2017-2018学年高中数学(苏教版)选修1-1讲学案：第二章 2.5 圆锥曲线的共同性质

2。

4抛_物_线2．4.1 抛物线的标准方程平面直角坐标系内，有以下点和直线A（3，0),B（－3,0)，C(0,3)，D(0，－3)；l1：x＝－3，l2:x＝3，l3：y＝－3，l4：y＝3。

问题1：到定点A和定直线l1距离相等的点的轨迹方程是什么？提示：y2＝12x.问题2：到定点B和定直线l2距离相等的点的轨迹方程是什么？提示：y2＝－12x。

问题3：到定点C和定直线l3或到定点D 和定直线l4距离相等的点的轨迹方程呢？提示:x2＝12y，x2＝－12y。

抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程开口方向y2＝2px(p＞0)错误!x＝－错误!向右y2＝－2px(p＞0)错误!x＝错误!向左x2＝2py(p＞0)错误!y＝－错误!向上x2＝－2py（p＞0）错误!y＝错误!向下1．平面内到一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹是抛物线．定点F不在定直线l上，否则点的轨迹是过点F垂直于直线l 的垂线．2．抛物线的标准方程有四种形式，顶点都在坐标原点,焦点在坐标轴上．［对应学生用书P31]由抛物线标准方程求焦点坐标和准线方程[例1] 已知抛物线的方程y＝ax2（a≠0），求它的焦点坐标和准线方程．［思路点拨] 由题意y＝ax2，（a≠0)，可化为x2＝错误!y，再依据抛物线的标准方程得焦点和准线方程．［精解详析] 将抛物线方程化为标准方程x2＝错误!y(a≠0）,显然抛物线焦点在y轴上，（1)当a〉0时,p＝错误!，∴焦点坐标F错误!,准线方程y＝－错误!.(2)当a<0时,p＝错误!，∴焦点坐标F错误!，准线方程y＝－错误!，综合（1）（2)知抛物线y＝ax2（a≠0）的焦点坐标是F错误!，准线方程是y＝－错误!。

［一点通] 根据抛物线的方程求焦点坐标和准线方程时，应首先把方程化为标准形式，再分清抛物线是四种中的哪一种,然后写出焦点及准线．1．（北京高考）若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1，0)，则p＝________,准线方程为________．解析：因为抛物线的焦点坐标为(1，0），所以错误!＝1,p＝2，准线方程为x＝－错误!＝－1。

2．2椭__圆2．2.1　椭圆的标准方程在平面直角坐标系中，已知A (－2,0)，B (2,0)，C (0,2)，D (0，－2)．问题1：若动点P 满足PA ＋PB ＝6，设P 的坐标为(x ，y )，则x ，y 满足的关系式是什么？提示：由两点间距离公式得＋＝6，(x ＋2)2＋y 2(x －2)2＋y 2化简得＋＝1.x 29y 25问题2：若动点P 满足PC ＋PD ＝6，设P 的坐标为(x ，y )，则x 、y 满足什么关系？提示：由两点间距离公式得＋＝6，x 2＋(y －2)2x 2＋(y ＋2)2化简得＋＝1.y 29x 25椭圆的标准方程焦点在x 轴上焦点在y 轴上标准方程＋＝1(a ＞b ＞0)x 2a 2y 2b 2＋＝1(a ＞b ＞0)y 2a 2x 2b 2焦点坐标(±c,0)(0，±c )a 、b 、c 的关系c 2＝a 2－b 21．标准方程中的两个参数a 和b ，确定了椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件．a ，b ，c 三者之间a 最大，b ，c 大小不确定，且满足a 2＝b 2＋c 2.2．两种形式的标准方程具有共同的特征：方程右边为1，左边是两个非负分式的和，并且分母为不相等的正值．当椭圆焦点在x 轴上时，含x 项的分母大；当椭圆焦点在y 轴上时，含y 项的分母大，已知椭圆的方程解题时，应特别注意a >b >0这个条件．[对应学生用书P20]待定系数法求椭圆标准方程[例1]　求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过两点(2，－)，；2(－1，142)(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点．35y 225x 29[思路点拨]　(1)由于椭圆焦点的位置不确定，故可分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况进行讨论．也可利用椭圆的一般方程Ax 2＋By 2＝1(其中A >0，B >0，A ≠B )，直接求A ，B .(2)求出焦点，然后设出相应方程，将点(，－)代入，即可求出a ，b ，则标准方程易得．35[精解详析]　(1)法一：若焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a >b >0)．x 2a 2y 2b 2由已知条件得Error!解得Error!所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.x 28y 24若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a >b >0)．y 2a 2x 2b 2由已知条件得Error!解得Error!即a 2＝4，b 2＝8，则a 2<b 2，与题设中a >b >0矛盾，舍去．综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1.x 28y 24法二：设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )．将两点(2，－)，2代入，(－1，142)得Error!解得Error!所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.x 28y 24(2)因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，y 225x 29所以其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16.设它的标准方程为＋＝1(a >b >0)．y 2a 2x 2b 2因为c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，故a 2－b 2＝16.①又点(，－)在椭圆上，所以＋＝1，35(－5)2a 2(3)2b 2即＋＝1.②5a 23b 2由①②得b 2＝4，a 2＝20，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.y 220x 24[一点通]　求椭圆标准方程的一般步骤为：1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)，(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)经过两点P ，Q.(13，13)(0，－12)解：(1)由已知得：c ＝4，a ＝5.b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.故所求椭圆方程为＋＝1.x 225y 29(2)设椭圆方程为Ax 2＋By 2＝1.(A >0，B >0，A ≠B )由已知得，Error!解得：Error!故所求椭圆方程为＋＝1.y 214x 2152．求适合下列条件的椭圆的方程．(1)焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；(2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2.解：(1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1(a >b >0)．x 2a 2y 2b 2∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)，∴Error!∴Error!故所求椭圆的标准方程为＋y 2＝1.x 24(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1(a >b >0)．y 2a 2x 2b 2∵P (0，－10)在椭圆上，∴a ＝10.又∵P 到它较近的一个焦点的距离等于2，∴－c －(－10)＝2，故c ＝8，∴b 2＝a 2－c 2＝36，∴所求椭圆的标准方程是＋＝1.y 2100x 236椭圆标准方程的讨论[例2]　已知方程x 2·sin α－y 2·cos α＝1(0≤α≤2π)表示椭圆．(1)若椭圆的焦点在x 轴上，求α的取值范围．(2)若椭圆的焦点在y 轴上，求α的取值范围．[思路点拨]　(1)已知的方程不是椭圆的标准形式，应先化成标准方程．(2)对于椭圆方程＋＝1(m >0，n >0，m ≠n )可由m ，n 的大小确定椭圆焦点的位置，x 2m y 2n 列出三角不等式后求α的范围．[精解详析]　将椭圆方程x 2·sin α－y 2·cosα＝1(0≤α≤2π)化为标准形式为＋＝1(0≤α≤2π)．x 21sin αy 21－cos α(1)若方程表示焦点在x 轴上的椭圆，则>－>0，即Error!1sin α1cos α所以π<α<π.即α的取值范围是.34(3π4，2π)(2)若方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则－>>0，即Error!1cos α1sin α所以<α<.即α的取值范围是.π23π4(π2，3π4)[一点通]　对于讨论椭圆方程中参数的取值范围问题，一般的解题方法是根据题设条件给出的焦点位置，结合对应的标准方程应满足的条件，建立一个含参数的不等式组，通过求解不等式组得到参数的取值范围．3．如果方程＋＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________．x 2a 2y 2a ＋6解析：由于椭圆的焦点在x 轴上，所以Error!即Error!解得a >3或－6<a <－2.答案：(3，＋∞)∪(－6，－2)4．已知方程＋＝－1表示椭圆，求k 的取值范围．x 2k －5y 23－k 解：方程＋＝－1可化为＋＝1，由椭圆的标准方程可得Error!x 2k －5y 23－k x 25－k y 2k －3得3<k <5，且k ≠4.所以满足条件的k 的取值范围是{k |3<k <5，且k ≠4}.椭圆的定义及标准方程的应用[例3]　如图所示，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P 在第x 24y 23二象限，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．[思路点拨]　根据椭圆的标准方程知PF 1＋PF 2＝4，结合面积公式和余弦定理找到PF 1和PF 2的关系求解．[精解详析]　由已知a ＝2，b ＝，3所以c ＝＝＝1，a 2－b 24－3F 1F 2＝2c ＝2，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得PF ＝PF ＋F 1F －2PF 1·F 1F 2cos 120°，2212即PF ＝PF ＋4＋2PF 1.①221由椭圆定义，得PF 1＋PF 2＝4，即PF 2＝4－PF 1.②②代入①解得PF 1＝.65∴S △PF 1F 2＝PF 1·F 1F 2·sin 120°12＝××2×＝，126532335即△PF 1F 2的面积是.3 35[一点通]　在椭圆中，由三条线段PF 1，PF 2，F 1F 2围成的三角形称为椭圆的焦点三角形．涉及椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出PF 1＋PF 2＝2a ，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法．5．已知两定点F 1(－1,0)、F 2(1,0)，且F 1F 2是PF 1与PF 2的等差中项，则动点P 的轨迹方程是________．解析：∵F 1(－1,0)，F 2(1,0)，∴F 1F 2＝2.∵F 1F 2是PF 1与PF 2的等差中项，∴2F 1F 2＝PF 1＋PF 2，即PF 1＋PF 2＝4，∴点P 在以F 1，F 2为焦点的椭圆上，∵2a ＝4，a ＝2，c ＝1，∴b 2＝3.∴椭圆的方程是＋＝1.x 24y 23答案：＋＝1x 24y 236．设F 1，F 2是椭圆＋＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且PF 1∶PF 2＝2∶1，则x 29y 24△F 1PF 2的面积等于________．解析：由＋＝1，得a ＝3，b ＝2，x 29y 24∴c 2＝a 2－b 2＝5.∴c ＝.∴F 1F 2＝2 .55由Error!得Error!∴PF ＋PF ＝F 1F .2122∴△F 1PF 2为直角三角形．∴S △F 1PF 2＝PF 1·PF 2＝4.12答案：47．如图，已知F 1，F 2是椭圆＋＝1的两个焦点．x 2100y 236(1)若椭圆上一点P 到焦点F 1的距离等于15，那么点P 到另一个焦点F 2的距离是多少？(2)过F 1作直线与椭圆交于A ，B 两点，试求△ABF 2的周长．解：由椭圆的标准方程可知a 2＝100，所以a ＝10.(1)由椭圆的定义得PF 1＋PF 2＝2a ＝20，又PF 1＝15，所以PF 2＝20－15＝5，即点P 到焦点F 2的距离为5.(2)△ABF 2的周长为AB ＋AF 2＋BF 2＝(AF 1＋BF 1)＋AF 2＋BF 2＝(AF 1＋AF 2)＋(BF 1＋BF 2)．由椭圆的定义可知AF 1＋AF 2＝2a ，BF 1＋BF 2＝2a ，故AB ＋AF 2＋BF 2＝4a ＝40.用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的．[对应课时跟踪训练(八)]　1．若椭圆＋＝1上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为x 225y 29________．解析：由椭圆定义知，a ＝5，P 到两个焦点的距离之和为2a ＝10，因此，到另一个焦点的距离为5.答案：52．椭圆25x 2＋16y 2＝1的焦点坐标是________．解析：椭圆的标准方程为＋＝1，故焦点在y 轴上，其中a 2＝，b 2＝，所以x 2125y 2116116125c 2＝a 2－b 2＝－＝，故c ＝.所以该椭圆的焦点坐标为.1161259400320(0，±320)答案：(0，±320)3．已知方程(k 2－1)x 2＋3y 2＝1是焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是________．解析：方程(k 2－1)x 2＋3y 2＝1可化为＋＝1.x 21k 2－1y 213由椭圆焦点在y 轴上，得Error!解之得k >2或k <－2.答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)4．已知F 1，F 2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．若x 225y 29|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.解析：由题意，知(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＋2a ，又由a ＝5，可得|AB |＋(|BF 2|＋|AF 2|)＝20，即|AB |＝8.答案：85．已知P 为椭圆＋＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2x 2254y 275的面积为________．解析：在△F 1PF 2中，F 1F ＝PF ＋PF －2PF 1·PF 2cos 60°，2212即25＝PF ＋PF －PF 1·PF 2.①212由椭圆的定义，得10＝PF 1＋PF 2.②由①②，得PF 1·PF 2＝25，∴S △F 1PF 2＝PF 1·PF 2sin 60°＝.1225 34答案：25 346．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)以(0,5)和(0，－5)为焦点，且椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26；(2)以椭圆9x 2＋5y 2＝45的焦点为焦点，且经过M (2，)．6解：(1)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为＋＝1(a >b >0)．y 2a 2x 2b 2∵2a ＝26,2c ＝10，∴a ＝13，c ＝5.∴b 2＝a 2－c 2＝144.∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.y 2169x 2144(2)法一：由9x 2＋5y 2＝45，得＋＝1，c 2＝9－5＝4，y 29x 25所以其焦点坐标为F 1(0,2)，F 2(0，－2)．设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a ＞b ＞0)．y 2a 2x 2b 2由点M (2，)在椭圆上，所以MF 1＋MF 2＝2a ，6即2a ＝＋＝4，(2－0)2＋(6－2)2(2－0)2＋(6＋2)23所以a ＝2，3又c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝8，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.y 212x 28法二：由法一知，椭圆9x 2＋5y 2＝45的焦点坐标为F 1(0,2)，F 2(0，－2)，则设所求椭圆方程为＋＝1(λ＞0)，y 2λ＋4x 2λ将M (2，)代入，得＋＝1(λ＞0)，66λ＋44λ解得λ＝8或λ＝－2(舍去)．所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.y 212x 287．如图，设点P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是点P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且MD ＝PD ，当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程．45解：设M 点的坐标为(x ，y )，P 点的坐标为(x P ，y P )，由已知易得Error!∵P 在圆上，∴x 2＋(y )2＝25.54即轨迹C 的方程为＋＝1.x 225y 2168．已知动圆M 过定点A (－3,0)，并且内切于定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64，求动圆圆心M 的轨迹方程．解：设动圆M 的半径为r ，则|MA |＝r ，|MB |＝8－r ，∴|MA |＋|MB |＝8，且8>|AB |＝6，∴动点M 的轨迹是椭圆，且焦点分别是A (－3,0)，B (3,0)，且2a ＝8，∴a ＝4，c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.∴所求动圆圆心M 的轨迹方程是＋＝1.x 216y 272．2.2　椭圆的几何性质建立了椭圆的标准方程后，我们就可以通过方程研究椭圆的几何性质．以方程＋＝1(a ＞b ＞0)为例，试着完成下列问题：x 2a 2y 2b 2问题1：方程中对x ，y 有限制的范围吗？提示：由＝1－≥0，得－a ≤x ≤a .y 2b 2x 2a 2同理－b ≤y ≤b .问题2：在方程中，用－x 代x ，－y 代y ，方程的形式是否发生了变化？提示：不变．问题3：方程与坐标轴的交点坐标是什么？提示：令x ＝0，得y ＝±b ；令y ＝0，得x ＝±a ；与x 轴的交点为(a,0)，(－a,0)，与y 轴的交点为(0，b )，(0，－b )．椭圆的几何性质焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程＋＝1(a ＞b ＞0)x 2a 2y 2b 2＋＝1(a ＞b ＞0)y 2a 2x 2b 2范围－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b－a ≤y ≤a ，－b ≤x ≤b顶点(±a,0)，(0，±b )(0，±a )，(±b,0)轴长短轴长＝2b ，长轴长＝2a 焦点(±c,0)(0，±c )焦距F 1F 2＝2c对称性对称轴x 轴，y 轴，对称中心(0,0)离心率e ＝∈(0,1)c a1．椭圆的对称性椭圆的图像关于x 轴成轴对称，关于y 轴成轴对称，关于原点成中心对称．2．椭圆的离心率与椭圆形状变化间的关系(1)0<e <1，e 越趋近于1，越扁，越趋近于0，越圆(可以根据字体1很扁、0很圆进行记忆)．(2)当e →0，c →0时，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在e ＝0时的特例．(3)当e →1，c →a ，椭圆变扁，直至成为极限位置线段F 1F 2，此时也可认为F 1F 2为椭圆在e ＝1时的特例．[对应学生用书P23]已知椭圆方程求几何性质[例1]　求椭圆81x 2＋y 2＝81的长轴和短轴的长及其焦点和顶点坐标，离心率．[思路点拨]　本题中椭圆的方程不是标准形式，故先化为标准形式后求出a ，b ，c ，再根据焦点位置写出相应的几何性质．[精解详析]　椭圆的方程可化为x 2＋＝1，∴a ＝9，b ＝1，y 281∴c ＝＝＝4 ，81－1805∴椭圆的长轴和短轴长分别为18,2.∵椭圆的焦点在y 轴上，故其焦点坐标为F 1(0，－4 )，F 2(0,4 )，55顶点坐标为A 1(0，－9)，A 2(0,9)，B 1(－1,0)，B 2(1,0)，e ＝＝.c a 4 59[一点通]　求椭圆几何性质参数时，应把椭圆化成标准方程，注意分清焦点的位置，这样便于直观写出a ，b 的值，进而求出c ，写出椭圆的几何性质参数．1．若椭圆＋＝1的离心率为，则m 的值为________．x 2m y 2413解析：当m >4时，由c 2＝a 2－b 2＝m －4，得＝.解得m ＝.m －4m 1392当m <4时，由c 2＝a 2－b 2＝4－m ，得＝，解得m ＝.4－m 213329答案：或923292．求椭圆4x 2＋9y 2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．解：椭圆方程变形为＋＝1，x 29y 24∴a ＝3，b ＝2，∴c ＝＝＝.a 2－b 29－45∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a ＝6,2c ＝2，5焦点坐标为F 1(－，0)，F 2(，0)，55顶点坐标为A 1(－3,0)，A 2(3,0)，B 1(0，－2)，B 2(0,2)，离心率e ＝＝.c a 53由椭圆的几何性质求标准方程[例2]　求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长为20，离心率等于；45(2)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)．[思路点拨]　先确定椭圆的焦点位置，不能确定的要分情况讨论，然后设出标准方程，再利用待定系数法求出a 、b 、c ，得到椭圆的标准方程．[精解详析]　(1)∵2a ＝20，e ＝＝，c a 45∴a ＝10，c ＝8，b 2＝a 2－c 2＝36.由于椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.x 2100y 236y 2100x 236(2)设椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1(a >b >0)．x 2a 2y 2b 2y 2a 2x 2b 2由已知a ＝2b ，①且椭圆过点(2，－6)，从而有＋＝1或＋＝1.②22a 2(－6)2b 2(－6)2a 222b 2由①②得a 2＝148，b 2＝37或a 2＝52，b 2＝13.故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.x 2148y 237y 252x 213[一点通]　在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式，若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论．一般地，已知椭圆的焦点坐标时，可以确定焦点所在的坐标轴；而已知椭圆的离心率、长轴长、短轴长或焦距时，则不能确定焦点所在的坐标轴．3．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为，且G 上一点到G 的两32个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________________．解析：由题意得2a ＝12，＝，所以a ＝6，c ＝3，b ＝3.ca 323故椭圆方程为＋＝1.x 236y 29答案：＋＝1x 236y 294．求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3,2)；(2)离心率为，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.513解：(1)由焦距是4可得c ＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．由椭圆的定义知，2a ＝＋＝8，32＋(2＋2)232＋(2－2)2所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12.又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为＋＝1.y 216x 212(2)由题意知，2a ＝26，即a ＝13，又e ＝＝，所以c ＝5，ca 513所以b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144，因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.x 2169y 2144y 2169x 2144与椭圆离心率有关的问题[例3]　已知椭圆M ：＋＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2.P 是椭圆M 上的任x 2a 2y 2b 2一点，且PF 1·PF 2的最大值的取值范围为，其中c 2＝a 2－b 2，求椭圆的离心率的取[12c 2，3c 2]值范围．[思路点拨]　由P 是椭圆上一点，知PF 1＋PF 2＝2a ，进而设法求出PF 1·PF 2的最大值，再由已知的范围求出离心率e 的范围．[精解详析]　∵P 是椭圆上一点，∴PF 1＋PF 2＝2a ，∴2a ＝PF 1＋PF 2≥2 ，PF 1·PF 2即PF 1·PF 2≤a 2，当且仅当PF 1＝PF 2时取等号．∴c 2≤a 2≤3c 2，∴≤≤2，1213c 2a 2∴≤e 2≤2，∴≤e ≤.13332∵0<e <1，∴≤e <1，33∴椭圆的离心率的取值范围是.[33，1)[一点通]　(1)椭圆的离心率的求法：①直接求a ，c 后求e ，或利用e ＝，求出后求e .1－b 2a 2ba ②将条件转化为关于a ，b ，c 的关系式，利用b 2＝a 2－c 2消去b .等式两边同除以a 2或a 4构造关于(e )的方程求e .ca (2)求离心率范围时，常需根据条件或椭圆的范围建立不等式关系，通过解不等式求解，注意最后要与区间(0,1)取交集．5．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．解析：设椭圆的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，则由已知得2a ＋2c ＝4b .即a ＋c ＝2b ，又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝b ，c ＝b ，e ＝.543435答案：356．椭圆M ：＋＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且x 2a 2y 2b 2·的最大值的取值范围是[c 2,3c 2]，其中c ＝，则椭圆M 的离心率e 的取值范1PF 2PFa 2－b 2围是________．解析：设P (x ，y )、F 1(－c,0)、F 2(c,0)，则＝(－c －x ，－y )，＝(c －x ，－y )，1PF 2PF·＝x 2＋y 2－c 2，1PF 2PF又x 2＋y 2可看作P (x ，y )到原点的距离的平方，所以(x 2＋y 2)max＝a 2，(·)max ＝b 2，1PF 2PF所以c 2≤b 2＝a 2－c 2≤3c 2，即≤e 2≤，1412所以≤e ≤.1222答案：[12，22]与椭圆相关的应用问题[例4]　某宇宙飞船的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为R ，若其近地点、远地点离地面的距离分别大约是R 、R ，求此宇宙飞船运行的轨道方程．11513[思路点拨]　根据条件建立坐标系，设出椭圆方程，构造方程，求得宇宙飞船运行的轨道方程．[精解详析]　如图所示，以运行轨道的中心为原点，其与地心的连线为x 轴建立坐标系，且令地心F 2为椭圆的右焦点，则轨道方程为焦点在x 轴上的椭圆的标准方程，不妨设为＋＝1(a >b >0)，则地心F 2x 2a 2y 2b 2的坐标为(c,0)，其中a 2＝b 2＋c 2，则Error!解得Error!∴b 2＝a 2－c 2＝2－2＝R 2.(65R)(215R)6445∴此宇宙飞船运行的轨道方程为＋＝1.x 23625R 2y 26445R 2[一点通]　解决此类问题，首先要根据条件建立平面直角坐标系，将实际问题转化为有关椭圆的问题，再将条件转化为a ，b ，c 的关系，进而求出椭圆方程，解决其它问题．注意：①椭圆方程中变量的范围对实际问题的限制；②最后要将数学模型还原回实际问题作答．7．某航天飞行控制中心对某卫星成功实施了第二次近月制动，卫星顺利进入周期为3.5 h 的环月小椭圆轨道(以月球球心为焦点)．卫星远月点(距离月球表面最远的点)高度降至1 700 km ，近月点(距离月球表面最近的点)高度是200 km ，月球的半径约是1 800 km ，且近月点、远月点及月球的球心在同一直线上，此时小椭圆轨道的离心率是________．解析：可设小椭圆的长轴长为2a ，焦距为2c ，由已知得2a ＝1 700＋2×1 800＋200，∴a ＝2 750.又a ＋2c ＝1 700＋1 800，∴c ＝375.∴e ＝＝＝.ca 3752 750322答案：3228．已知某荒漠上F 1、F 2两点相距2 km ，现准备在荒漠上开垦出一片以F 1、F 2为一条对角线的平行四边形区域，建农艺园．按照规划，平行四边形区域边界总长为8 km.(1)试求平行四边形另两个顶点的轨迹方程；(2)问农艺园的最大面积能达到多少？解：(1)以F 1F 2所在直线为x 轴，F 1F 2的中垂线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)．设平行四边形的另两个顶点为P (x ，y )，Q (x ′，y ′)，则由已知得PF 1＋PF 2＝4.由椭圆定义知点P 在以F 1、F 2为焦点，以4为长轴长的椭圆上，此时a ＝2，c ＝1，则b ＝.3∴P 点的轨迹方程为＋＝1(y ≠0)，x 24y 23同理Q 点轨迹方程同上．(2)S ▱PF 1QF 2＝F 1F 2·|y P |≤2c ·b ＝2(km 2)，3所以当P 为椭圆短轴端点时，农艺园的面积最大为2 km 2.31．椭圆的顶点、焦点、中心坐标等几何性质与坐标有关，它们反映了椭圆在平面内的位置．2．椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率等几何性质与坐标无关，它们反映了椭圆的形状．3．讨论与坐标有关的几何性质应先由焦点确定出椭圆的类型，不能确定的应分焦点在x 轴上、y 轴上进行讨论．[对应课时跟踪训练(九)]　1．(新课标全国卷Ⅱ改编)设椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P x 2a 2y 2b 2是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．解析：法一：由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝m ，故离心率3e ＝＝＝＝＝.c a 2c2a |F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|3m2m ＋m 33法二：由PF 2⊥F 1F 2可知P 点的横坐标为c ，将x ＝c 代入椭圆方程可解得y ＝±，所以b 2a |PF 2|＝.又由∠PF 1F 2＝30°可得|F 1F 2|＝|PF 2|，故2c ＝·，变形可得(a 2－c 2)＝2ac ，等b 2a 33b 2a 3式两边同除以a 2，得(1－e 2)＝2e ，解得e ＝或e ＝－(舍去)．3333答案：332．(广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于，则C 的12方程是__________________．解析：依题意，设椭圆方程为＋＝1(a ＞b ＞0)，所以Error!解得a 2＝4，b 2＝3.x 2a 2y 2b 2答案：＋＝1x 24y 233．曲线＋＝1与曲线＋＝1(k <9)的________相等．(填“长轴长”或“短x 225y 29x 225－k y 29－k 轴长”或“离心率”或“焦距”)解析：c 2＝25－k －(9－k )＝16，c ＝4.故两条曲线有相同的焦距．答案：焦距4．已知椭圆＋＝1(a >b >0)的离心率是，过椭圆上一点M 作直线MA ，MB 分别交x 2a 2y 2b 263椭圆于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若点A ，B 关于原点对称，则k 1·k 2的值为________．解析：设点M (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，则y 2＝b 2－，y ＝b 2－.b 2x 2a 221b 2x 21a 2所以k 1·k 2＝·＝＝－＝－1y －y 1x －x 1y ＋y 1x ＋x 1y 2－y 21x 2－x 21b 2a 2c 2a 2＝e 2－1＝－，13即k 1·k 2的值为－.13答案：－135．设F 1，F 2是椭圆E ：＋＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝上一点，△x 2a 2y 2b 23a2F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率是________．解析：设直线x ＝与x 轴交于点M ，则∠PF 2M ＝60°.3a 2由题意知，F 1F 2＝PF 2＝2c ，F 2M ＝－c .3a 2在Rt △PF 2M 中，F 2M ＝PF 2，即－c ＝c .123a 2∴e ＝＝.c a 34答案：346．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率e ＝，经过点A (，－2)，求椭圆的标准方程．35 5 32解：设椭圆的标准方程为＋＝1(a >b >0)，则＋＝1.①x 2a 2y 2b 2754a 24b 2由已知e ＝，∴＝，∴c ＝a .35c a 3535∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－(a )2，即b 2＝a 2.②351625把②代入①，得＋＝1，754a 24×2516a 2解得a 2＝25，∴b 2＝16，∴所求方程为＋＝1.x 225y 2167．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、32焦点坐标、顶点坐标．解：椭圆方程可化为＋＝1，x 2m y 2mm ＋3由m >0，易知m >，mm ＋3∴a 2＝m ，b 2＝.mm ＋3∴c ＝＝.a 2－b 2m (m ＋2)m ＋3由e ＝，得 ＝，解得m ＝1，32m ＋2m ＋332∴椭圆的标准方程为x 2＋＝1.y 214∴a ＝1，b ＝，c ＝.1232∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两焦点坐标分别为F 1，F 2，(－32，0)(32，0)顶点坐标分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1，B 2.(0，－12)(0，12)8．若椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，点P 是椭圆上的一点，P 在x 轴上的射影恰为椭圆的左焦点，P 与中心O 的连线平行于右顶点与上顶点的连线，且左焦点与左顶点的距离等于－，试求椭圆的离心率及其方程．105解：令x ＝－c ，代入＋＝1(a ＞b ＞0)，x 2a 2y 2b 2得y 2＝b 2(1－)＝，∴y ＝±.c 2a 2b 4a 2b 2a 设P (－c ，)，椭圆的右顶点A (a,0)，上顶点B (0，b )．b 2a ∵OP ∥AB ，∴k OP ＝k AB ，∴－＝－，b 2ac ba ∴b ＝c .而a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，∴a ＝c ，∴e ＝＝.2c a 22又∵a －c ＝－，解得a ＝，c ＝，∴b ＝，1051055∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.x 210y 25。

I I IE SI：CON1IJ锥曲线与方程章末复习课【学习目标】1•掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其应用，会用定义求标准方程2掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其求法.3•掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，会利用几何性质解决相关问题4掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法.Ef知识梳理 ----------------------------椭圆双曲线抛物线定义平面内与两个定点F i, F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹平面内与两个定点F1,F2距离的差的绝对值等于常数（小于F1F2的正数）的点的轨迹平面内到一个定点F和一条定直线l（F不在1上）的距离相等的点的轨迹标准方程2 2 2 2x y 亠y xa2+ 孑二1或a2+孑二1(a>b>0)2 2 2 2 字-1或字-討1(a>0, b>0)y2= 2px 或y2=- 2px 或x = 2py 或x =- 2py(P>0)关系式a2- b2= c2a2+ b2= c2图形封闭图形无限延展，但有渐近线y =拿或y= ±bx无限延展，没有渐近线变量范围|x|w a, |y|w b 或|y|w a,Ix S b|x|> a 或|y|> ax> 0或x< 0或y》0或y w对称性对称中心为原点无对称中心两条对称轴一条对称轴顶点四个两个一个离心率e= c，且0<e<1a e= c，且e>1ae= 1决定形状的因素e决定扁平程度e决定开口大小2p决定开口大小知识点二焦点三角形 1.椭圆的焦点三角形2 2设P 为椭圆令+ * = 1（a>b>0）上任意一点（不在x 轴上），F I ,F 2为焦点且/ F I PF 2= 讪忆PF 1F 2a b为焦点三角形（如图）.⑵焦点三角形的周长为 L = 2a + 2c. 2 •双曲线的焦点三角形b 2焦点三角形的面积为 S=4.atan?般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤. 1•定形一一指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置. 2.定式一一根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，女口当椭圆的焦点不确定在哪 个坐标轴上时，可设方程为mx 2 + n/= 1（m>0, n>0）.由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.知识点四 离心率1•定义法：由椭圆（双曲线）的标准方程可知，不论椭圆 （双曲线）的焦点在x 轴上还是y 轴上 都有关系式a 2— b 2= c 2（a 2 + b 2= C 2）以及e =；，已知其中的任意两个参数， 可以求其他的参数， 这是基本且常用的方法.2•方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式， 从而求出其离心率， 这是求离心率的十分重 要的思路及方法.3 •几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆（双曲线）的（1）焦点三角形的面积为 S = b 2知识点三求圆锥曲线方程的一般步3旦定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观. 知识点五直线与圆锥曲线的位置关系1 •直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况：一是相切；二是直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行.2 •直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题.解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等.题型探究----------------------- 类型一圆锥曲线的定义及应用2 2 2例1设F!, F2为曲线C i：X + y = 1的左，右两个焦点，P是曲线C2 : X —y2= 1与C i的一6 2 3个交点，则△ PF1F2的面积为__________ •反思与感悟涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决.2 2跟踪训练1已知椭圆m+ y2= 1(m>1)和双曲线* —y2= 1(n>0)有相同的焦点F1, F2, P是它们的一个交点，则△ F1PF2的形状是______________________ •类型二圆锥曲线的性质及其应用2 2 2 2例2 (1)已知a > b> 0,椭圆C1的方程为X2+ y2 = 1,双曲线C2的方程为X2—y2= 1 , C1与C2a b a b的离心率之积为普，则C2的渐近线的斜率为__________________ •2⑵已知抛物线y2= 4X的准线与双曲线X2—y2= 1交于A, B两点，点F为抛物线的焦点，若a△ FAB为直角三角形，则该双曲线的离心率是___________ •反思与感悟有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中常见的问题，只要掌握基本公式和概念，并且充分理解题意，大都可以顺利求解.2 2跟踪训练2已知F1(—c,0), F2(C,0)为椭圆苗1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且P F1 P F2= c2,则此椭圆离心率的取值范围是___________________________________________ •类型三直线与圆锥曲线的位置关系2 2例3已知椭圆予+存=1(a>b>0)上的点P到左，右两焦点F1, F2的距离之和为2,2,离心率为冷.(1)求椭圆的标准方程；⑵过右焦点F2的直线I交椭圆于A, B两点，若y轴上一点M(0, 73)满足MA = MB，求直线I的斜率k的值.反思与感悟解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法：(1) 函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解.(2) 不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围.跟踪训练3如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A, B,且AB与n = ( ,2, - 1)共线.(1) 求椭圆E的标准方程；(2) 若直线y= kx+ m与椭圆E有两个不同的交点P和Q,且原点0总在以PQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围.咼当堂训媒-----------------------------2 21•已知F1、F2是椭圆七+七=1的左、右焦点，弦AB过F1,若厶ABF2的周长为8，则k+ 2 k+1椭圆的离心率为__________ .2 2 12. 设椭圆話+ *= 1 (m>n>0)的右焦点与抛物线y2= 8x的焦点相同，离心率为？，则此椭圆的方程为___________ .3 .以抛物线y1 2= 4x的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线的标准方程为4.若抛物线y2= 2x上的两点A、B到焦点的距离的和是5,则线段AB的中点P到y轴的距离是_________ .2 25 .过椭圆話+ 丁 = 1内一点P(3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是__________________ .规律与方法-------------------------------)在解决圆锥曲线问题时，待定系数法，“设而不求”思想，转化与化归思想是最常用的几种思想方法，“设而不求”思想，在解决直线和圆锥曲线的位置关系问题中匠心独具，很好的解决了计算的繁杂、琐碎问题.提醒：完成作业第2章章末复习课答案精析题型探究例1 2跟踪训练1直角三角形例2⑴±2⑵.6跟踪训练2例3解（1）由题意知，PF i + PF 2 = 2a = 2 J2,所以a= .2.又因为e=a=¥，a 2所以c=¥x2= 1,所以b2= a2—c2= 2- 1 = 1,2所以椭圆的标准方程为X; + y2= 1.⑵已知椭圆的右焦点为F2（1,0），直线斜率显然存在, 设直线的方程为y= k（x—1）,两交点坐标分别为A（X1, y1）, B（X2, y2）.联立直线与椭圆的方程，y= kx—1 , 得右y2= 1,2 2 2 2化简得(1 + 2k )x —4k x+ 2k —2 = 0,4k2所以X1 + x2 = 2,1 + 2k—2ky1 + y2= k(x1 + X2) —2k = 21 + 2k2 k 2— k所以AB 的中点坐标为（2，2）・1 + 2k 21 + 2k ―k 1 2k 21 + 2k 2k (x 1 + 2k 2)，因为MA = MB ,所以点M 在AB 的中垂线上， 将点M 的坐标代入直线方程，得 迈 k _ 2k7 + 2= 2， 71 + 2k 1+ 2k 即2 3k 2— 7k + . 3= 0, 解得k = 3或k = 63；②当k = 0时，AB 的中垂线方程为x = 0，满足题意. 所以斜率k 的取值为0,3或跟踪训练3解（1）因为2c = 2, 所以c = 1.又A B = (— a , b),且 A B // n ,所以• 2b = a ，所以 2b 2 = b 2+ 1, 所以 b 2 = 1, a 2= 2. 2 所以椭圆E 的标准方程为乡+ y 2= 1.2X 2⑵设P(X 1, y 1), Q(X 2, y 2)，把直线方程y = kx + m 代入椭圆方程-+ y = 1, 消去 y , 得 (2k 2 + 1)x 2 + 4kmx + 2m 2 — 2= 0,2 2△= 16k — 8m + 8>0,即 m 2<2k 2 + 1.(*)因为原点0总在以PQ 为直径的圆的内部, 所以 OP OQ<0,所以 X 1 + X 2 =— 4km2 2k + 12m 2— 2 X 1X 2= —22k + 1①当k z 0时，AB 的中垂线方程为即X1X2+ y i y2<0.又y i y2= (kx i+ m)(kx2+ m)2 2=k X1X2+ mk(x i + X2)+ mm2- 2k2— 2 .2k + 12m2- 2 m2- 2k2 由 2 + 2 <0,2k + 1 2k + 1得m2<3k2+ 3.依题意且满足(*)得，m2<2, 故实数m的取值范围是(-屮，申' 当堂训练2112乙2 16 4. 2 5.3x+ 4y- 13= 0。

［对应学生用书P24］一、两个计数原理的应用1．分类计数原理首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下分类；其次,完成这件事的任何一种方法必须属于某一类．分别属于不同类的两种方法是不同的方法．2．分步计数原理首先根据问题的特点确定一个分步的标准．其次分步时要注意,完成一件事必须并且只有连续完成这n个步骤后，这件事才算完成．二、排列与组合概念及公式1．定义从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素,若按照一定的顺序排成一列，则叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；若合成一组，则叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．即排列和顺序有关，组合与顺序无关．2．排列数公式（1)A错误!＝n(n－1）(n－2）…（n－m＋1），规定A错误!＝1。

当m＝n时，A错误!＝n（n－1)（n－2）·…·3·2·1。

（2)A错误!＝错误!，其中A错误!＝n！，0！＝1.三、排列与组合的应用1．在求解排列与组合应用问题时,应注意：(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题;(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；（3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏;（4）列出式子计算并作答．2．处理排列组合的综合性问题,一般思想方法是先选元素(组合)，后排列．按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程“分步”，始终是处理排列组合问题的基本方法和原理，通过解题训练注意积累分类和分步的基本技能．3．解排列组合应用题时，常见的解题策略有以下几种：(1)特殊元素优先安排的策略；(2）合理分类和准确分步的策略；(3)排列、组合混合问题先选后排的策略；(4）正难则反、等价转化的策略；(5)相邻问题捆绑处理的策略；（6)不相邻问题插空处理的策略；（7）定序问题除法处理的策略；(8）分排问题直排处理的策略;(9）“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；（10)构造模型的策略．四、二项式定理及二项式系数的性质1．二项式定理公式（a＋b）n＝C错误!a n＋C错误!a n－1b＋…＋C错误!a n－r b r＋…＋C错误!b n，其中各项的系数C错误!（r＝0，1，2,…，n)称为二项式系数，第r＋1项C r，n a n－r b r称为通项．［说明］(1)二项式系数与项的系数是不同的概念，前者只与项数有关,而后者还与a,b的取值有关．（2)运用通项求展开式的特定值(或特定项的系数)，通常先由题意列方程求出r，再求所需的项（或项的系数)．2．二项式系数的性质(1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,体现了组合数性质C错误!＝C错误!.（2)增减性与最大值：当r<错误!时，二项式系数C错误!逐渐增大；当r>错误!时，二项式系数C错误!逐渐减小．当n是偶数时，展开式中间一项T错误!＋1的二项式系数C错误!n 最大；当n是奇数时,展开式中间两项T错误!与T错误!＋1的二项式系数C错误!n,C错误!n相等且最大．(3)各项的二项式系数之和等于2n，即C0n＋C错误!＋C错误!＋…＋C n，n＝2n;奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＝C错误!＋C错误!＋C错误!＋….［说明] 与二项展开式各项系数的和或差有关的问题，一般采用赋值法求解．错误!(时间120分钟，满分160分）一、填空题(本大题共14个小题,每小题5分,共70分,把正确答案填在题中横线上)1．从4名女同学和3名男同学中选1人主持本班的某次班会，则不同的选法种数为________．解析：由题意可得不同的选法为C17＝7种．答案：72．(湖南高考改编）错误!5的展开式中x2y3的系数是________．解析:由二项展开式的通项可得，第四项T4＝C错误!错误!2(－2y)3＝－20x2y3，故x2y3的系数为－20.答案：－203．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛,共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是________．解析：设男学生有x人，则女学生有(8－x)人，则C错误!C错误!A错误!＝90，即x(x－1)(8－x）＝30＝2×3×5，所以x＝3，8－x＝5。

2.2.2 椭圆的几何性质一、学习目标1． 掌握椭圆的基本几何性质：范围、对称性、顶点、长轴、短轴；2．明确标准方程中a ，b 的几何意义.二、自我构建若椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a>b>0)． 1．范围：方程中x 、y 的取值范围分别为______________．2．对称性：从图形上看，椭圆关于________、________和________对称，_______是椭圆的对称轴，_______是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做________________．3．顶点：椭圆的四个顶点坐标为_______________________________．长轴长为________，短轴长为________．三、学以致用例1.求椭圆221259x y +=的长轴长，短轴长，焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆．．例2.求符合下列条件的椭圆的标准方程(焦点在x 轴上）：（1）焦点与长轴较接近的端点的距离为（2）已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴是短轴的三倍，且椭圆经过点P （3，0）．四、总结提高 1．椭圆的范围实质就是椭圆上点的横坐标和纵坐标的取值范围，椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形内，在求解一些存在性和判断性问题中有着重要的应用．2．椭圆既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形．椭圆的对称性在解决直线与椭圆的位置关系以及一些有关面积的计算问题时，往往能起到化繁为简的作用．五、同步反馈1.椭圆22194x y +=的长轴长为________，短轴长为______，焦点坐标为____________，顶点坐标为____________.2．点A （3a ，1）在椭圆22192x y +=的外部，则a 的取值范围是 . 3．根据下列条件，写出椭圆的标准方程：（1）中心在原点，焦点在x 轴上，长轴、短轴的长分别为8和6 ;（2）中心在原点，一个焦点坐标为（0，5），短轴长为4 ;（3）中心在原点，焦点在x 轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为 1 ;（4）中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程为4.已知椭圆的焦点在x 轴上，长、短半轴之和为10，焦距为45，则该椭圆的标准方程为____________．5．设0<k<9，则椭圆x 29－k ＋y 225－k＝1与x 225＋y 29＝1具有相同的________． 6．已知点(m ，n )在椭圆9x 2＋3y 2＝81上，求2m ＋4的取值范围。

2017-2018学年苏教版高中数学选修1-1学案目录1.1.1 四种命题1.2 简单的逻辑联结词1.3.1 量词1疑难规律方法1章末复习课2.1 圆锥曲线2.2.1 椭圆的标准方程2.2.2 椭圆的几何性质（一）2.2.2 椭圆的几何性质（二）2.3.1 双曲线的标准方程2.3.2 双曲线的几何性质2.4.1 抛物线的标准方程2.4.2 抛物线的几何性质（一）2.4.2 抛物线的几何性质（二）2.5 圆锥曲线的共同性质2疑难规律方法2章末复习课3.1.1 平均变化率3.1.2 瞬时变化率——导数（一）3.1.2 瞬时变化率——导数（二）3.2.1 常见函数的导数3.3.1 单调性3.3.2 极大值与极小值3.3.3 最大值与最小值3.4 导数在实际生活中的应用3疑难规律方法3章末复习课1．1.1四种命题学习目标 1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题．知识点一命题的概念思考给出下列语句：(1)若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点；(2)3＋6＝7；(3)偶函数的图象关于y轴对称；(4)5能被4整除．请你找出上述语句的特点．梳理(1)定义：能够判断________的语句．(2)分类①真命题：判断为________的语句．②假命题：判断为________的语句．(3)形式：____________.知识点二四种命题的概念思考给出以下四个命题：(1)当x＝2时，x2－3x＋2＝0；(2)若x2－3x＋2＝0，则x＝2；(3)若x≠2，则x2－3x＋2≠0；(4)若x2－3x＋2≠0，则x≠2.你能说出命题(1)与其他三个命题的条件与结论有什么关系吗？梳理一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，原命题：若p则q.(1)互逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的________________，那么这两个命题叫做________________．其中一个命题叫做____________，另一个命题叫做原命题的____________．(2)互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这两个命题叫做________________．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的____________．(3)互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的________________和________________，这两个命题叫做________________．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的________________．知识点三四种命题的关系思考1为了书写方便常把p与q的否定分别记作“非p”和“非q”，如果原命题是“若p，则q”，那么它的逆命题、否命题、逆否命题该如何表示？思考2原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与原命题的否命题呢？梳理(1)四种命题之间的关系如下所示：(2)四种命题的真假关系①如果两个命题互为逆否命题，那么它们有________的真假性；②如果两个命题为互逆命题或互否命题，那么它们的真假性________关系．类型一命题及其真假的判定例1判断下列语句是不是命题，若是，判断真假，并说明理由．(1)求证5是无理数；(2)若x∈R，则x2＋4x＋7>0；(3)你是高一学生吗？(4)一个正整数不是质数就是合数；(5)x＋y是有理数，则x、y都是有理数；(6)60x＋9>4.反思与感悟判断一个语句是否为命题，关键看两点：第一是否对一件事进行了判断；第二能否判断真假．一般地，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．跟踪训练1下列语句是否为命题？若是，判断其真假，若不是，说明理由．(1)x>1或x＝1；(2)如果x＝1，那么x>3；(3)方程x2－5x＋6＝0的根是x＝2；(4)x2－5x＋6＝0.类型二四种命题及其相互关系命题角度1四种命题的概念例2写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题：(1)若x∈A，则x∈A∪B；(2)若a，b都是偶数，则a＋b是偶数；(3)在△ABC中，若a>b，则A>B.反思与感悟四种命题的转换方法(1)交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题．(2)同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题．(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题．跟踪训练2命题“若函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2<0”的逆否命题是________．(填序号)①若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数；②若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数；③若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数；④若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数．命题角度2四种命题真假的判断例3下列命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题．其中是真命题的是________．反思与感悟 要判断四种命题的真假：首先，要熟练四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握． 跟踪训练3 下列命题中为真命题的是________．(填序号) ①“正三角形都相似”的逆命题；②“若m >0，则x 2＋2x －m ＝0有实根”的逆否命题； ③“若x －2是有理数，则x 是无理数”的逆否命题． 类型三 等价命题的应用例4 已知a ，b ，c ∈R ，证明：若a ＋b ＋c <1，则a ，b ，c 中至少有一个小于13.反思与感悟 (1)当原命题的真假不易判断，而逆否命题的真假容易判断时，可通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假．(2)在证明某一个命题的真假性有困难时，可以证明它的逆否命题为真(假)命题，来间接地证明原命题为真(假)命题．跟踪训练4 证明：若a 2－4b 2－2a ＋1≠0，则a ≠2b ＋1.1．下列语句是命题的是________． ①若a >b ，则a 2>b 2； ②a 2>b 2；③方程x 2－x －1＝0的近似根； ④方程x 2－x －1＝0有根吗？2．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是________________．3．已知直线l 1：x ＋ay ＋1＝0，直线l 2：ax ＋y ＋2＝0，则命题“若a ＝1或a ＝－1，则直线l 1与l 2平行”的否命题为__________________________________． 4．下列命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题；②“正三角形的三个内角均为60°”的否命题；③“若k<0，则方程x2＋(2k＋1)x＋k＝0必有两相异实数根”的逆否命题．其中真命题的个数是________．5．已知命题“若m－1<x<m＋1，则1<x<2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是________．1．根据命题的意义，可以判断真假的语句是命题，命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可．2．写四种命题时，可以按下列步骤进行：(1)找出命题的条件p和结论q；(2)写出条件p的否定非p和结论q的否定非q；(3)按照四种命题的结构写出所有命题．3．每一个命题都由条件和结论组成，要分清条件和结论．判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础．提醒：完成作业第1章§1.1 1.1.1答案精析问题导学知识点一思考上述语句能够判断真假．梳理(1)真假(2)①真②假(3)若p则q知识点二思考命题(1)的条件和结论恰好是命题(2)的结论和条件．命题(1)的条件和结论恰好是命题(3)条件的否定和结论的否定．命题(1)的条件和结论恰好是命题(4)结论的否定和条件的否定．梳理(1)结论和条件互逆命题原命题逆命题(2)互否命题否命题(3)结论的否定条件的否定互为逆否命题逆否命题知识点三思考1逆命题：若q则p.否命题：若非p则非q.逆否命题：若非q则非p.思考2互逆、互否、互为逆否．梳理(1)q p逆否互否非p非q互逆非q非p(2)①相同②没有题型探究例1解(1)是祈使句，不是命题．(2)是真命题，因为x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0对于x∈R，不等式恒成立．(3)是疑问句，不是命题．(4)是假命题，正整数1既不是质数，也不是合数．(5)是假命题，如x＝2，y＝－ 2.(6)不是命题，这种含有未知数的语句，无法确定未知数的取值能否使不等式成立．跟踪训练1解(1)不是命题，由于x的值不确定，因此无法作出判断．(2)是命题，且是假命题，已经明确指定了x的值．(3)是命题，且是假命题，因为还有一根是x＝3.(4)不是命题，因为x的值不确定．例2解(1)逆命题：若x∈A∪B，则x∈A；否命题：若x∉A，则x∉A∪B；逆否命题：若x∉A∪B，则x∉A.(2)逆命题：若a＋b是偶数，则a，b都是偶数；否命题：若a ，b 不都是偶数， 则a ＋b 不是偶数；逆否命题：若a ＋b 不是偶数， 则a ，b 不都是偶数．(3)逆命题：在△ABC 中，若A >B ， 则a >b ；否命题：在△ABC 中，若a ≤b ，则A ≤B ； 逆否命题：在△ABC 中，若A ≤B ， 则a ≤b . 跟踪训练2 ② 例3 ①②③ 跟踪训练3 ②③例4 证明 原命题的逆否命题：已知a ，b ，c ∈R ，若a ，b ，c 都大于或等于13，则a ＋b＋c ≥1.由条件知a ≥13，b ≥13，c ≥13，三式相加得a ＋b ＋c ≥1.显然逆否命题为真命题，所以原命题也为真命题，即已知a ，b ，c ∈R ，若a ＋b ＋c <1，则a ，b ，c 中至少有一个小于13.跟踪训练4 证明 “若a 2－4b 2－2a ＋1≠0，则a ≠2b ＋1”的逆否命题为“若a ＝2b ＋1，则a 2－4b 2－2a ＋1＝0”． ∵a ＝2b ＋1，∴a 2－4b 2－2a ＋1＝(2b ＋1)2－4b 2－2(2b ＋1)＋1 ＝4b 2＋1＋4b －4b 2－4b －2＋1 ＝0.∴命题“若a ＝2b ＋1，则a 2－4b 2－2a ＋1＝0”为真命题．由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题正确． 当堂训练1．① 2.若tan α≠1，则α≠π43．若a ≠1且a ≠－1，则直线l 1与l 2不平行 4．2 5.[1,2]学习目标 1.了解“且”“或”作为逻辑联结词的含义，掌握“p∨q”“p∧q”命题的真假规律.2.了解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的“綈p”命题．知识点一p∧q思考1观察三个命题：①5是10的约数；②5是15的约数；③5是10的约数且是15的约数，它们之间有什么关系？思考2分析思考1中三个命题的真假？梳理(1)定义一般地，用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“________”，读作“________”．(2)命题p∧q的真假判断命题p∧q的真假与命题p和命题q的真假有着必然的联系，我们将命题p、命题q以及命题p∧q的真假情况绘制成命题p∧q的真值表如下：命题p∧q”．知识点二p∨q思考1观察三个命题：①3>2；②3＝2；③3≥2.它们之间有什么关系？思考2思考1中的真假性是怎样的？梳理(1)定义一般地，用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“________”，读作“________”．(2)命题p∨q的真假判断我们将命题p、命题q以及命题p∨q的真假情况绘制成命题p∨q的真值表如下：命题p∨q的真值表可以简单归纳为“一真则真，假假才假”．知识点三綈p思考观察下列两组命题，看它们之间有什么关系？并指出其真假：(1)p：5是25的算术平方根，q：5不是25的算术平方根；(2)p：y＝tan x是偶函数，q：y＝tan x不是偶函数．梳理(1)定义一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作“________”，读作“________”或“____________”．(2)命题綈p的真假判断因为命题p与命题綈p互为否定，所以它们的真假一定不同，真值表如下：命题綈p的真值表可以归纳为“不可同真同假”．类型一用逻辑联结词联结组成新命题例1分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的新命题：(1)p：π是无理数，q：e不是无理数；(2)p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，q：方程x2＋2x＋1＝0两根的绝对值相等；(3)p：正△ABC的三内角都相等，q：正△ABC有一个内角是直角．反思与感悟解决这类问题的关键是正确理解“或”“且”“非”的定义，用“或”“且”“非”联结p、q构成新命题时，在不引起歧义的前提下，可把命题p、q中的条件或结论合并．跟踪训练1指出下列命题分别由“p且q”“p或q”“非p”中的哪种形式构成，并写出其中的命题p，q：(1)两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；(2)方程x2－3＝0没有有理根；(3)如果xy<0，则点P(x，y)的位置在第二、三象限．类型二含有逻辑联结词命题的真假例2分别指出下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“綈p”形式的命题的真假：(1)p：6<6，q：6＝6；(2)p：梯形的对角线相等，q：梯形的对角线互相平分；(3)p：函数y＝x2＋x＋2的图象与x轴没有公共点，q：不等式x2＋x＋2<0无解；(4)p：函数y＝cos x是周期函数，q：函数y＝cos x是奇函数．反思与感悟判断含逻辑联结词命题的真假的步骤(1)逐一判断命题p、q的真假．(2)根据“且”“或”“非”的含义判断“p∧q”“p∨q”“綈p”的真假．跟踪训练2指出下列命题的形式及命题的真假：(1)48是16与12的公倍数；(2)方程x2＋x＋3＝0没有实数根；(3)相似三角形的周长相等或对应角相等．类型三用含逻辑联结词命题的真假求参数的范围例3已知a>0，设命题p：函数y＝a x在R上单调递增；命题q：不等式x2－ax＋1>0对x∈R恒成立，若p∨q为真命题，(綈p)∨(綈q)也为真命题，求实数a的取值范围．反思与感悟由真值表可判断p∨q、p∧q、綈p命题的真假．反之，由p∨q，p∧q，綈p 命题的真假也可判断p、q的真假情况．一般求满足p假成立的参数的范围，应先求p真成立的参数的范围，再求其补集．跟踪训练3 已知p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实数根；q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实数根．若“p ∨q ”为真命题，且“p ∧q ”是假命题，求实数m 的取值范围．1．把“x ≥5”改写为含有逻辑联结词的命题为____________________________________． 2．已知p ：∅⊆{0}，q ：{1}∈{1,2}．则在四个命题p ，q ，p ∧q ，p ∨q 中，真命题有________个．3．命题s 具有“p 或q ”的形式，已知“p 且r ”是真命题，那么s 是________命题．(填“假”“真”)4．已知命题p ：若实数x ，y 满足x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零；命题q ：若a ＞b ，则1a ＜1b .给出下列四个复合命题：①p 且q ；②p 或q ；③非p ；④非q . 其中真命题是________．(只填序号)5．分别判断由下列命题构成的“p 且q ”“p 或q ”“非p ”形式的命题的真假： (1)p ：函数y ＝x 2和函数y ＝2x 的图象有两个交点； q ：函数y ＝2x 是增函数； (2)p ：∅ {0}；q ：0∈∅.1．正确理解逻辑联结词是解题的关键，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”是两个中至少选一个．2．若命题p为真，则“綈p”为假；若p为假，则“綈p”为真．类比集合知识，“綈p”就相当于集合p在全集U中的补集∁U p.因此(綈p)∧p为假，(綈p)∨p为真．3．命题的否定只否定结论，否命题既否定结论又否定条件，要注意区别．提醒：完成作业第1章§1.2答案精析问题导学知识点一思考1命题③是将命题①②用“且”联结得到的新命题，“且”与集合运算中交集的定义A∩B＝{x|x∈A且x∈B}中“且”的意义相同，叫逻辑联结词，表示“并且”，“同时”的意思．思考2命题①②③均为真．梳理(1)p∧q p且q知识点二思考1命题③是命题①②用逻辑联结词“或”联结得到的新命题．思考2①③为真命题，②为假命题．梳理(1)p∨q p或q知识点三思考两组命题中，命题q都是命题p的否定．(1)中p真，q假．(2)中p假，q真．梳理(1)綈p非p p的否定题型探究例1解(1)p∨q：π是无理数或e不是无理数；p∧q：π是无理数且e不是无理数；綈p：π不是无理数．(2)p∨q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等；p∧q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等；綈p：方程x2＋2x＋1＝0没有两个相等的实数根．(3)p∨q：正△ABC的三内角都相等或有一个内角是直角；p∧q：正△ABC的三内角都相等且有一个内角是直角；綈p：正△ABC的三个内角不都相等．跟踪训练1解(1)“p且q”的形式．其中p：两个角是45°的三角形是等腰三角形，q：两个角是45°的三角形是直角三角形．(2)“非p”的形式．p：方程x2－3＝0有有理根．(3)“p或q”的形式．其中p：如果xy<0，则点P(x，y)的位臵在第二象限，q：如果xy<0，则点P (x ，y )的位臵在第三象限． 例2 解 (1)∵p 为假命题，q 为真命题，∴p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，綈p 为真命题． (2)∵p 为假命题，q 为假命题，∴p ∧q 为假命题，p ∨q 为假命题，綈p 为真命题． (3)∵p 为真命题，q 为真命题，∴p ∧q 为真命题，p ∨q 为真命题，綈p 为假命题． (4)∵p 为真命题，q 为假命题，∴p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，綈p 为假命题．跟踪训练2 解 (1)这个命题是“p ∧q ”的形式．其中p ：48是16的倍数，是真命题；q ：48是12的倍数，是真命题，所以“48是16与12的公倍数”是真命题．(2)这个命题是“綈p ”的形式．其中p ：方程x 2＋x ＋3＝0有实数根，是假命题，所以命题“方程x 2＋x ＋3＝0没有实数根”是真命题．(3)这个命题是“p ∨q ”的形式．其中p ：相似三角形的周长相等，是假命题；q ：相似三角形的对应角相等，是真命题，所以“相似三角形的周长相等或对应角相等”是真命题． 例3 解 ∵y ＝a x 在R 上为增函数， ∴命题p ：a >1.∵不等式x 2－ax ＋1>0在R 上恒成立， ∴应满足Δ＝a 2－4<0，即0<a <2， ∴命题q ：0<a <2.由p ∨q 为真命题，则p 、q 中至少有一个为真，由(綈p )∨(綈q )也为真，则綈p 、綈q 中至少有一个为真， ∴p 、q 中有一真、一假．①当p 真，q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a ≥2，∴a ≥2；②当p 假，q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤1，0<a <2，∴0<a ≤1.综上可知，a 的取值范围为{a |a ≥2或0<a ≤1}．跟踪训练3 解 ∵方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实数根， 设两根为x 1，x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－m <0，x 1x 2＝1>0，Δ＝m 2－4>0，得m >2，∴p ：m >2.又方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实数根， ∴Δ＝16(m －2)2－4×4<0， 得1<m <3， ∴q ：1<m <3.∵p ∨q 为真，p ∧q 为假， ∴p 与q 中一真一假．当p 真，q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧m >2，m ≤1或m ≥3，∴m ≥3；当p 假，q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1<m <3，∴1<m ≤2.综上可知，m 的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)． 当堂训练1．“x >5或x ＝5” 2.2 3.真 4.②④5．解 (1)∵命题p 是真命题，命题q 是真命题， ∴p 且q 为真命题，p 或q 为真命题，非p 为假命题． (2)∵p 是真命题，q 是假命题，∴p 且q 为假命题，p 或q 为真命题，非p 为假命题．1．3.1量词学习目标 1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和存在性命题的概念.3.能判定全称命题和存在性命题的真假并掌握其判断方法．知识点一全称量词与全称命题思考观察下列命题：①每一个三角形都有内切圆；②所有实数都有算术平方根；③对一切有理数x,5x＋2还是有理数．以上三个命题中分别使用了什么量词？根据命题的实际含义能否判断命题的真假．梳理(1)(2)判断全称命题真假性的方法：对于全称命题“∀x∈M，p(x)”，要判断它为真，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判断它为假，只需在M中找到一个x，使p(x)不成立，即“∃x∈M，p(x)不成立”．知识点二存在量词与存在性命题思考观察下列命题：①有些矩形是正方形；②存在实数x，使x>5；③至少有一个实数x，使x2－2x＋2<0.以上三个命题分别使用了什么量词？根据命题的实际含义能否判断命题的真假．梳理(1)(2)判断存在性命题真假性的方法：要判断一个存在性命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则，这一存在性命题是假命题．类型一全称命题与存在性命题的识别例1判断下列语句是全称命题，还是存在性命题：(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|；(3)对任意a ，b ∈R ，若a >b ，则1a <1b ；(4)有一个函数既是奇函数又是偶函数．反思与感悟 判断一个语句是全称命题还是存在性命题的思路跟踪训练1 判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题：(1)自然数的平方大于或等于零； (2)对每一个无理数x ，x 2也是无理数； (3)有的函数既是奇函数又是增函数；(4)对于数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n n ＋1，总存在正整数n ，使得a n 与1之差的绝对值小于0.01.类型二 全称命题与存在性命题的真假判断 例2 判断下列命题的真假，并给出证明： (1)∀x ∈(5，＋∞)，f (x )＝x 2－4x －2>0； (2)∀x ∈(3，＋∞)，f (x )＝x 2－4x －2>0； (3)∃a ∈Z ，a 2＝3a －2； (4)∃a ≥3，a 2＝3a －2；(5)设A、B、C是平面上不在同一直线上的三点，在平面上存在某个点P，使得P A＝PB＝PC.反思与感悟要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定存在性命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．跟踪训练2有下列四个命题：①∀x∈R,2x2－3x＋4>0；②∀x∈{1，－1,0},2x＋1>0；③∃x∈N，x2≤x；④∃x∈N*，x为29的约数，其中真命题的个数为________．类型三全称命题、存在性命题的应用例3(1)若命题p：存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0，求实数a的取值范围；(2)若不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．反思与感悟有解和恒成立问题是存在性命题和全称命题的应用，注意二者的区别．跟踪训练3当命题(1)∀x∈R，sin x＋cos x>m；(2)∃x∈R，sin x＋cos x>m分别为真命题时，m的取值范围分别是(1)______________，(2)______________．1．下列命题是“∃x∈R，x2>3”的表述方法的有________．①有一个x∈R，使得x2>3；②对有些x∈R，使得x2>3；③任选一个x∈R，使得x2>3；④至少有一个x∈R，使得x2>3.2．下列命题中全称命题的个数是________．①任意一个自然数都是正整数；②有的等差数列也是等比数列；③三角形的内角和是180°.3．下列存在性命题是假命题的是________．①存在x∈Q，使2x－x3＝0；②存在x∈R，使x2＋x＋1＝0；③有的素数是偶数；④有的有理数没有倒数．4．对任意的x>3，x>a都成立，则a的取值范围是________．5．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题：(1)凸n边形的外角和等于2π.(2)有一个有理数x满足x2＝3.1．判断命题是全称命题还是存在性命题，主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断．2．要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题．3．要确定一个存在性命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在性命题是假命题．提醒：完成作业第1章§1.3 1.3.1答案精析问题导学知识点一思考命题①②③分别使用量词“每一个”“所有”“一切”．命题①③是真命题，命题②是假命题．三个命题中的“每一个”“所有”“一切”都有全部、所有的意义，要求命题对某个集合的所有元素都成立，而负实数没有算术平方根，故命题②为假命题．梳理(1)∀全称量词∀x∈M，p(x)知识点二思考命题①②③分别使用了量词“有些”“存在”“至少有一个”．命题①②是真命题，命题③是假命题．三个命题中的“有些”“存在”“至少有一个”等词都是对某个集合内的个别元素而言，要说明这些命题是真命题，只要举出一个例子即可．所以命题①②是真命题，而对任意实数x，x2－2x＋2都大于0，所以命题③为假命题．梳理(1)∃存在量词∃x∈M，p(x)题型探究例1解(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和都等于360°”，故是全称命题．(2)含有存在量词“有些”，故是存在性命题．(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．(4)含有存在量词“有一个”，故是存在性命题．跟踪训练1解(1)是全称命题，表示为∀x∈N，x2≥0.(2)是全称命题，∀x∈{x|x是无理数}，x2是无理数．(3)是存在性命题，∃f(x)∈{函数}，f(x)既是奇函数又是增函数．(4)是存在性命题，∃n∈N*，|a n－1|＜0.01，其中a n＝nn＋1.例2解(1)真命题．∵f(x)＝x2－4x－2在(2，＋∞)上单调递增，∴对(5，＋∞)内的每一个x，都有f(x)>f(5)>0，因此(1)是真命题．(2)假命题.4∈(3，＋∞)，但f(4)＝－2<0，因此(2)是假命题．(3)真命题.1是整数且12＝3×1－2，因此(3)是真命题．(4)假命题．∵a2＝3a－2只有两个实数根，a＝1或a＝2，∴当a≥3时，a2≠3a－2，因此(4)是假命题．(5)真命题．A、B、C三点构成一个三角形，三角形总有外接圆，设P是△ABC外接圆的圆心，则P A＝PB＝PC，因此(5)是真命题．跟踪训练2 3例3(1)(－∞，1)(2)m<－13 11跟踪训练3(1)(－∞，－2)(2)(－∞，2)当堂训练1．①②④ 2.2 3.② 4.(－∞，3]5．解(1)∀x∈{x|x是凸n边形}，x的外角和是2π.(2)∃x∈Q，x2＝3.1怎样解逻辑用语问题1．利用集合理清关系充分(必要)条件是高中学段的一个重要概念，并且是理解上的一个难点．要解决这个难点，将抽象的概念用直观、形象的图形表示出来，看得见、想得通，才是最好的方法．下面通过使用集合模型对充要条件的外延与内涵作了直观形象的解释，实践证明效果较好．集合模型解释如下：①A是B的充分条件，即A⊆B.(如图1)②A是B的必要条件，即B⊆A.(如图2)③A是B的充要条件，即A＝B.(如图3)④A是B的既不充分又不必要条件，即A∩B＝∅或A、B既有公共元素也有非公共元素．(如图4)或图4例1设集合A，B是全集U的两个子集，则A B是(∁U A)∪B＝U的______________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)解析当A B时，如图1所示，则(∁U A)∪B＝U成立；当A＝B时，如图2所示，则(∁U A)∪B ＝(∁U B)∪B＝U成立，即当(∁U A)∪B＝U成立时，可有A⊆B.故A B是(∁U A)∪B＝U的充分不必要条件．答案 充分不必要 2．抓住量词，对症下药全称命题与存在性命题是两类特殊的命题，这两类命题的否定又是这部分内容中的重要概念，解决有关此类命题的题目时一定要抓住决定命题性质的量词，理解其相应的含义，从而对症下药．例2 (1)已知命题p ：“任意x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”与命题q ：“存在x ∈R ，x 2＋2ax ＋2＋a ＝0”都是真命题，则实数a 的取值范围为______________．(2)已知命题p ：“存在x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”与命题q ：“存在x ∈R ，x 2＋2ax ＋2＋a ＝0”都是真命题，则实数a 的取值范围为____________． 解析 (1)将命题p 转化为“当x ∈[1,2]时， (x 2－a )min ≥0”，即1－a ≥0， 即a ≤1.由命题q 知，方程有解，即Δ＝(2a )2－4×(2＋a )≥0， 解得a ≤－1或a ≥2.综上所述，a ≤－1.(2)命题p 转化为“当x ∈[1,2]时，(x 2－a )max ≥0”， 即4－a ≥0，即a ≤4. 命题q ：a ≤－1或a ≥2. 综上所述，a ≤－1或2≤a ≤4.答案 (1)(－∞，－1] (2)(－∞，－1]∪[2,4]点评 认真比较两题就会发现，两题形似而神异，所谓失之毫厘，谬之千里，需要我们抓住这类问题的本质——量词，有的放矢． 3．挖掘等价转化思想，提高解题速度在四种命题的关系、充要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词中，时时刻刻渗透着等价转化思想，例如互为逆否命题的两个命题(原命题与逆否命题或逆命题与否命题)一定同真或同假，它们就是等价的；但原命题与逆命题不等价，即原命题为真，其逆命题不一定为真．例3 设p ：⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －12>0，2x －y －8≤0，x －2y ＋6≥0，q ：x 2＋y 2≤r 2 (r >0)，若q 是綈p 的充分不必要条件，求r的取值范围．分析 “q 是綈p 的充分不必要条件”等价于“p 是綈q 的充分不必要条件”．设p 、q 对应的集合分别为A 、B ，则可由A ∁R B 出发解题．解 设p 、q 对应的集合分别为A 、B ，将本题背景放到直角坐标系中，则点集A 表示平面区域，点集∁R B 表示到原点距离大于r 的点的集合，即圆x 2＋y 2＝r 2外的点的集合． ∵A ∁R B 表示区域A 内的点到原点的最近距离大于r ， ∴直线3x ＋4y －12＝0上的点到原点的最近距离大于等于r . ∵原点O 到直线3x ＋4y －12＝0的距离为 d ＝|－12|32＋42＝125， ∴r 的取值范围为0<r ≤125.点评 若直接解的话，q 是綈p 的充分不必要条件即为 x 2＋y 2≤r 2 (r >0)在p ：⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －12>0，2x －y －8≤0，x －2y ＋6≥0所对应的区域的外部，也是可以解决的．但以上解法将“q 是綈p 的充分不必要条件”等价转化为“p 是綈q 的充分不必要条件”，更好地体现了等价转化思想．2 辨析“命题的否定”与“否命题”一、知识梳理 1．定义2.真假关系表原命题、命题的否定与否命题的真假关系表：。

2.2.2 椭圆的几何性质(一)[学习目标] 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出图象.知识点一 椭圆的几何性质x 2y 2y 2x 2知识点二 离心率的作用当椭圆的离心率越接近1，则椭圆越扁；当椭圆离心率越接近0，则椭圆越接近于圆.题型一 椭圆的几何性质例1 求椭圆25x 2＋y 2＝25的长轴和短轴的长及焦点和顶点坐标. 解 把已知方程化成标准方程为y 225＋x 2＝1，则a ＝5，b ＝1. 所以c ＝25－1＝26，因此，椭圆的长轴长2a ＝10，短轴长2b ＝2， 焦点坐标是(0，－26)，(0,26)， 顶点坐标是(0，－5)，(0,5)，(－1,0)，(1,0).反思与感悟 解决此类问题的方法是先将所给方程化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a ，b ，c 之间的关系和定义，就可以得到椭圆相应的几何性质.跟踪训练1 求椭圆m 2x 2＋4m 2y 2＝1 (m >0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.解 椭圆的方程m 2x 2＋4m 2y 2＝1 (m >0)可转化为 x 21m 2＋y 214m 2＝1. ∵m 2<4m 2，∴1m 2>14m 2，∴椭圆的焦点在x 轴上，并且长半轴长a ＝1m ，短半轴长b ＝12m ，半焦距长c ＝32m.∴椭圆的长轴长2a ＝2m ，短轴长2b ＝1m ，焦点坐标为(－32m ，0)，(32m，0)，顶点坐标为(1m ，0)，(－1m ，0)，(0，－12m )，(0，12m ).离心率e ＝c a ＝32m 1m＝32.题型二 由椭圆的几何性质求方程例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程.(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，其离心率为12，焦距为8；(2)已知椭圆的离心率为e ＝23，短轴长为8 5.解 (1)由题意知，2c ＝8，c ＝4， ∴e ＝c a ＝4a ＝12，∴a ＝8，从而b 2＝a 2－c 2＝48，∴椭圆的标准方程是y 264＋x 248＝1.(2)由e ＝c a ＝23，得c ＝23a ，又2b ＝85，a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝144，b 2＝80， 所以椭圆的标准方程为x 2144＋y 280＝1或x 280＋y 2144＝1.反思与感悟 在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定a ，b ，这就是我们常用的待定系数法.跟踪训练2 椭圆过点(3,0)，离心率e ＝63，求椭圆的标准方程. 解 ∵所求椭圆的方程为标准方程，又椭圆过点(3,0)，∴点(3,0)为椭圆的一个顶点.①当椭圆的焦点在x 轴上时，(3,0)为右顶点，则a ＝3， ∵e ＝c a ＝63，∴c ＝63a ＝63×3＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝32－(6)2＝9－6＝3， ∴椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1.②当椭圆的焦点在y 轴上时，(3,0)为右顶点，则b ＝3， ∵e ＝c a ＝63，∴c ＝63a ，∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－23a 2＝13a 2，∴a 2＝3b 2＝27，∴椭圆的标准方程为y 227＋x 29＝1.综上可知，椭圆的标准方程是x 29＋y 23＝1或y 227＋x 29＝1.题型三 求椭圆的离心率例3 如图所示，F 1，F 2分别为椭圆的左，右焦点，椭圆上的点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率.解 设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a ，b ，c . 则焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，M 点的坐标为(c ，23b )，且△MF 1F 2为直角三角形.在Rt △MF 1F 2中，F 1F 22＋MF 22＝MF 21，即4c 2＋49b 2＝MF 21. 而MF 1＋MF 2＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理得3c 2＝3a 2－2ab . 又c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a . 所以b 2a 2＝49.所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59，所以e ＝53.反思与感悟 求椭圆离心率的方法： (1)直接求出a 和c ，再求e ＝ca，也可利用e ＝1－b 2a2求解. (2)若a 和c 不能直接求出，则看是否可利用条件得到a 和c 的齐次等式关系，然后整理成ca 的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率e 的方程，进而求解.跟踪训练3 已知椭圆C 以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过点A (5,0)，求椭圆C 的离心率. 解 若焦点在x 轴上，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5×2b ，25a 2＋0b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝1，∴c ＝a 2－b 2＝52－12＝26，∴e ＝c a ＝265.若焦点在y 轴上，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5×2b ，0a 2＋25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，b ＝5，∴c ＝a 2－b 2＝252－52＝106，∴e ＝c a ＝10625＝265.故椭圆C 的离心率为265.椭圆离心率的求法椭圆离心率的三种求法：求椭圆的离心率一般运用直接法、定义法、方程法求解.(1)求椭圆的离心率时，若不能直接求得ca 的值，通常由已知寻求a ，b ，c 的关系式，再与a 2＝b 2＋c 2组成方程组，消去b 得只含a ，c 的方程，再化成关于e 的方程求解.(2)若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定a 2，b 2，求a ，c 的值，利用公式e ＝ca 直接求解.(3)求离心率时要充分利用题设条件中的几何特征构建方程求解，从而达到简化运算的目的. 涉及椭圆离心率的范围问题要依据题设条件首先构建关于a ，b ，c 的不等式，消去b 后，转化为关于e 的不等式，从而求出e 的取值范围.例4 若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被点⎝⎛⎭⎫b 2，0分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为________. 解析 依题意，得c ＋b2c －b 2＝53，∴c ＝2b ，∴a ＝b 2＋c 2＝5b ，∴e ＝2b 5b＝255.答案255点评 本题的解法是直接利用题目中的等量关系，列出条件求离心率.例5 设P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，F 1，F 2是其左，右焦点.已知∠F 1PF 2＝60°，求椭圆离心率的取值范围.分析 本题主要考查椭圆离心率取值范围的求法，建立不等关系是解答此类问题的关键. 解 方法一 根据椭圆的定义，有PF 1＋PF 2＝2a .① 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos 60°＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝12，即PF 21＋PF 22－4c 2＝PF 1·PF 2.② ①式平方，得PF 21＋PF 22＋2PF 1·PF 2＝4a 2.③ 由②③，得PF 1·PF 2＝4b 23.④由①和④运用基本不等式，得PF 1·PF 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫PF 1＋PF 222，即4b 23≤a 2.由b 2＝a 2－c 2，得43(a 2－c 2)≤a 2，解得e ＝c a ≥12.又e ＜1，∴该椭圆的离心率的取值范围是[12，1).方法二 如图，设椭圆与y 轴交于B 1，B 2两点，则当点P 位于B 1或B 2处时，点P 对两焦点的张角最大，故∠F 1B 2F 2≥∠F 1PF 2＝60°，从而∠OB 2F 2≥30°. 在Rt △OB 2F 2中，e ＝c a ＝sin ∠OB 2F 2≥sin 30°＝12. 又e ＜1，∴12≤e ＜1.∴该椭圆的离心率的取值范围是[12，1).点评 在求椭圆离心率的取值范围时，常需建立不等关系，通过解不等式来求离心率的取值范围，建立不等关系的途径有：基本不等式，利用椭圆自身存在的不等关系(如基本量之间的大小关系或基本量的范围，点与椭圆的位置关系所对应的不等关系，椭圆上点的横、纵坐标的有界性等)，判别式，极端情况等等.如上面方法二就应用了“当点P 运动到短轴的端点时，点P 对两焦点的张角最大”这一极端情况.1.椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为__________. 答案 (0，±69)解析 由题意知椭圆的焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69).2.椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长，短轴长，离心率依次为________. 答案 10,6，45解析 由题意，可将椭圆方程化为标准式为 y 225＋x 29＝1， 由此可得a ＝5，b ＝3，c ＝4， ∴2a ＝10,2b ＝6，e ＝45.3.如图，已知直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆的左焦点F 1和一个顶点B ，则椭圆的离心率为________. 答案255解析 ∵x －2y ＋2＝0， ∴y ＝12x ＋1，而b c ＝12，即a 2－c 2c 2＝12，∴a 2c 2＝54，c a ＝255. 4.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________. 答案 35解析 由题意有，2a ＋2c ＝2(2b )，即a ＋c ＝2b ，又c 2＝a 2－b 2，消去b 整理得5c 2＝3a 2－2ac ， 即5e 2＋2e －3＝0，∴e ＝35或e ＝－1(舍去).5.若焦点在y 轴上的椭圆x 2m ＋y 22＝1的离心率为12，则m 的值为________.答案 32解析 ∵焦点在y 轴上，∴0<m <2， ∴a ＝2，b ＝m ，∴c ＝2－m ，又e ＝c a ＝12，∴2－m 2＝12，解得m ＝32.1.已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式.2.根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法.在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e 、焦距.3.求椭圆的离心率要注意函数与方程思想、数形结合思想的应用.。

第二章 圆锥曲线与方程1 圆锥曲线定义的妙用1．求动点轨迹例 1 一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－6x ＋5＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为________________．解析 x 2＋y 2＝1是圆心为原点，半径为1的圆，x 2＋y 2－6x ＋5＝0化为标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，是圆心为A (3,0)，半径为2的圆．设所求动圆圆心为P ，动圆半径为r ，如图，则⎭⎪⎬⎪⎫PO ＝r ＋1，PA ＝r ＋2⇒PA －PO ＝1<AO ＝3，符合双曲线的定义．结合图形可知，动圆圆心的轨迹为双曲线的一支．答案 双曲线的一支 2．解三角形例2 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率等于13，其焦点分别为A ，B ，C 为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC 中，sin A ＋sin Bsin C的值等于________．解析 在△ABC 中，由正弦定理得sin A ＋sin B sin C ＝CB ＋CAAB ，因为点C 在椭圆上，所以由椭圆定义知CA ＋CB ＝2a ，而AB ＝2c ，所以sin A ＋sin B sin C ＝2a 2c ＝1e ＝3.答案 33．求离心率例3 如图，F 1、F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是________．解析 由椭圆可知AF 1＋AF 2＝4，F 1F 2＝2 3. 因为四边形AF 1BF 2为矩形， 所以AF 21＋AF 22＝F 1F 22＝12，所以2AF 1·AF 2＝(AF 1＋AF 2)2－(AF 21＋AF 22) ＝16－12＝4，所以(AF 2－AF 1)2＝AF 21＋AF 22－2AF 1·AF 2 ＝12－4＝8， 所以AF 2－AF 1＝2 2.因此对于双曲线有a ＝2，c ＝3， 所以C 2的离心率e ＝c a ＝62. 答案62例4 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且PF 1＝4PF 2，则此双曲线的离心率e 的取值范围是________． 解析 由双曲线的定义有PF 1－PF 2＝2a . 又∵PF 1＝4PF 2， ∴PF 1＝83a ，PF 2＝23a .在△PF 1F 2中，应有PF 1＋PF 2≥F 1F 2， 即103a ≥2c ，∴e ≤53， 又e >1，∴离心率e 的取值范围是(1，53]．答案 (1，53]4．求最值例5 线段AB ＝4，PA ＋PB ＝6，M 是AB 的中点，当P 点在同一平面内运动时，PM 的长度的最小值是________．解析 由于PA ＋PB ＝6>4＝AB ，故由椭圆定义知P 点的轨迹是以M 为原点，A 、B 为焦点的椭圆，且a ＝3，c ＝2，∴b ＝a 2－c 2＝ 5.于是PM 的长度的最小值是b ＝ 5. 答案5例6 已知F 是双曲线x 23－y 2＝1的右焦点，P 是双曲线右支上一动点，定点M (4,2)，求PM＋PF 的最小值．解 设双曲线的左焦点为F ′，如图所示，则F ′(－2,0)．由双曲线的定义知，PF ′－PF ＝2a ＝23，所以PF ＝PF ′－23， 所以PM ＋PF ＝PM ＋PF ′－23，要使PM ＋PF 取得最小值，只需PM ＋PF ′取得最小值， 由图可知，当P 、F ′、M 三点共线时，PM ＋PF ′最小， 此时MF ′＝210，故PM ＋PF 的最小值为210－2 3.2 抛物线的焦点弦性质例1 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的一条直线和抛物线相交，两交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，证明：(1)AB ＝x 1＋x 2＋p ； (2)通径长为2p ； (3)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(4)若直线AB 的倾斜角为θ，则AB ＝2psin 2θ；(5)以AB 为直径的圆与准线相切； (6)1AF ＋1BF ＝2p.证明 (1)由定义可得AB ＝AF ＋FB ＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p .(2)过焦点F (p2，0)与x 轴垂直的直线被抛物线截得的弦长为2p .(3)①当AB ⊥x 轴时，易得A (p 2，p )，B (p2，－p )，∴y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.②当AB 的斜率存在时，设为k (k ≠0)， 则直线AB 的方程为y ＝k (x －p2)，代入抛物线方程y 2＝2px ，消元得y 2＝2p (y k ＋p 2)，即y 2－2py k－p 2＝0，∴y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.综合①②知，x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－2p 2.(4)①当θ＝90°时，k 不存在，易得A (p 2，p )，B (p2，－p )，AB ＝2p ＝2p sin 290°＝2psin 2θ. ②当θ≠90°时，k ＝tan θ， 直线AB 方程为y ＝tan θ(x －p2)，联立方程组，由根与系数的关系，得AB ＝p ＋x 1＋x 2＝2psin 2θ. (5)如图，MM 1＝AA 1＋BB 12＝AF ＋BF 2＝AB 2，故以AB 为直径的圆与准线相切． (6)∵AF ＝x 1＋p 2，BF ＝x 2＋p2，∴1AF ＋1BF ＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p2 ＝x 1＋x 2＋px 1＋p 2x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋px 1x 2＋p 2x 1＋x 2＋p 24＝x 1＋x 2＋pp 24＋p 24＋p2x1＋x 2＝x 1＋x 2＋p p2x 1＋x 2＋p＝2p.例2 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的一条直线和抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 证明：(1)若AO 交准线于C ，则直线CB 平行于抛物线的对称轴； (2)过B 作BC ⊥准线l ，垂点为C，则AC 过原点O .证明 (1)设直线AB 的方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy －p 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2＝－p 2. 由y ＝y 1x 1x ，x ＝－p 2联立，得C (－p 2，－py 12x 1)，y C ＝－py 12x 1＝－py 12·y 212p ＝－p 2y 1＝y 1y 2y 1＝y 2，∴BC ∥x 轴．(2)设直线AB 的方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy －p 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2＝－p 2.∵BC ∥x 轴，∴C (－p2，y 2)，即C (－p2，－p 2y 1)，k OC ＝－p 2y 1－p 2＝2p y 1＝y 21x 1×1y 1＝y 1x 1＝k OA ，∴O C →∥O A →且公共点为O ， ∴直线AC 过点O .例3 设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝________.解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又F (1,0)． 由FA →＋FB →＋FC →＝0，知(x 1－1)＋(x 2－1)＋(x 3－1)＝0， 即x 1＋x 2＋x 3＝3，|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋x 2＋x 3＋32p ＝6.答案 63 巧解直线和椭圆位置关系问题——“设而不求”法的应用在直线和椭圆位置关系问题中，设而不求、整体代换是常用的运算技巧，在解题中要注意运用．当直线和椭圆相交时要切记Δ>0是求参数范围的前提条件，不要因忘记造成不必要的失分．例 已知椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，过点A (－a,0)，B (0，b )的直线的倾斜角为π6，原点到该直线的距离为32. (1)求椭圆的方程；(2)斜率大于零的直线过D (－1,0)与椭圆分别交于点E ，F ，若ED →＝2DF →，求直线EF 的方程； (3)对于D (－1,0)，是否存在实数k ，使得直线y ＝kx ＋2分别交椭圆于点P ，Q ，且DP ＝DQ ，若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由． 思路点拨解 (1)由b a ＝33，12ab ＝12×32×a 2＋b 2，得a ＝3，b ＝1，所以椭圆的方程是x 23＋y 2＝1.(2)设EF ：x ＝my －1(m >0)，代入x 23＋y 2＝1，得(m 2＋3)y 2－2my －2＝0. 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)． 由ED →＝2DF →，得y 1＝－2y 2， 由y 1＋y 2＝－y 2＝2m m 2＋3，y 1y 2＝－2y 22＝－2m 2＋3， 得(－2m m 2＋3)2＝1m 2＋3， ∴m ＝1，m ＝－1(舍去)，直线EF 的方程为x ＝y －1， 即x －y ＋1＝0.(3)记P (x 1′，y 1′)，Q (x 2′，y 2′)． 将y ＝kx ＋2代入x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋12kx ＋9＝0，(*)x 1′，x 2′是此方程的两个相异实根．设PQ 的中点为M ，则x M ＝x 1′＋x 2′2＝－6k 3k 2＋1，y M ＝kx M ＋2＝23k 2＋1.由DP ＝DQ ，得DM ⊥PQ ，∴k DM ＝y M x M ＋1＝23k 2＋1－6k 3k 2＋1＋1＝－1k，∴3k 2－4k ＋1＝0，得k ＝1或k ＝13.但k ＝1，k ＝13均不能使方程(*)有两相异实根，∴满足条件的k 不存在.4 解析几何中的定值与最值问题1．定点、定值问题对于解析几何中的定点、定值问题，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊图形等)先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口．例1 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A ，B 两点，OA →＋OB →与a ＝(3，－1)共线．设M 为椭圆上任意一点，且OM →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，求证：λ2＋μ2为定值．证明 ∵M 是椭圆上任意一点，若M 与A 重合， 则OM →＝OA →，此时λ＝1，μ＝0，∴λ2＋μ2＝1，现在需要证明λ2＋μ2为定值1.设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为N (x 0，y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1， ②①－②得x 1－x 2x 1＋x 2a2＋y 1－y 2y 1＋y 2b2＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2＝－b 2x 0a 2y 0， 又∵k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1，∴y 0＝－b 2a2x 0，∴直线ON 的方向向量为ON →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－b 2a 2.∵ON →∥a ，∴13＝b 2a2.∴a 2＝3b 2，∴椭圆方程为x 2＋3y 2＝3b 2. 又直线方程为y ＝x －c ，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －c ，x 2＋3y 2＝3b 2，得4x 2－6cx ＋3c 2－3b 2＝0. ∴x 1＋x 2＝32c ，x 1x 2＝3c 2－3b 24＝38c 2.又设M (x ，y )，则由OM →＝λOA →＋μOB →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λx 1＋μx 2，y ＝λy 1＋μy 2，代入椭圆方程整理得λ2(x 21＋3y 21)＋μ2(x 22＋3y 22)＋2λμ(x 1x 2＋3y 1y 2)＝3b 2. 又∵x 21＋3y 21＝3b 2，x 22＋3y 22＝3b 2，x 1x 2＋3y 1y 2＝4x 1x 2－3c (x 1＋x 2)＋3c 2＝32c 2－92c 2＋3c 2＝0， ∴λ2＋μ2＝1，故λ2＋μ2为定值．例2 已知椭圆x 24＋y 22＝1上的两个动点P ，Q ，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，且x 1＋x 2＝2.(1)求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ；(2)设点A 关于原点O 的对称点是B ，求PB 的最小值及相应的P 点坐标． (1)证明 ∵P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，且x 1＋x 2＝2.当x 1≠x 2时，由⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，得y 1－y 2x 1－x 2＝－12·x 1＋x 2y 1＋y 2. 设线段PQ 的中点为N (1，n )， ∴k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12n， ∴线段PQ 的垂直平分线方程为y －n ＝2n (x －1)，∴(2x －1)n －y ＝0，该直线恒过一个定点A (12，0)；当x 1＝x 2时，线段PQ 的中垂线也过定点A (12，0)．综上，线段PQ 的垂直平分线恒过定点A (12，0)．(2)解 由于点B 与点A 关于原点O 对称， 故点B (－12，0)．∵－2≤x 1≤2，－2≤x 2≤2， ∴x 1＝2－x 2∈[0,2]，PB 2＝(x 1＋12)2＋y 21＝12(x 1＋1)2＋74≥94，∴当点P 的坐标为(0，±2)时，PB min ＝32.2．最值问题解决圆锥曲线中的最值问题，一般有两种方法：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解非常巧妙；二是代数法，将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数)，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角有界法、函数单调法及基本不等式法等，求解最大或最小值．例3 已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求AD →·EB →的最小值． 解 (1)设动点P 的坐标为(x ，y )， 由题意有x －2＋y 2－|x |＝1.化简得y 2＝2x ＋2|x |.当x ≥0时，y 2＝4x ；当x <0时，y ＝0.所以，动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0 (x <0)．(2)由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －，y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，所以x 1＋x 2＝2＋4k 2，x 1x 2＝1. 因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1k. 设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1.故AD →·EB →＝(AF →＋FD →)·(EF →＋FB →)＝AF →·EF →＋AF →·FB →＋FD →·EF →＋FD →·FB →＝|AF →|·|FB →|＋|FD →|·|EF →|＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1)＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1 ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋4k 2＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1 ＝8＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋1k 2≥8＋4×2 k 2·1k 2＝16. 当且仅当k 2＝1k 2，即k ＝±1时，AD →·EB →取得最小值16.5 圆锥曲线中存在探索型问题存在探索型问题作为探索性问题之一，具备了内容涉及面广、重点题型丰富等命题要求，方便考查分析、比较、猜测、归纳等综合能力，因而受到命题人的喜爱．圆锥曲线存在探索型问题是指在给定题设条件下是否存在某个数学对象(数值、性质、图形)使某个数学结论成立的数学问题．下面仅就圆锥曲线中的存在探索型问题展开讨论．1．常数存在型问题例1 直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1相交于A ，B 两点，是否存在这样的实数a ，使A ，B 关于直线y ＝2x 对称？请说明理由．分析 先假设实数a 存在，然后根据推理或计算求出满足题意的结果，或得到与假设相矛盾的结果，从而否定假设，得出某数学对象不存在的结论．解 设存在实数a ，使A ，B 关于直线l ：y ＝2x 对称，并设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22. 依题设有y 1＋y 22＝2·x 1＋x 22，即y 1＋y 2＝2(x 1＋x 2)．①又A ，B 在直线y ＝ax ＋1上，∴y 1＝ax 1＋1，y 2＝ax 2＋1，∴y 1＋y 2＝a (x 1＋x 2)＋2.②由①②，得2(x 1＋x 2)＝a (x 1＋x 2)＋2，即(2－a )(x 1＋x 2)＝2，③联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1，得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0， ∴x 1＋x 2＝2a 3－a 2.④ 把④代入③，得(2－a )·2a3－a 2＝2， 解得a ＝32，经检验符合题意， ∴k AB ＝32，而k l ＝2，∴k AB ·k l ＝32×2＝3≠－1. 故不存在满足题意的实数a .2．点存在型问题例2 在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆与直线y ＝x 相切于原点O ，椭圆x 2a 2＋y 29＝1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10. (1)求圆C 的方程；(2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．分析 假设满足条件的点Q 存在，根据其满足的几何性质，求出Q 的坐标，则点Q 存在，若求不出Q 的坐标，则点Q 就不存在．解 (1)由题意知圆心在y ＝－x 上，设圆心的坐标是(－p ，p ) (p >0)，则圆的方程可设为(x ＋p )2＋(y －p )2＝8，由于O (0,0)在圆上，∴p 2＋p 2＝8，解得p ＝2，∴圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8. (2)椭圆x 2a 2＋y 29＝1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10，由椭圆的定义知，2a ＝10，a ＝5，∴椭圆右焦点为F (4,0)．假设存在异于原点的点Q (m ，n )，使QF ＝OF ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋2＋n －2＝8，m －2＋n 2＝16且m 2＋n 2≠0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝45，n ＝125，故圆C 上存在满足条件的点Q ，点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，125.3．直线存在型问题例3 已知椭圆P 的中心O 在坐标原点，焦点在x 轴上，且经过点A (0,23)，离心率为12. (1)求椭圆P 的方程；(2)是否存在过点E (0，－4)的直线l 交椭圆P 于点R ，T ，且满足OR →·OT →＝167.若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)设椭圆P 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 由题意，得b ＝23，e ＝c a ＝12， ∴a ＝2c ，b 2＝a 2－c 2＝3c 2，则c 2＝4，∴c ＝2，a ＝4，∴椭圆P 的方程为x 216＋y 212＝1. (2)假设存在满足题意的直线l .易知当直线l 的斜率不存在时，OR →·OT →＝－12≠167，不满足题意．故可设直线l 的方程为y ＝kx －4，R (x 1，y 1)，T (x 2，y 2)．∵OR →·OT →＝167，∴x 1x 2＋y 1y 2＝167. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －4，x 216＋y 212＝1， 得(3＋4k 2)x 2－32kx ＋16＝0， 由Δ>0得(－32k )2－4(3＋4k 2)×16>0，解得k 2>14.① ∴x 1＋x 2＝32k 3＋4k 2，x 1x 2＝163＋4k 2， ∴y 1y 2＝(kx 1－4)(kx 2－4)＝k 2x 1x 2－4k (x 1＋x 2)＋16，故x 1x 2＋y 1y 2＝163＋4k 2＋16k 23＋4k 2－128k 23＋4k 2＋16＝167， 解得k 2＝1，②由①②解得k ＝±1，∴直线l 的方程为y ＝±x －4.故存在直线l ：x ＋y ＋4＝0或x －y －4＝0满足题意．6 圆锥曲线中的易错点剖析1．忽视定义中的条件而致误例1 平面内一点M 到两定点F 1(0，－4)，F 2(0,4)的距离之和为8，则点M 的轨迹为________． 错解 根据椭圆的定义知，点M 的轨迹为椭圆．正解 因为点M 到两定点F 1，F 2的距离之和为F 1F 2，所以点M 的轨迹是线段F 1F 2. 答案 线段2．忽视标准方程的特征而致误例2 设抛物线y ＝mx 2 (m ≠0)的准线与直线y ＝1的距离为3，求抛物线的标准方程．错解 抛物线y ＝mx 2 (m ≠0)的准线方程为y ＝－m 4. 又与直线y ＝1的距离为3的直线为y ＝－2或y ＝4.故－m 4＝－2或－m 4＝4. 所以m ＝8或m ＝－16.所以抛物线的标准方程为y ＝8x 2或y ＝－16x 2.正解 方程y ＝mx 2 (m ≠0)可化为x 2＝1my ， 其准线方程为y ＝－14m .由题意知－14m ＝－2或－14m＝4， 解得m ＝18或m ＝－116. 则所求抛物线的标准方程为x 2＝8y 或x 2＝－16y .3．涉及弦长问题时，忽视判别式Δ>0这一隐含条件而致误例3 正方形ABCD 的A ，B 两点在抛物线y ＝x 2上，另两点C ，D 在直线y ＝x －4上，求正方形的边长．错解 ∵AB 与直线y ＝x －4平行，∴设直线AB 的方程为y ＝x ＋b ，A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋b ，y ＝x 2⇒x 2－x －b ＝0， 得AB 2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2(1＋4b )．∵AB 与直线y ＝x －4间的距离为d ＝|b ＋4|2， ∴2(1＋4b )＝b ＋22， 即b 2－8b ＋12＝0，解得b ＝2或b ＝6，∴AB ＝32或AB ＝5 2.正解 ∵AB 与直线y ＝x －4平行，∴设直线AB 的方程为y ＝x ＋b ，A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋b ，y ＝x 2⇒x 2－x －b ＝0， ∵Δ＝1＋4b >0，∴b >－14. AB 2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2(1＋4b )．∵AB 与直线y ＝x －4间的距离为d ＝|b ＋4|2， ∴2(1＋4b )＝b ＋22， 即b 2－8b ＋12＝0，解得b ＝2或b ＝6，∵b ＝2或b ＝6都满足Δ>0，∴b ＝2或b ＝6.∴AB ＝32或AB ＝5 2.7 圆锥曲线中的数学思想方法1．方程思想方程思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或解方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得以解决．在本章中，方程思想的应用最为广泛．例1 已知直线y ＝－12x ＋2和椭圆x 2a ＋y 2b＝1 (a >b >0)相交于A ，B 两点，且a ＝2b ，若AB ＝25，求椭圆的方程．解 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－12x ＋2，x 24b 2＋y 2b 2＝1， 消去y 并整理，得x 2－4x ＋8－2b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝8－2b 2.∵AB ＝25，∴ 1＋14·x 1＋x 22－4x 1x 2＝25， 即52·16－－2b 2＝25， 解得b 2＝4，故a 2＝4b 2＝16.∴所求椭圆的方程为x 216＋y 24＝1.2．函数思想很多与圆锥曲线有关的问题中的各个数量在运动变化时，都是相互联系、相互制约的，它们之间构成函数关系．这类问题若用函数思想来分析、寻找解题思路，会有很好的效果．一些最值问题常用函数思想，运用根与系数的关系求弦的中点和弦长问题，是经常使用的方法． 例2 若点(x ，y )在x 24＋y 2b2＝1 (b >0)上运动，求x 2＋2y 的最大值． 解 ∵x 24＋y 2b2＝1 (b >0)， ∴x 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 2b 2≥0，即－b ≤y ≤b . ∴x 2＋2y ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 2b 2＋2y ＝－4y 2b 2＋2y ＋4＝－4b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －b 242＋4＋b 24. 当b 24≤b ，即0<b ≤4时， 若y ＝b 24，则x 2＋2y 取得最大值， 其最大值为4＋b 24； 当b 24>b ，即b >4时，若y ＝b ， 则x 2＋2y 取得最大值，其最大值为2b . 综上所述，x 2＋2y 的最大值为⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋b 24，0<b ≤4，2b ，b >4.3．分类讨论思想在本章中，涉及的字母参数较多，同时圆锥曲线的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，所以必须要注意分类讨论．例3 求与双曲线x 24－y 2＝1有共同的渐近线且焦距为10的双曲线的方程． 分析 由题意可设所求双曲线的方程为x 24－y 2＝λ (λ≠0)，将λ分为λ>0，λ<0两种情况进行讨论．解 由题意可设所求双曲线的方程为x 24－y 2＝λ (λ≠0)， 即x 24λ－y 2λ＝1 (λ≠0)． 当λ>0时，c 2＝4λ＋λ＝5λ＝25，即λ＝5，∴所求双曲线的方程为x 220－y 25＝1. 当λ<0时，c 2＝(－4λ)＋(－λ)＝－5λ＝25，即λ＝－5，∴所求双曲线的方程为y 25－x 220＝1. 综上所述，所求双曲线的方程为 x 220－y 25＝1或y 25－x 220＝1.。

2.5圆锥曲线的共同性质教学过程一、问题情境我们知道,平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于1的动点P 的轨迹是抛物线.当这个比值是一个不等于1的常数时,动点P的轨迹又是什么曲线呢?二、数学建构问题1试探讨这个常数分别是和2时,动点P的轨迹.方案1利用尺规作出几个特殊的点,从而猜想轨迹.方案2利用几何画板制作课件演示.可以得到:当常数是时,动点P的轨迹是椭圆;当常数是2时,动点P的轨迹是双曲线.问题2由上面问题的解决,同学可以猜想得出什么样的结论?解平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于e的动点P的轨迹是圆锥曲线.当0<e<1时,它表示椭圆;当e>1时,它表示双曲线;当e=1时,它表示抛物线.问题3以上的结论是否正确呢?如何证明?解当e=1时,结论在抛物线标准方程的推导中已经得到证明,那么其他两种情况如何通过方程来证明呢?(思考片刻继续引导)关键在于如何建立坐标系才能使得轨迹的方程为标准方程.(思考片刻继续引导)请同学们阅读教材第55页的思考后回答下面问题.问题4当0<e<1时,如何建立平面直角坐标系,才能使轨迹方程为标准方程呢?解建立适当的平面直角坐标系,使定点F(c,0),定直线l的方程为x=.设点P(x,y),则==e,化简得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)(*).因为e=∈(0,1),所以a2-c2>0,所以可令b2=a2-c2,这样方程(*)可化为+=1(a>b>0).这就证明了,当0<e<1时,点P的轨迹为椭圆.由此可见,当点P到定点F(c,0)的距离和它到定直线l:x=的距离的比是常数(a>c>0)时,这个点的轨迹是椭圆,方程为+=1(a>b>0, b2=a2-c2),这个常数就是椭圆的离心率.类似地,我们可以得到:当点P到定点F(c,0)的距离和它到定直线l:x=的距离的比是常数(c>a>0)时,这个点的轨迹是双曲线,方程为-=1(a>0,b>0,其中b2=c2-a2),这个常数就是双曲线的离心率.这样,圆锥曲线可以统一定义为平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于常数e的点的轨迹.当0<e<1时,它表示椭圆;当e>1时,它表示双曲线;当e=1时,它表示抛物线.其中e是圆锥曲线的离心率,定点F是圆锥曲线的焦点,定直线l是圆锥曲线的准线.由前面的研究可知:点F(c,0),直线l:x=分别为椭圆+=1(a>b>0)的焦点、准线;点F(c,0),直线l:x=分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的焦点、准线.根据图形的对称性可知,椭圆和双曲线都有两条准线,中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆+=1(a>b>0)或双曲线-=1(a>0,b>0),与焦点F1(-c,0),F2(c,0)对应的准线方程分别为x=-,x=. 三、数学运用【例1】求下列曲线的焦点坐标、准线方程:(1)25x2+16y2=400;(2)x2-8y2=32;(3)y2=16x.引导学生将曲线方程转化为标准形式,再让学生根据定义求解.解(1) 由25x2+16y2=400,得+=1,因此此椭圆的焦点在y轴上,且a=5,b=4,所以c==3,故曲线25x2+16y2=400的焦点坐标为(0,±3),准线方程为y=±.(2)由x2-8y2=32,得-=1,因此此双曲线的焦点在x轴上,且a=4,b=2,所以c==6,故曲线x2-8y2=32的焦点坐标为(±6,0),准线方程为x=±.(3)由y2=16x,得p=8,故曲线y2=16x的焦点坐标为(4,0),准线方程为x=-4.要求圆锥曲线的准线方程、焦点坐标,必须先将曲线方程化为标准形式.变式已知椭圆+=1的一条准线方程为y=,求实数m的值.解由题意可知,a2=m(m>9),b2=9,所以c=.由一条准线方程为y=可知=,解得m=25或m=.【例2】已知椭圆+=1上一点P到右准线的距离是2b,求点P到椭圆左焦点的距离.引导学生根据圆锥曲线的统一定义,将点到准线的距离转化为其到相应焦点的距离.解法一由题意知,该椭圆的左、右焦点分别是(-b,0),(b,0),离心率为.设该椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,则由圆锥曲线的统一定义可知,=,所以PF2=3b.由椭圆的定义可知,PF1=4b-3b=b,即该点到椭圆左焦点的距离为b.解法二由题意知,该椭圆的左、右焦点分别是(-b,0),(b,0),离心率为.设该椭圆的左、右焦点分别为F1,F2.因为椭圆两准线间的距离为b,所以P到左准线的距离为b,则由圆锥曲线的统一定义可知,=,所以PF1=b,即该点到椭圆左焦点的距离为b.椭圆和双曲线分别有两个焦点和两条准线,在解题过程中要注意对应,即左焦点对应左准线,右焦点对应右准线(或上焦点对应上准线,下焦点对应下准线).【例3】已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与C相交于A,B两点.若=3,求斜率k的值.解设直线l为椭圆的右准线,e为离心率.如图,分别过A,B作AA1,BB1垂直于l,A1,B1为垂足,过B作BE⊥AA1于E.由圆锥曲线的共同性质得AA1=,BB1=,由=3,得AA1=,所以cos∠BAE====,所以sin∠BAA1=,所以tan∠BAA1=,即k=.(例3)【例4】若椭圆+=1内有一点P(1,-1),F为其右焦点,椭圆上有一点M使MP+2MF最小,则点M的坐标为.提示因为椭圆的离心率为,则2MF就等于点M到右准线的距离d,所以MP+2MF=MP+d.由点到直线的最短距离是垂线段得可以得到M.先用圆锥曲线的统一定义将MP+2MF的最小值转化为MP+d(d为点M到右准线的距离)的最小值,再根据“点到直线的距离中垂线段最短”将问题解决.这是处理圆锥曲线中与曲线上的动点到焦点(或准线)的距离有关的最值问题的常用方法.四、课堂练习1. 若抛物线的顶点在原点,准线与椭圆+=1的准线重合,则此抛物线的方程为y2=±16x.提示由题意知椭圆的准线方程为x=±=±4,所以=±4,即p=±8.2. 已知椭圆+=1上一点P到左焦点的距离为12,则点P到右准线的距离为10.提示由题意知点P到左准线的距离为=15,两准线间的距离为2×=25,故点P到右准线的距离为10.3.已知F1,F2分别为双曲线C:-=1(a,b>0)的左、右焦点,曲线C的两条准线分别与x轴交于点A,B.若A,B为线段F1F2的三等分点,则此双曲线C的离心率为.提示由题意得=3,即e2=3.4.已知P为椭圆C:+=1上一点,且P到曲线C的右焦点F的距离为3,求点P的坐标.解法一椭圆C:+=1的右焦点为F(2,0),设P(x,y),则由题意可知解得即点P的坐标为(2,±3).解法二椭圆C:+=1的右准线的方程为x=8,离心率e=.因为P到曲线C的右焦点F的距离为3,所以P到右准线的距离为6.设P(x,y),则8-x=6,解得x=2,代入+=1,得y=±3,所以点P的坐标为(2,±3).五、课堂小结1.圆锥曲线的统一定义.2.会根据圆锥曲线的标准方程求准线方程.3.掌握圆锥曲线上的点到焦点的距离及该点到对应准线的距离之间的相互转化.。

第13课时本章复习教学过程一、知识网络圆锥曲线二、数学运用【例1】如图,已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,其右准线l与x轴的交点为T,过椭圆的上顶点A作椭圆的右准线l的垂线,垂足为D,四边形AF1F2D为平行四边形.(例1)(1)求椭圆的离心率;(2)若B是直线l上一动点,且△ABF2外接圆面积的最小值是4π,求椭圆的方程.[1](见学生用书P40)[处理建议](1)首先让学生独立思考,若学生解决有困难,可通过问题“‘四边形AF1F2D为平行四边形’的等价条件是什么”,引导学生得到基本量的关系式,从而将问题解决;(2)通过分析“圆的面积最小就是外接圆的半径最小,即外接圆的圆心到A或F2的距离最小”,引导学生确定外接圆的圆心的位置,再引导学生思考“B在直线l上如何使用”,从而将问题解决.[规范板书]解(1)依题意有AD=F1F2,即=2c,所以离心率e=.(2)由题可知圆心M在直线y=x上,设圆心M的坐标为(n,n).因为圆过准线上一点B,则圆与准线l有公共点,设圆心M(n,n)到准线的距离为d,则MF2≥d,即≥|n-2c|,解得n≤-3c或n≥c.又r2=(n-c)2+n2=2+∈[c2,+∞),由题可知(πr2)min=c2π=4π,则c2=4,解得c=2,所以b=2,a2=b2+c2=8,所以所求椭圆的方程为+=1.[题后反思]本题要求椭圆的标准方程,本质就是根据条件求出基本量a,b,c.而由(1)可知椭圆的离心率,即的值,且有a 2=b2+c2,这样三个未知数两个方程,就可用c表示出a,b,再根据最值确定c的值.变式已知F 1,F2分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点.若椭圆C上的点A到F1,F2两点的距离之和等于4,求椭圆C的方程和焦点坐标.(2)设K是(1)中所得椭圆上一动点,求线段F2K的中点所在曲线的方程.(见学生用书P40)[规范板书]解由题意可知a=2,且+=1,解得b2=3,所以c==1,所以椭圆C的方程为+=1,焦点坐标为(±1,0).(2)由(1)可知F2(1,0),设线段F2K的中点的坐标为(x,y),则K(2x-1,2y).因为K(2x-1,2y)在+=1上,所以+=1,即+=1,这就是所求线段F2K的中点的轨迹方程.【例2】(教材第60页复习题第6题改编)已知曲线C的方程为x2sinα+y2cosα=1,若α∈[0,π),试判断曲线C的形状.[2](见学生用书P40) [处理建议]以问题“根据方程如何判断曲线的形状”为导引,让学生思考,再通过师生共同讨论,进行点评或纠正.[规范板书]解①当α=0时,方程为y=±1,所以曲线C表示两条互相平行的直线;②当0<α<时,>>0,所以曲线C为焦点在x轴上的椭圆;③当α=时,==,所以曲线C为圆;④当<α<时,0<<,所以曲线C为焦点在y轴上的椭圆;⑤当α=时,方程为x=±1,所以曲线C表示两条互相平行的直线;⑥当<α<π时,>0,<0,所以曲线C为焦点在x轴上的双曲线.[题后反思](1)本题是利用方程判断对称中心在坐标原点的曲线的形状,一般方法是什么?(2)分类讨论是高中数学重要的思想方法,也是我们必须掌握的,高考肯定考查的.变式若曲线+=1表示离心率为的椭圆,则k的值是或36.(见学生用书P40)提示由离心率e=可知,=,所以=,因此,当k<9时,a2=9,b2=k,所以=,解得k=;当k>9时,a2=k,b2=9,所以=,解得k=36.【例3】已知椭圆+=1,直线l过点M(2,2)与椭圆相交于A,B两点,且线段AB以M为中点,求直线l的方程.(见学生用书P40)[规范板书]解法一设A(x,y),则由题意可知B(4-x,4-y),所以两式相减得9x+16y-50=0.由A,B关于点M(2,2)对称可知点B的坐标也满足此方程,所以直线l的方程为9x+16y-50=0.解法二设A(x1,y1),B(x2,y2).依题意知直线l的斜率一定存在,所以可设直线l的方程为y-2=k(x-2),即y=kx+(2-2k).由消去y并整理得(9+16k2)x2+64k(1-k)x+16[4(1-k)2-9]=0,所以由根与系数的关系可知x1+x2==4,解得k=-,所以直线l的方程为y-2=-(x-2),即9x+16y-50=0.解法三设A(x1,y1),B(x2,y2),则两式相减得9(x1+x2)(x1-x2)=-16(y1+y2)(y1-y2).由条件可知x1+x2=y1+y2=4,所以直线l的斜率k==-,所以直线l的方程为y-2=-(x-2),即9x+16y-50=0.[题后反思]以上的三种解法中解法一、解法二仅能用来解决圆锥曲线被直线所截得的弦的中点问题,解法三是解决直线和圆锥曲线交点问题的一般方法.变式已知中心在坐标原点,一个焦点为F(0,5)的椭圆被直线l:y=3x-2截得的弦的中点的横坐标为,求该椭圆的方程.(见学生用书P40) [规范板书]解法一由题意可知c=5,且椭圆的焦点在y轴上,所以可设椭圆的方程为+=1.把直线y=3x-2代入方程整理得10(b2+5)x2-12b2x-b2(b2+46)=0,所以x1+x2==1,解得b2=25,所以所求椭圆的方程为+=1.解法二设直线l与椭圆的两个交点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由题意可知,椭圆被直线截得的弦的中点的坐标为,并可设椭圆的方程为+=1(a>b>0).由两式相减得a2(x1+x2)(x1-x2)=-b2(y1+y2)(y1-y2).由条件可知x1+x2=1,y1+y2=-1,直线l的斜率k==3,所以a2=3b2.又a2-b2=c2=50,解得a2=75,b2=25,所以所求椭圆的方程为+=1.解法三由题意可知,椭圆被直线截得的弦的中点的坐标为,并可设椭圆的方程为+=1(a>b>0).因此可设直线l与椭圆的两个交点为(x,y),(1-x,-1-y),则两式相减得-b2(2y+1)+a2(2x-1)=0,即2a2x-2b2y-(a2+b2)=0,与直线3x-y-2=0是同一直线,所以==,所以a2=3b2.又a2-b2=c2=50,解得a2=75,b2=25,所以所求椭圆的方程为+=1.(例4)*【例4】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1的左、右顶点分别为A,B,右焦点为F,设过点T(t,m)的直线TA,TB与椭圆分别交于点M(x1,y1),N(x2,y2),其中m>0,y1>0,y2>0.(1)设动点P满足PF2-PB2=4,求点P的轨迹方程;(2)设x1=2,x2=,求点T的坐标;(3)设t=9,求证:直线MN必过定点D(1,0).[3][处理建议]问题(1)和(2)由学生自主完成;问题(3),引导学生理解直线MN必过定点D(1,0)的本质是M,N,D三点共线,从而引导学生通过联立方程组求出M,N的坐标,进而将问题解决.[规范板书]解(1)设P(x,y),由条件知A(-3,0),B(3,0),F(2,0).由PF2-PB2=4,得[(x-2)2+y2]-[(x-3)2+y2]=4,即2x-9=0,这就是点P的轨迹方程.(2)在+=1中,令x=2得y=±,因为y1>0,所以M;令x=得y=±,因为y2>0,所以N,所以直线AT的方程为y=(x+3),即y=x+1,直线BT的方程为y=-(x-3),即y=-x+.由解得所以点T的坐标为.(3)由题设知直线AT的方程为y=(x+3),直线BT的方程为y=(x-3).由得x1=-,y1=,所以M.由得x2=,y2=-,所以N.若x 1=x2,即-=,由m>0得m=2,且-==1,即M,N都在x=1上,此时直线MN经过定点(1,0).若x1≠x2,则直线MD的斜率k MD==,直线ND的斜率k ND==,得k MD=k ND,所以直线MN过D(1,0).[题后反思]本题通过曲线的方程求曲线的交点坐标,进而解决与点的坐标有关的问题.(变式)变式如图,在平面直角坐标系xOy中,过坐标原点的直线交椭圆+=1于P,A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连结AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为k.(1)当k=2时,求点P到直线AB的距离d;(2)对任意k>0,求证:PA⊥PB.[规范板书]解(1)当k=2时,直线AP的方程是y=2x.由消去y整理得x=±,因此P,A,于是C,故直线AB的方程为y=x-,即x-y-=0,所以点P到直线AB的距离d==.(2)直线AP的方程为y=kx,由得P,A,故C,所以直线AB的方程为y=.由消去y整理得(k2+2)x2--=0,即x+=0,所以B+,,k PB===-,所以k PA·k PB=-1,所以PA⊥PB.三、补充练习1.椭圆+=1的焦距为4.提示c==2.2.与圆(x-2)2+y2=4和圆(x+2)2+y2=1都外切的动圆的圆心P的轨迹方程为4x2-=1(x<0).提示设动圆的半径为r,则PC1=2+r,PC2=1+r,所以PC1-PC2=1.由双曲线的定义可知点P的轨迹是以C1,C2为两个焦点,实轴长为1的双曲线的左支.3.若方程+=1表示的曲线为双曲线,则实数k的取值范围是(-4,0).提示k(k+4)<0⇒k∈(-4,0).4.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,不与x轴垂直的直线与抛物线有两个不同的交点A,B.若线段AB的垂直平分线恒过点(6,0),且AF+BF=8,则此抛物线的方程为y2=8x.提示设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1++x2+=8,即x1+x2=8-p.又因为QA=QB,则(x1-6)2+=(x2-6)2+,即(x1-6)2+2px1=(x2-6)2+2px2,所以(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0.因为x1≠x2,所以x1+x2=12-2p.由12-2p=8-p,得p=4,故抛物线的方程为y2=8x.四、课堂小结1.对本章的知识要有系统的、全面的认识.2.巩固圆锥曲线的标准方程及其特点,圆锥曲线的性质.。