 5 1413 4 2表2：女生身高频数分布表身高（cm）[150，155）[155，160）[160，165）[165，170）[170，175）[175，180）频数 1 7 12 6 3 1（1）求该校高一女生的人数；（2）估计该校学生身高在[165，180）的概率；（3）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，设X表示身高在[165，180）学生的人数，求X的分布列及数学期望．19. （10分） (2019高二上·开福月考) 如图，在四棱锥中，，侧面底面 .（1）求证：平面平面；（2）若，且二面角等于，求直线与平面所成角的正弦值.20. （10分） (2016高二上·黄骅期中) 已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B 两点，且 =﹣3，其中O为坐标原点．（1）求p的值；（2）当|AM|+4|BM|最小时，求直线l的方程．21. （15分） (2016高三上·清城期中) 设函数f（x）=（1﹣ax）ln（x+1）﹣bx，其中a和b是实数，曲线y=f（x）恒与x轴相切于坐标原点．（1）求常数b的值；（2）当a=1时，讨论函数f（x）的单调性；（3）当0≤x≤1时关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．22. （5分）(2017·江苏) 如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥P C，P为垂足．求证：（Ⅰ）∠PAC=∠CAB；（Ⅱ）AC2 =AP•AB．23. （10分） (2018高二下·河北期末) 在平面直角坐标系中，以为极点，轴非负半轴为极轴建立坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为：（为参数），两曲线相交于两点.（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若，线段的中点为，求点到点距离 .24. （5分）设函数，f（x）=|x﹣a|（Ⅰ）当a=2，解不等式，f（x）≥5﹣|x﹣1|；（Ⅱ）若f（x）≤1的解集为[0，2]，+=a（m＞0，n＞0），求证：m+2n≥4．参考答案一、一.选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题： (共4题；共7分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共8题；共80分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、答案：18-3、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、答案：21-3、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、考点：解析：答案：24-1、考点：解析：。

2021年高三下学期开学考试数学含答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1.复数（是虚数单位）的虚部是__________．2.从编号为0,1,2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的一个样本，若编号为42的产品在样本中，则该样本中产品的最小编号为 ．3.若圆锥的底面周长为，侧面积也为，则该圆锥的体积为______________．4.右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是________.5.已知一个三角形的三边长分别是5,5,6,一只蚂蚁在其内部爬行,若不考虑蚂蚁的大小,则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是 ．6.设函数⎪⎩⎪⎨⎧<<≤<-+=10,2tan 01|,)1(log |)(3x x x x x f π，则= ． 7.已知：关于的不等式有解，：或 , 则是的条件．（空格处请填写“充分不必要条件” 、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）8.已知，则25sin sin 63x x ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= ． 9.已知是椭圆的左、右焦点，弦过，若的周长为8，则椭圆的离心率为 ．10.设，实数满足23603260x m x y x y -+--⎧⎪⎨⎪⎩≥≥≤，若，则实数的取值范围是 ．11.在矩形中，为矩形内一点，且，，则的最大值为 ．12.数列中，，为数列的前n 项和，且对，都有．则的通项公式= ．13.不等式有多种解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中作出和的图像然后进行求解，请类比求解以下问题：设，若对任意，都有，则__________．14.对于函数，若存在定义域内某个区间，使得在上的值域也是，则称函数在定义域上封闭．如果函数（）在上封闭，那么实数的取值范围是______________．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分14分）已知()33cos 22sin()sin(),x 2f x x x x R ππ=++-∈. （1）求函数的单调增区间；（2）已知锐角的内角的对边分别为,且,,求边上的高的最大值.16．（本小题满分14分）正方形所在的平面与三角形所在的平面交于，且平面．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面．17．（本小题满分15分）某企业接到生产3000台某产品的A ，B ，C 三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）. 已知每个工人每天可生产A 部件6件，或B 部件3件，或C 部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B 部件的人数与生产A 部件的人数成正比，比例系数为k （k 为正整数）.（1）设生产A 部件的人数为x ，分别写出完成A ，B ，C 三种部件生产需要的时间；（2）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k 的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.18．（本小题满分15分）已知椭圆的下顶点为，到焦点的距离为.（1）设Q是椭圆上的动点，求的最大值；（2）若直线与圆相切，并与椭圆交于不同的两点A、B．当，且满足时，求面积的取值范围．19.（本小题满分16分）函数，其中为实常数.（1）讨论的单调性；（2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（3）若，设33331433221)(,131211)(nn n h n n g -++++=++++= ( ).是否存在实常数，既使又使对一切恒成立？若存在，试找出的一个值，并证明；若不存在，说明理由. ()20．（本小题满分16分）已知数列满足：*11*3(3,),4(3,)n n n n n a a n N a a a a a n N +⎧->∈==⎨-≤∈⎩. （1）若，求数列的前项和的值；（2）求证：对任意的实数，总存在正整数，使得当（）时，成立.数学Ⅱ（附加题）21．（本小题满分10分）已知，求矩阵．22．（本小题满分10分）在极坐标系中，圆是以点为圆心，为半径的圆．（1）求圆的极坐标方程；（2）求圆被直线所截得的弦长．23．（本小题满分10分）现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为16、12、13；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是p (0<p <1)．设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，记乙项目产品价格在一年内的下降次数为ξ，对乙项目投资十万元，ξ取0、1、2时，一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元．随机变量ξ1、ξ2分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润．(1)求ξ1、ξ2的概率分布和数学期望E (ξ1)、E (ξ2)；(2)当E (ξ1)<E (ξ2)时，求p 的取值范围．24．（本小题满分10分）已知数列满足：，，且．记集合．（Ⅰ）若，写出集合的所有元素；（Ⅱ）求集合的元素个数的最大值．参考答案1. 2. 10 3. 4.3 5. 6. 1 7. 必要不充分条件8. 9. 10. -3≤m ≤611. 12. 13. 14.15. (1)整理得， ……3分 增区间为)](1211,125[Z k k k ∈++ππππ ……6分(2),,32323,20,23)32sin(πππππ<-<-∴<<=-A A A ……9分 11sin 223a h AB AC π∴⨯⨯=⨯⨯ ，……10分 由余弦定理及基本不等式可知，，此时所以BC 边的最大值为.……14分16. （1）正方形中，，又平面，平面，所以平面．…………………………7分（2）因为平面，且平面，所以，又正方形中，，且，平面，所以平面,又平面，所以平面平面．…………………………14分17. （1）设完成A ，B ，C 三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为T 1(x )，T 2(x )，T 3(x )，由题设有：T 1(x )＝＝，……2分T 2(x )＝，……4分， T 3(x )＝，……6分其中x ，kx ，200－(1＋k )x 均为1到200之间的正整数. ……7分（2）完成订单任务的时间为＝max { T 1(x )，T 2(x )，T 3(x )}，其定义域为{0<x <,x ∈N*}. 易知，T 1(x )，T 2(x )为减函数，T 3(x )为增函数，注意到T 2(x )＝·T 1(x )，于是①当k ＝2时，T 1(x )＝T 2(x )，此时，＝max { T 1(x )，T 3(x )}＝max {，}，由函数T 1(x )，T 3(x )的单调性知，当＝时，取得最小值，解得x ＝，由于44<<45，而＝T 1(44)＝，＝T 3(45)＝，∵<，∴当x ＝44时完成订单任务的时间最短，且最短时间为＝.……10分②当k >2时，T 1(x )>T 2(x )，由于k 为正整数，∴k ≥3，此时，≥＝.记T(x )＝，＝max {T 1(x )，T(x )}，易知，T(x )是增函数，则＝max { T 1(x )，T 3(x )}≥max { T 1(x )，T(x )}＝＝max {，}， 由函数T 1(x )，T(x )的单调性知，当＝时，取最小值，解得x ＝，由于36<<37，而＝T 1(36)＝>，＝T(37)＝>，此时，完成订单任务的最短时间大于.……12分③当k <2时，T 1(x )<T 2(x )，由于k 为正整数，故k ＝1，此时，＝max { T 2(x )，T 3(x )}＝max {，}，由函数T 2(x )，T 3(x )的单调性知，当＝时，取最小值，解得x ＝，类似①的讨论，此时完成订单任务的最短时间为，大于.……14分综上所述，当k ＝2时，完成订单任务的时间最短，此时，生产A ，B ，C 三种部件的人数分别为44，88，68. ……15分18. （1）易知，所以椭圆的方程为 ；设，则11)y =-≤≤．∴当时，． ……………………5分（2）依题结合图形知的斜率不可能为零，所以设直线的方程为（）．∵直线即与圆O:相切，∴有：得．……………………7分又∵点A 、B 的坐标（，）、（，）满足：消去整理得022)2(222=-+++n mny y m ，由韦达定理得，．其判别式8)2(8)2)(2(44222222=+-=-+-=∆n m n m n m ，又由求根公式有．∵==21212121))((y y n my n my y y x x +++=+ =+--=++++=2223)()1(222221212m m n n y y mn y y m ．…………………12分 222)(21sin ||||21→→→→→→∆⋅-⋅=∠=OB OA OB OA AOB OB OA S AOB =+-+=|)()(|211221y n my y n my 2222)2(122||21++⋅=+∆⨯=m m m n ． ∵，且．∴． ……………………15分19. 解：（1）定义域为221(0,),()a x a f x x x x -'+∞=-+=， ① 当时，0,0,()0x x a f x '>∴->∴>，在定义域上单增；……2分②当时，当时，，单增；当时，，单减。

七中2021届高三数学下学期入学考试试题〔含解析〕制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。

一、选择题(本大题一一共12小题，一共60. 0分)1.是虚数单位，假设，那么的一共轭复数对应的点在复平面的( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】把等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【详解】解：由2+i＝z〔1﹣i〕，得z，∴，那么z的一共轭复数z对应的点的坐标为〔〕，在复平面的第四象限．应选：D．【点睛】此题考察复数代数形式的乘除运算，考察复数的代数表示法及其几何意义，是根底题．，，那么( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别求y＝3x，x∈R，y，x∈R的值域，得：A＝〔0，+∞〕，B＝[0，2]，再求交集即可．【详解】解：由y＝3x，x∈R，得y＞0，即A＝〔0，+∞〕，由y，x∈R，得：0≤y≤2，即B＝[0，2]，即A∩B＝〔0，2]，应选：C．【点睛】此题考察了求函数值域及交集的运算，考察指数函数与幂函数的图象与性质，属简单题．的大致图象是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性及取特殊值，进展排除即可得答案.【详解】由题意得，函数，那么函数为偶函数，图象关于y轴对称，故排除C、D，又由当时，，故排除B，应选：A．【点睛】此题主要考察了函数图象的识别，其中解答中纯熟应用函数的奇偶性，以及特殊点的函数值进展排除求解是解答的关键，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于根底题．4.执行如下图的程序框图，那么输出的值是( )A. 7B. 9C. 11D. 13【答案】C【解析】第一次：，第二次：，第三次：，第四次：，第五次：，此时不满足条件，所以输出k=11 内接于，为线段的中点，那么=( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用平面向量的线性运算写出用、的表达式即可．【详解】解：如下图，设BC中点为E，那么〔〕•．应选：A．【点睛】此题考察了平面向量的线性表示与应用问题，是根底题．6.某几何体的三视图如下图，图中正方形的边长为2，四条用虚线表示的线段长度均相等，那么该几何体的体积为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用三视图，复原出原几何体，进一步利用几何体的体积公式求出结果．【详解】根据几何体的三视图：该几何体是由一个边长为2正方体挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥构成的不规那么的几何体．所以：v，．应选：A．【点睛】此题考察的知识要点：三视图的应用，几何体的体积公式的应用，主要考察学生的运算才能和空间想象才能，属于根底题型．的展开式中的系数是，那么( )A. 1B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求得二项展开式中的通项公式，令，解得，代入即可求解，得到答案．【详解】由题意，二项式的展开式中的通项公式，令，解得，所以含项的系数为，解得应选：B．【点睛】此题主要考察了二项式定理的应用，其中解答中纯熟求解二项展开式的通项，准确得出的值是解答的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题．8.如下图，边长为的正六边形内有六个半径一样的小圆，这六个小圆分别与正六边形的一边相切于该边的中点，且相邻的两个小圆互相外切，那么在正六边形内任取一点，该点恰好取自阴影局部的概率为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别求出正六边形和阴影局部的面积，作商即可．【详解】如下图，边长为a的正六边形，那么OA＝OB＝AB＝a，设小圆的圆心为O'，那么O'C⊥OA，∴OC a，∴O'C a，OO'a，∴OD a，∴S阴影＝12[a•aπ•〔a〕2]＝〔〕a2，S正六边形a2，∴点恰好取自阴影局部的概率P，应选：C．【点睛】此题考察了几何概型问题，考察特殊图形面积的求法，是一道常规题．9.如下图，点为双曲线的右顶点，为双曲线上一点，作轴，垂足为，假设为线段的中点，且以为圆心，为半径的圆与双曲线恰有三个公一共点，那么的离心率为( )A. B. C. 2 D.【答案】A【解析】【分析】设A的坐标〔a，0〕，求得B的坐标，考虑x＝2a，代入双曲线的方程可得P的坐标，再由圆A经过双曲线的左顶点，结合两点的间隔公式可得a＝b，进而得到双曲线的离心率．【详解】由题意可得A〔a，0〕，A为线段OB的中点，可得B〔2a，0〕，令x＝2a，代入双曲线的方程可得y＝±b，可设P〔2a，b〕，由题意结合图形可得圆A经过双曲线的左顶点〔﹣a，0〕，即|AP|＝2a，即有2a，可得a＝b，e，应选：A．【点睛】此题考察双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考察方程思想和运算才能，属于中档题．10.，那么( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角恒等变换的公式，化简求得，得到，再利用两角和的正切函数的公式，即可求解．【详解】由题意，因为，所以，那么即，即，又由，应选：B．【点睛】此题主要考察了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟记两角和与差的三角函数的根本公式，合理、准确化简计算是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题．11.如下图，在等腰中，斜边，为直角边上的一点，将沿直折叠至的位置，使得点在平面外，且点在平面上的射影在线段上，设，那么的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】推导出AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AC1＝AC＝1，CD＝C1D∈〔0，1〕，∠AC1D＝90°，CH⊥平面ABC，从而AH＜AC1＝1，当CD＝1时，B与D重合，AH，当CD＜1时，AH，由此能求出x的取值范围．【详解】解：∵在等腰Rt△ABC中，斜边AB，D为直角边BC上的一点，∴AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，将△ACD沿直AD折叠至△AC1D的位置，使得点C1在平面ABD外，且点C1在平面ABD上的射影H在线段AB上，设AH＝x，∴AC1＝AC＝1，CD＝C1D∈〔0，1〕，∠AC1D＝90°，CH⊥平面ABC，∴AH＜AC1＝1，故排除选项A和选项C；当CD＝1时，B与D重合，AH，当CD＜1时，AH，∵D为直角边BC上的一点，∴CD∈〔0，1〕，∴x的取值范围是〔，1〕．应选：B．【点睛】此题考察线段长的取值范围的求法，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考察运算求解才能，是中档题．是抛物线上的两个不同的点，是坐标原点，假设直线与的斜率之积为，那么( ) A. B. 为直径的圆的面积大于C. 直线过抛物线的焦点D. 到直线的间隔不大于2【答案】D【解析】【分析】由分类求得MN所在直线过定点〔2，0〕，结合选项得答案．【详解】解：当直线MN的斜率不存在时，设M〔，y0〕，N〔，﹣y0〕，由斜率之积为，可得，即，∴MN的直线方程为x＝2；当直线的斜率存在时，设直线方程为y＝kx+m，联立，可得ky2﹣y+m＝0．设M〔x1，y1〕，N〔x2，y2〕，那么，，∴，即m＝﹣2k．∴直线方程为y＝kx﹣2k＝k〔x﹣2〕．那么直线MN过定点〔2，0〕．那么O到直线MN的间隔不大于2．应选：D．【点睛】此题考察抛物线的简单性质，考察直线与抛物线位置关系的应用，是中档题．二、填空题(本大题一一共4小题，一共20.0分)满足约束条件，那么的最大值为______．【答案】5【解析】【分析】根据不等式组画出可行域，结合图像得到最值.【详解】作出x，y满足约束条件，所示的平面区域，如图：作直线-3x+4y=0，然后把直线l向可行域平移，结合图形可知，平移到点时z最大，由此时z=5.故答案为:5．【点睛】利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目的函数的几何意义，将目的函数进展变形．常见的类型有截距型〔型〕、斜率型〔型〕和间隔型〔型〕．(3)确定最优解：根据目的函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目的函数即可求出最大值或者最小值。

2021届高三数学下学期开学考试试题〔扫描版〕本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

高 三 数 学 参 考 答 案1.充分不必要； 2．1-； 3. 94； 4； 5．2； 6. 12； 7. 48；8.3-； 9. 18π； 10. 2ln ； 11．； 12.324-；13.a ＝0或者－8； 14．1． 15．解：〔1〕由Z k k x ∈+≠+,242πππ得Z k k x ∈+≠,82ππ ………2分 2π=T ………4分所以函数)(x f 的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,82ππ，最小正周期为2π …6分 〔2〕因为1)42tan(2)(-+=πx x f ， 所以1)4tan(2)2(-+=πααf因为12cos 4)2(-=ααf ，所以12cos 41)4tan(2-=-+απα即απα2cos 2)4tan(=+即)sin )(cos cos (sin 2)sin (cos 2sin cos cos sin 22αααααααααα-+=-=-+ ………10分因为)2,4(ππα∈，所以0cos sin ≠+αα 所以1)sin (cos 22=-αα ………12分 即1)cos sin 21(2=•-αα即212sin =α ………14分 16.证明：(1) 连结B A 1，设A 1B ∩AB 1＝E ，连结DE.在直三棱柱ABC ­ A 1B 1C 1中 四边形AA 1B 1B 为平行四边形所以E 为AB 1中点． ………2分 因为D 为BC 中点 所以DE 为△BA 1C 的中位线所以DE ∥A 1C. ………4分1因为A 1C ⊄平面ADB 1，DE ⊂平面ADB 1所以A 1C ∥平面ADB 1. ………6分 〔2〕因为平面 ⊥1ADB 平面11B BCC 平面⋂1ADB 平面D B B BCC 111=BC 1⊥B 1D⊂1BC 平面11B BCC所以⊥1BC 平面1ADB ………8分 因为⊂AD 平面1ADB所以1BC AD ⊥ ………10分 在直三棱柱ABC ­ A 1B 1C 1中,⊥1BB 平面ABC 又因为⊂AD 平面ABC所以1BB AD ⊥ ………12分 又因为1BC AD ⊥，B BC BB =⋂11，⊂11,BC BB 平面11B BCC 所以⊥AD 平面11B BCC . ………14分17．解：〔1〕以AB 所在直线为y 轴，点O 为原点，建立如下图的直角坐标系xOy ，DCB θ∠=，那么DOB θ∠=，DOE πθ∠=-，所以(sin ,cos )D θθ-过D 作DH BC ⊥于H ，那么2cos DH θ=-所以2cos sin sin DH CD θθθ-== …………4分 由弧DE 长为()1πθπθ-⨯=-，线段1AE =所以玻璃桥的总长度为2cos 1sin y θπθθ-=+-+，(0,]3πθ∈所以所建造的木桥和玻璃桥的总长度y 的函数为2cos 1sin y θπθθ-=+-+，定义域为(0,]3π． …………………7分〔2〕设建造桥的总费用为()f θ万元．建造木桥的费用为2cos ()1010[1]sin CD EA θθ-+⨯=+建造玻璃桥的费用为()2010(22)πθπθ-⨯=-所以2cos ()10[221]sin f θθθπθ-=-++，(0,]3πθ∈ …………………10分222cos 2cos 1'()10[]sin f θθθθ--= (0,]3πθ∈，'()0f θ<，所以()f θ在区间(0,]3π上单调递减min 2[()]()21)33f f πθππ==++ )1343(10++=π…………………12分0)7343(1080)1343(10<-+=-++ππ 即80)1343(10<++π答：所以HY80万元，能完成该项工程． …………………14分 18.解:〔1〕由题意得2c =c =，又点1,⎛ ⎝在椭圆上，所以：222231413a b b a +==-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩， 整理得：42419120a a -+=，解得：24a =或者234a =〔舍〕，∴21b =， ∴椭圆的HY 方程为：2214x y +=． ………4分〔2〕设()()1122,,,A x y B x y ，线段AB 中点坐标()()330,,0,C x y M y ，由221,4y m x y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩整理得：229440x m ++-=，∴()()2224944144160m m ∆=-⨯⨯-=->，∴29m <， ………6分又12x x +=212449m x x -⋅=，∴1232x x x +==∴339my m =+=， ∴线段AB 的中点C坐标为9m ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭又2AB x =-=………10分∴AC =，又9MCmk ==，∴03m y =-， ∴点M 坐标为0,3m ⎛⎫-⎪⎝⎭， ∴MC= ………12分 ∵CM 垂直平分AB ， ∴2AMB AMC∠=∠，又tan AMB ∠=，23AMB π∴∠=3AMC π∴∠= tan AMC ∴∠=∴在Rt AMC ∆中，tan AC AMC MC ∠====，∴22912m m -=，即2913m =∴13m =13m =- ………16分19．解〔1〕1()ln f x a x x x=+-，22211'()1a x ax f x x x x -+-=--= 函数()f x 在2x =处获得极值，所以'(2)0f =，解得52a =………………2分 当52a =时，22221252(21)(2)'()122a x x x x f x x x x x -+----=--== 当1(,2)2x ∈时，'()0f x >，当(2,)x ∈+∞时，'()0f x <， 所以()f x 在区间1(,2)2上单调递增，在(2,)+∞上单调递减，所以函数()f x 在2x =处获得极值 ………………4分〔2〕222222311111()ln 2ln (2ln )f a a a a a a a a a a a a a =+-=-+-=-- 令31()2ln g a a a a =--，442323'()1a g a a a a a-=-+=+当a e >时，'()0g a >，所以()g a 在(,)e +∞单调递增 所以33111()()202g a g e e e e >=-->->，又0a > 所以21()()0f ag a a=>． ………………9分 〔3〕由题意得3()(3)ln (3)3(3)f x f x a x x x x +-=-+--，令(3)(0,2)t x x =-∈，设3()ln 3F t a t t =+-，那么方程3()ln 30F t a t t=+-=在区间(0,2)上至少有两个解， ……10分 又(1)0F =，∴方程3()ln 30F t a t t=+-=在区间(0,1)(1,2)上有解，由于2233'()a at F t t t t-=-=， ①当0a ≤时，'()0F t <，函数()y F t =在(0,2)上是减函数，且(1)0F =， ∴方程在区间(0,1)(1,2)上无解； ……11分②当302a <≤时，由(0,2)t ∈，得'()0F t <，同①可得方程无解； ……12分 ③当332a <<时，函数()F t 在3(0,)a 上递减，在3(,2)a 上递增，且31a>要使方程()0F t =在区间(0,1)(1,2)上有解，注意到(1)0F =，只需(2)0F >，即3ln 202a ->，解得3ln 4a >， 33ln 42>，33ln 4a ∴<<； ……13分 ④当3a >时，函数()F t 在3(0,)a 上递减，在3(,2)a 上递增，且301a <<注意到(1)0F =，那么3()0F a<，因为312)1()1(2222-++=a a a f a F ，又由〔2〕可知0)1(2>af又因为031222>-+a a所以21()0F a>此时方程()0F t =在3(0,)a内必有解； ……14分⑤当3a =时，函数()F t 在(0,1)上递增，在(1,2)上递减，且(1)0F =， ∴方程方程()0F t =在区间(0,1)(1,2)内无解． ……15分综上可得实数a 的范围是3(,3)(3,)ln 4+∞. ……16分 20．解：〔1〕当1n =时，1112a a +=，解得11a =； …………2分当3n =时，33132S a +=，即1233132a a a a +++=，334132a a ++=，解得35a = …4分 〔2〕12n n S a n +=可化为2(1)n n S n a =+ 所以112(1)(1)n n S n a ++=++相减得，112(1)1n n n a n a na ++=+-+ …………6分 化简为 1(1)10n n n a na +--+= 所以21(1)10n n na n a ++-++=相减，得2120n n n na na na ++-+=，即2120n n n a a a ++-+=， 所以212n n n a a a +++=所以数列{}n a 是等差数列， …………8分其公差212d a a =-=，通项公式为12(1)21n a n n =+-=- …………10分〔3〕作如下构造：12322(23)(23)(25)(25)n n n a k a k k a k =+=++=+，，，其中*k ∈N ，它们依次为数列{}n a 中的第2265k k ++项，第2288k k ++项，第221013k k ++项，显然它们成等比数列，且123n n n a a a <<，123n n n a a a +>，所以它们能组成三角形．由*k ∈N 的任意性，这样的三角形有无穷多个． …………13分下面用反证法证明其中任意两个三角形111A B C 和222A B C 不相似： 假设三角形111A B C 和222A B C 相似，且12k k ≠，那么11222212(23)(25)(23)(25)(23)(23)k k k k k k ++++=++，整理得121225252323k k k k ++=++，所以12k k =，这与条件12k k ≠相矛盾，因此，任意两个三角形不相似． 故命题成立． …………16分数学试题〔II 〕〔附加卷〕21〔B 〕．解：设1 b c d a A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，那么1A A E -=，即 b 1 1 1 0c d 0 20 1a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即120021a a b c c d -=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪+=⎩ 解得112012a b c d =-⎧⎪⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎪⎩ 111 210 2A -⎡⎤-⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ……6分111 1 30 -121 2 4 1 20 2A B -⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎡⎤∴==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦……10分 21〔C 〕．解：〔1〕:10l x y +-=，曲线22:40C x y x +-=； ……4分〔2〕将1 x y ⎧⎪==⎨⎪⎪⎪⎩〔t 为参数〕代入曲线C的方程，得23=0t +-，12t t ∴-==，121211t t PA PB t t -∴+==．……10分〔2〕又解：将直线l的方程与曲线C方程联立方程组可得两交点坐标31(22+-，31(22-+，……6分算出,PA PB的长度22，由此求得结果。

2021届高三数学下学期开学考试试题理本卷满分150分，考试用时120分钟。

第I卷（选择题共60分）一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分)1.已知全集U={-1,0,1,2,3,4}，集合，集合，则（）A.{-1,0,1,2,3}B.{-1,0,4}C.{4}D.{-1,0,3,4}2.已知复数满足为虚数单位) ，则在复平面内复数对应的点的坐标为（）A. B. C. D.3.一个算法的程序框图如图所示，若执行该程序输出的结果是，则判断框内可填入的条件是（）A. B. C. D.4.为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，某机构调查了当地的中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，下面三个结论：①样本数据落在区间的频率为0.45；②如果规定年收入在500万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有55%的当地中小型企业能享受到减免税政策；③样本的中位数为480万元.其中正确结论的个数为（）A.0B.1C.2D.35.函数f（x）＝2sin2（ωx﹣）＞（ω＞0）的最小正周期为π．则f（x）在上的最小值是（）A.1+B.C.2D.1﹣6.已知函数，若，，，则有（）A. B.C. D.7.如图，点A的坐标为，点C的坐标为．函数，若在矩形内随机取一点．则该点取自阴影部分的概率为（）A. B. C. D.8.在三棱锥中，平面平面，，且直线与平面所成角的正切值为2，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.9.正项等比数列中，，且与的等差中项为2，则（）A. B. C. D.10.已知是函数的导函数，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.11.若函数且）在R上既是奇函数,又是减函数,则的图象是（）A. B.C. D.12.已知函数，若函数至多有个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.第II卷（非选择题 90分）二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)13.已知单位向量的夹角为，若向量与向量的夹角为，则实数________.14.函数f（x）＝，则f（f（））＝_____.15.已知双曲线的左、右焦点为、，点关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率是________．16.四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，若，则四棱锥的体积取值范围为_____．三、解答题(共6小题 ,共70分。

2021年高三下学期开学考试数学试题含答案一、填空题1．过抛物线的焦点作弦，点，，且，则．2．若3．解不等式：4．若命题p：∀x∈R，x2－1>0，则命题p的否定是________．5．已知抛物线上一点到其焦点的距离为，则m＝ .6．一个三位自然数的个位，十位，百位分别是,若满足，，则称该三位数为凸数，则所有的凸数有_____________个。

7．中，则AB+2BC的最大值为__________8．函数图象的一条对称轴方程是，则直线的倾斜角为__________.A. B. C. D.9．复数，且，则的最大值为。

10．5．在正三棱锥（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，,过作与分别交于和的截面，则截面的周长的最小值是________11．设圆，过圆心作直线交圆于、两点，与轴交于点，若恰好为线段的中点，则直线的方程为 .12．执行如下图的程序框图，输出和,则的值为 .13．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积是 .14．若函数y=f(x) (x∈R)满足：f(x+2)=f(x)，且x∈[–1, 1]时，f(x) = | x |，函数y=g(x)是定义在R上的奇函数，且x∈(0, +∞)时，g(x) = log 3 x，则函数y=f(x)的图像与函数y=g(x)的图像的交点个数为_______．二、解答题15．已知函数（Ⅰ）当时，求f(x)的最大值与最小值；（Ⅱ）若f(x)在上是单调函数，且，求θ的取值范围。

16．关于x的方程m+2(m+3)x+2m+14=0有两个不同的实根,且一个大于4,另一个小于4,求m的取值范围．17．已知数列{a n}是等差数列,b n=,b1+b2+b3=,b1b2b3=,求a n.18．设定点M，动点N在圆上运动，线段MN的中点为点P.（1）求MN的中点P的轨迹方程；（2）直线与点P的轨迹相切，且在轴．轴上的截距相等，求直线的方程.19．已知，解不等式20．写出由下述各命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题，并指出所构成的这些复合命题的真假。

2021-2022年高三数学下学期开学考试试题 理(I)一、选择题（每小题5分，共125=60分） 1、集合M=｛x |｝, N=｛｝, 则 MN = ( )A. B. {0} C{2}. D. { 2、若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为（ ）． ． ． ．3、已知奇函数在上单调递减，且，则不等式＞0的解集是 （ ） A. B. C. D.4、已知)211cos(,53)9cos(,2παπαπαπ--=-<<求的值 （ ）A ．B ．－C ．－D ．5、设为曲线：上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．6、已知点A （-1,1）、B （1,2）、C （-2,1）、D （3,4），则向量在方向上的投影为（ ）A ．B ．C ．D ．7、若为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，则当从－2连续变化到1时，动直线 扫过中的那部分区域的面积为 ( )A ．B ．1C ．D ．58、设，则直线与圆的位置关系为（ ） A.相切 B.相交C.相切或相离D.相交或相切9、设函数=的图象如下图所示，则a 、b 、c 的大小关系是 A.a ＞b ＞cB.a ＞c ＞bC.b ＞a ＞cD.c ＞a ＞b10、已知是等比数列，，，则 A ． B ． C ． D ．11、如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ） A ．B ．C ．D ．12、已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为,则的方程为（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题（每小题5分，共45=20分）13、已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为C 1D 1的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为________． 14、是分别经过A(1,1)，B(0,1)两点的两条平行直线，当间俯视图 正(主)视图侧(左)视图2 322的距离最大时，直线的方程是 ．15、如图，一艘船上午9∶30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10∶00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距 mile. 此船的航速是 n mile/h .16、设等差数列的前项和为，若则 . 三、解答题（17题10分，其它各题12分，共70分）17、（10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos A ＋C2＝33.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)若·＝2，b ＝22，求a 和c 的值．18、（12分）已知数列为等差数列，，，数列的前项和为，且有． （Ⅰ）求、的通项公式 （Ⅱ）若，的前项和为，求． 19、（12分）设函数a ax x a x x f 244)1(31)(23+++-=，其中常数. (Ⅰ)讨论的单调性;(Ⅱ)若当时，恒成立，求的取值范围。

2021-2022年高三数学下学期入学考试试题理(I)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择），考生作答时，须将答案答答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效。

满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数z 与的对应点关于虚轴对称，则z=（ ） A ．2﹣i B ．﹣2﹣i C ．2+i D ．﹣2+i2. 已知α∈(π2,π),,则等于( ) A. B. C.D.3.已知向量（，），（，），与的夹角为,则直线021sin cos =+-ααy x 与圆()()21sin cos 22=++-ββy x 的位置关系是（ ） A.相交 B.相离 C.相切 D.随的值而定4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A. 10 B. 24 C. 44 D. 705.已知△ABC 中，的对边分别为. 若，且，则（ ） A ． 2 B ． C ． D ．6.函数且 的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（ ） A. B. C. D.7.一个四面体的三视图如右图，在三视图中的三个正方形的边长都是，则该多面体的体积、表面积、外接球面的表面积分别为（ ）A. B.C.D.8.已知，命题，则 （ ）0)(),2,0(:.≥∈∀⌝x f x p p A π是假命题，0)(),2,0(:.≥∈∃⌝x f x p p B π是假命题，0)(),2,0(:.≥∈∀⌝x f x p p C π是真命题，0)(),2,0(:.≥∈∃⌝x f x p p D π是真命题，9.已知定义在上的奇函数的图象关于直线对称，当时，，则方程在内的零点之和为 （ ）A ．B ．C ．D ．10．设动直线与函数的图象分别交于点，则的最小值为（ ） A. B. C. D.11. 已知数列满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+-=-)6(6(1)21(5n a n n a a n n ）＜若对于任意的都有，则实数的取值范围是A. （0，）B. （）C. （）D. （）12.如图，设是图中边长分别为1和2的矩形区域，是内位于函数图象下方的区域（阴影部分），从内随机取一个点，则点取自内的概率为（ ） A ． B ． C ． D ． 二、填空题（每小题4分，共20分）13. 已知向量与的夹角为，且，若，，且，则实数的值为_____.14. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=⎰a02,0 ,3t x 0,x ,lg )(x dt x x f 若，则= 15.已知，则的展开式中的常数项是 .（用数字作答）16．设函数，对任意,2()4()(1)4()x f m f x f x f m m-≤-+恒成立，则实数m 的取值范围是 .三、解答题（共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 17.（本小题满分12分） 已知{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 1＝b 1＝1，b 2＋b 3＝2a 3，a 5－3b 2＝7. (1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n b n ，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和．18.（本小题满分12分）已知锐角三角形中，角所对边分别为满足1cos 2sin()2sin 22CB A A -+-=. （Ⅰ）求； （Ⅱ）若是最大边，求的取值范围.19、如图所示，平面平面，是等边三角形，是矩形，是的中点，是的中点，是的中点，与平面成角． （1）求证：平面；（2）求证：平面； （3）若，求三棱锥的体积20.我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，……，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.HGFEDBCA(1)求直方图中a 的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数.说明理由； (3)估计居民月均用水量的中位数.21.（12分）已知函数f （x ）=sinx ﹣ax ． （Ⅰ）对于恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当a=1时，令()()sin ln 1h x f x x x =-++，求的最大值；（Ⅲ）求证：*111ln(1)1()23n n N n+<+++∈请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

卜人入州八九几市潮王学校实验2021届高三数学下学期开学考试试题理〔含解析〕一、单项选择题1|244x A x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，{|B y y ==，那么AB =〔〕A.{2}B.{0}C.[ 2.2]-D.[0.2]【答案】B 【解析】 【分析】 分别计算集合[2,2]A =-，集合{0}B =，再求A B .【详解】由1244x，得22x -，即[2,2]A =-，由y =，得2x =，所以0y =，所以{0}B =，所以{0}A B =.故答案选B【点睛】此题考察了集合的交集，属于简单题. 2.1:p 函数x y a a =+〔0a >且1a ≠〕在R 上为增函数； 222:,0p a b R a ab b ∃∈-+<，；3:cos cos p αβ=成立的一个充分不必要条件是2()k k Z απβ=+∈.〕 A.12p p ∨B.23p p ∧C.13p p ∨⌝ D.23p p ⌝∧【答案】D【解析】试题分析：由题意得，当01a <<时，函数x y a a=+在R上为减函数，所以1p 222213()024b a ab b a b -+=-+≥2p 2p ⌝2()k k Z απβ=+∈时，cos cos αβ=是成立的，而当cos cos αβ=成立时，2()k k Z απβ=±∈，cos cos αβ=成立的一个充分不必要条件是2()k k Z απβ=+∈23p p ⌝∧3.l 、m 、n 表示空间中三条不同的直线，α、β〕 A.假设m α⊂，n β⊂，//αβ，那么//m n B.假设m α⊂，n β⊂，//m β，//n α，那么//αβC.假设l αβ=，m α⊂，n β⊂，l m ⊥，l n ⊥，那么αβ⊥D.假设m α⊂，n β⊂，m β⊥，n α⊥，那么αβ⊥【答案】D 【解析】 【分析】 .【详解】对于A 选项，假设m α⊂，n β⊂，//αβ，那么m 与n 无公一共点，所以m 与n 平行或者异面，A 选项错误；对于B 选项，假设m α⊂，n β⊂，//m β，//n α，那么α与β平行或者相交，B 选项错误；对于C 选项，假设l αβ=，m α⊂，n β⊂，l m ⊥，l n ⊥，那么α与β斜交或者垂直，C 选项错误；对于D 选项，假设m α⊂，n β⊂，m β⊥，n α⊥，由平面与平面垂直的断定定理可得αβ⊥，D选项正确. 应选：D.4.a ，b 为互相垂直的单位向量，假设ca b =-，那么cos ,b c =〔〕A.2-B.2C.-【答案】A 【解析】 【分析】利用向量夹角公式即可得到结果.【详解】代数法：()()2cos ,b a bbc b cb ca b ⋅-⋅<>==⋅-2221222b a ba ab b⋅--===--⋅+，应选A.【点睛】此题考察向量夹角公式，考察向量的运算法那么及几何意义，考察学生的运算才能与数形结合才能，属于根底题. 5.1(e )d x x x --=⎰A.11e -- B.1- C.312e-+D.32-【答案】C 【解析】 【分析】求出被积函数的原函数，分别代入积分上限和积分下限作差得答案．【详解】解：20111()()|2xx x e dx x e ---=-⎰ 1113122e e =--+=-．应选：C ．【点睛】此题考察了定积分，解答的关键是求出被积函数的原函数，属于根底题．x,y,z 是互不相等的正数，那么以下不等式中不恒成立的是〔〕 A.2211x x x x++≥C.12x y x y-+≥- D.x y x z y z -≤-+-【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：x y x z z y x z z y x z y z-=-+-≤-+-=-+-，故D 恒成立；由于函数()1f x x x=+,在(]0,1单调递减；在[)1,+∞单调递增,当1x >时, ()()221,x x f x f x >>>即2211x x x x+>+,当01x <<,()()2201,x x f x f x <<即2211x x x x++≥正确，即A 正确；=<=,故B 恒成立，假设1x y -=-,不等式12x y x y-+≥-不成立,故C 不恒成立,应选C ． 考点：1、根本不等式证明不等式；2、单调性证明不等式及放缩法证明不等式．ABC ∆中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，假设60A =︒，a =3b c +=，那么ABC ∆的面积为()B.D.2【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理求得bc ,再根据三角形面积公式即可求解.【详解】在ABC ∆中,60A =︒,a =3b c +=由余弦定理2222cos a b c bc A =+-代入可得223b c bc =+-,即()233b c bc =+-所以2bc =那么ABC ∆的面积11sin 222ABCSbc A ∆==⨯=应选:B【点睛】此题考察了余弦定理在解三角形中的应用,三角形面积公式的应用,属于根底题.xOy 中，2111ln 0x x y --=，2220x y --=，那么()()221212x x y y -+-的最小值为()A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】 根据条件得到()()221212x x y y -+-表示的是曲线2111ln x x y -=，222x y -=上两点的间隔的平方，∵y=x 2﹣lnx ，∴y′=2x﹣1x〔x ＞0〕，由2x ﹣1x=1，可得x=1，此时y=1，∴曲线C 1：y=x 2﹣lnx 在〔1，1〕处的切线方程为y ﹣1=x ﹣1，即x ﹣y=0，与直线x ﹣y ﹣2=0，∴()()221212x x y y -+-的最小值为2．故答案为B ．点睛：此题考察两点间间隔的计算，考察导数知识的运用，求出曲线C 1：y=x 2-lnx 与直线x-y-2=0平行的切线的方程是关键．注意做新颖的题目时，要学会将新颖的问题转化为学过的知识题型，再就是研究导数小题时注意结合函数的图像来寻找灵感，有助于解决题目.9.算筹是在珠算创造以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的开展做出了很大奉献.在算筹计数法中，以“纵式〞和“横式〞两种方式来表示数字，如图：表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零那么置空，如图：假设把5根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为〔〕A.46B.44C.42D.40【答案】B【解析】【分析】先按每一位算筹的根数分类，再看每一位算筹的根数能组成几个数字.【详解】按每一位算筹的根数分类一一共有15种情况,如下2根以上的算筹可以表示两个数字，运用分布乘法计数原理，那么上列情况能表示的三位数字个数分别为：2，2，2，4，2，4，4，4，4，4，2，2，4，2，2，根据分布加法计数原理，5根算筹能表示的三位数字个数为：++++++++++++++=.22242444442242244应选B.【点睛】此题考察分类加法计数原理和分布乘法计数原理，考察分析问题解决问题的才能.'交于M,N两点,假设2:2(0)C y px p=>的焦点为F,抛物线C与圆22+=:(3C x y||MN =,那么MNF 的面积为()A.8B.38C.8【答案】B 【解析】 【分析】由圆C '过原点，知,M N中有一点M与原点重合，作出图形，由C M C N ''==，MN =C M C N ''⊥，从而直线MN 倾斜角为4π，写出N 点坐标，代入抛物线方程求出参数p ，可得F 点坐标，从而得三角形面积．【详解】由题意圆C '过原点，所以原点是圆与抛物线的一个交点，不妨设为M ，如图，由于C M C N ''==，MN =C M C N ''⊥，∴4C MN π'∠=，4NOx π∠=，∴点N 坐标为，代入抛物线方程得22p =，p =，∴F ，113228FMN N S MF y ∆=⨯==． 应选：B.【点睛】此题考察抛物线与圆相交问题，解题关键是发现原点O 是其中一个交点，从而MNC '∆是等腰直角三角形，于是可得N 点坐标，问题可解，假设仅从方程组角度研究两曲线交点，恐怕难度会大大增加，甚至没法求解．O 的四面体ABCD 中,有AB CD t ==,6AD BC ==,7AC BD ==,假设球O 的最大截面的面积是554π,那么t 的值是()A.5B.6C.7D.8【答案】A【解析】 【分析】由题意将四面体放入长方体中,由长方体的对角线与外接球的直径相等可求出外接球的半径,球的最大截面既是过球心的圆,由题意求出外接球的半径,进而求出t 的值. 【详解】将四面体放入到长方体中,AB 与CD ,AD 与BC ,AC 与BD 相当于一个长方体的相对面的对角线,设长方体的长,宽,高分别是,,a b c 那么22222222276a b t b c a c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩,球O 的最大截面的面积是554π,球的最大截面即是过球心的大圆,设球的半径为R 那么2554Rππ=, ∴2222(2)R a b c =++,255285t ∴⨯=+,解得:5t=,应选:A.【点睛】考察三棱锥的外接球的半径的与长方体棱长的关系,考察了分析才能和计算才能,属于中档题.22()ln (1)f x x x a x =--(a∈R),假设()0f x ≥在x∈(0,1］时恒成立,那么实数a 的取值范围是A.［4,+∞〕 B.[12,+∞) C.[2,+∞) D.[1,+∞)【答案】B 【解析】 【分析】首先将式子化简，将参数a 化为关于x 的函数，之后将问题转化为求最值问题来解决，之后应用导数研究函数的单调性，从而求得函数的最值，在求解的过程中，注意对函数进展简化，最后用洛必达法那么，通过极限求得结果.【详解】根据题意，有22ln (1)0,((0,1])x x a x x --≥∈恒成立，当1a ≠时，将其变形为22ln 1x x a x ≥-恒成立，即2max 2ln ()1x x a x ≥-，令22ln ()1x xg x x =-，利用求得法那么及求导公式可求得3222ln '()(1)x x x xg x x --=-，令3()2ln h x x x x x=--，可得22'()312ln 232ln 3h x x x x x =---=--，可得26(26233''()6x x x h x x x xx+--=-==，因为(0,1]x ∈，所以(0,3x ∈时，''()0h x <，3x ∈时，''()0h x >，所以函数)'(h x在(0,3x ∈时单调减，在(3x ∈时单调增，即'())132ln ln 3233h x h ≥=--=-，而'(1)0h =，所以()h x在3上是减函数，且(1)0h =，所以函数()h x 在区间上满足()0h x ≥恒成立，同理也可以确定()0h x ≥在上也成立，即'()0g x ≥在(0,1]x ∈上恒成立，即22ln ()1x x g x x =-在(0,1]x ∈上单调增，且22111ln 2ln 2ln 11lim lim lim 1222x x x x x x x x x x x →→→++===-，故所求的实数a的取值范围是1[,)2+∞，应选B. 点睛：该题属于应用导数研究函数最值的综合问题，在解题的过程中，注意构造新函数，并且反复求导，研究函数的单调性，从而确定出函数值的符号，从而确定出函数的单调性，从而得出函数在哪个点处获得最值，还有需要应用洛必达法那么求极限来到达求最值的目的. 二、填空题()()1a i i ++在复平面上所对应的点在实轴上，那么实数a =______.【答案】1- 【解析】 【分析】由复数对应点在实轴上可知其虚部为零，由此构造方程求得结果. 【详解】()()()()111a i i a a i ++=-++()()1a i i ++对应的点在实轴上10a ∴+=，解得：1a =-故答案为：1-【点睛】此题考察根据复数对应的点的位置求解参数范围的问题，涉及到复数的乘法运算，属于根底题. 14.现有高一学生两人，高二学生两人，高三学生一人，将这五人排成一行，要求同一年级的学生不能相邻，那么不同的排法总数为______. 【答案】48 【解析】 【分析】先求得五个人的全排列,除去相邻的情况,即为同一年级学生不相邻的情况. 【详解】将五个人全排列,一共有55A 种;高一学生和高二学生都相邻:捆绑法把高一两个人和高二两个人看成一个整体,再三个团体全排列,一共有223223A A A 种. 高一学生相邻,高二学生不相邻:捆绑法把高一学生作为一个整体排列,和高三学生再全排列,将高二的学生插3个空位中的两个,一共有222223A A A 种.高二学生相邻,高一学生不相邻:捆绑法把高而学生作为一个整体排列,和高三学生再全排列,将高一的学生插3个空位中的两个,一共有222223A A A 种.所以满足同一年级的学生不能相邻的总排列方法有5223222222522322322312024242448A A A A A A A A A A ---=---=种故答案为:48【点睛】此题考察了排列问题的综合应用,对于相邻问题,通常使用捆绑法作为一个整体处理,对于不相邻问题,通常采用插空法处理,属于中档题.1y x =-与双曲线()2210,0ax by a b +=><的渐近线交于A ，B 两点，且过原点和线段AB 中点的直线的斜率为a b =______.【答案】2-【解析】 【分析】根据双曲线方程表示出双曲线的渐近线方程,与直线方程联立可得,A B 两点坐标,利用中点坐标公式求得中点Ma b. 【详解】双曲线()2210,0axby a b +=><所以其渐近线方程为y x = 因为直线1y x =-与渐近线交于A ,B 两点那么1y x y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪=⎪⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪=⎪⎪⎩即两个交点坐标为A ⎛,B ⎛设,A B 中点坐标为M 那么由中点坐标公式可得11,1a b M a a bb ⎛⎫ ⎪⎝+⎪⎪+⎭由题意2OMk=-那么M OMM y a k x b === 故答案为:【点睛】此题考察了双曲线的渐近线方程的简单应用,直线交点坐标的求法,斜率公式及中点坐标公式的应用,化简过程较为繁琐,属于中档题.16.观察下面的数表，该表中第6行最后一个数是______；设2021是该表的m 行第n 个数，那么m n +=______.【答案】(1).126(2).507 【解析】 【分析】第n 行的第1个数是2n ，这一行有12n -个数，由此可得第6行最后一个数， 按此规律，由1220162nn +≤<可知所在行数，然后可确定是第几个．【详解】由数表可知，第6行第一个数为6264=，根据每行行数为i ，那么行内数字个数为()1*2i i N -∈个，所以第6行最后一个数是()564212126+-⨯=；由1011220162<<，所以2021在第10行，所以()102122016n +-⨯=，得497n =，所以10497507m n +=+=.故答案为：126；507.【点睛】此题考察归纳推理，考察等比数列的通项公式与等差数列的通项公式，考察了学生的创新意识，归纳推理才能．三、解答题xOy 中，直线l 的参数方程为13x ty t=-⎧⎨=+⎩〔t 为参数〕，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2cos ρϕ=，点P 是曲线1C 上的动点，点Q 在OP 的延长线上，且||3||PQ OP =，点Q 的轨迹为2C ．〔1〕求直线l 及曲线2C 的极坐标方程； 〔2〕假设射线π(0)2θαα=<<与直线l 交于点M ，与曲线2C 交于点N 〔与原点不重合〕，求||||ON OM 的最大值.【答案】〔1〕直线l 的极坐标方程为cos sin 4ρθρθ+=.2C 的极坐标方程为8cos ρθ=〔21【解析】 【分析】〔1〕消参可得直线的普通方程，再利用公式把极坐标方程与直角坐标方程进展转化，从而得到直线的极坐标方程；利用相关点法求得曲线2C 的极坐标方程；〔2〕利用极坐标中极径的意义求得长度，再把所求变形成正弦型函数，进一步求出结果． 【详解】〔1〕消去直线l 参数方程中的t ，得4x y +=，由cos ,sin x y ρθρθ==，得直线l 的极坐标方程为cos sin 4ρθρθ+=，故4cos sin ρθθ=+．由点Q 在OP 的延长线上，且||3||PQ OP =，得||4||OQ OP =，设(),Qρθ，那么,4P ρθ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由点P 是曲线1C 上的动点，可得2cos 4ρθ=，即8cos ρθ=，所以2C 的极坐标方程为8cos ρθ=．〔2〕因为直线l 及曲线2C 的极坐标方程分别为4cos sin ρθθ=+，8cos ρθ=，所以4cos sin OM αα=+，||8cos ON α=，所以()||π2cos cos sin 1cos2sin212||4ON OM αααααα⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，所以当π8α=时，||||ON OM 1． 【点睛】此题考察的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，考察了点的轨迹方程的求法，涉及三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，属于中档题．18.如图，四棱锥S ABCD -的底面是边长为1的菱形，其中60DAB ∠=︒，SD 垂直于底面ABCD ，SB =〔1〕求四棱锥S ABCD -的体积；〔2〕设棱SA 的中点为M ，求异面直线DM 与SB 所成角的大小．【答案】(2)3π．【解析】【分析】〔1〕求出1BD =，AC =SD =S ABCD -的体积．〔2〕取BC 中点E ，以D 为原点，DA 为x 轴，DE 为y 轴，DS 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线DM 与SB 所成角．【详解】解：〔1〕∵四棱锥S ABCD -的底面是边长为1的菱形，其中60DAB ∠=︒，SD 垂直于底面ABCD ，SB =∴1BD =，AC ==SD ===，11122ABCDS AC BD=⨯⨯=⨯=，∴四棱锥S ABCD-的体积113326ABCDV S SD=⨯⨯=⨯=．〔2〕取BC中点E，以D为原点，DA为x轴，DE为y轴，DS为z轴，建立空间直角坐标系，()1,0,0A，(S，1,0,22M⎛⎫⎪⎪⎝⎭，1,22B⎛⎫⎪⎪⎝⎭，1,0,22DM⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，1,22SB⎛=⎝，设异面直线DM与SB所成角为θ，那么31cos23DM SBDM SBθ⋅===⋅，故3πθ=，∴异面直线DM与SB所成角为3π．【点睛】此题考察了异面直线及其所成的角以及棱锥的体积，需熟记椎体的体积公式，异面直线所成的角可采用空间向量法进展求解．3()sin2f x x xωω=+〔其中0>ω〕．〔1〕假设函数()f x的最小正周期为3π,求ω的值，并求函数()f x的单调递增区间；〔2〕假设2ω=，0α<<π，且3()2fα=，求α的值．【答案】〔1〕23ω=，递增区间332k kπ⎡⎤π-ππ+⎢⎥⎣⎦，〔k Z∈〕；〔2〕12πα=或者4π.【解析】【分析】〔1〕利用辅助角公式化简，根据函数f〔x〕的最小正周期为3π，即可求ω的值和单调递增区间；〔2〕将ω＝2，可得f 〔x 〕解析式，0＜α＜π，由()32f α=，利用三角函数公式即可求α的值．【详解】解：〔1〕函数()32f x sin x x ωω=+=〔ωx 6π+〕，∵函数f 〔x 〕的最小正周期为3π，即T ＝3π2πω=∴ω23=那么：()236f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由2222362k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z ， 得：332k x k ππππ-≤≤+∴函数f 〔x 〕的单调递增区间为332k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，，k ∈Z ；〔2〕函数()32f x sin x x ωω=+=〔ωx 6π+〕，∵ω＝2∴f 〔x 〕=〔2x 6π+〕，()32f α=，可得sin 〔2α6π+〕2=∵0＜α＜π， ∴6π≤〔2α6π+〕136π≤2α63ππ+=或者23π 解得：α4π=或者α12π=．【点睛】此题主要考察三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进展化简是解决此题的关键．{}n a 的前n 项和为n S ，满足2*1()2n n a S n N +⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭.数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足*2()n n T b n N =-∈.〔1〕求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；〔2〕求数列2n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和'n S . 【答案】〔1〕21n a n =-,112n n b -⎛⎫ ⎪⎝⎭=；〔2〕23'32nnn S +=-. 【解析】 【分析】〔1〕根据题意，求得12,a a ，然后求得公差，即可求出数列{}n a 的通项，再利用11,1,2n n n T n b T T n -=⎧=⎨-≥⎩求得{}n b 的通项公式；〔2〕先求出2n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项，然后利用数列求和中错位相减求和'n S . 【详解】解：〔1〕由212n n a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭，得211112a S a +⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得11a =.由222122112a S a a a +⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，解得23a =或者21a =-.假设21a =-，那么2d =-，所以33a =-.所以2331312a S +⎛⎫=-≠= ⎪⎝⎭，故21a =-不合题意，舍去. 所以等差数列{}n a 的公差212d a a =-=，故21n a n =-.数列{}n b 对任意正整数n ，满足2n n T b =-.当1n =时，1112b T b ==-，解得11b =；当1n >时，()()11122n n n n n n n b T T b b b b ---=-=---=-，所以()1122nn b b n -=≥.所以{}n b 是以首项11b =，公比12q =的等比数列，故数列{}n b 的通项公式为112n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭.〔2〕由〔1〕知2122n n n a b n -=， 所以2311352321'...22222n n n n n S ---=+++++，①所以2311132321' (22222)n nn n n S +--=++++，② ①-②，得2311122221' (222222)n n n n S +-=++++-1111211222n n n -+-⎛⎫=+--⎪⎝⎭， 所以23'32nnn S +=-. 【点睛】此题主要考察了数列的综合〔包含数列通项的求法，以及求和中错位相减〕，易错点在于是否检验n=1的情况，以及计算的失误，属于中档题.C ：22221x y a b +=()0a b >>的离心率2e =，左、右焦点分别是1F 、2F ，且椭圆上一动点M 到2F 1，过2F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.〔1〕求椭圆C 的HY 方程；〔2〕当1F AB ∆以1F AB ∠为直角时，求直线AB 的方程；〔3〕直线l 的斜率存在且不为0时，试问x 轴上是否存在一点P 使得OPA OPB ∠=∠，假设存在，求出P 点坐标；假设不存在，请说明理由.【答案】〔1〕2212x y +=〔2〕直线AB 的方程为1y x =-+或者1y x =-〔3〕存在，()2,0P【解析】 【分析】〔1〕由椭圆C 的离心率2e=，且椭圆上一动点M 到2F 1，列出方程组，求得,a b 的值，即可得到椭圆的HY 方程；〔2〕设直线AB l ：()1y k x =-，那么1AF l ：()11y x k=-+，联立方程组，求得k 的值，即可求得直线的方程； 〔3〕设AB l ：()1y k x =-，联立方程组，根据根与系数的关系，求得12x x +，12x x ，再由斜率公式和以0APBP k k +=，即可求解点P 的坐标，得到答案.【详解】〔1〕由题意，椭圆C的离心率2e=，且椭圆上一动点M 到2F1，可得22221c e a a c a b c ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得11a cb ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆的HY 方程为2212x y +=.〔2〕由题意可知，当k 不存在时，1F AB ∆不符合题意.设直线AB l ：()1y k x =-，那么1AF l ：()11y x k=-+， ∴()()111y k x y x k ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩，得()2211k x k +=-，∴22212,11k k A k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭ ∴()()()222222218211k k kk-+=++，427610k k --=，∴21k =，直线AB 的方程为1y x =-+或者1y x =-.〔3〕设(),0P m ，()11,A x y ，()22,B x y ，AB l ：()1y k x =-，()22122y k x x y ⎧=-⎨+=⎩∴()2222124220k x k x k +-+-=， ∴2122412k x x k +=+，21222212k x x k-=+，∵11APy k x m =-，22BP y k x m =-，所以()()()()1221120AP BP y x m y x m k k x m x m -+-+==--， ∴()1221120y x y x m y y +-+=，∴()()1212220kx x k mk x x km -+++=，∴24km k =，2m =，∴()2,0P.【点睛】此题主要考察椭圆的HY 方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆〔圆锥曲线〕方程，应用一元二次方程根与系数的关系进展求解，此类问题易错点是复杂式子的变形才能缺乏，导致错解，能较好的考察考生的逻辑思维才能、运算求解才能、分析问题解决问题的才能等.1()ln f x a x x=-，a R ∈． 〔1〕假设曲线()y f x =在点处的切线与直线20x y+=垂直，求a 的值；〔2〕求函数()f x 的单调区间；〔3〕当1a =，且2x ≥时，证明：(1)25f x x -≤-．【答案】〔1〕1〔2〕见解析〔3〕见解析 【解析】【详解】〔1〕函数()f x 的定义域为{}0x x ，21()a f x x x'=+．又曲线()y f x =在点处的切线与直线20x y +=垂直，所以(1)12f a '=+=，即1a =．〔2〕由于21()ax f x x ='+． 当0a ≥时，对于，有()0f x '>在定义域上恒成立，即()f x 在上是增函数．当0a <时，由()0f x '=，得．当时，()0f x '>，()f x 单调递增；、 当时，()0f x '<，()f x 单调递减．(3)当1a =时，1(1)ln(1)1f x x x -=---，．、 令1()ln(1)251g x x x x =---+-． 2211(21)(2)()21(1)(1)x x g x x x x --=+-=----'． 当2x >时，()0g x '<，()g x 在单调递减．又(2)0=g ，所以()g x 在恒为负． 所以当时，()0g x ≤． 即1ln(1)2501x x x ---+≤-． 故当1a =，且2x ≥时，(1)25f x x -≤-成立．。

2021年高三数学下学期开学联考试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}{}2,|340,|22U R A x x x B x x ==-->=-≤≤，集合，则如图所示的阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D.2.若复数满足（是虚数单位），则复数的共轭复数为 （ ） A ． B ． C ． D ．3.等差数列的前项的和为，且与是方程的两根，则（ ） A ．10 B ．15 C. 20 D ．404.某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据如下表所示：3 4 5 634若根据表中数据得出关于的线性回归方程为，则表中的值为（ ） A ． B ． C. D ． 5.已知命题，命题，则成立是成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6.在中，3,3AB AC AB AC AB AC +=-==，则（ ） A ．3 B ．-3 C. D ．7.某程序框图如图所示，该程序运行结束时输出的S 的值为 ( )A. 1007B. 1008C.xxD. 30248.某几何体的三视图如下图所示，则其体积为（）A．207 B． C. D．9.已知函数，若的值域为R,则实数a的取值范围是 ( )A. B. C. D.10.已知，且，则的取值范围是（）A． B． C. D．11.已知点F1、F2是双曲线C：=1(a>0，b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足 |F1F2|=2|OP|，|PF1|≥3|PF2|，则双曲线C的离心率的取值范围为 ( ) A．(1，+∞) B．[，+∞） C．(1, ] D．(1, ]12.已知函数，则关于的方程（为实数)根个数不可能为（）A．2 B．3 C. 4 D．5二、填空题:本大题共4题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上.13.某人午睡醒来，发现手表停了，他打开收音机，想听电台报时（假设电台是整点报时），则他等待时间不多于10分钟的概率为．14.我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个矩形，且当实数t取[0，4]上的任意值时，直线y=t被图1和图2所截得的线段长始终相等，则图1的面积为 .15.已知点，点的坐标满足不等式组，则的取值范围是．16.已知三棱锥的四个顶点均在某球面上，PC为该球的直径，是边长为4的等边三角形，三棱锥的体积为，则该三棱锥的外接球的表面积____________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列是公差为2的等差数列，数列满足，若时，.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，求的前项和.18. 如图，在四棱锥中，底面梯形中，，平面平面是等边三角形，已知AC AB BC AD CD=====，是上任意一点，，且.24,2225（1）求证：平面平面；（2）试确定的值，使三棱锥体积为三棱锥体积的3倍.19.雾霾天气对人体健康有害，应对雾霾污染、改善空气质量是当前的首要任务是控制PM2.5，要从压减燃煤、严格控产、调整产业、强化管理、联防联控、依法治理等方面采取重大举措，聚焦重点领域，严格考核指标.某省环保部门为加强环境执法监管，派遣四个不同的专家组对A,B,C三个城市进行雾霾落实情况抽查.（1）若每个专家组随机选取一个城市，四个专家组选取的城市可以相同，也可以不同，且每个城市都必须由专家组选取，求A城市恰有两有专家组选取的概率；（2）在检查的过程中专家组从A城市的居民中随机抽取出400人进行是否户外作业人员与是否患有呼吸道疾病进行了统计，统计结果如下：根据上述的统计结果，我们是否有超过99%的把握认为“户外作业”与“患有呼吸道疾病”有关？20.已知椭圆E：的左、右焦点分别为，直线与椭圆E的一个交点为，点A是椭圆E上的任意一点，延长交椭圆E于点B，连接.(1)求椭圆E的方程；．(2)求的内切圆的最大周长．21.设函数.（1）证明：；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.考生注意：请考生在第22、23两题中任选一题做答，只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分.作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题目后的方框涂黑.22.在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.（1）若的参数方程中的时，得到点，求的极坐标和曲线直角坐标方程；（2）若点，和曲线交于两点，求.23. 已知函数，且不恒为0.（1）若为奇函数，求值；（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围．xx届高三模拟考试文科数学试卷参考答案一、选择题（每小题5分，共12小题，总分60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B A D A C B B A A C D二、填空题（每小题5分，共4小题，总分20分）13、； 14、8 ； 15、； 16、。

2021年高三下学期开学考试数学（理）试题含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，且有4个子集，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.2．复数等于（）A. B. C. D.03. 函数的单调递减区间是（）A. B.C. D.4．等比数列中，，前3项和为，则公比的值是（）A. 1B.－C. 1或－D. -1或－5. 已知关于的二项式展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则的值为（）A．1 B．C．2 D．6. 若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.7. 执行如图所示的程序框图，若输入的值为8，则输出的值为（）A. 4B. 8C. 10D. 128．若为不等式组表示的平面区域，则当从－2连续变化到1时，动直线扫过中的那部分区域的面积为 ( )A．1 B． C．D．9. 如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，一个内角为的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（）A. B. C. D.10. 已知为正三角形内一点，且满足，若的面积与的面积比值为3，则的值为（）A. B. C. 2 D. 311. 过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点,为原点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.12．定义在上的单调函数，则方程的解所在区间是（ ）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题~24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13. 已知等差数列中，,那么 . 14. 5位同学排队，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能相邻，且女生甲不能排在排头，则排法种数为 . 15. 已知球的直径，是球球面上的三点,， 是正三角形，则三棱锥的体积为 . 16. 给出下列四个结论：（1）如图中，是斜边上的点，. 以为起点任作一条射线交于点，则点落在线段上的概率是；（2）设某大学的女生体重与身高具有线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立的线性回归方程为，则若该大学某女生身高增加，则其体重约增加；（3）若是定义在上的奇函数，且满足,则函数的图像关于对称;（4）已知随机变量服从正态分布则.其中正确结论的序号为三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）“德是”号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心（记为）．当返回舱距地面1万米的点时（假定以后垂直下落，并在点着陆），救援中心测得飞船位于其南偏东方向，仰角为，救援中心测得飞船位于其南偏西方向，仰角为．救援中心测得着陆点位于其正东方向． （1）求两救援中心间的距离；（2）救援中心与着陆点间的距离．A BCD E北 A P东B C D18．(本小题满分12分)我国新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在为优秀，各类人群可正常活动.市环保局对我市xx 年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为，，，，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图.(1) 求的值；(2) 根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；(3) 如果空气质量指数不超过，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测数据中随机抽取天的数值，其中达到“特优等级”的天数为，求的分布列和数学期望.空气质量指数0.0320.020 0.018O 5 15 25 35 4519. （本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面平面，，在锐角中，并且，.（1）点是上的一点，证明：平面平面；（2）若与平面成角，当面平面时，求点到平面的距离．20.（本小题满分12分）已知椭圆的左，右顶点分别为，圆上有一动点,点在轴的上方，，直线交椭圆于点，连接.(1)若,求△的面积;(2)设直线的斜率存在且分别为,若,求的取值范围.21. (本小题满分12分)设函数.（1）若函数在处有极值，求函数的最大值；（2）①是否存在实数，使得关于的不等式在上恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；②证明：不等式考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．做题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，已知点在⊙直径的延长线上，切⊙于点，是的平分线，交于点，交于点．（Ⅰ）求的度数；（Ⅱ）若，求．23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线与曲线交于两点.（1）求的长；（2）在以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点的极坐标为，求点到线段中点的距离．24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知实数满足，且.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）证明：.哈尔滨市第六中学xx 届高三第三次模拟考试数学试卷（理工类）答案一．选择题1.B2.D3.B4.C5.C6.B7.B8.D9.D 10.A 11.A 12.C 二．填空题13. 14. 15.40 16.②③④ 三．解答题17. 解：（1）由题意知，则均为直角三角形………………1分在中，，解得…………………………2分 在中，，解得…………………………3分 又，万米. …………………………5分 （2），，…………………………7分 又，所以.…………………………9分在中，由正弦定理，…………………………10分 万米…………………………12分18.(1) 解：由题意，得， ……………1分解得. ……………2分 （2）解：个样本中空气质量指数的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯= ……………3分由样本估计总体，可估计这一年度空气质量指数的平均值约为. …………4分（3）解：利用样本估计总体，该年度空气质量指数在内为“特优等级”，且指数达到“特优等级”的概率为，则. ………5分的取值为， ………6分 ，，，. ……………10分 ∴的分布列为：……11分∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ………12分 （或者）19.解法一（1）因为，，由勾股定理得，因为平面平面，平面平面 =，面，所以平面面，所以平面平面 ………6分12M（2）如图，因为平面，所以平面平面，所以，做于，所以面，，设面面=，面平面所以面面，所以，取中点，得为平行四边形，由平面边长得为中点，所以………12分解法二（1）同一（2）在平面过做垂线为轴，由（1），以为原点，为轴建立空间直角坐标系,设平面法向量为，设，锐角所以，由，解得，，，解得或（舍）设，解得因为面平面，，所以面法向量为，所以，解得，所以到平面的距离为竖坐标．………12分20.（1）依题意，.设，则.由得, ,, 解得, . …………5分(2)设, 动点在圆上, .又, , 即====.又由题意可知,且,则问题可转化为求函数的值域.由导数可知函数在其定义域内为减函数, 函数的值域为从而的取值范围为……12分21.（1）由已知得：，且函数在处有极值∴，即∴∴当时，，单调递增；当时，，单调递减；∴函数的最大值为（2）①由已知得：(i)若，则时，∴在上为减函数，∴在上恒成立；(ii)若，则时，∴在上为增函数，∴，不能使在上恒成立；(iii)若，则时，，xyz当时，，∴在上为增函数， 此时， ∴不能使在上恒成立； 综上所述，的取值范围是 …………8分 ②由以上得：取得： 令， 则，()1222111ln 101111n n n n x x n n n n n n-⎛⎫-=-+<-=-< ⎪+-++⎝⎭. 因此. 又()1211ln ln ln 1ln1ln 1nn k k n k k k -==⎛⎫=--+=+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭∑∑ 故1122211111ln 1ln 1111nn n n k k k k k n x k k k k n --===⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-++ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑ ()()11122111111111111n n n k k k kk k k kn k k ---===⎛⎫>-=-≥=-+>- ⎪+++⎝⎭∑∑∑ ……12分22．（1）因为为⊙的切线，所以…………1分因为是的平分线，所以…………2分 所以，即，…………3分又因为为⊙的直径，所以…………4分. 所以.…………5分（2）因为，所以，所以∽，所以，………7分在中，又因为，所以，………8分 中，………10分23.解:（1）直线的参数方程化为标准型（为参数） …… 2分代入曲线方程得设对应的参数分别为，则，，所以 …… 5分 （2）由极坐标与直角坐标互化公式得直角坐标， …… 6分 所以点在直线， 中点对应参数为， 由参数几何意义，所以点到线段中点的距离 ……10分 24.(1) ，相乘得证——————5分 （2），， 相加得证——————10分40095 9C9F 鲟Zx5P34375 8647 虇x29910 74D6 瓖22319 572F 圯•B35268 89C4 规34290 85F2 藲24190 5E7E 幾精品文档实用文档。

2021年高三下学期开学考试数学理试题含答案一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）各题答案必须答在答题卡上．1．设（是虚数单位），则 ( )A． B． C． D．2.设集合，那么是的（）.A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．设向量，若表示向量，，的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量为( ). A．B．C．D．4.等差数列中，若公差，且成等比数列，则公比等于（）.A．B．C．D．5.的图象上相邻两条对称轴间的距离是，则的一个值是（）.A．B．C．D．６.已知双曲线的一条准线经过抛物线的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（）. A．B．C．D．７.函数是定义在上的增函数，且，则函数值，的大小关系为（）.A．B．C．D．8.设动点坐标满足则的最小值为（）.A．B．C．D．9.已知，则的最小值为（）.A．B．C．D．10.定义域为R的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二．填空题（本小题共5个小题，每个小题5分，共25分）11.若直线与直线垂直，则实数的值等于__________.12.在数列中，前项和，则_________.13.已知是上的增函数，是其图像上的两个点，那么的解集是______________.14.若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为_________.15.若为的各位数字之和，如则，记，，……，则__________三．解答题（本题共6个小题，共75分）16.（本小题满分13分）在中,角、、的对边分别为、、.已知（1）求的值（2）求的值17. （本题满分13分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.（Ⅰ）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过．．．2.5分钟的概率.（注：将频率视为概率）18. （本题满分13分）已知，a、b为实数）有极值，且处的切线与直线平行．（1）求实数a的取值范围；（2）若在上是单增函数，求实数a的取值范围；19. （本题满分12分）数列中，前项和，，，…．（1）证明数列是等差数列；（2）求关于的表达式；（3）设，求数列的前项和．20. （本题满分12分）二次函数满足，且最小值是．（1）求的解析式；（2）设常数，求直线：与的图像以及轴所围成封闭图形的面积是；（3）已知，，求证：．21. (本小题满分12分)如图，椭圆C ：(a ＞b ＞0)的离心率为，其左焦点到点P (2，1)的距离为．不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 求ABP 的面积取最大时直线l 的方程．重庆铁路中学高xx 级高三（下）开学考试理科数学参考答案1. D 解析：2.B3.D ()()4320,234,6a b a c c a b +-+==--=-4.C 所以5.C ()21sin cos sin sin 23f x x x x x πωωω⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭ 所以6.A ，所以渐近线7.D 所以所以所以8.D 9.D ()()()()()()()()222222111111111111a a b b a b b a a b a b a b a b ab +-+-++++⎛⎫⎛⎫-=== ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭ 而 所以 所以当且仅当时，等号成立。

HY中学2021届高三数学下学期开学考试试题文〔扫描版〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日HY 中学2021届高考适应性月考卷〔五〕文科数学参考答案第一卷〔选择题，一共60分〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分〕【解析】1．由{}135A =，，，{}2345B =，，，，{}35A B =，，{}()1246UAB =，，，，应选A ．2．由3i (3i)(1i)12i 1i (1i)(1i)z ---===-++-，z 的虚部为2-，应选D ．3．由||||a b a b +=-，可知由a ，b 围成矩形，2222||||||23a b a b -=+=+C ．4．由正弦定理可知，2sin 2sin cos 3sin sin B A A A B ⨯=，可得3cos 4A =，故tan A =，应选C ．5．设合格品为a ，b ；次品为A ，B ，C ，从这5件产品中任取2件，所有情况为(a ，b )，(a ，A )，(a ，B )，(a ，C )，(b ，A )，(b ，B )，(b ，C )，(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )10种情况，恰有一件次品有6种符合要求，故60.610P ==，应选B ． 6．按照循环，可得0s =，2t =，0x =，2y =，1k =；2s =-，2t =，2x =-，2y =，2k =；4s =-，0t =，4x =-，0y =，3k =．那么输出(40)-，，应选B ．7．由三视图可知，几何体为三棱锥，2R =R =144π14π4S =⨯=，应选D ．8．对函数求导，可得22222()(1)(1)(2)()(1)(1)ax x ax x a x x f x x x ''+-++'==++，当1x =时，31(1)44a f '==-，故13a =-，应选A ． 9．设甲产品为x 桶，乙产品为y 桶，公司获利为z ，那么有212212x y x y x y *⎧+⎪+⎨⎪∈⎩N ≤，≤，，，300400z x y =+，当()(44)x y =，，时，max 300440042800z =⨯+⨯=，应选C ．10．由题意可知，椭圆内存在以2MF =为半径，(30)F ，为圆心的圆，MP 为圆的切线，当P为椭圆的左顶点时max ||MP ==A ． 11．由三棱锥可得，异面直线PC 与AB 的夹角为60︒，应选C ．12．当0x >时，0x -<，有22()()()f x x x x x -=--+-=--，有()()f x f x -=，可得2()f x x x =--，不等式化为22log a x x ≤，当2x =时，22log 22a ⎝⎭≤，得14a ≥，再由图象可知，01a <<，故114a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，，应选B ．第二卷〔非选择题，一共90分〕二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕【解析】13．由圆的方程可知，22(1)4x y++=，可得圆心为(10)-，，2r =；抛物线的准线方程为2px =-，由弦长等于 为1d ==，得4p =或者0p = (舍)．14．当x =31111log 6623f =-=-=-，15π1(sin 362f f f ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 15．由(1)y f x =+关于直线1x =-对称可知，()y f x =图象关于y 轴对称，22log (3)log 3a =-=；221log log 44b ==；2log 2c =；故b a c >>． 16．由111113x y +=++，可得3(1)3(1)(1)(1)y x x y +++=++，整理得2()5xy x y =++ 45xy ≥，(5)(1)0xy xy ≥，得25xy ≥，故最小值是25．三、解答题〔一共70分．解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤〕 17．〔本小题满分是12分〕解：〔Ⅰ〕由2324(1)a a a =+，得2(22)2)(33)d d d +=++（， 化简得2d =或者1d =-(舍)，故2n a n =． …………………………………………………………………………〔6分〕 〔Ⅱ〕由2111(22)(1)1n b n n n n n n ===-+++， 得11111112231n S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭…1111nn n =-=++． ………………………………………………………………〔12分〕 18．〔本小题满分是12分〕〔Ⅰ〕证明：由得243AM AD ==， 如图，取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN BC ∥，142TN BC ==，即TN AM =，又AD BC ∥，即TN AM ∥， 故四边形AMNT 为平行四边形， 于是MN AT ∥，…………………………………………………………………〔3分〕因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ， 所以MN ∥平面PAB ．…………………………………………………………〔6分〕〔Ⅱ〕解：因为PA ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的间隔 为12PA ， ……………………………………………〔8分〕取BC 的中点E ，连接AE ，由6AB AC ==得：AE BC AE ⊥=，由AM BC ∥得M 到BC 的间隔 为故182BCM S =⨯⨯=△所以四面体N BCM -的体积143N BCM V -=⨯．…………………〔12分〕19．〔本小题满分是12分〕解：〔Ⅰ〕由(0.0020.00950.0110.01250.0050.0025)201x ++++++⨯=， 得0.0075x =，所以直方图中x 的值是0.0075． ………………………………〔4分〕〔Ⅱ〕月平均用电量的众数是2202402302+=， 因为(0.0020.00950.011)200.450.5++⨯=<， 所以月平均用电量的中位数在[220240)，内，设中位数为a ，由(0.0020.00950.011)200.0125(220)0.5a ++⨯+⨯-=，得224a =，所以月平均用电量的中位数是224． ………………………………〔8分〕 〔Ⅲ〕月平均用电量为[220240)，的用户有0.01252010025⨯⨯=户， 月平均用电量为[240260)，的用户有0.00752010015⨯⨯=户， 月平均用电量为[260280)，的用户有0.0052010010⨯⨯=户， 月平均用电量为[280300]，的用户有0.0025201005⨯⨯=户， 抽取比例11125151055==+++，所以月平均用电量在[220240)，的用户中应抽取12555⨯=户． ………………〔12分〕20．〔本小题满分是12分〕〔Ⅰ〕解：由题知点P ，F 的坐标分别为(13)-，，(10)，，于是直线PF 的斜率为32-，所以直线PF 的方程为30(1)2y x -=--，即为3230x y +-=．…………………………………………………………〔4分〕〔Ⅱ〕解：设A ，B 两点的坐标分别为〔x 1，y 1〕，〔x 2，y 2〕， 由243(1)2y x y x ⎧=⎪⎨=--⎪⎩，，得293490x x -+=， 所以12349x x +=，121x x =． 于是1252||29AB x x =++=． 点D 到直线3230x y +-=的间隔d所以1||2S AB d =⨯= ……………………………………………………〔8分〕〔Ⅲ〕证明：由〔Ⅱ〕及AF FB λ=，AP PB μ=， 得1122(1)(1)x y x y λ--=-，，， 1122(13)(13)x y x y μ---=+-，，，于是1211x x λ-=-，1221(1)1x x x μ--=≠±+． 所以111222221122011(1)(1)x x x x x x x x λμ----+=+==-+-+， 所以λμ+为定值0． …………………………………………………………〔12分〕21．〔本小题满分是12分〕〔Ⅰ〕解：定义域为(0)x ∈+∞，，211()10x x f x x x x -++'=-+=<，得x >故减区间为x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭． ……………………………………………………〔4分〕〔Ⅱ〕证明：由()1f x x <-，可构造函数21()ln 22x g x x =-+，211()x g x x x x -'=-=，当2x >时，()0g x '<，可得函数在(2)x ∈+∞，为减函数， 当2x =时，max 1()ln 2202g x =-+<， 故()0g x <，即不等式成立．…………………………………………………〔8分〕〔Ⅲ〕解：当1k >时，对于1x >， 有()1(1)f x x k x <-<-，那么()(1)f x k x <-，从而不存在01x >满足题意． 当1k <时，令()()(1)G x f x k x =--，(0)x ∈+∞，，那么有21(1)1()1x k x G x x k x x -+-+'=-+-=．由()0G x '=得，2(1)10x k x -+-+=．解得10x =<，21x =>．当2(1)x x ∈，时，()0G x '>， 故()G x 在2[1)x ，内单调递增． 从而当2(1)x x ∈，时，()(1)0G x G >=， 即()(1)f x k x >-，综上，k 的取值范围是(1)-∞，．………………………………………………〔12分〕22．〔本小题满分是10分〕【选修4−4：坐标系与参数方程】解：〔Ⅰ〕C ：22143x y +=，轨迹为椭圆，其焦点为1(10)F -，，2(10)F ，，2AF k =∴∴直线2AF 的方程为：1)y x =-，∴直线2AF 的极坐标方程为：sin ρθθ+= …………………………〔5分〕〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知2AF k =，2l AF ⊥∵，l ∴，倾斜角为π6， l ∴的参数方程为112x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，〔t 为参数〕， 上式代入椭圆C 的方程式中得：213360t --=，12t t +=∴，123613t t =-，1112||||||||MF NF t t -=+=∴． ……………………………………………〔10分〕23．〔本小题满分是10分〕【选修4−5：不等式选讲】解：〔Ⅰ〕当2x ≥时，()6f x x +≤可化为：236x x x -+++≤，解得5x ≤，25x ∴≤≤，当32x -<<时，()6f x x +≤可化为：236x x x -+++≤，解得1x -≥，12x -<∴≤，当3x -≤时，()6f x x +≤可化为：236x x x ---+≤， 解得73x -≥， ∴无解，综上所述，()6f x x +≤的解集为[15]-，．…………………………………〔5分〕〔Ⅱ〕()|2||3|f x x x =-++的最小值为5，24f x x x a -++∵()≥在R 上恒成立， 245x x a -++∴≤在R 上恒成立，1a ∴≤． ………………………………………………………………………〔10分〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日。

开始m =1, i =1 m =m i = i +1m =0?结束输出i是 否2021年高三下学期开学考试数学（理）试题 Word 版含答案（一）、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数( )A. B. C. D. 答案：D2．已知集合，，则A ．B ．C ．D ．答案：A3．执行如图所示的程序框图，则输出的值为 A ． B ． C ． D ． 答案：B4． “”是“函数在上单调递增”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A5．给出下列函数：① ； ② ； ③； ④. 其中图象关于轴对称的是A. ①②B. ②③C. ①③D. ②④ 答案：B6. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ． 答案： A7. 设斜率为2的直线过抛物线的焦点,且与轴交于点,若（为坐标原点）的面积为4,则抛物线方程为A. B. C. D.8. 某地实行阶梯电价，以日历年(每年1月1日至12月31日)为周期执行居民阶梯电价，即：一户居民用户全年不超过2880度（1度=千瓦时）的电量，执行第一档电价标准，每度电0.4883元；全年超过2880度至4800度之间的电量，执行第二档电价标准，每度电0.5383元；全年超过4800度以上的电量，执行第三档电价标准，每度电0.7883元.下面是关于阶梯电价的图形表示，其中正确的有① ②0.7883元/0.5383元/0.4883元/线段PQ 左侧阴影部分的面积表示年用电量为x 度时的电费③参考数据：0.4883元/度2880度=1406.30元，0.5383元/度(4800-2880)度+1406.30元=2439.84元.(A) ①②(B) ②③(C) ①③(D)①②③答案：B(二)、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题纸上. 9．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题: “今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？答曰：二千一百一十二尺.术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一” .这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一.”就是说：圆堡瑽(圆柱体)的体积为：V＝×(底面的圆周长的平方×高)．则圆周率的取值为 .答案：310．口袋中有三个大小相同、颜色不同的小球各一个，每次从中取一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取了5次停止种数为。

2021年高三下学期开学数学试卷（文科）含解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．i为虚数单位，复数=（）A．i﹣2 B．2﹣i C．D．2．设则a，b，c的大小关系是（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b3．若x，y满足则下列不等式恒成立的是（）A．y≥1 B．x≥2 C．x+2y+2≥0 D．2x﹣y+1≥04．已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）在（，π）上单调递减，则ω的取值范围是（）A．[，] B．[，] C．（0，] D．（0，2]5．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=2px（p＞0）有相同的焦点，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．6．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则（）A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形7．下列四个命题①已知命题P：∀x∈R，x2+x＜0，则¬P：∃x∈R，x2+x＜0；②的零点所在的区间是（1，2）；③若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为；④设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊂α，b⊥β，α∥β是a⊥b的充分条件；其中真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．38．定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x）﹣2，当x∈（0，2]时，f（x）=，若x ∈（0，4]时，t2﹣≤f（x）≤3﹣t恒成立，则实数t的取值范围是（）A．[2，+∞）B． C． D．[1，2]二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．将高一9班参加社会实践编号分别为：1，2，3，…48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号，29号，41号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是．10．阅读如图的程序的框图，则输出S=．11．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥中最长棱的棱长为．12．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未出租的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元，要使租赁公司的月收益最大，则每辆车的月租金应定为元．13．已知抛物线C：y2=4x，O为坐标原点，F为C的焦点，P是C上一点．若△OPF是等腰三角形，则|PO|=．14．已知平行四边形ABCD中，∠A=45°，，AB=2，F为BC边上一点，且=2，若AF与BD交于点E，则=．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）15．等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1+a7=﹣9，S9=﹣．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＞﹣．16．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2=b2+c2﹣bc．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=，求b+c的取值范围．17．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA1，E、F分别是棱BC、CC1的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥平面AA1 C1C；（Ⅱ）若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；（Ⅲ）证明：EF⊥A1C．18．如图所示为某地区xx年1月到xx年1月鲜蔬价格指数的变化情况：记△x=本月价格指数﹣上月价格指数．规定：△x＞0时，称本月价格指数环比增长；△x ＜0时，称本月价格指数环比下降；当△x=0时，称本月价格指数环比持平．（Ⅰ）比较xx年上半年与下半年鲜蔬价格指数月平均值的大小（不要求计算过程）；（Ⅱ）直接写出从xx年2月到xx年1月的12个月中价格指数环比下降的月份．若从这12个月中随机选择连续的两个月进行观察，求所选两个月的价格指数都环比下降的概率；（Ⅲ）由图判断从哪个月开始连续三个月的价格指数方差最大．（结论不要求证明）19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）上顶点为A，右顶点为B，离心率e=，O为坐标原点，圆O：x2+y2=与直线AB相切．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l：y=k（x﹣2）（k≠0）与椭圆C相交于E、F两不同点，若椭圆C上一点P 满足OP∥l．求△EPF面积的最大值及此时的k2．20．已知函数f（x）=﹣lnx（a≠0）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a=l时，求f（x）在区间[，2]上的最大值和最小值（0.69＜ln 2＜0.70）；（3）求证ln≤．xx学年北京八十中高三（下）开学数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．i为虚数单位，复数=（）A．i﹣2 B．2﹣i C． D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：复数===，故选：C．2．设则a，b，c的大小关系是（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b【考点】对数值大小的比较．【分析】根据对数函数和指数函数的单调性，比较它们与0和1的大小关系，从而得到答案．【解答】解：∵0=log41＜a=log43＜log44=1，b=log0•43＜log0•41=0，0＜c=，∴a＞c＞b．故选：D．3．若x，y满足则下列不等式恒成立的是（）A．y≥1 B．x≥2 C．x+2y+2≥0 D．2x﹣y+1≥0【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，然后逐一分析四个选项得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，平面区域内的点不满足不等式y≥1，x≥2，x+2y+2≥0成立，只有选项D中的不等式2x﹣y+1≥0对平面区域内的点都成立．故选：D．4．已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）在（，π）上单调递减，则ω的取值范围是（）A．[，] B．[，] C．（0，]D．（0，2]【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】求出f（x）的单调减区间A，令（，π）⊆A，解出ω的范围．【解答】解：f（x）=sin（ωx+），令≤≤，解得≤x≤，k∈Z．∵函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）在（，π）上单调递减，∴，解得≤ω≤+2k，k∈Z．∴当k=0时，≤ω≤．故选A．5．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=2px（p＞0）有相同的焦点，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，点在抛物线的准线上，结合抛物线的性质，可得p=10，进而可得抛物线的焦点坐标，可得c的值由点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得b的值，由双曲线的性质，可得a，b，进而可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，即点在抛物线的准线上，则p=10，则抛物线的焦点为（5，0）；因为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=2px（p＞0）有相同的焦点，所以c=5，因为点在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y=±x，所以a=4，b=3所以e==故选B．6．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则（）A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形【考点】诱导公式的作用．【分析】首先根据正弦、余弦在（0，π）内的符号特征，确定△A1B1C1是锐角三角形；然后假设△A2B2C2是锐角三角形，则由cosα=sin（）推导出矛盾；再假设△A2B2C2是直角三角形，易于推出矛盾；最后得出△A2B2C2是钝角三角形的结论．【解答】解：因为△A2B2C2的三个内角的正弦值均大于0，所以△A1B1C1的三个内角的余弦值也均大于0，则△A1B1C1是锐角三角形．若△A2B2C2是锐角三角形，由，得，那么，，这与三角形内角和是π相矛盾；若△A2B2C2是直角三角形，不妨设A2=，则sinA2=1=cosA1，所以A1在（0，π）范围内无值．所以△A2B2C2是钝角三角形．故选D．7．下列四个命题①已知命题P：∀x∈R，x2+x＜0，则¬P：∃x∈R，x2+x＜0；②的零点所在的区间是（1，2）；③若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为；④设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊂α，b⊥β，α∥β是a⊥b的充分条件；其中真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①利用命题的否定定义即可判断出正误；②分别画出y=x2与y=的图象，可知：函数的零点有两个，再利用函数零点存在定理即可判断出；③利用基本不等式的性质即可判断出正误；④利用面面平行的性质、线面垂直的性质定理即可判断出正误．【解答】解：①由命题P：∀x∈R，x2+x＜0，则¬P：∃x∈R，x2+x≥0，因此不正确；②，分别画出y=x2与y=的图象，可知：函数的零点有两个：一个零点在区间（0，1），另一个零点﹣2，因此不正确；③若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2≥=，当且仅当x=y时取等号，其最小值为，正确；④∵a⊂α，b⊥β，α∥β，利用面面平行的性质、线面垂直的性质定理可得：a⊥b，反之不成立，因此a⊂α，b⊥β，α∥β是a⊥b的充分条件，正确．其中真命题的个数为2．故选：C．8．定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x）﹣2，当x∈（0，2]时，f（x）=，若x ∈（0，4]时，t2﹣≤f（x）≤3﹣t恒成立，则实数t的取值范围是（）A．[2，+∞）B． C． D．[1，2]【考点】分段函数的应用．【分析】由f（x+2）=2f（x）﹣2，求出x∈（2，3），以及x∈[3，4]的函数的解析式，分别求出（0，4]内的四段的最小值和最大值，注意运用二次函数的最值和函数的单调性，再由t2﹣≤f（x）≤3﹣t恒成立即为由t2﹣≤f（x）min，f（x）max≤3﹣t，解不等式即可得到所求范围【解答】解：当x∈（2，3），则x﹣2∈（0，1），则f（x）=2f（x﹣2）﹣2=2（x﹣2）2﹣2（x﹣2）﹣2，即为f（x）=2x2﹣10x+10，当x∈[3，4]，则x﹣2∈[1，2]，则f（x）=2f（x﹣2）﹣2=﹣2．当x∈（0，1）时，当x=时，f（x）取得最小值，且为﹣；当x∈[1，2]时，当x=2时，f（x）取得最小值，且为；当x∈（2，3）时，当x=时，f（x）取得最小值，且为﹣；当x∈[3，4]时，当x=4时，f（x）取得最小值，且为﹣1．综上可得，f（x）在（0，4]的最小值为﹣．若x∈（0，4]时，t2﹣≤f（x）恒成立，则有t2﹣≤﹣．解得1≤t≤．当x∈（0，2）时，f（x）的最大值为1，当x∈（2，3）时，f（x）∈[﹣，﹣2），当x∈[3，4]时，f（x）∈[﹣1，0]，即有在（0，4]上f（x）的最大值为1．由f（x）max≤3﹣t，即为3﹣t≥1，解得t≤2，即有实数t的取值范围是[1，2]．故选D．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．将高一9班参加社会实践编号分别为：1，2，3，…48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号，29号，41号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是17．【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的定义，求出样本间隔即可．【解答】解：样本间距为48÷4=12，则另外一个编号为5+12=17，故答案为：17．10．阅读如图的程序的框图，则输出S=50．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=11时，不满足条件i≤9，退出循环，输出S的值为50．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=0，i=1S=2，i=3满足条件i≤9，S=8，i=5满足条件i≤9，S=18，i=7满足条件i≤9，S=32，i=9满足条件i≤9，S=50，i=11不满足条件i≤9，退出循环，输出S的值为50．故答案为50．11．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥中最长棱的棱长为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由四棱锥的三视图得到该四棱锥是如右图所示的四棱锥P﹣ABCD，其中，PC⊥底面ABCD，ABCD是边长为2的正方形，PC=2，由此能求出该四棱锥中最长棱的棱长．【解答】解：由四棱锥的三视图得到该四棱锥是如右图所示的四棱锥P﹣ABCD，其中，PC⊥底面ABCD，ABCD是边长为2的正方形，PC=2，∴该四棱锥中最长棱的棱为AP，∵AC==2，∴AP==2．故答案为：2．12．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未出租的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元，要使租赁公司的月收益最大，则每辆车的月租金应定为304200元．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】设每辆车的月租金定为X元，则租赁公司的月收益：Y=（X﹣200）×[100﹣（X ﹣3000）]，由此能求出结果．【解答】解：设每辆车的月租金定为X元，则租赁公司的月收益：Y=（X﹣200）×[100﹣（X﹣3000）]=（X﹣200）*=﹣（X2﹣8200X+1600000）=﹣（X2﹣8200X+16810000）+×15210000=﹣（X﹣4100）2+304200当每辆车的月租金定为4100元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是304200元．故答案为：304200．13．已知抛物线C：y2=4x，O为坐标原点，F为C的焦点，P是C上一点．若△OPF是等腰三角形，则|PO|=或1．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先求出抛物线的焦点坐标，然后根据△OPF是等腰三角形，则OP=OF或OP=PF，然后分别进行求解即可．【解答】解：∵抛物线C：y2=4x，∴抛物线的焦点坐标为（1，0），∵△OPF是等腰三角形，∴OP=OF或OP=PF或OF=PF（舍去因抛物线上点不可能满足），当OP=OF时，|PO|=|OF|=1，当OP=PF时，点P在OF的垂直平分线上，则点P的横坐标为，点P在抛物线上，则纵坐标为±，∴|PO|==，综上所述：|PO|=或1．故答案为：或1．14．已知平行四边形ABCD中，∠A=45°，，AB=2，F为BC边上一点，且=2，若AF与BD交于点E，则=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，建立直角坐标系，根据相似比可得各点的坐标，再计算即可．【解答】解：根据题意，以A为原点，AB为x轴，建立直角坐标系如图，显然△EBF∽△EDO，由题意可知O（0，0），B（2，0），C（3，1），D（1，1），∵=2，及相似比的性质∴F（，），，∴E（，），从而==，故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）15．等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1+a7=﹣9，S9=﹣．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＞﹣．【考点】数列的求和；等差数列的性质．【分析】（I）设数列{a n}的公差为d，由于a1+a7=﹣9，S9=﹣，利用等差数列的通项公式及前n项和公式可得，解出即可；（Ⅱ）利用等差数列的前n项和公式可得S n=，于是b n=﹣=﹣，利用“裂项求和”及“放缩法”即可证明．【解答】（Ⅰ）解：设数列{a n}的公差为d，∵a1+a7=﹣9，S9=﹣，∴，解得，∴=﹣．（Ⅱ）证明：∵S n==，∴b n==﹣=﹣，∴数列{b n}的前n项和为T n=﹣+…+==．∴T n＞﹣．16．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2=b2+c2﹣bc．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=，求b+c的取值范围．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用余弦定理和已知等式求得cosA的值，进而求得A．（Ⅱ）利用两边之和大于第三边，求得b+c的一个范围，进而利用a2=3=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc利用基本不等式求得b+c的最大值，综合可得答案．【解答】解：（I）由已知得：bc=b2+c2﹣a2，故cosA==．∴A=．（II）解：一方面b+c＞a=，另一方面：a2=3=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc≥（b+c）2﹣（b+c）2=（b+c）2，∴（b+c）2≤12，b+c≤2，当且仅当b=c=时取到等号．综上：＜b+c≤2．17．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA1，E、F分别是棱BC、CC1的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥平面AA1 C1C；（Ⅱ）若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；（Ⅲ）证明：EF⊥A1C．【考点】直线与平面垂直的判定．【分析】（I）由线面垂直得A1A⊥AB，再由AB⊥AC，能证明AB⊥面A1CC1．（II）由AB∥DE，在△ABC中，E是棱BC的中点，推导出D是线段AC的中点．（III）由已知条件推导出A1C⊥AC1，AB⊥A1C，从而得到A1C⊥面ABC1，由此能证明EF⊥AC1．【解答】（I）证明：∵AA1⊥底面ABC，∴A1A⊥AB，∵AB⊥AC，A1A∩AC=A，∴AB⊥面A1CC1．（II）解：∵面DEF∥面ABC1，面ABC∩面DEF=DE，面ABC∩面ABC1=AB，∴AB∥DE，∵在△ABC中，E是棱BC的中点，∴D是线段AC的中点．（III）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A=AC，∴侧面A1ACC1是菱形，∴A1C⊥AC1，由（Ⅰ）得AB⊥A1C，∵AB∩AC1=A，∴A1C⊥面ABC1，∴A1C⊥BC1．又∵E，F分别为棱BC，CC1的中点，∴EF∥BC1，∴EF⊥AC1．18．如图所示为某地区xx年1月到xx年1月鲜蔬价格指数的变化情况：记△x=本月价格指数﹣上月价格指数．规定：△x＞0时，称本月价格指数环比增长；△x ＜0时，称本月价格指数环比下降；当△x=0时，称本月价格指数环比持平．（Ⅰ）比较xx年上半年与下半年鲜蔬价格指数月平均值的大小（不要求计算过程）；（Ⅱ）直接写出从xx年2月到xx年1月的12个月中价格指数环比下降的月份．若从这12个月中随机选择连续的两个月进行观察，求所选两个月的价格指数都环比下降的概率；（Ⅲ）由图判断从哪个月开始连续三个月的价格指数方差最大．（结论不要求证明）【考点】频率分布直方图．【分析】由xx年1月到xx年1月鲜蔬价格指数的变化情况表得出上半年的鲜疏价格的月平均值大于下半年的鲜疏价格的月平均值．（II）由xx年1月到xx年1月鲜蔬价格指数的变化情况表得出价格指数环比下降的月份；通过列举得出任取连续两个月和所选两个月的价格指数都环比下降的取法，利用古典概型的概率公式求出．（III）由xx年1月到xx年1月鲜蔬价格指数的变化情况表得出价格指数方差最大的月份【解答】解：（Ⅰ）上半年的鲜疏价格的月平均值大于下半年的鲜疏价格的月平均值．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）从xx年2月到xx年1月的12个月中价格指数环比下降的月份有4月、5月、6月、9月、10月．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣设“所选两个月的价格指数均环比下降”为事件A，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣在这12个月份中任取连续两个月共有11种不同的取法，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣其中事件A有（4月，5月），（5月，6月），（9月，10月），共3种情况．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴P（A）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）从xx年11月开始，xx年11月，12月，xx年1月这连续3个月的价格指数方差最大．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）上顶点为A，右顶点为B，离心率e=，O为坐标原点，圆O：x2+y2=与直线AB相切．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l：y=k（x﹣2）（k≠0）与椭圆C相交于E、F两不同点，若椭圆C上一点P 满足OP∥l．求△EPF面积的最大值及此时的k2．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）设出直线AB的方程为：，利用圆O与直线AB相切，列出关系式，设椭圆的半焦距为c，通过b2+c2=a2，利用离心率，求出a，b，得到椭圆C的标准方程．（Ⅱ）了直线与椭圆方程，设E（x1，y1），F（x2，y2），利用韦达定理，以及弦长公式，点到直线的距离，求出=分离常数，利用二次函数的最值，求解△EPF的面积的最大值，以及k的中．【解答】解：（Ⅰ）由题意，直线AB的方程为：，即为bx+ay﹣ab=0因为圆O与直线AB相切，所以，…①…设椭圆的半焦距为c，因为b2+c2=a2，，所以…②…由①②得：a2=2，b2=1所以椭圆C的标准方程为：…（Ⅱ）由可得：（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0设E（x1，y1），F（x2，y2）则，…所以又点O到直线EF的距离，∵OP∥l，∴=…又因为，又k≠0，∴令t=1+2k2∈（1，2），则，所以当时，最大值为所以当时，△EPF的面积的最大值为…20．已知函数f（x）=﹣lnx（a≠0）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a=l时，求f（x）在区间[，2]上的最大值和最小值（0.69＜ln 2＜0.70）；（3）求证ln≤．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出f（x）的定义域和导数，并化简，讨论a＜0，a＞0，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；（2）求得f（x）在[，2]上的单调区间，可得最大值，再求端点处的函数值，可得最小值；（3）由（2）的最大值，可得f（x）=1﹣﹣lnx≤0，运用不等式的性质，结合对数的运算性质，即可得证．【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），∵f（x）=﹣lnx，∴f′（x）===﹣，若a＜0，又x＞0，∴x﹣＞0，则f′（x）＜0，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减；若a＞0，当x∈（0，）时，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（0，）上单调递增；当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）在区间（，+∞）上单调递减．综上，若a＜0，函数f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；若a＞0，函数f（x）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞）．（2）a=1时，f（x）=﹣lnx=1﹣﹣lnx，由（1）可知，f（x）=1﹣﹣lnx在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，故在区间[，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减，∴函数f（x）在区间[，2]上的最大值为f（1）=1﹣﹣ln1=0；而f（）=1﹣2﹣ln=﹣1+ln2，f（2）=1﹣﹣ln2=﹣ln2，f（2）﹣f（）=﹣ln2﹣（﹣1+ln2）=﹣2ln2＞1.5﹣2×0.7=0.1＞0，所以f（2）＞f（），故函数f（x）在区间[，2]上的最小值为f（）=﹣1+ln2．证明：（3）由（2）可知，函数f（x）=1﹣﹣lnx在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，故函数f（x）在区间（0，+∞）上的最大值为f（1）=0，即f（x）≤0．故有1﹣﹣lnx≤0恒成立，所以1﹣lnx≤，故2﹣lnx≤1+，即为lne2﹣lnx≤，即ln≤．xx年10月29日39874 9BC2 鯂I22183 56A7 嚧34432 8680 蚀Uwx29689 73F9 珹22630 5866 塦38450 9632 防31922 7CB2 粲27372 6AEC 櫬26926 692E 椮。