剖析直线与方程的七大易错点

求直线方程易错的几个典型问题作者：代学奎来源：《广东教育·高中》2008年第05期求直线方程是解析几何中的基本题型之一，在求解问题时，如果考虑不周全或忽略特殊情况，就往往会出现漏解、错解现象.本文就此问题从九个方面加以剖析，以引起同学们的注意.一、不注意倾斜角的取值范围引发的错误在处理直线问题时，一定要注意倾斜角的取值范围是0°≤?琢＜180°，否则很容易会出现只考虑锐角而丢掉钝角的情况，而漏解.例1 一条直线l过点（2，1）且与x轴的夹角为45°，求这条直线的方程.错解∵直线l与轴的夹角为45°，∴直线的倾斜角α＝45°，∴直线l的斜率k=tan45°=1，所以直线方程为y-1=x-2，即x-y-1=0.剖析上面的解法只考虑了直线l与x轴的夹角为45°，∴直线的倾斜角α＝45°这一种情况，而当倾斜角为１３5°时，直线l与x轴的夹角也为45°.正解∵直线l与x轴的夹角为45°，∴直线的倾斜角α＝45°或１３5°，∴直线的斜率k=tan45°=1或k=tan135°=-1.当斜率为1时，直线方程为y-1=x-2，即x-y-1=0；当斜率为－1时，直线方程为y-1=-（x-2），即x＋y-3=0，∴这条直线方程为x-y-1=0或x＋y-3=0.点评这里对倾斜角的理解最关键，根据直线l与x轴的夹角为45°，而只认为直线的倾斜角为α＝45°这一锐角，而漏掉直线的倾斜角α＝１３5°是钝角的这一情况，从而漏掉了一条直线方程.二、忽视隐含条件增解引发的错误倾斜角的取值范围是0°≤?琢＜180°，有时在解题时隐含着这一条件，若不注意会导致超出范围，扩大解集而引发出错误.例2 已知通过定点A（8，6）的四条直线，其倾斜角的比是1∶ 2 ∶ 3 ∶ 4，第二条直线方程3x-4y=0，求其余三条直线方程．错解设四条直线的倾斜角依次为?琢、2?琢、3?琢、4?琢，由已知tan2?琢= ，即 = ，整理得3tan2?琢＋8tan?琢－3=0，解得tan?琢= 或tan?琢=－3．当tan?琢= 时，可求得第一条直线为x-3y+10=0；第三条直线为13x-9y-10=0；第四条直线为24x-7y-150=0；当tan?琢=－3时，可求得第一条直线为３x＋y-３２=0；第三条直线为９x-１３y-150=0；第四条直线为24x-7y-150=0．剖析上述求解过程，没有考虑到直线倾斜角的取值范围．由方程3tan２?琢＋8tan?琢－3=0，解出tan?琢= 或tan?琢=－3，事实上，由0°≤4?琢＜１８０°,可知0°≤?琢＜４５°，所以tan?琢=－3是增根，应舍去．正解设四条直线的倾斜角依次为?琢、2?琢、3?琢、4?琢，∵0°≤4?琢＜１８０°，∴0°≤?琢＜４５°．由已知tan2?琢= ，即 = ，整理得3tan2?琢+8tan?琢－3=0，解得tan?琢= 或tan?琢=－3 (舍去)，∴第一条直线方程为y-6= （x-8），即x-3y+10=0.又tan3?琢= = = ，所以第三条直线方程为y-6=（x-8），即13x-9y-10=0.而tan4?琢= = ，所以第四条直线方程为y-6= （x-8），即24x-7y-150=0．点评直线的倾斜角?琢的范围是0°≤?琢＜180°，在解题时若不深入挖掘这个隐含条件，就会扩大解集．三、选用直线方程的形式不当引发的错误若将直线方程设为点斜式y－y0=k（x－x0）或斜截式y=kx＋b，即已经承认直线斜率存在，而漏掉了直线斜率不存在的情况，因此应针对斜率是否存在进行分类讨论.例3 求经过点P（2，5），并且与点（－4，1）距离等于6的直线方程.错解设所求直线的斜率为k，因为过点P（2，5），则直线方程为y－5＝k（x－2），整理得kx－y－2k＋5＝0，原点到该直线距离d＝，由题意得 =6，∴12k＋5＝0，∴k＝- .即所求直线方程为- x-y+2(- )+5=0，即5x＋12y －50＝0.剖析错解中设直线的斜率为k，直线方程为y－7＝k（x－2），就已承认直线斜率存在，这样就忽略了当直线的斜率不存在时而直线存在的情况.正解（1）当斜率存在时，由上述解得5x＋12y－50＝0;（2）当斜率不存在时，直线平行于y轴，直线方程为x＝2，点（－4，1）到它的距离为6，∴x＝2是所求直线方程.综上可得，直线方程为5x＋12y－50＝0和x＝2.点评一般地，求直线方程，设为点斜式或斜截式是常见的两种形式.设本身已承认了直线的斜率存在，所以易出错，因此，一定要考虑斜率不存在而直线存在的形式.例4 已知直线l经过点P(3，1)点，且被两平行直线l1：x＋y＋1=0和l2：x＋y＋6=0截得的线段之长为5，求直线l的方程．错解设直线l的方程为y=k（x－3）＋1，解方程组y=k（x-3）+1，x+y+1=0，得y= ，y=- .∴直线l与l1交于A( ，- )，解方程组y=k（x-3）+1，x+y+6=0，得y= ，y=- . ∴直线l与l2交于B( ，- )．由题意，得|AB|=5，∴( - )2＋［- -（- ）］2= 52，解之得k=0，∴所求直线l的方程为y=1．剖析直线的点斜式方程是以直线斜率存在为前提的，当直线斜率不存在时，不能建立和使用直线的点斜式方程．在错解中，设直线l的方程为y=k(x－3)＋1，已经默认了直线l的斜率存在，从而漏去了直线l斜率不存在的情况，而本题中过P点且斜率不存在的直线恰好符合题意，所以错解丢掉了一个解．正解若直线l的斜率存在，由前面解法知，所求直线l的方程为y=1．若直线l的斜率不存在，则直线方程为x=3，此时与l1、l2的交点分别为A（3，－4)、B（3，－9），截得的线段AB的长|AB|=|－4＋9|= 5，符合题意．综上所述，直线l的方程为y=1或x=3．点评此题还可以这样考虑：求过一定点，且被两已知平行直线截得线段为定长a的直线，当a小于两平行直线之间距离d时无解；当a=d时有唯一解；当a＞d时，有且只有两个解．所以，此题可先求出夹角?兹后再求直线l的斜率或倾斜角，这样解题较为简便．四、忽视斜率不存在的情况引发的错误含参数的直线方程中，一定注意垂直于x轴的情况，此情况直线方程存在而斜率不存在，常常忽视而漏解.例5 已知直线mx＋8y＋m－10=0 和直线x＋2my－4= 0 垂直，求m的值.错解两条直线的斜率分别为k1=－，k2=－，由垂直条件得k1k2=－1?圯(－ )(－ )=－1?圯 =－1，显然不成立.因此，两条直线不能垂直.剖析错误的原因是无条件地把直线的一般式化为斜截式，而当m = 0时，直线x＋2my－4=0的斜率不存在，此时不能化为斜截式，因此，也不存在k2=－ .正解若m≠0时，两条直线的斜率分别为k1=－，k2=－，由垂直条件得k1k2=－1?圯(－ )(－ )=－1?圯 =－1，显然不成立.因此，两条直线不能垂直；若m=0时，两直线方程为y= 和x=4，这两条直线垂直，所以两条直线垂直时，m=0.五、忽略截距为零引发的错误截距相等包含两层意思，一是截距不为零时相等，二是截距为零时相等，而后者常被忽视，造成漏解，因此，对于此类题目，也要分类讨论.例6 求过点M（3，2），且在x、y轴上的截距相等的直线方程.错解因为所求直线经过点M且在坐标轴上的截距相等，所以可设所求直线方程为＋ =1.将M点坐标代入可得a=5，故所求直线方程为x+y=5.正解“截距相等”分截距为零和截距不为零两种情况，上述解法漏掉了截距为零的情况，即直线y=6x也合题意，正确答案为两条直线：y=6x和x+y=5.点评在x、y轴上的截距相等，设直线方程为截距式＋ =1最简单，但此形式已经认为不过原点，所以过原点截距都为零这种情况极易漏掉，应引起注意.例7 已知直线l在x轴、y轴上的截距的绝对值相等，且到点（1，2）的距离为，求直线l的方程．错解由于直线l在x轴、y轴上的截距的绝对值相等，所以直线l的斜率为1或－1，设l 的方程为y= x＋m或y=－x＋m，又点（1，2）到直线l的距离为，∴ = 或 = ，由|m－1|= 2，解得m=3或m=－1；由|3－m|=2解得m=1或m=5，故所求直线l的方程为y=x＋3或y=x－1或y=－x＋1或y=－x＋5．剖析错解忽视了直线l在两坐标轴上截距都为零的情况，解答不完整，截距为零的情况也符合题意．正解当l在两坐标轴上的截距都不为零时，解法同上．当l在两坐标轴上的截距都为零时，方程应为y=kx，根据题意，得 = ，解这个方程的得k= －2或k=－－2，所以方程为y=( －2)x或y =－（＋2）x．综合上述可得，l的方程为y=x＋3或y=x－1或y =－x＋1或y=－x＋5或y=（ -2）x或y=－（＋2）x．点评两轴上的截距相等，包含了截距相等且不为零和截距相等且为零两种情况，前者斜率为－1，可用方程＋ =1，后者斜率不一定为－1，常利用形如y=kx的方程．六、忽视公式中限制条件引发的错误例8 求过点P (5，2)，且和直线y=x +5相交成45°角的直线方程．错解设直线l1：y = x + 5的斜率为k1，所求直线l2的斜率为k2，若l1到l2的角为45°，则由两直线的夹角公式tan?兹= ，得tan45°= ，即1 = ，亦即1 +k2=k2－1，此式显然不成立，故满足条件的直线不存在．剖析上述解法似乎无懈可击，但满足条件的直线确实存在，那么究竟错在哪里呢？下面我们来分析两直线到角公式推导过程中值得注意的一些问题．如图，设直线l1的倾斜角为?琢1，l2的倾斜角为?琢2，直线l1到l2的角为?兹，则?兹=?琢2－?琢1，那么tan?兹= tan(?琢2－?琢1) = ，设k1=tan?琢1，l2=tan?琢2，故有tan?兹= ．从上面的推导过程，不难发现，当?琢1、?琢2或?兹中有一个角为90°时，tan?琢1或tan?琢2就失去了意义，从而到角公式就失去了意义，因此，使这个公式成立的条件还应有?兹≠90°且?琢1≠90°，?琢2≠90°．上面的错解是假设?兹=45°，由k1= 1知?琢1=45°，但没有排除?琢2=90°的可能．事实上，由?兹=45°，?琢1=45°，则?琢2=?兹＋?琢1=90°，这时公式就失去了意义．这就是上面解法出现错误的原因所在．正解⑴设直线l1到直线l2的角为45°，又l1的斜率为k1，有?琢1=45，于是l2的倾斜角为90°，故l2垂直于x轴，又l2过点P (5，2)，所以l2的方程为x=5．⑵设直线l2到直线l1的角为45°，则直线l1平行于x轴，又l2过点P (5，2)，故l1的方程为y=2．故所求直线方程为x= 5或y= 2．点评在运用两直线到角的公式时，必须注意使公式成立的有关条件，教材中提到了使1+k1k2≠0的情形，即两条直线不垂直的条件限制．七、混淆截距与距离引发的错误要明确截距的概念，直线l与y轴交点的纵坐标叫做直线在y轴上的截距，简称纵截距.直线l与x轴交点的横坐标叫做直线在x轴上的截距，简称横截距.截距可取一切实数，即可为正数、零、负数.在此要区分截距与距离的概念，距离必须大于零或等于零.例 9求过点P(－5, －4)且与两坐标轴所围成的三角形面积为5的直线方程.错解设直线方程为 + =1，且直线过点P(－5, －4)，得 + =1 ①，又 ab=5，故ab=10 ②，由①②无解，故直线方程不存在.正解这里将直线在x轴和y轴的截距当成距离.事实上，直线与两坐标轴所围成的三角形面积为，而不是，由 =5，与①联立解得a=- ，b=4a=5,b=-2,故所求方程为 + =1或 + =1，即8x －5y +20 = 0或2x－5y－10 = 0.点评学生在解题时，对概念的内涵理解不透，常引发错误，此题面积为误认为，产生错解.八、应用直线系方程漏解引发的错误例10过两直线x + y－1 = 0和2x－y + 4 = 0的交点，且到原点的距离为的直线方程.错解设所求直线为x + y－1 + λ(2x－y + 4) = 0,即(2λ+1)x + (1－λ)y + 4λ－1= 0.由题意得= ，解得λ=- ,故所求直线方程为2x + 11y－20 = 0.正解原点到直线2x－y + 4 = 0的距离也为 .一般地，f1+ λf2=0表示经过的f1、f2交点但不包括f2的所有直线，而上述解法恰好漏掉了直线2x－y + 4 = 0，故应先分类讨论.所以满足条件的直线方程为2x + 11y－20 = 0和2x－y + 4 = 0.点评此题特殊情况就在于原点到两直线x + y－1 = 0和2x－y + 4 = 0的交点的距离正好等于原点到直线2x－y + 4 = 0的距离，而直线系x + y－1 + λ(2x－y + 4) = 0又不包括直线2x－y + 4= 0,所以极易漏掉直线2x－y + 4 = 0.九、位置关系考虑不周引发的错误例11直线l过点M(1 , 2)且A(2 , 3)、B(4 ,－5)到直线l的距离相等，求直线l的方程.错解由题意，所求直线过M(1 , 2)且与AB平行，而k =－4，故所求直线方程为y－2 =－4(x－1)，即4x + y－6 = 0.正解上面的解法中遗漏了另一种情况，B、A分别位于直线l的两侧且到l的距离相等的情况.易知，此种情况下，直线l必过AB的中点N(3,－1)，又直线l过点M，因此,直线方程为3x + 2y－7=0.故所求直线方程应为4x + y－6 = 0或3x + 2y－7=0.点评点A、B在直线l的同侧时，直线AB与直线l平行；在点A、B在直线l的异侧时，直线AB与直线l相交，学生在做题时，极易只考虑平行情况而出错.责任编校徐国坚。

解几中几个常见错误剖析解析几何是高中数学的重要内容，每年的高考中都占有较大的比重。

本文试图对解析几何中的一些常见错误作简单剖析，希望引起同学们的注意。

一、忽视斜率不存在导致错误例1 已知过点（－4，0）作直线l 与圆2224200x y x y ++--=交于A 、B 点， 弦AB 长为8，则直线l 的方程为_______________________________________错解 设直线l 的方程为y=k （x+4）即k x －y+4k=0，由题意得2(1)2431k kk ⨯--+=+解得512k =-，所以直线l 的方程为512200x y ++= 剖析 上述解法未考虑直线l 斜率不存在情形，从而导致错误。

事实上，直线l 斜率不存在时，弦AB 长也为8。

正解 （1）直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为x =－4，符合题意。

（2）直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y=k （x+4）即k x －y+4k=0， 由题意得2(1)2431k kk ⨯--+=+解得512k =-，所以直线l 的方程为512200x y ++= 综上所述 直线l 的方程为：x =－4或512200x y ++=评注 使用斜率求直线方程，题目中未给出斜率存在与否，需对斜率分存在与不存在讨论。

二、忽视方程自身限制导致错误例2 直线l 经过P （2,3）,且在x,y 轴上的截距相等,试求该直线方程.错解 设直线方程为:1=+b y a x ,又过P(2,3),∴132=+ba ,求得a=5 ∴直线方程为x+y-5=0. 剖析 直线方程的截距式: 1=+b y a x 的条件是:a ≠0且b ≠0,本题忽略了0a b ==这一情形.正解 （1）当直线过(0,0)时,此时斜率为:230203=--=k , ∴直线方程为y=23x （2）当直线不过(0,0)时，设直线方程为:1=+b y a x ,又过P(2,3),∴132=+b a ,求得a=5 ∴直线方程为x+y-5=0.综上可得:所求直线方程为x+y-5=0或y=23x .三、忽视题目隐含条件导致错误例3 已知在ABC ∆中，BC=8,另两边长之差为6，求顶点A 的轨迹方程错解 以边BC 所在直线为x 轴，BC 的中点为坐标原点，建立直角坐标系，因为68AB AC BC -=<=，所以点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线，由已知得a=3,c=4，21697b =-=，故顶点A 的轨迹方程为22197x y -= 剖析 上述解法忽视了A 、B 、C 为三角形的三个顶点，即A 、B 、C 三点不能共线这一限制，从而导致结果错误正解 以边BC 所在直线为x 轴，BC 的中点为坐标原点，建立直角坐标系，因为68AB AC BC -=<=，所以点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线，由已知得a=3,c=4，21697b =-=，又由A 、B 、C 三点不能共线知点A 不能落在x 轴上， 所以顶点A 的轨迹方程为221(0)97x y y -=≠ 评注 解轨迹问题时，求出轨迹方程后，一定要考虑轨迹上的每一个点是不是都符合题意，即考虑轨迹方程的纯粹性，有没有多余的点.四、忽视曲线自身范围的制约导致错误例4 设椭圆的中心是坐标原点，长轴x 在轴上，离心率23=e ，已知点)23,0(P 到这个椭圆上的最远距离是11，求这个椭圆的方程。

高中数学易错知识点总结直线与方程易错点1：忽略90°倾斜角的特殊情形例1：求经过点A(m，3)和B(1，2)的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围。

错误解法】根据斜率公式，直线AB的斜率k为：k = (3-2)/(m-1)①当m>1时，k>0，因此直线的倾斜角α的取值范围是0°<α<90°；②当m<1时，k<0，因此直线的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°。

错误原因分析】当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象进行分类讨论，然后对每一类分别研究，得出每一类结果，最终解决整个问题。

本题的讨论分两个层次：第一个层次是讨论斜率是否存在；第二个层次是讨论斜率的正、负。

也可以分为m=1，m>1，m<1三种情况进行讨论。

参考答案】详见试题解析。

易错点2：忽略斜率不存在的特殊情形例2：已知直线l1经过点A(3，a)和B(a-2，3-a)，直线l2经过点C(2，3)和D(-1，a-5)，若l1⊥l2，求a的值。

错误解法】由l1⊥l2⇔k1·k2=-1，所以a=0.k2 = (3-a-3)/(a-2+1) = (a-6)/(a-1)，k1不存在。

错误原因分析】只有在两条直线斜率都存在的情况下，才有l1⊥l2⇔k1·k2=-1，还有一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在的情况也要考虑。

试题解析】由题意知l2的斜率一定存在，则l2的斜率可能为0，下面对a进行讨论。

当k2=0时，a=5，此时k1不存在；当k2≠0时，由k1·k2=-1可得a=4或a=-2.因此，a的取值为4、-2或5.2.由两条直线平行或垂直求参数的值：在解这类问题时，需要先考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；解题后，需要检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解。

3.两条直线的位置关系可以通过斜截式或一般式来表示。

总结解方程时常见的易错点解方程是数学中一个重要的环节，也是数学学习中的难点之一。

在解方程的过程中，常常会出现一些易错点，导致答案错误或者出现偏差。

为了帮助大家更好地解方程，本文将总结解方程时常见的易错点，并提供解决方法，希望能帮助读者顺利解决解方程的问题。

1. 未合理化方程：在解方程的过程中，有时我们会遇到含有分式、开方等复杂形式的方程，这时需要进行合理化处理。

例如，对于含有分式的方程，我们可以通过通分的方式来消去分母，对含有开方的方程，可以通过两边平方的方式来消除根号。

如果未进行合理化处理就直接进行计算，往往会导致错误的答案。

解决方法：在解方程之前，经常需要对方程进行合理化处理，消去分式或者平方根，将方程转化为简单的形式。

这样能够避免因为未合理化而导致的错误结果。

2. 忽略定义域：在解方程的过程中，有时候会忽略方程的定义域，从而得到的答案超出了方程的解集。

例如，对于含有分式的方程，分母不能为零，忽略了这个条件就直接进行计算，得到的结果可能是错误的。

解决方法：在解方程的过程中，要注意方程的定义域，尤其是含有分式、开方等特殊形式的方程。

对于分式方程，需要排除分母为零的情况，并在解方程的过程中加以限制，确保得到的解在定义域范围内。

3. 忽略等式两侧的等价变形：解方程的过程中，往往需要对等式两侧进行等价变形，以便简化方程。

有时候，我们会忽略其中一侧的等式变形，导致解出来的方程与原方程不等价，进而得到错误的答案。

解决方法：在解方程的过程中，要注意等式两侧的等价变形，确保每一步的操作都符合等价性质，并对方程进行简化。

如果忽略了其中一侧的等式变形，可以回过头来检查是否有遗漏的等式变换。

4. 代入错误：解方程的一种常见方法是代入法，即将已知解代入原方程验证是否成立。

但有时候，在代入过程中可能会出现计算错误，导致验证不通过，进而误认为已得到的解是错误的。

解决方法：在代入过程中，要仔细进行计算，确保代入的值符合原方程。

2021年高考数学复习 专题15 解析几何 直线的方程易错点主标题：直线的方程易错点副标题：从考点分析直线的方程在高考中的易错点，为学生备考提供简洁有效的备考策略。

关键词：直线的方程，易错点难度：2 重要程度：4内容：求直线方程忽视零截距例1. 设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )．(1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程；(2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．错解：解.l 在两坐标轴上截距相等∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1. ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.(2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴⎩⎨⎧ －a ＋1＞0，a －2≤0或⎩⎨⎧ －a ＋1＝0，a －2≤0，∴a ≤－1综上可知a 的取值范围是a ≤－1.剖析：此处易忽视在轴与轴上的截距为零的情况. 正解：(1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当直线不经过原点时，截距存在且均不为0. ∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1. ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.(2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴⎩⎨⎧ －a ＋1＞0，a －2≤0或⎩⎨⎧ －a ＋1＝0，a －2≤0，∴a ≤－1综上可知a 的取值范围是a ≤－1.方法：1.在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解.2.常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形.注意分类讨论思想的运用.21216 52E0 勠20770 5122 儢37652 9314 錔N[25065 61E9 懩}28807 7087 炇GG27467 6B4B 歋40778 9F4A 齊CC1。

直线与方程圆与方程易错点剖析1.直线的斜率计算错误：直线的斜率有两种常见的计算方式，一种是斜率公式：k=(y2-y1)/(x2-x1)，另一种是两点式：k=(y-y1)/(x-x1)。

在计算斜率的过程中容易出错的地方是计算差值时出现错误，特别是符号的问题。

解决方法是先计算差值，然后根据分子分母的符号情况确定斜率的符号。

2.直线的点斜式与一般式转换错误：直线的标准方程有两种，一种是点斜式：y-y1=k(x-x1)，另一种是一般式：Ax+By+C=0。

在通过点斜式转换为一般式时，容易出错的地方是计算C的值时出现错误，特别是符号的问题。

解决方法是先将点斜式扩展为一般式的形式，然后根据表达式的形式确定C的值。

3.直线与其他已知图形的位置关系判断错误：直线与其他图形的位置关系判断是直线的重要应用之一，但容易出错的地方是判断中心点的坐标、直径或半径的取值错误。

解决方法是先确定图形的标准方程，然后通过求解方程组来确定图形的位置关系。

1.圆心与半径的确定错误：圆的方程形式可以是标准方程、一般方程或参数方程。

在确定圆心和半径的数值时，容易出错的地方是符号的问题，特别是符号的正负选择错误。

解决方法是注意与圆心和半径相关的方程的正负关系，参考其他已知条件来确定。

2.圆与直线的位置关系判断错误：圆与直线的位置关系判断是圆的重要应用之一，但容易出错的地方是判断直线是否切线或者是与圆相交。

解决方法是通过求解方程组来确定直线与圆的交点情况，注意解的个数来判断。

3.圆与其他已知图形的位置关系判断错误：圆与其他图形的位置关系判断是圆的重要应用之一，但容易出错的地方是判断中心点的坐标、半径或边长的取值错误。

解决方法是先确定图形的标准方程，然后通过求解方程组来确定图形的位置关系。

求直线的方程问题常见错误剖析求直线的方程是解析几何中重要内容之一，也是高考的必考内容。

直线方程涉及的内容多，题目灵活，解题中容易出现偏差，下面对解题中的一些常见的错误进行剖析，以帮助同学们理解和掌握。

一、忽略斜率不存在致错若将直线方程设为点斜式或斜截式时，应对斜率是否存在进行讨论，否则回导致错误。

例1 求过（1，2）且与直线y=33x+1的夹角为 60的直线方程 错解：设所求直线的斜率为k ，因为直线y=33x+1的斜率为k 1=33，由两直线的夹角公式得︱k k 33133+-︱= tan 60=3，解得k=－33，由点斜式得，y －2=－33·（x －1）， 故所求直线方程为：3x+3y －6－3=0。

剖析：这里忽略了斜率不存在的情况。

事实上，还有一条直线x=1也符合条件。

二、忽略截距为零致错截距相等包含两层含义，一是截距不为零时相等，二是截距为零时相等，而往往后者常被人们忽视，造成遗漏。

因此，解决此类题目，要注意分类讨论。

例2 直线L 经过点P （3，2），且在两坐标轴上的截距相等，求直线L 的方程。

错解：由题意，直线两坐标轴上的截距相等，则可设方程为1=+a y a x 。

∵直线L 过点P （3，2）， ∴123=+a a ，即 a=5， ∴ 方程为155=+y x ，即x+y －5=0。

剖析：故设的直线方程是以截距不为零为前提的，事实上，当直线过原点时，在x 轴、y 轴上的截距都为零，也满足条件，此时直线方程为y=32x 。

故满足题意的直线方程为y=32x 或x+y －5=0。

三、忽视与x 轴平行致错例3 设直线L 经过点A （2，1），B （3，m ），求直线L 的方程。

错解：由两点式，得 23211--=--x m y经整理，得 （m －1）·x －y + 3－2m=0 （m ≠1）剖析：这里忽视了m=1，即与x 轴平行时，也满足题意，此时直线方程为y=1。

直线与方程知识点总结一、直线基本知识 1、直线的倾斜角与斜率 1直线的倾斜角① 关于倾斜角的概念要抓住三点：ⅰ.与x 轴相交; ⅱ.x 轴正向; ⅲ.直线向上方向. ② 直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00. ③ 倾斜角α的范围000180α≤<.④ 0,900≥︒≤︒k α； 0,18090 k ︒︒α 2直线的斜率①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值,而倾斜角为090的直线斜率不存在; ②经过两点),(),,(222111y x P y x P 21x x ≠的直线的斜率公式是1212x x y y k --=21x x ≠ ③每条直线都有倾斜角,但并不是每条直线都有斜率; 2、两条直线平行与垂直的判定 1两条直线平行对于两条不重合的直线12,l l ,其斜率分别为12,k k ,则有1212//l l k k ⇔=; 特别地,当直线12,l l 的斜率都不存在时,12l l 与的关系为平行; 2两条直线垂直如果两条直线12,l l 斜率存在,设为12,k k ,则12121l l k k ⊥⇔=-注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1,这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1,可以得出两直线垂直,反过来,两直线垂直,斜率之积不一定为-1;如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,12l l 与互相垂直;二、直线的方程 1、直线方程的几种形式注：过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线是否一定可用两点式方程表示 不一定;1若2121y y x x ≠=且,直线垂直于x 轴,方程为1x x =； （2）若2121y y x x =≠且,直线垂直于y 轴,方程为1y y =； （3）3若2121y y x x ≠≠且,直线方程可用两点式表示 2、线段的中点坐标公式若两点),(),,(222111y x P y x P ,且线段21,P P的中点M 的坐标为),(y x ,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x 3. 过定点的直线系①斜率为k 且过定点),(00y x 的直线系方程为)(00x x k y y -=-；②过两条直线0:1111=++C y B x A l , 0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λλ为参数,其中直线l 2不在直线系中.三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点设两条直线的方程是0:1111=++C y B x A l , 0:2222=++C y B x A l 两条直线的交点坐标就是方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A 的解,若方程组有唯一解,则这两条直线相交,此解就是交点的坐标；若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行；反之,亦成立; 2.几种距离 1两点间的距离平面上的两点),(),,(222111y x P y x P 间的距离公式21221221)()(y y x x P P -+-=特别地,原点)0,0(O 与任一点),(y x P 的距离22y x OP += 2点到直线的距离点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离2200BA C By Ax d +++=3两条平行线间的距离两条平行线0:11=++C By Ax l , 0:22=++C By Ax l 间的距离2212BA C C d +-=注意：① 求点到直线的距离时,直线方程要化为一般式；② 求两条平行线间的距离时,必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后,才能套用公式计算;补充：1、直线的倾斜角与斜率 1直线的倾斜角（2）．已知斜率k 的范围,求倾斜角α的范围时,若k 为正数,则α的范围为(0,)2π的子集,且k=tan α为增函数；若k 为负数,则α的范围为(,)2ππ的子集,且k=tan α为增函数;若k 的范围有正有负,则可所范围按大于等于0或小于0分为两部分,针对每一部分再根据斜率的增减性求倾斜角范围;2、利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或,则有A 、B 、C 三点共线; 注：斜率变化分成两段,090是分界线,遇到斜率要谨记,存在与否需讨论; 3. 两条直线位置关系的判定：已知 0:11=++C By Ax l , 0:22=++C By Ax l ,则：（1）0212121=+⇔⊥B B A A l l2;0,0-//1221122121≠-=⇔C A C A B A B A l l3;0,0-1221122121=-=⇔C A C A B A B A l l 重合与41l 与2l 相交01221≠-⇔B A B A如果2220A B C ≠时,则：11221121-=•⇔⊥B A B A l l 2⇔21//l l ）不为0,,(222212121C B A C CB B A A ≠=；31l 与2l 重合⇔）不为0,,(222212121C B A C CB B A A ==41l 与2l 相交⇔）不为0,(222121B A B BA A ≠4. 有关对称问题 常见的对称问题： 1中心对称①若点),(11y x M 及),(22y x N 关于),(b a P 对称,则由中点坐标公式得⎩⎨⎧-=-=1122y b y x a x②直线关于点的对称,其主要方法是：在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程,或者求出一个对称点,再利用21//l l ,由点斜式得到所求直线方程;2轴对称①点关于直线的对称若两点),(111y x P 与),(222y x P 关于直线0:=++C By Ax l 对称,则线段21P P 的中点在对称轴l 上,而且连接21P P 的直线垂直于对称轴l 上,由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-•--=++++1)(0)2()2(12122121B A x x y y C y y B x x A ⎩⎨⎧==⇒22y x 可得到点1P 关于l 对称的点2P 的坐标),(22y x 其中21,0x x A ≠≠②直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行;注：①曲线、直线关于一直线b x y +±=对称的解法：y 换x ,x 换y . 例：曲线0),(=y x f 关于直线2-=x y 对称曲线方程是0)2,2(=-+x y f②曲线0),(:=y x f C 关于点),(b a 的对称曲线方程是0)2,2(=--y b x a f 5. 两条直线的交角①直线1l 到2l 的角方向角；直线1l 到2l 的角,是指直线1l 绕交点依逆时针方向旋转到与2l 重合时所转动的角θ,它的范围是),0(π,当 90≠θ时21121tan k k k k +-=θ. ②两条相交直线1l 与2l 的夹角：两条相交直线1l 与2l 的夹角,是指由1l 与2l 相交所成的四个角中最小的正角θ,又称为1l 和2l 所成的角,它的取值范围是 ⎝⎛⎥⎦⎤2,0π,当90≠θ,则有21121tan k k k k +-=θ.6. 直线l 上一动点P 到两个定点A 、B 的距离“最值问题”： (1) 在直线l 上求一点P,使PB PA +取得最小值,① 若点B A 、位于直线l 的同侧时,作点A 或点B 关于l 的对称点/A 或/B ,.)(//即为所求点，则点于交或连接P P l AB B A② 若点B A 、位于直线的异侧时,连接AB 交于l 点P ,则P 为所求点;可简记为“同侧对称异侧连”.即两点位于直线的同侧时,作其中一个点的对称点；两点位于直线的异侧时,直接连接两点即可.（2）在直线l 上求一点P 使PB PA -取得最大值,方法与1恰好相反,即“异侧对称同侧连”① 若点B A 、位于直线l 的同侧时,连接AB 交于l 点P ,则P 为所求点;② 若点B A 、位于直线的异侧时,作点A 或点B 关于l 的对称点/A 或/B ,.)(//即为所求点，则点于交或连接P P l AB B A3 22PB PA +的最值：函数思想“转换成一元二次函数,找对称轴”;7. 直线过定点问题：① 含有一个未知参数,12)1(-+-=a x a y 1)2(+-+=⇒x x a y 1 令202-=⇒=+x x ,将3)1(2=-=y x 式，得代入,从而该直线过定点)3,2(-② 含有两个未知参数0)2()3(=-++-n y n m x n m 0)12()3(=-+-++⇒y x n y x m令⎩⎨⎧-+-=+1203y x y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⇒7371y x从而该直线必过定点)73,71(-8. 点到几种特殊直线的距离1点00(,)P x y 到x 轴的距离0||d y =; 2点00(,)P x y 到y 轴的距离0||d x =.3点00(,)P x y 到与x 轴平行的直线y=a 的距离0||d y a =-; 4点00(,)P x y 到与y 轴平行的直线x=b 的距离0||d x a =-. 9. 与已知直线平行的直线系有：1平行于直线)(00//C C C By Ax C By Ax ≠=++=++的直线可表示为2平行于直线)(//b b b kx y b kx y ≠+=+=的所有直线为10. 易错辨析：1 讨论斜率的存在性：解题过程中用到斜率,一定要分类讨论：① 斜率不存在时,是否满足题意；② 斜率存在时,斜率会有怎样关系;2注意“截距”可正可负,不能“错认为”截距就是距离,会丢解； 求解直线与坐标轴围成面积时,较为常见; 3 直线到两定点距离相等,有两种情况：① 直线与两定点所在直线平行； ② 直线过两定点的中点;求解过某一定点的直线方程时,较为常见; 4过点),(00y x A ,平行于x 轴的直线方程为0y y = 过点),(00y x A ,平行于y 轴的直线方程为0x x =。

诊断求直线方程中的易错点求直线方程是这一章的基本内容之一，但初学时同学们容易考虑不周或忽视一些特殊情况，导致出现各种错误。

归纳如下：1. 忽视斜率不存在导致错误例1：求经过点(2,1)A -，且到点(1,1)B -的距离为3的直线方程错解：由点斜式，设所求直线方程为1(2)y k x +=-，即210kx y k ---=，由题设，点(1,1)B -到此直线的距离为33=，解得512k = 于是所求直线的方程为51(2)12y x +=-，即512220x y --=。

剖析：求直线方程时，容易认为所求直线的斜率存在，而忽视斜率不存在的情况，从而造成失解，避免失解的办法首先要有分类讨论的思想，养成严密思考的习惯，其次是数形结合，通过作图分析判断斜率不存在的直线有无可能。

本例中，当直线斜率不存在时，直线方程为2x =，也适合题意。

故本题所求直线方程为2x =或512220x y --=2. 忽视截距为0导致错误例2：求过点(2,1)P -，在x 轴和y 轴的截距分别为a b 且满足3a b =的直线方程。

错解：由题意，可设直线方程为1x y a b +=（0ab ≠） 即13x y b b+=，又因为直线过点(2,1)P - 所以2113b b -+=，解得13b =- 所求直线方程为1113x y +=--，即310x y ++= 剖析：在截距相等（或是倍数关系时），容易漏掉截距为0的情况。

当30a b ==时，直线过原点，也满足题意。

即所求直线方程为310x y ++=或12y x =- 3． 位置关系考虑不全导致错误例3：已知直线l 过点(0,1)P 且和点(4,0)A 、(8,3)B -等距离，求直线l 的方程 错解：由题意，所求直线过点(0,1)P 且与直线AB 平行。

而34AB k =-，故所求直线方程为314y x =-+，即3440x y +-=。

剖析：解析几何是一门关于几何的科学，要重视题目的几何特征，一定注意把所有可能的情况相完整，准确，才能正确的解决问题。