高中数学《平面的基本性质》公开课优秀课件

平面不能被弯曲或折叠，始终保持平直。
无厚度
平面没有高度，只具有长度和宽度。
由无数个线段组成
平面由无数条线段相连组成，形成各种图形。
平面的基本性质
1
平面上的直线相互作用的规定
2
平面上的直线可以平行、垂直或有其
他特定的相
角度是指由两个线段或直线围成的空 间。
平面上的点与直线的关系
总结
1 明确平面的特征与定义
了解平面的基本性质，包括无限大、无厚度和无法折叠曲折。
2 控制平面的性质和规则
理解平面上的点与直线的关系，以及角度和夹角的度量规则。
3 应用平面知识到实际中
将平面的应用领域应用到不同领域，如地理学、图形设计和工程学。
点和直线可以在平面上相互交叉、相 连或相切。
平面上直线的夹角
夹角是指两条直线在平面上的交叉程 度，可以是锐角、直角或钝角。
平面的相关性质
垂直、平行
垂直的线段间的夹角为90度， 平行线始终保持相同的距离。
完美相等与相似的关系
相等的图形的线段和角度完全 相同，相似的图形只需保持比 例关系。
角度的度量与求和
《平面的基本性质》PPT 课件
本课件详细介绍了平面的基本性质，包括定义、特征和应用。通过丰富的布 局和图像，旨在使演示内容更加生动有趣。
平面的定义
平面是指由无限个线段组成的，并且没有厚度的二维图形。与几何体相比，平面只有两个维度。
平面的特征
无限大
平面在两个方向上是无限延展的，没有边界 限制。
无法折叠曲折
角度通过度量单位（如度或弧 度）来表示，多个角度可以相 加为一个新角度。
平面的应用
地理学中的平面
地图是平面的应用之一，用于表示地球表面 的二维信息。

7．推论3：经过__两_条__平__行__直__线__，有且只有一个平面．
第九页，共35页。
栏 目 链 接
第十页，共35页。
一、公理(gōnglǐ)1
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条
直线上所有的点都在这个平面内．
栏
该公理是判定直线在平面内的依据．证明(zhèngmíng)一
目 链
方法点拨：平面几何中证多线共点的思维方法适用
于空间，只是在思考中应考虑到空间图形(kōngjiān túxíng)
栏
的新特点．
目
链
接
第二十五页，共35页。
变式
训练
2．如图，已知：E，F，G，H分别是正方体 ABCDA1B1C1D1 的 棱 AB ， BC ， CC1 ， C1D1 ， 的 中 点 (zhōnɡ diǎn)，证明：FE，HG，DC三线共点．
栏 目
该公理主要用于判定或证明两个平面相交及三点在同一 链
接
条直线上．证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两 个平面的公共(gōnggòng)点(依据：由点在线上，线在面内，推 出点在面内)，这样，可根据公理2证明这些点都在这两个平面 的公共(gōnggòng)直线上．
第十二页，共35页。
证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点 (zhè diǎn)在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点， 这第三条直线是这两个平面的交线．
α∩β＝l，P∈l
第八页，共35页。
4 ． 公 理 3.(1) 文 字 语 不言在同(yǔ一y条án()yī ：tiáo)经直线过上 _____有__且__只_有__(_z_h_ǐy_ǒ_u_)的三点，__________一个平面．

边相等、角相等的多边形。
性质
正n边形的内角和总是等于(n-2) × 180度。
三角形及其性质
1
定义
由三条线段连接的图形。
2
等边三角形
三条边相等的三角形。
3
等腰三角形
两边相等的三角形。
直角三角形及其性质
定义 勾股定理 特殊直角三角形
一个角为90度的三角形。 直角三角形的斜边的平方等于两腰的平方和。 45-45-90三角形和30-60-90三角形。
平面上任意两点可确定一条直线，平面上的三个点不共线，可确定一个平面，且任意两 个平面相交于一条直线。
3 平行性质
平面上的两条直线要么相交于一点，要么平行。
平面图形的分类
三角形
由三条线段连接的图形。
四边形
由四条线段连接的图形。
圆
由一个固定点到平面上任意一点 的距离相等的点的集合。
正多边形及其性质
定义
运用平面图形基本性质的例题
通过解决一些实际问题，我们将学习如何运用平面图形的基本性质。
平面的基本性质ppt课件
这个PPT课件将帮助您了解平面的基本性质，包括平面的定义和分类，各种图 形及其性质，三角形的角度定理，四边形的性质以及圆的性质和周长面积计 算。
什么是平面？
平面是一个无限延伸的二维空间，由无数个点和直线组成。
平面的基本定义和性质
1 定义
平面由至少三个不共线的点确定。
2 性质
四边形及其性质
定义
由四条线段连接的图 形。
正方形
四条边相等，四个角 都是90度。
矩形
有四个角都是90度的 四边形。
平行四边形
没有角度为90度的四 边形。
圆及其性质

公理3
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❖ 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它 们有且只有一条过这个点的公共直线。
如果平面α和β有一条公共直线a，就说 平面α与平面β相交，交线是a,记作 α ∩β。=a 两平面若相交，则有且只有一条交线。
画图规则：“见者为实，不见者为虚” 这样立体感更强，更直观。
思考3
例题
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如图：在长方体 ABCD—A1B1C1D1中，点P是棱A1B1
上的中点，画出点P，B，C1三点所确定的平面α
与长方体表面的交线。 D1 C1
Ａ1
· Ｄ P
B1 Ｃ
Ａ
Ｂ
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练习
1、判断对错： （1）如果两个平面有两个公共点A，B，那么它们就有无数多个公共 并且这些公共点都在直线AB上。( 正确 ) （2）经过一条直线的平面有无数多个（ 正确 ） （3）线段AB在平面内，则直线AB在平面内。（ 正确 ） 2、若一直线a在平面α内，则正确的图形是（ A）
A ·
B ·
α
思考1
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公理1:(如果一条直线上的两点在一个平面 内，那么这直线上的所有点都在这个平面内。)
有什么作用？
判断直线或点是否在平面内的依据
讨论
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放一支钢笔在桌面上，让它的一部分 伸出桌面外，此时钢笔所在的直线是不是 完全在桌面所在的平面内呢？
跟踪练习
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点P在直线l上，而直线l在平面α内，用符号 表示为（C ）
A.P l
B.P l
C.P l
D.P l
问题三
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新课探究9----平面图形与空间图形的概念
如果一个图形的所有点都在同一个平面内， 则称这个图形为平面图形，否则称为空间图形 .
如：三角形、梯形、平行四边形都是平面图 形；三棱锥为空间图形 .
C′
D
C
A
B
12
新课探究10----平面图形与空间图形的联系与区别
联系：从集合论的角度看，两者都是点的 集合；
2cm．
（×）
（2）一条直线把它所在的平面分成两部分，
一个平面把空间分成两部分． （3）一个平面的面积为20 cm2．
（√ ） （×）
（4）经过面内任意两点的直线，若直线上各
点都在这个面内，那么这个面是平面． （√ ）
17
课堂练习2---
观察（1）、（2）、（3）三个图形，模型 说明它们的位置关系有什么不同，并用字母表 示各个平面．
图形
Aa
Aa
A
A
符号语言
A a A a
A
A
文字语言（读法）
点 A 在直线 a 上新疆 王新敞 奎屯
点 A 不在直线 a 上新疆 王新敞 奎屯 点 A 在平面 内新疆 王新敞 奎屯
点 A 不在平面 内新疆 王新敞 奎屯
9
新课探究7----点、线、面的基本关系
图形
A ab
a
符号语言
文字语言（读法）
直线与平面无公共点或相交于一点
线）
14
例2---将下列文字语言转化为符号语言
（1）点 A 在平面 内，但不在平面 内；
（2）直线 a 经过平面 外一点 M ；
（3）直线 l 在平面
内，又在平面
内
（即平面
新疆
王新敞

平面解析几何在实际问题中的应用案例
物理学中的应用
在物理学中，许多概念和公式可以通过平面解析几何来描述和解 释，例如力学、电磁学和光学中的许多概念。
工程学中的应用
在工程学中，平面解析几何被广泛应用于机械设计、建筑设计、航 空航天等领域。
计算机图形学中的应用
在计算机图形学中，平面解析几何是生成和处理二维图形的基础， 例如在游戏开发、动画制作和计算机视觉等领域的应用。
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平面与几何体的关系
总结词
平面是几何体的重要组成部分，它可以作为几何体的边界或 表面。
详细描述
在几何学中，许多常见的几何体都是由平面构成的。例如， 长方体的每个面都是一个平面，球体的表面也是一个平面。 此外，平面还可以用来定义其他几何体的形状和大小，例如 通过平面的交线来定义三维空间的形状。
CHAPTER 02
平面上的直线的方程
两点式方程
通过平面上两点的坐标，可以求出直 线的方程。
点斜式方程
已知直线上的一个点和直线的斜率， 可以求出直线的方程。
平面上的点与直线的位置关系
点在直线上
如果一个点的坐标满足直线的方程，则该点在直线上。
点在直线外
如果一个点的坐标不满足直线的方程，则该点在直线外。
CHAPTER 04
与线性代数的联系
线性代数提供了研究平面几何对象 （如向量、矩阵和线性变换）的工 具。
平面解析几何的发展历程与未来展望
发展历程
从早期的欧几里得几何到文艺复兴时 期的笛卡尔几何，再到现代的解析几 何，平面解析几何经历了漫长的发展 历程。
未来展望
随着数学和其他学科的发展，平面解 析几何将继续发展，与其他数学分支 的交叉将更加深入，新的研究方法和 视角也将不断涌现。

解：依据公理 2，应找出平面 D′EF 和平面 ABCD 的两个公共点．如图所示，延长 D′E 交 DA 的延长线于点 M，延长 D′F 交 DC 的延长 线于点 N，则 M、N 就是平面 D′EF 与平面 ABCD 的两个公共点，直线 MN 就是两个平面 的交线．
2.如图， 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中， E、 F、 G、H、M、N 分别为正方体相应棱的中点，求 证：E、F、G、H、M、N 这六点共面．
面相交时，把空间分成四部分，平行时把空
间分成三部分．
2.“线段AB在平面α内，直线AB不全在平面α
内”这一说法是否正确，为什么？ 提示：不正确．
∵线段AB在平面α内，
∴线段AB上的所有点都在平面α内， ∴线段AB上的A、B两点一定在平面α内， ∴直线AB在平面α内．(公理1)
做一做
3.下列命题中，不正确的是________(填序号)． ①平面是无限延展的；
设两腰EG、FH相交于一点T.
∵EG⊂平面ABC，FH⊂平面ACD， ∴T∈平面ABC，且T∈平面ACD.
又平面ABC∩平面ACD＝AC，
∴T∈AC. ∴直线EG、FH、AC相交于一点T.
备选例题
1.在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E、F分别是
棱AA′、CC′的中点，试画出平面D′EF与平面 ABCD的交线．
第1章
立体几何初步
1．2 点、线、面之间的位置关系 1．2.1 平面的基本性质
学习导航
学习目标 1.了解平面的概念，体会平面的基 本属性，会用图形与字母表示平面；
2．能用符号语言描述空间点、直线、平面之
间的位置关系； 3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个
公理和三个推论，理解三个公

平面的基本性质
61、辍学如磨刀之石，不见其损，日 有所亏 。 62、奇文共欣赞，疑义相与析。
63、暧暧远人村，依依墟里烟，狗吠 深巷中 ，鸡鸣 桑树颠 。 64、一生复能几，倏如流电惊。 65、少无适俗韵，性本爱丘山。
3.2 点、线、面之间的位置关系
§3.2.1 平面的基本性质
图片欣赏
平面性质
平面的表示 平面的确定
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
2.
及直线a外一点D.
3. 求证：直线AD、BD、CD共面
例2、如图，在长方体中，点P为棱BB1的 中点，画出由A1，C1，P三点所确定的平 面α与长方体表面的交线。
D1
C1
A1
B1
DCΒιβλιοθήκη PAB不共线的三点确定一个平面 直线和直线外一点确定一个平面 两条相交直线确定一个平面 两条平行直线确定一个平面
两个平面相交的画法。
根据下列符号表示的语句，说出有 关点、线、面的关系， 并画出图形．
(1)A,B
(2)l,m
(3)l
(4 )P l,P ,Q l,Q
公理3
经过不在同一条直线上的 三点有且只有一个平面
•A
B•
•C
想一想：哪些现象可以用来说明公理3？
1、三脚的板凳才能坐稳！ 2、两块合铁和一把锁才能固定门！ 3、照相机的支架是三条腿！
平面；平面的画法；平面的表示； 公理1 (判定直线在平面内）； 公理2（判定两个平面相交）; 公理3（三点确定一个平面）

34/72
解析：若 m、n 都不与 l 相交，
∵m⊂α，n⊂β，α∩β＝l，∴m∥l、n∥l， ∴m∥n∥l，这与 m、n 为异面直线矛盾，
故 l 与 m、n 中至少一条相交． 答案：B
35/72
用 a，b，c 表示三条不同的直线，γ 表示平面，给出下列 命题：
①若 a∥b，b∥c，则 a∥c；
如线互相平行．故①，④正确． 答案：C
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空间线面的位置关系 [例 3] 设直线 m 与平面 α 相交但不．垂直，则下列说法 中正确的是( ) A．在平面 α 内有且只有一条直线与直线 m 垂直 B．过直线 m 有且只有一个平面与平面 α 垂直 C．与直线 m 垂直的直线不．可能与平面 α 平行 D．与直线 m 平行的平面不．可能与平面 α 垂直
12/72
2．求异面直线所成角 异面直线所成角的大小，是用过空间任意一点分别引它 们的平行线所成的锐角(或直角)来定义的．因此，平移直线是 求异面直线所成角的关键．这里给出几种平移直线的途径． (1)在已知平面内平移直线构造可解的三角形，或根据实 际情况构造辅助平面，在辅助平面内平移直线构造可解的三 角形，是求异面直线所成角的途径之一；
32/72
空间两条直线的位置关系 [例 2] (2011·新乡月考)已知 m、n 为异面直线，m⊂平 面 α，n⊂平面 β，α∩β＝l，则 l( ) A．与 m、n 都相交 B．与 m、n 中至少一条相交 C．与 m、n 都不相交 D．与 m、n 中的一条直线相交
33/72
分析：两条直线的位置关系有相交、平行、异面，而由 条件知，l、m 都在平面 α 内，l、n 都在平面 β 内，显然 l 与 m、 n 可以相交，故只需讨论 l 与 m、n 是否平行即可，不妨从都 平行入手加以分析讨论．

于是可得到 M∈面 ABD∩面 BCD＝BD. 即点 M 在直线 BD 上。
有关共面、共线、共点问题的证明方法 1．证明共面问题 证明共面问题，一般有两种证法：一是由某些元素确定一个 平面，再证明其余元素在这个平面内；二是分别由不同元素 确定若干个平面，再证明这些平面重合． 2．证明三点共线问题 证明空间三点共线问题，先考虑两个平面的交线，再证有关 的点都是这两个平面的公共点．或先由某两点作一直线，再 证明其他点也在这条直线上． 3．证明三线共点问题 证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第 三条直线经过这点， 把问题转化为证明点在直线上的问题． 而 这条直线往往归结为平面与平面的交线．
A, B, C三点不共线
B A
C
有且只有一个平面，使A , B , C
基本性质3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且 只有一条过这个点的公共直线。 符号语言：
P P
l且P l
四、跟踪训练 巩固新知
问题4：（教材 P38—3）一扇门，可以想象成平面 的一部分，通常用两个合页把它固定在门框的一 边上，当门不锁上的时候，可以自由转动，如果 门锁上，则门就固定在墙面上，这个事实说明平 面具有哪条基本性质?
五、小结归纳 布置作业
课堂小结：
1、平面的基本性质、推论及应用：
2、有关共面、共线、共点问题的证明方法
作业： 1、教材P38----A组、 B组 2、学案
基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这 条直线上所有的点都在这个平面内. B A A 符号语言： 直线 AB B 基本性质2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号语言：
4、（教材P37——思考与讨论变式）

思考3:根据上述分析可得什么结论？


Pl
思考4:
若两个平面有一条公共直线，则称这两个 平面相交，这条公共直线叫做这两个平面 的交线.平面α 与平面β 相交于直线l，可
记作 l，那么公理2用符号语言可怎
样表述?
P,且P l,且Pl
思考5:你能说一说公理2有哪些理论作用吗？
A．Al, A, B l, B l
B．A, A , B , B AB
C．l , Al A
D．A, B,C , A, B,C ,且A, B,C不共线 与重合
3．下面是四个命题的叙述语（其中A，B表示点，a表示直线， 表示
3.两平面两个公共点的
β
连线就是它们的交线
P
l
α
知识探究：平面的基本性质3
思考1:
空间中，经过两点有且只有一条直线，即 两点确定一条直线，那么两点能否确定一 个平面？经过三点、四点可以作多少个平 面？
思考2:
照相机，测量仪等器材的支架为何要做成 三脚架？
测量员用三角架支撑测量用的平板仪．
思考3:
l ,l
直线 L 在平面 a 之外
(I)
L

(II) L
A

L∥α
L A
直线L在平面a 内,
L
表示为： L

直线a与b 相交于点A,
b
A
a

表示为： a b A
点A在直线l上 点A在直线l外 点A在平面 内 点A在平面 外 直线l在平面 内
A
●
l
A●
l
A ●


直线
AB

2
(3)已知空间四点中,无三点共线,则可确定
A．一个平面
B．四个平面
C．一个或四个平面 D．无法确定平面的个数
盛年不重来,一日难再晨,及时当勉
3
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一、公理的推论
A
B C
推论1 经过一条直线和这
条直线外一点,有且只有一 个平面.
A
a
推论2 经过两条相交直线， a 有且只有一个平面.
三条直线相交于一点,用其中的两条
确定平面,最多可以确定6个。 盛年不重来,一日难再晨,及时当勉
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2个平面分空间有两种情况：
(1)两平面没有 公共点时
(2)两平面有公 共点时
两个平面把空间分成3或4个部分。 盛年不重来,一日难再晨,及时当勉
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盛年不重来,一日难再晨,及时当勉
1
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复习提问
平面的基本性质：公理1、2、3
练习1
(1)若A∈平面α,B∈平面α,C∈直线AB，则
A.C B.C
C.AB D .AB C
（2） 判断题
×①若直线 a与平面有公共点，则称a
×②两个平面可能只有一个公共点．
×③四条边都相等的四边形是菱形． 盛年不重来,一日难再晨,及时当勉 励,岁月不待人 ●▂●欢迎收藏
如图(2)
盛年不重来,一日难再晨,及时当勉
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b
推论3 经过两条平行直线， a 有且只有一个平面.
练习２、Ｐ １ ７盛年不重来,一日难再晨,及时当勉 励,岁月不待人 ●▂●欢迎收藏