直线与方程习题课

习题课(一) 直线的方程1．两条直线的平行与垂直．(1)两条直线垂直的充要条件.注意：这两条直线其中一条斜率不存在，另一条的斜率为0，即k1＝0，k2不存在(或k1不存在，k2＝0)，则两条直线垂直．(2)两条直线平行的充要条件.文字表述两条直线有斜率且不重合如果它们平行，则斜率相等；反之，如果它们斜率相等，则它们平行符号表示l1：y＝k1x＋b1l2：y＝k2x＋b2l1∥l2⇔k2＝k2，且b1≠b2l1：A1x＋B1y＋C1＝0l2：A2x＋B2y＋C2＝0l1∥l2⇔A1A2＝B1B2≠C1C2注意：两条直线斜率都不存在，则它们平行．2．直线的方程.方程名称方程形式方程局限性点斜式y－y1＝k(x－x1) 不能表示垂直于x轴的直线3.求直线方程的步骤．求直线方程时，要善于根据条件，合理选用直线方程的形式，用待定系数法求解．其基本步骤是：(1)设所求直线方程的某种形式； (2)由条件建立所求参数的方程(组)； (3)解方程(组)求出参数； (4)将参数的值代入所设方程． 4．证明三点A ，B ，C 共线的常用方法． (1)k AB ＝k BC ；(2)求出AB 的方程，验证点C 的坐标满足方程； (3)AB 与BC 的方程为同一个方程．一、选择题1．直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0平行，则a 的值为(B )A ．2B ．－1C .23D ．－1或2解析：k 1＝k 2，∴－a 2＝－1a －1，解得：a ＝－1或2.代回原方程检验知a ＝2时，l 1与l 2重合．2．顺次连接A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)所组成的图形是(B ) A ．平行四边形 B ．直角梯形 C ．等腰梯形 D ．以上都不对3．如果直线(2a ＋5)x ＋(a －2)y ＋4＝0与直线(2－a)x ＋(a ＋3)y －1＝0互相垂直，则a ＝(C )A ．2B ．－2C ．2或－2D ．2或0或－2解析：由题意可知：(2a ＋5)(2－a)＋(a －2)(a ＋3)＝(2－a)·[(2a＋5)－(a ＋3)]＝－(a －2)(a ＋2)＝0，解得a ＝±2，故选C .4．点P(1，－2)关于点M(3，0)的对称点Q 的坐标是(C )A ．(3，－1)B ．(1，2)C ．(5，2)D ．(2，－1)5．直线l 1，l 2在x 轴上的截距都是m ，在y 轴上的截距都是n ，则l 1与l 2(D )A ．平行B ．重合C ．平行或重合D ．相交或重合解析：当m 、n 均不为0时，必重合，当m 、n 均为0时，相交． 6．直线3x －2y ＋m ＝0与直线(m 2－1)x ＋3y ＋2－3m ＝0的位置关系是(C )A ．平行B ．垂直C ．相交D ．与m 的取值有关解析：因为两直线斜率分别为32，1－m 23，则由32＝1－m23，无解．7．三条直线l 1：x －y ＝0；l 2：x ＋y －2＝0；l 3：5x －ky －15＝0围成一个三角形，则k 的取值范围是(B )A ．k ≠±5且k≠1B ．k ≠±5且k≠－10C ．k ≠±1且k≠0D ．k ≠±5解析：①l 3不过l 1与l 2的交点；②l 3不平行于l 1；③l 3不平行于l 2.由以上三种情况解出选B .8．由方程|x －1|＋|y －1|＝1确定的曲线所围成的图形的面积为(B )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|＋|y －1|＝1，x ≥1，y ≥1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x ≥1，y ≥1. 同理在x ＜1，y ＜1；x ＜1，y ＞1；x ＞1，y ＜1，情形下去绝对值，画图象如右图所示，得其图为边长为2的正方形，故面积为2.二、填空题9．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角的大小是________． 解析：由题意k ＝－33， 即tan θ＝－33，∴θ＝5π6. 答案：5π610．P(－1，3)在直线l 上的射影为Q(1，－1)，则直线l 的方程是________． 解析：如下图所示∵l 过Q 且l⊥PQ，∴k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＝－1k PQ ，∴l 为y ＋1＝12(x －1)，∴x －2y －3＝0. 答案：x －2y －3＝011．过两直线2x －y －5＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程为________．解析：联立2x －y －5＝0和x ＋y ＋2＝0， 得交点P(1，－3)．设过点P 且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程为3x ＋y ＋m ＝0，则3×1－3＋m ＝0，解得m ＝0.答案：3x ＋y ＝0 三、解答题12．如右下图所示，已知A(1，3)，B(－1，－1)，C(2，1)．求△ABC 的边BC 上的高所在的直线方程．解析：设BC 边上的高为AD ， ∵k BC ＝1－（－1）2－（－1）＝23，∴k AD ＝－1k BC ＝－32，∴高AD 所在的直线方程为y －3＝－32(x －1)，即3x ＋2y －9＝0.13．直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a∈R)． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求a 的值；(2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解析：(1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，当然相等， ∴a ＝2，方程即3x ＋y ＝0； 若a ≠2，则a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1， ∴a ＝0，即方程为x ＋y ＋2＝0， ∴a 的值为0或2.(2)∵过原点时，y ＝－3x 经过第二象限不合题意，∴直线不过原点，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝0，a －2＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0，a －2a ＋1＞0，∴a ≤－1.14．若一束光线沿着直线x －2y ＋5＝0射到x 轴上一点，经x 轴反射后其反射线所在直线为l ，求l 的方程．解析：直线x －2y ＋5＝0与x 轴交点为P (－5，0)，反射光线经过点P .又入射角等于反射角，可知两直线倾斜角互补．∵k 1＝12，∴所求直线斜率k 2＝－12，故所求方程为：y －0＝－12(x ＋5)，即x ＋2y ＋5＝0.15．已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求与l 垂直且与两坐标轴围成的三角形的面积为4的直线方程．解析：设所求直线方程为4x －3y ＋n ＝0， 令y ＝0得x ＝－n 4，令x ＝0得y ＝n3，∴S ＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－n 4·⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 3＝4，即n 2＝96，∴n ＝±4 6.则所求直线方程为4x －3y ＋46＝0， 或4x －3y －46＝0.16．已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0. 试分别求m ，n 的值，使： (1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)；(2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1. 解析：(1)因为m 2－8＋n ＝0，且 2m －m －1＝0，所以m ＝1，n ＝7. (2)由m ·m －8×2＝0.得m ＝±4. 由8×(－1)－n ·m ≠0，得n ≠±2，即m ＝4，n ≠－2或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2； (3)当且仅当m ·2＋8·m ＝0，即m ＝0时，l 1⊥l 2， 又－n8＝－1，所以n ＝8.即m ＝0，n ＝8时，l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.。

直线与方程习题(带答案)直线与方程题（带答案）一、选择题1.若直线x=1的倾斜角为α，则α()．A。

等于0B。

等于π/2C。

等于πD。

不存在斜率2.图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()．A。

k1＜k2＜k3B。

k3＜k1＜k2C。

k3＜k2＜k1D。

k1＜k3＜k23.已知直线l1经过两点(－1，－2)、(－1，4)，直线l2经过两点(2，1)、(x，6)，且l1∥l2，则x＝()．A。

2B。

－2C。

4D。

14.已知直线l与过点M(－3，2)，N(2，－3)的直线垂直，则直线l的倾斜角是()．A。

π/3B。

2π/3C。

π/4D。

3π/45.如果AC＜0，且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过()．A。

第一象限B。

第二象限C。

第三象限D。

第四象限6.设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是()．A。

x＋y－5＝0B。

2x－y－1＝0C。

2y－x－4＝0D。

2x＋y－7＝07.过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为()．A。

19x－9y＝0，19y＝0B。

9x＋19y＝0C。

19x－3y＝0D。

3x＋7y＝08.直线l1：x＋a2y＋6＝0和直线l2:(a－2)x＋3ay＋2a＝0没有公共点，则a的值是()．A。

3B。

－3C。

1D。

－19.将直线l沿y轴的负方向平移a(a＞0)个单位，再沿x轴正方向平移a＋1个单位得直线l'，此时直线l'与l重合，则直线l'的斜率为()．A。

a/(a＋1)B。

－a/(a＋1)C。

(a＋1)/aD。

－(a＋1)/a10.点(4，5)关于直线5x＋4y＋21＝0的对称点是()．A。

(－6，8)B。

(6，－8)C。

(－6，－8)D。

(6，8)二、填空题11.已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，把直线l2绕着点A按逆时针方向旋转到和直线l1重合时所转的最小正角为60°，则直线l2的斜率k2的值为tan(75°)或2＋√3.12.若三点A(－2，3)，B(3，－2)，C(1，m)共线，则m的值为－1.13.已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0，1)，B(1，0)，C(3，2)，求第四个顶点D的坐标为D(2，3)。