北师大版高三数学选修2-2课件【全册】

用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：
（1）明确首取值n0并验证真假。（必不可少） （2）“假设n=k时命题正确”并写出命题形式。 （3）分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k” 时 命题形式的差别。弄清左端应增加的项。 （4）明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的 方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用 上假设。 （5）根据以上下结论
等式成立。
(2) 假设n=k（k∈N*)时等式成立，即 归纳假设要用到
1 1 1 1 k 2k 12k 1 2k 1 1 3 3 5 5 7
（3）那么当
n k ,1时
即当n=k+1时等式也成立。 根据（1）（2）（3），可知等式对任何n∈N* 都成立。
1 1 1 1 1 2k 12k 1 2k 12k 3 1 3 3 5 5 7 k 1 2k 1 2k 12k 3 归纳递推很重要 k 1 k 1 2k 3 2(k 1) 1
归纳结论莫忘掉
评
注意 1. 用数学归纳法进行证明时,要分四个 步骤,四个步骤缺一不可. 2 (1)(归纳基础)是递推的基础 找准n0
（2）（归纳假设）是递推的依据 时命题成立．作为必用的条件运用 n＝k
(3)(归纳递推)而n＝k+1时情况则有待利用 假设及已知的定义、公式、定理等加以证明 （4）（归纳结论）结合（1）（2）（3）可 知，当n取一切自然数时命题都成立
问题3：有一台晚会，知道第一个节 目是唱歌，而且如果第k（k∈N*） 个节目是唱歌，则第k+1个节目一定 是唱歌，能否断定整台晚会都是唱 歌？
导
多米诺骨牌能够全部倒下的有两个关键因素： 1、第一块骨牌倒下， 2、若第k块骨牌倒下，则第k+1块骨牌一定会倒 下。

第一章 推理与证明
2020北师大版高三数学选修2-2电 子课本课件【全册】
1.归纳与类比
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1
1
C.(-2 ,-2)
D.(2 ,-2)
1
1
1
1


0
2
【解析】y'=( )'=- 2 ,设 P(x0,y0),则- 2 =-4,解得 x0=± .
3.已知f(x)=xa,若f'(-1)=-4,则a的值等于
a-1
.
4
a-1
【解析】f'(x)=ax ,又 f'(-1)=-4,∴a(-1) =-4⇒a=4.
第十一页，编辑于星期五：十二点 十二分。
...
导学固思
导数公式表的应用
求下列函数的导数:

x
(1)y=sin ;(2)y=5 ;(3)y=x ;(4)y=lo1 x
3
.
3
【解析】(1)y'=0.
x
x
(2)y'=(5 )'=5 ln 5.
3
2
3
1
2
(3)∵y=x = ,∴y'= .
(4)y'=

·logae
问题4 利用导数的定义求导与导数公式求导的区别.
导函数定义本身就是函数求导的最基本方法,但导函
数是由 极限 定义的,所以函数求导总是要归结为求
极限
,这
在运算上很麻烦,有时甚至很困难,但是用导函数定义推导
出常见函数与基本初等函数公式后,求函数的导函数就可
以用公式直接求导了,简洁迅速.
第七页，编辑于星期五：十二点 十二分。
第九页，编辑于星期五：十二点 十二分。
...
导学固思
4
求下列函数的导数.
15
(1)y=x ;

(3)
结构图则更多地表现为 流程图通常会有一个“ “树”形或“环”形结 起点”，一个或多个“ 构，其基本要素之间一 终点”，其基本单元之 般为概念上的从属关系 间由流程线连接 或逻辑上的先后关系
题型一 知识结构图
【例1】 对于《数学3(必修)》第二章“算法初步”，画出这 一章的知识结构图． [思路探索] 对于“算法初步”这一章来讲，主要有算法基 本思想、算法基本结构和几种基本语句三部分，每部分又 可再细分．
方法技巧 环形结构图的画法及应用
画结构图时，首先要确定组成结构图的基本要素，然后通
过连线来表明各要素之间的关系．各要素之间的关系通常 包括逻辑关系和从属关系，逻辑关系通常用环形结构来表 达，从属关系通常用树形结构来表达．
【示例】 试画出《数学5》“数列”一章的知识结构图． [思路分析] 图了． 解
程系、城建环保工程系、电气工程系、计算机工程系、机
械工程系、汉教部．(6分) (2)学生工作处与其下位要素的关系是从属关系．(12分) 【题后反思】 组织结构图一般是“树”形结构．这种图直
观，容易理解，被应用于很多领域．在组织结构图中，可
采用从上到下或从左到右的顺序绘制，注意各单元要素之
间的关系，并对整个组织结构图进行浏览处理，注重美 观、简洁、明了．
【例2】 某中学行政机构关系如下：校长下设两名副校长和 校长办公室，两名副校长又各自管理教务处、教科室和保
卫科、政教处、总务处，各科室共同管理和服务各班
级．试画出该校的行政组织结构图． [思路探索] 组织结构图一般呈“树”形结构，绘制
时，应从高级到低级进行；要从“根”开始，然后逐次分 级，直到“树梢”结束．
解 如图所示：
规律方法
(1)知识结构图的画法

3.填空
(1) f(x)=80，则f '(x)=___0___;
(2) y 3 x2的导数是__32_x__13 __;
(3) f (x) ex ,则f ' (x)等于__e_x___;
f '(1)等于__e____
1
(4) (1oga x)' __x_ln_a____
练 习 求下列函数的导数
x x0
x0
x
x0
二、几种常见函数的导数
4) 函数y=f(x)=1/x的导数.
解: y f (x) 1 , x
y f (x x) f (x) 1 1 x x x x (x x)x
y 1 , x (x x)x
f
(x)
(1)' x
lim
x0
y x
lim
x0
(x
1 x)x
1 x2
公式3 : (sin x) ' cos x;
公式4 : (cos x) ' sin x;
公式5 : (ax ) ' ax ln a(a 0);
公式6 : (ex ) ' ex;
公式7 : (loga
x) '
1 x ln a
(a
0, 且a
1);
公式8 : (ln x) ' 1 ; x
[cf(x)]′＝ cf '(x)
公式5 : (ax ) ' ax ln a(a 0);
公式6 : (ex ) ' ex;
公式7 : (loga
x)'
1 x ln a
(a
0, 且a
1);
公式8 : (ln x) ' 1 ; x

•
练一练：3、用数学归纳法证明：“当n为正 n n 奇数时， x y 能被x＋y整除”第二步归 纳假设应写成： A
A、假设n＝2k+1（ k N ）正确，再推n＝2k＋3正确；
C、假设n＝k（ B、假设n＝2k－1（k N ）正确，再推n＝2k＋1正确；
k N ）正确，再推n＝k＋1正确；
以下用数学归纳法证明:
12 22 n2 n2 n (n N * ). 1 3 3 5 (2n 1)(2n 1) 4n 2
3a b 1
a 1
点评:对这种类型的题目,一般成立. 法证明它对一切正整数
A、当n＝6时该命题不成立； B、当n＝4时该命题不成立；
B
C、当n＝6时该命题成立；
D、当n＝4时该命题成立；
•
注意1.
用数学归纳法进行证明时,要分两个 步骤,两个步骤缺一不可. 找准n0
2 (1)(归纳奠基)是递推的基础.
(2)(归纳递推)是递推的依据 n ＝ k时 命题成立．作为必用的条件，而n＝k+1时情 况则有待利用假设及已知的定义、公式、定 理等加以证明
思考：用数学归纳法证明：
n 1
（x 1)
( x 2)
2 n 1
(n N )

能被x 3 x 3整除。
2
•
作业：
1、用数学归纳法证明： （3n 1 ） 7 －1能被9整除。（n N ）
n
n(n 1) 2 1 2 2 3 3 4 n(n 1) (an bn c) 12
1 1 1 5 ex : (n 2且n N ） n 1 n 2 3n 6

2
提出问题：
一质点按规律s＝2t2＋2t做直线运动(位移单位：米，时 间单位：秒)． 问题1：试求质点在前3秒内的平均速度．
提示：8米/秒． 问题2：试求质点在第3秒时的瞬时速度．
问题3：对于函数y＝f(x)，当x从x0变到x1时，求 函数值y关于x的平均变化率．
问题4：当Δx趋于0时，平均变化率趋于一个常数吗？这 个常数是什么？ 提示：是．
新知学习：
固定的值
注意：（1）函数应在点x0 的附近有定义ma 在研究极值问题中提出. 费马对数学的贡献包括：与笛卡尔 共同创立了解析几何；创造了作曲 线切线的方法，被微积分发明人之 一牛顿奉为微积分的思想先驱；通 过提出有价值的猜想，指明了关于 整数的理论——数论的发展方向。 他还研究了掷骰子赌博的输赢规律 ，从而成为古典概率论的奠基人之 一。
瞬时速度是 –13.1.
表示“当t =2, △t趋近于0时, 平均速度 趋近于确定值– 13.1”.
28
探 究: 1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?
2.函数f (x)在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示?
29
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作
例：一条水管中流过的水量y（单位： ）是时
间x（单位：s）的函数
。求函数
在x=2处的导数
，并解释它的实际意义。
解：当x从2变到2＋Δx时，函数值从3×2变到3（2+Δx）
，函数值y关于x的平均变化率为
（
当x趋于2，即Δx趋于0时，平均变化率趋于3，
10
所以
（ /s）.
导数 表示当x=2s时水流的瞬时变化率，即水流的 瞬时速度。也就是如果水管的中的水以x=2s时的瞬时

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1.变化的快慢与变化率
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2.导数的概念及其几何意义
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3.反证法
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4.数学归纳法
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第一章 推理与证明
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1.归纳与类比
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2.综合法与分析法
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本章小结建议
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复习题一
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第二章 变化率与导数

=
lim
Δ ������ →0
-
1 ������(������+������)
=-���1���2.
12
2.导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)
函数
导函数
y=c(c 是常数) y=xα(α 是实数)
y'=0 y'=αxα-1
y=ax(a>0,a≠1)
y'=axln a 特别地(ex)'=ex
ΔΔ������������=-4·������22(������������++ΔΔ������������)2,
所以 lim
Δ ������ →0
������ ������
=
lim
Δ ������ →0
-4·������22(������������++ΔΔ������������)2
=-���8���3,
§2.3 计算导数
学习目标
思维脉络
1.会用导数的
定义求函数 y=c,y=x,y=x2,y=1x 的导数. 2.记住基本初等函 数的求导公式. 3.能利用求导公式 求简单函数的导
数. 4.逐步深化对导函 数与函数内在联系
的认识.
12
1.导函数
一般地,如果一个函数 f(x)在区间(a,b)上的每一点 x 处都有导数,导数值
(1)求函数 y=f(x)= ������在 x=1 处的导数; (2)求函数 y=���4���2的导数. 思路分析:根据导数的定义,求出 f(x)的导数的表达式,代入 x 求值.
探究一
探究二
探究三
解:(1)方法一(导数定义法):
Δy=

（1） x 1 ；（2） x 2 ；（3） x x0
根据求导数的步骤，请在练 习本上试写出你的解答过程~~
解答
概括
对于
y f，(x在) 定义域内任何一点 ，x0
导数值
f
(x0 )


2 x02
1
对应
每一个 x 值
函数值 f (x0 )
f (x)
2 x2
1是 x
的函数，称之为
时的导数？ 试着做下~
查看答案
（2）函数值的增量：y f (2 x) f (2) x x
平均变化率： y

x 2 x

x

1
2 x
1
x
x
2 x
∴
f
(2)

lim( 1 x0 2 x
1)
1 2
1
点 (1,3)处的切线方程。
4x y 1 0
f (x) 3x2 1
给出一些函数，求它们的导数时，是否总要一次 次的去求增量变化率的极限呢？？
对于简单函数来说，计算增量还比较方便，但是 如果函数比较复杂，如指数、对数函数，要求增量， 就不那么容易了，为了解决可能遇到的导数计算问题， 我们给出学过的基本初等函数的导数计算公式。
f (x)
2x x
的导函数。
导函数定义：
一般地，若函数 在f (区x)间 (a上, 的b)每一点 x
处，都有导数 f (x)：
f (x) lim f (x x) f (x)
x0
x
是f (的x) 函数x ，称之为
数。
的f导(x函) 数，也简称导
动手做一做

(2014·合肥一六八中高二期中)观察下题的解答过程：
已知正实数 a、b 满足 a＋b＝1，求 2a＋1＋ 2b＋1的最
大值．
解：∵
2a＋1· 2≤
2a＋12＋ 2
22＝a＋32，
2b＋1· 2
≤
2b＋12＋ 2
22＝b＋32，
相 加 得 2a＋1 · 2 ＋ 2b＋1 · 2 ＝ 2 ( 2a＋1 ＋ 2b＋1)≤a＋b＋3＝4.
[解析] 分析法：要证 a2＋b32＋c2≥a＋3b＋c， 只需证：a2＋b32＋c2≥(a＋3b＋c)2， 只需证：3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca， 只需证：2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ca， 只需证：(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，而这是显然成立的， 所以 a2＋b32＋c2≥a＋3b＋c成立．
牛刀小试 2．(2013·重庆理，6)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b) ＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( ) A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 [答案] A [解析] 因为a<b<c，所以f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－ c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，由零点存在性定理知，选A.
用分析法证明如下： 要证 a2＋b2≥ 22(a＋b)， 只需证( a2＋b2)2≥[ 22(a＋b)]2. 即证 a2＋b2≥12(a2＋b2＋2ab)，即证 a2＋b2≥2ab. ∵a2＋b2≥2ab 对一切实数恒成立， ∴ a2＋b2≥ 22(a＋b)成立．综上所述，不等式得证．