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平面与此平面的交线也与该直线平行.
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3.平面与平面平行
(1)平面与平面的位置关系
①平行两平面无公共点
②两平面相交有一条公共直线
(2)平面与平面的平行
①判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一平面平行,则 这两个平面平行.
②性质定理:如果两个平面平行同时和第三个平面相交,那么 它们的交线平行.
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[反思感悟] 证明平面与平面相互平行,一般利用面面平行的 判定定理或其推论,将面面平行转化为线面平行或线线平 行来证明.具体方法有:
(1)面面平行的定义; (2)面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都
平行于另一个平面,那么这两个平面平行; (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行;
第四十六讲 直线､平面平行的判定及其性质
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回归课本
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1.直线与直线 (1)空间两条直线的位置关系有平行､相交､异面三种. (2)过直线外一点有且仅有一条直线和这条直线平行. (3)公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行,又叫做空
间平行线的传递性. (4)定理:如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,
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[证明] 取DD1的中点G,连接AG､FG. ∵AE ∥D1G, ∴D1E A∥G, 又FG ∥CD,CD ∥AB, ∴FG ∥AB,
∴BF ∥AG,
∴D1E ∥BF, ∴四边形EBFD1为平行四边形.
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错源二
以特殊代替一般,以偏概全致误
【典例2】 已知α∥β,AB,CD是夹在α与β间的两
求证:四边形BED1F是平行四边形.
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[错证] 在正方体ABCD—A1B1C1D1中,平面A1ADD1∥平面 B1BCC1,由两平行平面与第三平面相交得交线平行,故 D1E∥FB,同理可证D1F∥EB,故四边形EBFD1为平行四边 形.
[剖析] 主要错在盲目地在立体几何证明中套用平面几何定理. 立体几何问题只有在化归为平面几何问题后才能直接使用 平面几何知识解题.
并且方向相同,那么这两个角相等.
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(5)空间四边形:顺次连结不共面的四点A､B､C､D所构成的图 形,叫做空间四边形,这四个点中的各个点叫做空间四边形 的顶点;所连结的相邻顶点间的线段叫做四边形的边;连结 不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线.空间四边 形用表示顶点的四个字母表示.
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【典例2】 如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中,侧面对角线 AB1,BC1上分别有两点E,F且B1E=C1F.
求证:EF∥平面ABCD.
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[分析] 要证EF∥平面ABCD,方法有两种:一是利用线面平行 的判定定理,即在平面ABCD内确定EF的平行线;二是利用 面面平行的性质定理,即过EF作与平面ABCD平行的平面.
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则EH∥AB,所以
B1E B1H . B1A B1B
∵∴AB1BB=11HBBC1CC,B11FB,1∴E=FCH1∥F,B∴1C1.BB11EA
C1F C1B
,
∵B1C1∥BC,∴FH∥BC.
∵EH∩FH=H,∴平面EFH∥平面ABCD.
∵EF⊂平面EFH,∴EF∥平面ABCD.
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类型三
平面与平面平行的证明方法
解题准备:1.证明面面平行的方法除了面面平行的判定定理外, 还有:
(1)如果两个平面垂直于同一条直线,那么这两个平面平行.
(2)如果两个平面和同一个平面平行,那么这两个平面平行.
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2.平行问题的转化方向如图所示:
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注意:(1)在平面和平面平行的判定定理中,“两条相交直线” 中的“相交”两个字不能忽略,否则结论不一定成立.
时,b∥α. 答案:D
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3.在空间,下列命题正确的是( ) A.若a∥α,b∥a,则b∥α B.若a∥α,b∥α,a⊂β,b⊂β,则β∥α C.若α∥β,b∥α,则b∥β D.若α∥β,a⊂α,则a∥β 解析:若a∥α,b∥a,则b∥α或b⊂α,故A错误;由面面平行的判
定定理知,B错误;若α∥β,b∥α,则b∥β或b⊂β,故C错误. 答案:D
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4.已知两个不同的平面α､β和两条不重合的直线m､n,有下列 四个命题:①若m∥n,n⊂α,则m∥α;②若m∥α,n⊂α,则 m∥n;③若α∥β,m⊂α,则m∥β.
其中正确命题的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.0 解析:①有可能m⊂α;②m､n还可能是异面直线;③正确,故正
确答案是A. 答案:A
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考点陪练
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1.设AA′是长方体的一条棱,这个长方体中与AA′平行的棱共 有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解析:AA′∥BB′∥CC′∥DD′. 答案:C
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2.b是平面α外一条直线,下列条件中可得出b∥α的是( ) A.b与α内一条直线不相交 B.b与α内两条直线不相交 C.b与α内无数条直线不相交 D.b与α内任意一条直线不相交 解析:只有在b与α内所有直线都不相交,即b与α无公共点
直线与直线平行
解题准备:平行于同一直线的两条直线互相平行
共 64 页14源自【典例1】 如图,若α∩β=a,α∩γ=b,γ∩β=c,且a∥b,求 证:a∥b∥c.
[分析] 利用线面平行的判定定理及性质定理及公理4即可证 得.
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[证明] ∵b∥a,a⊂β,b⊄β, ∴b∥β(线线平行,则线面平行). ∵b⊂γ,γ∩β=c, ∴b∥c(线面平行,则线线平行), ∴a∥b∥c.
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(4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行; (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互
转化.
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类型四
线面平行中的探究问题
解题准备:探究性问题,一般采用执果索因的方法,假设求解的 结果存在,从这个结果出发,寻找使这个结论成立的充分条 件,如果找到了符合题目结果要求的条件,则存在;如果找不 到符合题目结果要求的条件(出现矛盾),则不存在.
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[反思感悟] 判断或证明线面平行的常用方法有: (1)利用线面平行的定义(无公共点); (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α); (3)利用面面平行的性质定理(α∥β,a⊂α⇒a∥β); (4)利用面面平行的性质(α∥β,a⊄α,a⊄β,a∥α⇒a∥β).
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2.直线与平面平行 (1)直线与平面的位置关系有: ①平行:直线和平面没有公共点 ②相交:直线和平面有且只有1个公共点 ③直线在平面内:直线和平面有无数个公共点,其中①､②也叫
直线在平面外
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(2)直线与平面平行 ①判定定理:平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,则
该直线就与此平面平行. ②性质定理:一条直线和一个平面平行,则过这条直线的任一
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【典例4】 如图,在底面是平行四边形的四棱锥P—ABCD中, 点E在PD上,且PE ED=2 1,在棱PC上是否存在一点F, 使BF∥平面AEC?证明你的结论?
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[解] 当F是棱PC的中点时, BF∥平面AEC. 证明:取PE的中点M,连接FM,
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则FM∥CE.① 由EM= 1PE=ED,
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[评析] 在立体几何中当已知两条直线时,要充分考虑到这两 条直线的各种位置关系,不要只考虑两条直线共面的情况, 还要把它们异面的情况考虑进去.由于空间图形位置关系 的多样性,就导致了部分考生仅仅凭借这种多样位置关系 的一种解决问题的情况,导致解答不全.
∴
EM BB1
CFCN1,又∵BB1=CC1,
∴EM=FN,
∴四边形EMNF是平行四边形,∴EF∥MN.
又∵EF⊄平面ABCD,MN⊂平面ABCD,
∴EF∥平面ABCD.
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证法二:连接B1F,并延长交BC的延长线于点P,连接AP(如图).
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∵BP∥B1C1,
∴△B1FC1∽△PFB, ∴ B1F C1F .
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[反思感悟] (1)判定定理应用时要注意条件是平面外的一条 直线,应用性质定理时注意确保这条直线是经过这条直线 的平面与已知平面的交线,条件必须充分满足了才得结 论.(2)本题证明思路是:线∥线→线∥面→线∥线.
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类型二
直线和平面平行
解题准备:1.证明线面平行的方法
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[证明] 连接A1C交AC1于点E,
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∵四边形A1ACC1是平行四边形, ∴E是A1C的中点,连接ED, ∵A1B∥平面AC1D, 平面A1BC∩平面AC1D=ED, ∴A1B∥ED, ∵E是A1C的中点,∴D是BC的中点.
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又∵D1是B1C1的中点, ∴在三棱柱ABC—A1B1C1中,BD1∥C1D,A1D1∥AD, 又A1D1∩BD1=D1,AD∩C1D=D, ∴平面A1BD1∥平面AC1D.
FP BF
∵AB1=BC1,B1E=C1F, ∴AE=BF,∴ C1F B1E .
BF EA
∴ B1E B1F , ∴EF∥AP. EA FP
又∵EF⊄平面ABCD,AP⊂平面ABCD,
