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22空间向量的运算北师大版选修21 ppt课件

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高中数学第二章2.2空间向量的运算第1课时空间向量的加减法及数乘运算课件北师大版选修2_1

高中数学第二章2.2空间向量的运算第1课时空间向量的加减法及数乘运算课件北师大版选修2_1


探究一
探究二
探究三
思维辨析
向量的加、减法运算
【例1】 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式中运算的 结果为向量 ���������的���1 有( )
①(������������ + ������������)+������������1 ;②(������������1 + ������1������1 )+������1������1; ③(������������ + ������������1)+������1������1;④(������������1 + ������1 ������1)+������1������1.
A.a+b+c B.a+b-c C.a-b-c D.-a+b+c 解析:������1������ = ������1������ + ������������ = ������1������ + ������������ + ������������ = ������������ − ������������ − ������������1=a-b-c. 答案:C
探究一
探究二
探究三
思维辨析
空间向量的数乘运算
【例2】 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,
������1������1=a,������1������1=b,������1 ������=c,E,F,G,H,P,Q 分别是 AB,BC,CC1,C1D1,D1A1,A1A 的中点,求证:������������ + ������������ + ������������=0.
2-2空间向量的运算(北师大版选修2-1)ppt课件

2-2空间向量的运算(北师大版选修2-1)ppt课件


课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练ຫໍສະໝຸດ 【训练 1】 已知四边形 ABCD 为正方形，P 是 ABCD 所在平面 外一点，P 在平面 ABCD 上的射影恰好是正方形 ABCD 的中心 O.Q 是 CD 的中点，求下列各式中 x、y 的值： (1)O→Q＝P→Q＋xP→C＋yP→A； (2)P→A＝xP→O＋yP→Q＋P→D.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
3．平面向量的数乘运算推广到空间向量的数乘运算及其运算律 仍然是成立的． 4．因为空间任意两个向量都是共面的，所以空间向量共线定理 与平面向量共线定理是相同的；定理中 b≠0 不可丢掉，否则实 数 λ 不一定存在，且不一定唯一．如 a≠0，b＝0，则 λ 不存在， a＝b＝0，则 λ 不唯一． 5．在 a＝λb 中，对于确定的 λ 与 b，a＝λb 可以表示空间中与 b 平行且长度为|λb|的所有的向量．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
6．向量的数量积是一个数量(数值)，而不是向量，它的值为两 向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦 的符号确定． 7．两向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，与以前学过的 数的乘法有区别，在书写时要严格区分开来，数量积写成 a·b， 而不能写成 ab，亦不能写成 a×b. 8．a·b 的几何意义：a 与 b 的数量积等于 a 的模与 b 在 a 上的 投影|b|cos〈a，b〉的乘积，也可等于 b 的模与 a 在 b 上的投影 |a|cos〈a，b〉的乘积．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
规律方法 对于向量算式的化简问题，要注意观察每步中所涉 及的向量在图形中的位置特点及封口多边形法则的应用．特别 注意：始点相同的三个不共面的向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为起点的对角线所表示的向 量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广，可以 称作空间向量加法的平行六面体法则．
北师版数学选修2-1课件：第2章 2 空间向量的运算

北师版数学选修2-1课件：第2章 2 空间向量的运算


【答案】 B
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→ → → 3．在空间四边形ABCD中，连接AC，BD，则AB＋BC＋CD为________． 【解析】 【答案】 → → → → → → AB＋BC＋CD＝AC＋CD＝AD. → AD
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4．若空间向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为60° ，求a· a＋a· b＝_____.
【答案】 C
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→ → → → (2)化简(AB－CD)－(AC－BD)＝________.
→ －CD → )－(AC → －BD →) 【自主解答】 法一：(AB → －CD → －AC → ＋BD → ＝AB → → → → ＝AB＋DC＋CA＋BD → ＋BD → )＋(DC → ＋CA →) ＝(AB → ＋DA → ＝0. ＝AD
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→ ＋D → →＝ 2．如图221所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA C － BB 1 1 1 1 ( )
图221 → A.AB 1 → C.AD
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→ B．DC → D．BA
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【解析】
→ → → → → → → → → → AA1＋D1C1－BB1＝AA1＋A1B1＋B1B＝AB1＋B1B＝AB＝DC.
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减法
空间向量a与一个实数λ的乘积是一个 向量，记作λa，满足： 空间向量 ①|λa|＝|λ||a| 的数乘 ②当λ＞0时，λa与a方向 相同 ； 当λ＜0时，λa与a方向 相反； 当λ＝0时，λa＝ 0
①λa＝aλ(λ∈R) ②λ(a＋b)＝ λa＋λb (λ＋μ)a＝λa＋μa (λ∈R，μ ∈R) ③(λμ)a＝ λ(μa) (λ∈R，μ ∈R)．
高中数学北师大版选修2-1 2.2.1空间向量的线性运算 课件(30张)

高中数学北师大版选修2-1 2.2.1空间向量的线性运算 课件(30张)

§2 空间向量的运算
-1-
第1课时 空间向量的线性运算
-2-
第1课时 空间向量的线性运算
M 目标导航 Z 知识梳理 D典例透析 S随堂演练
UBIAODAOHANG HISHI SHULI IANLI TOUXI
UITANGYANLIAN
1.会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算 律. 2.能运用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何问 题.
-8-
第1课时 空间向量的线性运算
M 目标导航 Z 知识梳理 D典例透析 S随堂演练
UBIAODAOHANG HISHI SHULI IANLI TOUXI
UITANGYANLIAN
【做一做 2】 给出下列命题: ① 在空间中, 零向量一定没有方向;
②若 ABCD-A'B'C'D'为平行六面体, 则������������ = ������' ������' ; ③若 ABCD-A'B'C'D'为长方体, 则������������ + ������������ + ������������' = ������������' + ������' ������' .
UBIAODAOHANG HISHI SHULI IANLIБайду номын сангаасTOUXI
UITANGYANLIAN
3.运算律 空间向量加法和减法的运算律与平面向量的运算律相同,表示如 下: (1)结合律 (a+b)+c=a+(b+c); (2)交换律 a+b=b+a. 说明:空间向量的加法、减法运算满足平行四边形法则或三角形 法则,并且空间向量的加法满足交换律和结合律.
最新北师大版选修2-1高中数学2.2《空间向量的运算》(第2课时)ppt课件

最新北师大版选修2-1高中数学2.2《空间向量的运算》(第2课时)ppt课件

[答案] 14a2
htt课p:堂//c讲a练i.7互cx动 中小学课件
2．已知 Rt△OAB 中，∠AOB 为直角，OA 与 OB 的长度都为 2，CB 垂直于三角形 OAB 确定的平面，且 3|B→C|＝|A→B|，则向量B→C 的模是________________．
[答案]
2 32
htt课p:堂//c讲a练i.7互cx动 中小学课件
• 3．运算律：空间向量a、b满足
数乘向量与向 量
数量积的结合 律
交换律
分配律
λ(a·b)
(λa)·b＝__b_·_a _____
a·b＋a·c
a·b＝_________ a·(b＋c)＝_________
htt课p:堂//c讲a练i.7互cx动 中小学课件
(3)当〈a，b〉＝π2时，a 与 b 互相___垂__直___，记作__a_⊥__B___．
htt课p:堂//c讲a练i.7互cx动 中小学课件
• 3．异面直线
• (1)定义：不_在_任__何_一_个__平_面_内________的两条直线
叫做异面直线．
平面内
• (2)所成的角夹：角把异面直线平移到一个
• (2)两向量数量积是两向量之间的一种乘法， 与以前学过的数的乘法有区别，在书写时要 把它们区别开来，内积写成a·b，而不能写
成ab．
• (3)a·b的几何意义为：
• a与b的数量积等于a的模与b在a上的投影 |b|cos〈a，b〉的乘积，也等于b的模与a在
htt课p:堂//c讲a练i.7互cx动 中小学课件
________________，这时两条直线的 ________(锐角或直角)叫做两直条角 异面直线所
成的角．
(教师用书)高中数学 2.2 空间向量的运算课件 北师大版选修2-1

(教师用书)高中数学 2.2 空间向量的运算课件 北师大版选修2-1


●重点难点 重点：空间向量的加、减、数乘与数量积的运算法则及 运算律． 难点：用空间向量解决立体几何问题． 突破难点：通过提问让学生类比平面向量去定义空间向 量的加减法、数乘运算和数量积运算，让学生进一步体会空 间向量与平面向量之间的关系，突出教学重点．初步应用空 间向量的运算解决一些问题，平行六面体是空间向量加法运 算的一个重要几何模型，需要加深对平行六面体的理解．突 破难点．
空间向量的线性运算
பைடு நூலகம்
如图 2－2－1 已知三棱锥 A－BCD，E、F 分别 是 BC、CD 的中点，化简下列各表达式． → ＋BC → ＋CD →； (1)AB → 1→ 1→ (2)AB＋2BD＋2BC； → 1→ 1 → (3)AF－2AB－2AC.
图 2－2－1
【思路探究】 算法则进行化简．
1．在例 1 中，利用向量加法的结合律以及数乘向量的分 配律简化了计算． 2． 对向量式的化简， 要结合图形， 充分利用图形的性质．
如图 2－2－2，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，O 为 AC 的中点． 1→ 1 → → (1)化简：A1O－ AB－ AD； 2 2 → 2→ → → (2)设 E 是棱 DD1 上的点，且DE＝3DD1，试用AB，AD， → 表示EO →. AA 1
空间向量 的运算
定义(或法则)
运算律
加 法 空间向量 的加减法
设 a 和 b 是空间两个向量，过一点 O 作 → → a 和 b 的相等向量OA和OB， 根据平面向 量加法的 平行四边形法则 ， 平行四边 形的对角线 OC 对应的 → 向量OC就是 a 与 b 的和， ①结合律： (a＋b)＋c 记作 a＋b，如图所示 ＝ a＋(b＋c) ； ②交换律：a＋b＝
高中数学第二章空间向量与立体几何2.2空间向量的运算课件北师大版选修2_1

高中数学第二章空间向量与立体几何2.2空间向量的运算课件北师大版选修2_1

＝ 12 ＋ 1×1×cos 60°－ 2×1×1×cos 60°＋ 1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60° ＝1.
讲课堂互动讲义
空间向量的线性运算 已知空间四边形 OABC， M，N 分别是对边 OA、BC 的中点， 点 G 在 MN 上，且 MG＝2GN，如 图，设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c， 试用 a，b，c 表示向量O→G.
如图．
(2)减法法则 与平面向量类似，a与b的差定义为_a_与__－__b_的___ __和__向__量___，记作a－b，其中－b是b的相反向 量．
(3)运算律 交换律：a＋b＝__b_＋__a_b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝__a_＋__(_b_＋__c)__．
[强化拓展]
(1)空间向量的加减法与平面向量的加减法完全相
[强化拓展] (1)因为空间任意两个向量都是共面的，所以空间向 量共线定理与平面向量共线定理是相同的；定理中 b≠0 不可丢掉，否则实数 λ 不一定存在，且不一 定唯一．如：a≠0，b＝0，则 λ 不存在；a＝b＝0， 则 λ 不唯一． (2)在 a＝λb 中，对于确定的 λ 与 b，a＝λb 可以表 示空间中与 b 平行且长度为|λb|的所有的向量．
4．空间向量的数量积
λ(a·b)
b·a a·b＋a·c
(1)若 a，b 是非零向量，则 a⊥b⇔a·b
两个 ＝0. 向量 (2)若 a 与 b 同向，则 a·b＝|a|·|b|； 数量 若反向，则 a·b＝－|a|·|b|. 积的 特别地：a·a＝|a|2 或|a|＝ a·a. 性质 (3)若 θ 为 a，b 的夹角，则 cos θ＝|aa|··b|b|.
2．射线 AB、AC、AD 不共面， 连接 BC、CD、DB，分别取 AB、BC、CD、DA 的中点 E、 F、G、H，试判断四边形 EFGH 的图形形状，并用向量的方法 证明．
2.空间向量及其加减运算-北师大版高中数学选修2-1PPT全文课件

2.空间向量及其加减运算-北师大版高中数学选修2-1PPT全文课件


例题
例 已知平行A 六B面 CD 体 A'B'C'D'，化简下 列向量表达式化 ，简 并结 标果 出的向量
⑵ABADAA'；
起点相同的三个不共面 向量之和，等于以这三 个向量为棱的平行六面 体的以公共起点为起点
的对角线所示向量
D’ A’
D
C’ B’
C
A
B
2 . 空 间 向量 及其加 减运算 -北师大 版高中 数学选 修2-1 PPT全文 课件【 完美课 件】
b
加法交换律：
A
a
B
abba
加法结合律：
向量减法的三角形法则
(ab)ca(bc)
4.推广:
（1）首尾相接的若干向量之和， 等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的 向量； A 1A 2A 2A 3A 3A 4 A n 1A nA1 A n
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为: 零向量
A1
A n1
A2
An
2 . 空 间 向量 及其加 减运算 -北师大 版高中 数学选 修2-1 PPT全文 课件【 完美课 件】
A3
A4
2 . 空 间 向量 及其加 减运算 -北师大 版高中 数学选 修2-1 PPT全文 课件【 完美课 件】
例题
例 已知平行A 六B面 CD 体 A'B'C'D'，化简下 列向量表达式化 ，简 并结 标果 出的向量
在这里，空间向量的加减法运算性质 完全和平面向量的运算性质一样！
2 . 空 间 向量 及其加 减运算 -北师大 版高中 数学选 修2-1 PPT全文 课件【 完美课 件】
问题 2.空间向量及其加减运算-北师大版高中数学选修2-1PPT全文课件【完美课件】
高中数学 2.2 空间向量的运算课件 北师大版选修21

高中数学 2.2 空间向量的运算课件 北师大版选修21


空间向量的线性运算
如图 2－2－1 已知三棱锥 A－BCD，E、F 分别
是 BC、CD 的中点，化简下列各表达式．
(1)A→B＋B→C＋C→D；
(2)A→B＋12B→D＋12B→C；
(3)A→F－12A→B－12A→C.
图 2－2－1
【思路探究】 结合图形特点，利用空间向量的线性运 算法则进行化简．
空间两个向量 a 与 b(b≠0)共线的充要条件是存在实数
λ，使得 a＝λB．
单位向量
【问题导思】 在平面向量中，与 a 共线的单位向量有几个，分别是什 么？ 【提示】 有 2 个，分别是|aa|与－|aa|.
对于任意一个非零向量 a，我们把|aa|叫作向量 a 的单位向 量，记作 a0，a0 与 a同方向 .
2 空间向量的运算
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 (1)理解空间向量的概念，掌握其表示方法． (2)能用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们 的运算律． (3)能用空间向量的运算意义及运算律解决立体几何中的 简单问题．
2．过程与方法 通过对空间向量的运算的学习，了解并初步把握空间向 量的运算意义及运算律解决立体几何中的简单问题的方法． 3．情感、态度与价值观 培养学生知识迁移的能力，渗透数形结合思想．
【解】 (1)∵A→B＋A→D＝A→C，
∴
A→1O－
1 2
A→B
－12
A→D＝
A→1O－
12(A→B＋
A→D)
＝A→1O－
1 2
A→C
＝
A→1O－A→O＝A→1A. (2)E→O＝E→D＋D→O＝23D→1D＋12D→B＝23D→1D＋12(D→A＋A→B)＝23
A→1A＋12D→A＋12A→B＝12A→B－12A→D－23A→A1.
《2.2 空间向量的运算》课件-优质公开课-北师大选修2-1精品

《2.2 空间向量的运算》课件-优质公开课-北师大选修2-1精品

b≠0，则存在唯一实数x使a＝xb；②若存在 唯一实数λ，使a＝λb，则a∥b.
• 判定两向量共线的关键是找到实数λ.运用② 证明直线平行还需说明a(或b)上有一点不在 b(或a)上．
• 运用②证明三点共线，还需说明a与b有公共 点．
• 5．数量积
• 由于空间任意两个向量都可转化为共面向量， 所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、 两个向量垂直的定义和表示及向量的模的概 念和表示等，都与平面向量相同．
重点难点点拨
• 本节重点：向量的线性运算及运算律、数量 积．
• 本节难点：向量的线性运算及运算律、数量 积．
知能自主梳理
1．空间向量加减法的定义 如图，设 a 和 b 是空间两个向量，过 一点 O 作 a 和 b 的相等向量O→A和O→B，根 据平面向量加法的平行四边形法则，平行 四边形的对角线 OC 对应的向量O→C就是 a 与 b 的和，记作 a＋b. a 与 b 的差定义为 a＋(－b)，记作 a－b，其中－b 是 b 的 相反向量．
• 与平面上两个向量的数量积一样，空间两个 向量的数量积也具有如下性质．
• ①a⊥b⇔a·b＝0.用于判断两向量是否垂 直．
• ②|a|2＝a·a用于求向量的模．
• ③|a·b|≤|a||b|用于判断或证明不等式．
• 6．向量中应该重视的问题
• ①空间向量的加法、减法、数乘向量的意义 及运算律与平面向量类似，这些运算不但适 合学过的代数运算律，而且很多性质与实数 性质相同．
④a·b＝0⇒/ a＝0 或 b＝0，a＝0 时，一定有 a·b＝0. ⑤三个不为零的实数 a、b、c，有(ab)c＝a(bc)成立，但对 于三个向量 a、b、c，(a·b)·c≠a·(b·c)，因为 a·b 是一个实数，(a·b)c 是与 c 共线的向量，而 a(b·c)是与 a 共线的向量，a 与 c 却不一 定共线．
最新-高中数学 22《空间向量的运算》课件 北师大版选修2-1 精品

最新-高中数学 22《空间向量的运算》课件 北师大版选修2-1 精品

A1A2 A2 A3 A3A4 ． An1An An A1 0
⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立 ．
例１已知平行六面体 ABCD A' B'C' D（' 如图），化简下列
向量表达式，并标出化简结果的向量
⑴AB BC；
⑵AB AD AA'；
⑶AB AD 1 CC' 2
⑷ 1 (AB AD AA' )． 3
推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在
有序实数对x、y，使 MP =xMA+y MB
或对空间任一点O，有OP= OM +x MA +y MB ①
平面MAB内，点P对应的实数对（x,y）是唯一的，①式 叫做平面MAB的向量表达式。
例2、对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，试问满足 向量关系式
OP OA t a ① 其中向量a叫做直线l的方向向量。
OP OA t AB OP (1 t)OA tOB ②
①或②式都叫做空间直线的向量参数方程
4．共面向量
（1）概念：已知平面α与 a向量，作 OA a ，如 果直线OA平行于平面α或在α内，那么我们说向量 a 平行于平面α，记作 a ∥α。
OP =x OA+y OB +ZOC (其中x+y+z=1)
的四点P、A、B、C是否共面
例3、已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量
OE=k OA ，OF =kOB ,OG =kOC ,OH OD
=k ,求证： ⑴四点E、F、G、H共面；
⑵平面EG∥平面AC。
O
D
C
A
Bபைடு நூலகம்
H

空间向量的运算课件(北师大版选修


添加标题
根据评价结果，调整教学方法和 内容，提高教学质量
定期组织教学研讨会，分享教学 经验和改进措施
感谢观看
汇报人：
重点：空间向量的运算法则， 包括加法、减法、数乘和向 量积等
教学方法：通过实例讲解， 让学生理解空间向量的运算
法则
教学策略：采用启发式教学， 引导学生思考，提高学生的
自主学习能力
教学方法的选用依据
教材内容：根据 教材内容选择合 适和学习特点选择 教学方法
教学目标：根据 教学目标选择合 适的教学方法
实例分析
实例1：空间向量的加法 运算
实例2：空间向量的减法 运算
实例3：空间向量的数乘 运算
实例4：空间向量的混合 运算
实例5：空间向量的坐标 运算
实例6：空间向量的向量 积运算
互动讨论
提出问题：引导学生思考空间向 量的运算方法
教师引导：教师对讨论内容进行 点评和引导
添加标题
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添加标题
添加标题
向量的数量积运算
向量的数量积 定义：两个向 量的数量积是 一个实数，表 示两个向量的
夹角大小
向量的数量积 公式：
a·b=|a||b|cos θ，其中a和b 是向量，θ是向 量a和b的夹角
向量的数量积 性质：
a·b=b·a， a·a=|a|^2， a·b=0当且仅 当a和b垂直
向量的数量积 应用：计算两 个向量的夹角 大小，判断两 个向量是否垂 直，计算向量
的长度等
向量的向量积运算
向量积的定义：两个 向量的向量积是一个 向量，其方向垂直于 两个向量所在的平面
向量积的性质：向量 积的长度等于两个向 量长度的乘积，方向 垂直于两个向量所在 的平面
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→ DB
，
→ DC
，
→ DA
所在直线为x
轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得D(0，0，
角形法则化简表达式，并给出合理的标注．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
解 如图， (1)∵O→Q＝P→Q－P→O＝P→Q－12(P→A＋P→C)＝P→Q－12P→A－12P→C， ∴x＝y＝－12. (2)∵P→A＋P→C＝2P→O，∴P→A＝2P→O－P→C. 又∵P→C＋P→D＝2P→Q，∴P→C＝2P→Q－P→D. 从而有P→A＝2P→O－(2P→Q－P→D)＝2P→O－2P→Q＋P→D. ∴x＝2，y＝－2.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
(3)交换律：λa＝ aλ(λ∈R) ．
(4)分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb ．
(λ＋μ)a＝ λa＋μa(λ∈R，μ∈R)
．
(5)结合律：(λμ)a＝ λ(μa)(λ∈R，μ∈R)
．
5．空间两个向量 a 与 b(b≠0)共线的充分必要条件是存在实数
λ，使得a＝λb 或者b＝λa ．
课堂讲练互动
活页限时训练
题型一 空间向量的线性运算
【例 1】 已知平行六面体 ABCDA1B1C1D1，化简下列各向量表 达式，并标出化简结果的向量．
(1)A→B＋B→C；
(2)A→B＋A→D＋A→A1； (3)A→B＋A→D＋12C→C1； (4)13(A→B＋A→D＋A→A1)．
[思路探索] 利用空间向量加减法运算的平行四边形法则和三
§2 空间向量的运算
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
反向量．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
3．空间向量加减法的运算律 (1)结合律：(a＋b)＋c＝ a＋(b＋c) ．
(2)交换律：a＋b＝ b＋a ．
4．数乘的定义 空间向量 a 与实数 λ 的乘积是一个 向量 ，记作 λa ． (1)|λa|＝ |λ||a| ． (2)当λ>0 时，λa 与 a 方向相同；当λ<0 时，λa 与 a 方向相反； 当λ＝0 时，λa＝0.
课前探究学习
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【训练4】 (2011·陕西)如图，在△ABC中，∠ABC＝60°， ∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使 ∠BDC＝90°.
(1)证明：平面ADB⊥平面BDC； (2)设E为BC的中点，求A→E与D→B夹角的余弦值．
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题型二 共线向量及应用 【例 2】 如图，在空间四边形 ABCD 中，若△ABC 的外接圆的 圆心 O 与劣弧 AB 的中点的连线交 AB 于 E，△ADC 的外接圆 的圆心 O1 与劣弧 DC 的中点的连线交 CD 于 F，请判断E→F与A→D ＋B→C是否共线．
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(1)证明 ∵折起前AD是BC边上的高， ∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB， 又DB∩DC＝D，∴AD⊥平面BDC， ∵AD 平面ABD，∴平面ABD⊥平面BDC.
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(2)解 由∠BDC＝90°及(1)知DA，DB，DC两两垂直，不妨
设|DB|＝1，以D为坐标原点，以
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
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自学导引
1．空间向量的加法
设 a 和 b 是空间两个向量，如图，过点 O
作O→A＝a，O→B＝b，则平行四边形的对角线 OC
对应的 向量
→ OC
就是 a 与 b 的和，记作
a＋b ．
2．空间向量的减法
a 与 b 的差定义为 a＋(－b)，记作 a－b ，其中－b 是 b 的相
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(3)与数量积有关的结论
①|a|＝ a·a． ②a⊥b⇔ a·b＝0 ．
③cos〈a，b〉＝ a|a·||bb|(a≠0，b≠0)．
7．向量 a 的单位向量
对于任意一个非零向量
a，把
a |a|
叫做向量
a
的单位向量，记
作a0 ，a0 与 a 方向相同．
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6．(1)数量积的定义 空间两个向量 a 和 b 的数量积是一个数，等于|a||b|·cos〈a，b〉．记 作 a·b ． (2)数量积的运算律 ①交换律：a·b＝b·a ． ②分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c ．
③λ(a·b)＝(λa)·b(λ∈R) ．
[思路探索] 要判断E→F与A→D＋B→C是否共线，就是看是否存在实 数 x，使E→F＝x(A→D＋B→C)．
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【训练 2】 如图所示，已知空间四边形 ABCD，E、H 分别是 边 AB、AD 的中点，F、G 分别是 CB、CD 上的点，且C→F＝23C→B， C→G＝23C→D.求证：四边形 EFGH 是梯形．
键是如何将几何问题转化为向量的计算问题．
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(2)证明 ∵B→D＝A→D－A→B＝－a＋b， ∴A→C1·B→D＝(a＋b＋c)·(－a＋b)＝－a2＋b2－a·c＋b·c. ∵a·c＝b·c，∴A→C1·B→D＝－a2＋a2＝0. ∴A→C1⊥B→D.∴AC1⊥BD.(8分) (3)解 ∵A→C＝A→B＋B→C，B→D1＝B→A＋A→A1＋A→1D1， ∴A→C＝a＋b，B→D1＝－a＋b＋c， ∴A→C·B→D1＝(a＋b)·(－a＋b＋c)＝－a2＋b2＋a·c＋
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题型四 数量积的综合应用
【例4】
(12分)如图所示，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1
中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b，且AA1与
AB，AD的夹角都是120°.
(1)求AC1的长； (2)证明AC1⊥BD； (3)求直线BD1与AC所成角的余弦值． 审题指导 本题目主要考查利用数量积求长度、夹角问题，关