学年高中数学直线与方程直线的点斜式方程学案含解析新人教A版必修

3．2.1 直线的点斜式方程点斜式、斜截式[提出问题]如图，过点A(1,1)作直线l.问题1：试想直线l确定吗？提示：不确定．因为过一点可画无数条直线．问题2：若直线l的倾斜角为45°，直线确定吗？提示：确定．问题3：若直线l的斜率为2，直线确定吗？提示：确定．[导入新知]1．直线的点斜式方程(1)定义：如图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程y－y 0＝k(x－x0)叫做直线l的点斜式方程，简称点斜式．(2)说明：如图所示，过定点P(x0，y0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x－x0＝0，或x＝x0.2．直线的斜截式方程(1)定义：如图所示，直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则方程y＝kx＋b叫做直线l的斜截式方程，简称斜截式．(2)说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距．倾斜角是直角的直线没有斜截式方程．[化解疑难]1．关于点斜式的几点说明：(1)直线的点斜式方程的前提条件是：①已知一点P (x 0，y 0)和斜率k ；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．(2)方程y －y 0＝k (x －x 0)与方程k ＝y －y 0x －x 0不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P (x 0，y 0)的一条直线．(3)当k 取任意实数时，方程y －y 0＝k (x －x 0)表示恒过定点(x 0，y 0)的无数条直线． 2．斜截式与一次函数的解析式相同，都是y ＝kx ＋b 的形式，但有区别，当k ≠0时，y ＝kx ＋b 即为一次函数；当k ＝0时，y ＝b 不是一次函数，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)必是一条直线的斜截式方程．截距不是距离，可正、可负也可为零.直线的点斜式方程[例1] (1)．(2)直线y ＝x ＋1绕着其上一点P (3,4)逆时针旋转90°后得直线l ，则直线l 的点斜式方程为________________．(3)求过点P (1,2)且与直线y ＝2x ＋1平行的直线方程为________________． [答案] (1)x ＝－5 (2)y －4＝－(x －3) (3)2x －y ＝0 [类题通法]已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，直线方程的点斜式，应在直线斜率存在的条件下使用．当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝x 0.[活学活用]若直线l 过点(2,1)，分别求l 满足下列条件时的直线方程：(1)倾斜角为135°；(2)平行于x 轴；(3)平行于y 轴；(4)过原点．解：(1)直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1， 所以由点斜式方程得y －1＝－1×(x －2)， 即方程为x ＋y －3＝0.(2)平行于x 轴的直线的斜率k ＝0，故所求的直线方程为y ＝1. (3)过点(2,1)且平行于y 轴的直线方程为x ＝2. (4)过点(2,1)与点(0,0)的直线的斜率k ＝12，故所求的直线方程为y ＝12x .直线的斜截式方程[例2] (1)倾y 线的斜截式方程为________________．(2)已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3，l 2的方程为y ＝4x －2，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程．[解] (1)y ＝－33x －3 (2)由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2，又∵l ∥l 1，∴l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，∴l 在y 轴上的截距b ＝－2，由斜截式可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.[类题通法]1．斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b ＝0时，y ＝kx 表示过原点的直线；当k ＝0时，y ＝b 表示与x 轴平行(或重合)的直线．2．截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数或零，而距离是一个非负数．[活学活用]写出下列直线的斜截式方程：(1)直线斜率是3，在y 轴上的截距是－3； (2)直线倾斜角是60°，在y 轴上的截距是5； (3)直线在x 轴上的截距为4，在y 轴上的截距为－2. 解：(1)y ＝3x －3.(2)∵k ＝tan 60°＝3，∴y ＝3x ＋5.(3)∵直线在x 轴上的截距为4，在y 轴上的截距为－2，∴直线过点(4,0)和(0，－2)， ∴k ＝－2－00－4＝12，∴y ＝12x －2.两直线平行与垂直的应用[例3] 当a (1)两直线y ＝ax －2与y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直？ (2)两直线y ＝－x ＋4a 与y ＝(a 2－2)x ＋4互相平行？ [解] (1)设两直线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＝a ，k 2＝a ＋2. ∵两直线互相垂直，∴k 1k 2＝a (a ＋2)＝－1，解得a ＝－1. 故当a ＝－1时，两条直线互相垂直． (2)设两直线的斜率分别为k 3，k 4， 则k 3＝－1，k 4＝a 2－2.∵两条直线互相平行，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2＝－1，4a ≠4，解得a ＝－1.故当a ＝－1时，两条直线互相平行． [类题通法]判断两条直线位置关系的方法直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2. (1)若k 1≠k 2，则两直线相交． (2)若k 1＝k 2，则两直线平行或重合， 当b 1≠b 2时，两直线平行； 当b 1＝b 2时，两直线重合．(3)特别地，当k 1·k 2＝－1时，两直线垂直． (4)对于斜率不存在的情况，应单独考虑． [活学活用]1．若直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直，则a ＝________. 答案：382．若直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝－7＋a 平行，则实数a 的值为________． 答案：37.斜截式判断两条直线平行的误区[典例] 已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)·x ＋3y ＋2m ＝0，当l 1∥l 2时，求m 的值．[解] 由题设l 2的方程可化为y ＝－m －23x －23m ，则其斜率k 2＝－m －23，在y 轴上的截距b 2＝－23m .∵l 1∥l 2，∴l 1的斜率一定存在，即m ≠0. ∴l 1的方程为y ＝－1m x －6m.由l 1∥l 2，得⎩⎪⎨⎪⎧－m －23＝－1m，－23m ≠－6m ，解得m ＝－1. ∴m 的值为－1. [易错防范]1．两条直线平行时，斜率存在且相等，截距不相等．当两条直线的斜率相等时，也可能平行，也可能重合．2．解决此类问题要明确两直线平行的条件，尤其是在求参数时要考虑两直线是否重合． [成功破障]当a 为何值时，直线l 1：y ＝－2ax ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－3)x ＋2平行？ 解：∵l 1∥l 2，∴a 2－3＝－2a 且2a ≠2， 解得a ＝－3.[随堂即时演练]1．直线的点斜式方程y －y 1＝k (x －x 1)( ) A ．可以表示任何一条直线 B ．不能表示过原点的直线 C ．不能表示与坐标轴垂直的直线 D ．不能表示与x 轴垂直的直线 答案：D2．直线l 经过点P (2，－3)，且倾斜角α＝45°，则直线的点斜式方程是( ) A ．y ＋3＝x －2 B ．y －3＝x ＋2 C ．y ＋2＝x －3 D ．y －2＝x ＋3答案：A3．直线y ＝3x －2在y 轴上的截距为________． 答案：－24．在y 轴上的截距为2，且与直线y ＝－3x －4平行的直线的斜截式方程为________________．答案：y ＝－3x ＋25．(1)求经过点(1,1)，且与直线y ＝2x ＋7平行的直线的方程； (2)求经过点(－2，－2)，且与直线y ＝3x －5垂直的直线的方程．解：(1)2x －y －1＝0 (2)x ＋3y ＋8＝0[课时达标检测]一、选择题1．已知直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( ) A ．直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B ．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D ．直线经过点(－2，－1)，斜率为1 答案：C2．直线y ＝ax ＋b 和y ＝bx ＋a 在同一直角坐标系中的图形可能是( )答案：D3．与直线y ＝2x ＋1垂直，且在y 轴上的截距为4的直线的斜截式方程是( ) A ．y ＝12x ＋4B ．y ＝2x ＋4C ．y ＝－2x ＋4D ．y ＝－12x ＋4答案：D4．过点(－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( ) A ．2x ＋y －1＝0 B ．2x ＋y －5＝0 C ．x ＋2y －5＝0 D ．x －2y ＋7＝0 答案：A5．直线y ＝2x ＋3与y －2＝2(x ＋3)的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．重合 D ．无法判断 答案：A二、填空题6．过点(－3,2)且与直线y －1＝23(x ＋5)平行的直线的点斜式方程是________________．答案：y －2＝23(x ＋3)7．直线y ＝ax －3a ＋2(a ∈R)必过定点____________． 答案：(3,2)8．已知斜率为2的直线的方程为5ax －5y －a ＋3＝0，此直线在y 轴上的截距为________． 答案：15三、解答题9．已知三角形的顶点坐标是A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，试求这个三角形的三条边所在直线的方程．解：直线AB 的斜率k AB ＝－3－03－－5＝－38，过点A (－5,0)，由点斜式得直线AB 的方程为y ＝－38(x ＋5)，即3x ＋8y ＋15＝0；同理，k BC ＝2＋30－3＝－53，k AC ＝2－00＋5＝25，直线BC ，AC 的方程分别为5x ＋3y －6＝0,2x －5y ＋10＝0.10．已知直线l 的斜率与直线3x －2y ＝6的斜率相等，且直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，求直线l 的方程．解：由题意知，直线l 的斜率为32，故设直线l 的方程为y ＝32x ＋b ，l 在x 轴上的截距为－23b ，在y 轴上的截距为b ，所以－23b －b ＝1，b ＝－35，直线l 的方程为y ＝32x －35，即15x －10y －6＝0.。

§2.2直线的方程2．2.1直线的点斜式方程导学目标 1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.3.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题．导语给定一个点P0(x0，y0)和一个方向(斜率或倾斜角)可以确定唯一一条直线，也就是说这条直线上任意一点的坐标(x，y)与点P0(x0，y0)和斜率k之间的关系是确定的，如何表示这一关系呢？一、求直线的点斜式方程问题1给定一个点P0(x0，y0)和斜率k(或倾斜角)就能确定一条直线．怎么确定P0(x0，y0)和斜率k之间的关系？提示y－y0＝k(x－x0)知识梳理我们把方程y－y0＝k(x－x0)称为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程．方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式．注意点：(1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式．(2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y 轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0.例1已知在第一象限的△ABC中，A(1,1)，B(5,1)，∠A＝60°，∠B＝45°，求：(1)AB边所在直线的方程；(2)AC边与BC边所在直线的方程．解(1)如图所示，因为A(1,1)，B(5,1)，所以AB∥x轴，所以AB 边所在直线的方程为y ＝1.(2)因为∠A ＝60°，所以k AC ＝tan60°＝3，所以直线AC 的方程为y －1＝3(x －1)．因为∠B ＝45°，所以k BC ＝tan135°＝－1，所以直线BC 的方程为y －1＝－(x －5)．反思感悟 求直线的点斜式方程的步骤及注意点(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x 0，y 0)→定斜率k →写出方程y －y 0＝k (x －x 0)．(2)点斜式方程y －y 0＝k (x －x 0)可表示过点P (x 0，y 0)的所有直线，但x ＝x 0除外．加固检验1 求满足下列条件的直线方程：(1)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y ＝33x 的倾斜角的2倍； (2)经过点P (5，－2)，且与y 轴平行；(3)过P (－2,3)，Q (5，－4)两点．解 (1)∵直线y ＝33x 的斜率为33， ∴直线y ＝33x 的倾斜角为30°. ∴所求直线的倾斜角为60°，故其斜率为 3.∴所求直线方程为y ＋3＝3(x －2)，即3x －y －23－3＝0.(2)与y 轴平行的直线，其斜率k 不存在，不能用点斜式方程表示．但直线上点的横坐标均为5，故直线方程可记为x ＝5.(3)过P (－2,3)，Q (5，－4)两点的直线斜率k PQ ＝－4－35－(－2)＝－77＝－1. ∵直线过点P (－2,3)，∴由直线的点斜式方程可得直线方程为y －3＝－(x ＋2)，即x ＋y －1＝0.二、直线的斜截式方程问题2 直线l 上给定一个点P 0(0，b )和斜率k ，求直线l 的方程．提示 y ＝kx ＋b 知识梳理1．直线l 与y 轴的交点(0，b )的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距．2．把方程y ＝kx ＋b 叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．注意点：(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况．(2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x 轴上的截距和在y 轴上的截距都为0.(3)由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y 轴上的截距．(4)斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y ＝kx ＋b 的形式，但有区别：当k ≠0时，y ＝kx ＋b 为一次函数；当k ＝0时，y ＝b ，不是一次函数．故一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)一定可看成一条直线的斜截式方程．例2 已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3，l 2的方程为y ＝4x －2，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程．解 由斜截式方程知，直线l 1的斜率k 1＝－2，又因为l ∥l 1，所以k l ＝－2.由题意知，l 2在y 轴上的截距为－2，所以直线l 在y 轴上的截距b ＝－2.由斜截式可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.延伸探究 本例中若将“直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相等”改为“直线l 与l 1垂直且与l 2在y 轴上的截距互为相反数”，求l 的方程．解 ∵l 1⊥l ，直线l 1：y ＝－2x ＋3，∴l 的斜率为12. ∵l 与l 2在y 轴上的截距互为相反数，直线l 2：y ＝4x －2，∴l 在y 轴上的截距为2.∴直线l 的方程为y ＝12x ＋2. 反思感悟 求直线的斜截式方程的策略(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．(2)直线的斜截式方程y ＝kx ＋b 中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可．加固检验2 已知斜率为－43的直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为6，求直线l 的方程． 解 设l ：y ＝－43x ＋b ， 令x ＝0，得y ＝b ；令y ＝0，得x ＝34b . 由题意，得12·|b |·⎪⎪⎪⎪34b ＝6， ∴b 2＝16，∴b ＝±4.故直线l 的方程为y ＝－43x ±4. 三、根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直例3 已知直线l 1：y ＝－3m 8x ＋10－3m 8和l 2：6my ＝－x ＋4，问m 为何值时，l 1与l 2平行或垂直？解 当m ＝0时，l 1：4y －5＝0；l 2：x －4＝0，l 1与l 2垂直；当m ≠0时，l 2的方程可化为y ＝－16m x ＋23m. 由－3m 8＝－16m ，得m ＝±23； 由10－3m 8＝23m ，得m ＝23或m ＝83， －3m 8·⎝⎛⎭⎫－16m ＝－1无解． 故当m ＝－23时，l 1与l 2平行； 当m ＝0时，l 1与l 2垂直．反思感悟 若l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2且b 1≠b 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1. 加固检验3 已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0.(1)判断直线l 1与l 2是否能平行；(2)当l 1⊥l 2时，求a 的值．解 (1)当a ＝1时，显然两直线不平行．当a ≠1时，将方程ax ＋2y ＋6＝0化为y ＝－a 2x －3， 将方程x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝化为y ＝11－ax －a －1. 若直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0平行，则⎩⎨⎧ －a 2＝11－a ，－3≠－a －1，解得a ＝－1.故当a ＝－1时，直线l 1与l 2平行．(2)当l 1⊥l 2时，a ＋2(a －1)＝0，解得a ＝23. 即当a ＝23时，l 1⊥l 2.1．知识清单：(1)直线的点斜式方程．(2)直线的斜截式方程．2．方法归纳：待定系数法、数形结合思想．3．常见误区：求直线方程时忽视斜率不存在的情况；混淆截距与距离．1．方程y ＝k (x －2)表示( )A ．通过点(－2,0)的所有直线B ．通过点(2,0)的所有直线C ．通过点(2,0)且不垂直于x 轴的所有直线D ．通过点(2,0)且除去x 轴的所有直线★lx 资源-[答案]C★lx 资源-[解析]易验证直线通过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x 轴．2．已知直线l 的方程为y ＋274＝94(x －1)，则l 在y 轴上的截距为( )A ．9B ．－9C.274D ．－274★lx 资源-[答案]B★lx 资源-[解析]由y ＋274＝94(x －1)，得y ＝94x －9，∴l 在y 轴上的截距为－9.3．已知直线l 的倾斜角为60°，且在y 轴上的截距为－2，则此直线的方程为() A ．y ＝3x ＋2 B ．y ＝－3x ＋2C ．y ＝－3x －2D ．y ＝3x －2★lx 资源-[答案]D★lx 资源-[解析]∵α＝60°，∴k ＝tan60°＝3，∴直线l 的方程为y ＝3x －2.4．若直线y ＝kx ＋b 通过第一、三、四象限，则有( )A ．k >0，b >0B ．k >0，b <0C ．k <0，b >0D ．k <0，b <0★lx 资源-[答案]B★lx 资源-[解析]∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k >0，b <0.。

高一数学必修2导学案 主备人: 备课时间: 备课组长:3.2.1直线的点斜式方程一、学习目标 1、知识与技能：（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。

（3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系. 2、过程与方法：在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素----直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程；学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别。

3、情感态度与价值观:通过让体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题。

二、学习重点、难点：（1）重点：直线的点斜式方程和斜截式方程。

（2）难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。

三、 使用说明及学法指导:1、先浏览教材，再逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。

2、牢记直线的点斜式方程形式，注意适用条件。

3、要求小班、重点班学生全部完成，平行班学生完成A 、B 类问题。

四、知识链接:1．直线倾斜角的概念 2. 直线的斜率两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直． 五、学习过程：A 问题1、在直角坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？B 问题2、直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k 。

设点),(y x P 是直线l 上的任意一点，请建立y x ,与00,,y x k 之间的关系。

A 问题3、（1）过点),(000y x P ，斜率是k 的直线l 上的点，其坐标都满足方程（1） （2）坐标满足方程（1）的点都在经过),(000y x P ，斜率为k 的直线l 上吗？ B问题4、直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？B 问题5、（1）x 轴所在直线的方程是什么？y 轴所在直线的方程是什么？（2）经过点),(000y x P 且平行于x 轴（即垂直于y （3）经过点),(000y x P 且平行于y 轴（即垂直于x 轴）.l l lα︒A 例１直线经过点P(-3,2)，且倾斜角为=45，求直线的点斜式方程，并画出直线A 问题7、已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b ，求直线l 的方程。

3．2 直线的方程3．2.1 直线的点斜式方程【课标要求】1．掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程．2．结合具体实例理解直线的方程和方程的直线概念及直线在y 轴上的截距的含义．3．会根据斜截式方程判断两直线的位置关系．新知导学温馨提示：(1)方程y －y 0＝k (x －x 0)与方程k ＝y －y 0x －x 0并不一致，前者是直线的点斜式方程，表示直线；而后者由于x ≠x 0，因此表示的直线不包括P 0(x 0，y 0)，并不是一条完整的直线．(2)由于点斜式方程是用点的坐标和斜率表示的，因而它只能表示斜率存在的直线，斜率不存在的直线是不能用点斜式方程来表示的．即点斜式不能表示与x 轴垂直的直线；过点P 0(x 0，y 0)且垂直于x 轴的直线可以表示为x ＝x 0的形式．(3)点斜式方程可以表示平行于x 轴的直线．过点P 0(x 0，y 0)且平行于x 轴的直线方程为y ＝y 0.特别地，x 轴的方程为y ＝0.2．直线l 在坐标轴上的截距(1)直线在y 轴上的截距：直线l 与y 轴的交点(0，b )的纵坐标b .(2)直线在x 轴上的截距：直线l 与x 轴的交点(a,0)的横坐标a .温馨提示(1)直线在y 轴上的截距是它与y 轴交点的纵坐标，截距是一个数值，可正、可负、可为零．当截距非负时，它等于直线与y 轴交点到原点的距离；当截距为负时，它等于直线与y 轴交点到原点距离的相反数．(2)直线在x 轴上的截距与直线在x 轴上的交点到原点的距离也有上述类似的关系．(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特例，应用的前提也是直线的斜率存在．(2)斜截式方程与一次函数的解析式的区别：当斜率不为0时，y ＝kx ＋b 即为一次函数；当斜率为0时，y ＝b 不是一次函数；一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)必是一条直线的斜截式方程．互动探究探究点1 斜率存在的直线一定有点斜式方程吗？提示 一定有点斜式方程．探究点2 若直线在x 轴、y 轴上的截距相同，这条直线的倾斜角是多少？提示 135°.探究点3 斜率为k 且过原点的直线的点斜式方程和斜截式方程有什么关系？提示 相同．都是y ＝kx 的形式.类型一 直线的点斜式方程【例1】 求满足下列条件的直线方程．(1)过点P (－4,3)，斜率k ＝－3；(2)过点P (3，－4)，且与x 轴平行；(3)过P (－2,3)，Q (5，－4)两点．[思路探索] 求出斜率，代入点斜式方程．解 (1)∵直线过点P (－4,3)，斜率k ＝－3，由直线方程的点斜式得直线方程为y －3＝－3(x ＋4)，即3x ＋y ＋9＝0.(2)与x 轴平行的直线，其斜率k ＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y －(－4)＝0×(x －3)，即y ＝－4.(3)过点P (－2,3)，Q (5，－4)的直线的斜率k PQ ＝－4－35－(－2)＝－77＝－1.又∵直线过点P (－2,3)，∴由直线方程的点斜式可得直线方程为y －3＝－1×(x ＋2)，即x ＋y －1＝0.[规律方法] 求直线的点斜式方程关键是求出直线的斜率，若直线的斜率不存在时，直线没有点斜式方程．【活学活用1】 (1)过点(－1,2)，且倾斜角为135°的直线方程为________．(2)已知直线l 过点A (2,1)且与直线y －1＝4x －3垂直，则直线l 的方程为________． 解析 (1)k ＝tan 135°＝－1，由直线的点斜式方程得y －2＝－1×(x ＋1)，即x ＋y －1＝0.(2)方程y －1＝4x －3可化为y －1＝4⎝⎛⎭⎫x －34，由点斜式方程知其斜率k ＝4.又因为l 与直线y －1＝4x －3垂直，所以直线l 的斜率为－14.又因为l 过点A (2,1)，所以直线l 的方程为y －1＝－14(x －2)，即x ＋4y －6＝0.答案 (1)x ＋y －1＝0 (2)x ＋4y －6＝0类型二 直线的斜截式方程【例2】 求分别满足下列条件的直线l 的方程：(1)与直线l 1：y ＝34x ＋1平行，且在两坐标轴上的截距之和为1.(2)与直线l 1：y ＝34x ＋1垂直，且在两坐标轴上的截距之和为1.[思路探索] 根据两直线的平行(或垂直)关系求出斜率后，再设所求方程的斜截式，由截距之和求得纵截距．解 (1)根据题意知直线l 1的斜率k 1＝34，∵l ∥l 1，∴直线l 的斜率k ＝34，设直线l 的方程为y ＝34x ＋b ，则令y ＝0得它在x 轴上的截距a ＝－43b .∵a ＋b ＝－43b ＋b ＝－13b ＝1，∴b ＝－3.∴直线l 的方程为y ＝34x －3，即3x －4y －12＝0.(2)∵l 2⊥l ，∴直线l 的斜率k ＝－1k 1＝－43.设直线l 的方程为y ＝－43x ＋b ′，则它在x 轴上的截距a ′＝34b ′.∵a ′＋b ′＝34b ′＋b ′＝74b ＝1，∴b ′＝47.∴直线l 的方程为y ＝－43x ＋47，即28x ＋21y －12＝0.[规律方法] 设直线l 1的方程为y ＝k 1x ＋b 1，直线l 2的方程为y ＝k 2x ＋b 2，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2且b 1≠b 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.【活学活用2】 (1)已知直线l 过点A (2，－3)，若直线l 与直线y ＝－2x ＋5平行，求其方程．(2)直线l 与直线l 1：y ＝2x ＋6在y 轴上有相同的截距，且l 的斜率与l 1的斜率互为相反数，求直线l 的方程．解 (1)法一 ∵直线l 与y ＝－2x ＋5平行，∴k l ＝－2，由直线方程的点斜式知y ＋3＝－2(x －2)，即l ：2x ＋y －1＝0.法二 ∵已知直线方程y ＝－2x ＋5，又l 与其平行，则可设l 为y ＝－2x ＋b .∵l 过点A (2，－3)，∴－3＝－2×2＋b ，则b ＝1，∴l ：y ＝－2x ＋1，即2x ＋y －1＝0.(2)由直线l 1的方程可知它的斜率为2，它在y 轴上的截距为6，所以直线l 的斜率为－2，在y 轴上的截距为6.由斜截式可得直线l 的方程为y ＝－2x ＋6.类型三 直线过定点问题【例3】 求证：不论m 为何值时，直线l ：y ＝(m －1)x ＋2m ＋1总过第二象限．[思路探索] (1)化为点斜式，求定点；(2)化为mf (x ，y )＋g (x ，y )＝0.证明 法一 根据恒等式的意义求解．直线l 的方程可化为y －3＝(m －1)(x ＋2)，∴直线l 过定点(－2,3)，由于点(－2,3)在第二象限，故直线l 总过第二象限．法二 直线l 的方程可化为(x ＋2)m －(x ＋y －1)＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝3.∴无论m 取何值，直线l 总经过点(－2,3)． ∵点(－2,3)在第二象限，∴直线l 总过第二象限．[规律方法] 本例两种证法是证明直线过定点的基本方法，法一体现了点斜式的应用，法二体现代数方法处理恒成立问题的基本思想．【活学活用3】 已知直线y ＝(3－2k )x －6不经过第一象限，求k 的取值范围．解 由题意知，需满足它在y 轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则⎩⎪⎨⎪⎧ －6≤0，3－2k ≤0，得k ≥32.所以，k 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫k |k ≥32.易错辨析 因忽视截距所致的错误【示例】 a 取何值时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2平行？[错解] 因为l 1∥l 2，∴a 2－2＝－1，∴a 2＝1，∴a ＝1或a ＝－1.[错因分析] 在已知两直线斜截式方程条件下两直线平行的条件是斜率相等且截距不相等，上述解法未检验截距不相等这个条件，致使所求a 的值增多．[正解] 因为l 1∥l 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2＝－1，2≠2a ，解得a ＝－1. [防范措施] 在运用两直线的斜截式方程判定两直线是否平行，或已知直线平行求参数的值时，必需保证斜率相等且截距不相等这两个条件同时成立.课堂达标 1．已知直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( )．A ．直线经过点(－1,2)，斜率为－1B ．直线经过点(2，－1)，斜率为－1C ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1D ．直线经过点(－2，－1)，斜率为1 解析 方程变形为y ＋2＝－(x ＋1)，∴直线过点(－1，－2)，斜率为－1.答案 C2．直线y ＝2x －3的斜率和在y 轴上截距分别等于( )．A ．2,3B ．－3，－3C ．－3,2D ．2，－3答案 D3．斜率为4，经过点(2，－3)的直线方程是________．答案 y ＝4x －114．过点(1,3)与x轴垂直的直线方程是________．解析∵直线与x轴垂直且过(1,3)，∴直线的方程为x＝1.答案x＝15．写出斜率为－2，且在y轴上的截距为t的直线的方程．当t为何值时，直线通过点(4，－3)?解由直线方程的斜截式，可得方程为y＝－2x＋t.将点(4，－3)代入方程y＝－2x＋t，得－3＝－2×4＋t，解得t＝5.故当t＝5时，直线通过点(4，－3)．课堂小结1．直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，使用这两种方程的条件都是斜率存在．2．求直线方程时常常使用待定系数法，即根据直线满足的一个条件，设出其点斜式方程或斜截式方程，再根据另一条件确定待定常数的值，从而达到求出直线方程的目的．但在求解时仍然需要讨论斜率不存在的情形．3．要掌握利用直线方程的点斜式证明直线过定点问题，会利用直线的斜截式方程判定两直线的位置关系.。

数学：3.2《直线的点斜式、斜截式⽅程》教案（新⼈教A 版必修2）课题：直线的点斜式、斜截式⽅程课型：新授课教学⽬标：1、知识与技能（1）理解直线⽅程的点斜式、斜截式的形式特点和适⽤范围；（2）能正确利⽤直线的点斜式、斜截式公式求直线⽅程。

（3）体会直线的斜截式⽅程与⼀次函数的关系.2、过程与⽅法在已知直⾓坐标系内确定⼀条直线的⼏何要素——直线上的⼀点和直线的倾斜⾓的基础上，通过师⽣探讨，得出直线的点斜式⽅程；学⽣通过对⽐理解“截距”与“距离”的区别。

3、情态与价值观通过让学⽣体会直线的斜截式⽅程与⼀次函数的关系，进⼀步培养学⽣数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学⽣能⽤联系的观点看问题。

教学重点：直线的点斜式⽅程和斜截式⽅程。

教学难点：直线的点斜式⽅程和斜截式⽅程的应⽤例3．如果直线l 沿x 轴负⽅向平移3个单位，再沿y 轴正⽅向平移1个单位后，⼜回到原来的位置，求直线l 的斜率.( －31)归纳⼩结：（1）本节课我们学过那些知识点；（2）直线⽅程的点斜式、斜截式的形式特点和适⽤范围是什么？（3）求⼀条直线的⽅程，要知道多少个条件？作业布置：第100页第1题的（1）、（2）、（3）和第3、5题课后记:课题：直线的两点式和截距式⽅程课型：新授课教学⽬标：1、知识与技能（1）掌握直线⽅程的两点式的形式特点及适⽤范围；（2）了解直线⽅程截距式的形式特点及适⽤范围。

2、过程与⽅法让学⽣在应⽤旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的⽐较、分析、应⽤获得新知识的特点。

3、情态与价值观（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；（2）培养学⽣⽤联系的观点看问题。

教学重点：直线⽅程两点式。

教学难点：两点式推导过程的理解1）到⽬前为⽌，我们所学过的直线⽅程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？2）要求⼀条直线的⽅程，必须知道多少个条件？作业布置：第100页第1题的（4）、（5）、（6）和第2、4题课后记:课题：直线的⼀般式⽅程课型：新授课教学⽬标：1、知识与技能（1）明确直线⽅程⼀般式的形式特征；（2）会把直线⽅程的⼀般式化为斜截式，进⽽求斜率和截距；（3）会把直线⽅程的点斜式、两点式化为⼀般式。

2.2.1 直线的点斜式方程教学设计一、教学目标1. 掌握直线方程的点斜式与斜截式方程；2. 了解斜截式方程与一次函数的关系. 二、教学重难点 1. 教学重点 直线的点斜式方程. 2. 教学难点直线的点斜式、斜截式方程的应用. 三、教学过程 （一）新课导入问题1 怎样确定一条直线？（要求学生自主思考，举手回答，教师总结）除了两点确定一条直线，给定一点和一个方向也可以唯一确定一条直线. 这样，在平面直角坐标系中，给定一个点000()P x y ，和斜率k （或倾斜角），就能唯一确定一条直线. 也就是说，这条直线上任意一点的坐标(x ，y )与点0P 的坐标00()x y ，和斜率k 之间的关系是完全确定的. 那么，这一关系如何表示呢？下面我们来研究这个问题. （二）探索新知如下图，直线l 经过点000()P x y ，，且斜率为k . 设()P x y ，是直线l 上不同于点0P 的任意一点，因为直线l 的斜率为k ，由斜率公式得0y y k x x -=-，即00()y y k x x -=-.由上述推导过程可知：（1）直线l 上每一个点的坐标(x ，y )都满足关系式00()y y k x x -=-； （2）反过来，坐标满足关系式00()y y k x x -=-的每一个点都在直线l 上.验证（2）：事实上，若点111()P x y ，的横纵坐标11x y ，满足关系式00()y y k x x -=-，则1010()y y k x x -=-.当10x x =时，10y y =，这时点1P 与0P 重合，显然有点1P 在直线l 上；当10x x ≠时，有1010y y k x x -=-，这表明过点1P ，0P 的直线1l 的斜率为k . 因为直线l ，1l 的斜率都为k ，且都过点0P ，所以它们重合. 所以，点1P 在直线l 上.由（1）（2）可得：坐标满足关系式00()y y k x x -=-的点一定在直线l 上；直线l 上任意一点的坐标一定满足关系式00()y y k x x -=-. 我们把方程00()y y k x x -=-称为过点000()P x y ，，斜率为k 的直线l 的方程.定义：方程00()y y k x x -=-由直线上一个定点00()x y ，及该直线的斜率k 确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式.问题2 （1）当直线l 的倾斜角为0°时，直线l 的方程是什么？为什么？ （2）当直线l 的倾斜角为90°时，直线l 的方程如何表示？为什么？ （要求学生以小组为单位讨论，每组选出代表回答，教师引导、总结）如下图，当直线l 的倾斜角为0°时，tan00︒=，即0k =，这时直线l 与x 轴平行或重合，直线l 的方程是00y y -=，即0y y =.如下图，当直线l 的倾斜角为90°时，由于tan90︒无意义，直线没有斜率，这时直线l 与y 轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示. 又因为这时直线l 上每一点的横坐标都等于0x ，所以它的方程是00x x -=，即0x x =.例1 直线l 经过点0(23)P -，，且倾斜角45α=︒，求直线l 的点斜式方程，并画出直线l .解：直线l 经过点0(23)P -，，斜率tan451k =︒=，代入点斜式方程得32y x -=+. 画图时，只需再找出直线l 上的另一点111()P x y ，，例如，取11x =-，则14y =，得点1P 的坐标为(14)-，，过0P ，1P 两点的直线即为所求，如下图所示.如果斜率为k 的直线l 过点0(0)P b ，，这时0P 是直线l 与y 轴的交点，代入直线的点斜式方程，得(0)y b k x -=-，即y kx b =+.我们把直线l 与y 轴的交点(0)b ，的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距. 这样，方程y kx b =+由直线的斜率k 与它在y 轴上的截距b 确定，我们把方程y kx b =+叫做直线的斜截式方程，简称斜截式. 其中，k 和b 均有明显的几何意义：k 是直线的斜率，b 是直线在y 轴上的截距.例2 已知直线111222::l y k x b l y k x b =+=+，，试讨论：（1）12l l 的条件是什么？（2）12l l ⊥的条件是什么？解：（1）若12l l ，则12k k =，此时12l l ，与y 轴的交点不同，即12b b ≠；反之，若12k k =，且12b b ≠，则12l l .（2）若12l l ⊥，则121k k =-；反之，若121k k =-，则12l l ⊥.由例2得到，对于直线111222::l y k x b l y k x b =+=+，， 1212l l k k ⇔=，且12b b ≠；12121l l k k ⇔⊥=-.（三）课堂练习1.已知直线的方程为21y x +=--，则( ) A.该直线过点()1,2-，斜率为1- B.该直线过点()1,2-，斜率为1 C.该直线过点()1,2--，斜率为1- D.该直线过点()1,2--，斜率为1答案：C解析：直线的方程可化为点斜式(2)[(1)]y x --=---，故直线过点(1,2)--，斜率为1-.故选C.2.经过点(3,2)-，倾斜角为60°的直线方程是( ) A ．23(3)y x +=-B ．323)y x -=-C ．23(3)y x -=+D ．323)y x +=- 答案：C解析：tan 603k =°23(3)y x -=+.故选C. 3.已知直线l 过点()3,0-，且与直线12y x +=垂直，则直线l 的方程为( ) A.1(3)2y x =--B.1(3)2y x =-+C.1(3)2y x =-D.1(3)2y x =+答案：B解析：因为直线12y x +=的斜率为2，所以直线l 的斜率为12-.又直线l 过点()3,0-，故所求直线的方程为()132y x =-+，故选B. 4.已知直线l 的倾斜角是直线1y x =+的倾斜角的2倍，且过点()5,6P ，则直线l 的方程为________________. 答案：5x = 解析：直线1y x =+的倾斜角是45°，且直线l 的倾斜角是直线1y x =+的倾斜角的2倍，∴直线l 的倾斜角是90°.又直线l 过点()5,6P ，∴直线l 的方程为5x =.5.已知点()33A ，和直线35:42l y x =-. （1）求过点A 且与直线l 平行的直线的点斜式方程； （2）求过点A 且与直线l 垂直的直线的点斜式方程. 答案：（1）因为直线l 的方程为3542y x =-，所以该直线的斜率34k =，所以过点()3,3A 且与直线l 平行的直线的点斜式方程为33(3)4y x -=-.（2）易知与直线l 垂直的直线的斜率为43-，所以过点()3,3A 且与直线l 垂直的直线的点斜式方程为43(3)3y x -=--.（四）小结作业 小结：1. 直线的点斜式方程；2. 直线的斜截式方程； 作业： 四、板书设计2.2.1 直线的点斜式方程1. 直线的点斜式方程；2. 直线的斜截式方程；3. 两条直线的位置关系.。

课题： 2.1.2直线的点斜式方程课型：新授课教学目标：理解并掌握直线的点斜式方程和斜截式方程及适用范围,注意斜率不存在的情况.学科素养：逻辑推理(直线的点斜式的推导过程).数学运算(根据题目条件求直线的点斜式与斜截式方程)重点：1.直线的点斜式方程和斜截式方程2.斜截式形式的两条直线平行与垂直的条件难点：注意截距与距离的区别与联系知识回顾：1.(1)直线的倾斜角的定义(2)倾斜角的取值范围∝∈[00,1800) (3)斜率的定义新知讲授1.直线的点斜式方程如图，直线ｌ经过点P。

(x o，y o)，且斜率为k.设P(x，y)是直线ｌ上不同于点P。

的任意一点，因为直线ｌ的斜率为k，由斜率公式得k=y−y0x−x0即y−y0=k(x−x0)它由直线上一定点P。

(x o，y o)及斜率k确定注意：直线ｌ的倾斜角为00时，过点P。

(x o，y o)的直线方程为：y=y0直线ｌ的倾斜角为900时，过点P。

(x o，y o)的直线方程为：x=x0 2. 直线的斜截式方程如果斜率为k的直线ｌ过点P0(0，b),根据直线的点斜式方程，得y−b=k(x−0)即y=kx+ b，k为直线的斜率，b为直线在y轴上的截距。

说明：1.直线在y轴上的截距的定义， 2.截距与距离的区别3.直线l1: y=k1x+ b1直线l2: y=k2x+ b2（1）l1∥l2⇔k1=k2且b1≠b2（2） l1⊥l2⇔k1k2=−1例题讲解例1（1）直线ｌ经过点P。

(-2，3)，且倾斜角∝为450，求直线ｌ的点斜式方程，并画出直线ｌ（2）直线ｌ斜率是−2，在y轴上的截距为4，求直线ｌ的斜截式方程。

例2 求满足下列条件的实数m的值（1）直线l1: y=2x+ 3m与直线l2: y=(m2+1)x+ 3平行（2）直线l1: y=−2x+ 3与直线l2: y=(2m−1)x− 5垂直课堂练习课本61-62页1，2，3，4题课后小结1. 直线的点斜式方程与斜截式方程2. 直线l1: y=k1x+ b1与直线l2: y=k2x+ b2平行与垂直的条件课后作业：小活页反思：。