北师大版数学选修1-2练习(第4章)复数的有关概念(含答案)

北师大版高中数学选修1-2第四章数系的扩充与复数的引入典题题库一、选择题(共65小题,每小题5.0分,共325分)1.已知＝2＋i，则复数z等于()A．－1＋3iB． 1－3iC． 3＋iD． 3－i2.设z的共轭复数是，若z＋＝4，z·＝8，则等于()A．B．C． ±1D．3.已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝()A．B．C． 1D． 24.定义运算＝ad－bc，则符合条件＝4＋2的复数z为()A． 3－iB． 1＋3iC． 3＋D． 1－3i5.复数的虚部为（）A． 3B ．C． 2D ．6.是虚数单位，（）A．B．C．D．7.设复数满足，则（）A． 0B． 1C．D． 28.在复平面内，复数对应的点位于() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限9.i是虚数单位＝ ()A．B．C．D．10.已知z是纯虚数，是实数，那么z等于()A． 2iB．iC．－iD．－2i11.i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则乘积ab的值是() A．－15B．－3C． 3D． 1512.已知复数z的实部为－1，虚部为2，则＝()A． 2－iB． 2＋iC．－2－iD．－2＋i13.设a，b∈R且b≠0，若复数(a＋bi)3是实数，则()A．b2＝3a2B．a2＝3b2C．b2＝9a2D．a2＝9b214.已知复数z1＝i，z2＝1－3，则复数z＝z1－z2在复平面内对应的点Z位于复平面内的()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限15.平行四边形ABCD中，点A，B，C分别对应复数4＋i,3＋4i,3－5i，则点D对应的复数是() A． 2－3iB． 4＋8iC． 4－8iD． 1＋4i16.|(3＋2i)－(1＋i)|表示()A．点(3,2)与点(1,1)之间的距离B．点(3,2)与点(－1，－1)之间的距离C．点(3,2)到原点的距离D．以上答案都不对17.复平面内点A、B、C对应的复数分别为i、1、4＋2i，由A→B→C→D按逆时针顺序作平行四边形ABCD，则||等于()A． 5B．C．D．18.复平面内，若复数z＝a2(1＋i)－a(4＋i)－6i所对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()A． (0,3)B． (－2,0)C． (3,4)D． (－∞，－2)19.已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，若z1－z2是纯虚数，则有()A．a－c＝0且b－d≠0B．a－c＝0且b＋d≠0C．a＋c＝0且b－d≠0D．a＋c＝0且b＋d≠020.[(a－b)－(a＋b)i]－[(a＋b)－(a－b)i]等于()A．－2b－2biB．－2b＋2biC．－2a－2biD．－2a－2ai21.如果一个复数与它的模的和为5＋i，那么这个复数是()A．B．iC．＋i.D．＋i.22.已知z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋(5m＋6)i，其中m为实数，若z1－z2＝0，则m的值为() A． 4B．－1C． 6D． 023.复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是()A． |a|＝|b|B．a<0且a＝－bC．a>0且a≠bD．a≤024.复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a、b∈R)为纯虚数的充要条件是() A． |a|＝|b|B．a<0且a＝－bC．a>0且a≠bD．a>0且a＝±b25.若sin2θ－1＋i(cosθ＋1)是纯虚数，则θ的值为()A． 2kπ－B． 2kπ＋C．D ．＋(以上)26.若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则()A．a＝－1B．a≠－1且a≠2C．a≠－1D．a≠227.若x、y∈R，则“x＝0”是“x＋yi为纯虚数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件28.若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值为()A． 1B． ±1C．－1D．－229.若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则()A．a＝－1B．a≠－1且a≠2C．a≠－1D．a≠230.已知i为虚数单位，若复数=a a，，则（）A ．B． iC ．D． 131.若a，b∈R，i是虚数单位，a+（b﹣2i）i=1+i，则为（）A． 0B． 1C． 2D． 332.已知是虚数单位，，且，则（）A． 1B． -1C． -2D． -333.设i为虚数单位，若，则实数满足（）A．B．C．D．34.已知x，y，为虚数单位，且（x﹣2）i﹣y=则的值为（）A． 4B．﹣4C．﹣2D．﹣2+2i35.复数4﹣2与复数2+相等，则实数的值为（）A． 1B． -4C． 1或-4D． 0或-436.已知为虚数单位，若（3﹣i）i=（，则点（a，b）位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限37.已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A． 3﹣4iB． 3+4iC．﹣3﹣4iD．﹣3+438.若a，b∈R，i为虚数单位，且，则（）A．a=﹣，b=B．a=﹣，b=﹣C．a=，b=﹣D．a=，b=39.已知复数z满足=1﹣z，则z的虚部为（）A．﹣1B．C． 1D．40.若复数z满足：z+|z|=1+2i，则z的虚部为（）A ．B． 1C． 2D．41.已知，其中，i是虚数单位，则（）A． 1B． -1C． 7D． -742.若，是虚数单位，且b+（﹣2）i=1+i，则a+b的值为（）A． 1B． 2C． 3D． 443.若，其中，i是虚数单位，则复数=（）A． 1+2B．﹣1+2iC．﹣1﹣2iD． 1﹣2i44.已知复数z满足z•i=2﹣i，i为虚数单位，则z=（）A． 2﹣iB． 1+2iC．﹣1+2D．﹣1﹣245.若=（），i是虚数单位，则乘积的值是（）A． -15B． 3C． -3D． 546.若复数cosθ＋i sinθ和sinθ＋i cosθ相等，则θ的值为() A．B．或πC． 2kπ＋D ．kπ＋()47.下列命题中：①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；②若a，b∈R且a>b，则a＋i3>b＋i2；③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1；④两个虚数不能比较大小．其中，正确命题的序号是()A．①B．②C．③D．④48.下列命题中假命题是()A．不是分数B．i不是无理数C．－i2是实数D．若a∈R，则ai是虚数49.若z的实部为lg x2，虚部为lg2x，x是正实数，那么()A．使z的实部、虚部都是正数的x的集合是(1，＋∞)B．使z的虚部为负数的x的集合是(0,1)C．使z的实部和虚部互为相反数的x的集合是{1}D．使z的实部和虚部互为倒数的x的集合是50.对于复数a＋bi(a，b∈R)，下列结论正确的是()A．a＝0⇔a＋bi为纯虚数B．b＝0⇔a＋bi为实数C．a＋(b－1)i＝3＋2i⇔a＝3，b＝－3D．－1的平方等于i51.下列命题中哪个是真命题()A．－1的平方根只有一个B．i是1的四次方程C．i是－1的立方根D．i是方程x6－1＝0的根52.以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是()A． 3－3iB． 3＋iC．－＋iD．＋i53.对任意复数z=（x，y∈R），i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A．B．2=22C． ||≥D ．54.是虚数单位，i2013=（）A．B．C． 1D．﹣155.已知i是虚数单位，则i+i2+i3+…+i2011=（）（注：指数从1到2011共2011项连加）A． 1B．﹣1C． ID．﹣i56.为虚数单位，（）A． 0B． 2iC．﹣2iD． 4i57.i是虚数单位，复数z=i2011的虚部是（）A． 0B．﹣1C． 1D．﹣i58.已知是虚数单位，则=（）A ．B ．C ．D．59.已知集合A={i，i2，i3，i4}（i为虚数单位），给出下面四个命题：①若∈A，y∈A，则②若，则③若x则；④若，则∈A其中正确命题的个数是（）A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个60.下列n的取值中，使n=1（是虚数单位）的是（）A． n=2B． n=3C． n=4D． n=561.是虚数单位，i（1+i）等于（）A ．B ．C ．D ．62.用i表示虚数单位，则1+i+i2+…+2005=（）A． 0B． 1C． ID． 1+63.已知i为虚数单位，集合A={n∈N*|i n=﹣1}，则集合A中的最小元素为（）A． 2B． 4C． 6D． 864.已知=n﹣﹣n（2=﹣1，，集合的元素个数是（）A． 2B． 3C． 4D．无数个65.i+i2+i3+…+i2011的值是（）A． 1B．C．D．﹣1分卷II二、填空题(共23小题,每小题5.0分,共115分)66.若复数z满足z＝|z|－3－4i，则＝________.67.复数的值是．68.已知复数，复数满足，则复数．69.已知复数满足，，其中为虚数单位，，若，求的取值范围．70.表示为a＋bi(a，b∈R)，则a＋b＝________.71.若复数z满足z＝i(2－z)(i是虚数单位)，则z＝________.72.若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．73.复平面内三点A、B、C，A点对应的复数为2＋i，对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，则点C对应的复数为________．74.在复平面上的△ABC中，对应复数为6＋5i，对应复数为－3＋6i，则对应复数为________．75.已知复数z1，z2，|z1|＝|z2|＝1，且|z1＋z2|＝，则|z1－z2|＝________76.已知z1＝a＋(a＋1)i，z2＝－3b＋(b＋2)i(a，b∈R)，若z1－z2＝4，则a＋b＝________.77.计算：＝______.78.设m∈Z，复数z＝(2＋i)m2－3(1＋i)m－2(1－i)，(1)若z为实数，则m＝________；(2)若z为纯虚数，则m＝________.79.已知复数z＝k2－3k＋(k2－5k＋6)i(k∈Z)，且z＜0，则k＝________.80.方程(2x2－3x－2)＋(x2－5x＋6)i＝0的实数解x＝________.81.如果z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i为纯虚数，那么实数a的值为________．82.已知复数z＝－x＋(x2－4x＋3)i>0，则实数x＝________.83.若复数z＝m＋(m2－1)i(m∈R)满足z<0，则m＝________.84.复数z＝sinθ－1＋i(1－2cosθ)且θ∈(0，π)，若z为实数，则θ的值为________；若z为纯虚数，则θ的值是________．85.若，为虚数单位，且（）=b+，则=86.若x<y＜0且xy－(x2＋y2)i＝2－5i，则x＝______，y＝________.87.计算：1+i+i2+i3+…+i100（i为虚数单位）的结果是88.等于三、解答题(共10小题,每小题12.0分,共120分)89.计算：(1)＋2000＋；(2)1＋i n＋i2n＋…＋i2000n(n∈N)．90.若z∈C，且，求的最小值．91.在复平面内，复数z1在连接1＋i和1－i的线段上移动，设复数z2在以原点为圆心，半径为1的圆周上移动，求复数z1＋z2在复平面上移动范围的面积．92.计算：93.已知z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ－isinβ且z1－z2＝＋，求cos(α＋β)的值．94.(1)若f(z)＝z＋1－，z1＝3＋4i，z2＝－2＋i，求f(z1－z2)；(2)z1＝2cosθ－i，z2＝－＋2i sinθ(0θ2π)，且z1＋z2对应的点位于复平面的第二象限，求θ的范围．95.若log2(m2－3m－3)＋i log2(m－2)为纯虚数，求实数m的值．96.已知复数z＝＋(a2－5a－6)i(a∈R)．实数a取什么值时，z是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？97.已知复数x2－1＋(y＋1)i大于2x＋3＋(y2－1)i，试求实数x，y的取值范围．98.已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．答案解析1.【答案】B【解析】因为＝(1＋i)(2＋i)＝2＋3i＋i2＝1＋3i，所以z＝1－3i.2.【答案】D【解析】设z＝a＋b i(a，b∈R)，则＝a－b i，由z＋＝4，z＝8得∴∴z＝2＋2i，＝2－2i或z＝2－2i，＝2＋2i，＝＝－i或＝＝i.∴＝±i，3.【答案】A【解析】∵z＝＝＝=∴＝∴z·＝|z|2＝，4.【答案】A【解析】由定义得＝z＋z＝z(1＋i)＝4＋2i∴z＝＝3－i.5.【答案】D【解析】6.【答案】A【解析】7.【答案】C【解析】即可得==8.【答案】B【解析】考查复数的运算．z＝－2＋，对应点位于第二象限，9.【答案】B【解析】＝＝＝10.【答案】D【解析】本小题主要考查复数的运算．设z＝bi(b∈R)，则＝＝＋i，∴＝0，∴b＝－2，∴z＝－2i，11.【答案】B【解析】本题考查复数的概念及其简单运算．＝＝－1＋3i＝a＋bi，∴a＝－1，b＝3，∴ab＝－3.12.【答案】A【解析】考查复数的运算．z＝－1＋2i，则＝＝＝2－i.13.【答案】A【解析】本小题主要考查复数的运算．(a＋bi)3＝a3＋3a2bi－3ab2－b3i＝a3－3ab2＋(3a2b－b3)i，∴3a2b－b3＝0，∴3a2＝b2，、14.【答案】A【解析】∵z1＝3＋2，z2＝1－3，∴z＝z1－z2＝3＋2－(1－3i)＝(3－1)＋(2＋3)i＝2＋5i.∴点Z位于复平面内的第一象限．15.【答案】C【解析】对应的复数为(3＋4i)－(4＋i)＝(3－4)＋(4－1)i＝－1＋3i，设点D对应的复数为z，则对应的复数为(3－5i)－z.由平行四边形法则知＝，∴－1＋3i＝(3－5i)－z，∴z＝(3－5i)－(－1＋3i)＝(3＋1)＋(－5－3)i＝4－8i.故应选C.16.【答案】A【解析】根据复数减法的几何意义，|(3＋2i)－(1＋i)|表示点(3,2)与点(1,1)之间的距离．17.【答案】B【解析】∵＝＋＝＝＝＝＝＝2＋3i.∴＝.故选B.18.【答案】C【解析】z＝(a2－4a)＋(a2－a－6)i.∵复数z所对应的点在第二象限．∴解得3<a<4.19.【答案】A【解析】z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i，∵z1－z2是纯虚数，∴a－c＝0且b－d≠0.20.【答案】A【解析】原式＝[(a－b)－(a＋b)]＋[－(a＋b)＋(a－b)]i＝－2b－2b21.【答案】C【解析】设这个复数为a＋bi(a，b∈R)，则|a＋bi|＝.由题意知a＋b＋＝5＋i即a＋＋bi＝5＋i∴，解得a＝，b＝.∴所求复数为＋i.故应选C.22.【答案】B【解析】z1－z2＝(m2－3m＋m2i)－[4＋(5m＋6)i]＝(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i＝0∴解得m＝－1，23.【答案】D【解析】复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，而|a|＝－a，∴a≤0，故应选D.24.【答案】D【解析】a2－b2＝0，且a＋|a|≠0.25.【答案】B【解析】由得()∴θ＝2kπ＋.选B.26.【答案】C【解析】若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i不是纯虚数，则有a2－a－2≠0或|a－1|－1＝0，解得a≠－1.故应选C.27.【答案】B【解析】x＝0，y＝0时，x＋yi不是纯虚数．故选B.28.【答案】A【解析】解法一：由x2－1＝0得，x＝±1，当x＝－1时，x2＋3x＋2＝0，不合题意，当x＝1时，满足，故选A.解法二：检验法：x＝1时，原复数为6i满足，排除C、D；x＝－1时，原复数为0，不满足，排除B.故选A.29.【答案】C【解析】①因为a2－a－2≠0时，已知的复数一定不是纯虚数．解得a≠－1且a≠2.②当a2－a－2＝0，且|a－1|－1＝0时，已知的复数也不是一个纯虚数．解得∴a＝2.综上可知，当a≠－1时，已知的复数不是一个纯虚数．故选C.30.【答案】D【解析】∵==i，∴a=0，b=1．∴1．31.【答案】A【解析】∵∴，化为，∴，∴．32.【答案】D【解析】由（a+i）i=b﹣2i，可得：﹣1+=b﹣2i．∴．∴33.【答案】C．【解析】由可得，x+1+（1﹣x）i=y，∴，∴34.【答案】D【解析】（x﹣2）i﹣y=1，即（x﹣2）i=y+1，所以，解得x=2，y=﹣1，所以=（1+）2+1=（1+i）3=﹣2+2i，35.【答案】C【解析】因为是实数，复数4﹣3a﹣a2i与复数a2+4ai相等，所以解得=﹣4；36.【答案】A【解析】∵（3﹣i）i=+b i∴，∴，b=3，∴点的坐标是（1，3）这是第一象限的一个点，37.【答案】A【解析】∵复数z满足（3+4i）z=25，则z====3﹣4i，38.【答案】B【解析】∵，=-又a+bi=，∴a+bi=，则a=，b=．39.【答案】B【解析】∵=1﹣z，∴1+z=（1﹣z）i，∴（1+i）z=﹣1+i，∴z===i，40.【答案】C【解析】设（a，b∈R），代入z+|z|=1+2i，得：a+b i+=1+2，∴，∴z的虚部为2．41.【答案】B【解析】因为．由，得：解得．所以，x=﹣1．42.【答案】D．【解析】∵b+（a﹣2）i=1+i，∴，∴a=3，b=1．∴．43.【答案】B【解析】∵，其中，i是虚数单位，∴∴a=﹣1，b=2，故a+bi=﹣1+2，44.【答案】D【解析】设z=（a，b∈R），∵，∴∴，∴，解得．∴z=﹣1﹣2i．45.【答案】C．【解析】∵=（a，b∈R），i是虚数单位，∴=，∴=，∴∴a=﹣1，b=3，∴ab=﹣3，46.【答案】D【解析】由复数相等的条件得cosθ＝sinθ.∴θ＝kπ＋．故选D.47.【答案】D【解析】对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0，且b≠0时为纯虚数．在①中，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故①错误；在③中，若x＝－1，也不是纯虚数，故③错误；a＋i3＝a－i，b＋i2＝b－1，复数a－i与实数b－1不能比较大小，故②错误；④正确．故应选D.48.【答案】D【解析】当a＝0时，ai是实数，所以D是假命题，故应选D.49.【答案】A【解析】由解得x>1，A正确．故应选A.50.【答案】B【解析】a＝0且b≠0时，a＋bi为纯虚数，A错误，B正确．a＋(b－1)i＝3＋2i⇒a＝3，b＝3，C错误．(－1)2＝1，D错误．故应选B.51.【答案】B【解析】∵(±i)2＝－1，∴－1的平方根有两个，故A错；∵i3＝－i≠－1.∴i不是－1的立方根；∴C错；∵i6＝i2＝－1，∴i6－1≠0故i不是方程x6－1＝0的根，故D错；∵i4＝1，∴i是1的四次方根，故选B.52.【答案】A【解析】∵3i－的虚部为3,3i 2＋i的实部为－3，∴所求复数为3－3i.故选A.53.【答案】D【解析】由于复数，i为虚数单位，∴，故A错误．由z2=x2﹣y2﹣2xy i，故（B）错误．由|z﹣|=2|y|，不一定大于或等于2x，故（C）错误．由|z|=≤=|x|+|y|，故（D）正确．54.【答案】A【解析】2013=i2012•i=（i2）1006•i=（﹣1）1006•i=i．55.【答案】B【解析】∵i+i2+i3+i4=i﹣1﹣i+1=0∴复数z=i+i2+i3+i4+…+i2011=i+i2+i3=﹣156.【答案】A【解析】57.【答案】B【解析】z=i2011=i4×502+3=i3=﹣i，∴虚部为﹣1，58.【答案】A【解析】=﹣i﹣i=﹣2i，59.【答案】B【解析】∵集合A={i，i2，i3，i4}①若，则，不正确，可以取，则不属于A，故①不正确，②若，则同样取第一个中出现的两个数字验证，故②不正确，③若则；分别取集合中的4个数字进行验证，故③正确，④若，则∈A，分别取集合中的4个数字进行验证，故④正确，总上所述有两个说法是正确的．60.【答案】C【解析】∵要使i n=1，则n必须是4的整数倍，在下列的选项中只有C符合题意，61.【答案】D【解析】2=﹣1+．62.【答案】D【解析】∵i+i2+i3+i4=i﹣1﹣i+1=0∴复数z=1+i+i2+i3+…+i2005=1+i63.【答案】A【解析】i为虚数单位，集合A={n∈N*|i n=﹣1}，则n=4k+2，k∈z，则集合A中的最小元素为n=2.64.【答案】B【解析】f（0）=i0﹣i0=0，f（1）=i﹣i﹣1=i﹣=2i，f（2）=i2﹣i﹣2=0，f（3）=i3﹣i﹣3=﹣2i当n=4时，依次出现相同的结果，∴共有3个元素，65.【答案】D【解析】i+i2+i3+…+i2011=502×（i+i2+i3+i4）+i+i2+i3=502×0+i﹣1﹣i=﹣1．66.【答案】＋4i【解析】设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则∴，∴＝＋4i67.【答案】【解析】68.【答案】【解析】，=69.【答案】由题意，得，于是，，则有，即，解得．【解析】70.【答案】1【解析】本小题考查复数的除法运算．∵＝＝i，∴a＝0，b＝1.因此a＋b＝1.71.【答案】1＋【解析】本题主要考查复数的运算．∵z＝i(2－z)，∴z＝＝1＋i.72.【答案】【解析】设＝bi(b∈R且b≠0)，∴z 1＝bi(z2)，即.∴⇒a＝.73.【答案】4－2i【解析】∵对应的复数是1＋2i，对应的复数为3－i，∴对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.又∴C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.74.【答案】9－i【解析】＝＝6＋5i＋3－6i＝9－i所以BC对应的复数为9－i.75.【答案】1【解析】在直角坐标系内以原点O为起点作出复数z1，z2对应的向量，，如图所示，则向量对应的复数为z1＋z2，向量，对应的复数为z1－z2，因为＝1，＝1，＝，所以平行四边形OZ1ZZ2是菱形，所以OZ⊥Z1Z2，∠Z1OZ＝∠Z2OZ＝30°.所以∠Z2OZ1＝60°.所以△OZ1Z2为等边三角形，即||＝1.所以|z1－z2|＝1.76.【答案】3【解析】z 1－z2＝a＋(a＋1)i－[－3b＋(b＋2)i]＝＋[(a＋1)－(b＋2)i]＝＋(a－b－1)i＝4，∴，解之得，∴a＋b＝3.77.【答案】16i【解析】原式＝＝(2－5＋3)＋(7＋13－4)i＝16i.78.【答案】(1)1或2(2)－【解析】(1)z＝(2＋i)m2－3(1＋i)m－2(1－i)＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.由题意：m2－3m＋2＝0，即m＝1或m＝2时，z是实数．(2)依题意解得m＝－，∴当m＝－时，z是纯虚数．79.【答案】2【解析】∵z＜0，k∈Z，∴∴k＝2.80.【答案】2【解析】方程可化为解得x＝2.81.【答案】2【解析】如果z为纯虚数，需，解之得＝－2.82.【答案】【解析】复数z能与0比较大小，则复数一定是实数，由题意知，解得x＝1.83.【答案】－1【解析】∵z<0即，∴m＝－1.84.【答案】【解析】z∈R时，1－2cosθ＝0，∴cosθ＝，∵0<θ<π，∴θ＝；z为纯虚数时，，又∵θ∈(0，π)，∴θ＝.85.【答案】-2【解析】∵若为虚数单位，且，∴，化为﹣1+ai=b+2+i，∴，解得，∴a+b=﹣2．86.【答案】－2－1【解析】由复数相等的条件知，∵x＜y＜0，∴.87.【答案】1【解析】由等比数列的求和公式可得：1+i+i2+i3+ (i100)而i101=（i4）25•i=i，故88.【答案】﹣i【解析】i2011=i4×502+3=i3=﹣i，89.【答案】(1)原式＝＋(－i)100＋＝i＋1＋＋i＝＋i.(2)当n＝4k(k∈N)时，原式＝1＋1＋…＋1＝2001.当n≠4k(k∈N)时，原式＝＝＝＝1.【解析】90.【答案】设z＝x＋y i(x，y∈R)，则，即＝1，∴＝1，∴(x＋2)2＋(y－2)2＝1，即复数z对应复平面上的点Z在以(－2,2)为圆心，以1为半径的圆上，∴－3≤x≤－1.而＝＝＝，∵－3x－1，∴当x＝－1时，取最小值3.【解析】91.【答案】设ω＝z1＋z2，z2＝ω－z1，|z2|＝|ω－z1|.∵|z2|＝1，∴|ω－z1|＝1.上式说明对于给定的z1，ω在以z1为圆心，1为半径的圆上运动，又z1在连接1＋i和1－i的线段上移动，∴ω的移动范围的面积为：S＝2×2＋π×12＝4＋π.【解析】92.【答案】解法1：解法2：【解析】93.【答案】∵z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ－isinβ∴z1－z2＝(cosα－cosβ)＋i(sinα＋sinβ)＝＋i∴①2＋②2得2－2cos(α＋β)＝1即cos(α＋β)＝.【解析】94.【答案】(1)z1－z2＝3＋4i－(－2＋i)＝5＋3i，f(z1－z2)＝(z1－z2)＋(1－i)＝5＋3i＋1－i＝6＋2i.(2)z1＋z2＝(2cosθ－i)＋(－＋2isinθ)＝(2cosθ－)＋(2sinθ－1)i，由题意得：，即又θ∈[0,]，故θ∈.【解析】95.【答案】∵log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)为纯虚数，∴∴m＝4，故当m＝4时，log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)是纯虚数．96.【答案】(1)当z为实数时，则有所以所以当时，z为实数．(2)当z为虚数时，则有所以即a≠±1且a≠6.所以当a∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z为虚数．(3)当z为纯虚数时，则有所以所以不存在实数a使得z为纯虚数．97.【答案】∵x2－1＋(y＋1)i>2x＋3＋(y2－1)i，∴，∴y＝－1，x<1－或x>1＋，即的取值范围分别是{x|x<1－或x>1＋}，{y|y＝－1}．【解析】98.【答案】∵M∪P＝P，∴M⊆P∴由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，得，解之得m＝1.由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i得解之得m＝2.。

一、选择题1．“20>z ”是“z 是非零实数”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要2．已知()2155 2i z i -=+，则z 的虚部是（ ） A ．1 B ．-1 C ．3 D ．-33．设复数(1)i(,)z x y x y =-+∈R ，若||1z ，记事件A ：实数x y ，满足10x y --，则事件A 的概率为（ ）A ．14B ．12C ．12πD ．1π4．已知复数12z z ，在复平面内的对应点关于实轴对称，13z i =-（i 为虚数单位），则12z z =（ ） A ．4355i - B ．4355i -+ C ．4355i -- D ．4355i + 5．已知i 为虚数单位，若(1)2z i i ⋅+=，则复数z 的模等于（ ）． A ．1i + B ．1i - C ．2 D6．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数(2)(1)z a i i =-+在复平面内对应的点为M ，则“1a =”是“点M 在第四象限”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．已知i 是虚数单位，复数212i z i +=-，则复数z =（ ） A ．1B ．1-C ．i -D ．i 8．下列3个命题：①若12,z z C ∈，22120z z +=，则120z z ==； ②若z 是纯虚数，则20z <；③若12,z z C ∈，且120z z ->，则12z z >.其中真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．39．复数()23z i i =-+（i 是虚数单位）的虚部是( ) A ．2-B ．2i -C ．3D ．3i 10．复数1323i i+的共轭复数为（ ） A ．32i +B ．32i -C ．23i +D ．23i -11．已知a 是实数，1a i i +-是纯虚数，则 a 等于（ ） A ．2- B ．1-C ．2D ．1 12．已知复数()()211i a bi i -+=+（i 是虚数单位，,a b ∈R ），则a b +=（ ） A ．2- B ．-1C ．0D ．2 二、填空题13．若121ai i i+=--（其中i 是虚数单位），则实数a =_____. 14．i 为虚数单位，若复数22(23)()m m m m i +-+-是纯虚数，则实数m =_______. 15．设复数211z z iz =-(其中表示复数1z 的共轭复数),若2z 的实部是-1,则2z 的虚部是__________.16．已知方程240x px ++=()p R ∈有两个虚根,αβ，则22αβ+的取值范围是________17．复数(12)(3),z i i =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是________________. 18．已知z a bi =+(a b R i ∈，，是虚数单位),12z z C ∈，，定义:()()1212D z z a b D z z z z ==+=-，，，给出下列命题:(1)对任意z C ∈，都有()0D z ＞；(2)若z 是z 的共轭复数,则()()D z D z =恒成立；(3)若()()()1212D z D z z z C =∈，，则12z z =；(4)对任意123z z z C ∈，，，结论()()()131223+D z z D z z D z z ≤，，，恒成立.则其中所有的真命题的序号是_____________.19．已知i 为虚数单位，23i -是关于x 的方程220x px q ++=（p ，q 为实数）的一个根，则p q +=__________．20．如果复数z =421i i-+（其中i 为虚数单位），那么Im z （即的虚部）为__________． 三、解答题21．已知复数Z 满足23z i z i -=++（其中i 为虚数单位）（1）求z ；（2）若2a i z+为纯虚数，求实数a 的值． 22．已知复数1z i =-. （1）设(1)13w z i i =+--，求w ；（2）如果21z az b i i++=+，求实数a ，b 的值. 23．已知z 是复数，且z i +，2z 1+i 均为实数(i 为虚数单位). （Ⅰ）求复数z ；（Ⅱ）若z i a +=a 的值.24．已知x 为实数，复数i x x x x z )23()2(22+++-+=.（1）当x 为何值时，复数z 为纯虚数？（2）当0=x 时，复数z 在复平面内对应的点Z 落在直线n mx y +-=上，其中0>mn ，求nm 11+的最小值及取得最值时的m 、n 值. 25．已知复数z 满足(1)13i z i +=-（i 是虚数单位）. （1）求复数z 的虚部；（2）若复数(1)ai z +是纯虚数，求实数a 的值；（3）若复数z 的共轭复数为z ，求复数1z z +的模. 26．（1）对于复数12,z z ，若()121z i z -⋅=，则称1z 是2z 的“错位共轭”复数，求复数12i -的“错位共轭”复数； （2）设复数[]()cos sin 0,2z i θθθπ=+∈，其中i 为虚数单位，若212z <，求θ.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】设(),,z a bi a b R =+∈，由题意结合复数的运算及性质可得0a =或0b =，分类讨论即可得0a ≠、0b =；当z 是非零实数，则20>z ；由充分条件和必要条件的概念即可得解.【详解】设(),,z a bi a b R =+∈，则2222z a b abi =-+，若20>z ，则0a =或0b =，当0a =时，220z b =->不存在，当0b =时，220z a =>即0a ≠，所以若20>z ，则z 是非零实数；若z 是非零实数，则20>z ；所以“20>z ”是“z 是非零实数”的充要条件.故选：C.【点睛】本题考查了复数的运算及复数性质的应用，考查了充分条件、必要条件的判断，属于中档题.2．D解析：D【分析】根据复数的运算，求得13z i =-，进而取得复数的虚部，得到答案．【详解】由题意，复数()()()()()215534155155 133434342i i i i z i i i i i ----====-++-+，所以复数z 的虚部为3-，故选D ．【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的基本概念，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．B解析：B【解析】【分析】先计算复数表示的圆面22(1)1x y -+，由于直线10x y --=过()2211x y -+=的圆心，概率为12【详解】由(1)i z x y =-+得到||1z =，22(1)1x y -+， 又直线10x y --=过()2211x y -+=的圆心，所以事件A 的概率为12p =． 故选B ．【点睛】本题考查了几何概型，判断直线10x y --=过()2211x y -+=的圆心是解题的关键. 4．A解析：A【分析】由题意，求得13z i =-，则23z i =+，再根据复数的除法运算，即可求解．【详解】由题意，复数12,z z 在复平面内的对应点关于实轴对称，13z i =-，则23z i =+， 则根据复数的运算，得12343355z i i z i -==-+.故选A. 【点睛】本题主要考查了复数的表示，以及复数的除法运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．5．D解析：D【分析】结合复数的四则运算,计算复数z ，计算模长，即可．【详解】()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-，z =，故选D. 【点睛】本道题考查了复数的乘除运算法则，复数的模的求法，难度中等．6．A解析：A【解析】因为(2i)(1+i)=a+2+(a-2)i z a =-，则点M 在第四象限时，满足2>a>-2,因此可知“1a =”是“点M 在第四象限”的充分而不必要条件，选A7．D解析：D【解析】分析：利用复数的运算法则，分子和分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数化，化简求得结果. 详解：()222(2)(12)252512(12)12145i i i i i i z i i i i i +++++=====--+-, 故选D.点睛：该题考查的是有关复数的运算，涉及到的知识点有复数的除法运算以及复数的乘法运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键，属于简单题目.8．B解析：B【解析】分析：通过举反例可判断①错误，由复数的乘法法则判断②正确，由复数的概念可判断③错误.详解：令1z i =，21z =，满足22120z z +=，故①错误.z 是纯虚数,即(0)z bi b =≠，则220z b =-<，故②正确.只有当12,z z R ∈时，才可以比较大小，故③错误.综上,真命题有1个.故选B.点睛：本题以命题的真假判断为载体考查了复数的基本概念和性质，特殊值排除法常可用于此类问题的求解.9．A解析：A【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘法运算化简后得到答案.详解：因为2(23)2332z i i i i i =-+=-+=--，所以其虚部为2-，故选A.点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘法运算，复数的虚部的概念，一定要注意复数的虚部是i 的系数. 10．B解析：B【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由复数的运算法则可知：()()()23231323322323i i i i i i i i i+-==-=+++， 则复数1323i i+的共轭复数为32i -. 本题选择B 选项. 点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．D解析：D【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意可知：()()()()()()1111112a i i a a i a i i i i ++-+++==--+， 1a i i +-为纯虚数，则：1010a a -=⎧⎨+≠⎩，据此可知1a =.本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12．A解析：A【解析】分析：由题意首先求得等式右侧的复数，然后结合复数相等的充分必要条件整理计算即可求得最终结果.详解：由复数的运算法则可得：()()()()2121222111112i i i i i i ii i i ------====--+++-， 结合题意可得：1a bi i +=--，即：1,1a b =--=-，据此可得：2a b +=-.本题选择A 选项. 点睛：本题主要考查复数的综合运算，复数相等的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题13．【解析】【分析】由可知根据复数的乘法运算及复数相等的概念即可求解【详解】因为所以所以【点睛】本题主要考查了复数的乘法运算复数相等的概念属于中档题解析：3-【解析】【分析】 由121ai i i+=--可知1(1)(2)ai i i +=--，根据复数的乘法运算，及复数相等的概念即可求解.【详解】 因为121ai i i+=-- 所以1(1)(2)13ai i i i +=--=- 所以 3a =-【点睛】本题主要考查了复数的乘法运算，复数相等的概念，属于中档题.14．-3【解析】分析：利用纯虚数的定义直接求解详解：∵复数是纯虚数解得故答案为-3点睛：本题考实数值的求法是基础题解题时要认真审题注意纯虚数的定义的合理运用解析：-3【解析】分析：利用纯虚数的定义直接求解．详解：∵复数()()2223m m m m i +-+-是纯虚数，222300m m m m ⎧+-∴⎨-≠⎩＝ ，解得3m =- ．故答案为-3． 点睛：本题考实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意纯虚数的定义的合理运用．15．1【解析】设则∴∵的实部是∴的虚部是故答案为解析：1【解析】设()1,z a bi a b R =+∈，则1z a bi =-. ∴()()()211z z iz a bi i a bi a bi b ai a b a b i =-=+--=+--=---∵2z 的实部是1-∴2z 的虚部是1故答案为1.16．【解析】因为为方程两个根所以方程有虚根所以故故填解析：[0,8)【解析】因为,αβ为方程两个根，所以p αβ+=-，4αβ⋅=，方程有虚根，所以2160,44p p ∆=-<-<<，故2222()28[0,8)p αβαβαβ+=+-⋅=-∈，故填[0,8).17．5【解析】试题分析：故答案应填：5【考点】复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念属于基本题首先对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其次要熟悉复数的相关概念如复数的实 解析：5【解析】试题分析：(12i)(3i)55i z =+-=+．故答案应填：5【考点】复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),,,,a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ++=-++∈，其次要熟悉复数的相关概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a ，虚部为ba bi -18．（2）（4）【分析】由新定义逐一核对四个命题得答案【详解】解：对于（1）当时命题（1）错误；对于（2）设则则命题（2）正确；对于（3）若则错误如满足但；对于（4）设则由得恒成立（4）正确∴正确的命题解析：（2），（4）【分析】由新定义逐一核对四个命题得答案．【详解】解：对于（1），当0z =时，()|0||0||0|0D z ==+=，命题（1）错误；对于（2），设z a bi =+，则z a bi =-， 则()||||D z z a ==||||||||()b a b z D z +-=+==，命题（2）正确；对于（3），若()()()1212,z z z D D z C =∈，则1z =2z 错误，如121,1z i z i =+=-，满足()()12D z D z = ()12,z z C ∈，但12z z ≠；对于（4），设123,,z a bi z c di z e fi =+=+=+，则()1212,()()||||D z z a c b d i c b z a d z =-=-+-=-+-，()2323,()()||||D z z c e d f i e d z c f z =-=-+-=-+-，()1313,()()||||D z z a e b f i e b z a f z =-=-+-=-+-，由|||()()|||||,|||()()|||||a e a c c e a c c e b f b d d f b d d f -=-+-≤-+--=-+-≤-+-，得()()()131223+D z z D z z D z z ≤，，，恒成立，（4）正确．∴正确的命题是（2）（4）．故答案为（2），（4）．【点睛】本题是新定义题，考查了命题的真假判断与应用，考查了绝对值的不等式，是中档题． 19．38【解析】分析：把代入方程得再化简方程利用复数相等的概念得到pq 的值即得p+q 的值详解：把代入方程得所以所以所以所以p+q=38故答案为38点睛：（1）本题主要考查解方程和复数相等的根意在考查学生解析：38【解析】分析：把23i -代入方程得22(23)(23)0i p i q -+-+=，再化简方程利用复数相等的概念得到p,q 的值，即得p+q 的值.详解：把23i -代入方程得22(23)(23)0i p i q -+-+=，所以2(4912)230i pi p q -+-+-+=，所以1024230,(224)1030i pi p q p i p q -+-+=∴-+-+=， 所以2240,12,24.1030p p q p q -=⎧∴==⎨-+=⎩所以p+q=38.故答案为38. 点睛：（1）本题主要考查解方程和复数相等的根，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 复数相等:(,,,)a bi c di a b c d R a c b d +=+∈⇔==且.20．－3【分析】对复数进行化简得到的虚部即为答案【详解】所以其虚部为【点睛】本题考查复数的运算虚部的概念属于简单题解析：－3【分析】对复数z 进行化简，得到z 的虚部，即为答案.【详解】z =421i i -+()()421132i i i --==- 所以其虚部为3-【点睛】本题考查复数的运算，虚部的概念，属于简单题.三、解答题21．（1）34z i =+；（2）83a =-. 【分析】 (1) 设(),z x yi x y R =+∈，可得2040x y -=-=⎪⎩，解得34x y =⎧⎨=⎩从而可得结果；(2) 由（1）知()3864225a a i a i z ++-+=，利用2a i z +为纯虚数可得380640a a +=⎧⎨-≠⎩，从而可得结果.【详解】（1）设(),z x yi x y R =+∈， 由于23z i z i -=++23i x yi i =-++()240x y i -+-=2040x y -=∴-=⎪⎩解得：34x y =⎧⎨=⎩34z i ∴=+ （2）由（1）知()()()()23422343434a i i a i a i z i i i +-++==++- ()386425a a i++-=又2a i z+为纯虚数， 380640a a +=⎧∴⎨-≠⎩ 83a ∴=- 【点睛】本题主要考查的是复数的分类、复数的乘法、除法运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++以及()()()()a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- 运算的准确性，否则很容易出现错误.22．(1) w =32a b =-⎧⎨=⎩ 【解析】分析：（1）根据复数的除法运算得到13w i =-，进而得到模长；（2）根据复数相等的概念得到()121a b a +=-⎧⎨-+=⎩，进而求得参数. 详解：（1）因为1z i =-，所以()()111313w i i i i =-+--=-.∴w =（2）由题意得：()()2211z az b i a i b ++=-+-+ ()2a b a i =+-+； ()11i i i +=-+，所以()121a b a +=-⎧⎨-+=⎩， 解得32a b =-⎧⎨=⎩. 点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.23．（1）1z i ，=--（2）3a =或1a =-【解析】试题分析:（1）设R z x yi x y =+∈，、,根据复数为实数条件列方程组100y y x +=⎧⎨-=⎩,解得1x y ==-（2）根据复数模的定义得方程()()221+15a --=,解方程可得实数a 的值.试题解：（1）设R z x yi x y =+∈，、则()++1R z i x y i x y =+∈，、；()()221+1+x yi z x y y x i i i+==++- 2+1+z z i i，均为实数， 100y y x +=⎧∴⎨-=⎩ 1x y ∴==- 1z i ∴=--，（2）由z i a +=得1i i a --+=()()221+15a ∴--= 3a ∴=或1a =-24．（1）1；（2）32+22-=m 且222-=n . 【解析】试题分析：（1）运用纯虚数的概念建立方程求解；（2）运用题设条件建立方程，再运用基本不等式求解.试题（1）令022=-+x x ，则2-=x 或1=x又0232≠++x x ，所以1=x（2）当0=x 时，Z(-2,2)，又Z 落在直线n mx y +-=上，所以22=+n m ，又0>mn ， 所以223223)2)(11(11+≥++=++=+m n n m n m n m n m ，当且仅当222m n =时等号成立，又22=+n m ，所以22-=m 且222-=n .考点：复数的概念和运算．25．（1）2-；（2）12；（3 【分析】 （1）131i z i-=+ ，利用四则法则计算； （2）利用复数(1)ai z +是纯虚数，则可知实部为零得到a 的值 （3）利用因为z 的共轭复数为12z i =-+，计算复数1z z +和其模.【详解】（1）因为(1)13i z i +=-，∴13121i z i i-==--+， 则12z i =--，复数z 的虚部为2-（2）因为复数(1)ai z +是纯虚数，则 (1)(12)12(2)ai i a a i +-=++-∴120a +=实数a 的值为12（3）因为z 的共轭复数为12z i =-+，复数1112z i z =--+，12z z =+， 【点睛】 本题考查复数的代数运算，基本概念，属于基础题型，本题重点复数的四则运算. 26．（1）132z i =+；（2）2πθ=或32πθ= 【分析】 （1）由错位共轭的概念可得()11122z i i ⎛⎫-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭，计算即可得解；（2）由题意结合虚数不能比较大小可得221cos sin 22sin cos 0θθθθ⎧-<⎪⎨⎪=⎩，根据三角函数的性质即可得解.【详解】（1）由()1112z i i ⎫-⋅=⎪⎪⎝⎭得112z i i -==+，所以132z i =. （2）()()2222cos sin cos sin 2sin cos z i i θθθθθθ=+=-+， ∵212z <， ∴221cos sin 22sin cos 0θθθθ⎧-<⎪⎨⎪=⎩，由2sin cos 0θθ=得sin 0θ=或cos 0θ=，当sin 0θ=时，所以cos 1θ=或cos 1θ=-，均不满足，当cos 0θ=时，所以sin 1θ=或sin 1θ=-，均满足，故2πθ=或32πθ=. 【点睛】 本题考查了新概念在复数中的应用，考查了复数不能比较大小的性质和三角函数的性质，属于中档题.。

一、选择题1．若1+是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ） A ．2,3b c == B ．2,1b c ==-C ．2,1b c =-=-D ．2,3b c =-= 2．设m R ∈，复数()23521z m m i m =-++-，则z 在复平面内的对应点一定不在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．i 是虚数单位，若复数()2421i z i +=-在复平面内对应的点在直线20x y a --=上，则a 的值等于（ ）A ．5B ．3C ．-5D ．-3 4．已知21z i i=++，则复数z =（ ）A B ．2 C ．13i - D ．13i + 5．下列3个命题：①若12,z z C ∈，22120z z +=，则120z z ==；②若z 是纯虚数，则20z <；③若12,z z C ∈，且120z z ->，则12z z >.其中真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36．若复数()()12i 2i z =-+(其中i 为虚数单位)在复平面中对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7．设复数3422i i z +-=，则复数z 的共轭复数是( ) A ．52i - B ．52i + C ．52i -+ D ．52i -- 8．设i 为虚数单位，则复数1i z =-的模z =（ ）．A ．1BC ．2D ．9．i 为虚数单位，复数512i +的共轭复数是（ ） A ．12i - B ．12i +C ．2i -D ．2i + 10．设()1x yi i i +=+，其中x ，y 是实数，则2x yi +=（ ）A ．1B C D 11．已知a 是实数，1a i i+-是纯虚数，则 a 等于（ ）A ．2-B ．1-C ．2D ．112．已知复数(,,0)z x yi x y R x =+∈≠且|2|3z -=，则y x 的范围为（ ） A ．33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．33,,33⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．3,3⎡⎤-⎣⎦D ．(,3][3,)-∞-⋃+∞二、填空题13．已知0,0a b >>，复数()()23a i bi +-的虚部为4，则2a b +的最小值为__________．14．已知纯虚数z 满足122z i z +=-+(其中i 是虚数单位)，则z =__________. 15．已知复数1i z i+=（i 为虚数单位），则复数z 的实部为__________. 16．已知i 是虚数单位，则复数11i i +-的实部为______. 17．已知方程的两个虚根为、，且，则实数______． 18．设()f z z =，且115z i =+，232z i =-+，则12()f z z -的值是__________． 19．已知复数242(1)i z i +=+（i 是虚数单位），在复平面内对应的点在直线20x y m -+=上，则m =__________．20．若实数m 满足z ＝(m －2)＋(m ＋1)i 为纯虚数，则｜z ｜＝________．三、解答题21．在复平面上，点(),P x y 所对应的复数p x yi =+（i 为虚数单位），(),z a bi a b R =+∈是某给定复数，复数q p z =⋅所对应的点为(),Q x y ，我们称点P 经过变化成为了点Q ，记作()Q z P =.（1）给出12z i =+，且()()8,1z P Q =，求点P 的坐标；（2）给出34z i =+，若点P 在椭圆22194x y +=上，()Q z P =，求OQ 的取值范围； （3）已知点P 在双曲线221x y -=上运动，试问是否存在z ，使得()Q z P =在双曲线1y x=上运动？若存在，求出z ；若不存在，说明理由. 22．已知复数z=1+i,求实数a ,b 使22(2)az bz a z +=+.23．已知2z i =+，a ，b 为实数.（1）若2312z z ω=+-，求ω；（2）若522az bz i z+=--，求实数a ，b 的值. 24．已知复数12z a i =+，234z i =-(a R ∈，i 为虚数单位).(1)若12z z 是纯虚数，求实数a 的值.(2)若复数12z z 在复平面上对应的点在第二象限，且14z ≤，求实数a 的取值范围. 25．已知复数1z mi =+（i 是虚数单位，m R ∈），且()·3z i +为纯虚数（z 是z 的共轭复数）.（1）设复数121m i z i+=-，求1z ； （2）设复数20172a i z z-=，且复数2z 所对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围. 26．已知复数212z t t ti =-++，()22z xy x y i =+-，其中t ，x ，y R ∈，且12z z =.（1）求点()P x y ，的轨迹方程；（2）若3m x y =+，求m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】由题意，将根代入实系数方程x 2+bx +c ＝0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a ，b的方程组100b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解方程得出a ，b 的值即可选出正确选项 【详解】由题意1是关于x 的实系数方程x 2+bx +c ＝0∴﹣2+b bi +c ＝0，即()10b c i -+++=∴100b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得b ＝﹣2，c ＝3 故选：D ．【点睛】本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题解析：C【分析】z 在复平面内的对应点考查点()2352,1m m m -+-横纵坐标的正负,分情况讨论即可.【详解】 由题得, z 在复平面内的对应点为()2352,1m m m -+-.当10m ->,即1m <时,二次函数2352(32)(1)y m m m m =-+=--取值范围有正有负,故z 在复平面内的对应点可以在一二象限.当10m -<,即1m 时,二次函数2352(32)(1)0y m m m m =-+=-->,故z 在复平面内的对应点可以在第四象限.故z 在复平面内的对应点一定不在第三象限.故选：C【点睛】本题主要考查了复平面的基本定义与根据参数范围求解函数范围的问题,属于基础题型. 3．C解析：C【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的值，然后找到其在复平面对应的点，代入到直线20x y a --=，即可求出a 的值．【详解】 ()24242(42)(2)1 2.241ii i i z i i i +++⋅====-+--复数z 在复平面内对应的点的坐标为(-1,2),将其代入直线20x y a --=得， 5.a =-【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，以及复数的几何意义． 4．A解析：A【分析】由题意结合复数的运算法则和复数的性质整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：()()21=1+3i z i i =++，则z ==本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.解析：B【解析】分析：通过举反例可判断①错误，由复数的乘法法则判断②正确，由复数的概念可判断③错误.详解：令1z i =，21z =，满足22120z z +=，故①错误.z 是纯虚数,即(0)z bi b =≠，则220z b =-<，故②正确.只有当12,z z R ∈时，才可以比较大小，故③错误.综上,真命题有1个.故选B.点睛：本题以命题的真假判断为载体考查了复数的基本概念和性质，特殊值排除法常可用于此类问题的求解.6．D解析：D【解析】分析：利用复数的出发计算得到z ，即可得到结论.详解：()()12i 2i 24243,z i i i =-+=+-+=-故z 在复平面中对应的点位于第四象限.故选D.点睛：本题考查复数乘法运算及复数的几何意义，是基础题.7．B解析：B【解析】分析：根据复数模的定义化简复数，再根据共轭复数概念求结果. 详解：因为3422i iz +-=，所以522i z -=, 所以复数z 的共轭复数是52i +, 选B. 点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi8．B解析：B【解析】分析：根据复数模的定义求解.详解：1i z =-，z ==B ．点睛：对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi9．B解析：B【分析】分析：直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可． 详解：()()()51251 2.121212i i i i i ⋅-==-++- 则复数512i+的共轭复数是12i +. 故选B.点睛：本题考查复数的除法的运算法则的应用，复数的基本概念，是基础题．10．D解析：D【解析】分析：首先应用复数代数形式的乘法运算法则，将()x yi i +求出来，之后应用复数相等的条件，得到,x y 所满足的等量关系式，求得,x y 的值，接着利用复数的模的计算公式求得结果.详解：因为()1,,x yi i i x y +=+是实数，所以21xi yi i +=+，即1y xi i -+=+，所以1,1x y ==-，则212x yi i +=-==，故选D.点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘法运算法则、复数相等的条件以及复数模的计算公式，属于简单题目. 11．D解析：D【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可知：()()()()()()1111112a i i a a i a i i i i ++-+++==--+， 1a i i +-为纯虚数，则：1010a a -=⎧⎨+≠⎩，据此可知1a =. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12．C解析：C【分析】转化|2|z -=为22(2)3x y -+=，设,y k y kx x==，即直线和圆有公共点，联立2164(1)0k ∆=-+≥，即得解.【详解】由于|2||2z x yi -=-+22(2)3x y -+=∴ 设y k y kx x=∴= 联立：2222(2)3,(1+)410x y y kx k x x -+==∴-+=由于直线和圆有公共点，2164(1)0k k ∴∆=-+≥≤≤故y x 的范围为[ 故选：C【点睛】 本题考查了直线和圆，复数综合，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题.二、填空题13．4【解析】分析：化简根据其虚部为可得利用基本不等式可得结果详解：复数的虚部为即当且仅当时等号成立的最小值为故答案为点睛：本题主要考查复数的运算与基本概念利用基本不等式求最值属于中档题利用基本不等式求 解析：4【解析】分析：化简()()23a i bi +-，根据其虚部为4，可得2ab =，利用基本不等式可得结果. 详解：()()22i 3i 3i 6i 2i a b a ab b +-=-+- ()326i a b ab =++-，复数()()2i 3i a b +-的虚部为4，64ab ∴-=，即2ab =，0,0a b >>，24a b ∴+≥=，当且仅当1,2a b ==时等号成立，2a b ∴+的最小值为4，故答案为4.点睛：本题主要考查复数的运算与基本概念、利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.14．【解析】设整理得解析：z i =-【解析】 设,z a bi z a bi =+∴=-，1212()2,2z a bi i i z a bi++-=-+∴=-++，整理得42224155a b a b a bi i ++-++=--，42205,,24115a b a a z i a b b b ++⎧=-⎪=⎧⎪∴∴∴=-⎨⎨-+=-⎩⎪=-⎪⎩15．1【解析】由题意可得：则复数的实部为1解析：1【解析】由题意可得：()11i i z i i -+==- ，则复数z 的实部为1.16．0【解析】实部为0点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念属于基本题首先对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其次要熟悉复数相关基本概念如复数的实部为虚部为模为对应点为共轭为解析：0【解析】1i i 1i+=∴- 实部为0 点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi17．5【分析】根据题意得出Δ<0然后求出方程x2-2x+p=0的两个虚根再利用复数的求模公式结合等式α-β=4可求出实数p 的值【详解】由题意可知Δ=4-4p<0得p>1解方程x2-2x+p=0即x-12解析：【分析】根据题意得出，然后求出方程的两个虚根，再利用复数的求模公式结合等式可求出实数的值. 【详解】由题意可知，，得. 解方程，即，解得，. 所以，，解得. 故答案为.【点睛】 本题考查实系数方程虚根的求解，同时也考查了复数模长公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.18．4＋3i 【解析】分析：由题意可得再结合即可得到答案详解：又点睛：本题主要考查的是复数的加减法以及共轭复数掌握复数的运算法则以及共轭复数的概念是解题的关键解析：4＋3i【解析】分析：由题意可得1243z z i -=+，再结合()f z z =，即可得到答案详解：115z i =+，232z i =-+，1243z z i ∴-=+1243z z i ∴-=-又()f z z =，()1243f z z i ∴-=+点睛：本题主要考查的是复数的加减法以及共轭复数，掌握复数的运算法则以及共轭复数的概念是解题的关键。

1．对于复平面，下列命题中真命题是( )．A ．虚数集和各个象限内的点的集合是一一对应的B ．实、虚部都是负数的虚数的集合与第二象限内的点的集合是一一对应的C ．实部是负数的复数的集合与第二、三象限的点的集合是一一对应的D ．实轴上侧的点的集合与虚部为正数的复数的集合是一一对应的2．当2<<13m 时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于( )． A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ的值为( )．A ．4π B. 544ππ或 C ．2() 4k k Z ππ∈ D ．()4k k Z ππ+∈4．复数z ＝(x －2)＋y i(x ，y ∈R )在复平面内对应向量的模为2，则|z ＋2|的最大值为( )．A ．2B ． 4C ．6D ．85．若复数z ＝(m －1)＋(m ＋2)i 对应的点在直线2x －y ＝0上，则实数m 的值是__________．6．设z ＝log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －3)(m ∈R )，若z 对应的点在直线x －2y ＋1＝0上，则m ＝________.7．已知复数z ＝k 2－3k ＋(k 2－5k ＋6) i(k ∈R )，且z <0，求k 的值．8．若复数(m 2－3m －4)＋(m 2－m －6)i 表示的点在第四象限内，求实数m 的取值范围．9．设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，|z |＝|5－2i|，a ＋b 为函数y ＝log 2(x ＋65)在(0,63]上的最大值，求复数z .参考答案1．D 特别注意坐标轴上的点所对应复数的特点．2．D ∵2<<13m ， ∴3m －2>0，m －1<0.∴对应点在第四象限．3．D 根据复数相等的定义，知==cos sin sin cos θθθθ⎧⎨⎩，， ∴tan θ＝1，∴=()4k k Z πθπ+∈．4．C |z |＝2，则(x －2)2＋y 2＝4，|z ＋2|表示圆(x －2)2＋y 2＝4上的点到点(－2,0)的距离． ∴|z ＋2|最大值为6.5．4 由题意知点(m －1，m ＋2)在直线2x －y ＝0上， ∴2(m －1)－(m ＋2)＝m －4＝0.∴m ＝4.6.由已知，得log 2(m 2－3m －3)－2log 2(m －3)＋1＝0，即log 22(m 2－3m －3)＝log 2(m －3)2，∴2m 2－6m －6＝m 2－6m ＋9.∴m 2＝15.∴m 代入原方程，=m (舍去)，m 适合．7．解：∵z <0，∴z ∈R .∴k 2－5k ＋6＝0.∴k ＝2或k ＝3. 当k ＝2时，z ＝－2<0，符合题意；当k ＝3时，z ＝0，不符合题意，舍去．∴k ＝2.8．解：由题意，知2234060m m m m ⎧-->⎨--<⎩∴412 3.m m m ><-⎧⎨-<<⎩或， ∴实数m 的取值范围是(－2，－1)．9．解：∵y ＝log 2(x ＋65)在(0,63]上为增函数，∴a＋b＝log2(63＋65)＝7.又|z|5-∴22=29=7.a ba b⎧+⎨+⎩，解得=2=5ab⎧⎨⎩，或=5=2.ab⎧⎨⎩，∴z＝2＋5i或z＝5＋2i.。

数的概念的扩展
复数的有关概念
明目标、知重点.了解引入虚数单位的必要性，了解数集的扩充过程.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件.理解复数的几何表示．
．复数的有关概念
()复数
①定义：形如＋的数叫作复数，其中，∈，叫作虚数单位．叫作复数的实部，叫作复数的虚部．
②表示方法：复数通常用字母表示，即＝＋ (，∈)．
()复数集
①定义：复数的全体组叫作复数集．
②表示：通常用大写字母表示．
．复数的分类及包含关系
()复数(＋，，∈)
()集合表示：
．两个复数相等
＋＝＋当且仅当＝且＝.
．复数的几何意义
()复数＝＋(，∈)一一,对应,复平面内的点(，)；
()复数＝＋(，∈)一一平面向量＝(，)．
．复数的模
复数＝＋(，∈)对应的向量为，则的模叫作复数的模或绝对值，记作，且＝.
[情境导学]
为解决方程＝，数系从有理数扩充到实数；数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内很多问题还不能解决，如从解方程的角度看，例如＝－这个方程在实数范围内就无解，那么怎样解决方程＝－在实数系中无根的问题呢？我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？本节我们就来研究这个问题．
探究点一复数的概念
思考为解决方程＝，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程＋＝在实数系中无根的问题呢？
答设想引入新数，使是方程＋＝的根，即·＝－，方程＋＝有解，同时得到一些新数．。

一、选择题1．1z 2z 是复数，则下列结论中正确的是（ ）A ．若22120z z +>，则2212z z >- B ．12||z z -=C ．22121200z z z z +=⇔==D ．2211||||z z =2．已知复数(1)(31)i i z i--=（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A ．复数i 在复平面内对应的点落在第二象限 B ．42z i =--C ．24z z --的虚部为1 D ．||z =3．已知复数13aiz i+=+为纯虚数（其中i 为虚数单位），则实数a =（ ） A ．3- B ．3C ．13-D ．134．在复数范围内，有下列命题：（1）若12,z z 是两个复数，则1212z z z z +一定是实数 （2）“||1z =”是“1z R z+∈”的充分非必要条件（3）方程20(0)x t t +=>的根是 （4）22z z =则其中假命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．下列关于复数z 的四个命题中，正确的个数是（ ） （1）若|1||1|2z z -++=，则复数z 对应的动点的轨迹是椭圆； （2）若|2||2|2z z --+=，则复数z 对应的动点的轨迹是双曲线； （3）若|1||Re 1|z z -=+，则复数z 对应的动点的轨迹是抛物线； （4）若|2|3z -≤，则||z 的取值范围是[1,5] A ．4B ．1C ．2D ．36．下面是关于复数21iz =-的四个命题，其中的真命题为（ ） 1:2p z =;22:2i p z =;3:p z 的共轭复数为1i -；4:p z 的虚部为i.A ．2p ,3pB ．13,p pC ．24,p pD ．34,p p7．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数(2)(1)z a i i =-+在复平面内对应的点为M ，则“1a =”是“点M 在第四象限”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．若(13)n x +的二项展开式各项系数和为256，i 为虚数单位，则复数(1)n i +的运算结果为（ ） A ．16-B ．16C ．4-D ．49．在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．若复数z 满足(12)1i z i +=-，则复数z 为（ ） A ．1355i + B ．1355i -+ C ．1355i - D ．1355i -- 11．i 为虚数单位，复数512i+的共轭复数是（ ） A ．12i -B ．12i +C ．2i -D ．2i +12．设1z ，2z 为复数，则下列命题中一定成立的是（ ）A ．如果22120z z +=，那么120z z == B ．如果12=z z ，那么12=±z zC ．如果1z a ≤（a 为正实数），那么1a z a -≤≤D ．如果1z a =（a 为正实数），那么211z z a ⋅=二、填空题13．已知0,0a b >>，复数()()23a i bi +-的虚部为4，则2a b +的最小值为__________．14．i 为虚数单位，若复数22(23)()m m m m i +-+-是纯虚数，则实数m =_______. 15．设复数211z z iz =-(其中表示复数1z 的共轭复数),若2z 的实部是-1,则2z 的虚部是__________. 16．已知纯虚数z 满足122zi z+=-+(其中i 是虚数单位)，则z =__________. 17．已知R b ∈，若()()12bi i +-为纯虚数，则1bi +=________． 18．已知复数z x yi =+，且23z -=yx的最大值为__________． 19．在复平面上，已知直线l 上的点所对应的复数z 满足3z i z i +=--，则直线l 的倾斜角为_____________（结果用反三角函数值表示） 20．i 为虚数单位，则22(1)i =+______. 三、解答题21．已知复数12215523,(2)iz i z i -=-=+，求下列各式的值：(Ⅰ)12z z (Ⅱ)12z z 22．（1）已知121,2z i z i =+=-，且12111z z z =+，求z ； （2）已知32i --是关于x 的方程220x px q ++=的一个根，求实数,p q 的值.23．已知复数1z 满足()11i 13i z -=+，()2i z a a R =-∈（其中i 是虚数单位），若1212z z z ->，求a 的取值范围．24．已知复数3z bi =+，(b 为实数)，且z i -为实数. （1）求复数z ； （2）求复数z 的模||z .25．（1）对于复数12,z z ，若()121z i z -⋅=，则称1z 是2z 的“错位共轭”复数，求复数312i -的“错位共轭”复数； （2）设复数[]()cos sin 0,2z i θθθπ=+∈，其中i 为虚数单位，若212z<，求θ. 26．已知i 为虚数单位，执行下面的程序框图.（1）若图中空白框中填入s s i =⨯，求输出的结果； （2）若图中空白框中填入n s s n i =+⨯，求输出的结果.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】举反例12z i =+，22z i =-可判断选项A 、B ，举反例11z =，2z i =可判断选项C ，设1z a bi =+，(),a b R ∈，分别计算21||z 、21||z 即可判断选项D ，进而可得正确选项.【详解】对于选项A ：取12z i =+，22z i =-，()221232z i i =+=+，()222232z i i =-=-，满足221260z z +=>，但21z 与22z 是两个复数，不能比较大小，故选项A 不正确； 对于选项B ：取12z i =+，22z i =-，12||22z z i -==，==B 不正确；对于选项C ：取11z =，2z i =，则22120z z +=，但是10z ≠，20z ≠，故选项C 不正确； 对于选项D ：设1z a bi =+，(),a b R ∈，则()222212z a bi a b abi =+=-+2221z a b ===+，1z a bi =-，1z =，所以2221z a b =+，所以2211||||z z =，故选项D 正确.故选：D.2．C解析：C 【分析】根据复数乘除运算化简得42z i =-，结合复数相关概念判定A ，B ，D 错误，化简24z z --判定正确. 【详解】 解：(1)(31)(1)(3)42i i z i i i i--==-+=-， 其对应的复平面点为(4,2)-位于第四象限，故A 错误；42z i =+，故B 错误；24222214422221z i i ii z i i i-+-++====-----，虚部为1，故C 正确；||z ==D 错误.故选：C. 【点睛】复数乘除法运算技巧：（1）复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算．（2）复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．3．A解析：A 【分析】化简复数z 的代数形式，根据复数为纯虚数，列出方程组，即可求解. 【详解】由题意，复数()()()()1313313331010ai i ai a a z i i i i +-++-===+++-， 因为复数z 为纯虚数，可得30310a a +=⎧⎨-≠⎩，解得3a =-.故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的分类及其应用，着重考查计算能力，属于基础题.4．B解析：B 【分析】利用复数的概念及运算法则对各个命题依次进行判定． 【详解】设12,z a bi z c di =+=+（,,,a b c d R ∈），则1212z z z z +()()()()a bi c di a bi c di =+-+-+()()ac adi bci bd ac adi bci bd =-++++-+22ac bd R =+∈，①正确；设i(,0)z a b a b b =+∈≠R,，若1z ==，则11z a bi z a bi +=+++222a bia bi a bi a bi a R a b-=++=++-=∈+， 反之，若11z a bi z a bi +=+++22a bi a bi R a b -=++∈+，则220bb a b-=+，221a b +=，∴1z =．应是充要条件，②错误；方程20(0)x t t +=>的根是，③正确；z 是复数，2z 可能是虚数，但2z 是复数的模，一定是实数，④错误，∴错误命题有2个． 故选B ． 【点睛】本题考查复数的概念与运算，解题时可设(,)z a bi a b R =+∈，然后代入进去进行检验证明．5．B解析：B 【分析】（1）根据椭圆的定义来判断；（2）根据双曲线的定义来判断；（3）根据抛物线的定义来判断；（4）利用圆的有关知识点判断. 【详解】（1）|1||1|2z z -++=，表示复平面内到点()()1,0,1,0-距离之和为2的点的轨迹，是由点()()1,0,1,0-构成的线段，故错误；（2）|2||2|2z z --+=，表示复平面内到点()2,0的距离比到点()2,0-的距离大2的点的轨迹，是双曲线的左支，故错误；（3）|1||Re 1|z z -=+，表示复平面内到点()1,0的距离等于到直线1x =-的距离的点的轨迹（点()1,0不在直线1x =-上），所以轨迹是抛物线，故正确；（4）|2|3z -≤，表示点的轨迹是圆心为()2,0，半径为3的圆及其内部（坐标原点在圆内），且z 表示轨迹上的点到原点的距离，所以min 0=，此时z 对应的点为原点，max 325r d =+=+=（d 表示原点到圆心的距离），所以 ||z 的取值范围是[0,5]，故错误. 故选B. 【点睛】复数对应的轨迹方程：（1）122z z z z a -+-=，当122a z z >-时，此时z 对应的点的轨迹是椭圆； （2）()1220z z z z a a ---=>，当122a z z <-时，此时z 对应的点的轨迹是双曲线.6．A解析：A 【解析】 【分析】利用复数的乘除运算化简复数z ，再根据共轭复数、复数的虚部、复数模的计算公式求解即可得答案． 【详解】 ∵z ()()()212111i i i i +===--+1+i ， ∴1p ：|z |=2p ：z 2＝2i ，3p ：z 的共轭复数为1-i ， 4p ：z 的虚部为1，∴真命题为p 2，p 3． 故选A ． 【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，考查复数运算及复数的模、复数的虚部、共轭复数的概念，是基础题．7．A解析：A【解析】因为(2i)(1+i)=a+2+(a-2)i z a =-，则点M 在第四象限时，满足2>a>-2,因此可知“1a =”是“点M 在第四象限”的充分而不必要条件，选A8．C解析：C 【详解】分析：利用赋值法求得n ，再按复数的乘方法则计算． 详解：令1x =，得4256n =，4n =， ∴42(1)(2)4i i +==-． 故选C ．点睛：在二项式()()nf x a bx =+的展开式中，求系数和问题，一般用赋值法，如各项系数为(1)f ，二项式系数和为2n ，两者不能混淆．9．D解析：D 【解析】分析：先化复数为代数形式，再根据几何意义得对应点，即得点所在象限. 详解：复数，其对应的点是，位于第四象限．故选．点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为10．D解析：D 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】由()121i z i +=-， 得()()()()11211312121255i i i z i i i i ---===--++-． 故选D ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．11．B解析：B 【分析】分析：直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可．详解：()()()51251 2.121212i i i i i ⋅-==-++- 则复数512i+的共轭复数是12i +. 故选B.点睛：本题考查复数的除法的运算法则的应用，复数的基本概念，是基础题．12．D解析：D 【分析】对A,举出反例判断正误； 对B,举出反例判断正误；对C,利用复数的几何意义判断正误； 对D,设出复数即可化简结果,再判断正误即可． 【详解】对于A,如果11z i =-,21z i =+,22120z z +=,所以120z z ==不正确。

一、选择题1．已知复数2i 1i z =+(i 为虚数单位)，则z = ( ) A ．3 B ．2 C ．3 D ．22．已知i 是虚数单位，则21i i =-（ ） A ．1i -+B ．1i +C ．1i -D ．1i -- 3．定义运算,,a b ad bc c d =-，则符合条件,10 ,?2z i i i +=-的复数 z 对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．复数z 满足(2)36z i i +=-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ）A ．3B ．3i -C ．3iD ．3- 5．若复数1z ，2z 满足1134z z i +=-，212z i ++=，则12z z -的最小值为（ ）． A ．110 B ．1110 C ．2110 D ．21210- 6．“20>z ”是“z 是非零实数”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 7．已知复数1cos 2()z x f x i =+，()23sin cos z x x i =++，x ∈R .在复平面上，设复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，若1290Z OZ ∠=︒，其中O 是坐标原点，则函数()f x 的最大值为（）A ．14-B ．14C ．12-D ．128．如图所示，在复平面内，OP 对应的复数是1－i ，将OP 向左平移一个单位后得到00O P ，则P 0对应的复数为( )A ．1－iB ．1－2iC ．－1－iD ．－i9．若复数(32)z i i =-，则z =（ ）A ．32i -B ．32i +C ．23i +D ．23i - 10．已知命题p 是命题“若ac bc >，则a b >”的否命题；命题q ：若复数22(1)(2)x x x i -++-是实数，则实数1x =，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∨ B ．()p q ⌝∧ C ．()p q ∧⌝ D ．()()p q ⌝∧⌝11．已知复数()()211i a bi i -+=+（i 是虚数单位，,a b ∈R ），则a b +=（ ） A ．2- B ．-1C ．0D ．2 12．已知复数(,,0)z x yi x y R x =+∈≠且|2|3z -=，则y x的范围为（ ） A ．33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．33,,33⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．3,3⎡⎤-⎣⎦D ．(,3][3,)-∞-⋃+∞ 二、填空题13．若复数z 满足034z z z i -+-=，且复数z 对应的点的轨迹是椭圆，则复数0z 的模的取值范围是__________．14．复数z=（其中i 为虚数单位）的虚部为________．15．已知R b ∈，若()()12bi i +-为纯虚数，则1bi +=________．16．关于x 的方程240x x m ++=（m R ∈）的两虚根为α、β，且||2αβ-=，则实数m 的值是________.17．若复数z 满足2Re 2z z -=+，则32i 2z z --+-的最小值______． 18．设()f z z =，且115z i =+，232z i =-+，则12()f z z -的值是__________． 19．已知复数112z i =-+，21z i =-，334z i =-，它们在复平面上对应的点分别为,,A B C ，若OC OA OB λμ=+，(,R λμ∈)，则λμ+的值是__________． 20．已知复数1223,z i z t i =+=-，且12·z z 是实数，则实数t =__________.三、解答题21．已知复数z 满足|z |2=z 的实部大于0，z 2的虚部为2. （1）求复数z ；（2）设复数z ，z 2，z ﹣z 2之在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，求（OA OB +）⋅OC 的值.22．已知复数z 满足z =261i i-+-﹣4． （1）求复数z 的共轭复数z ；（2）若w =z +ai ，且|w |≤|z |，求实数a 的取值范围．23．设复数n n n z x i y =+⋅，其中n x n y ∈R ，*n ∈N ，i 为虚数单位，1(1)n n z i z +=+⋅，134z i =+，复数n z 在复平面上对应的点为n Z .（1）求复数2z ，3z ，4z 的值；（2）是否存在正整数n 使得n OZ ∥1OZ ？若存在，求出所有满足条件的n ；若不存在，请说明理由；（3）求数列{}n n x y ⋅的前102项之和.24．为何实数时，复数是： （1）虚数； （2）若，求． 25．已知m 为实数，设复数22(56)(253)z m m m m i =++++-.（1）当复数z 为纯虚数时，求m 的值；（2）当复数z 对应的点在直线70x y -+=的上方，求m 的取值范围.26．已知关于x 的实系数一元二次方程240x x p ++=的两个虚根是1x 、2x .（1）若1||5x =，求p 的值；（2）若12||2x x ，求p 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】 化简复2i 11i z i ==++，利用复数模的公式求解即可. 【详解】 ∵2i 1i z ==+ ()()()21221112i i i i i i -+==++- ∴z 112+=故选D.【点睛】本题考查复数的模的定义，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时除以分母的共轭复数．2．A解析：A【解析】 因22(1)112i i i i i +==-+-，故应选答案A ． 3．B解析：B由题意可得：()()(),1210,2z i z i i i i i +=--+=-，即()()()121221222422i i i i i z i i i -----====---，∴1 22i z =-+，则复数z 对应的点的坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限，故选B. 4．D解析：D【分析】首先化简复数z ，然后结合复数的定义确定其虚部即可.【详解】 由题意可得：()()()()362361151322255i i i i z i i i i -----====--++-， 据此可知，复数z 的虚部为3-.本题选择D 选项.【点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．5．A解析：A【分析】由复数模的定义求出1z 对应的点在一条直线上，2z 对应的点在圆上，利用圆的性质可求得直线上的点到圆上点的距离的最小值．【详解】复数1z 对应的点为1(,)Z x y ，因为1134z z i +=-，所以=6870x y +-=，所以点1Z 的轨迹是一条直线． 复数2z 对应的点为2(,)Z x y ，因为212z i ++=表示点(),x y 到定点()1,1--的距离为2，所以点2Z 的轨迹表示以()1,1--为圆心、半径为2的圆，12z z -211221010-=-=． 故选：A ．【点睛】 本题考查复数的模的运算，考查模的几何意义，利用几何意义把复数问题转化为直线上的点到圆上点的距离的最小值这个几何问题，利用几何性质得出求解方法．6．C【分析】设(),,z a bi a b R =+∈，由题意结合复数的运算及性质可得0a =或0b =，分类讨论即可得0a ≠、0b =；当z 是非零实数，则20>z ；由充分条件和必要条件的概念即可得解.【详解】设(),,z a bi a b R =+∈，则2222z a b abi =-+，若20>z ，则0a =或0b =，当0a =时，220z b =->不存在，当0b =时，220z a =>即0a ≠，所以若20>z ，则z 是非零实数；若z 是非零实数，则20>z ；所以“20>z ”是“z 是非零实数”的充要条件.故选：C.【点睛】本题考查了复数的运算及复数性质的应用，考查了充分条件、必要条件的判断，属于中档题.7．B解析：B【分析】根据向量垂直关系的坐标运算和三角函数的最值求解.【详解】据条件，()1cos ,2()Z x f x ，)2cos ,1Z x x +，且12OZ OZ ⊥，所以，)cos cos 2()0x x x f x ⋅++=，化简得，11()sin 2264f x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭， 当sin 216x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，11()sin 2264f x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭取得最大值为14. 【点睛】本题考查向量的数量积运算和三角函数的最值，属于基础题. 8．D解析：D【分析】要求P 0对应的复数，根据题意，只需知道0OP ，而0000OP OO O P =+，从而可求P 0对应的复数【详解】因为00O P OP =，0OO 对应的复数是－1，所以P 0对应的复数，即0OP 对应的复数是()11i i -+-=-，故选D. 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，复平面内复数、向量及点的对应关系，是基础题．9．C解析：C【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由复数的运算法则可得：()2323223z i i i i i =-=-=+.本题选择C 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 10．D解析：D【解析】分析：先判断命题p ，q 的真假，再判断选项的真假.详解：由题得命题p:若a>b,则ac bc >，是假命题.因为()()2212x x x i -++-是实数，所以220,2 1.x x x x +-=∴=-=或 所以命题q 是假命题，故()()p q ⌝∧⌝是真命题.故答案为 D.点睛：（1）本题主要考查四个命题和复数的基本概念，考查复合命题的真假，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)复合命题的真假判断口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.11．A解析：A【解析】分析：由题意首先求得等式右侧的复数，然后结合复数相等的充分必要条件整理计算即可求得最终结果.详解：由复数的运算法则可得：()()()()2121222111112i i i i i i i i i i ------====--+++-， 结合题意可得：1a bi i +=--，即：1,1a b =--=-，据此可得：2a b +=-.本题选择A 选项.点睛：本题主要考查复数的综合运算，复数相等的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．C解析：C【分析】转化|2|z -=为22(2)3x y -+=，设,y k y kx x==，即直线和圆有公共点，联立2164(1)0k ∆=-+≥，即得解.【详解】由于|2||2z x yi -=-+22(2)3x y -+=∴ 设y k y kx x=∴= 联立：2222(2)3,(1+)410x y y kx k x x -+==∴-+=由于直线和圆有公共点，2164(1)0k k ∴∆=-+≥≤≤故y x 的范围为[ 故选：C【点睛】 本题考查了直线和圆，复数综合，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题.二、填空题13．【分析】根据椭圆的定义可知从而可得复数的模的取值范围【详解】因为复数满足且复数对应的点的轨迹是椭圆所以根据复数差的几何意义知表示复数在以为圆心4为半径的圆的内部数形结合可得故答案为：【点睛】本题主要 解析：[0,7)【分析】 根据椭圆的定义可知03i 4z -<，从而可得复数0z 的模的取值范围.【详解】因为复数z 满足034z z z i -+-=，且复数z 对应的点的轨迹是椭圆， 所以03i 4z -<， 根据复数差的几何意义知03i 4z -<表示复数0z 在以(0,3)为圆心，4为半径的圆的内部， 数形结合可得07z <.故答案为：[0,7)【点睛】本题主要考查椭圆的定义应用，明确椭圆定义中2a 与2c 的大小关系是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养.14．﹣【解析】试题分析：利用复数除法运算化简可得虚部解：==则复数z 的虚部为﹣故答案为﹣考点：复数代数形式的乘除运算解析：﹣．【解析】试题分析：利用复数除法运算化简，可得虚部． 解：==，则复数z 的虚部为﹣， 故答案为﹣．考点：复数代数形式的乘除运算．15．【详解】试题分析：为纯虚数；考点：1复数的分类；2复数的模长； 5【详解】试题分析：()()12=2(21)bi i b b i +-++-为纯虚数，=2b ⇒-，112=5bi i ⇒+=-；考点：1．复数的分类；2．复数的模长；16．5【分析】关于方程两数根为与由根与系数的关系得：由及与互为共轭复数可得答案【详解】解：与是方程的两根由根与系数的关系得：由与为虚数根得：则解得经验证符合要求故答案为：【点睛】本题考查根与系数的关系的 解析：5【分析】关于x 方程240x x m ++=两数根为α与β，由根与系数的关系得：4αβ+=-，m ，由||2αβ-=及α与β互为共轭复数可得答案．【详解】解：α与β是方程240x x m ++=的两根由根与系数的关系得：4αβ+=-，m ，由α与β为虚数根得： 4416m i α-+-，4416m i β---=， 则||416|2m i αβ-=-=，解得5m =，经验证∆<0，符合要求，故答案为：5．【点睛】本题考查根与系数的关系的应用．求解是要注意α与β为虚数根情形，否则漏解，属于基础题．17．【分析】设复数由可得即将转化为和到抛物线动点距离和根据抛物线性质即可求得最小值【详解】设复数即整理得:是以焦点为的抛物线化简为:转化为和到抛物线动点距离和如图由过作垂线交抛物线准线于点交抛物线于点根 解析：5【分析】设复数z x yi =+,由2Re 2z z -=+可得222(2)(2)x y x -+=+,即28y x =.将32i 2z z --+-转化为()3,2A 和()2,0到抛物线动点P 距离和,根据抛物线性质即可求得32i 2z z --+-最小值.【详解】设复数z x yi =+2Re 2z z -=+∴ |2||2|x yi x +-=+ 即|2||2|x yi x -+=+∴ 222(2)(2)x y x -+=+整理得:28y x = 是以(2,0)F 焦点为的抛物线.32i 2z z --+-化简为:()32i 2z z -++-转化为()3,2A 和()2,0到抛物线动点P 距离和.如图.由过A 作AB 垂线,交抛物线准线于点B .交抛物线于点1P根据抛物线定义可知,11PF PB = , 根据点到直线,垂线段最短,可得:5AB =∴ 11||||5PA PF PA PF AB +≥+== ∴ 32i 2z z --+-的最小值为:5.故答案为:5.【点睛】本题考查与复数相关的点的轨迹问题,解本题的关键在于确定出复数对应的点的轨迹,利用数形结合思想求解,考查分析问题的和解决问题的能力.18．4＋3i 【解析】分析：由题意可得再结合即可得到答案详解：又点睛：本题主要考查的是复数的加减法以及共轭复数掌握复数的运算法则以及共轭复数的概念是解题的关键解析：4＋3i【解析】分析：由题意可得1243z z i -=+，再结合()f z z =，即可得到答案详解：115z i =+，232z i =-+，1243z z i ∴-=+1243z z i ∴-=-又()f z z =，()1243f z z i ∴-=+点睛：本题主要考查的是复数的加减法以及共轭复数，掌握复数的运算法则以及共轭复数的概念是解题的关键。

第四章 数系的扩充与复数的引入 同步练习(一)说明:本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1、若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数x 的值是（ ）A 、1B 、1-C 、1±D 、以上都不对2、221(1)(4),.z m m m m i m R =++++-∈23 2.z i =-则1m =是12z z =的（ ）条件A 、充分不必要B 、必要不充分C 、充要D 、既不充分又不必要3、若12,z z C ∈，则1212z z z z ⋅+⋅是（ ）A 、纯虚数B 、实数C 、虚数D 、无法确定4、(),()n n f n i i n N -+=+∈的值域中，元素的个数是（ ）A 、2B 、3C 、4D 、无数个5、3()m i R +∈，则实数m 的值为（ ）A 、±、3±、、2±6、若x C ∈，则方程||13x i x =+-的解是（ ）A 、122i +B 、124,1x x ==-C 、43i -+D 、122i -7、|34|2z i ++≤，则||z 的最大值为（ ）A 、3B 、7C 、9D 、58、已知z =则501001z z ++的值为（ ） A 、i B 、1 C 、2i + D 、39、已知11x x +=，则199619961x x+的值为（ ） A 、1- B 、1 C 、i - D 、i10、已知复数ii Z +-=11，则4321Z Z Z Z ++++的值是：（ ） A 、1 B 、1- C 、i D 、i -第Ⅱ卷(非选择题 共60分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11、34i +的平方根是 、 。

12、在复平面内，若复数z 满足|1|||z z i +=-，则z 所对应的点的集合构成的图形是 。

一、选择题1．定义运算,,a b ad bc c d =-，则符合条件,10 ,?2z i i i +=-的复数 z 对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．复数z 满足(2)36z i i +=-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ） A ．3B ．3i -C ．3iD ．3- 3．若复数1a i z i +=+(i 为虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．12- D ．1- 4．设m R ∈，复数()23521z m m i m =-++-，则z 在复平面内的对应点一定不在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．若2131ai i i+=--+，a R ∈，则a =（ ） A ．4- B ．3-C ．3D ．4 6．已知复数2z a a ai =-+，若z 是纯虚数，则实数a 等于（ ） A ．2 B ．1C ．0或1D ．-1 7．复数(1)(2)z i i =--（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z 的虚部是（ ） A ．3i B ．3i -C ．3D ．3- 8．“0x =”是“复数()()21z x x x i x R =-+-∈为纯虚数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知复数z 满足|12||2|z i z i ---++=i 是虚数单位），若在复平面内复数z 对应的点为Z ，则点Z 的轨迹为（ ）A ．双曲线的一支B ．双曲线C ．一条射线D ．两条射线 10．已知命题p 是命题“若ac bc >，则a b >”的否命题；命题q ：若复数22(1)(2)x x x i -++-是实数，则实数1x =，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∨ B ．()p q ⌝∧ C ．()p q ∧⌝ D ．()()p q ⌝∧⌝ 11．在复平面内满足11z -=的动点z 的轨迹为（ ）A ．直线B ．线段C ．两个点D ．圆 12．复数z 11i i -=+，则|z |=( )A ．1B ．2CD ．二、填空题13．已知复数a bi +（a ，b 为常数，,a b ∈R ）是复数z 的一个平方根，那么复数z -的两个平方根为______.14．若复数 1sin i z cos i θθ-=（i 为虚数单位），则z 的模的最大值为__________.15．关于x 的方程240x x m ++=（m R ∈）的两虚根为α、β，且||2αβ-=，则实数m 的值是________.16．若02|4-+-=z i z z 表示的动点的轨迹是椭圆，则0z 的取值范围是________. 17．已知虚数αβ、满足221010p p ααββ++=++=、（其中p ∈R ），若1αβ-=，则p =_________.18．已知i 为虚数单位，23i -是关于x 的方程220x px q ++=（p ，q 为实数）的一个根，则p q +=__________．19．已知复数242(1)iz i +=+（i 是虚数单位），在复平面内对应的点在直线20x y m -+=上，则m =__________．20．已知复数112z i =-+，21z i =-，334z i =-，它们在复平面上对应的点分别为,,A B C ，若OC OA OB λμ=+，(,R λμ∈)，则λμ+的值是__________．三、解答题21．已知复数1212,34,z i z i i =-=+为虚数单位.（1）若复数21z az + 对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围；（2）若()1212z z z z z +=-，求z 的共轭复数.22．已知i 为虚数单位，m 为实数，复数()(12)z m i i =+-.（1）m 为何值时，z 是纯虚数？（2）若||5z ≤，求||z i -的取值范围.23．设z C ∈.(1)若312i z i +=+,且z 是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一根,求b 和c 的值；(2)若4z z -是纯虚数,已知0z z =时,z +取得最大值,求0z ； (3)肖同学和谢同学同时独立地解答第（2）小题,已知两人能正确解答该题的概率分别是0.8和0.9,求该题能被正确解答的概率.24．已知复数()2113z i i =-++.（1）求z ；（2）若2z az b z ++=，求实数a ，b 的值.25．已知z 为虚数,z+9z 2-为实数. (1)若z-2为纯虚数,求虚数z.(2)求|z-4|的取值范围. 26．已知复数1z 满足1(2)(1)1z i i -+=- (i 为虚数单位)，复数2z 的虚部为2，且12·z z 是实数.(1)求1z 及1z ；(2)求2z 及12z z +.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】 由题意可得：()()(),1210,2z i z i i i i i +=--+=-，即()()()121221222422i i i i i z i i i -----====---，∴1 22i z =-+，则复数z 对应的点的坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限，故选B. 2．D解析：D【分析】首先化简复数z ，然后结合复数的定义确定其虚部即可.【详解】 由题意可得：()()()()362361151322255i i i i z i i i i -----====--++-， 据此可知，复数z 的虚部为3-.本题选择D 选项.【点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．3．D解析：D【分析】直接利用复数的除法运算结合复数定义得到答案.【详解】()()()()()1+1+11112a i i a a i a i z i i i +--+===++-为纯虚数，故1010a a +=⎧⎨-≠⎩，故1a =-. 故选：D.【点睛】本题考查了复数的除法，根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力. 4．C解析：C【分析】z 在复平面内的对应点考查点()2352,1m m m -+-横纵坐标的正负,分情况讨论即可.【详解】 由题得, z 在复平面内的对应点为()2352,1m m m -+-.当10m ->,即1m <时,二次函数2352(32)(1)y m m m m =-+=--取值范围有正有负,故z 在复平面内的对应点可以在一二象限.当10m -<,即1m 时,二次函数2352(32)(1)0y m m m m =-+=-->,故z 在复平面内的对应点可以在第四象限.故z 在复平面内的对应点一定不在第三象限.故选：C【点睛】本题主要考查了复平面的基本定义与根据参数范围求解函数范围的问题,属于基础题型. 5．A解析：A【解析】 分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数21ai i++，然后利用复数相等的性质列方程求解即可. 详解：因为()()()()2i 1i 2i 1i 1i 1i a a +-+=++- ()()22i2a a ++-=13i =--， 所以212232a a +⎧=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩， 解得4a =-，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.6．B解析：B【解析】分析：由复数2z a a ai =-+是纯虚数，得实部等于0且虚部不等于0.求解即可得到答案. 详解：复数2z a a ai =-+是纯虚数，200a a a ⎧-=∴⎨≠⎩，解得1a =. 故选B.点睛：此题考查复数的概念，思路：纯虚数是实部为0.虚部不为0的复数.7．C解析：C【解析】分析：求出复数z ，得到z ，即可得到答案.详解：()()1213,13,z i i i z i =--=-∴=+故z 的共轭复数z 的虚部是3.故选C.点睛：本题考查复数的乘法运算，复数的共轭复数等，属基础题.8．C解析：C【解析】分析：首先求得复数z 为纯虚数时x 是值，然后确定充分性和必要性即可.详解：复数()()21z x x x i x R =-+-∈为纯虚数，则： 2010x x x ⎧-=⎨-≠⎩，即：011x x x ==⎧⎨≠⎩或，据此可知0x =， 则“0x =”是“复数()()21z x x x i x R =-+-∈为纯虚数”的充要条件 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查充分必要条件的判断，已知复数类型求参数的方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．C解析：C【解析】分析：利用两个复数的差的绝对值表示两个复数对应点之间的距离，来分析已知等式的意义．详解：∵复数z 满足|122|z i z i ---++=i 是虚数单位），在复平面内复数z 对应的点为Z ，则点Z 到点（1，2）的距离减去到点（﹣2，﹣1）的距离之差等于，而点（1，2）与点（﹣2，﹣1）之间的距离为，故点Z 的轨迹是以点（1，2）为端点的经过点（﹣2，﹣1）的一条射线．故选 C ．点睛：本题考查两个复数的差的绝对值的意义，两个复数的差的绝对值表示两个复数对应点之间的距离．10．D解析：D【解析】分析：先判断命题p ，q 的真假，再判断选项的真假.详解：由题得命题p:若a>b,则ac bc >，是假命题.因为()()2212x x x i -++-是实数，所以220,2 1.x x x x +-=∴=-=或 所以命题q 是假命题，故()()p q ⌝∧⌝是真命题.故答案为 D.点睛：（1）本题主要考查四个命题和复数的基本概念，考查复合命题的真假，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)复合命题的真假判断口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.11．D解析：D【分析】由题意把|1|2||z z -=平方可得关于x 、y 的方程，化简方程可判其对应的图形．【详解】解：设z x yi =+，|1|1z -=，2|1|1z ∴-=，2|1|1x yi ∴-+=，22(1)1x y ∴-+=，故该方程表示的图形为圆，故选：D ．【点睛】本题主要考查复数的代数形式及其几何意义，考查圆的方程，涉及复数的模长公式，属于中档题．12．A解析：A【解析】【分析】运用复数的除法运算法则,先计算出z 的表达式,然后再计算出z .【详解】由题意复数z 11i i-=+得221(1)12=1(1)(1)2i i i i i i i i ---+===-++-,所以=1z . 故选A【点睛】本题考查了运用复数的除法运算求出复数的表达式,并能求出复数的模,需要掌握其计算法则,较为基础.二、填空题13．【分析】由题可知再对开根号求的两个平方根即可【详解】由题故即故复数的两个平方根为与故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的基本运算运用即可联系与的关系属于基础题型解析：ai b -,ai b -+【分析】由题可知()2a bi z +=,再对z -开根号求z -的两个平方根即可.【详解】由题()2a bi z +=,故()()()()222222a bi z ia bi ai bi aib -+=-=+=+=-, 即()2z ai b -=-,故复数z -的两个平方根为ai b -与ai b -+故答案为：ai b -,ai b -+【点睛】本题主要考查了复数的基本运算,运用21i =-即可联系z -与()2a bi z +=的关系,属于基础题型. 14．【分析】用行列式的公式化简复数代入复数模的公式利用降次公式和辅助角公式合并后利用三角函数的性质求得模的最大值【详解】故填【点睛】本小题考查行列式的计算考查复数模的运算公式考查三角函数降次公式以及辅助【分析】用行列式的公式化简复数z ，代入复数模的公式，利用降次公式和辅助角公式合并后，利用三角函数的性质求得z 模的最大值.【详解】 ()sin cos 1z i i θθ=⋅-⋅- ()cos sin cos i θθθ=+-⋅，z ∴==== =≤=故填1.2 【点睛】 本小题考查行列式的计算，考查复数模的运算公式，考查三角函数降次公式以及辅助角公式，还考查了三角函数的最大值.属于中档题.三角函数的降次公式包括21cos2cos 2x x +=，21cos2sin 2x x -=，这两个公式有点类似，记忆的时候不要记忆错误了. 15．5【分析】关于方程两数根为与由根与系数的关系得：由及与互为共轭复数可得答案【详解】解：与是方程的两根由根与系数的关系得：由与为虚数根得：则解得经验证符合要求故答案为：【点睛】本题考查根与系数的关系的 解析：5【分析】关于x 方程240x x m ++=两数根为α与β，由根与系数的关系得：4αβ+=-，m ，由||2αβ-=及α与β互为共轭复数可得答案．【详解】解：α与β是方程240x x m ++=的两根由根与系数的关系得：4αβ+=-，m ，由α与β为虚数根得： α，β=，则|||2αβ-==，解得5m =，经验证∆<0，符合要求，故答案为：5．【点睛】本题考查根与系数的关系的应用．求解是要注意α与β为虚数根情形，否则漏解，属于基础题． 16．【分析】根据复数几何意义以及椭圆定义列关于的条件再解不等式得的取值范围【详解】因为表示的动点的轨迹是椭圆所以复数所对应点距离小于4即故答案为：【点睛】本题考查复数几何意义以及椭圆定义考查综合分析求解 解析：[)0,6 【分析】根据复数几何意义以及椭圆定义列关于0z 的条件，再解不等式得0z 的取值范围.【详解】 因为02|4-+-=z i z z 表示的动点的轨迹是椭圆，所以复数02,i z 所对应点距离小于4，即0000|2|4||||2||44||242||6z i z i z z -<∴-<∴-<-<∴-<< 00||00||6z z ≥∴≤<故答案为：[)0,6【点睛】本题考查复数几何意义以及椭圆定义，考查综合分析求解能力，属中档题.17．【分析】根据题意得到虚数满足方程利用求根公式求得两根结合列方程解方程求得的值【详解】依题意可知虚数满足的方程为且所以两根为故所以故填：【点睛】本小题主要考查一元二次方程的虚数根属于基础题解析：【分析】根据题意得到虚数αβ、满足方程210x px ++=，利用求根公式求得两根，结合1αβ-=列方程，解方程求得p 的值.【详解】依题意可知， 虚数αβ、满足的方程为210x px ++=，且240p -<.所以两根为，故1αβ-===，23p =，所以p =故填：【点睛】本小题主要考查一元二次方程的虚数根，属于基础题.18．38【解析】分析：把代入方程得再化简方程利用复数相等的概念得到pq 的值即得p+q 的值详解：把代入方程得所以所以所以所以p+q=38故答案为38点睛：（1）本题主要考查解方程和复数相等的根意在考查学生解析：38【解析】分析：把23i -代入方程得22(23)(23)0i p i q -+-+=，再化简方程利用复数相等的概念得到p,q 的值，即得p+q 的值.详解：把23i -代入方程得22(23)(23)0i p i q -+-+=，所以2(4912)230i pi p q -+-+-+=，所以1024230,(224)1030i pi p q p i p q -+-+=∴-+-+=，所以2240,12,24.1030p p q p q -=⎧∴==⎨-+=⎩所以p+q=38.故答案为38. 点睛：（1）本题主要考查解方程和复数相等的根，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 复数相等:(,,,)a bi c di a b c d R a c b d +=+∈⇔==且. 19．-5【详解】分析：利用复数的运算法则可得z=1﹣2i 再利用复数的几何意义可得其对应的点代入直线x ﹣2y+m=0即可得出详解：∵复数z==所对应的点为（1﹣2）代入直线x ﹣2y+m=0可得1﹣2×（﹣解析：-5【详解】分析：利用复数的运算法则可得z=1﹣2i ，再利用复数的几何意义可得其对应的点，代入直线x ﹣2y+m=0即可得出．详解：∵复数z=()2421i i ++=()24+22122i i i i i i i i i-++===--⋅所对应的点为（1，﹣2），代入直线x ﹣2y+m=0，可得1﹣2×（﹣2）+m=0，解得m=﹣5．故答案为-5.点睛：本题考查了复数的运算法则、复数的几何意义、点与直线的位置关系，属于基础题．复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.20．1【详解】由题设得三点的坐标分别为将三向量的坐标代入得因此即所以故答案为1点睛：本题考查复数与向量的对应以及向量相等的条件复数与向量的对应要注意向量的起点必须在原点上向量相等则两向量的横纵坐标相等； 解析：1【详解】由题设得三点的坐标分别为()()()12,11,34A B C ---，，，，将三向量的坐标代入OC OA OB λμ=+得341211λμ-=-+-（，）（，）（，），因此3 24λμλμ-+=⎧⎨-=-⎩，即1 2λμ=-⎧⎨=⎩，所以λμ1+=，故答案为1.点睛：本题考查复数与向量的对应，以及向量相等的条件，复数与向量的对应要注意向量的起点必须在原点上，向量相等则两向量的横纵坐标相等；由题设求出三点A B C ，，的坐标，既得三个向量的坐标将三个向量的坐标代入向量方程，利用向量的相等建立起参数,λμ的方程，求出,λμ的值.三、解答题21．（1）0a >；（2）1z i =-+【解析】试题分析：（1）求出复数21z az +的代数形式，根据第四象限的点的特征，求出a 的范围；（2）由已知得出1212z z z z z -=+ ，代入12,z z 的值，求出1,1z i z i =--=-+ ． 试题解析;（I ）=，由题意得 解得（2）()()()()12121234261,123442i i z z i z i z z i i i--+---====--+-+++ 1.z i =-+ 22．（1）2-；（2）45[42]5 【分析】（1）利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解m 的值； （2）由复数的几何意义，画出图形，数形结合得答案【详解】（1）()()()()12212z m i i m m i =+-=++-．当20120m m +=⎧⎨-≠⎩时，即2m =-时，z 是纯虚数； （1）()()212z m m i =++-∴可设复数z 对应的点为(,)P x y ，则由212x m y m=+⎧⎨=-⎩，得250x y +-=， 即点P 在直线250x y +-=上， 又5z ≤，∴点P 的轨迹为直线250x y +-=与圆2225x y +=相交的弦AB ，则z i -表示线段AB 上的点到(0,1)M 的距离PM ，由图象可知，当PM AB ⊥时，距离最小，即点M 到直线的距离， 则min 2201545()21PM +-==+ 由2225025x y x y +-=⎧⎨+=⎩得05x y =⎧⎨=⎩或43x y =⎧⎨=-⎩ (0,5)A ∴，(4,3)B -22max ()(40)(31)42PM BM ==-+--=，||z i ∴-的取值范围是5[,2]5.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，点到直线的距离公式，两点间的距离公式，属于中档题．23．(1) 2,2-；(2) 033z i =；(3) 0.98.【分析】(1)利用复数除法的运算法则化简312i z i +=+,再根据实系数一元二次方程的性质和根与系数关系可以求出b 和c 的值；(2)设出复数z 的代数形式,利用复数的除法法则和4z z -是纯虚数,可得出复数z 的实问部和虚部之间的关系,再由0z z =时,23z i +取得最大值,这样可以求出0z ；(3)求出该题不能被正确解答的概率,然后运用对立事件概率公式求出该题能被正确解答的概率.【详解】 (1) 3(3)(12)112(12)(12)i i i z i i i i ++⋅-===-++⋅-.因为z 是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一根,所以1i +也是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一根,因此由根与系数关系可知： (1)(1)2(1)(1)2i i c b i i b c +-==-⎧⎧⇒⎨⎨++-=-=⎩⎩,所以b 和c 的值分别为2,2-； (2)设(,)z x yi x y R =+∈.222()(4)(4)444(4)(4)(4)z x yi x yi x yi x x y yi z x yi x yi x yi x y++⋅---+-===-+-+-⋅---+是纯虚数,所以有 222(4)0,0(2)4,0x x y y x y y -+=≠⇒-+=≠,它表示以(2,0)A 为圆心，2为半径的圆, 23z i +的几何意义是圆上的点(,)P x y 到点(0,23)B -是距离. ,,P A B 在同一条直线上且,PA PB 同向时,23z i +取得最大值, 因为2,6PA PB ==,所以13PA PB =所以1(2,)(,23)3x y x y --=--,因此12()3313()(3)3x x x y y y ⎧-=-⎪=⎧⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎩⎪-=-⎪⎩所以03z =+(3) 该题不能被正确解答的概率为(10.9)(10.8)0.02-⨯-=,因此能被正确解答的概率为： 10.020.98-=.【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的根的性质和根与系数关系,考查了根据复数的类别求轨迹问题,考查了对立事件的计算公式.24．（1（2）3{4a b =-= 【解析】分析：（1）把z 化为(,)a bi a b R +∈形式，然后由模的定义求解；（2）代入z ，把等式化为(,,,)a bi c di a b c d R +=+∈，再由复数相等的定义求解． 详解：（1）()2113z i i =-++ 121131i i i =--++=+，所以复数z 的模z ==（2）()()2211121z az b i a i b i a ai b ++=++++=+-+++()()2a b a i =+++， 而1z i =-，由此易得121a b a +=⎧⎨+=-⎩，可得34a b =-⎧⎨=⎩. 点睛：本题考查复数的概念，掌握复数的相关概念与运算法则是解题基础．若(,)z a bi a b R =+∈，则z =，若(,,,)a bi c di a b c d R +=+∈，则a c b d=⎧⎨=⎩． 25．（1）z=2+3i 或z=2-3i ；（2）(1,5).【解析】试题分析：（1）设(,,0)z x yi x y R y =+∈≠，根据2z -为纯虚数求得x 的值，再由92z z +-为实数求出y 的值，即可得到复数z ； （2）由92z z +-为实数且0y ≠可得22(2)9x y -+=，由此求得x 的范围，根据复数的，从而求得范围.试题(1)设z=x+yi(x,y ∈R,y≠0),则z-2=x-2+yi,由z-2为纯虚数得x=2,所以z=2+yi,则z+9z 2-=2+yi+9yi =2+9y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭i ∈R,得y-9y =0,y=±3,所以z=2+3i 或z=2-3i.(2)因为z+9z 2-=x+yi+9x yi 2+-=x+()229x 2(x 2)y --++229y y (x 2)y ⎡⎤-⎢⎥-+⎣⎦i ∈R, 所以y-229y (x 2)y -+=0, 因为y≠0,所以(x-2)2+y 2=9,由(x-2)2<9,得x ∈(-1,5),所以==(1,5).点睛：本题主要考查了复数的基本概念，复数的乘法与除法运算及复数的模等知识点，其中解答中熟记有关复数的实部、虚部、复数相等的条件和复数的四则运算是解答的关键，此类问题的解答时要注意复数的代数形式的乘除运算法则的合理运算法则的合理运用，其中正确把握复数的运算法则，合理运算.26．（1）112i,2i z z =-=+；（2）242i z =+，126z z i +=+=【解析】试题分析：（1）把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简和共轭复数的概念得答案；(2)根据题意可设22z a i ＝＋，根据虚部为0可得a 的值，故而可求得结果. 试题（1） (z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i ， 12z i =+ （2）设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ， 则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i.∵z 1·z 2∈R ，∴a ＝4.∴z 2＝4＋2i ， 126z z i +=+=。

一、选择题1．在复数范围内，有下列命题：（1）若12,z z 是两个复数，则1212z z z z +一定是实数 （2）“||1z =”是“1z R z+∈”的充分非必要条件 （3）方程20(0)x t t +=>的根是ti ±（4）22z z =则其中假命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．在复数范围内，下列命题中，假命题的是（ ） A ．若z 为实数，则z z = B ．若z z =，则z 为实数 C ．若z z ⋅为实数，则z 为实数D ．若z 为实数，则z z ⋅为实数3．已知()2155 2i z i -=+，则z 的虚部是（ ）A ．1B ．-1C ．3D ．-34．在复平面内，复数12z i ＝－对应的向量为OA ，复数2z 对应的向量为OB ，则向量AB 所对应的复数为( ) A ． 42i ＋ B ． 42i -C ． 42i --D ． 42i -+5．i 是虚数单位，20191i ()(1i+=- ) A ．iB ．i -C ．1D ．1-6．下面是关于复数21iz =-的四个命题，其中的真命题为（ ） 1:2p z =;22:2i p z =;3:p z 的共轭复数为1i -；4:p z 的虚部为i.A ．2p ,3pB ．13,p pC ．24,p pD ．34,p p7．在复平面内，若复数z 满足|z ＋1|＝|1＋i z |，则z 在复平面内对应点的轨迹是( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线8．已知i 是虚数单位，复数212iz i+=-，则复数z =（ ） A ．1 B ．1- C ．i - D ．i 9．已知复数z 满足(i−1)(z −3i )=2i(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为A ．i−1B ．1+2iC ．1−iD ．1−2i10．在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．已知实数[1,1]a ∈-，实数[1,2]b ∈-，则复数2a biz i+=-在复平面内对应的点位于第一象限的概率为（ ） A ．524B ．14C ．724D ．1312．若34sin cos 55i z θθ⎛⎫-+- =⎪⎝⎭是纯虚数，则tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．17-B ．-1C ．73-D ．-7二、填空题13．若复数z 满足034z z z i -+-=，且复数z 对应的点的轨迹是椭圆，则复数0z 的模的取值范围是__________． 14．若复数z 满足i 12i01z+=，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________15．设复数z 满足12iz i =+，则复数z 的共轭复数为______________． 16．复数z=（其中i 为虚数单位）的虚部为________．17．i 是虚数单位，若复数()()12i i a -+ 是纯虚数，则实数a 的值为____________. 18．已知复数z x yi =+，且23z -=，则yx的最大值为__________． 19．若复数z 满足1z =，则1z i -+的最大值是______． 20．已知复数z 和满足，且，则复数______．三、解答题21．已知方程21000x kx -+=，k C ∈. （1）若1i +是它的一个根，求k 的值； （2）若*k N ∈，求满足方程的所有虚数的和. 22．（1）在复数范围内解方程22||0x x +=；（2）已知复数z 满足4z R z+∈，且|2|2z -=，求z 的值.23．已知z C ∈，且满足()252z z z i i ++=+. （1）求z ；（2）若m R ∈，w zi m =+，求w 的取值范围. 24．已知复数1212,34,z i z i i =-=+为虚数单位.（1）若复数21z az + 对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围；（2）若()1212z z z z z +=-，求z 的共轭复数. 25．设z 1是虚数，z 2＝z 111z +是实数，且﹣1≤z 2≤1． （1）求|z 1|的值以及z 1的实部的取值范围； （2）若ω1111z z -=+，求证ω为纯虚数； （3）求z 2﹣ω2的最小值．26．已知()1243i z i +=+，求复数z .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】利用复数的概念及运算法则对各个命题依次进行判定． 【详解】设12,z a bi z c di =+=+（,,,a b c d R ∈），则1212z z z z +()()()()a bi c di a bi c di =+-+-+()()ac adi bci bd ac adi bci bd =-++++-+22ac bd R =+∈，①正确；设i(,0)z a b a b b =+∈≠R,，若1z ==，则11z a bi z a bi +=+++222a bi a bi a bi a bi a R a b-=++=++-=∈+， 反之，若11z a bi z a bi +=+++22a bi a bi R a b -=++∈+，则220bb a b-=+，221a b +=，∴1z =．应是充要条件，②错误；方程20(0)x t t +=>的根是，③正确；z 是复数，2z 可能是虚数，但2z 是复数的模，一定是实数，④错误，∴错误命题有2个． 故选B ． 【点睛】本题考查复数的概念与运算，解题时可设(,)z a bi a b R =+∈，然后代入进去进行检验证明．2．C解析：C 【分析】根据实数的共轭复数仍旧是实数可判断AD 的对错；一个数的共轭复数等于本身，这个数必定是实数，可判断B 的对错；一个复数与其共轭复数相乘结果一定是实数，因为z 可以是实数也可以是虚数，由此可判断C 的对错. 【详解】设z a bi =+，则z a bi =-，A ．因为z R ∈，所以0b =，所以z R =且z z a ==，正确；B ．因为z z =，所以0b =，所以z R ∈，正确；C ．z z ⋅为实数对z C ∀∈（复数集）均满足，所以z 可以是实数，也可是虚数，错误.D ．因为z 为实数，所以0b =，所以z 也是实数，所以z z ⋅为实数，正确. 故选C. 【点睛】复数判断的常用结论：（1）一个复数与其共轭复数相乘的结果一定是实数； （2）实数的共轭复数仍是实数；（3）一个复数与其共轭复数相等则此复数是实数.3．D解析：D 【分析】根据复数的运算，求得13z i =-，进而取得复数的虚部，得到答案． 【详解】由题意，复数()()()()()2155******** 133434342i i i i z i i i i i ----====-++-+，所以复数z 的虚部为3-，故选D ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的基本概念，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4．C解析：C 【分析】先计算A 点坐标和B 点坐标，再计算向量AB ，最后得到对应的复数. 【详解】复数12z i ＝－对应的向量为(1,2)OA A ⇒-22()3412i z i ==--－复数2z 对应的向量为(3,4)OB B ⇒--(4,2)AB =--对应的复数为：42i -- 故答案选C 【点睛】本题考查了复数的计算，对应向量，意在考查学生综合应用能力.5．B解析：B 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚数单位i 的性质计算． 【详解】()()21i (1i)i 1i 1i 1i ++==--+， 20192019450431i ()i (i )i i 1i +∴==⋅=--． 故选B ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位i 的运算性质，是基础题．6．A解析：A 【解析】 【分析】利用复数的乘除运算化简复数z ，再根据共轭复数、复数的虚部、复数模的计算公式求解即可得答案． 【详解】 ∵z ()()()212111i i i i +===--+1+i ， ∴1p ：|z |=2p ：z 2＝2i ，3p ：z 的共轭复数为1-i ， 4p ：z 的虚部为1，∴真命题为p 2，p 3． 故选A ． 【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，考查复数运算及复数的模、复数的虚部、共轭复数的概念，是基础题．7．A解析：A【解析】 【分析】设()z x yi x y R =+∈、，代入11z iz +=+，求模后整理得z 在复平面内对应点的轨迹是直线． 【详解】设()z x yi x y R =+∈、，1x yi ++=，()11iz i x yi +=++=y x =-，所以复数z x yi =+对应点的轨迹为直线，故选A. 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，动点的轨迹问题，是基础题．8．D解析：D 【解析】分析：利用复数的运算法则，分子和分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数化，化简求得结果.详解：()222(2)(12)252512(12)12145i i i i i iz i i i i i +++++=====--+-, 故选D.点睛：该题考查的是有关复数的运算，涉及到的知识点有复数的除法运算以及复数的乘法运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键，属于简单题目.9．B解析：B 【解析】分析：把已知等式变形，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 详解：由(i−1)(z −3i )=2i(， 得()22(1)1211(1)i i i z i i i i i i ----=--+-+--＝＝， 则z 的共轭复数为12i + ． 故选：B ．点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．10．D解析：D 【解析】分析：先化复数为代数形式，再根据几何意义得对应点，即得点所在象限.详解：复数，其对应的点是，位于第四象限．故选．点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为11．A解析：A 【解析】分析：化简复数z ，得()()225a b a b i z -++=，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，则2020a b a b ->+>，结合[]1,1a ∈-，[]1,2b ∈-，画出可行域，利用几何概型即可求出答案.详解：化简复数z ，得()()225a b a b i z -++=，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，则2020a b a b ->+>，又[] 1,1a ∈-，[]1,2b ∈-，故在平面直角坐标系上画出可行域，如图所示：∴复数z 在复平面内对应的点位于第一象限的概率1515222324P ⨯⨯==⨯. 故选：A.点睛：应用几何概型求概率的方法建立相应的几何概型，将试验构成的总区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并加以度量．(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在数轴上即可；(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系即可建立与体积有关的几何概型．12．D解析：D 【分析】根据复数为纯虚数得到3sin 5θ=，4cos 5θ=-，故3tan 4θ=-，展开计算得到答案.【详解】34sin cos 55z i θθ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭是纯虚数，则3sin 5θ=且4cos 5θ≠，故4cos 5θ=-3tan 4θ=-，tan 1tan 741tan πθθθ-⎛⎫-==- ⎪+⎝⎭ 故选：D 【点睛】本题考查了复数的概念，和差公式，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.二、填空题13．【分析】根据椭圆的定义可知从而可得复数的模的取值范围【详解】因为复数满足且复数对应的点的轨迹是椭圆所以根据复数差的几何意义知表示复数在以为圆心4为半径的圆的内部数形结合可得故答案为：【点睛】本题主要 解析：[0,7)【分析】根据椭圆的定义可知03i 4z -<，从而可得复数0z 的模的取值范围. 【详解】因为复数z 满足034z z z i -+-=，且复数z 对应的点的轨迹是椭圆， 所以03i 4z -<，根据复数差的几何意义知03i 4z -<表示复数0z 在以(0,3)为圆心，4为半径的圆的内部，数形结合可得07z <. 故答案为：[0,7) 【点睛】本题主要考查椭圆的定义应用，明确椭圆定义中2a 与2c 的大小关系是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养.14．【分析】根据行列式得到化简得到复数的虚部【详解】即的虚部为故答案为【点睛】本题考查了行列式的计算复数的虚部意在考查学生的计算能力 解析：1-【分析】根据行列式得到(12)0iz i -+=，化简得到复数的虚部. 【详解】i 12i 01z +=即12(12)0,2iiz i z i i+-+===-，z 的虚部为1-故答案为1- 【点睛】本题考查了行列式的计算，复数的虚部，意在考查学生的计算能力.15．2+i 【分析】由得然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z 则复数z 的共轭复数可求【详解】由得则复数的共轭复数故答案是【点睛】该题考查的是有关共轭复数的问题涉及到的知识点有复数的除法运算共轭复数的概念解析：2+i 【分析】由12iz i =+，得12iz i+=，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，则复数z 的共轭复数z 可求. 【详解】由12iz i =+，得212(12)2i i i z i i i+-+===--， 则复数z 的共轭复数2z i =+， 故答案是2i +. 【点睛】该题考查的是有关共轭复数的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，共轭复数的概念，属于简单题目.16．﹣【解析】试题分析：利用复数除法运算化简可得虚部解：==则复数z 的虚部为﹣故答案为﹣考点：复数代数形式的乘除运算解析：﹣． 【解析】试题分析：利用复数除法运算化简，可得虚部． 解：==，则复数z 的虚部为﹣，故答案为﹣．考点：复数代数形式的乘除运算．17．【解析】试题分析：由复数的运算可知是纯虚数则其实部必为零即所以考点：复数的运算 解析：2-【解析】试题分析：由复数的运算可知，()()12i a i -+是纯虚数，则其实部必为零，即，所以.考点：复数的运算.18．【分析】根据复数z 的几何意义以及的几何意义由图象得出最大值【详解】复数且复数z 的几何意义是复平面内以点为圆心为半径的圆的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率由图可知：即的最大值为故答案为：【点睛】 解析：【分析】根据复数z 的几何意义以及yx的几何意义，由图象得出最大值.【详解】复数z x yi =+且23z -=，复数z 的几何意义是复平面内以点(2,0)为圆心，3为半径的圆22(2)3x y -+=.yx的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率由图可知：max331y x ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 即yx3 3【点睛】本题主要考查了复数的几何意义的应用，属于中档题.19．【分析】利用复数模的三角不等式可得出可得出的最大值【详解】由复数模的三角不等式可得因此的最大值是故答案为【点睛】本题考查复数模的最值的计算可将问题转化为复平面内复数对应的点的轨迹利用数形结合思想求解 解析：12+【分析】利用复数模的三角不等式可得出()111z i z i z i -+=--≤+-可得出1z i -+的最大值. 【详解】由复数模的三角不等式可得()()2211111112z i z i z i -+=--≤+-=++-=+， 因此，1z i -+的最大值是12+. 故答案为12+. 【点睛】本题考查复数模的最值的计算，可将问题转化为复平面内复数对应的点的轨迹，利用数形结合思想求解，同时也可以利用复数模的三角不等式进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.20．1+i 或-1-i 【解析】【分析】本题首先可以设z=a+bi(ab ∈R)由|z|-z=41-i 可得a=0b=22则z=2i 令ω=m+ni(mn ∈R)代入ω2=z 再由复数相等的条件求解【详解】设z=a+解析：或【解析】 【分析】 本题首先可以设，由，可得，则，令，代入，再由复数相等的条件求解。