高三下学期入学考试数学(理)试卷

理科数学试题（满分：150分 ，考试时间 ：120分钟）第一部分（选择题 共60分）一、选择题(共12个小题,每小题5分,计60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知全集U=R ，{}ln(1x)M x y ==- ，{}(x 2)21x N x -=<，则()N U C M =A ．{x|x ≥l}B ．{x|1≤x <2}C ．{x|0≤x <l}D ．{x| O <x ≤l}2.复数1cos sin z x i x =-，2sin cos z x i x =-，则21z z • A ．1 B ．2 C ．3 D ．43.如果输出的函数值在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2141，内，则输入的实数x 的取值范围是A.[]23--，B.[]12--，C.[]01，-D.[]10， 4.某长方体的三视图如右图，长度为10的体对角线在正视图中的投影长度为6，在侧视图中的投影长度为5，则该长方体的全面积为A.253+B.456+C.6D.105.已知*3()211n a n N n =∈-，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则使0n S >的n 的最小值为A.13B.12C.11D.106.过抛物线x y 42=焦点的条直线与抛物线相交于A 、B 两点，若点A 、B 横坐标之和等于5，则这样的直线A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.有无穷多条D.不存在7.函数sin xy x=，(0)(0,)x ππ∈-，的图像可能是下列图形中的8. 6名同学安排到3个社区A 、B 、C 参加服务，每个社区安排两名同学，其中甲同学必须到A 社区，乙和丙同学均不能到C 社区，则不同的安排方法种数为A ．12B ．9C ．6D ．59.已知双曲线221(00)mx ny m n -=>>、的离心率为2，则椭圆122=+ny mx 的离心率为A.33B.332 C.36D.31正视图 侧视图俯视图10.已知函数f(x)＝ln(1＋9x 2－3x)＋1，则f(lg2)＋f(lg 12)＝A ．－ 1B ．0C ．1D ．211．设圆O 的半径为3，直径AB 上一点D 使AB →＝3AD →，E 、F 为另一直径的两个端点，则DE →·DF →＝A ．－8B ．－6C ．－5D ．－312.定义在(0,)2π上的函数()f x ，()f x '是它的导函数，且恒有()()f x f x tanx '<成立，则A ．3()2()43f f ππ> B ．(1)2()sin16f f π>⋅C ．2()()64f f ππ>D ．3()()63f f ππ>第二部分（非选择题 共90分）二、填空题(共4个小题，每小题5分，计20分)13.在平面直角坐标系中，不等式组0,40,x y x y x a +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩(a 为常数)表示的平面区域的面积是9，那么实数a 的值为 .14.已知向量),10,(),5,4(),12,(k OC OB k OA -===且A,B,C 三点共线，则k= . 15.在△ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线，AB ＝3，BC ＝2，AC ＝7，则sin ABD ∠等于 . 16.圆柱形容器内盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面 半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是_______cm.三、解答题（共6小题，计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和构成数列{}n b ，数列{}n b 的前n 项和构成数列{}n c ．若()2134n n b n =-+，求（Ⅰ）数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）数列{}n c 的通项公式．18．（本小题满分12分）如图,已知四边形ABCD 是矩形,AB =2BC =2,三角形PAB 是正三角形,且平面ABCD ⊥平面PCD . (Ⅰ)若O 是CD 的中点,证明：BO ⊥P A ； (Ⅱ)求平面P AB 与平面P AD 夹角的余弦值． 19．（本小题满分12分） 已知函数2()ln (0,R)f x ax bx x a b =+->∈ ． （Ⅰ）设1,1a b ==-，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对任意0,()(1)x f x f >≥恒成立．试比较ln a 与2b -的大小． 20．（本小题满分12分）食品安全是关乎到人民群众生命的大事。

2021年高三下学期开学考试数学理试题含答案一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）各题答案必须答在答题卡上．1．设（是虚数单位），则 ( )A． B． C． D．2.设集合，那么是的（）.A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．设向量，若表示向量，，的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量为( ). A．B．C．D．4.等差数列中，若公差，且成等比数列，则公比等于（）.A．B．C．D．5.的图象上相邻两条对称轴间的距离是，则的一个值是（）.A．B．C．D．６.已知双曲线的一条准线经过抛物线的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（）. A．B．C．D．７.函数是定义在上的增函数，且，则函数值，的大小关系为（）.A．B．C．D．8.设动点坐标满足则的最小值为（）.A．B．C．D．9.已知，则的最小值为（）.A．B．C．D．10.定义域为R的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二．填空题（本小题共5个小题，每个小题5分，共25分）11.若直线与直线垂直，则实数的值等于__________.12.在数列中，前项和，则_________.13.已知是上的增函数，是其图像上的两个点，那么的解集是______________.14.若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为_________.15.若为的各位数字之和，如则，记，，……，则__________三．解答题（本题共6个小题，共75分）16.（本小题满分13分）在中,角、、的对边分别为、、.已知（1）求的值（2）求的值17. （本题满分13分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.（Ⅰ）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过．．．2.5分钟的概率.（注：将频率视为概率）18. （本题满分13分）已知，a、b为实数）有极值，且处的切线与直线平行．（1）求实数a的取值范围；（2）若在上是单增函数，求实数a的取值范围；19. （本题满分12分）数列中，前项和，，，…．（1）证明数列是等差数列；（2）求关于的表达式；（3）设，求数列的前项和．20. （本题满分12分）二次函数满足，且最小值是．（1）求的解析式；（2）设常数，求直线：与的图像以及轴所围成封闭图形的面积是；（3）已知，，求证：．21. (本小题满分12分)如图，椭圆C ：(a ＞b ＞0)的离心率为，其左焦点到点P (2，1)的距离为．不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 求ABP 的面积取最大时直线l 的方程．重庆铁路中学高xx 级高三（下）开学考试理科数学参考答案1. D 解析：2.B3.D ()()4320,234,6a b a c c a b +-+==--=-4.C 所以5.C ()21sin cos sin sin 23f x x x x x πωωω⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭ 所以6.A ，所以渐近线7.D 所以所以所以8.D 9.D ()()()()()()()()222222111111111111a a b b a b b a a b a b a b a b ab +-+-++++⎛⎫⎛⎫-=== ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭ 而 所以 所以当且仅当时，等号成立。

2021年高三下学期开学考试数学（理）试题含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，且有4个子集，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.2．复数等于（）A. B. C. D.03. 函数的单调递减区间是（）A. B.C. D.4．等比数列中，，前3项和为，则公比的值是（）A. 1B.－C. 1或－D. -1或－5. 已知关于的二项式展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则的值为（）A．1 B．C．2 D．6. 若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.7. 执行如图所示的程序框图，若输入的值为8，则输出的值为（）A. 4B. 8C. 10D. 128．若为不等式组表示的平面区域，则当从－2连续变化到1时，动直线扫过中的那部分区域的面积为 ( )A．1 B． C．D．9. 如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，一个内角为的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（）A. B. C. D.10. 已知为正三角形内一点，且满足，若的面积与的面积比值为3，则的值为（）A. B. C. 2 D. 311. 过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点,为原点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.12．定义在上的单调函数，则方程的解所在区间是（ ）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题~24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13. 已知等差数列中，,那么 . 14. 5位同学排队，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能相邻，且女生甲不能排在排头，则排法种数为 . 15. 已知球的直径，是球球面上的三点,， 是正三角形，则三棱锥的体积为 . 16. 给出下列四个结论：（1）如图中，是斜边上的点，. 以为起点任作一条射线交于点，则点落在线段上的概率是；（2）设某大学的女生体重与身高具有线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立的线性回归方程为，则若该大学某女生身高增加，则其体重约增加；（3）若是定义在上的奇函数，且满足,则函数的图像关于对称;（4）已知随机变量服从正态分布则.其中正确结论的序号为三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）“德是”号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心（记为）．当返回舱距地面1万米的点时（假定以后垂直下落，并在点着陆），救援中心测得飞船位于其南偏东方向，仰角为，救援中心测得飞船位于其南偏西方向，仰角为．救援中心测得着陆点位于其正东方向． （1）求两救援中心间的距离；（2）救援中心与着陆点间的距离．A BCD E北 A P东B C D18．(本小题满分12分)我国新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在为优秀，各类人群可正常活动.市环保局对我市xx 年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为，，，，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图.(1) 求的值；(2) 根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；(3) 如果空气质量指数不超过，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测数据中随机抽取天的数值，其中达到“特优等级”的天数为，求的分布列和数学期望.空气质量指数0.0320.020 0.018O 5 15 25 35 4519. （本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面平面，，在锐角中，并且，.（1）点是上的一点，证明：平面平面；（2）若与平面成角，当面平面时，求点到平面的距离．20.（本小题满分12分）已知椭圆的左，右顶点分别为，圆上有一动点,点在轴的上方，，直线交椭圆于点，连接.(1)若,求△的面积;(2)设直线的斜率存在且分别为,若,求的取值范围.21. (本小题满分12分)设函数.（1）若函数在处有极值，求函数的最大值；（2）①是否存在实数，使得关于的不等式在上恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；②证明：不等式考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．做题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，已知点在⊙直径的延长线上，切⊙于点，是的平分线，交于点，交于点．（Ⅰ）求的度数；（Ⅱ）若，求．23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线与曲线交于两点.（1）求的长；（2）在以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点的极坐标为，求点到线段中点的距离．24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知实数满足，且.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）证明：.哈尔滨市第六中学xx 届高三第三次模拟考试数学试卷（理工类）答案一．选择题1.B2.D3.B4.C5.C6.B7.B8.D9.D 10.A 11.A 12.C 二．填空题13. 14. 15.40 16.②③④ 三．解答题17. 解：（1）由题意知，则均为直角三角形………………1分在中，，解得…………………………2分 在中，，解得…………………………3分 又，万米. …………………………5分 （2），，…………………………7分 又，所以.…………………………9分在中，由正弦定理，…………………………10分 万米…………………………12分18.(1) 解：由题意，得， ……………1分解得. ……………2分 （2）解：个样本中空气质量指数的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯= ……………3分由样本估计总体，可估计这一年度空气质量指数的平均值约为. …………4分（3）解：利用样本估计总体，该年度空气质量指数在内为“特优等级”，且指数达到“特优等级”的概率为，则. ………5分的取值为， ………6分 ，，，. ……………10分 ∴的分布列为：……11分∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ………12分 （或者）19.解法一（1）因为，，由勾股定理得，因为平面平面，平面平面 =，面，所以平面面，所以平面平面 ………6分12M（2）如图，因为平面，所以平面平面，所以，做于，所以面，，设面面=，面平面所以面面，所以，取中点，得为平行四边形，由平面边长得为中点，所以………12分解法二（1）同一（2）在平面过做垂线为轴，由（1），以为原点，为轴建立空间直角坐标系,设平面法向量为，设，锐角所以，由，解得，，，解得或（舍）设，解得因为面平面，，所以面法向量为，所以，解得，所以到平面的距离为竖坐标．………12分20.（1）依题意，.设，则.由得, ,, 解得, . …………5分(2)设, 动点在圆上, .又, , 即====.又由题意可知,且,则问题可转化为求函数的值域.由导数可知函数在其定义域内为减函数, 函数的值域为从而的取值范围为……12分21.（1）由已知得：，且函数在处有极值∴，即∴∴当时，，单调递增；当时，，单调递减；∴函数的最大值为（2）①由已知得：(i)若，则时，∴在上为减函数，∴在上恒成立；(ii)若，则时，∴在上为增函数，∴，不能使在上恒成立；(iii)若，则时，，xyz当时，，∴在上为增函数， 此时， ∴不能使在上恒成立； 综上所述，的取值范围是 …………8分 ②由以上得：取得： 令， 则，()1222111ln 101111n n n n x x n n n n n n-⎛⎫-=-+<-=-< ⎪+-++⎝⎭. 因此. 又()1211ln ln ln 1ln1ln 1nn k k n k k k -==⎛⎫=--+=+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭∑∑ 故1122211111ln 1ln 1111nn n n k k k k k n x k k k k n --===⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-++ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑ ()()11122111111111111n n n k k k kk k k kn k k ---===⎛⎫>-=-≥=-+>- ⎪+++⎝⎭∑∑∑ ……12分22．（1）因为为⊙的切线，所以…………1分因为是的平分线，所以…………2分 所以，即，…………3分又因为为⊙的直径，所以…………4分. 所以.…………5分（2）因为，所以，所以∽，所以，………7分在中，又因为，所以，………8分 中，………10分23.解:（1）直线的参数方程化为标准型（为参数） …… 2分代入曲线方程得设对应的参数分别为，则，，所以 …… 5分 （2）由极坐标与直角坐标互化公式得直角坐标， …… 6分 所以点在直线， 中点对应参数为， 由参数几何意义，所以点到线段中点的距离 ……10分 24.(1) ，相乘得证——————5分 （2），， 相加得证——————10分40095 9C9F 鲟Zx5P34375 8647 虇x29910 74D6 瓖22319 572F 圯•B35268 89C4 规34290 85F2 藲24190 5E7E 幾精品文档实用文档。

绵阳高2021级高三下期入学考试题数学（理科）（答案在最后）命题人：一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集{}0,1,2,4,6,8U =，集合{}{}0,4,6,0,1,6M N ==，则U M N ⋃=ð（）A.{}0,2,4,6,8 B.{}0,1,4,6,8 C.{}1,2,4,6,8 D.U【答案】A 【解析】【分析】由题意可得U N ð的值，然后计算U M N ⋃ð即可.【详解】由题意可得{}2,4,8U N =ð，则{}0,2,4,6,8U M N = ð.故选：A.2.设R a ∈，若复数()()2i 2i a -+在复平面内对应的点位于虚轴上，则=a （）A.4- B.1- C.1D.4【答案】B 【解析】【分析】由复数乘法运算可得该复数在复平面内对应的点为()22,4a a +-，由复数的几何意义可解得1a =-.【详解】根据题意可得()()()22i 2i 2i 4i 2i 224i a a a a a -+=+--=++-，所以在复平面内对应的点为()22,4a a +-，即()22,4a a +-在虚轴上，因此可得220a +=，即1a =-；故选：B3.执行如图所示的程序框图，输出的S =（）A.18B.22C.25D.1375【答案】C 【解析】【分析】根据程序框图的功能，一一循环验证即可.【详解】解：执行该程序框图，12,2,4S k k ==≤成立，18,3,4S k k ==≤成立，22,4,4S k k ==≤成立，25,5S k ==，不满足4k ≤，输出的25S =.故选：C4.已知向量,,a b c ，满足0a b c ++= ，3,4a c == ，且a c ⊥ ，则a b c -+= （）A.5B.52C.10D.102【答案】C 【解析】【分析】利用平面向量数量积与模长关系计算即可.【详解】由题意可知0a c ⋅= ，且0a b c ++= ，则()b a c =-+，()22205b a c a c =+=++，所以210a b c b -+==．5.设等比数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和n S ，若11a =，7498S S =-，则5S =（）A.31B.658C.15D.158【答案】A 【解析】【分析】利用等比数列的定义及其求和公式计算即可.【详解】设{}n a 的公比为q ，由题意可知1,0q q ≠>，则()()747433741198989818011q q S S q q q q q q q q--=-⇒=⨯-⇒-+=--=--，解之得2q =，所以551311q qS -==-.故选：A6.逢年过节走亲访友，成年人喝酒是经常的事，但是饮酒过度会影响健康，某调查机构进行了针对性的调查研究．据统计，一次性饮酒4.8两，诱发某种疾病的频率为0.04，一次性饮酒7.2两，诱发这种疾病的频率为0.16.将频率视为概率，已知某人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，则他还能继续饮酒2.4两，不诱发这种疾病的概率为（）A.78 B.56C.34D.2021【答案】A 【解析】【分析】把相关事件用字母表示，并分析事件的关系，结合对立事件求出概率，再利用条件概率公式计算即得.【详解】记事件A ：这人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，事件B ：这人一次性饮酒7.2两未诱发这种疾病，则事件|B A ：这人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，继续饮酒2.4两不诱发这种疾病，显然,B A AB A B B ⊆== ，()10.040.96,()10.160.84P A P B =-==-=，所以()()0.847()()()0.968|P AB P B P B A P A P A ====.7.设甲：22sin sin 1αβ+=，乙：π2αβ+=，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式与基本关系式，结合充要条件的判断方法即可得解.【详解】当22sin sin 1αβ+=时，取π5π,36αβ==，满足要求，但π2αβ+≠，则甲不是乙的充分条件；当π2αβ+=时，π2βα=-，则πsin sin cos 2βαα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以2222sin sin sin cos 1αβαα+=+=，则甲是乙的必要条件；综上，甲是乙的必要条件但不是充分条件.故选：B.8.已知曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>，C 的一条渐近线与圆22(1)(2)2x y -+-=交于A ，B 两点，若2AB =，则双曲线的离心率为（）A.53B.C.54D.43【答案】C 【解析】【分析】利用双曲线的性质及点到直线的距离、圆的弦长公式计算即可.【详解】易知圆心()1,2，半径r =，双曲线渐近线方程为0ay bx ±=，所以有圆心到渐近线的距离2222144d a ab b a b ==⇒±+=+，解之得340a b ±=，显然由0,0a b >>可得5344a b e a =⇒==.故选：C9.2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉祥物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人为了宣传杭州亚运会，某校决定派5名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，则不同的安装方案种数为（）A.50B.36C.26D.14【答案】A 【解析】【分析】按照2,2,1和3,1,1分组讨论安排.【详解】（1）按照2,2,1分3组安装，①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”，则共有24C 6=种，②若志愿者甲和另一个人合作安装吉祥物“宸宸”，则共有122432C C A 24=种，（2）按照3,1,1分3组安装，①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”，则共有3242C A 8⋅=种，②若志愿者甲和另两个人合作安装吉祥物“宸宸”，则共有2242C A 12=种，故共有62481250+++=种，故选：A .10.已知函数()()sin π,0,2f x x x =∈的图象与直线()1y a x =-有3个交点，则实数a 的取值范围为（）A.(),0∞- B.()1,0- C.(),π-∞- D.()π,0-【答案】D 【解析】【分析】利用直线过定点以及正弦函数图象，求得()f x 在()1,0处的切线斜率并结合图象即可求得实数a 的取值范围.【详解】易知直线()1y a x =-恒过定点()1,0，且()sin πf x x =的周期为2，也过()1,0；画出函数()sin πf x x =的图象如下图实线部分所示：若两函数图象有3个交点可知，直线()1y a x =-的斜率a<0；若直线()1y a x =-与()sin πf x x =相切，可得()1a f ='，易知()πcos πf x x ='，则()1πa f ='=-，结合图象可知()π,0a ∈-时满足题意.故选：D11.如图，在四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为平行四边形，60ABC ∠= 且2,SA AB BC E ===为SA 的中点，则异面直线SC 与DE 所成的角的余弦值为（）A.255B.105C.55D.155【答案】B 【解析】【分析】分别取,,SB BC CD 的中点,,F G H ，连接,,,,,EF FG GH FH BD AC ，则可证明GFH ∠为异面直线SC 与DE 所成的角，分别在三角形中由勾股定理求出FG ，FH 和GH 的长度，利用余弦定理计算得到答案.【详解】如图所示：分别取,,SB BC CD 的中点,,F G H ，连接,,,,,EF FG GH FH BD AC .由60ABC ∠= 且2AB BC ==可得ABC 是等边三角形，则//EF AB 且1=2EF AB ，//DH AB 且12DH AB =，故//EF DH 且EF DH =，所以四边形EFHD 为平行四边形，故//ED FH ，因为//FG SC ，所以GFH ∠为异面直线SC 与DE 所成的角（或其补角），因为SA ⊥平面ABCD ，,AD AC ⊂平面ABCD ，∴SA AD ⊥，SA AC ⊥，故SAC 和EAD 均为直角三角形，所以22111442222FG SC SA AC ==+=+=225FH ED EA AD ==+=1123322GH BD ==⨯=由余弦定理得10cos 5252GFH ∠=⨯.则异面直线SC 与DE 所成的角的余弦值为105.故选：B12.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若123AF AF =，点M 满足123F M M F =，且1AM F B ⊥，则椭圆C 的离心率为（）A.13B.33C.23D.63【答案】B 【解析】【分析】由123AF AF =、123F M M F =结合正弦定理可得12FAM F AM ∠=∠，又1AM F B ⊥，故1AB AF =，再结合余弦定理计算即可得离心率.【详解】由椭圆定义可知122AF AF a +=，由123AF AF =，故132AF a =，212AF a =，点M 满足123F M M F =，即123F M MF =，则12212233AF AF AF F MMF MF ==，又1111sin sin AF F M AMF F AM=∠∠，2222sin sin AF F M AMF F AM=∠∠，即12121122sin sin sin sin AF AF AMF AMF F MF AM MF F AM∠∠===∠∠，又12180AMF AMF ∠+∠=︒，故12sin sin AMF AMF ∠=∠，则12sin sin F AM F AM ∠=∠，即12FAM F AM ∠=∠，即AM 平分12F AF ∠，又1AM F B ⊥，故132AB AF a ==，则23122BF a a a =-=，则12BF a a a =-=，()22222211322122cos 21222c a a c a AF F e ac e c a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∠===-⨯⨯，()22222124cos 224c a a c BF F e c aac+-∠===⨯⨯，由2121180AF F BF F ∠∠=+︒，故2121cos cos 0AF F BF F ∠+∠=，即120e e e -+=，即231e =，又0e >，故33e =.故选：B.【点睛】关键点睛：本题关键在于由123AF AF =、123F M MF =，得到AM 平分12F AF ∠，结合1AM F B ⊥，从而得到1AB AF =.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数()()21sin f x a x a x =-+为偶函数，则实数=a ______________.【答案】0【解析】【分析】先求定义域，判断定义域是否关于原点对称，再利用偶函数的定义，即()()f x f x -=是恒等式，求参数值即可．【详解】函数()()21sin f x a x a x =-+的定义域是R ，定义域R 关于原点对称；()()()221()sin()1sin f x a x a x a x a x -=--+-=--，由于()f x 为偶函数，得到()()()221sin 1sin ()f x a x a x a x a x f x -=--=-+=恒成立；即对于,2sin 0x a x ∀∈=R 恒成立，所以0a =.故答案是：0.14.若x ，y 满足约束条件0202x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最小值为___________.【答案】2-【解析】【分析】作出可行域，确定目标函数取最小值时过可行域内的点，求出该点坐标，代入求值，可得答案.【详解】作出不等式组0202x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，如图所示（阴影部分）：平移直线30x y +=，当直线过可行域内的点B 时，直线在y 轴上的截距最小，即目标函数3z x y =+取得最小值，联立2x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得(1,1)B -，故目标函数3z x y =+的最小值为()min 1132z =+-⨯=-.故答案为：2-15.如图，在平面四边形ABCD 中，90BAC ADC ∠=∠=︒，AB =2AC =，则BD 的最大值为_________；【答案】3【解析】【分析】在Rt ACD △中，求得AD ，然后在ABD △中，由余弦定理求出2BD 的表达式，结合三角恒等变换化简，利用三角函数的性质求解BD 的最大值.【详解】设π0,2CAD θ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，在Rt ACD △中，cos 2cos AD AC θθ==．在ABD △中，因为2πBAD θ∠=+，由余弦定理得()2222π2cos 34cos 22cos sin 2BD AB AD AB AD θθθθ⎛⎫=+-⋅⋅+=+-⋅- ⎪⎝⎭21cos 234cos 2243222cos 252θθθθθθ+=++=+⋅+=++π4sin 256θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以BD =．所以当ππ262θ+=，即π6θ=时，BD 最长，BD 的最大值为3=．故答案为：3.16.已知正四棱锥P ABCD -的顶点均在球O 的表面上.若正四棱锥的体积为1，则球O 体积的最小值为______.【答案】27π16##27π16【解析】【分析】由底面外接圆的半径、正四棱锥的高以及外接球的半径的关系，结合已知条件可得2324h R h=+，故只需求出外接球半径的最小值即可.【详解】设球O 的半径为R ，正四棱锥的高、底面外接圆的半径分别为h ，r .如图，球心在正四棱锥内时，由22211OO O B OB +=，可得()222h R r R -+=，即2220h Rh r -+=（*）.球心在正四棱锥外时，亦能得到（*）式.又正四棱锥的体积为()21213r h =，则232r h =，代入（*）式可得2324h R h =+.通过对关于h 的函数()R h 求导，即()31322R h h ='-，易得函数()R h 在(单调递减，在)∞+单调递增，则()min R h R==从而，球O 的体积的最小值3427ππ316R =.故答案为：27π16.【点睛】关键点点睛：关键是首先得到2324h R h =+，从而通过导数求得外接球半径的最小值即可顺利得解.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，232n n S a =-，其中*n ∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12n n b n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，数列{}n b 的前n 项和n T ，若对任意*n ∈N 且2n ≥，()21(1)n T n λ-≥-恒成立，求实数λ的取值范围．【答案】（1）123n n a -=⋅（2）18λ≤【解析】【分析】（1）首先得12a =，由,n n S a 之间的关系得数列{}n a 为等比数列，由此即可得解.（2）由等比数列求和公式、错位相减法结合数列单调性即可得解.【小问1详解】当1n =时，111232,2a a a =-∴=，当2n ≥时，11232,232n n n n S a S a --=-∴=-，两式相减，得1123,33n n n n n a a a a a --=-∴=，又120a =≠，所以数列{}n a 为等比数列，首项为2，公比为3，所以数列{}n a 的通项公式是123n n a -=⋅.【小问2详解】由（1）知，1(21)3212n n n b a n n --==-⋅，0121133353(21)3n n T n -=⨯+⨯+⨯++-⨯ ，则有12313133353(23)3(21)3n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯L ，两式相减得：()2312123333(21)3n nn T n --=+++++--⨯ ()131312(21)3(22)3213n n n n n --=+⨯--⨯=--⨯--，于是得(1)31n n T n =-⋅+，因为*N n ∈且2n ≥，()21(1),23nn T n λλ-≥-∴≤⋅，当2n ≥时，数列{}23n ⋅是递增数列，所以23n⋅的最小值为18，因此18λ≤.18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC ==，120ACB ∠=︒，112AA A B ==，160A AC ∠=︒．（1）证明：平面ABC ⊥平面11A ACC ；（2）若13BP BA =uu r uu r，求二面角11C A P B --的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）13013【解析】【分析】（1）首先由解三角形知识得1A C AC ⊥，同理1A C BC ⊥，结合线面垂直、面面垂直的判定定理即可得证.（2）建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，由向量夹角的余弦公式结合平方关系即可得解.【小问1详解】如图，连接1AC ，在1A AC △中，12A A =，1AC =，160AAC ∠=︒，由余弦定理，得222111112cos 4122132A C AA AC AA AC A AC =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，所以1A C =，所以22211A C AC A A +=，所以1A C AC ⊥，同理1A C BC ⊥，又BC AC C ⋂=，AC ，BC ⊂平面ABC ，所以1A C ⊥平面ABC ，又1AC ⊂平面11A ACC ，所以平面ABC ⊥平面11A ACC ．【小问2详解】由平面几何知识可知，AC CP ⊥，以C 为坐标原点，以,CA CP ，1CA 为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，则()1,0,0A ，13,,022B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，(1A ，所以(1AA =- ，33,,022AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 设平面1A AB 的法向量为()111,,m x y z =，则1111103022m AA x m AB x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令11z =，得)m = ．又平面1CA P 的法向量为()1,0,0n = ，∴39cos ,13m n == ，所以二面角11C A P B --的正弦值为13．19.第18届亚洲杯将于2024年1月12日在卡塔尔举行，该比赛预计会吸引亿万球迷观看.为了了解某校大学生喜爱观看足球比赛是否与性别有关，该大学记者站随机抽取了100名学生进行统计，其中女生喜爱观看足球比赛的占女生人数的14，男生有10人表示不喜欢看足球比赛.（1）完成下面22⨯列联表，试根据小概率值0.001α=的独立性检验，判断能否认为喜爱观看足球比赛与性别有关联？男女合计喜爱看足球比赛不喜爱看足球比赛合计60（2）在不喜爱观看足球比赛的观众中，按性别用分层随机抽样的方式抽取8人，再从这8人中随机抽取2人参加校记者站的访谈节目，设抽到的男生人数为X ，求X 的分布列和期望.附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.α0.10.050.010.0050.001x α 2.706 3.841 6.6357.87910.828【答案】（1）列联表见解析，认为喜爱观看足球比赛与性别有关联.（2）分布列见解析，()12E X =【解析】【分析】（1）根据题意即可完善列联表，代入计算可得234.02810.828χ≈>，可知喜爱观看足球比赛与性别有关联；（2）可确定抽取的8人中男生2人，女生6人，即可得X 的可能取值为0,1,2，分别求出其概率列出分布列可得期望值.【小问1详解】根据表格数据可知抽取的女生共40人，喜欢观看足球比赛的女生为140104⨯=人，可得得22⨯列联表如下：男女合计喜爱看足球比赛501060不喜爱看足球比赛103040合计6040100根据列联表中的数据计算得220.001100(50301010)122534.02810.8286040604036x χ⨯⨯-⨯==≈>=⨯⨯⨯，根据小概率值0.001α=的独立性检验，即认为喜爱观看足球比赛与性别有关联.【小问2详解】按照分层随机抽样的方式抽取8人，根据抽样比可知其中男生2人，女生6人，则X 的可能取值为0,1,2，()()2116622288C C C 1530,1C 28C 7P X P X ======，()2228C 12C 28P X ===，所以X 的分布列为X012P 152837128期望值()15311012287282E X =⨯+⨯+⨯=.20.已知抛物线22(0)y px p =>上的点Q 到焦点的距离为8，点Q 到x .（1）求抛物线的方程；（2）取抛物线上一点(),1P a ，过点P 作两条斜率分别为12,k k 的直线与抛物线交于,A B 两点，且122k k ⋅=，则直线AB 是否经过一个定点？若经过定点，求出该点坐标，否则说明理由.【答案】（1）24y x=（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由抛物线的定义求出2p =，进而可得抛物线的方程；（2）设直线的方程为x my n =+，()11,A x y ，()22,B x y 代入抛物线方程化简得2440y my n --=，利用根与系数的关系可得121244y y m y y n+=⎧⎨=-⎩，再利用121244211k k y y ⋅=⋅=++，列方程即可求出74n m =-，进而可得直线l 经过定点.【小问1详解】22(0)y px p =>，准线为2p x =-，点Q 分别向x 轴和准线做垂线，垂足为,M N ，则MQ =，8QN QF ==，所以82p Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又点Q 在抛物线上，所以)2282p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即220p p -=，解得2p =或0p =（舍），所以抛物线的方程为24y x =.【小问2详解】点(),1P a 在24y x =上，所以14a =，解得14a =，所以1,14P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设()()1122,,,A x y B x y ，1112111114111444y y k y y x --===+--，同理，2241k y =+，所以121244211k k y y ⋅=⋅=++，即()()1216211y y =++，设直线AB 为x my n =+，则24y x x my n⎧=⎨=+⎩，即2440y my n --=，所以124y y m +=，124y y n =-，所以()()()1212121616162111441y y y y y y n m ===+++++-++，解得74n m =-，代入到直线方程x my n =+，得74x my m =+-，即()714x y m +=+，当10y +=，即1y =-时，74x =-，所以直线AB 过定点7,14⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【点睛】关键点睛：1.求抛物线方程的关键是利用抛物线的定义，点Q 到准线的距离等于它到焦点的距离列出方程；2.第二问的关键是设出直线的方程和A 、B 两点坐标，直线与抛物线方程联立，利用韦达定理得出124y y m +=，124y y n =-，将122k k ⋅=用斜率公式表示出来即可，从而判断出所过的定点.21.已知函数()()()ln 121,0f x a x a x a =-+++≠.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设()()()2sin 14F x f x x x =+--，求证：当1a =时，()F x 恰有两个零点.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数分类讨论函数单调性；（2）由题意，当1a =时，()()()ln 12sin 11F x x x x =-+--+，令()ln 2sin (0)h x x x x x =+->，借助导数研究函数()h x 的单调性，结合函数值的正负性和零点存在定理可证.【小问1详解】()()()()21222,1111a x a a x a f x a x x x x +-++-=++==>---'.当2a =-时，()()20,1f x f x x =-<∴-'在()1,∞+上单调递减.当20a -<<时，在21,2a ⎛⎫ ⎪+⎝⎭上，有()0f x '<，在2,2a ∞⎛⎫+ ⎪+⎝⎭上，有()0f x '>,故()f x 在21,2a ⎛⎫ ⎪+⎝⎭上单调递减，2,2a ∞⎛⎫+ ⎪+⎝⎭上单调递增.当0a >时，()()()22,220,a x a x f x +>+->∴在()1,∞+上单调递增.当2a <-时，()()20,220,a a x f x +<+-<∴在()1,∞+上单调递减.综上所述，当20a -<<时，()f x 在21,2a ⎛⎫ ⎪+⎝⎭上单调递减，2,2a ∞⎛⎫+ ⎪+⎝⎭上单调递增.当0a >时，()f x 在()1,∞+上单调递增.当2a ≤-时，()f x 在()1,∞+上单调递减.【小问2详解】1a =时，()()()ln 12sin 11F x x x x =-+--+.令()ln 2sin (0)h x x x x x =+->，则()12cos 1h x x x='+-.令()()()21,2sin m x h x m x x x ==--''.i.(]0,1x ∈时，()0h x '>恒成立，()h x ∴在(]0,1上单调递增.又()12sin110h =->，()222e 22sine e 0h ---=-+-<∴存在一个零点(]11,0,1x x ∈，使()10h x =.ii .(]1,πx ∈，()212sin 0m x x x=--<'恒成立，()m x ∴在(]1,π上单调递减.又()1π210πm =--<，()12cos10m =>.存在零点0x ，使()00m x =.()()01,,0x x h x '∴∈>，()()0,π,0x x h x ∈'<.()h x ∴在()01,x 上单调递增，()0,πx 上单调递减.又()()010,0h h x >∴>.()πlnππ0h =-<，∴存在一个零点()220,,πx x x ∈，使()20h x =.iii.3ππ,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，()112cos 0h x x x ∴=-+<'恒成立.()h x ∴在3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减.()()πlnππ0h x h ∴<=-<恒成立.()h x ∴在3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭没有零点.iv.3π,2x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，ln 2sin ln 2x x x x x +-≤+-下面来证明当3π,2x ∞⎛⎫∈+⎪⎝⎭时，ln 20x x +-<.设()2ln n x x x =--.()110n x x=->'.()n x ∴在3π,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，()3π3π3π3π,2ln 2ln 02222n x n ⎛⎫≥-->-> ⎪⎝⎭，ln 20x x ∴+-<恒成立.综上所述，()h x 在()0,∞+只有两个零点.又()F x 是由()h x 向右平移一个单位所得，()F x ∴在()1,∞+只有两个零点.【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况进而求解．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22.已知圆C 的参数方程为14cos 14sin x y ββ=-+⎧⎨=+⎩（β为参数），以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C 的极坐标方程；（2）若直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，α为直线l 的倾斜角），l 与C 交于A ，B 两点，||AB =，求l 的斜率.【答案】（1）()22cos sin 140ρρθθ+--=（2）1【解析】【分析】（1）根据题意结合极坐标与直角坐标之间的关系运算求解；（2）由题意可知：直线l 的极坐标方程为()θαρ=∈R ，根据极坐标的定义结合韦达定理运算求解.【小问1详解】由题意可得：圆C 的普通方程为()221(1)16x y ++-=，将cos ,sin x y ρθρθ==，222x y ρ+=代入普通方程，得()22cos sin 140ρρθθ+--=，故圆C 的极坐标方程为()22cos sin 140ρρθθ+--=.【小问2详解】由题意可知：直线l 过坐标原点，倾斜角为[)0,πα∈的直线，在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()θαρ=∈R ，设A ，B 所对应的极径分别为12,ρρ.将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得()22cos sin 140ρραα+--=，于是1212sin co 4s ,1ρραραρ-+==-，可得12AB ρρ=-===，则sin 21α=，且[)0,πα∈，则[)20,2πα∈，可得π22α=，即π4α=，所以l 的斜率为tan 1k α==.[选修4—5：不等式选讲]（10分）23.已知函数()|3|2|5|f x x x =-++的最小值为m ．（1）求m 的值；（2）若0a >，0b >且1ab =，求1122m a b a b+++的最小值．【答案】（1）8m =（2）4【解析】【分析】（1）可借助零点分段法分类讨论计算或借助绝对值三角不等式计算；（2）对原式化简变形后借助基本不等式即可得.【小问1详解】解法一：当3x ≥时，()(3)2(5)37f x x x x =-++=+，此时()f x 单调递增，所以()f x 的最小值为16；当53x -<<时，()(3)2(5)13f x x x x =--++=+，此时()f x 单调递增，故8()16f x <<；当5x ≤-时，()(3)2(5)37f x x x x =---+=--，此时()f x 单调递减，所以()f x 的最小值为(5)8f -=，综上，()f x 的最小值为8，故8m =；解法二：()355(3)(5)5858f x x x x x x x x =-++++≥--+++=++≥，当且仅当5x =-时等号成立，所以()f x 的最小值为8，故8m =；【小问2详解】1188842222a b a b a b a b ab a b a b ++++=+=+≥=+++，当且仅当4a b +=，即22a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩22a b ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩时等号成立，所以1122m a b a b +++的最小值为4．。

第(6)题图2021年高三下学期入学考试数学（理）试题 含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合，则（为自然数集）为（ ）A ．B ．C ．D ．（2）设是虚数单位，则复数（ ）A ．B ．C ．D ．（3）我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1512石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约（ ）A ．164石B ．178石C ．189石D ．196石（4）已知，，则数列的通项公式是（ ）A ．B ． C. D ．（5）已知，，则（ ）A ．B ．C ．D ．（6）如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形,其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（ ）A ． B. C ． D.（7）直线有两个不同交点的一个充分不必要条件是（ ）A ．B ．C ．D ．（8）公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的值为（）参考数据：，，．A． B． C． D． 96（9）先将函数的图像纵坐标不变，横坐标压缩为原来一半，再将得到的图像向左平移个单位，则所得图像的对称轴可以为（）A． B． C． D．（10）已知是球的球面上三点，，，，且棱锥的体积为，则球的表面积为（）A． B． C． D．（11）双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则（）A． B． C． D．（12）已知函数f（x）=，g（x）=﹣4x+a•2x+1+a2+a﹣1（a∈R），若f（g（x））＞e对x∈R 恒成立（e是自然对数的底数），则a的取值范围是（）A．[﹣1，0] B．（﹣1，0）C．[﹣2，0] D．[﹣，0]第II卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

四川省成都七中2018-2019学年高三(下)入学数学试卷(理科)(2月份)注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(本大题共12小题，共60. 0分)1. 已知i 是虚数单位，若(2)1i z i +=-，则z 的共轭复数z 对应的点在复平面的( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 设集合{}3,xy R A x y ==∈，{}B y y x R ==∈，则A B =( )A. []0,2B. ()0,+∞C. (]0,2D. [)0,23. 函数2()3xef x x =-的大致图象是( )A. B.C. D.4. 执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为( )A. 7B. 9C. 11D. 135. 已知等边ABC △内接于O ，D 为线段OA 的中点，则BD =( )A.2136BA BC + B.4136BA BC - C. 2536BA BC -+ D.2133BA BC + 6. 某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为2，四条用虚线表示的线段长度均相等，则该几何体的体积为( )A. 283π- B.82π-C. 883π- D.88π-7. 二项式8()a x x-的展开式中2x 的系数是7-，则a =( )A. 1B.12C. 12-D. 1-8. 如图，边长为a 的正六边形内有六个半径相同的小圆，这六个小圆分别与正六边形的一边相切于该边的中点，且相邻的两个小圆互相外切，则在正六边形内任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为( )A.B.C.D.9. 如图，点A 为双曲线()22220,01x y a ba b -=>>的右顶点，P 为双曲线上一点，作PB x ⊥轴，垂足为B ，若A 为线段OB 的中点，且以A 为圆心，AP 为半径的圆与双曲线C 恰有三个公共点，则C 的离心率为 ( )A.B. C. 2D.10. 已知3cos()2sin()23ππαα-=+，则tan()6πα+=( )A. B. -C.D.11. 如图，在等腰Rt ABC △中，斜边AB =D 为直角边BC 上的一点，将ACD △沿直AD 折叠至1AC D △的位置，使得点1C 在平面ABD 外，且点1C 在平面ABD 上的射影H 在线段AB 上，设AH x =，则x 的取值范围是( )A. (B. ⎫⎪⎪⎝⎭C. 1,2⎛ ⎝D. ()0,112. 设,M N 是抛物线2y x =上的两个不同的点，O 是坐标原点，若直线OM 与ON 的斜率之积为12-，则( )A. OM ON +≥B. MN 为直径的圆的面积大于4πC. 直线MN 过抛物线2y x =的焦点D.O 到直线MN 的距离不大于2二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13. 设,x y 满足约束条件230101x y x y y -+≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则34z x y =-+的最大值为______．14. 某共享汽车停放点的停车位排成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，则该停车点的车位数为______．15. 《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白．与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代具有很高的数学水平，其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从偶，开平方得积”，若把这段文字写成公式，即S =，已知ABC △满足2sin sin sin sin sin sin si (n )()A B A B A C C -+=-，且2AB BC ==，则用以上给出的公式求得ABC △的面积为______．16. 已知函数22ln 3()x x f x m x++=+，若01,4x ⎡⎫∃∈+∞⎪⎢⎣⎭，使得00(())f f x x =，则m 的取值范围是______三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)17. 已知等比数列{}n a 为递增数列，且2510a a =，212()5n n n a a a +++=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，11b =，0n b ≠，141n n n b b S +=-．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，AB PC ⊥，AD BC ∕∕，AD CD ⊥，且222P C B CA D C D ====2PA =．(1)PA ⊥平面ABCD ；(2)在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M AC D --的大小为60︒？如果存在，求PMPD的值；如果不存在，请说明理由．19. 为发挥体育在核心素养时代的独特育人价值，越来越多的中学已将某些体育项目纳入到学生的必修课程，甚至关系到是否能拿到毕业证．某中学计划在高一年级开设游泳课程，为了解学生对游泳的兴趣，某数学研究性学习小组随机从该校高一年级学生中抽取了100人进行调查，其中男生60人，且抽取的男生中对游泳有兴趣的占56，而抽取的女生中有15人表示对游泳没有兴趣． (1)试完成下面的22⨯列联表，并判断能否有99%的把握认为“对游泳是否有兴趣与性别有关”？(2)已知在被抽取的女生中有6名高一(1)班的学生，其中3名对游泳有兴趣，现在从这6名学生中随机抽取3人，求至少有2人对游泳有兴趣的概率．(3)该研究性学习小组在调查中发现，对游泳有兴趣的学生中有部分曾在市级和市级以上游泳比赛中获奖，如下表所示．若从高一(8)班和高一(9)班获奖学生中各随机选取2人进行跟踪调查，记选中的4人中市级以上游泳比赛获奖的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -++++=20. 已知椭圆()2222:10x y a ba b Γ=>>+的右焦点为()1,0F ，上顶点为A ．过F 且垂直于x 轴的直线l 交椭圆Γ于B 、C两点，若2FOA COB S S =△△ (1)求椭圆Γ的方程；(2)动直线m 与椭圆Γ有且只有一个公共点，且分别交直线1和直线2x =于M 、N 两点，试求MF NF的值.21. 已知a R ∈，函数()1x f x x ae =-+有两个零点1212,()x x x x <． (Ⅰ)求实数a 的取值范围； (Ⅱ)证明：122x x e e +>．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为122x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，以原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为ρ=，(Ⅰ)求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；(Ⅱ)设点(0,2)，曲线1C 与曲线2C 交于,A B 两点，求MA MB ⋅的值．23. 已知函数()212f x x x =+--． (1)画出函数()f x 的图象；(2)若关于x 的不等式21()x m f x ++≥有解，求实数m 的取值范围．答案和解析1.【答案】D 【解析】解：由(2)1i z i +=-，得2(2)(1)11(1)(1)2i i i z i i i +++===--+，∴122i -，则z 的共轭复数z 对应的点的坐标为1(,2-，在复平面的第四象限． 故选：D ．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 2.【答案】C 【解析】解：由3,xy x R =∈，得0y >，即,()0A =+∞，由y x R =∈，得：02y ≤≤，即2[]0,B =， 即(]0,2AB =，故选：C ．分别求3,xy x R =∈，,y x R =∈的值域，得：,()0A =+∞，2[]0,B =，再求交集即可．本题考查了求函数值域及交集的运算，属简单题． 3.【答案】A 【解析】解：22()()()33x xe ef f x x x x --===---， 则函数()f x 为偶函数，故排除CD ， 当1x =时，1(1)03ef =<-，故排除B ， 故选：A ．先判断函数偶函数，再求出f(1)即可判断本题考查了函数图形的识别，关键掌握函数的奇偶性，和函数值，属于基础题 4.【答案】C 【解析】解：由题意，模拟执行程序框图，可得0,1S k ==满足条件1S >-，1lg ,33S k == 满足条件1S >-，13lg lg ,535S k =+=满足条件1S >-，135lg lg lg ,7357S k =++=满足条件1S >-，1357lg lg lg lg ,93579S k =+++=满足条件1S>-，135********lg lg lg lg lg lg()lg lg11,1135791135791111Sk =++++=⨯⨯⨯⨯==-=不满足条件1S >-，退出循环，输出k 的值为11．故选：C ．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答． 5.【答案】A 【解析】解：如图所示，设BC 中点为E ，则11111()333322136BA AD BA AE BA AB BE BA BA BC BD BA BC =+=+=++=-+⋅=+．故选：A ．根据题意画出图形，结合图形，利用平面向量的线性运算写出BD 用BA 、BC 的表达式即可． 本题考查了平面向量的线性表示与应用问题，是基础题． 6.【答案】A【解析】解：根据几何体的三视图：该几何体是由一个边长为2正方体挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥构成的不规则的几何体．所以：3212123V π-⋅⋅⋅=，283π=-． 故选：A ．直接利用三视图，整理出几何体的构成，进一步利用几何体的体积公式求出结果．本题考查的知识要点：三视图的应用，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 7.【答案】B 【解析】解：二项式8()ax x-的展开式中的通项公式：8218()r r r r T C a x -+=-，令822r -=，解得3r =，则含2x 项的系数为338(7)C a -=-，解得12a =故选：B ．利用通项公式即可得出．本题考查了二项式定理的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 8.【答案】C 【解析】解：如图所示，边长为a 的正六边形，则OA OB AB a ===， 设小圆的圆心为'O ，则'O C OA ⊥，∴OC =，∴'O C =，'OO =， ∴12OD a =，∴2211112[)])2266S a a ππ=⋅-⋅=-阴影，22S =正六边形， ∴点恰好取自阴影部分的概率9272S P S π-===阴影正六边形，故选：C ．分别求出正六边形和阴影部分的面积，作商即可．本题考查了几何概型问题，考查特殊图形面积的求法，是一道常规题． 9.【答案】A 【解析】解：由题意可得0(),A a ，A 为线段OB 的中点，可得0(2),B a ，令2x a =，代入双曲线的方程可得y =，可设2,()P a ，由题意结合图形可得圆A 经过双曲线的左顶点(),0a -， 即2AP a =，即有2a =可得a b =，c e a === 故选：A ．设A 的坐标(),0a ，求得B 的坐标，考虑2x a =，代入双曲线的方程可得P 的坐标，再由圆A 经过双曲线的左顶点，结合两点的距离公式可得a b =，进而得到双曲线的离心率．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 10.【答案】B 【解析】解：∵3cos()2sin()23ππαα-=+， ∴sin 2sin cos2cos sin33ππααα-=+，则即2sin αα-=，∴tan α=，∴tan tan6tan()61tan tan 623παπαπα++===-⋅ ，故选：B ．由题意利用诱导公式、两角和正弦角公式求得tan α，再利用两角和正切公式求得结果． 本题主要考查两角和差的三角公式、诱导公式的应用，属于基础题． 11.【答案】B 【解析】解：∵在等腰Rt ABC △中，斜边AB =，D 为直角边BC 上的一点，∴1AC BC ==，90ACB ∠=︒，将ACD △沿直AD 折叠至1AC D △的位置，使得点1C 在平面ABD 外，且点1C 在平面ABD 上的射影H 在线段AB 上，设AHx =，∴11AC AC ==，1(0,1)CD C D =∈，190AC D ∠=︒，CH ⊥平面ABC ，∴11AH AC <=，故排除选项A 和选项C ； 当1CD =时，B 与D重合，2AH =， 当1CD <时，122AH AB >=， ∵D 为直角边BC 上的一点，∴,1()0CD ∈，∴x的取值范围是,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．故选：B ．推导出1AC BC ==，90ACB ∠=︒，11AC AC ==，1(0,1)CD C D =∈，190AC D ∠=︒，CH⊥平面ABC ，从而11AH AC <=，当1CD =时，B 与D重合，AH =当1CD <时，12AH AB >=，由此能求出x 的取值范围．本题考查线段长的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 12.【答案】D 【解析】解：当直线MN 的斜率不存在时，设200(),M y y ，200,()N y y -，由斜率之积为12-，可得20112y -=-，即202y =， ∴MN 的直线方程为2x =；当直线的斜率存在时，设直线方程为y kx m =+，联立2y kx m y x=+⎧⎨=⎩，可得20ky y m -+=．设11(),M x y ，22(,)N x y ，则12m y y k =，2122m x x k=，∴121212OM ON y y k k k x x m ==-⋅=，即2m k =-． ∴直线方程为()22y kx k k x =-=-． 则直线MN 过定点(2,0)． 则O 到直线MN 的距离不大于2． 故选：D ．由已知分类求得MN 所在直线过定点(2,0) ，结合选项得答案．本题考查抛物线的简单性质，考查直线与篇文章位置关系的应用，是中档题． 13.【答案】5 【解析】解：作出,x y 满足约束条件230101x y x y y -+≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，所示的平面区域，如图：作直线340x y -+=，然后把直线L 向可行域平移，结合图形可知，平移到点A 时z 最大， 由23010x y x y -+=-+=⎧⎨⎩可得()1,2A ，此时5z =．故答案为：5．先画出约束条件的可行域，利用目标函数34z x y =-+的几何意义，求解目标函数的最大值． 本题主要考查了线性规划的简单应用，解题的关键是：明确目标函数的几何意义． 14.【答案】10 【解析】解：设停车位有n 个，这3辆共享汽车都不相邻的种数：相当于先将(3)n -个停车位排放好，再将这3辆共享汽车，插入到所成(2)n -个间隔中，故有32n A -种，恰有2辆相邻的种数：先把其中2辆捆绑在一起看做一个复合元素，再和另一个插入到，将(3)n -个停车位排放好所成(2)n -个间隔中，故有2232n A A -种，因为这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，∴322232n n A A A --=，解得10n =， 故答案为：10．设停车位有n 个，求出这3辆共享汽车都不相邻的种数和恰有2辆相邻的种数，可得322232n n A A A --=，解得即可本题考查了排列组合中的相邻问题和不相邻问题，考查了运算能力和转化能力，属于中档题 15.【解析】解：∵2AB BC ==∴由题意可得：2c a ==a =∵2sin sin sin sin sin sin si (n )()A B A B A C C -+=-，∴由正弦定理可得：2()()a b a b ac c -+=-，可得：222a c b ac +-=，∴S =====．由题意可得：2c a ==a =222a c b ac +-=，根据题意利用三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.【答案】[0)- 【解析】解：设0()t f x =， ∵00(())f f x x =， ∴0()f t x =， ∴00()f x x =有零点，∴22ln 3()x x f x m x x++=+=，∴2ln 3x m x+-=， 即直线y m =-，与2ln 3()x g x x+=有交点， ∴22ln 1'()x g x x +=-，14x ≥，令'()0g x =，解得x =当1[,4x e∈时，'()0g x >，函数()g x 单调递增，当,]x ∈+∞时，'()0g x <，函数()g x 单调递减，∴(()max g x g e== 431()()604ln1g =->， 当x →+∞时，()0g x →，分别画出y m =-与()y g x =的图象，如图所示；由图象可得当0m <-≤0m -≤<时，y m =-与()y g x =有交点，故答案为：[0)-．设0()t f x =，由题意可得00()f x x =有零点，即22ln 3()x x f x m x x++=+=，分离参数，构造函数，结合导数和数形结合即可求出．本题考查了函数的零点，导数和函数的最值的关系，考查了转化思想，数形结合的思想，属于难题17.【答案】解：(1)设公比为q 等比数列{}n a 为递增数列，且2510a a =，首项为1a ， 则：449111a q a q a q ⋅⋅=⋅，解得：1a q =，212()5n n n a a a +++=，所以：22520q q -+=，解得：2q =或12，由于数列为单调递增数列， 故：2q =，所以：112n nn a a q -=⋅=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，11b =，0n b ≠，141n n n b b S +=-①． 当2n ≥时，1141n n n b b S --=-②， 整理得：12n n b b --= (常数)， 对n 分偶数和奇数进行分类讨论， 整理得：21n b n =-故：(21)2nn n n c a b n ==-⋅，则：()121232212n n T n =⋅+⋅++-⋅①，()23121232212n n T n +=⋅+⋅++-⋅②，①—②得：()()12212212221n n nT n +--=⋅--⋅--，解得：()12326n n T n +=-⋅+．【解析】(1)直接利用递推关系式求出数列的通项公式．(2)利用(1)的结论，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.【答案】证明：(1)∵在四棱锥P ABCD -中，AB PC ⊥，AD BC ∕∕，AD CD ⊥，且22PC BC AD CD ====2PA =．∴2AB AC ===，∴222AB AC BC +=，222PA AC PC +=， ∴AB AC ⊥，AP AC ⊥，∵AB PC ⊥，∴AB ⊥平面PAC ，∴PA AB ⊥， ∵ABAC A =，∴PA ⊥平面ABCD ．解：(2)以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AP 为z 轴， 建立空间直角坐标系，设在线段PD 上，存在一点(),,M a b c ， 使得二面角M AC D --的大小为60︒， 且(,)01PMPDλλ=≤≤， ()0,0,0A ，()0,2,0C ，()0,0,2P ，1,()1,0D -，(,),2PM a b c =-，1,1,2()PD =--，∴22a b c λλλ=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩， ∴,,22()M λλλ--， ∴(0),2,0AC =，,,2(2)AM λλλ-=-， 设平面ACM 的法向量(),,x m y z =，则()20220m AC y m AM x y z λλλ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++-=⎪⎩，取1x =，得1,02(),2m λλ=-， 平面ACD 的法向量0,1()0,n =， ∵二面角M AC D --的大小为60︒，∴2cos60m n m n⋅︒==⋅解得4λ=-∴在线段PD 上，存在一点M ，使得二面角M AC D --的大小为60︒，4PMPD=- 【解析】(1)推导出AB AC ⊥，AP AC ⊥，AB PC ⊥，从而AB ⊥平面PAC ，进而PA AB⊥，由此能证明PA ⊥平面ABCD ．(2)以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出在线段PD上，存在一点M ，使得二面角M AC D --的大小为60︒，4PMPD=- 本题考查线面垂直的证明，考查满足二面角的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 19.【答案】50 10 60 25 15 40 75 25 100 【解析】解：(1)由题意能得到如下的列联表：∴()()()()222()100(50152510) 5.556 6.63560407525n ad bc K a b c d a c b d =-⨯-⨯=≈<++++⨯⨯⨯． ∴没有99%的把握认为“对游泳是否有兴趣与性别有关”．(2)记事件i A 表示“从这6名学生中随机抽取的3人中恰好有i 人有兴趣，0,1,2,3i =”， 则23A A +表示“从这6名学生中随机抽取的3人中到少有2人有兴趣”，且23,A A 互斥， ∴现在从这6名学生中随机抽取3人，至少有2人对游泳有兴趣的概率：2130333323233366)()()12(C C C C P A A P A P A C C +=+=+=．(3)由题意可知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，2234225595)0(0C C P C C ξ===，1122123434225512(15)2C C C C C P C C ξ+===，22111243242255()3210C C C C C P C C ξ+===， 2224225512)5(3C C P C C ξ===，∴ξ的分布列是：∴0123505050(505)E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． (1)完成列联表求出2 5.556 6.635K ≈<．从而没有99%的把握认为“对游泳是否有兴趣与性别有关”． (2) 记事件i A 表示“从这6名学生中随机抽取的3人中恰好有i 人有兴趣，0,1,2,3i =”，则23A A +表示“从这6名学生中随机抽取的3人中到少有2人有兴趣”，且23,A A 互斥，由此能求出现在从这6名学生中随机抽取3人，至少有2人对游泳有兴趣的概率．(3)由题意可知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和()E ξ． 本题考查独立检验的应用，考查概率、离散型随机变量概率分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程能力，是中档题．20.【答案】解：(1)易知，22b BC a=，222FOA COBS b a b S b a===△△∴a =，c b =，所以，1b =，a =因此，椭圆Γ的方程为2212x y +=；(2)设直线m 与椭圆Γ的切点为点00(),P x y ，则直线m 的方程为0012x x y y +=，且有220012x y +=，可得22012x y =-，直线m 与直线1l x =:交于点0021,2x M y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线m 交直线2x =于点0012,x N y ⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以，022x MF y -=，NF====22xy-==⋅，因此，MFNF==【解析】(1)由通径公式得出222bBCa=，结合已知条件得出ab=1c=，可求出a、b的值，从而得出椭圆的方程；(2)设切点为00(,)x y，从而可写出切线m的方程为012x xy y+=，进而求出点M、N的坐标，将切点坐标代入椭圆方程得出0x与0y之间的关系，最后利用两点间的距离公式可求出答案．本题考查直线与椭圆的综合，考查计算能力与推理能力，属于中等题．21.【答案】解：(Ⅰ)()1xf x ae'=-，①0a≤时，)0(f x'>，()f x在R上递增，不合题意，舍去，②当0a>时，令)0(f x'>，解得lnx a<-；令)0(f x'<，解得lnx a>-；故()f x在(,ln)a-∞-单调递增，在(ln,)a-+∞上单调递减，由函数()y f x=有两个零点1212,()x x x x<，其必要条件为：0a>且0(ln ln)f a a-=->，即01a<<，此时，1ln22lna a-<-<-，且1(10)1a afe e-=--+=-<，令2222ln22ln()l()132ne eF a f a a aa a=-=--+=--，(01a<<)，则2222220()e e a F a a a a-'=-+=>，()F a 在(0,1)上单调递增， 所以，2()()130F a F e <=-<，即22l 0()n f a -<，故a 的取值范围是(0,1)．(Ⅱ)令0(1)x x f x a e +=⇒=， 令1()x x g x e+=，()x g x xe -'=-，则()g x 在(0),-∞单调递增，在(0,)+∞单调递减， 由(Ⅰ)知01a <<，故有1210x x -<<<，令()()()h x g x g x =--，(10x -<<)，1()()()1x x h x x e x e -=--+，(10x -<<)，)0()(x x x x h x xe xe x e e --'=-+=-<，所以，()h x 在()1,0-单调递减，故()0)0(h x h >=，故当10x -<<时，((0))g x g x -->，所以11()()g x g x ->，而12()()g x g x a ==，故12()()g x g x ->，又()g x 在(0,)+∞单调递减，120,0x x ->>，所以12x x -<，即120x x +>，故1212222x x x x e e e ++≥=>．【解析】(Ⅰ)利用导数研究单调性得()f x 的最大值为ln 0()f a ->解得a 即可；(Ⅱ)先通过构造函数证明120x x +>，在用基本不等式可证．本题考查了函数零点的判定定理，属难题．22.【答案】解：(Ⅰ)曲线1C的参数方程为122x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，由代入法消去参数t ，可得曲线1C的普通方程为2y =+；曲线2C的极坐标方程为ρ=， 得22134sin ρθ=+，即为2223sin 4ρρθ+=， 整理可得曲线2C 的直角坐标方程为2214x y +=； (Ⅱ)将122x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，代入曲线2C 的直角坐标方程2214x y +=得213480t ++=， 利用韦达定理可得124813t t =⋅， 所以4813MA MB =⋅． 【解析】(Ⅰ)运用代入法，消去t ，可得曲线1C 的普通方程；由,x cos y sin ρθρθ==，代入极坐标方程，即可得到所求直角坐标方程；(Ⅱ)将直线的参数方程代入曲线2C 的直角坐标方程，运用参数的几何意义，由韦达定理可得所求之积． 本题考查参数方程和普通方程的互化，极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线参数方程的运用，以及韦达定理的运用，属于基础题．23.【答案】解：(1) 13,21()21231,223,2x x f x x x x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=+--=--<<⎨⎪+≥⎪⎪⎩， 画出()y f x =的图象，如右图：(2)关于x 的不等式21()x m f x ++≥有解，即为2()1m f x x +≥-，由2x ≥时，()3y f x x =-=； 当122x -<<时，212,3()()y f x x x =-=-∈-； 当12x ≤-时，232,()[)y f x x x =-=--∈-+∞， 可得()y f x x =-的最小值为2-，则212m +≥-， 解得32m ≥-． 【解析】(1)写出()f x 的分段函数式，画出图象；(2)由题意可得2()1m f x x +≥-的最小值，对x 讨论去绝对值，结合一次函数的单调性可得最小值，即可得到所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式有解的条件，注意运用分类讨论思想方法和分离参数法，考查单调性的运用：求最值，属于中档题．。

开始m =1, i =1 m =m i = i +1m =0?结束输出i是 否2021年高三下学期开学考试数学（理）试题 Word 版含答案（一）、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数( )A. B. C. D. 答案：D2．已知集合，，则A ．B ．C ．D ．答案：A3．执行如图所示的程序框图，则输出的值为 A ． B ． C ． D ． 答案：B4． “”是“函数在上单调递增”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A5．给出下列函数：① ； ② ； ③； ④. 其中图象关于轴对称的是A. ①②B. ②③C. ①③D. ②④ 答案：B6. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ． 答案： A7. 设斜率为2的直线过抛物线的焦点,且与轴交于点,若（为坐标原点）的面积为4,则抛物线方程为A. B. C. D.8. 某地实行阶梯电价，以日历年(每年1月1日至12月31日)为周期执行居民阶梯电价，即：一户居民用户全年不超过2880度（1度=千瓦时）的电量，执行第一档电价标准，每度电0.4883元；全年超过2880度至4800度之间的电量，执行第二档电价标准，每度电0.5383元；全年超过4800度以上的电量，执行第三档电价标准，每度电0.7883元.下面是关于阶梯电价的图形表示，其中正确的有① ②0.7883元/0.5383元/0.4883元/线段PQ 左侧阴影部分的面积表示年用电量为x 度时的电费③参考数据：0.4883元/度2880度=1406.30元，0.5383元/度(4800-2880)度+1406.30元=2439.84元.(A) ①②(B) ②③(C) ①③(D)①②③答案：B(二)、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题纸上. 9．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题: “今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？答曰：二千一百一十二尺.术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一” .这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一.”就是说：圆堡瑽(圆柱体)的体积为：V＝×(底面的圆周长的平方×高)．则圆周率的取值为 .答案：310．口袋中有三个大小相同、颜色不同的小球各一个，每次从中取一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取了5次停止种数为。

外国语18-19下高2021级高三入学考试试题数学〔理工类〕第一卷一、选择题〔本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕1．．集合．．．{}{}22(,)log ,(,)2A x y y x B x y y x x ====-，那么．．．A ．∩．B ．的元素有．．．．(． )． A ．．．1．个． B ．．．2．个． C ．．．3．个． D ．．．4．个． 2．．复数．．．122iz i+=- (．i 为虚数单位．．．．．)．，那么．．．z 的虚部为．．．．(． )． A ．．－．．1 B ．．．．0 C ．．．．1 D ．．．．i ．C 的渐近线方程为．．．．．．．2y x =±，且经过点．．．．．(2,2)，那么．．．C 的方程为．．．．(． )．A.．． 221312x y -=B.．． 221123x y -=,C.．．． 221312y x -= D.．． 221123y x -= 4．．函数．．．2log 0()20x x x f x a x >⎧=⎨-≤⎩有且只有一个零点．．．．．．．．的充分不必要条件是．．．．．．．．．(． )． A ．．．0a < B ．．．102a <<C.．． 112a << D ．．．01a a ≤>或()sin()f x x ϕ=-，．且．230()0f x dx π=⎰，．那么函数．．．．()f x 的图象的一条对称轴是．．．．．．．．．．(． )．A ．．．56x π=B ．．．712x π=C ．．．3x π=D ．．．6x π=6．．某几何体的正视图和侧视图如图．．．．．．．．．．．．．．．①．所示，它的俯视图的直观图是．．．．．．．．．．．．．'''A B C ∆ ，如图．．．②．所．示，其中．．．．23O A O B O C ''=''=''=，，那么该几何体的外表积为．．．．．．．．．．．．(． )．A ．．．36123+B ．．．2483+C ．．．24123+D ．．．3683+ 7．．圆．．22:(3)(4)1C x y -+-=和两点．．．()()(,0),,00A m B m m ->．．假设圆．．．C 上存在．．．点．P ，使得．．． 90APB ∠=︒，那么．．．m 的最大．．．值为．．(． )．A ．．．7B ．．．．6C ．．．．5D ．．．．4．8.假如执行右边框图，，那么输出的数s 与输入的N 的关系是〔 〕 A. 1(1)22N N +-⋅+ B. 122N N +⋅+ C. 1(1)22N N +-⋅- D. 122N N +⋅-9．．如下图，点．．．．．．G 是．ABC ∆的重心，过点．．．．．．G 作直线与．．．．,AB AC 两边分别交于．．．．．．,M N 两．点，且．．．,AM x AB AN y AC ==，那么．．．xyx y +的值是．．．(． )． A ．．．3 B.．．．1．3． C ．．．2 D.．．．1．2．10.．．．函数．．()22xx af x =-，其在区间．．．．．[0,1]上单调递增，．．．．．．那么．．a 的取值范围为．．．．．．(． )．A ．．．[0,1]B ．．．[1,0]-C ．．．[1,1]- D.．．11[,]22- 11．．．． 如图，抛物线．．．．．．24y x =的一条弦．．．．AB 经过焦点．．．．F ，．取线段．．．OB 的中点．．．D ，延长．．．OA 至点．．C ，使．．OA AC = ，过点．．．,C D 分别作．．．y 轴的垂线，．．．．．垂足分别为．．．．．,E G ，那么．．．EG 的最小值为．．．．．( )．．．．A ．．．．．．．．．．．4 12. 假设函数2()ln ln x f x ax x x x=+--有三个不同的零点，那么实数a 的取值范围是( ) A. 1(1,)1e e e -- B.1[1,]1e e e -- C. 1(,1)1e e e --- D. 1[,1]1ee e ---第二卷二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分，把答案填在答题卷的横线上。