2019-2020学年高中数学 第三章 概率 几何概型提高训练 新人教A版必修3.doc

2019-2020学年高中数学第三章概率测评B 新人教A版必修3 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2014辽宁高考)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是( )A. B.C. D.解析:所求概率为,故选B.答案:B2.(2014陕西高考)从正方形4个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为( )A. B.C. D.解析:设正方形的四个顶点为A,B,C,D,中心为O,从这5个点中任取2个点,一共有10种不同的取法:AB,AC,AD,AO,BC,BD,BO,CD,CO,DO,其中这2个点的距离小于该正方形边长的取法共有4种:AO,BO,CO,DO.因此由古典概型概率计算公式,可得所求概率P=,故选B.答案:B3.(2013陕西高考)对一批产品的长度(单位:毫米)进行抽样检测,下图为检测结果的频率分布直方图.根据标准,产品长度在区间[20,25)上为一等品,在区间[15,20)和[25,30)上为二等品,在区间[10,15)和[30,35]上为三等品.用频率估计概率,现从该批产品中随机抽取1件,则其为二等品的概率是( )A.0.09B.0.20C.0.25D.0.45解析:由频率分布直方图知识可知:在区间[15,20)和[25,30)上的概率为0.04×5+[1-(0.02+0.04+0.06+0.03)×5]=0.45.答案:D4.(2014湖南高考)在区间[-2,3]上随机选取一个数X,则X≤1的概率为( )A. B.C. D.解析:由几何概型的概率公式可得P(X≤1)=,故选B.答案:B5.(2014湖北高考)随机掷两枚质地均匀的骰子,它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1,点数之和大于5的概率记为p2,点数之和为偶数的概率记为p3,则( )A.p1<p2<p3B.p2<p1<p3C.p1<p3<p2D.p3<p1<p2解析:由题意可知,p1=,p2=1-p1=,p3=.故选C.答案:C6.(2013江西高考)集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B中各任意取一个数,则这两数之和等于4的概率是( )A. B.C. D.解析:从A,B中各任取一个数有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共6种情况,其中两个数之和为4的有(2,2),(3,1),故所求概率为.故选C.答案:C7.(2013湖南高考)已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P,使△APB的最大边是AB”发生的概率为,则=( )A. B.C. D.解析:如图,设AB=2x,AD=2y.由于AB为最大边的概率是,则P在EF上运动满足条件,且DE=CF=x,即AB=EB或AB=FA.∴2x=,即4x2=4y2+x2,即x2=4y2,∴.∴.又∵,故选D.答案:D8.(2013安徽高考)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被录用的概率为( )A. B.C. D.解析:五人录用三人共有10种不同方式,分别为:{丙,丁,戊},{乙,丁,戊},{乙,丙,戊},{乙,丙,丁},{甲,丁,戊},{甲,丙,戊},{甲,丙,丁},{甲,乙,戊},{甲,乙,丁},{甲,乙,丙}.其中含甲或乙的情况有9种,故选D.答案:D9.(2013课标全国Ⅰ高考)从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )A. B.C. D.解析:由题意知总事件数为6,且分别为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),满足条件的事件数是2,所以所求的概率为.答案:B10.(2014湖北高考)由不等式组确定的平面区域记为Ω1,不等式组确定的平面区域记为Ω2,在Ω1中随机取一点,则该点恰好在Ω2内的概率为( )A. B.C. D.解析:如图,由题意知平面区域Ω1的面积=S△AOM=×2×2=2.Ω1与Ω2的公共区域为阴影部分,面积S阴=-S△ABC=2-×1×.由几何概型得该点恰好落在Ω2内的概率P=.故选D.答案:D二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.(2014课标全国Ⅰ高考)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为.解析:记两本数学书分别为a1,a2,语文书为b,则3本书一共有6种不同的排法:a1a2b,a1ba2,a2a1b,a2ba1,ba1a2,ba2a1,其中2本数学书相邻的排法有4种:a1a2b,a2a1b,ba1a2,ba2a1,故所求概率为.答案:12.(2013年福建高考)利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a,则事件“3a-1<0”发生的概率为.解析:由3a-1<0,得a<.∵0≤a≤1,∴0≤a<.根据几何概型知所求概率为.答案:13.(2014广东高考)从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母,则取到字母a的概率为.解析:基本事件总数有10个,即(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),其中含a的基本事件有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),共4个,故由古典概型知所求事件的概率P=.答案:14.(2014浙江高考)在3张奖券中有一、二等奖各1张,另1张无奖.甲、乙两人各抽取1张,两人都中奖的概率是.解析:甲、乙两人各抽取1张,一共有3×2=6种等可能的结果,两人都中奖的结果有2×1=2种,由古典概型计算公式可得所求概率为P=.答案:15.(2014江苏高考)从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是.解析:从1,2,3,6这4个数中随机地取2个数,不同的取法为{1,2},{1,3},{1,6},{2,3},{2,6},{3,6}共6个基本事件,其中乘积为6的有{1,6},{2,3}两个基本事件,因此所求事件的概率为P=.答案:三、解答题(本大题共4小题,共25分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(本小题满分6分)(2014天津高考)某校夏令营有3名男同学A,B,C和3名女同学X,Y,Z,其年级情况如下表:一年级二年级三年级男同学A B C女同学X Y Z现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同).(1)用表中字母列举出所有可能的结果;(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件M发生的概率.解:(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{X,Z},{ Y,Z},共15种.(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y},共6种.因此,事件M发生的概率P(M)=.17.(本小题满分6分)(2014陕西高考)某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:赔付金额(元) 0100200300400车辆数(辆) 50130 100 150 120(1)若每辆车的投保金额均为2800元,估计赔付金额大于投保金额的概率;(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4000元的概率.解:(1)设A表示事件“赔付金额为3000元”,B表示事件“赔付金额为4000元”,以频率估计概率得P(A)==0.15,P(B)==0.12.由于投保金额为2800元,赔付金额大于投保金额对应的情形是3000元和4000元,所以其概率为P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”,由已知,样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000=100辆,而赔付金额为4000元的车辆中,车主为新司机的有0.2×120=24辆.所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为=0.24,由频率估计概率得P(C)=0.24.18.(本小题满分6分)(2014福建高考)根据世行2013年新标准,人均GDP低于1035美元为低收入国家;人均GDP为1035~4085美元为中等偏下收入国家;人均GDP为4085~12616美元为中等偏上收入国家;人均GDP不低于12616美元为高收入国家.某城市有5个行政区,各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表:行政区区人口占城市人口比例区人均GDP(单位:美元)A 25% 8 000B 30% 4 000C 15% 6 000D 10% 3 000E 20% 10000(1)判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准;(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个,求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率.解:(1)设该城市人口总数为a,则该城市人均GDP为=6400.因为6400∈[4085,12616),所以该城市人均GDP达到了中等偏上收入国家标准.(2)“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是:{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{B,C},{B,D},{B,E},{C,D},{C,E},{D,E},共10个.设事件“抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准”为M,则事件M包含的基本事件是:{A,C},{A,E},{C,E},共3个,所以所求概率为P(M)=.19.(本小题满分7分)(2014山东高考)海关对同时从A,B,C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此种商品的数量(单位:件)如下表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区A B C数量51510(1)求这6件样品中来自A,B,C各地区商品的数量;(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测,求这2件商品来自相同地区的概率.解:(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是,所以样本中包含三个地区的个体数量分别是:50×=1,150×=3,100×=2.所以A,B,C三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.(2)设6件来自A,B,C三个地区的样品分别为:A;B1,B2,B3;C1,C2.则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为:{A,B1},{A,B2},{A,B3},{A,C1},{A,C2},{B1,B2},{B1,B3},{B1,C1},{B1,C2},{B2,B3},{B2,C1},{B2,C2},{ B3,C1},{B3,C2},{C1,C2},共15个.每个样品被抽到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.记事件D:“抽取的这2件商品来自相同地区”,则事件D包含的基本事件有{B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},{C1,C2},共4个.所以P(D)=,即这2件商品来自相同地区的概率为.。

几何概型（提高训练）1.某人午觉醒来,发觉表停了,他打开收音机,想听电台报时,假定电台每小时报时一次，则他等待的时间短于10 min 的概率为___________.答案: 61解析:因为电台每小时报时一次,我们自然认为这个人打开收音机时处于两次报时之间,例如(13:00,14:00),而且取各点的可能性一样,要遇到等待时间短于10 min,只有当他打开收音机的时间正好处于13:50至14:00之间才有可能,相应的概率是6010=61. 2.如图，在直角坐标系内，射线OT 落在60°的终边上，任作一条射线OA ，则射线落在∠xOT 内的概率是________.答案：61解析：记事件A 为“射线OA 落在∠xOT 内”，因为∠xOT =60°，周角为360°，故P （A ）=6136060=︒︒. 3.如图在半径为1的半圆内，放置一个边长为21的正方形ABCD ，向半圆内任投一点，该点落在正方形内的概率为_________. 答案：π21解析：S 正=（21）2=41，S 半圆=21π×12=2π，由几何概型的计算公式得P =π212π41==半圆正S S . 4.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率.答案:0.87934解析:这是一个几何概率问题.设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y ，A 为“两船都需要等待码头空出”，则0≤x ≤24,0≤y ≤24,要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早到达2 h 以上,即y －x ≥1或x －y ≥2.故所求事件构成集合A ={(x ,y ):y －x ≥1或x －y ≥2,x ∈[0,24],y ∈[0,24]}.A 为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形.由几何概率定义， 所求概率为P (A )=的面积的面积ΩA =2222421)224(211)(24⨯-+⨯－=5765.506=0.87934. 5.在线段[0,a ]上随机地取三个点，试求由点O 至三个点的线段能够成一个三角形的概率. 答案：0.5解析:令A =“三线段能构成一个三角形”.设三线段各长为x ,y ,z ,则每一个试验结果可表示为:(x ,y ,z ),0≤x ,y ,z ≤a ,所有可能的结果组成集合Ω={(x ,y ,z )|0≤x ,y ,z ≤a}.因为三线段构成一个三角形的条件是:x +y >z,x +z >y ,y +z >x ;所以事件A 构成集合A ={(x ,y ,z )|x +y >z ,x +z >y ,y +z >x ,0≤x ,y ,z ≤a }，表示一个以O 、A 、B 、C 、D 为顶点的六面体，其体积等于a 3－3·31·22a ·a =21a 3. 从而P (A )=的体积的体积ΩA =321aa =0.5.6.将长为l 的棒随机折成3段，求3段构成三角形的概率.答案：41解析:设A =“3段构成三角形”，x ,y 分别表示其中两段的长度，则第3段的长度为l －x －y .则试验的全部结果可构成集合Ω={(x ,y )|0<x <l,0<y <l,0<x +y <l}，要使3段构成三角形，当且仅当任意两段之和大于第3段，即x +y >l －x －y ⇒x +y >21, x +l －x －y >y ⇒y <21, y +l －x －y >x ⇒x <21.故所求结果构成集合A ={(x ,y )|x +y >21,y <21,x <21}.由图可知，所求概率为P (A )=的面积的面积ΩA =2)2(2122l l ⋅=41.。

均匀随机数的产生A 级基础坚固一、选择题1．以下对于几何概型的说法中，错误的选项是()A．几何概型是古典概型的一种，基本事件都拥有等可能性B．几何概型中事件发生的概率与它的地址或形状没关C．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无量多个D．几何概型中每个结果的发生都拥有等可能性剖析：几何概型和古典概型是两种不同样的概率模型．答案： A2．有以下四个游戏盘，将它们水平放稳后，向上面扔一颗小玻璃球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()剖析：A 中奖概率为38， B 中奖概率为14， C 中奖概率为13， D 中奖概率为13.答案：A3．在400 毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出 2 毫升水样放到显微镜下察看，则发现大肠杆菌的概率为()A．B．C．D．答案：D4．在2016 年春节期间， 3 路公交车由原来的每15 分钟一班改为现在的每10 分钟一班，在车站停 1 分钟，则乘客抵达站台立刻乘上车的概率是()1119A.10B.9C. 11D.10剖析：记“乘客抵达站台立刻乘上车”为事件A，则 A 所占时间地区长度为 1 分钟，1而整个地区的时间长度为10 分钟，故由几何概型的概率公式，得P( A)＝ 10.答案： A5．在腰长为 2 的等腰直角三角形内任取一点，则该点到此三角形的直角极点的距离小于 1的概率为 ()πππ π A.16B.8 C.4D. 2剖析：该点到此三角形的直角极点的距离小于1，则此点落在以直角极点为圆心、1114ππ为半径的 4圆内．所以所求的概率为 1＝ 8 .2×2×2答案： B二、填空题116．已知函数 f ( x ) ＝ log 2x ， x ∈ 2，2 ，在区间2，2 上任取一点 x 0，则使 f ( x 0) ≥ 0的概率为 ________．剖析：欲使 f ( x ) ＝log x ≥0，2则x ≥ ，而 x ∈ 1，2 ，所以 x 0 ∈[1 ， 2] ，1 22－1 2进而由几何概型概率公式知所求概率P ＝1＝ 3.2－22答案： 37．已知正三棱锥-的底面边长为4，高为 3，在正三棱锥内任取一点，使得S ABCPP- ABC<1 S- ABC的概率是 ________.V2VP- ABC1S- ABC0 0 0VS-A0B0C0剖析：由 V <2V知，P 点在三棱锥 S - ABC 的中截面 A B C 的下方，P ＝ 1－ VS-ABC17＝ 1－ 8＝ 8.答案：788．有一根长度为 3 m 的绳子，拉直后在随意地址剪断，那么剪得的两段的长度都不小于 1 m 的概率是 ________．剖析：从每一个地址剪断都是一个基本事件，剪断地址能够是长度为 3 m 的绳子上的随意一点．如上图，记“剪得两段的长都不小于 1 m”为事件A.把绳子三均分，于是当剪断位1置处在中间一段上时，事件 A 发生．由于中间一段的长度等于绳长的3，于是事件A发生1的概率 P( A)＝3.答案：1 3三、解答题9．一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m、宽 20 m 的长方形，求现在海豚嘴尖离岸边不高出 2 m 的概率．解：以以下列图所示，四边形ABCD是长30 m、宽20 m的长方形．图中的阴影部分表示事件 A“海豚嘴尖离岸边不高出 2 m”．问题可化为求海豚嘴尖出现在阴影部分的概率．由于 S 长方形ABCD＝30×20＝600(m2)，S长方形A′B′C′D′＝(30－4)×(2 0－4)＝416(m2)，所以 S 阴影部分＝ S长方形ABCD－ S 长方形A′B′C′D′＝600－416＝184(m2)，18423依照几何概型的概率公式，得P( A)＝600＝75≈0.31.10. 如图，在等腰直角三角形ABC中，过直角极点C在∠ ACB内部作一条射线CM，与线段 AB交于点 M.求 AM<AC的概率．解：这是几何概型问题且射线CM在∠ ACB内部．在 AB上取 AC′＝ AC，∠ ACC′＝180°－ 45°＝ 67.5 °.2A＝{在∠ ACB内部作一条射 CM，与段 AB交于点 M，AM<AC}，所有可能果的地区角度 90°，事件A的地区角度 67.5 °，67.5 3所以 P(A)＝90＝4.B能力提升1． (2016 ·全国Ⅱ卷 ) 从区 [0 ， 1] 随机抽取2n个数x1，x2，⋯，x n，y1，y2，⋯，y n，组成 n 个数( x1， y1)，( x2， y2)，⋯，( x n， y n)，其中两数的平方和小于 1 的数共有 m个，用随机模的方法获取的周率π 的近似()4n2n4m2mA. mB. mC.nD. n答案： C2．已知直y＝ x＋ b 的横截距在[－2，3]内，直在y 上的截距 b 大于1的概率是 ________．剖析：所有的基本事件组成的区度3－( －2) ＝5，因直在y 上的截距 b 大于1，所以直横截距小于－1，所以“直在y 上的截距 b 大于1”包含的基本事件组成的区度－1－ ( － 2)1＝ 1，由几何概型概率公式得直在y 上的截距 b 大于1的概率 P＝5.答案：1 53.如所示，已知 AB是半 O的直径， AB＝8，M，N，P是将半周四均分的三个分点．(1)从 A， B， M， N， P 5个点中任取3个点，求3个点成直角三角形的概率；(2)在半内任取一点 S，求△ SAB的面大于8 2的概率．解：(1) 从A，B，M，N，P这 5 个点中任取 3 个点，一共能够组成10 个三角形：△ABM，△ABN，△ ABP，△ AMN，△ AMP，△ ANP，△ BMN，△ BMP，△ BNP，△ MNP，其中是直角三角形的只有△ ABM，△ ABN，△ ABP3个，所以组成直角三角形的概率为3 10 .(2)以以下列图所示，连结 MP，取线段 MP的中点 D，则 OD⊥MP.易求得 OD＝2 2.1当点 S 在线段 MP上时，S△ABS2×8＝8 2，＝2×2所以只有当点S 落在阴影部分时，△的面积才能大于 8，而S阴影＝S扇形 MOP－△SAB2SOMP 1π212＝4π － 8，所以由几何概型的概率公式得△SAB的面积大于8 2的＝2·2·4 －2×4 4π－ 8π －2概率为8π＝2π.。

同步训练(9)几何概型1、如图,在矩形区域ABCD 的,A C 两点处各有一个通信基站,假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无信号的概率是( )A. 14π-B. π12-C. 22π-D. π42、从一批羽毛球产品中任取一个,其质量小于4.8g 的概率为0.3,质量小于4.85g 的概率为0.32,那么质量在[)4.8,4.85(g)范围内的概率是( )A. 0.62B. 0.38C. 0.02D. 0.683、如图是一个中心对称的几何图形,已知大圆半径为2,以半径为直径画出两个半圆,在大圆内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为( )A.18B.π8C.14D.124、一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )A.481πB. 81481π-C. 127D. 8275、有四个游戏盘,将它们水平放稳后,在上面扔一颗小玻璃球,若小球落在阴影部分,则可中奖,小明要想增加中奖机会,应选择的游戏盘是( )A.B.C.D.6某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.B.C.D.7、某人手表停了,他打开电视机,想利用电视机上整点显示时间来校正他的手表,则他等待不超过一刻钟的概率为( )A. 1 6B. 1 5C. 1 4D. 1 38、已知函数3221()13f x x ax b x =+++,若a 是从1,2,3三个数中任取的一个数,b 是从0,1,2三个数中任取的一个数,则该函数有两个极值点的概率为( ) A.79 B. 13C. 59D. 239、已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ,使APB ∆的最大边是AB ”发生的概率为12,则AD AB = ( )A. 12 B. 14C.2D.410、若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中,其中2AB =,1BC =,则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )A.2πB. 4πC. 6πD. 8π11、如图所示,墙上挂有一块边长为2的正方形木板,它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心,半径为1的扇形.某人向此木板投镖,假设每次都击中木板,且击中木板上每一个点处的可能性都一样,则击中阴影部分的概率为__________.12、已知地铁列车每10分钟一班,在车站停1分钟,则乘客到达站台立即乘上车的概率是__________.13、有边长为2a的正方形及其内切圆,随机向正方形内丢一粒豆子,则豆子落在圆与正方形所夹部分的概率是__________.14、在等腰直角三角形ABC中,在斜边AB上任取一点M,则AM的长小于AC的长的概率是__________.15、公共汽车站每隔5min有一辆汽车通过,乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的,则乘客候车不超过3min的概率是__________.16、已知米粒等可能地落入如图所示的四边形ABCD内,如果通过大量的试验发现米粒落入BCD∆内的频率稳定在49附近,那么点A和点C到直线BD的距离之比约为__________.17、某校早上8:00开始上课,假设该校学生小张与小王在早上7:307:50~之间到校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早5分钟到校的概率为__________.(用数字作答)18、小波通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机地往单位圆内投掷一点,若此点到圆心的距离大于12,则周末去看电影;若此点到圆心的距离小于14,则去打篮球;否则,在家看书.则小波周末不在家看书的概率为________.19、如图,在边长为1的正方形中,随机撒1000粒豆子,有180粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为__________.20、如图,矩形的长为6,宽为3,在矩形内随机地撒了300 颗黄豆,数得落在阴影部分的黄豆数为125颗,则我们可以估计出阴影部分的面积约为__________.答案以及解析1答案及解析： 答案：A解析：依题意知,有信号的区域面积为π2=42π⨯,矩形面积为2,故无信号的概率2212π4πP -==-.2答案及解析： 答案：C解析：利用对立事件的概率公式可得0.320.30.02-=.3答案及解析： 答案：C解析：由题意可知，为几何概型， 阴影部分的面积为221121242⎛⎫⋅π⋅-⋅π⋅⨯=π ⎪⎝⎭，概率2124π=π⋅.4答案及解析： 答案：C解析：由已知条件可知,蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行,结合几何概型可得蜜蜂“安全飞行”的概率为3311327p ==.5答案及解析： 答案：A解析：根据几何概型的概率公式可得,A 图中奖的概率38P =,B 图中奖的概率2184P ==,C 图中奖的概率2163P ==,D 图中奖的概率13P =,则概率最大的为A,故选A.6答案及解析： 答案： B解析： 如图所示,画出时间轴: 小明到达的时间会随机的落在图中线段中, 而当他的到达时间落在线段或时,才能保证他等车的时间不超过10分钟,根据几何概念,所求概率.7答案及解析：答案：C解析：他只有在一个小时的后15分钟内打开电视，等待时间才不会超过1刻钟，所以151604P ==.8答案及解析： 答案：D解析：求导可得22'()2f x x ax b =++ 要满足题意需2220x ax b ++=有两个不等实根, 即224()0a b ∆=->,即a b >,又,?a b 的取法共有339⨯=种,其中满足a b >的有()()()1,0,2,0,2,1,()()()3,0,3,1,3,2共6种, 故所求的概率为6293P ==.9答案及解析： 答案：D解析：记“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ,使APB ∆的最大边是AB ”为事件M ,试验的全部结果构成的长度即为线段CD ,构成事件M 的长度为线段CD 其一半,根据对称性,当14PD CD =时, AB PB =,如图.设4CD x =,则AF DP x ==,3BF x =,再设AD y =,则PB ==4x =,解得44y x =,从而4AD AB =故选D.考点:几何概型.10答案及解析： 答案：B解析：设“质点落在以AB 为直径的半圆内”为事件A ,则2112124ππ⨯⨯==⨯.11答案及解析：答案：正方形面积为4,阴影部分的面积为4π-,故所求概率为4ππ144-=-. 解析：12答案及解析： 答案：110解析：总的时间间隔为10分钟,而不是11分钟.13答案及解析： 答案：4π4- 解析： 正方形的面积是24a , 其内切圆的面积是2πa ,圆与正方形所夹部分的面积为()24πa -,所以豆子落在圆与正方形所夹部分的概率是2224π4π44a a a --=.14答案及解析：解析：不妨设直角边长为1,则AB,故AM 的长小于AC=15答案及解析： 答案：0.6解析：总的事件的时间长度为5min ,乘客候车不超过3min ,故所求概念为30.65=.16答案及解析： 答案：54解析：设米粒落入BCD ∆内的频率为1P ,米粒落入BAD ∆内的频率为2P ,点C 和点A 到直线BD 的距离分别为12,d d . 根据题意: 21114599P P =-=-=. 又因为所以221154P d P d ==.17答案及解析： 答案：932解析：设小张和小王到校时间分别为y 和x ,则3050{30505x y y x ≤≤≤≤-≥,则满足条件的区域如图中阴影部分所示.故所求概率1151592202032P ⨯⨯==⨯.18答案及解析： 答案：1316解析：∵去看电影的概率2122113214,P πππ⎛⎫⨯-⨯ ⎪⎝=⎭⨯=去打篮球的概率222114116P ππ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭==⨯∴不在家看书的概率为311341616P =+=19答案及解析： 答案：0.18解析：设阴影部分的面积为S ,则,所以180111000S =⨯, ∴0.18S =.20答案及解析： 答案：152解析：阴影部分的面积12515(63)3002S ≈⨯⨯=.。

3.3.1 几何概型[A 基础达标]AxxBxxAx，则事件，在集合|2<|－1<中任取一个元素<5}，<3}1．已知集合＝＝{{xAB”的概率为( ∈∩“)11B. A. 3642D. C. 53xxAB解析：选A.∩，＝{<3}|2<BAA－1)＝6，集合1∩，表示的区间长度为3－2＝因为集合(表示的区间长度为5－1BAx A.∩，故选∈”的概率为所以事件“6如图是一个中心对称的几何图形，已知大圆半径为)2．(2019·湖南省张家界市期末联考)2，以半径为直径画出两个半圆，在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为(π1B. A.8811C. D. 24122SS′＝π·4π；阴影部分的面积为2解析：选D.由题意知，大圆的面积为·＝π2＝2S′π12P＝π，则所求的概率为＝＝.故选D. ＝－π·1 Sπ44O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆的圆柱，点1、高为23．有一个底面圆的半径为PPO的距离大于1的概率为，则点( 到点 )柱内随机取一点12B. A. 3331D. C. 422POV＝π×1×的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积2B.解析：选先求点＝到点圆柱1423OVPO到点则点π1π＝1，2π以为球心，为半径且在圆柱内部的半球的体积××＝.半球332．2π3211OP.－＝的距离大于1的概率为的距离小于或等于1的概率为＝，故点1到点3323πx，≤0≤2??DD内随机取一个点，则此点到坐标．设不等式组表示的平面区域为在区域.4?y2≤0≤??) ( 原点的距离大于2的概率是2－ππ B. A.24π－π4 C.D.46D，则点应该在D.试验的全部结果是平面区域2，由于点到坐标原点的距离大于解析：选222yx圆2＋的外部．＝D的点在以坐标图略()易知区域2是边长为2的正方形，到坐标原点的距离大于画草图122×2×2－×π4π－4.＝原点为圆心，2为半径的圆的外部，所以所求的概率为42×22Dxxfx上随机取[－)4＝6＋－，的定义域为5].5．(2017·高考江苏卷)记函数(在区间Dxx．的概率是一个数________，则∈5）3－（－22Dxxx.＝，解得－2≤3]≤3，则，则所求概率为＝[－2解析：由6＋－，≥09）5－（－45 答案：933BA～，它们一昼夜(0的水流速度都是1 m6．水池的容积是20 ，水池里的水龙头m和/h ________．24 h)内随机开启，则水池不溢水的概率为BA两水龙头开启的时间，，解析：如图所示，横坐标和纵坐标分别表示24×24，则阴影部分是满足不溢水的对应区域，因为正方形区域的面积为12020××2251P.阴影部分的面积是×20＝，所以所求的概率＝×2072×2424225 答案：72届国际数24．(2019·福建省三明市质量检测)如图是在北京召开的第7它是由正学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，EFGHABCD现设直角三中四个全等的直角三角形和一个小正方形方形构成．ABCD内随机取一点，则此点取自4，在正方形和角形的两条直角边长为3EFGH ________小正方形内的概率为．22aABCD＝4＋3＝的边长为所以正方形，4和3因为直角三角形的两条直角边长为解析：5，12SaSSS＝25－4××3×，所以4＝＝－41所以，＝＝25ABFEFGHABCDABCD△正方形正方形正方形2S EFGH正方形PABCDEFGH＝＝因此，在正方形内的概率为内随机取一点，则此点取自小正方形S ABCD正方形1. 251 答案：25的均匀方格的大桌子．在一个大型商场的门口，有一种游戏是向一个画满边长为5 cm8的硬币，如果硬币完全落入某个方格中，则掷硬币者赢得一瓶洗发水，请问上掷直径为2 cm 随机掷一个硬币正好完全落入方格的概率有多大？的正方形形成的区域表示试验的所有基本解：如图，边长为5 cm为边长的正方形区域事件构成的区域，当硬币的中心落入图中以3 cm时，则试验成功，所以，随机地投一个硬币正好完全落入方格的概率为293P. ＝＝2255．小明每天早上在六点半至七点半之间离开家去学校上学，小强每天早上六点至七点之9 间到达小明家，约小明一同前往学校，问小强能见到小明的概率是多少？yx表解：如图所示，方形区域内任一点的横坐标表示小强到达小明家的时间，纵坐标xyx，)可以看成平面中的点，试验的全部结果构成的区域为Ω＝{(示小明离开家的时间，(，ASyxy表示“小强＝1×1＝1.≤7.5}，这是一个正方形区域，面积为)|6≤事件≤7，6.5≤ΩxyxyAxy，如图中阴影部≥≤＝{(7.5，，)|6≤}≤7，6.5能见到小明”，所构成的区域为≤S777111A ASP. ＝，即小强能见到小明的概率是).－××＝所以＝(分所示，面积为＝1A S828822Ω]能力提升[B1xpxyxyp为事件“|＋为事件“10．在区间[0，1]上随机取两个数，”的概率，，记≥21211xyyp) ( ≤－”的概率，|≤”的概率，则为事件“322pppppp<B．A．<<< 121233pppppp． <D<．C<<123213．1xySxyx事件“|≥”表示的区域如图，事件“(1)＋解析：选B.中阴影部分，，∈[0，1]1211xySy 中阴影部分，事件“(3)≤”表示的区域如图－|≤”表示的区域如图(2)中阴影部分222SSSS 根据几何概型的概率计算公<1..由图知，阴影部分的面积，正方形的面积为<1×1＝1233ppp.<<式，可得132ABC的正三角形2如图，边长为311.(2019·河北省沧州市期末考试)PBCOPAC的概率为3，点上任意一点，则△为弧内接于圆的面积大于 ________．OABCABC的的高为3，设外接圆23解析：因为△，所以△的边长为32BCOrrOrBC平，过点半径为点到，则2作直线与的距离为＝＝4，所以，所以＝21πsin3PBCDAACDDBCP的点向，所以点行交弧于点点移动的过程中，△，△由的面积恰好为3PBCCPPBCD的面积越来越小，因此，为使△由点向面积越来越大；点点移动的过程中，△PBCPDA的由的面积大于点向3的面积大于3，只需点点移动，所以由几何概型可知，△ππ2PBCAODAOCAOCAOD3∠所以△＝概率等于∠与角∠的面积大于大小之比．因为∠，＝，32π23P.＝＝的概率为4π233 答案：422bxxax0.12．设关于＝的一元二次方程＋＋2ba三个数中任取的一个数，，23四个数中任取的一个数，是从0，1(1)若，是从01，2，求上述方程有实根的概率；ba上任取的一个数，求上述方上任取的一个数，3]2]是从区间[0(2)若，是从区间[0，程有实根的概率．22baxAx为“方程0＋解：设事件2＋有实根”．＝22baaaxbxb.当≥0，时，方程≥0≥＋2＋0＝有实根的充要条件为，0)，(2，2)，(1，1)，(1，0)，(1，2)，(0，1)，(0，0)，(0个：12基本事件共有(1)．ba的取值，第二个数表示2)．其中第一个数表示(3，0)，(3，1)，(3，，(2，1)(2，2)，的取值．39AAAP.包含9个基本事件，故事件)事件发生的概率为＝(＝412 (2)试验的全部结果所构成的区域为baba，)|0≤2}≤3，0≤．≤{(bbaAaba≤2，≤构成事件}的区域为{(，≥)|0≤．≤3，012×2－3×222AP.(＝)所以所求的概率为＝33×2POABABMN是将半圆圆周四等分的三8，13．(选做题)如图，已知是半圆，的直径，，＝个等分点．PABMN 5(1)从个点中任取，3，3，个点组成直角三角形的概率；，个点，求这这SABS 82的面积大于(2)在半圆内任取一点的概率．，求△ABMABMNP，，10，3，个点，一共可以组成，个三角形：△这5(1)解：从个点中任取MNPBNPANPBMNBMPABNABPAMNAMP，其中是直角三角形的，△，△，△，△，△△，△，△，△3ABPABNABM.只有△个，所以组成直角三角形的概率为，△ 3，△10MPDODMPONOMOPMP⊥，取线段(2)连接，，，的中点，，则OD易求得2＝，21SMPS 282×当＝点在线段，上时，＝×82ABS△2SSSABSMP＝82点落在阴影部分(不在时，△上)，而的面积才能大于所以只有当扇阴影11π22SABS828，所以由几何概型的概率公式得△的面积大于－4×－＝×4－×＝4πOMPMOP△形2224π－8π－2的概率为＝.π28π。

2019-2020学年高中数学第三章《概率》3.3几何概型新人教版必修3 一、教材分析教材的地位和作用“几何概型”是继“古典概型”之后的第二类等可能概率模型，在概率论中占有相当重要的地位，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸，是为更广泛的满足随机模拟的需要而新增加的内容，这充分体现了数学与实际生活的紧密关系。

《几何概型》共安排2课时,本节课是第1课时，注重概念的建构和公式的应用，为第二课时的几何概型的应用以及体会随机模拟中的统计思想打下基础。

教学重点与难点重点：掌握几何概型的判断及几何概型中概率的计算公式。

难点：在几何概型中把实验的基本事件和随机事件与某一特定的几何区域及其子区域对应，确定适当的几何测度。

通过数学建模解决实际问题。

[理论依据]本课是一节概念新授课，因此把掌握几何概型的判断及几何概型中概率的计算公式作为教学重点。

教学难点是在几何概型中把实验的基本事件和随机事件与某一特定的几何区域及其子区域对应，确定适当的几何测度。

此外，学生通过数学建模解决实际问题也较为困难，因此也是本节课的难点。

二、教学目标[知识与技能目标]（1）体会几何概型的意义。

（2）了解几何概型的概率计算公式[过程与方法目标]通过古典概型的例子，稍加变化后成为几何概型，从有限个等可能结果推广到无限个等可能结果，让学生经历概念的建构这一过程，感受数学的拓广过程。

通过实际应用，培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力，感知用图形解决概率问题的方法。

[情感与态度目标]体会概率在生活中的重要作用，感知生活中的数学，激发提出问题和解决问题的勇气，培养其积极探索的精神。

三、教学方法，教学模式，教学手段本节课采用以引导发现为主的教学方法，以归纳启发式作为教学模式，结合多媒体辅助教学。

四、学法指导通过合作交流，类比联想，归纳化归，总结提升，让学生在学习中学会怎样发现问题、分析问题、解决问题。

（1）了学生的思考范围。

（2）问现将一颗豆子随机地扔在正方形内计算它落在阴影部分的概古典概型几何概型联系区别求解方法基本事件个数的有限性基本事件发生的等可能性基本事件发生的等可能性基本事件个数的无限性与基本事件的位置、形状无关概率为0的事件是不可能事件，概率为1的事件是必然事件概率为0的事件未必是不可能事件，概率为1的事件未必是必然事件nmA P =)(的测度的测度Ω=A A P )(例题1：在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱AB 上任取一点，则点P 到点A 的距离小于等于1的概率为 变式1：在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1 的面AA1B1B 上任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于等于1的概率为 A辨析：如图所示，正方体容器内倒置一个圆柱形容器，随机向正方体容器内投掷一颗豆子（假设豆子都能落在正方形区域内且豆子面积不计）.试问：豆子落入圆锥形容器内的概率是多少？辨析变式：如图所示，正方体容器内倒置一个圆锥形容器，随机例题2：设点P是三角形ABC内部的一点，点运动时，试求S△PBC≤12S△ABC的概率.是关于六、评价分析1、评价教学目标的完成情况本节课创造性的使用教材，揭示矛盾，创设问题的情境，在问题情境中让古典概型自然地向几何概型的过渡，抓住了几何概型与古典概型的几大本质区别，让学生获得新知的同时体会了数学知识的拓广过程。

——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度高中数学人教A版必修三教学案：第三章第3节几何概型-含答案______年______月______日____________________部门20xx最新高中数学人教A版必修三教学案：第三章第3节几何概型-含答案1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P135～P136，回答下列问题．(1)教材问题中甲获胜的概率与什么因素有关？提示：与两图中标注B的扇形区域的圆弧的长度有关．(2)教材问题中试验的结果有多少个？其发生的概率相等吗？提示：试验结果有无穷个，但每个试验结果发生的概率相等．2．归纳总结，核心必记(1)几何概型的定义与特点①定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．②特点：(ⅰ)可能出现的结果有无限多个；(ⅱ)每个结果发生的可能性相等．(2)几何概型中事件A的概率的计算公式P(A)＝.[问题思考](1)几何概型有何特点？提示：几何概型的特点有：①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；②每个基本事件出现的可能性相等．(2)古典概型与几何概型有何区别？提示：几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是：古典概型的试验结果是有限的，而几何概型的试验结果是无限的．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点：(1)几何概型的定义：；(2)几何概型的特点：；(3)几何概型的计算公式：.某班公交车到终点站的时间可能是11∶30－12∶00之间的任何一个时刻．往方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一点上．[思考1] 这两个试验可能出现的结果是有限个，还是无限个？提示：无限多个．[思考2] 古典概型和几何概型的异同是什么？名师指津：古典概型和几何概型的异同如表所示：名称古典概型几何概型相同基本事件发生的可能性相等点不同点①基本事件有限个①基本事件无限个②P(A)＝0⇔A为不可能事件②P(A)＝0A为不可能事件③P(B)＝1⇔B为必然事件③P(B)＝1B为必然事件1．取一根长为5 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于2 m的概率有多大？[尝试解答] 如图所示．记“剪得两段绳长都不小于 2 m”为事件 A.把绳子五等分，当剪断位置处在中间一段上时，事件A发生．由于中间一段的长度等于绳长的，所以事件A发生的概率P(A)＝.求解与长度有关的几何概型的关键点在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到不会影响事件A的概率．1．(20xx·全国乙卷)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A. B. C. D.34解析：选B 如图，7：50至8：30之间的时间长度为40 分钟，而小明等车时间不超过10 分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20 分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P＝＝.故选B.2．(20xx·辽宁高考)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是( )A. B. C. D.π8[尝试解答] 由几何概型的概率公式可知，质点落在以AB为直径的半圆内的概率P＝＝＝，故选B.答案：B解与面积相关的几何概型问题的三个关键点(1)根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题；(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积；(3)套用公式，从而求得随机事件的概率．2．如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )A．1－ B.－1 C．2－ D.π4解析：选A 由几何概型知所求的概率P＝＝＝1－.3．如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1 中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD­A1B1C1D1 内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．[尝试解答] 点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心，以1为半径的半球外．记点P到点O的距离大于1为事件A，则P(A)＝＝1－.答案：1－π12如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的区域体积及事件A所占的区域体积．3．如图所示，有一瓶2升的水，其中含有1个细菌．用一小水杯从这瓶水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率．解：记“小杯水中含有这个细菌”为事件A，则事件A的概率只与取出的水的体积有关，符合几何概型的条件．∵小水杯中有0.1升水，原瓶中有2升水，∴由几何概型求概率的公式得P(A)＝＝0.05.——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是了解几何概型的意义，会求几何概型的概率．难点是理解几何概型的特点和计算公式．2．本节课要掌握以下几类问题：(1)理解几何概型，注意与长度有关的几何概型的求解关键点，见讲1.(2)求解与面积相关的几何概型问题的三个关键点，见讲2.(3)注意与体积有关的几何概型的求解策略，见讲3.3．本节课的易错点：不能正确求出相关线段的长度或相关区域的面积或相关空间的体积，如讲1,2,3.课下能力提升(十九)[学业水平达标练]题组1 与长度有关的几何概型1．在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为( )A. B. C. D.15解析：选B 在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1，即－2≤X≤1的概率为P＝.2．已知地铁列车每10 min一班，在车站停1 min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )A. B. C. D.18解析：选 A 试验的所有结果构成的区域长度为10 min，而构成事件A的区域长度为1 min，故P(A)＝.3．在区间[－2,4]上随机取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝________.解析：由|x|≤m，得－m≤x≤m，当m≤2时，由题意得＝，解得m ＝2.5，矛盾，舍去．当2<m<4时，由题意得＝，解得m＝3.答案：34．如图所示，在单位圆O的某一直径上随机地取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．解：弦长不超过1，即|OQ|≥，而Q点在直径AB上是随机的，记事件A＝{弦长超过1}．由几何概型的概率公式得P(A)＝＝.∴弦长不超过1的概率为1－P(A)＝1－.题组2 与面积、体积有关的几何概型5.在如图所示的正方形中随机撒入 1 000粒芝麻，则撒入圆内的芝麻数大约为________(结果保留整数)．解析：设正方形边长为2a，则S正＝4a2，S圆＝πa2.因此芝麻落入圆内的概率为P＝＝，大约有1 000×≈785(粒)．答案：7856．一个球型容器的半径为3 cm，里面装有纯净水，因为实验人员不小心混入了一个H7N9 病毒，从中任取1 mL水，含有H7N9 病毒的概率是________．解析：水的体积为πR3＝×π×33＝36π(cm3)＝36π(mL)．故含有病毒的概率为P＝.答案：136π7．(20xx·西安质检)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1 内随机取点，则该点落在三棱锥A1­ABC内的概率是________．解析：设正方体的棱长为a，则所求概率P＝VA1­ABCVABCD­A1B1C1D1＝＝.答案：168．如图所示，图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是，则此长方体的体积是________．解析：设长方体的高为h，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率P＝＝，解得h＝3或h＝－(舍去)，故长方体的体积为1×1×3＝3.答案：39．在街道旁边有一游戏：在铺满边长为9 cm的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1 cm的小圆板．规则如下：每掷一次交5角钱，若小圆板压在边上，可重掷一次；若掷在正方形内，需再交5角钱才可玩；若压在正方形塑料板的顶点上，可获得一元钱．试问：(1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？(2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？解：(1)如图(1)所示，因为O落在正方形ABCD内任何位置是等可能的，小圆板与正方形塑料板ABCD的边相交接是在圆板的中心O到与它靠近的边的距离不超过1 cm时，所以O落在图中阴影部分时，小圆板就能与塑料板ABCD的边相交接，这个范围的面积等于92－72＝32(cm2)，因此所求的概率是＝.(2)小圆板与正方形的顶点相交接是在圆心O与正方形的顶点的距离不超过小圆板的半径 1 cm时，如图(2)阴影部分，四块合起来面积为π cm2，故所求概率是.[能力提升综合练]1．下列关于几何概型的说法中，错误的是( )A．几何概型是古典概型的一种，基本事件都具有等可能性B．几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关C．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个D．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性解析：选A 几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，故选A.2．已有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )解析：选A 利用几何概型的概率公式，得P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，∴P(A)＞P(C)＝P(D)＞P(B)，故选A.3．如图，在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是( )A. B. C. D.23解析：选C 因为△ABC与△PBC是等高的，所以事件“△PBC的面积大于”等价于事件“|BP|∶|AB|＞”．即P(△PBC的面积大于)＝＝.4．已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机地取一点P，使△APB 的最大边是AB”发生的概率为，则＝( )A. B.C. D.74解析：选D 依题可知，设E，F是CD上的四等分点，则P只能在线段EF上且BF＝AB.不妨设CD＝AB＝a，BC＝b，则有b2＋2＝a2，即b2＝a2，故＝.5．(20xx·石家庄高一检测)如图，在平面直角坐标系内，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠xOT内的概率为________．解析：记“射线OA落在∠xOT内”为事件A.构成事件A的区域最大角度是60°，所有基本事件对应的区域最大角度是360°，所以由几何概型的概率公式得P(A)＝＝.答案：166．一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M是AB的中点．一只苍蝇在几何体ADF­BCE内自由飞行，求它飞入几何体F­AMCD 内的概率．解：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF，DF＝AD＝DC＝a.因为VF­AMCD＝S四边形AMCD×DF＝×(a＋a)·a·a＝a3，VADF­BCE＝a2·a＝a3，所以苍蝇飞入几何体F­AMCD内的概率为＝.7．在长度为10 cm的线段AD上任取两点B，C.在B，C处折此线段而得一折线，求此折线能构成三角形的概率．解：设AB，AC的长度分别为x，y，由于B，C在线段AD上，因而应有0≤x，y≤10，由此可见，点对(B，C)与正方形K＝{(x，y)|0≤x≤10,0≤y≤10}中的点(x，y)是一一对应的，先设x<y，这时，AB，BC，CD能构成三角形的充要条件是AB＋BC>CD，BC＋CD>AB，CD＋AB>BC，注意AB＝x，BC＝y－x，CD＝10－y，代入上面三式，得y>5，x<5，y－x<5，符合此条件的点(x，y)必落在△GFE中(如图)．同样地，当y<x时，当且仅当点(x，y)落在△EHI中，AC，CB，BD 能构成三角形，利用几何概型可知，所求的概率为＝.。

3.3.1 几何概型[A 基础达标]1．已知集合A ＝{x |－1<x <5}，B ＝{x |2<x <3}，在集合A 中任取一个元素x ，则事件“x ∈A ∩B ”的概率为( )A.16 B.13 C.23D.45解析：选A.A ∩B ＝{x |2<x <3}，因为集合A 表示的区间长度为5－(－1)＝6，集合A ∩B 表示的区间长度为3－2＝1， 所以事件“x ∈A ∩B ”的概率为16，故选A.2．(2019·湖南省张家界市期末联考)如图是一个中心对称的几何图形，已知大圆半径为2，以半径为直径画出两个半圆，在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )A.π8B.18C.12D.14解析：选D.由题意知，大圆的面积为S ＝π·22＝4π；阴影部分的面积为S ′＝12π·22－π·12＝π，则所求的概率为P ＝S ′S ＝π4π＝14.故选D. 3．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.13B.23C.12D.34解析：选B.先求点P 到点O 的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V 半球＝12×43π×13＝23π.则点P 到点O的距离小于或等于1的概率为23π2π＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率为1－13＝23.4．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A.π4 B.π－22 C.π6D.4－π4解析：选D.试验的全部结果是平面区域D ，由于点到坐标原点的距离大于2，则点应该在圆x 2＋y 2＝22的外部．画草图(图略)易知区域D 是边长为2的正方形，到坐标原点的距离大于2的点在以坐标原点为圆心，2为半径的圆的外部，所以所求的概率为2×2－14×π×222×2＝4－π4.5．(2017·高考江苏卷)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．解析：由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，则D ＝[－2，3]，则所求概率为3－（－2）5－（－4）＝59.答案：596．水池的容积是20 m 3，水池里的水龙头A 和B 的水流速度都是1 m 3/h ，它们一昼夜(0～24 h)内随机开启，则水池不溢水的概率为________．解析：如图所示，横坐标和纵坐标分别表示A ，B 两水龙头开启的时间，则阴影部分是满足不溢水的对应区域，因为正方形区域的面积为24×24，阴影部分的面积是12×20×20，所以所求的概率P ＝12×20×2024×24＝2572.答案：25727．(2019·福建省三明市质量检测)如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，它是由正方形ABCD 中四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH 构成．现设直角三角形的两条直角边长为3和4，在正方形ABCD 内随机取一点，则此点取自小正方形EFGH 内的概率为________．解析：因为直角三角形的两条直角边长为3和4，所以正方形ABCD 的边长为a ＝32＋42＝5，所以S 正方形ABCD ＝a 2＝25，所以S 正方形EFGH ＝S 正方形ABCD －4S △ABF ＝25－4×12×3×4＝1，因此，在正方形ABCD 内随机取一点，则此点取自小正方形EFGH 内的概率为P ＝S 正方形EFGHS 正方形ABCD＝125. 答案：1258．在一个大型商场的门口，有一种游戏是向一个画满边长为5 cm 的均匀方格的大桌子上掷直径为2 cm 的硬币，如果硬币完全落入某个方格中，则掷硬币者赢得一瓶洗发水，请问随机掷一个硬币正好完全落入方格的概率有多大？解：如图，边长为5 cm 的正方形形成的区域表示试验的所有基本事件构成的区域，当硬币的中心落入图中以3 cm 为边长的正方形区域时，则试验成功，所以，随机地投一个硬币正好完全落入方格的概率为P ＝3252＝925. 9．小明每天早上在六点半至七点半之间离开家去学校上学，小强每天早上六点至七点之间到达小明家，约小明一同前往学校，问小强能见到小明的概率是多少？解：如图所示，方形区域内任一点的横坐标x 表示小强到达小明家的时间，纵坐标y 表示小明离开家的时间，(x ，y )可以看成平面中的点，试验的全部结果构成的区域为Ω＝{(x ，y )|6≤x ≤7，6.5≤y ≤7.5}，这是一个正方形区域，面积为S Ω＝1×1＝1.事件A 表示“小强能见到小明”，所构成的区域为A ＝{(x ，y )|6≤x ≤7，6.5≤y ≤7.5，y ≥x }，如图中阴影部分所示，面积为S A ＝1－12×12×12＝78.所以P (A )＝S A S Ω＝78，即小强能见到小明的概率是78.[B 能力提升]10．在区间[0，1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥12”的概率，p 2为事件“|x－y |≤12”的概率，p 3为事件“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1<p 2<p 3B ．p 2<p 3<p 1C ．p 3<p 1<p 2D ．p 3<p 2<p 1解析：选B.x ，y ∈[0，1]，事件“x ＋y ≥12”表示的区域如图(1)中阴影部分S 1，事件“|x－y |≤12”表示的区域如图(2)中阴影部分S 2，事件“xy ≤12”表示的区域如图(3)中阴影部分S 3.由图知，阴影部分的面积S 2<S 3<S 1，正方形的面积为1×1＝1.根据几何概型的概率计算公式，可得p 2<p 3<p 1.11.(2019·河北省沧州市期末考试)如图，边长为23的正三角形ABC 内接于圆O ，点P 为弧AC 上任意一点，则△PBC 的面积大于3的概率为________．解析：因为△ABC 的边长为23，所以△ABC 的高为3，设外接圆O 的半径为r ，则2r ＝23sinπ3＝4，所以r ＝2，所以O 点到BC 的距离为1，过点O 作直线与BC 平行交弧AC 于点D ，△DBC 的面积恰好为3，所以点P 由D 点向A 点移动的过程中，△PBC 的面积越来越大；点P 由D 点向C 点移动的过程中，△PBC 的面积越来越小，因此，为使△PBC 的面积大于3，只需点P 由D 点向A 点移动，所以由几何概型可知，△PBC 的面积大于3的概率等于∠AOD 与角∠AOC 大小之比．因为∠AOD ＝π2，∠AOC ＝2π3，所以△PBC 的面积大于3的概率为P ＝π22π3＝34.答案：3412．设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(1)若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a 是从区间[0，3]上任取的一个数，b 是从区间[0，2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .(1)基本事件共有12个：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 包含9个基本事件，故事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34.(2)试验的全部结果所构成的区域为 {(a ，b )|0≤a ≤3，0≤b ≤2}．构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3，0≤b ≤2，a ≥b }． 所以所求的概率为P (A )＝3×2－12×223×2＝23.13．(选做题)如图，已知AB 是半圆O 的直径，AB ＝8，M ，N ，P 是将半圆圆周四等分的三个等分点．(1)从A ，B ，M ，N ，P 这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率； (2)在半圆内任取一点S ，求△SAB 的面积大于82的概率．解：(1)从A ，B ，M ，N ，P 这5个点中任取3个点，一共可以组成10个三角形：△ABM ，△ABN ，△ABP ，△AMN ，△AMP ，△ANP ，△BMN ，△BMP ，△BNP ，△MNP ，其中是直角三角形的只有△ABM ，△ABN ，△ABP 3个，所以组成直角三角形的概率为310.(2)连接MP ，ON ，OM ，OP ，取线段MP 的中点D ，则OD ⊥MP ，易求得OD ＝22，当S 点在线段MP 上时，S △ABS ＝12×22×8＝82，所以只有当S 点落在阴影部分(不在MP 上)时，△SAB 的面积才能大于82，而S 阴影＝S 扇形MOP－S △OMP ＝12×π2×42－12×42＝4π－8，所以由几何概型的概率公式得△SAB 的面积大于82的概率为4π－88π＝π－22π.。

3.3.1 几何概型[课时作业] [A 组 学业水平达标]1．如图，A 是圆O 上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，它是一条弦，它的长度小于或等于半径长度的概率为( ) A.12 B.32C.13D.14解析：如图，当AA ′的长度等于半径长度时，∠AOA ′＝π3，由圆的对称性及几何概型得P ＝2π32π＝13.故选C.答案：C2．如图所示，以边长为1的正方形ABCD 的一边AB 为直径在其内部作一半圆．若在正方形中任取一点P ，则点P 恰好取自半圆部分的概率为( ) A.π2 B.12 C.π4 D.π8解析：所求概率P ＝12×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1221×1＝π8.故选D.答案：D3．已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( ) A.110 B.19 C.111 D.18解析：总的时间段长为10 min ，在车站停1 min ， ∴P ＝110.答案：A4．已知点P ，Q 为圆C ：x 2＋y 2＝25上的任意两点，且|PQ |＜6，若PQ 中点组成的区域为M ，在圆C 内任取一点，则该点落在区域M 上的概率为( ) A.35 B.925C.1625 D.25解析：PQ 中点组成的区域M 如图阴影部分所示，那么在C 内部任取一点落在M 内的概率为25π－16π25π＝925，故选B.答案：B5．在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1 (x ＋12)≤1”发生的概率为( )A.34B.23 C.13 D. 14 解析：由－1≤(x ＋12)≤1得，≤log 12(x ＋12)≤12，12≤x ＋12≤2,0≤x ≤32，所以由几何概型概率的计算公式得，P ＝32－02－0＝34，故选A.答案：A6．点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧 的长度小于1的概率为________．解析：如图可设与的长度等于1，则由几何概型可知其整体事件是其周长3，则其概率是23.答案：237．广告法对插播广告时间有规定，某人对某台的电视节目作了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目，看不到广告的概率约为910，那么该台每小时约有________分钟广告．解析：这是一个与时间长度有关的几何概型，这人看不到广告的概率为910，则看到广告的概率约为110，故60×110＝6. 答案：68．已知线段AC ＝16 cm ，先截取AB ＝4 cm 作为长方体的高，再将线段BC任意分成两段作为长方体的长和宽，则长方体的体积超过128 cm 3的概率为________．解析：依题意，设长方体的长为x cm ，则相应的宽为(12－x )cm ，由4x (12－x )＞128得x 2－12x ＋32＜0,4＜x ＜8，因此所求的概率等于8－412＝13.答案：139．一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？(1)红灯亮；(2)黄灯亮；(3)不是红灯亮．解析：在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型． (1)P ＝红灯亮的时间全部时间＝3030＋40＋5＝25；(2)P ＝黄灯亮的时间全部时间＝575＝115；(3)P ＝不是红灯亮的时间全部时间＝黄灯亮或绿灯亮的时间全部时间＝4575＝35. 10．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，棱长为1，在正方体内随机取一点M ，求使M ­ABCD 的体积小于16的概率．解析：设点M 到面ABCD 的距离为h ， 则V M ­ABCD ＝13S 底ABCD ·h ＝16，即h ＝12.所以只要点M 到面ABCD 的距离小于12时，即满足条件．所有满足点M 到面ABCD 的距离小于12的点组成以面ABCD 为底，高为12的长方体，其体积为12.又因为正方体体积为1，所以使四棱锥M ­ABCD 的体积小于16的概率为P ＝121＝12.[B 组 应考能力提升]下底长分别为a3与1．如图所示，在一个边长为a ，b (a >b >0)的矩形内画一个梯形，梯形上、a2，高为b .向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为( )A.112B.14C.512 D.712解析：两“几何度量”即为两面积，直接套用几何概型的概率公式．S 矩形＝ab ，S梯形＝12(13a ＋12a )·b ＝512ab ，所以所投的点落在梯形内部的概率为S 梯形S 矩形＝512abab ＝512.答案：C2．如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)．且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0－12x ＋1，x ＜0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率等于( ) A.16 B.14 C.38 D.12解析：由已知得B (1,0)，C (1,2)，D (－2,2)，F (0,1)，则矩形ABCD 的面积为3×2＝6，阴影部分的面积为12×3×1＝32，故该点取自阴影部分的概率等于326＝14. 答案：B3.如图，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O 为起点作射线OC ，则使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率是________．解析：将圆心角为90°的扇形等分成三部分：当射线OC 位于中间一部分时，使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°， ∴使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率为：P ＝中间部分的圆心角大小÷整个扇形的圆心角的大小＝30°÷90°＝13，故使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率为13.答案：134．如图所示，墙上挂着一块边长为16 cm 的正方形木板，上面画了大、中、小三个同心圆，半径分别为6 cm ，4 cm ，2 cm.某人站在3 m 之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有击中木板时都不算，可重投，问：(1)投中大圆内的概率是多少？(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？ (3)投中大圆之外的概率是多少？解析：整个正方形木板的面积，即基本事件所占的区域总面积D ＝16×16＝256(cm 2)．设“投中大圆内”为事件A ，“投中小圆与中圆形成的圆环”为事件B ，“投中大圆之外”为事件C ，则 事件A 所占区域面积为d A ＝π×62＝36π(cm 2)； 事件B 所占区域面积为d B ＝π×42－π×22＝16π－4π＝12π(cm 2)；事件C 所占区域面积为d C ＝D －d A ＝(256－36π)(cm 2)．由几何概型的概率公式，得(1)P (A )＝d A D ＝36π256＝964π，即投中大圆内的概率为964π.(2)P (B )＝d B D ＝12π256＝364π，即投中小圆与中圆形成的圆环的概率为364π.(3)P (C )＝d C D ＝256－36π256＝1－964π，即投中大圆之外的概率为1－964π.5.设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率； (2)若a 是从区间[0,3]内任取的一个数，b 是从区间[0,2]内任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解析：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”，当a ≥0，b ≥0时，此方程有实根的条件是(2a )2－4b 2≥0，即a ≥b . (1)基本事件共有12个，分别是(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3，1)，(3,2)，其中括号内第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值． 事件A 中包含9个基本事件，故事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34.(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}，而构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，即如图所示的阴影部分，所以P (A )＝3×2－12×223×2＝23.。