江苏省太仓市第二中学2014年九年级数学复习课件：一元二次方程的解法复习

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[名校联盟]江苏省太仓市第二中学九年级数学复习课件：一元二次方程复习课

一解为0，则m的值是
.
3.已知m是方程x2-x-2=0的一个根，那么
代数式m2-m =
.
4.一元二次方程ax2+bx+c=0有一根-2,则
4a+c b
的值为
.
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知识回顾
对应练习3：解下列方程 1.(x+5)(x-5)=7 2.x(x-1)=3-3x
zxxkw
3.x2-4x-4=0 4.3x2+x-1=0 5.x2-x-12=0 6.x2+5x+6=0 7.x2+15x+50=0 8.y2-7y-18=0 9.y2-2y-120=0 10.m2-10m+24=0
zxxkwLeabharlann 一元二次方程复习课学.科.网
知识回顾
一、一元二次方程的概念
一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0)
对应练习1：
1. 将一元二次方程(x-2)(2x+1)=3x2-5化为一般
形式 .其中二次项系数，常数项
.
2. 当m 时，方程mx2-3x=2x2-mx+2 是一元二次方程. 当m 时，方程(m2-4)x2-(m+2)x-3=0是一元一次方程.
D.50(1+x)2=182
谢谢！再见！
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,
b=
.
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知识回顾
五、一元二次方程与其他知识结合
1.一元二次方程与分式结合典型题:若分式 x2 2x 3 的值为零,
| x3|
则x的值是 .
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知识回顾
2.一元二次方程与几何图形结合
典型题:若一元二次方程x2-11x+28=0的两根恰

[名校联盟]江苏省太仓市第二中学九年级数学复习课件：一元二次方程期末复习(1)

x 10 2 61 18
x1

5 9
61
x2

5 9
61
(4) 2x2 5x 0 -------因式分解法
解： x(2x 5) 0
x 0 或 2x 5 0
x1 0
x2

5 2
选择适当的解法解下列方程
（1） 3x2－48= 0 （2） y2 + 2y － 24 = 0 （3） 2x2－6x－5= 0 （4） a (a－2)－5a2 = 0
回顾
（2）一元二次方程的一般形式是 _a_x2__bx__c _0_(a__0_) _。其中_a_x_2_叫二次项，
____a_是二次项系数；__bx___叫一次项,____b__是一次项系数；__c____叫常数
项。将一元二次方程(x-2)(2x+1)=3x2-5
化为一般形式 x2+.3x-3=0
2a
因式分解法 (x a)(x b) 0
根的判别式： b2
根与系数的关系：x1

4ac
x2

b a
, x1
x2

c a
应用
配方法求最值问题
实际应用
思想方法转化思想；配方法、换元法
回顾
（1）定义：只含有__1___个未知数，且未知数的最高次数是__2__的整式方程，叫做一元二次方程。
x2

1 2
先考虑开平方法,再用因式分解法;
最后才用公式法和配方法;
动动脑筋
选择最恰当的方法解下列一元二次方程 1、3x²-1=0 2、x（2x +3）=5（2x +3） 3、x²- 3 x +2=0 4、2 x ²-5x+1=0

[名校联盟]江苏省太仓市第二中学九年级数学复习课件：一元二次方程的解法(公式法)

【课堂测试】
• 1.用公式法解下列方程：
• （1）x2 3x 4 0
• （2） 2x2 x 1 0
• 2.两个连续正偶数的积等于168，求这两个偶数.
作业
,用公式法解下列方程
1). 2x2＋x－6＝0； 2). x2＋4x＝2； 3). 5x2 - 4x – 12 = 0 ;
1.x1 2; x2 4.
x b
b2 4ac .
2a
2a
x2
b
x
b
2
b
2
c.
求根公式:
a 2a 2a a
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
.
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
ax2 bx c 0 (a≠0)
zxxkw
求根公式:
x b b2 4ac 2a
b2-4ac= 52-4×3×(-2)
= 49 .
x=
=
=.
即 x1= -2 , x2= .
学习是件很愉快的事
b b2 4ac x
2a
2. 解方程： x2 7x 18 0
解：这里 a 1 b 7 c 18 zxxkw b2 4ac (7)2 41 (18) 121 0
x 7 121 7 11
21
2
即： x1 9 x2 2
用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值。
2、求出 b2 4ac 的值，并与0比较
特别注意:当 b2 4ac 0 时无解 3、代入求根公式 : x b b2 4ac
2a
4、写出方程的解： x1、x2
学习是件很愉快的事

苏教九年级数学上册《一元二次方程的解法》课件

三化：方程化为两个一元一次方程;
四解：写出方程两个解; Zx xk
➢回顾与思考
按下列要求解方程：
1 x2 1 60直接开平方法； 2 2 x2 5 x 3 0配方法 3 x2 2 x 1 公式法； 4 3y 1 2yy 1 因式分解法 .
① x2-3x+1=0 ② 3x2-1=0 ③ -3t2+t=0
④ x2-4x=2 ⑤ 2x2－x=0 ⑥ 5(m+2)2=8
⑦ 3y2-y-1=0 ⑧ 2x2+4x-1=0 ⑨ (x-2)2=2(x-2)
适合运用直接开平方法
；
适合运用因式分解法
；
适合运用公式法
；
适合运用配方法
.
➢归纳小结
①公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法” 等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）
1.2. 一元二次方程的解法复习
➢回顾与思考
1.我们已经学过了几种解一元二次方程的方法? 直接开平方法配方法公式法因式分解法 2.你能说出每一种解法的特点吗? Zx xk
➢回顾与思考
直接开平方法
方程的左边是完全平方式,右边是非负数;
即形如x2=k(k≥0)或 xh2k(k0)
xk xhk
➢回顾与思考
配方法
1.化1:把二次项系数化为1; Zx xk 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边同时加上一次项系数一半的平方;
4.变形:化成 xh2k(k0)
5.开平方：求解Zx xk
★一除、二移
1.先把一元二次方程化为一般形式: ax2+bx+c=0(a≠0).

江苏省太仓市第二中学2014年九年级数学复习课件：一元二次方程

x2+10x-900=0
2.为了绿化学校附近的荒山,某校学生连续
三年春季上山植树,已知这些学生在七年级时种了160棵,到了九年级增加到320棵.求这个年级两年来植树的平均增长率．分析：设这两年的年平增长率为x. 已知七年级时种了160棵,则八年级时种了160(1+x)棵; 同样,九年级时种的是八年级时的（1+x)倍，即160(1+x)(1+x)=160(1+x)2 棵．可得方程 160(1+x)2=320
例3、分别根据下列条件，写出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的一般形式(1)a=2，b=3，c=1； (2)二次项系数为5，一次项系数为－3，常数项为－1；
1.绿苑小区住宅设计,准备在每两幢楼房之间,开辟面积为900㎡的一块长方形绿地,并且长比宽多10m,则绿地的长和宽名为多少? 解: 设长方形绿地的宽为xm,则长方形绿地的长为(x+10)m. 根据题意得整理可得 x(x+10)=900
2
2
(2)2(x -1)=3y 1 2 (4) 2 － =0 x x 2 (6)9x =5－4x
2
下列各式中哪些是一元二次方程？试说明理由。 1) 3 x 2 5 x 3 不是 2) x 2 4 是 x2 2 2 2 不是 3) 1 x 4) x 4 x 2 不是 x 1 1 2 5) x 2 不是不是 6 ) 2 x 1 x
一次项系数是
，常数项是
。
，。其中
3、cx2-ax-b=0中二次项系数是一次项系数是，常数项是
系数包含符号
≠0
注意：
典型例题
• 例2.判断下列方程是否一元二次方程，若是，指出二次项系数a，一次项系数b和常数项c；若不是，说明理由。步骤：1、化简 • (1)x-7x2=0 2、降序排列（移动时连同符号一 2 • (2)y = - 4 起） • (3)3x(x+2)=11+2(3x-5) 3、把二次项化为正数 2 • (4) (x-1) +7x=x(x+1)

江苏省太仓市第二中学2014年九年级数学复习课件：一元一次方程及其解法复习

(四)等式的性质： 1、若a=b,则a±c=b±c
2、若a=b,则ac=bc. a/c=b/c (c≠0)
注：等式的性质是解方程的理论依据，但解方程时方程两边同乘的数也不能为0。
• （五）一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的次数是1，系数不为0，这样的整式方程叫做一元一次方程。
一元一次方程的最简形式： ax=b (a≠0 ) 一元一次方程的标准形式： ax+b=0 ( 其中x是未知数, a, b是已知数，并且a≠0 )
4
B．由 5 2 x，移项得x 5 2
x 1 2x 3 C．由 6 8 1去分母得 4x 1 32 x 3 1
D．由 3x 2 4x 5，去括号得3x 4x 2 5
2. 判断下列解方程的步骤是否正确，错误的改正过来（1）方程6x=-5x 移项得6x+5x=0( 对 ) （2）方程3(2x-3)=-2x 去括号得6x-3=-2x （错）（3）方程 y y 1 3 y 2 1
使得一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫一元一次方程的解(也叫一元一次方程的根)
基础练习(一)
1、巳知a=b,下列四个式子中,不正确的是（C ） A．2a=2b B．-2a=-2b C．a+2=b-2 D．a-2=b-2 2、下列四个式子中，一元一次方程是（Ｄ） 2 x y 1 A、x 1 0 B、 C、12 7 5 D、 x 0
解：去括号，得：
2x 4 12x 30 9 9x
移项，得：
2x 12x 9x 9 4 30 合并同类项，得： x 17
方程两边同除以-1，得： x 17

一元二次方程的解法(第5课时一元二次方程根的判别式)(课件)九年级数学上册课件(苏科版)

是( C )
A. k≤－1
B. k≥－1
C. k＜－1
D. k＞－1
4. 若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有实数根，则m的取值范围是
(D ) A. m＜1
B. m＜1且m≠0 C. m≤1
D. m≤1且m≠0
当堂检测
5.在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，若a与c异号，则方程( A )
第1章 · 一元二次方程
1.2 一元二次方程的解法
第5课时一元二次方程根的判别式
学习目标
1．熟练运用公式法求解一元二次方程； 2．理解一元二次方程根的判别式的意义，能运用根的判别式直接判断一元二次方程的根的情况.
复习回顾
一元二次方程的一般形式：
一元二次方程的求根公式：
复习回顾
用公式法解方程的一般步骤是什么？
(2)(x＋2)2＝2x＋4；
当堂检测
11.关于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0, 其根的判别式
的值为1，求m的值及该方程的根. 解：b2-4ac=[-(3m-1)]2-4m(2m-1)
=9m2-6m+1-8m2+4m =m2-2m+1 =(m-1)2 ∴ (m-1)2=1,即 m1＝2， m2＝0(舍去).
=-4<0，方程没有实数根.
新知巩固
不解方程，判断下列方程的根的情况.
(1)9x2+12x+4=0；
(2) 5y2+1=8y.
解：b2-4ac
解：化简得 5y2-8y+1=0.
=122-4×9×4
b2－4ac
=0，
=52-4×(-8)×1

[名校联盟]江苏省太仓市第二中学九年级数学复习课件：一元二次方程根的判别式

❖2.已知方程 2x 2 mx 1 0 的判别式的值是16，则m＝ _____．
3.如果关于x的一元二次方程 kx2-4x+2=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 K＜2且k≠0 ；
4.方程 9x 2 (k 6)x k 1 0
有两个相等的实数根，
则k＝______． 5．如果关于x的方程
讨论:
已知关于x的方程 kx2 3x 1 0
有两个实数根，求K的取值范围．
已知关于x的方程 kx2 3x 1 0
有实数根，求K的取值范围．
例5
在关于x的方程4x²-(k+2)x+k=1 中,当k为何值时，方程有两个相等的实数根？求出这两个实数根。
练习：关于x的方程
2 x 2+mx-2=2x-m，
8
(3).当△ 8k+9 <0
<, 0即，K方＜程有98没有实数根,
解题思路:
(1) 将方程化为标准形式:
(2)再算出△，再由题目给出的根的情况确定△的情况列出等式（或不等式） : (3)算出k的值或取值范围:
(4)回答问题
动脑筋
（ b2-4ac=4m+1 ）
关于x 的方程m2x2+(2m+1)x+1=0 有两个不相等的实数根，则m____14___且_____m___0 __ 变题1：关于x 的方程m2x2+(2m+1)x+1=0 有两个相等的实数根，则m_____1_________
∴原方程有两个不相等的实数根.
试一试：
不解方程判别下列方程的根的情况
1、x2-6x+1=0 有两个不相等的实数根 2、2x2-x=-2 没有实数根 3、9x2+4=-12x 有两个相等的实数根

江苏省太仓市第二中学2014年九年级数学复习课件：一元一次方程的解法(2)

系数化为1,得
x=5
即2x=10。
系数化为1，得 x=5
练习解方程 (1) 5 = 3x – 4
解：移项，得
(2) 8-5X=X+2
解:移项,得
5+4=3x
合并同类项，得 9=3x
8-2=X+5X
合并同类项,得 6= 6X
即3x=9。
系数化为1，得x=3
即 6X=6
系数化为1,得x=1
例2
解:
解方程
3x-4（2x-7）=3
去括号,得移项,得合并同类项,得化系数为1,得
3x-8x+28=3 3x-8x=3-28
-5 x=-25 X=5
方程变形中的去括号并不是等式变形，而是等号两边的代数式的变形，依据的是所熟悉的去括号法则和分配律，去括号的符号法则要熟练掌握。
例3:解方程2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x)
解： 2x+3-5-5x=3x-3 2x-5x-3x=-3+5-3
- 6x = - 1 ∴x= -1/6
2（x+3）-5（1-x）=3（x-1）
改正:
解： 2x+6-5+5x=3x-3 2x+5x-3x=-3+5-6
4x = - 4 ∴x= -1
解方程:
(1) 4(4-y) =3(y-3); (2) 2(2x-1)=1-(3-x);
(x=12)
(x=－4)
(3)-5x=70
(4)x-8=-1
(x=－14) (x=7)
(x=-7) (x=3)
(5) 2x = - 14
(6)-3x = - 9
解方程：
（1） 3x＋3＝2x＋7 （2） 2x＋6＝1

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⑷ 2x2-x-3=0 （运用因式分解法） ⑸ 2x2+7x-7=0 （运用公式法）
填空： ① x2-3x+1=0 ② 3x2-1=0 ③ -3t2+t=0 ④ x2-4x=2 ⑤ 2x2－x=0 ⑥ 5(m+2)2=8 ⑦ 3y2-y-1=0 ⑧ 2x2+4x-1=0
⑨ (x-2)2=2(x-2)
小结: 解一元二次方程的方法有： ④配方法
规律：当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单。
.公式法和配方法适用于任何一个一元
二次方程(b2-4ac≥0)
例1：给下列方程选择较简便的方法 ⑴ 5x2-3 2 x=0 （运用因式分解法）
⑵ 3x2-2=0 （运用直接开平方法） ⑶ x2-4x=6 （运用配方法）
作业: 1.选用适当的方法解下列方程: (1)2X2-5=0 (2)3X2=4X (3)4X2=0 (4)Y2-10Y-10=0 (5)16(X-1)2=9(2X+1)2
2
先考虑开平 2 2 (2)9( x 3) 4( x 2) 0; 方法,再用 1 因式分解法; 2 (3) 2 y 3 y; 最后才用公 2 2 式法和配方 (4) x 2 2 x 4 0 法;
练习：用最好的方法求解下列方程
1)（3x -2）² -49=0
2)（3x -4）² =（4x -3）²
====> 因式分解法因式分解法
ax2+bx+c=0 ====>
公式法（配方法）
2、公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法”、 “因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）
3、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法。

小结: 解一元二次方程的方法有： ②直接开平方法
(
)2=C
C≥0
规律：一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方法；
小结: 解一元二次方程的方法有： ③公式法 (化方程为一般式）
公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）
2
2.选择适当的方法解下列方程： ①（x-2)2=9 ② t2-4t=5
③
9(2m+3)2-4(2m-5)2=0
3、用适当方法解下列方程
① -5x2-7x+6=0 ② 2x2+7x-4=0
③ 4(t+2
3 )2=3
④ x2+2x-9999=0
1、 ax2+c=0 ax2+bx=0
====> 直接开平方法
2
5.开平方，求解
★一除、二移、三配、四化、五解.
用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程:
ax2+bx+c=0(a≠0).
2.b2-4ac≥0.
b b 4ac 2 x .b 4ac 0 . 2a
2

1.用因式分解法的条件是:方程左边能够分解,而右边等于零; 2.理论依据是:如果两个因式的积等于零那么至少有一个因式等于零. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程;
3)4y = 1 －
3 2
y²
练习：用最好的方法求解下列方程
1、（3x -2）² -49=0 解：（3x-2）² =49
3x -2=±7
27 x= 3
5 x1=3，x2= - 3
练习：用最好的方法求解下列方程
2)（3x -4）² =（4x -3）²
解：法一:
3x-4=±（4x-3）
3x -4=4x-3或3x-4=-4x+3 -x=1或 7x=7
四解-----写出方程两个解;
鲜花为你盛开，你一定行！
按要求解下列方程： 1.因式分解法：3(x-2)2=x(x-2)
2.配方法：x2-x=1
3.公式法： (y+1)(y-1)=2y
用多种方法解方程：2X2+13X-7=0
小结: 解一元二次方程的方法有：（方程一边是0，另一 ①因式分解法边整式容易因式分解）规律：若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法；若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法
x1 = -1， x2 =1
练习：用最好的方法求解下列方程
2)（3x -4）² =（4x -3）²
解：法二: (3x-4)² －(4x-3)2=0 (3x-4+4x-3)(3x-4x+3)=0 (7x-7)(-x-1)=0
7x-7=0或-x-1=0
x1 = -1， x2 =1
练习：用最好的方法求解下列方程 3 3)4y = 1 － y² 2
解：3y² ＋8y －2=0 b² － 4ac =64 －43(-2)
4 22 x1 , 3 88 4 22 x2 3
=88
8 X= 6
1.用适当的方法解下列方程：
1) x 3x
2
2)2( x 1) 98 0
2
3)( x 1)( x 3) 2 4) x 6 x 91 0
你学过一元二次方程的哪些解法?
开平方法公式法
配方法
因式分解法
你能说出每一种解法的特点吗?
方程的左边是完全平方式,右边是非负数;
2 即形如x =a(a≥0)
x1 a ,x2 a
1.化1:把二次项系数化为1;
“配方法”解方程的基本步骤：
2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边同加一次项系数一半的平方; 4.变形:化成( x + m ) = a
适合运用直接开平方法
③ -3t2+t=0
② 3x2-1=0 ⑥ 5(m+2)2=
适合运用因式分解法
适合运用公式法
2 ⑤ 2x2－x=0 ⑨ (x-2) =2
① x2-3x+1=0
2
⑦ 3y2-y-1=0
⑧ 2x2+4x-1=0
例2、选择适当的方法解下列方程
(1)(x 1) 2 x( x 1) 0;