直线与方程易错题(有非常详细的解答与分析)

求直线方程易错的几个典型问题作者：代学奎来源：《广东教育·高中》2008年第05期求直线方程是解析几何中的基本题型之一，在求解问题时，如果考虑不周全或忽略特殊情况，就往往会出现漏解、错解现象.本文就此问题从九个方面加以剖析，以引起同学们的注意.一、不注意倾斜角的取值范围引发的错误在处理直线问题时，一定要注意倾斜角的取值范围是0°≤?琢＜180°，否则很容易会出现只考虑锐角而丢掉钝角的情况，而漏解.例1 一条直线l过点（2，1）且与x轴的夹角为45°，求这条直线的方程.错解∵直线l与轴的夹角为45°，∴直线的倾斜角α＝45°，∴直线l的斜率k=tan45°=1，所以直线方程为y-1=x-2，即x-y-1=0.剖析上面的解法只考虑了直线l与x轴的夹角为45°，∴直线的倾斜角α＝45°这一种情况，而当倾斜角为１３5°时，直线l与x轴的夹角也为45°.正解∵直线l与x轴的夹角为45°，∴直线的倾斜角α＝45°或１３5°，∴直线的斜率k=tan45°=1或k=tan135°=-1.当斜率为1时，直线方程为y-1=x-2，即x-y-1=0；当斜率为－1时，直线方程为y-1=-（x-2），即x＋y-3=0，∴这条直线方程为x-y-1=0或x＋y-3=0.点评这里对倾斜角的理解最关键，根据直线l与x轴的夹角为45°，而只认为直线的倾斜角为α＝45°这一锐角，而漏掉直线的倾斜角α＝１３5°是钝角的这一情况，从而漏掉了一条直线方程.二、忽视隐含条件增解引发的错误倾斜角的取值范围是0°≤?琢＜180°，有时在解题时隐含着这一条件，若不注意会导致超出范围，扩大解集而引发出错误.例2 已知通过定点A（8，6）的四条直线，其倾斜角的比是1∶ 2 ∶ 3 ∶ 4，第二条直线方程3x-4y=0，求其余三条直线方程．错解设四条直线的倾斜角依次为?琢、2?琢、3?琢、4?琢，由已知tan2?琢= ，即 = ，整理得3tan2?琢＋8tan?琢－3=0，解得tan?琢= 或tan?琢=－3．当tan?琢= 时，可求得第一条直线为x-3y+10=0；第三条直线为13x-9y-10=0；第四条直线为24x-7y-150=0；当tan?琢=－3时，可求得第一条直线为３x＋y-３２=0；第三条直线为９x-１３y-150=0；第四条直线为24x-7y-150=0．剖析上述求解过程，没有考虑到直线倾斜角的取值范围．由方程3tan２?琢＋8tan?琢－3=0，解出tan?琢= 或tan?琢=－3，事实上，由0°≤4?琢＜１８０°,可知0°≤?琢＜４５°，所以tan?琢=－3是增根，应舍去．正解设四条直线的倾斜角依次为?琢、2?琢、3?琢、4?琢，∵0°≤4?琢＜１８０°，∴0°≤?琢＜４５°．由已知tan2?琢= ，即 = ，整理得3tan2?琢+8tan?琢－3=0，解得tan?琢= 或tan?琢=－3 (舍去)，∴第一条直线方程为y-6= （x-8），即x-3y+10=0.又tan3?琢= = = ，所以第三条直线方程为y-6=（x-8），即13x-9y-10=0.而tan4?琢= = ，所以第四条直线方程为y-6= （x-8），即24x-7y-150=0．点评直线的倾斜角?琢的范围是0°≤?琢＜180°，在解题时若不深入挖掘这个隐含条件，就会扩大解集．三、选用直线方程的形式不当引发的错误若将直线方程设为点斜式y－y0=k（x－x0）或斜截式y=kx＋b，即已经承认直线斜率存在，而漏掉了直线斜率不存在的情况，因此应针对斜率是否存在进行分类讨论.例3 求经过点P（2，5），并且与点（－4，1）距离等于6的直线方程.错解设所求直线的斜率为k，因为过点P（2，5），则直线方程为y－5＝k（x－2），整理得kx－y－2k＋5＝0，原点到该直线距离d＝，由题意得 =6，∴12k＋5＝0，∴k＝- .即所求直线方程为- x-y+2(- )+5=0，即5x＋12y －50＝0.剖析错解中设直线的斜率为k，直线方程为y－7＝k（x－2），就已承认直线斜率存在，这样就忽略了当直线的斜率不存在时而直线存在的情况.正解（1）当斜率存在时，由上述解得5x＋12y－50＝0;（2）当斜率不存在时，直线平行于y轴，直线方程为x＝2，点（－4，1）到它的距离为6，∴x＝2是所求直线方程.综上可得，直线方程为5x＋12y－50＝0和x＝2.点评一般地，求直线方程，设为点斜式或斜截式是常见的两种形式.设本身已承认了直线的斜率存在，所以易出错，因此，一定要考虑斜率不存在而直线存在的形式.例4 已知直线l经过点P(3，1)点，且被两平行直线l1：x＋y＋1=0和l2：x＋y＋6=0截得的线段之长为5，求直线l的方程．错解设直线l的方程为y=k（x－3）＋1，解方程组y=k（x-3）+1，x+y+1=0，得y= ，y=- .∴直线l与l1交于A( ，- )，解方程组y=k（x-3）+1，x+y+6=0，得y= ，y=- . ∴直线l与l2交于B( ，- )．由题意，得|AB|=5，∴( - )2＋［- -（- ）］2= 52，解之得k=0，∴所求直线l的方程为y=1．剖析直线的点斜式方程是以直线斜率存在为前提的，当直线斜率不存在时，不能建立和使用直线的点斜式方程．在错解中，设直线l的方程为y=k(x－3)＋1，已经默认了直线l的斜率存在，从而漏去了直线l斜率不存在的情况，而本题中过P点且斜率不存在的直线恰好符合题意，所以错解丢掉了一个解．正解若直线l的斜率存在，由前面解法知，所求直线l的方程为y=1．若直线l的斜率不存在，则直线方程为x=3，此时与l1、l2的交点分别为A（3，－4)、B（3，－9），截得的线段AB的长|AB|=|－4＋9|= 5，符合题意．综上所述，直线l的方程为y=1或x=3．点评此题还可以这样考虑：求过一定点，且被两已知平行直线截得线段为定长a的直线，当a小于两平行直线之间距离d时无解；当a=d时有唯一解；当a＞d时，有且只有两个解．所以，此题可先求出夹角?兹后再求直线l的斜率或倾斜角，这样解题较为简便．四、忽视斜率不存在的情况引发的错误含参数的直线方程中，一定注意垂直于x轴的情况，此情况直线方程存在而斜率不存在，常常忽视而漏解.例5 已知直线mx＋8y＋m－10=0 和直线x＋2my－4= 0 垂直，求m的值.错解两条直线的斜率分别为k1=－，k2=－，由垂直条件得k1k2=－1?圯(－ )(－ )=－1?圯 =－1，显然不成立.因此，两条直线不能垂直.剖析错误的原因是无条件地把直线的一般式化为斜截式，而当m = 0时，直线x＋2my－4=0的斜率不存在，此时不能化为斜截式，因此，也不存在k2=－ .正解若m≠0时，两条直线的斜率分别为k1=－，k2=－，由垂直条件得k1k2=－1?圯(－ )(－ )=－1?圯 =－1，显然不成立.因此，两条直线不能垂直；若m=0时，两直线方程为y= 和x=4，这两条直线垂直，所以两条直线垂直时，m=0.五、忽略截距为零引发的错误截距相等包含两层意思，一是截距不为零时相等，二是截距为零时相等，而后者常被忽视，造成漏解，因此，对于此类题目，也要分类讨论.例6 求过点M（3，2），且在x、y轴上的截距相等的直线方程.错解因为所求直线经过点M且在坐标轴上的截距相等，所以可设所求直线方程为＋ =1.将M点坐标代入可得a=5，故所求直线方程为x+y=5.正解“截距相等”分截距为零和截距不为零两种情况，上述解法漏掉了截距为零的情况，即直线y=6x也合题意，正确答案为两条直线：y=6x和x+y=5.点评在x、y轴上的截距相等，设直线方程为截距式＋ =1最简单，但此形式已经认为不过原点，所以过原点截距都为零这种情况极易漏掉，应引起注意.例7 已知直线l在x轴、y轴上的截距的绝对值相等，且到点（1，2）的距离为，求直线l的方程．错解由于直线l在x轴、y轴上的截距的绝对值相等，所以直线l的斜率为1或－1，设l 的方程为y= x＋m或y=－x＋m，又点（1，2）到直线l的距离为，∴ = 或 = ，由|m－1|= 2，解得m=3或m=－1；由|3－m|=2解得m=1或m=5，故所求直线l的方程为y=x＋3或y=x－1或y=－x＋1或y=－x＋5．剖析错解忽视了直线l在两坐标轴上截距都为零的情况，解答不完整，截距为零的情况也符合题意．正解当l在两坐标轴上的截距都不为零时，解法同上．当l在两坐标轴上的截距都为零时，方程应为y=kx，根据题意，得 = ，解这个方程的得k= －2或k=－－2，所以方程为y=( －2)x或y =－（＋2）x．综合上述可得，l的方程为y=x＋3或y=x－1或y =－x＋1或y=－x＋5或y=（ -2）x或y=－（＋2）x．点评两轴上的截距相等，包含了截距相等且不为零和截距相等且为零两种情况，前者斜率为－1，可用方程＋ =1，后者斜率不一定为－1，常利用形如y=kx的方程．六、忽视公式中限制条件引发的错误例8 求过点P (5，2)，且和直线y=x +5相交成45°角的直线方程．错解设直线l1：y = x + 5的斜率为k1，所求直线l2的斜率为k2，若l1到l2的角为45°，则由两直线的夹角公式tan?兹= ，得tan45°= ，即1 = ，亦即1 +k2=k2－1，此式显然不成立，故满足条件的直线不存在．剖析上述解法似乎无懈可击，但满足条件的直线确实存在，那么究竟错在哪里呢？下面我们来分析两直线到角公式推导过程中值得注意的一些问题．如图，设直线l1的倾斜角为?琢1，l2的倾斜角为?琢2，直线l1到l2的角为?兹，则?兹=?琢2－?琢1，那么tan?兹= tan(?琢2－?琢1) = ，设k1=tan?琢1，l2=tan?琢2，故有tan?兹= ．从上面的推导过程，不难发现，当?琢1、?琢2或?兹中有一个角为90°时，tan?琢1或tan?琢2就失去了意义，从而到角公式就失去了意义，因此，使这个公式成立的条件还应有?兹≠90°且?琢1≠90°，?琢2≠90°．上面的错解是假设?兹=45°，由k1= 1知?琢1=45°，但没有排除?琢2=90°的可能．事实上，由?兹=45°，?琢1=45°，则?琢2=?兹＋?琢1=90°，这时公式就失去了意义．这就是上面解法出现错误的原因所在．正解⑴设直线l1到直线l2的角为45°，又l1的斜率为k1，有?琢1=45，于是l2的倾斜角为90°，故l2垂直于x轴，又l2过点P (5，2)，所以l2的方程为x=5．⑵设直线l2到直线l1的角为45°，则直线l1平行于x轴，又l2过点P (5，2)，故l1的方程为y=2．故所求直线方程为x= 5或y= 2．点评在运用两直线到角的公式时，必须注意使公式成立的有关条件，教材中提到了使1+k1k2≠0的情形，即两条直线不垂直的条件限制．七、混淆截距与距离引发的错误要明确截距的概念，直线l与y轴交点的纵坐标叫做直线在y轴上的截距，简称纵截距.直线l与x轴交点的横坐标叫做直线在x轴上的截距，简称横截距.截距可取一切实数，即可为正数、零、负数.在此要区分截距与距离的概念，距离必须大于零或等于零.例 9求过点P(－5, －4)且与两坐标轴所围成的三角形面积为5的直线方程.错解设直线方程为 + =1，且直线过点P(－5, －4)，得 + =1 ①，又 ab=5，故ab=10 ②，由①②无解，故直线方程不存在.正解这里将直线在x轴和y轴的截距当成距离.事实上，直线与两坐标轴所围成的三角形面积为，而不是，由 =5，与①联立解得a=- ，b=4a=5,b=-2,故所求方程为 + =1或 + =1，即8x －5y +20 = 0或2x－5y－10 = 0.点评学生在解题时，对概念的内涵理解不透，常引发错误，此题面积为误认为，产生错解.八、应用直线系方程漏解引发的错误例10过两直线x + y－1 = 0和2x－y + 4 = 0的交点，且到原点的距离为的直线方程.错解设所求直线为x + y－1 + λ(2x－y + 4) = 0,即(2λ+1)x + (1－λ)y + 4λ－1= 0.由题意得= ，解得λ=- ,故所求直线方程为2x + 11y－20 = 0.正解原点到直线2x－y + 4 = 0的距离也为 .一般地，f1+ λf2=0表示经过的f1、f2交点但不包括f2的所有直线，而上述解法恰好漏掉了直线2x－y + 4 = 0，故应先分类讨论.所以满足条件的直线方程为2x + 11y－20 = 0和2x－y + 4 = 0.点评此题特殊情况就在于原点到两直线x + y－1 = 0和2x－y + 4 = 0的交点的距离正好等于原点到直线2x－y + 4 = 0的距离，而直线系x + y－1 + λ(2x－y + 4) = 0又不包括直线2x－y + 4= 0,所以极易漏掉直线2x－y + 4 = 0.九、位置关系考虑不周引发的错误例11直线l过点M(1 , 2)且A(2 , 3)、B(4 ,－5)到直线l的距离相等，求直线l的方程.错解由题意，所求直线过M(1 , 2)且与AB平行，而k =－4，故所求直线方程为y－2 =－4(x－1)，即4x + y－6 = 0.正解上面的解法中遗漏了另一种情况，B、A分别位于直线l的两侧且到l的距离相等的情况.易知，此种情况下，直线l必过AB的中点N(3,－1)，又直线l过点M，因此,直线方程为3x + 2y－7=0.故所求直线方程应为4x + y－6 = 0或3x + 2y－7=0.点评点A、B在直线l的同侧时，直线AB与直线l平行；在点A、B在直线l的异侧时，直线AB与直线l相交，学生在做题时，极易只考虑平行情况而出错.责任编校徐国坚。

直线的方程题及答案本文将探讨一些关于直线方程的题目，并提供详细的解答。

直线方程是数学中的重要概念，掌握好直线方程的求解方法对理解几何学和代数学都至关重要。

题目一：求直线的斜率和截距已知直线通过点P(2, 3)，斜率为2，求此直线的方程。

解答：直线的一般方程为：y = mx + c，其中m为直线的斜率，c为直线的截距。

已知直线通过点P(2, 3)且斜率为2，代入上述方程得：3 = 2 * 2 + c，解得c = -1。

因此，直线的方程为：y = 2x - 1。

题目二：两条直线的交点已知直线l1过点A(1, 2)，斜率为3；直线l2过点B(2, 4)，斜率为-2。

求直线l1和l2的交点坐标。

解答：设直线l1的方程为y = 3x + c1，直线l2的方程为y = -2x + c2。

由已知，直线l1经过点A(1, 2)，代入方程得：2 = 3 * 1 + c1，解得c1 = -1。

直线l2经过点B(2, 4)，代入方程得：4 = -2 * 2 + c2，解得c2 = 8。

将c1和c2带入对应方程，得到直线l1的方程为y = 3x - 1，直线l2的方程为y = -2x + 8。

为求两条直线的交点，令它们的y值相等，解方程得：3x - 1 = -2x + 8，解得x = 1，将x = 1代入任一方程得到y = 2。

因此，直线l1和l2的交点为(1, 2)。

题目三：两直线平行或垂直判断已知直线l1的方程为2x + 3y = 4，直线l2经过点C(1, -1)，斜率为-2。

判断直线l1和l2是否平行或垂直。

解答：两条直线平行的条件是它们的斜率相等。

直线l1的斜率可用标准形式y = (-a/b)x + c得到，即斜率为-2/3；直线l2的斜率为-2。

由此可知，直线l1和l2的斜率不相等，因此它们不平行。

两条直线垂直的条件是它们的斜率乘积为-1。

直线l1的斜率为-2/3，直线l2的斜率为-2，它们的乘积不等于-1。

直线与方程及圆与方程易错题直线与方程及圆与方程易错题1、点(3,9)关于直线3100x y +-=对称的点的坐标是（）.A ．(1,3)-- B.(17,9)- C ．(1,3)- D ．(17,9)-2、求经过直线3260x y ++=和2570x y +-=的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。

3、过点(4,2)P 作直线l 分别交x 轴、y 轴正半轴于,A B 两点，当AOB ?面积最小时，求直线l 的方程。

4、点P(x,y)在x+y-4=0上，则x 2+y 2最小值为5、如果三条直线mx +y +3=0,x -y -2=0,2x -y +2=0不能成为一个三角形三边所在的直线，那么m 的一个值是6、已知两条直线l 1：y ＝1；l 2：ax －y ＝0（a ∈R ），当两直线夹角在（0，12π）变动时，则a 的取值范围为7、ABC ?中，点A (),1,4-AB 的中点为M (),2,3重心为P (),2,4BC 的长为 8、若直线062=++y ax 和直线0)1()1(2=-+++a y a a x 垂直，a 的值为9、直线2x+3y-5=0关于直线y=x 对称的直线方程为（）A 、3x+2y-5=0B 、2x-3y-5=0C 、3x+2y+5=0D 、3x-2y-5=0 10、与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是（）A.3x-2y-6=0B.2x+3y+7=0C. 3x-2y-12=0D. 2x+3y+8=011、过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 _ 12、直线062=++y m x 与直线023)2(=++-m my x m 没有公共点，实数m 的值为13、过点（２，３）的直线Ｌ被两平行直线Ｌ１：２ｘ－５ｙ＋９＝０与Ｌ２：２ｘ－５ｙ－７＝０所截线段ＡＢ的中点恰在直线ｘ－４ｙ－１＝０上，求直线Ｌ的方程。

14、过圆(x －1)2+（y －1）2=1外一点P(2,3),向圆引两条切线切点为A 、B. 求经过两切点的直线l 方程．15、自点A （－3，3）发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线m 所在直线与圆C ：x 2 + y 2－4x －4y +7 = 0相切，求光线L 、m 所在的直线方程．16、已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在圆上()2214x y ++=运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．17、直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y 2=9截得的弦长为（）． (A)22 (B)4 (C)24 (D)218、自点1)3()2()4,1(22=-+--y x A 作圆的切线，则切线长为（）．(A) 5 (B) 3 (C) 10 (D) 519、过原点的直线与圆x 2+y 2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（）．(A) x y 3= (B)x y 3-= (C)x y 33=（D ）x y 33-= 20、M （x 0，y 0）为圆x 2+y 2=a 2（a>0）内异于圆心的一点，则直线x 0x+y 0y=a 2与该圆的位置关系是（）．(A)相切 (B)相交 (C)相离（D ）相切或相交21、过点A (1，－1)，B (－1，1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( )．A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4 B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝422、圆x 2＋y 2－2x －5＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的交点为A ，B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是( )．A ．x ＋y －1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ．x －2y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0 23、圆x 2＋y 2－2x ＝0和圆x 2＋y 2＋4y ＝0的公切线有且仅有( )．A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条24、空间直角坐标系中，点A (－3，4，0)与点B (2，－1，6)的距离是( )． A ．243B ．221C ．9D ．8625、两圆x 2＋y 2＝1和(x ＋4)2＋(y －a )2＝25相切，试确定常数a 的值． 26、设圆x 2＋y 2－4x －5＝0的弦AB 的中点为P (3，1)，则直线AB 的方程是27、求经过A (4，2)，B (－1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程。

一、选择题1．若平面上两点()2,0A -，()10B ,，则l ：()1y k x =-上满足2PA PB =的点P 的个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．与实数k 的取值有关2．如果直线:5l y kx =-与圆22240x y x my +-+-=交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线20x y +=对称，则直线l 被圆截得的弦长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．3．已知圆22:3C x y +=，从点()2,0A -观察点()2,B a ，要使视线不被圆C 挡住，则a 的取值范围是 （ ）A ．⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭B ．()(),22,-∞-+∞C ．((),23,-∞-+∞D ．((),-∞-⋃+∞4．若点()1,1P --为圆2260x y x ++=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为（ ）A ．230x y +-=B ．210x y --=C ．230x y +-=D ．210x y -+=5．已知点()1,0A m -，()()1,00B m m +>，若圆C ：2288280x y x y +--+=上存在一点P ，使得PA PB ⊥，则实数m 的取值范围是( ) A ．3m ≥ B ．3m 7≤≤ C ．27m -<≤D ．46m ≤≤6．设点M 为直线2x =上的动点，若在圆22:3O x y +=上存在点N ，使得30OMN ∠=︒，则M 的纵坐标的取值范围是（ ）A ．[1,1]-B ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[-D ．⎡⎢⎣⎦7．过坐标原点O 作圆()()22341x y -+-=的两条切线，切点为,A B ，直线AB 被圆截得弦AB 的长度为( )A BCD ．58．若圆x 2+y 2+ax -by =0的圆心在第二象限，则直线x +ay -b =0一定不经过（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．过点(1,2)的直线被圆229x y +=所截弦长最短时的直线方程是（ ）A ．250x y +-=B ．20x y -=C ．230x y -+=D ．20x y +=10．若过点(2,1)P 的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y -+=的距离是（ ） A ．45B ．35C ．25D ．5 11．已知11(,)P x y 是直线1:(,)0l f x y =上一点，22(,)Q x y 是l 外一点，则方程(,)f x y =1122(,)(,)f x y f x y +表示的直线（ ）A ．与l 重合B ．与l 交于点PC ．过Q 与l 平行D ．过Q 与l 相交12．曲线214y x ([]2,2x ∈-)与直线()24y k x =-+有两个公共点时，则实数k的取值范围是（ ）A ．50,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,34⎛⎫⎪⎝⎭C ．5,12⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．53,124二、填空题13．已知直线():22l y k x -=-与两点1,0A ，点()4,3B ，若直线l 与线段AB 有公共点，则实数k 的取值范围是______．14．已知圆C ：224x y +=，直线l ：(0)x y m m +=>，圆C 上恰有两个点到直线l 的距离为1.则m 的取值范围是_____________.15．已知点P 为直线3450x y +-=上的任意一个动点，则点P 到点()3,0A 的距离的最小值是______.16．如图，已知圆22:16,,O x y A B +=是圆O 上两个动点，点(2,0)P ，则矩形PACB 的顶点C 的轨迹方程是___________．17．已知点(3,1)A -，点M ､N 分别是x 轴和直线250x y +-=上的两个动点，则AM MN +的最小值等于_________.18．已知(3,1)P ，在1y x =+(1x ≥-)和x 轴(1x ≥-)上各找一点M ､N ，使得三角形PMN 周长最小，则最小时直线MN 的方程为___________19．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab≠0，则2211a b +的最小值为___________ 20．若直线l ：-3y kx =与直线23-60x y +=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是___________.三、解答题21．已知圆221:2440C x y x y ++--=.（1）在下列两个条件中任选一个作答.注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.①已知不过原点的直线l 与圆1C 相切，且在x 轴、y 轴上的截距相等，求直线l 的方程； ②从圆外一点(2,1)P 向圆引切线，求切线方程.（2）若圆222:4C x y +=与圆1C 相交与D 、E 两点，求线段DE 的长.22．已知圆22:(1)5C x y +-=，直线:10l mx y m -+-=． （1）求证:对任意的m R ∈，直线l 与圆 C 恒有两个交点;（2）设l 与圆 C 相交于,A B 两点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．23．已知直线:3470l x y +-=．（1）若直线m 与直线l 平行，且直线m 过点(2,5)P -，求直线m 的方程；（2）若点C 坐标为10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，过点C 的直线与直线l 垂直，垂足为M ，求点M 的坐标. 24．已知圆C 过A （1，5）、B （4，2）两点，且圆心在直线2y x =上，直线l 过点()3,2P --且与AB 平行．（1）求直线l 及圆C 的方程；（2）设点M 、N 分别是直线l 和圆C 上的动点，求|MN |的取值范围． 25．圆心在直线:10l x y ++=上的经过点(1,2),(1,0)A B -； （1）求圆C 的方程（2）若过点(0,3)D 的直线1l 被圆C 截得的弦长为31l 的方程；26．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 的方程为22(1)4x y -+=，M 点的坐标为(3，-3).（1）求过点M 且与圆C 相切的直线方程.（2）已知圆222:420Q x y x ay a +-++=，若圆Q 与圆C ，求圆Q 的方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】首先利用直接法求点P 的轨迹方程，则转化为直线()1y k x =-与轨迹曲线的交点个数. 【详解】 设(),P x y ，2PA PB =，=整理为：()22224024x y x x y +-=⇔-+=， 即点P 的轨迹是以()2,0为圆心，2r为半径的圆，直线():1l y k x =-是经过定点()1,0，斜率存在的直线，点()1,0在圆的内部，所以直线():1l y k x =-与圆有2个交点，则l ：()1y k x =-上满足2PA PB =的点P 的个数为2个. 故选：C 【点睛】方法点睛：一般求曲线方程的方法包含以下几种：直接法：把题设条件直接“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程.定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法.2．C解析：C 【分析】由题意推出圆心在直线上，求出m ，求出圆的半径与弦心距，利用圆心距、半径、半弦长满足勾股定理，求出弦长. 【详解】因M 、N 关于直线20x y +=对称，故圆心(1,)2m-在直线20x y +=上，4m ∴=.又因为直线20x y +=与:5l y kx =-垂直，21K ∴-⨯=-，12K ∴=， 设圆心(1,2)-，到直线1502x y --=的距离为d ，d ∴==圆的半径为3r ==.4MN ∴==.故选：C . 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用对称性可知圆心在直线20x y +=上.3．D解析：D 【分析】设过点与圆相切的直线为()2y k x =+，则圆心到直线的距离解得k =，可得切线方程为)2y x =+，由A 点向圆C 引2条切线，只要点B 在切线之外，那么就不会被遮挡，即a 大于B 点在x 轴上方的纵坐标或者小于B 点在x 轴上方的纵坐标即可. 【详解】设过点()2,0A -与圆22:3C x y +=相切的直线为()2y k x =+，则圆心()0,0到直线的=k =∴切线方程为)2y x =+，由A 点向圆C 引2条切线，只要点B 在切线之外，那么就不会被遮挡，B 在2x =的直线上，在)2y x =+中，取2x =，得y =±，从A 点观察B 点，要使视线不被圆C挡住，需a >a <-， ∴a的取值范围是((),-∞-⋃+∞， 故选：D.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，关键点是求过A 点且与圆相切时的直线方程，考查分析问题解决问题的能力.4．D解析：D 【分析】连接圆心与弦中点，根据垂径定理的逆定理得到直线AP 与弦所在的直线垂直，由圆的标准方程求出圆心A 的坐标，再由弦中点P 的坐标，求出直线AP 的斜率，根据两直线垂直斜率的乘积为1-，求出弦所在直线的斜率，再由弦中点P 的坐标及求出的斜率，写出弦所在直线的方程即可． 【详解】解：由题意，知圆的标准方程为()2239x y ++=，圆心为()30A -,. 因为点()1,1P --为弦MN 的中点，所以AP MN ⊥. 又AP 的斜率101132k --==--+，所以直线MN 的斜率为2， 所以弦MN 所在直线的方程为()121y x +=+，即210x y -+=. 故选：D 【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，垂径定理，直线斜率的求法，两直线垂直时斜率满足的关系，以及直线的点斜式方程，解题的关键是连接圆心与弦中点，根据垂径定理的逆定理得到直线AP 与弦所在的直线垂直．5．B解析：B 【分析】根据题意，分析圆C 的圆心坐标以及半径，设AB 的中点为M ，由AB 的坐标分析M 的坐标以及|AB |的值，可得以AB 为直径的圆；进而分析，原问题可以转化为圆C 与圆M 有公共点，结合圆与圆的位置关系，分析可得答案．【详解】根据题意，圆2288280C x y x y +--+=：，即()()22444x y -+-=； 其圆心为()4,4，半径2r =， 设AB 的中点为M ，又由点()()1,0,1,0,A m B m -+则()1,0,2M AB m =， 以AB 为直径的圆为()2221x y m -+=，若圆2288280C x y x y +--+=：上存在一点P ，使得PA ⊥PB ，则圆C 与圆M 有公共点，又由5MC ==， 即有25m -≤且25m +≥,即37m ≤≤， 又0,37m m >∴≤≤，故选：B. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，注意将圆问题转化为圆与圆的位置关系，属于基础题．6．C解析：C 【分析】在OMN=，从而得到M y =ONM ∠的取值范围，求出M y 的取值范围，即可得解； 【详解】解：设()2,M M y ，在OMN 中，由正弦定理得sin sin OM ONONM OMN=∠∠因为30OMN ∠=︒，ON =2== 整理得M y =由题意知0150ONM ︒<∠<︒，所以(]sin 0,1ONM ∠∈，所以sin 1ONM ∠=时，M y 取得最值，即直线MN 为圆22:3O x y +=的切线时，My取值最值，所以M y ⎡∈-⎣故选：C【点睛】本题考查直线与圆的综合应用，解答的关键转化到OMN 中利用正弦定理计算，考查转化思想；7．A解析：A 【分析】求得圆的圆心坐标和半径，借助11222AOM AB S OA MA OM ∆=⨯⨯=⨯⨯，即可求解. 【详解】如图所示，设圆()()22341x y -+-=的圆心坐标为(3,4)M ，半径为1r =， 则22345OM =+=,2512426OA =-==，则11222AOM AB S OA MA OM ∆=⨯⨯=⨯⨯，可得2465OA MA AB OM ⨯⨯==， 故选A.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到圆的切线方程应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．C解析：C 【分析】由圆心位置确定a ，b 的正负，再结合一次函数图像即可判断出结果. 【详解】因为圆22+0x y ax by +-=的圆心坐标为,22a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由圆心在第二象限可得0,0a b >>，所以直线0x ay b +-=的斜率10a -<，y 轴上的截距为0b a>，所以直线不过第三象限. 故选：C9．A解析：A 【分析】分析可得当弦长最短时，该弦所在直线与过点(1,2)的直径垂直，先求出过点(1,2)的直径的斜率，然后再求出所求直线的斜率，最后由点斜式写出直线的方程即可. 【详解】当弦长最短时，该弦所在直线与过点(1,2)的直径垂直， 圆229x y +=的圆心为(0,0)，所以过点(1,2)的直径的斜率为20210-=-， 故所求直线为12-，所求直线方程为12(1)2y x ，即250x y +-=. 故选：A . 【点睛】方法点睛：本题考查直线与圆位置关系的应用，解题关键是明确当弦与圆的直径垂直时，弦长最短，考查逻辑思维能力，属于常考题.10．C解析：C 【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为(),,0a a a >，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点()2,1在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y -+=的距离. 【详解】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=. 由题意可得()()22221a a a -+-=， 可得2650a a -+=，解得1a =或5a =， 所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心()1,1到直线230x y -+=的距离均为15d ==圆心()5,5到直线230x y -+=的距离均为2d ==圆心到直线230x y -+=的距离均为5d ==；所以，圆心到直线230x y -+=. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的圆心是解题的关键，考查计算能力.11．C解析：C 【分析】由题意有可得1(f x ，1)0y =，2(f x ，2)0y ≠，根据当两直线方程的一次项系数相等，但常数项不相等时，两直线平行，得出结论． 【详解】解：由题意有可得1(f x ，1)0y =，2(f x ，2)0y ≠，则方程(f x ，1)(y f x -，12)(y f x -，2)0y =即(f x ，2)(y f x -，2)0y =，它与直线:(,)0l f x y =的一次项系数相等，但常数项不相等，故(f x ，2)(y f x -，2)0y =表示过Q 点且与l 平行的直线， 故选：C ． 【点睛】根据平行直线系方程，即两直线方程10Ax By C ++=与20Ax By C ++=互相平行.12．D解析：D 【分析】易知曲线214y x 表示以()0,1 为圆心，以2为半径的半圆，直线()24y k x =-+过定点()2,4A ，然后在同一坐标系中作出直线与半圆的图象，利用数形结合法求解. 【详解】 曲线214y x 变形为22214141y x x y y 表示以()0,1 为圆心，以2为半径的半圆，直线()24y k x =-+过定点()2,4A ，在同一坐标系中作出直线与半圆的图象，如图所示：当直线()24y k x =-+与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径， 23221k k -=+，解得512k =，即512AC k ，又413224AB k ， 由图知：当曲线214y x ([]2,2x ∈-)与直线()24y k x =-+有两个公共点时：ACAB k kk ，即53124k <≤. 故选：D 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.二、填空题13．【分析】写出线段的方程联立求得交点坐标由可求得的范围【详解】由条件得有解解得由得或故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查直线与线段有公共点问题解题方法是直线（线段）方程求出交点坐标利用交点坐标的范围求解析：[)1,2,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦【分析】写出线段AB 的方程，联立求得交点坐标，由14x ≤≤可求得k 的范围． 【详解】由条件得()()22114y k x y x x ⎧-=-⎪⎨=-≤≤⎪⎩有解，解得23121k x k k y k -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，由23141k k -≤≤-，得12k ≤或2k ≥．故答案为：[)1,2,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦．【点睛】方法点睛：本题考查直线与线段有公共点问题．解题方法是直线（线段）方程求出交点坐标，利用交点坐标的范围求出参数k 的范围，可是也可利用数形结合思想求解，即求出,PA PB 的斜率，由图形观察出k 的范围．14．【分析】根据圆的几何性质结合点到直线距离公式进行求解即可【详解】圆C ：的半径为2圆心坐标为：设圆心到直线l ：的距离为要想圆C 上恰有两个点到直线l 的距离为1只需即而所以故答案为：【点睛】关键点睛：利用解析：【分析】根据圆的几何性质，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】圆C ：224x y +=的半径为2，圆心坐标为：(0,0) 设圆心(0,0)到直线l ：x y m +=的距离为d ，要想圆C 上恰有两个点到直线l 的距离为1，只需112d <<+，即13m <<⇒<< 0m >m <<.故答案为： 【点睛】关键点睛：利用圆的性质转化为点到直线的距离是解题的关键.15．【分析】利用点到直线距离公式可求得点A 到直线的距离即为直线上点到点A 距离的最小值【详解】根据点到直线的距离公式可得结合图像点到直线的距离为即直线上一动点到的距离的最小值为故答案为：【点睛】关键点点睛解析：45【分析】利用点到直线距离公式，可求得点A到直线的距离，即为直线上点到点A距离的最小值.【详解】根据点到直线的距离公式可得，结合图像点()3,0A到直线3450x y+-=的距离为2233054534⨯+-==+d，即直线3450x y+-=上一动点P到()3,0A的距离的最小值为45，故答案为：45．【点睛】关键点点睛：本题考查了点到直线距离公式的应用，解题的关键是分析题意，结合图像将直线上动点P到点A的距离的最小值转化为点A到直线的距离，考查学生的逻辑推理能力与转化思想，属于基础题.16．【分析】设点连接交于可写出的坐标再在直角中利用勾股定理列方程可得xy的关系式即顶点的轨迹方程【详解】设点如图连接交于由矩形可知为的中点连接在直角中则即整理得所以顶点的轨迹方程是故答案为：【点睛】关键解析：2228x y+=【分析】设点(,)C x y，连接,AB PC交于M，可写出M的坐标，再在直角OMB△中，OM MB⊥，利用勾股定理列方程可得x, y的关系式，即顶点C的轨迹方程.【详解】设点(,)C x y，如图连接,AB PC交于M，由矩形PACB可知M为PC的中点，2,22x yM+⎛⎫⎪⎝⎭，PM MB=连接,OB OM，在直角OMB△中，OM MB⊥，则22222OB OM BM OM MP=+=+即2222221622222x y x y+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，整理得2228x y+=，所以顶点C 的轨迹方程是2228x y += 故答案为：2228x y +=【点睛】关键点睛：本题考查求轨迹方程，解题的关键是求谁设谁，设点(,)C x y ，然后再利用图像的几何关系找到x, y 的关系式，即求得轨迹方程，考查学生的直观想象能力与运算求解能力，属于中档题.17．【分析】利用对称性作点关于轴的对称点利用数形结合求的最小值【详解】作点关于轴的对称点则最小值即为到直线的距离所以的最小值为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用对称性作点关于轴的对称点则再利 解析：1255【分析】利用对称性，作点(3,1)A -关于x 轴的对称点(3,1)A '--，||||||||AM MN A M MN '+=+，利用数形结合求AM MN +的最小值.【详解】作点(3,1)A -关于x 轴的对称点(3,1)A '--，则||||||||AM MN A M MN '+=+，最小值即为(3,1)A '--到直线250x y +-=的距离，12555d ==，所以||||AM MN +的最小值为1255. 故答案为：125 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用对称性作点(3,1)A -关于x 轴的对称点(3,1)A '--，则AM A N '=，再利用点到直线的距离比其他折线都短，计算||||AM MN +的最小值. 18．【分析】作点关于射线与轴的对称点连接两对称点得解【详解】如图作出作点关于射线与轴的对称点连接两对称点与射线与与轴交于两点则此时三角形周长最小因为所以最短设则解得同理得所以故直线的方程为故答案为：【点 解析：53120x y +-=【分析】作点(3,1)P 关于射线1y x =+1x ≥-与x 轴的对称点,C B ，连接两对称点CB 得解, 【详解】如图，作出作点(3,1)P 关于射线1y x =+1x ≥-与x 轴的对称点,C B ，连接两对称点CB 与射线1y x =+与与x 轴交于两点,M N ,则此时三角形PMN 周长最小.因为,PM CM PN NB ==,所以PM PN MN CM MN NB CB ++=++=最短，设(,)C x y 则13122113y x y x ++⎧=+⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩ 解得(0,4)C ，同理得(3,1)B - 所以53CB k =- 故直线MN 的方程为53120x y +-= 故答案为：53120x y +-=【点睛】作出点关于已知两射线的对称点是解题关键，属于基础题.19．9【分析】圆C1C2只有一条公切线则两圆的位置关系为内切由此可以得到ab 的等量关系然后利用均值不等式求的最小值【详解】圆C1：x2＋y2＋4ax ＋4a2－4＝0标准方程：圆C2：x2＋y2－2by ＋解析：9 【分析】圆C 1、C 2只有一条公切线，则两圆的位置关系为内切，由此可以得到a 、b 的等量关系，然后利用均值不等式求2211a b+的最小值 【详解】圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0 标准方程：22x 2a y 4++=（）圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0标准方程：22x y b 1+-=（） 因为圆C 1 、C 2内切， 所以224a b 1+=, 即224a b 1+=， （2211a b +）=2222114a b a b++（）（） =2222b 4a 59a b++≥（）当且仅当224a b =时等号成立. 【点睛】本题考查了两圆的位置关系和均值不等式求最值；两圆位置关系有：内含、内切、相交、外切、外离，圆与圆的位置关系也决定了切线的条数，两圆相内切只有一条切线，圆心距和两圆半径的关系是解题的关键，利用该关系可以构造出均值不等式所需要的等式；均值不等式求最值要注意：一正二定三相等.20．【解析】若直线与直线的交点位于第一象限如图所示：则两直线的交点应在线段上（不包含点）当交点为时直线的倾斜角为当交点为时斜率直线的倾斜角为∴直线的倾斜角的取值范围是故答案为解析：(,)62ππ【解析】若直线:3l y kx =-与直线2360x y +-=的交点位于第一象限，如图所示：则两直线的交点应在线段AB 上（不包含,A B 点）, 当交点为()0,2A 时，直线l 的倾斜角为2π，当交点为()3,0B 时，斜率(030k -==-l 的倾斜角为6π ∴直线的倾斜角的取值范围是,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭． 故答案为,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭ 三、解答题21．（1）①1y x =-+±②4350x y --=或2x =；（2）4. 【分析】（1）①由已知得直线l 的斜率为1-，然后利用点到直线的距离等于半径可得直线截距可得答案；②分别讨论当过P 的直线斜率不存在和存在两种情况，不存在时特殊情况可得答案；存在时利用圆心到直线的距离等于半径可得答案；（2）两个圆的方程联立求得交点坐标，再利用两点间的距离公式可得答案. 【详解】（1）①圆C 的方程变形为22(1)(2)9x y ++-=，∴圆心C 的坐标为(1,2)-，半径为3.直线l 在两坐标轴上的截距相等且不为零， 故直线l 的斜率为1-.∴设直线l 的方程y x b =-+，又直线l 与圆22(1)(2)9x y ++-=相切，3=，整理得1b =±∴所求直线l 的方程为1y x =-+±②圆C 的方程变形为22(1)(2)9x y ++-=，∴圆心C 的坐标为(1,2)-，半径为3.当过P 的直线斜率不存在时，直线方程为2x =， 此时圆C 到直线的距离为3， 所以直线2x =是圆C 的切线. 当过P 的直线斜率存在时， 设切线方程为1(2)y k x -=-， 即120kx y k -+-=3=，43k ∴=，∴切线方程4412033x y -+-⨯=， 即4350x y --=，综上所述，切线方程为4350x y --=或2x =.（2）联立方程222224404x y x y x y ⎧++--=⎨+=⎩， 得11455255x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22455255x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ()()2222121245452525||45555DE x x y y ⎛⎫⎛⎫∴=-+-=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】直线和圆相切时，可以利用圆与直线联立的方程组有一组实数解，或者利用圆心到直线的距离等于圆的半径求得参数，有时利用后面方法计算运算量比较小些. 22．（1）证明见解析；（2）2211()(1)(1)24x y x -+-=≠.【分析】（1）确定直线过定点()1,1，计算定点在圆内，得到证明.（2）由已知得点M 在以CP 为直径的圆上，求得圆心和半径可得到答案. 【详解】（1）由已知可得直线 :(1)10l x m y --+=，所以直线l 恒过定点(1,1)P .又()2211115,+-=<所以点P 在圆内，所以对任意的m R ∈，直线l 与圆 C 恒有两个交点.（2）由（1）知，知直线l 恒过定点(1,1)P ，且直线l 的斜率存在. 又M 是AB 的中点，CM MP ∴⊥，所以点M 在以CP 为直径的圆上.又()()0,1,1,1,C P 所以以CP 为直径的圆的方程为2211()(1)24x y -+-=，又直线l 的斜率存在，1x ∴≠，所以点M 的轨迹方程为2211()(1)(1)24x y x -+-=≠.【点睛】方法点睛：求直线恒过点的方法：方法一（换元法）：根据直线方程的点斜式直线的方程变成()y k x a b =-+，将x a =带入原方程之后，所以直线过定点()a b ，；方法二（特殊引路法）：因为直线的中的m 是取不同值变化而变化，但是一定是围绕一个点进行旋转，需要将两条直线相交就能得到一个定点.取两个m 的值带入原方程得到两个方程，对两个方程求解可得定点.23．（1）34140x y +-=；（2）(1,1)M . 【分析】（1）通过平行设出直线方程，代入(2,5)P -即可；（2）过点C 10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线与直线l 垂直，可得004310x y --=，加上M 在直线上，联立求交点即可. 【详解】（1）因为直线m 与直线l 平行，设直线m ：340(7)x y a a ++=≠-， 将点(2,5)P -代入得：14a =-，所以直线m ：34140x y +-=. （2）设()0,0M x y ，则001433CMy k x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==，即004310x y --=①， 又M 在直线l 上，所以003470x y +-=②，①②联立得：0011x y =⎧⎨=⎩，所以(1,1)M .【点睛】本题主要考查直线的一般式的平行关系与垂直关系，正确写出解析式是处理此题的关键. 24．（1）x +y +5=0，(x -1)2+(y -2)2=9；（2）)3,⎡+∞⎣. 【分析】（1）求出AB 的斜率，利用点斜式可得直线l 的方程，求出AB 的中垂线的方程，结合圆心在直线2y x =上可得圆心坐标，求出半径后可得所求的圆的方程. （2）求出圆心到直线l 的距离后可得|MN |的取值范围． 【详解】（1）∵1AB k =-， 直线l:y +2=-(x +3)，即l:x +y +5=0，AB 的中点为57,22⎛⎫⎪⎝⎭，故AB 的中垂线方程为57122y x x =-+=+，由21y x y x =⎧⎨=+⎩解得12x y =⎧⎨=⎩，∴圆心C (1，2)，半径3r CA ===， ∴圆C 的方程为：(x -1)2+(y -2)2=9. (2) ∵圆心C 到直线l的距离为3d ==>，∴直线l 与圆C 相离,∴|MN |的最小值为3-，无最大值， ∴|MN |的取值范围为)3,⎡+∞⎣. 【点睛】 方法点睛：（1）求圆的方程，关键是确定圆心坐标和圆的半径，前者的确定需要利用一些几何性质，如果圆心在弦的中垂线上，也在过切点且垂直于切线的直线上.（2）直线与圆的位置关系中的最值问题，往往转化为圆心到几何对象的距离问题. 25．（1）22(1)4x y ++=；（2）0x =，或4390x y -+=. 【分析】（1）求出线段AB 中垂线方程，由中垂线与直线l 相交求得圆心坐标，再求得半径可得圆标准方程；（2）求得圆心到直线1l 距离为1，检验斜率不存在的直线是否满足题意，在斜率存在时设直线方程为30kx y --=，由圆心到直线的距离可得k ，得直线方程． 【详解】（1）由题意得，圆心C 一定在线段AB 的垂直平分线上，0211(1)AB k -==---，线段AB 中点为(0,1)，∴直线AB 的垂直平分线为10x y -+=，∴直线:10l x y ++=与10x y -+=的交点即为圆心C ，坐标为()1,0-． ∴圆C 的方程为22(1)4x y ++=，（2）当直线1l 斜率不存在时，方程为0x =，此时圆心到1l距离为1，截得的弦长为当直线1l 斜率存在时，设为k ，则1:30l kx y --=，圆心(1,0)-到1l距离1d ===∴43k = ∴直线1l 的方程为0x =，或4390x y -+=． 【点睛】易错点睛：本题考查求圆的标准方程，考查直线与圆相交弦长问题．已知弦长求直线方程时，须考虑斜率不存在的直线是否满足题意，在斜率存在的情况下，设出直线方程，由圆心到直线的距离列式可得结论．26．（1）过点(3,3)M -且与圆C 相切的直线方程为：3x =或512210x y ++=；（2）圆Q 的方程为224210x y x y +-++=或224210x y x y +--+=.【分析】（1）当直线l 的斜率不存在时，显然成立，当直线l 的斜率存在时，设切线方程为：3(3)y m x +=-，利用圆心到直线的距离等于半径列出方程，解出m 得到直线；（2）两圆方程相减得出公共弦所在直线方程l ，由点线距公式求出C 到直线l 的距离为d ，利用勾股定理列方程求出a ，可得圆Q 的方程．【详解】（1）当直线l 的斜率不存在时，显然直线3x =与圆C 相切，当直线l 的斜率存在时，设切线方程为：3(3)y m x +=-，2=，解得512m =-， 切线方程为：512210x y ++=，综上，过点(3,3)M -且与圆C 相切的直线方程为：3x =或512210x y ++=.（2）圆22:(1)4C x y -+=与圆222:420Q x y x ay a +-++=，相减得圆C 与圆Q 的公共弦所在直线方程2:2230l ay x a -++=，圆C 的圆心为(1，0)，2r ，设C 到直线l 的距离为d ，∴d =，又∵圆C 与圆Q∴222d r +=⎝⎭， 即()222174442a a ++=+，解得1a =±，∴圆Q 的方程为224210x y x y +-++=或224210x y x y +--+=.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆的位置关系，考查圆与圆的位置关系，解决本题的关键点是利用圆的弦长的一般，圆心到直线的距离和圆的半径组成直角三角形，列出勾股定理解出参数，得到圆的方程，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．。

查补易混易错点06 解析几何1.直线与方程①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。

②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。

③能根据斜率判定两条直线平行或垂直。

④根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）。

⑤能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标。

⑥探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。

2.圆与方程①回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。

②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。

③能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题。

3.圆锥曲线与方程①了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。

②经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质。

③了解抛物线与双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质。

④通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想。

⑤了解椭圆、抛物线的简单应用。

易错点01 倾斜角与斜率关系不明倾斜角和斜率分别从不同角度反映了直线的倾斜程度，但二者也有区别，任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率。

解此类题常见错误有①弄错直线倾斜角的范围；②当直线与x 轴平行或重合时，误认为倾斜角为0°或180°；③不了解倾斜角与斜率关系。

易错点02 判断两直线位置关系时忽视斜率不存在在解几中，判断平面内两直线的位置关系的方法有两种：若直线l 1: 11y k x b =+，l 2: 22y k x b =+，则有l 1与l 2相交⇔12k k ≠； l 1∥l 2⇔ 12k k =，且b1≠b2； l 1⊥l 2⇔ 121k k •=-②若直线1111:l A x B y C +=，2222:l A x B y C +=，则有l 1与l 2相交⇔12210A B A B -≠；l 1∥l 2⇔122112*********A B A B C A C B C B C -=⎧⎨-≠-≠⎩A 或；l 1⊥l 2⇔12120A A B B +=两种方法各有优缺点，方法①简便易行，但仅适用于斜率存在的直线，方法②适用于任意的直线，但运算量较大。

高中数学易错知识点总结直线与方程易错点1：忽略90°倾斜角的特殊情形例1：求经过点A(m，3)和B(1，2)的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围。

错误解法】根据斜率公式，直线AB的斜率k为：k = (3-2)/(m-1)①当m>1时，k>0，因此直线的倾斜角α的取值范围是0°<α<90°；②当m<1时，k<0，因此直线的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°。

错误原因分析】当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象进行分类讨论，然后对每一类分别研究，得出每一类结果，最终解决整个问题。

本题的讨论分两个层次：第一个层次是讨论斜率是否存在；第二个层次是讨论斜率的正、负。

也可以分为m=1，m>1，m<1三种情况进行讨论。

参考答案】详见试题解析。

易错点2：忽略斜率不存在的特殊情形例2：已知直线l1经过点A(3，a)和B(a-2，3-a)，直线l2经过点C(2，3)和D(-1，a-5)，若l1⊥l2，求a的值。

错误解法】由l1⊥l2⇔k1·k2=-1，所以a=0.k2 = (3-a-3)/(a-2+1) = (a-6)/(a-1)，k1不存在。

错误原因分析】只有在两条直线斜率都存在的情况下，才有l1⊥l2⇔k1·k2=-1，还有一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在的情况也要考虑。

试题解析】由题意知l2的斜率一定存在，则l2的斜率可能为0，下面对a进行讨论。

当k2=0时，a=5，此时k1不存在；当k2≠0时，由k1·k2=-1可得a=4或a=-2.因此，a的取值为4、-2或5.2.由两条直线平行或垂直求参数的值：在解这类问题时，需要先考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；解题后，需要检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解。

3.两条直线的位置关系可以通过斜截式或一般式来表示。

专题25直线方程易错点概全【学习目标】1. 理解直线的倾斜角、斜率、截距等概念，掌握直线的斜率计算公式2. 掌握直线方程的点斜式、两点式和一般式方程，了解直线方程的斜截式和截距式，能根据已知条件，选择恰当形式熟练地求出直线的方程.3. 了解斜截式与一次函数的关系.4. 掌握两直线平行、垂直、相交的条件，能灵活运用点到直线的距离公式及两直线平行、垂直的条件解决有关问题.5. 掌握中心对称、轴对称等问题的几何特征和求解的基本方法.并能利用图形的对称性解决有关问题.二.【方法规律总结】1. 直线的倾斜角、斜率及直线在坐标轴上的截距是刻画直线位置状态的基本量，应正确理解(1) 要善于结合图形进行倾斜角与斜率间的相互转化①由倾斜角a探究斜率k须分a €・0, "2｝口，n两类讨论.②由斜率k探究倾斜角须分k^0和k<0两类讨论.(2) 截距”与距离”是两个不同的概念.2. 因为确立一条直线需两个独立的条件，所以直线方程也需要两个独立条件，其方法一般有两种：⑴直接法：直接选用直线方程的四种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式)，写出适当的直线方程(2) 待定系数法：先由直线满足的一个条件设出直线方程，方程中含有一待定系数，再由题给的另一条件求出待定系数，最后将求得的系数代入所设方程，即得所求直线方程，概括起来三句话：设方程，求系数，代入.3. 由于直线方程有多种形式，各种形式适用的条件、范围不同，在具体求直线方程时，可能产生遗漏情况，尤其是选择点斜式、斜截式时一定要注意斜率不存在的情况.选择截距式时，注意截距为零的情况.4. 判断两条直线平行或垂直时，不要忘记考虑两条直线中有一条或两条直线均无斜率的情形.在两条直线斜率都存在的条件下，才有11// 12? k l= k2且切工b2与I」12? k i k2=- 1.5. 在运用公式d= "J 2 C?!求平行直线间的距离时，一定要注意两直线的x, y项系数对应相等.\ A + B6. 求对称点的步骤：(1)设点设对称点为(x, y);⑵列式一一利用中点公式(中心对称情况)或垂直、平分的条件(轴对称情形)来列关于x, y的方程组；(3) 求解——解所列方程组，求到的解就是所求对称点的坐标7. 求对称曲线的步骤：(1) 设点设所求曲线上的点为P(x, y);(2) 求点--- 求出P点的对称点为Q(x', y')，即用x, y来表示x', y';⑶代入一一将Q 点坐标代入已知曲线的方程，所得的 x , y 的关系式就是所求对称曲线的方程.注意记住几种特殊的对称性结论：①对称中心是特殊点（如原点）；②对称轴是特殊直线（如x 轴，y 轴,y = x + b , y = — x + b 等直线），求对称点和对称曲线可米用代入法直接求解 三•【典例分析及训练】 例1下列叙述中不正确的是 （）A. 若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B. 每一条直线都有唯一对应的倾斜角C.与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0。

直线与方程圆与方程易错点剖析1.直线的斜率计算错误：直线的斜率有两种常见的计算方式，一种是斜率公式：k=(y2-y1)/(x2-x1)，另一种是两点式：k=(y-y1)/(x-x1)。

在计算斜率的过程中容易出错的地方是计算差值时出现错误，特别是符号的问题。

解决方法是先计算差值，然后根据分子分母的符号情况确定斜率的符号。

2.直线的点斜式与一般式转换错误：直线的标准方程有两种，一种是点斜式：y-y1=k(x-x1)，另一种是一般式：Ax+By+C=0。

在通过点斜式转换为一般式时，容易出错的地方是计算C的值时出现错误，特别是符号的问题。

解决方法是先将点斜式扩展为一般式的形式，然后根据表达式的形式确定C的值。

3.直线与其他已知图形的位置关系判断错误：直线与其他图形的位置关系判断是直线的重要应用之一，但容易出错的地方是判断中心点的坐标、直径或半径的取值错误。

解决方法是先确定图形的标准方程，然后通过求解方程组来确定图形的位置关系。

1.圆心与半径的确定错误：圆的方程形式可以是标准方程、一般方程或参数方程。

在确定圆心和半径的数值时，容易出错的地方是符号的问题，特别是符号的正负选择错误。

解决方法是注意与圆心和半径相关的方程的正负关系，参考其他已知条件来确定。

2.圆与直线的位置关系判断错误：圆与直线的位置关系判断是圆的重要应用之一，但容易出错的地方是判断直线是否切线或者是与圆相交。

解决方法是通过求解方程组来确定直线与圆的交点情况，注意解的个数来判断。

3.圆与其他已知图形的位置关系判断错误：圆与其他图形的位置关系判断是圆的重要应用之一，但容易出错的地方是判断中心点的坐标、半径或边长的取值错误。

解决方法是先确定图形的标准方程，然后通过求解方程组来确定图形的位置关系。

必修二第三章直线与方程知识点与常考题(附解析)知识点：一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。

特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。

因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用k tan k α=当[) 90,0∈α时，0≥k ； 当()180,90∈α时，0<k ； 当 90=α时，k 不存在。

②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--= 注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

（3）直线方程①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。

②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b③两点式：112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x ④截矩式：1x y a b+= 其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。

⑤一般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0）注意：○1各式的适用范围 ○2特殊的方程如： 平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）；（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：000=++C y B x A （C 为常数）（二）过定点的直线系（ⅰ）斜率为k 的直线系：()00x x k y y -=-，直线过定点()00,y x ； （ⅱ）过两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为 ()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线2l 不在直线系中。

直线方程易错题一 定点问题1.若k ∈R 时，直线y-2=k(x-1)总通过一个定点，这个定点是（ ）A （1，-2）B （-1,2）C （-2,1）D （1,2） 2.方程y=k （x-2），x ∈R 表示（ ）A 通过点（-2,0）的一切直线B 通过点（2,0）的一切直线C 通过点（2,0）且不垂直x 轴的一切直线D 通过点（2,0）且除去x 轴的一切直线 3.已知直线l 的方程为：（2m-3）x+y-m+6=0，则对于任意的m ∈R ，直线l 恒过定点_____ 二 截距问题1.直线mx+ny=1(mn ≠0)与两坐标轴围成的面积是（ ）A12mn B 1||2mn C12mnD 12||mn 2.过点P （2,3）并且在两坐标轴上截距相等的直线方程是：________3.过点（5,2）且在x 轴上截距是y 轴上截距两倍的直线方程是：__________4.过点（5,2），且在坐标轴上截距互为相反数的直线方程为（ ）A x-y-3=0B x-y+3=0或2x-5y=0C x-y+3=0D x-y-3=0或2x-5y=05.已知直线L 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线L 的方程。

三 最值问题1.过点P(2,1)作直线l 分别交x 轴、y 轴的正半轴于点A 、B.求AOB ∆的面积最小时直线l 的方程;2. 若直线l 过点（1,1），且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线l 有（ ）条A 1B 2C 3D 4（变式题：若面积为5呢，面积为1呢？）3.过点P(2,1) 作直线l 分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，求|PA|·|PB|取最小值时直线l 的方程.4.位于第一象限的点A 在直线y=3x 上，直线AB 交x 轴的正半轴于点C ，已知点B （3,2），求△OAC 面积的最小值，并求此时A 点坐标5．已知点M(1,3),N(5,-2),在x 轴上取一点P ，使得||PM|-|PN||最大，则P 点坐标是（ ） A （5,0） B （13,0） C （0,13） D （3.4,0） 变式：若使||PM|+|PN||最小呢？四、对称问题1.点A （4,5）关于直线l 的对称点为B （-2,7），则l 的方程为____________2.点A （1,2）关于直线x-2y-2=0的对称点B 的坐标是_________3.已知M （a ，b ）与N 关于x 轴对称，点P 与点N 关于y 轴对称，点Q 与点P 关于直线x+y=0对称，则点Q 的坐标为（ ）A （a ，b ）B （b ，a ）C （-a ，-b ）D （-b ，-a ）4. 直线042=--y x 上有一点P ，它与两定点)4,3()1,4(B A 、-的距离之差最大，则P 点的坐标是___.五、易错题1.已知直线L 的横截距为a ，纵截距为b ，斜率为k ，则下列命题正确的是（ D ） A 直线与坐标轴围成的面积是12ab B 直线的方程是：1x y a b += C 斜率k=ba- D 以上都不对 2.若直线L 过点（1,2）且两截距相等，则直线L 的斜率k 是（ D ）A k=-1或k=2B k=±1或k=2C k=-1D k=1或k=2 3. 下列四个命题中属于真命题的是 （ B ）A 、经过定点的直线都可以用方程00()y y k x x -=-B 、经过任意两个不同点111222(,),(,)P x y P x y 的直线都可以用121121()()()()y y x x x x y y --=--表示C 、不经过原点的直线都可以用1x ya b+=表示； D 、经过点(0,)A b 的直线都可以用方程y kx b =+表示4.直线tan +y-1=07x π的倾斜角是（ D ）A -7πB 7πC 75πD 76π5.若111:0L A x B y C ++=与222:0L A x B y C ++=只有一个公共点则（ D ）A 1122AB -A B =0 B 1221A B +A B =0C 1212A AB B ≠ D 1122A B A B ≠6.当θ是第四象限角时，直线sin x θ+和直线x +的位置关系是（ C ）A 平行B 相交但不垂直C 垂直D 与θ角有关 7.若直线L 1：x+ay+6=0与直线L 2：（a-2）x+3y+2a=0互相平行，则a 的值为（ C ） A -1或3 B 1或3 C -1 D 以上都不对8.过（x 1，y 1）和（x 2，y 2）两点的直线方程是（ C ）A112121y y x x y y x x --=-- B 122112y y x x y y x x --=--C 211211()()()()0y y x x x x y y -----=D 211211()()()()0x x x x y y y y -----=9.下列命题：○1若有斜率的两条直线斜率不相等，则这两条直线不平行 ○2若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等 ○3若两条直线都有斜率，且斜率相等，则这两条直线必定平行 其中不正确的命题是____○2__○3____ 10.已知两点A （-1,2），B （m ，3） （1）求直线AB 的斜率k （2）求直线AB 的方程 （3）已知实数m [1]3m ∈--，求直线Ab 的倾斜角α的取值范围11.求过点P （-5，-4）且分别满足下列条件的直线方程（1）倾斜角的正弦值是45； （2）倾斜角是直线l ：314y x =+的倾斜角的一半（3）与x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点，且||3||5AP BP =直线系方程及其巧妙应用1．命题的给出命题：设点00()P x y ，在直线0Ax By C ++=（其中A B ，不全为零）上，则这条直线的方程可以写成00()()0A x x B y y -+-=．这一结论的证明比较简单，但值得我们注意的是直线00()()0A x x B y y -+-=表示的是过点00()P x y ，的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象． 2．命题的应用（1）斜率问题的应用在求过圆外一点的圆的切线方程，或直线与圆锥曲线的位置关系及两直线的位置关系时，一般要分直线有无斜率两种情况进行讨论．而应用直线系方程，可以避免对斜率的讨论，确保求解的完整性和正确性．例１ 过点(14)P -，作圆22(2)(3)1x y -+-=的切线l ，求切线l 的方程． 解：设所求直线l 的方程为(1)(4)0A x B y ++-=（其中A B ，不全为零）， 则整理有40Ax By A B ++-=，∵直线l 与圆相切，∴圆心(23)C ，到直线l 的距离等于半径11=，整理，得(43)0A A B -=，即0A =（这时0B ≠），或304A B =≠． 故所求直线l 的方程为4y =或34130x y +-=． （2）截距问题的应用当题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的m 倍（0m >）”等条件时，采用截距式就会漏掉“零截距”的情况，从而丢解．而应用直线系方程，可以避免对直线的截距的分类讨论，确保求解的完整性和正确性． 例2 求过点(34)M -，，且在两坐标轴上截距相等的直线方程．解：设所求直线方程为(3)(4)0A x B y -++=（其中A B ，不全为零）． 显然，当0A =或0B =时，所得直线方程不满足题意．故AB ，均不为零． 当0x =时，34A y B =-；当0y =时，43Bx A=-+． 根据题意，直线在两坐标轴上的截距相等，则3443A BB A -=-+， 令A z B =，则13443z z-=-+，整理，得23740z z -+=， 解得1z =，或43z =， 则0A B =≠，或403A B =≠， 故所求直线方程为10x y ++=，或430x y +=．编者的话：利用过点00()P x y ，的直线系方程00()()0A x x B y y -+-=（其中AB ，不全为零）确定直线方程，弥补了直线方程中几种常见的特殊直线方程形式的限制条件的不足，避免了分类讨论，解法具有通用性和简洁性．下面我们用这个方法来做两道相关的题目． 练习：1．求过原点且与直线110l y -+=成30°角的直线方程l ．2．在过点(35)P ，的所有直线中，求到原点的距离最远的直线方程． 答案：1．0x =，或0x -= 2． 35340x y +-=．课题：直线系与对称问题教学目标：1.掌握过两直线交点的直线系方程；2.会求一个点关于一条直线的对称点的坐标的求法；3.会求一条直线关于一个点、一条直线的对称直线的求法. 教学重点：对称问题的基本解法 （一） 主要知识及方法：1.点(),P a b 关于x 轴的对称点的坐标为(),a b -；关于y 轴的对称点的坐标为(),a b -；关于y x =的对称点的坐标为(),b a ；关于y x =-的对称点的坐标为(),b a --.2.点(),P a b 关于直线0ax by c ++=的对称点的坐标的求法：()1设所求的对称点'P 的坐标为()00,x y ，则'PP 的中点00,22a x b y ++⎛⎫⎪⎝⎭一定在直线0ax by c ++=上.()2直线'PP 与直线0ax by c ++=的斜率互为负倒数，即001y bax a b-⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭结论：点()00,P x y 关于直线l ：0Ax By C ++=对称点为()002,2x AD y BD --，其中0022Ax By CD A B ++=+；曲线C ：(,)0f x y =关于直线l ：0Ax By C ++=的对称曲线方程为()2,20f x AD y BD --=特别地，当22A B =，即l 的斜率为1±时，点()00,P x y 关于直线l ：0Ax By C ++=对称点为00,By C Ax C A B ++⎛⎫-- ⎪⎝⎭，即()00,P x y 关于直线0x y c ±+=对称的点为：()(),y c x c -+，曲线(,)0f x y =关于0x y c ±+=的对称曲线为()(),0f y c x c -+=3.直线1110a x b y c ++=关于直线0ax by c ++=的对称直线方程的求法：①到角相等；②在已知直线上去两点（其中一点可以是交点，若相交）求这两点关于对称轴的对称点，再求过这两点的直线方程；③轨迹法(相关点法)；④待定系数法，利用对称轴所在直线上任一点到两对称直线的距离相等，…4.点(),x y 关于定点(),a b 的对称点为()2,2a x b y --，曲线C ：(),0f x y =关于定点(),a b 的对称曲线方程为()2,20f a x b y --=.5.直线系方程：()1直线y kx b =+（k 为常数，b 参数；k 为参数，b 位常数）.()2过定点()00,M x y 的直线系方程为()00y y k x x -=-及0x x =()3与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程为10Ax By C ++=（1C C ≠） ()4与直线0Ax By C ++=垂直的直线系方程为0Bx Ay m -+=()5过直线11110l a x b y c ++=：和22220l a x b y c ++=：的交点的直线系的方程为：()()1112220a x b y c a x b y c λ+++++=（不含2l ）（二）典例分析：问题1．（06湖北联考）一条光线经过点()2,3P ，射在直线l ：10x y ++=上， 反射后穿过点()1,1Q .()1求入射光线的方程；()2求这条光线从点P 到点Q 的长度.问题2．求直线1l ：23y x =+关于直线l ：1y x =+对称的直线2l 的方程.问题3．根据下列条件，求直线的直线方程()1求通过两条直线3100x y +-=和30x y -=的交点，且到原点距离为1； ()2经过点()3,2A ，且与直线420x y +-=平行； ()3经过点()3,0B ，且与直线250x y +-=垂直.问题4．()1已知方程1x kx =+有一正根而没有负根，求实数k 的范围()2若直线1l ：2y kx k =++与2l ：24y x =-+的交点在第一象限，求k 的取值范围.()3 已知定点()2,1P --和直线l ：()()()1312250x y λλλ+++-+=()R λ∈求证：不论λ取何值，点P 到直线l（三）课后作业：1.方程()()()14232140k x k y k +--+-=表示的直线必经过点.A ()2,2 .B ()2,2- .C ()6,2- .D 3422,55⎛⎫⎪⎝⎭2.直线2360x y +-=关于点()1,1-对称的直线方程是.A 3220x y -+=.B 2370x y ++=.C 32120x y --=.D 2380x y ++=3.曲线24y x =关于直线20x y -+=对称的曲线方程是4.(){}.A x y y a x ==，(){},B x y y x a ==+，AB 仅有两个元素，则实数a 的范围是5.求经过直线3260x y ++=和2570x y +-=的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程6.已知ABC △的顶点为()1,4A --，,B C ∠∠的平分线所在直线的方程分别是1l ：10y +=与2l ：10x y ++=，求BC 边所在直线的方程.7.已知直线130kx y k -+-=，当k 变化时所得的直线都经过的定点为8.求证：不论m 取何实数，直线()()1215m x m y m -+-=-总通过一定点9.求点P ()1,1关于直线l ：20x y ++=的对称点Q 的坐标10.已知：(),P a b 与()1,1Q b a -+，()1a b ≠-是对称的两点，求对称轴的方程11.光线沿直线1l ：250x y -+=射入，遇到直线2l ：3270x y -+=反射，求反射光线所在的直线3l 的方程12.已知点()3,5A -，()2,15B ，试在直线l ：3440x y -+=上找一点P ，使PA PB + 最小，并求出最小值.（四）走向高考：13.（02北京）若直线l ：y kx =2360x y +-=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是 .A ,63ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.B ,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭.C ,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭.D ,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦14.（03全国文）直线2y x =关于x 轴对称的直线方程为.A 12y x =- .B 12y x = .C 2y x =- .D 2y x =15.(04安徽春)已知直线l ：10x y --=，1l ：220x y --=.若直线2l 与1l 关于l 对 称，则2l 的方程为.A 210x y -+=.B 210x y --=.C 10x y +-=.D 210x y +-=16.（05上海）直线12y x =关于直线1x =对称的直线方程是17.（07上海文）圆01222=--+x y x 关于直线032=+-y x 对称的圆的方程是.A 21)2()3(22=-++y x .B 21)2()3(22=++-y x.C 2)2()3(22=-++y x .D 2)2()3(22=++-y x直线中的几类对称问题对称问题，是解析几何中比较典型，高考中常考的热点问题. 对于直线中的对称问题，我们可以分为：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称，直线关于直线的对称. 本文通过几道典型例题，来介绍这几类对称问题的求解策略.一、点关于点的对称问题点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解. 熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键.例1 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标.分析 易知B 是线段AC 的中点，由此我们可以由中点坐标公式，构造方程求解.解 由题意知，B 是线段AC 的中点，设点C （x ，y ），由中点坐标公式有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=245223x x ，解得⎩⎨⎧==64y x ，故C （4，6）.点评 解决点关于点的对称问题，我们借助中点坐标公式进行求解. 另外此题有可以利用中点的性质AB=BC ，以及A ，B ，C 三点共线的性质去列方程来求解.二、点关于直线的对称问题点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.例2 求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标.分析 因为A ，A ′关于直线对称，所以直线l 是线段AA ′的垂直平分线. 这就找到了解题的突破口.解 据分析，直线l 与直线AA ′垂直，并且平分线段AA ′，设A ′的坐标为（x ，y ），则AA ′的中点B 的坐标为.13,23,21••x y ••k •y ••x A A --=⎪⎭⎫ ⎝⎛++' 由题意可知，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-•--=-+⨯++121130323221x y y x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=5153y x . 故所求点A ′的坐标为.51,53•••••⎪⎭⎫ ⎝⎛--三、直线关于某点对称的问题直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解.例3 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程. 分析 本题可以利用两直线平行，以及点P 到两直线的距离相等求解，也可以先在已知直线上取一点，再求该点关于点P 的对称点，代入对称直线方程待定相关常数.解法一 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0. 由点到直线距离公式，得2222112|11|112|1611|++=++c ，即|11+c|=27，得c=16（即为已知直线，舍去）或c= -38. 故所求对称直线方程为2x+11y-38=0. 解法二 在直线2x+11y+16=0上取两点A （-8，0），则点A （-8，0）关于P （0，1）的对称点的B （8，2）. 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0.将B （8，2）代入，解得c=-38.故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.点评 解法一利用所求的对称直线肯定与已知直线平行，再由点（对称中心）到此两直线距离相等，而求出c ，使问题解决，而解法二是转化为点关于点对称问题，利用中点坐标公式，求出对称点坐标，再利用直线系方程，写出直线方程. 本题两种解法都体现了直线系方程的优越性.四、直线关于直线的对称问题直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.例4 求直线l 1：x-y-1=0关于直线l 2：x-y+1=0对称的直线l 的方程.分析 由题意，所给的两直线l 1，l 2为平行直线，求解这类对称总是，我们可以转化为点关于直线的对称问题，再利用平行直线系去求解，或者利用距离相等寻求解答.解 根据分析，可设直线l 的方程为x-y+c=0，在直线l 1：x-y-1=0上取点M （1，0），则易求得M 关于直线l 2：x-y+1=0的对称点N （-1，2），将N 的坐标代入方程x-y+c=0，解得c=3， 故所求直线l 的方程为x-y+3=0.点评 将对称问题进行转化，是我们求解这类问题的一种必不可少的思路. 另外此题也可以先利用平行直线系方程写出直线l 的形式，然后再在直线l 2上的任取一点，在根据该点到互相对称的两直线的距离相等去待定相关常数.例5 试求直线l 1：x-y-2=0关于直线l 2：3x-y+3=0对称的直线l 的方程. 分析 两直线相交，可先求其交点，再利用到角公式求直线斜率.解 由⎩⎨⎧=+-=--03302y x y x 解得l 1，l 2的交点⎪⎭⎫ ⎝⎛--29,25•••A ，设所求直线l 的斜率为k ， 由到角公式得，kk 31313113+-=⨯+-，所以k=-7.由点斜式，得直线l 的方程为7x+y+22=0.点评 本题亦可以先求l 1，l 2的交点A ，再在直线l 1上取异于点A 的任意点B ，再求点B 关于点A 的对称点B ′，最后由A ，B ′两点写出直线l 的方程.总结：（1）一般的，求与直线ax+by+c=0关于x=a 0对称的直线方程，先写成a(x-a 0)+by+c+aa 0=0的形式，再写成a(a 0-x)+by+c+aa 0=0形式，化简后即是所求值.（2）一般的，求与直线ax+by+c=0关于y=b 0对称的直线方程，先写成ax+b(y-b 0)+c+bb 0=0的形式，再写ax+b(b 0-y)+c+bb 0=0成形式，化简后即是的求值.（3）一般的，求与直线ax+by+c=0关于原点对称的直线方程，只需把x 换成-x ，把y 换成-y ，化简后即为所求.（4）一般地直（曲）线f(x ，y)=0关于直线y=x+c 的对称直（曲）线为f(y-c ，x+c)=0. 即把f(x ，y)=0中的x 换成y-c 、y 换成x+c 即可.（5）一般地直（曲）线f(x ，y)=0关于直线y= -x+c 的对称直（曲）线为f(-y+c ，-x+c). 即把f(x ，y)=0中的x 换成-y+c ，y 换成-x+c.（数学2必修）第三章 直线与方程训练题一、选择题1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（ ） A ．1=+b a B ．1=-b a C ．0=+b a D ．0=-b a 5．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ） A ．045,1B ．0135,1- C ．090，不存在D ．0180，不存在6．若方程014)()32(22=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（ ） A ．0≠mB ．23-≠m C ．1≠m D ．1≠m ，23-≠m ，0≠m 二、填空题3、若原点在直线l 上的射影为)1,2(-，则l 的方程为____________________。