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2, 得y
3 2
3 y1 1, y2 2
4,若（(x2 y2 )( x2 y2 2) 8, 求x2 y2
解：（x2 y2 )(x2 y2 2) 8
x2 y2 a, a(a - 2 8
a2 2a 8 0 (a 4)(a 2) 0 a1 4, a2 2
x2 y2 0 x2 y2 4
5, (x2 2x)2 3(x2 2x) 10 0, x
设：x2 2x a,则原方程变为当：x2 2x 5时,则原方程
a2 3a 10 0
4 20 15 0， 此方程无解
整理(a 5)(a 2) 0
当x2 2x 2时 x2 2x 2 0
a1 5, a2 2
解：两边开平方，得： 3x-4=±（4x-3） 3x -4=4x-3或3x-4= -4x+3 -x=1或 7x=7 x1=-1，x2=1
“配方法” 解方程的基本步骤： 1，化1: 把二次项系数化为1; 2.移项: 把常数项移到方程的右边; 3.配方: 方程两边同加一次项系数
一半的平方;
4.变形: 化成( x + m ) 2 = a
a2 b2 a2 b2 ab ab ab
a2 b2 a2 b2
ab
2b2 2b
ab
a
当a 2b 时，原式 2b （- 2b) ( 2b) 3
3
a
3
当a 2b 时，原式 2b （- 2b) ( 2b) 3
3
a
3
7,已知x2
4x
y2
6
y
13
0, 求
x 2y x2 y2
解：x2 y2 2x 4y 16 x2 2x 1 y2 4y 4 11 (x 1)2 ( y 2)2 11
无论x，y取任何数时，（x 1)2 0, ( y 2)2 0 (x 1)2 ( y 2)2 11 0
即：x2 y2 2x 4y 16的值总是正数.
(x a)2 0
x1 x2 a 或 x1 x2 a
3 十字相乘法
(1)(x 5)(x 2) 18 (2)x2 ( 3 2)x 6 0
解：整理原方程，得
x2－３x－28=0 解：原方程变形为
(x－7)(x+4)=0
(x 3)(x 2) 0
x－7=0或x+4=0 x 3 0或x 2 0,
解：x2 4x y2 6 y 13 0
(x2 4x 4) ( y2 6 y 9) 0
(x 2)2 ( y 3)2 0
x 2, y 3
x2y x2 y2
223 (2)2 32
8 13
8 13
8, 求证：无论x取任何实数， 多项式x2 y2 2x 4y 16的值总是正数
7x-7=0或-x-1=0
x1 = -1， x2 =1
1，公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用， 但不一定 是最简单的，因此在解方程时我们首先考 虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简 单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方 法）
2、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单 方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为 一般形式再选取合理的方法。
( 2 3 )2 - 4×1×3=0, 3.计算: b2-4ac的值;
x 2
3 21
0
23 2
3,
4.代入:把有关数值代入公 式计算;
即：x1= x2= 3 5.定解:写出原方程的根.
1.用因式分解法的条件是:方程左边能够 分解,而右边等于零;
2.理论依据是:如果两个因式的积等于零 那么至少有一个因式等于零.
练习：用最好的方法求解下列方程
解1:)（（33xx-2-2））²=²-4499=0解：2)（3x -4）²=（4x -3）² 3x -2=±7 法一: 3x-4=±（4x-3） 2 7 3x -4=4x-3或3x-4=-4x+3
3)4y = 1 － 解：3y²＋8y b²－ 4ac
3 y² 2
－2=0
3，得到形如： x = a. 的一元一次方程。
4，写出方程的解 x1= ?, x2= ?
例题讲解一
1、（3x -2）²-49=0
2、（3x -4）²=（4x -3）²
解：移项，得：（3x-2）²=49 两边开平方，得：3x -2=±7
所以： 3x 2 7或3x 2 7
∴ x1=3，x2= - 5 3
柏中 九年级
1，依据：平方根的意义，即
如果 x2=a , 那么x = a.
这种方法称为直接开平方法。
2，适合解：方程的左边能化为完全平方式, 右边是非负数的方程;
即能化为形如x2 p或 (mx n)2 p( p 0)
3，解题步骤：
1，将一元二次方程常数项移到方程的一边。 2，利用平方根的意义，两边同时开平方。
提公因式得
(3x 5)(x 2) 0
3x 5 0或x 2 0
切记：方程两
边不要除以相同 的因式。
x1
5 3
x2 2
2 平方差公式与完全平方公式
形如 x2 a2 0 运用平方差公式得：
x a 0或x a 0 (x a)(x a) 0
x1 a x2 a
形如 x2 2ax a2 0 的式子运用完全平方公式得：
5.开平方，求解
★一除、二移、三配、四化、五解.
例题讲解二
用配方法解一元二次方程：
2x2-9x+8=0
解 : x2 9 x 4 0. 1.化1:把二次项系数化为1;
x2
9
2 x
4.
2.移项:把常数项移到方程的右边;
x2
9
2
x
9 2
9
2
4.
3.配方:方程两边都加上一次项
2 4 4 系数绝对值一半的平方;
1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0).
2.b2-4ac≥0.
x b
b2 2a
4ac
.b2
4ac
0
.
例题讲解三
例：x2 3 2 3x
解：x2 2 3x 3 0 1.变形:化已知方程为一般形式;
a=1, b= 2 3 , c= 3. 2.确定系数:用a,b,c写出各项系数; ∵b2 - 4ac=
x 9 2 17 . 4 16
4.变形:方程左边分解因 式,右边合并同类;
x 9 17 . 44
5.开方:两边开平方;
x 9 17 . 44
6.求解:解一元一次方程;
9 17 9 17 x1 4 ; x2 4 .
7.定解:写出原方程的解.
用公式法解一元二次方程的前提是:
x=
x1=3，x2=
3 －
5 3
-x=1或 7x=7 x1 = -1， x2 =1
=64 －43(-2) =88
法二: (3x-4)²－(4x-3)2=0 (3x-4+4x-3)(3x-4x+3)=0
(7x-7)(-x-1)=0
X= 8 88 6
4 22 4 22 x1 3 , x2 3
x1=7,x2= -4
x1 3, x2 2.
1、填空： 二，应用与强化
① x2-3x+1=0 ② 3x2-1=0
③ -3t2+t=0
④ x2-4x=2
⑤ 2x2－x=0
⑥ 5(m+2)2=8
⑦ 3y2-y-1=0 ⑧ 2x2+4x-1=0 ⑨ (x-2)2=2(x-2)
适合运用直接开平方法 ② 3x2-1=0
⑥ 5(m+2)2=8
适合运用因式分解法 ③ -3t2+t=0 ⑤ 2x2－x=0 ⑨ (x-2)2=2(x-2)
适合运用公式法
① x2-3x+1=0 ⑦ 3y2-y-1=0 ⑧ 2x2+4x-1=0
适合运用配方法
④ x2-4x=2
规②律公：式①法一虽般然地是，万当一能元的二，次对方任程一何次一项元系二数次为0方时程（都ax2适+c用=0），，
12 13
1 (a b) 1 (a b)
3, 解方程： (2y 1)2 3(2y 1) 2 0
换元法
解 : 设2 y 1 a,则原方程变为：
a2 3a 2 0
(a 1)(a 2) 0
a1 1 a2 2
当a1 1时,2 y 1 1, 得y 1
当a2
2时,2 y
1
3，因式分解法解一元二次方程的一般步骤:
一移-----方程的右边=0;
二分-右--化--零方程的左左分边解因式分解; 两因式 各求解
三化-----方程化为两个一元一次方程;
四解-----写出方程两个解;
例题讲解四
1 提公因式法
(1)3x(x 2) 5(x 2)
解：移项，得
3x(x 2) 5(x 2) 0
1, 解方程 x2 ( 3 2)x 6 0 解：（x 2)(x 3) 0
x 2 0x 3 0
x1 2x2 3 2, 解关于x的方程 x2 2ax a2 b2 0
解：[x (a b)][x (a b)] 0 x (a b) 0或x (a b) 0 x1 a b, x2 a b.
4 8 12
x 2 12 1 3 2
x1 3 1, x2 1 3
7,已知9a2 4b2 0， 求代数式 a b a2 b2 的值
b a ab
解：9a2 4b2 0， （3a 2b)(3a 2b) 0
3a 2b,3a 2b
a1
2b 3
, a2
2b 3
a b a2 b2 b a ab
应若但选一不用次一直项定接系开数是平和最方常简法数单；项的若都常不，数为因项0此(为a在x02（+解bax方x+2+c程b=x0时=）0我），，们先应首化选为先用一因考般式式虑分，解看法； 一能边否的整应式用是“否容直易接因式开分平解方，若法容”易，、宜“选因用因式式分分解解法法，”不然等选 用简公单式法方；法不，过当若二不次项行系，数再是1考，且虑一公次式项系法数（是偶适数当时也，用可配考方法 也虑较配简单方。法）
