初三圆的证明专题训练（答案）
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第1页 xx年04月19日九年级数学组的初中数学组卷 (扫描二维码可查看试题解析)
一、解答题
1、如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交A
C、BC于点
D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CA
B、求证：直线BF是⊙O的切线；若AB=5，sin∠CBF= ，求BC和BF的长、
2、如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于点D，延长AO交⊙O于点E，连接CD，CE，若CE 是⊙O的切线，解答下列问题：
求证：CD是⊙O的切线；若BC=3，CD=4，求平行四边形OABC的面积、
3、如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CB
D、判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理、过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC=2，⊙O的半径是3，求BE 的长、第2页
4、如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形、求AD的长； BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理、
5、如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点D，取CD的中点E，AE的延长线与BC 的延长线交于点P、求证：AP是⊙O的切线； OC=CP，AB=6，求CD的长、
6、如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB 的弦，垂足为E，过点C作DA的平行线与AF相交于点F，CD=四边形FADC是菱形； FC是⊙O的切线、，BE=
2、求证：
第3页
7、已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥B C 于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE、求证：BE与⊙O相切；连接AD并延长交BE于点F，若OB=9，sin∠ABC=，求BF的长、
8、如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过点A 作⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接P
C、B
C、猜想：线段OD与BC有何数量和位置关系，并证明你的结论、求证：PC是⊙O的切线、
9、如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G、求证：AE?FD=AF?EC；求证：FC=FB；若FB=FE=2，求⊙O的半径r 的长、第4页
10、已知：如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠
A、求证：CD为⊙O的切线；过点C作CE⊥AB于E、若
CE=2，cosD=，求AD的长、
11、如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交A
B、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP、求证：直线CP是⊙O的切线、若BC=2 ，sin∠BCP= ，求点B到AC的距离、在第的条件下，求△ACP的周长、
12、如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径作半圆⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E、求证：DE为⊙O的切线；2 求证：BD=AB?BE、第5页
13、如图，已知直线PA交⊙O于
A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD丄PA，垂足为
D、求证：CD为⊙O的切线；若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度、
14、如图，已知△ABC，以BC为直径，O为圆心的半圆交AC 于点F，点E为的中点，连接BE交AC于点M，AD为△ABC的角平分线，且AD⊥BE，垂足为点H、求证：AB是半圆O的切线；若AB=3，BC=4，求BE的长、
15、如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CB
D、求证：CD是⊙O的切线；过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=6，tan∠CDA=，求BE的长、第6页
16、如图所示，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O 上一点，且PA=PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线PA相交于点Q、求证：PB是⊙O的切线；求证：
AQ?PQ=OQ?BQ；设∠AOQ=α，若，OQ=15，求AB的长、
17、如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，过O作OE⊥AC于点E，过点A作⊙O的切线交OE的延长线于点F，连接CF并延长交BA的延长线于点P、求证：PC是⊙O的切线、若AF=1，
OA=，求PC的长、第7页 xx年04月19日九年级数学组的初中数学组卷参考答案与试题解析一、解答题
1、如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交A
C、BC于点
D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CA
B、求证：直线BF是⊙O的切线；若AB=5，sin∠CBF= ，求BC和BF的长、考点：
切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形、专题：
几何综合题、分析：
连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF=
90、利用已知条件证得△AGC∽△ABF，利用比例式求得线段的长即可、解答：
证明：连接AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90，
∴∠1+∠2=
90、∵AB=AC，∴∠1=∠CA
B、∵∠CBF=∠CAB，∴∠1=∠CBF ∴∠CBF+∠2=90 即
∠ABF=90 ∵AB是⊙O的直径，∴直线BF是⊙O的切线、解：过点C作CG⊥AB于G、第8页∵sin∠CBF=∴sin∠1=，，
∠1=∠CBF，∵在Rt△AEB中，∠AEB=90，AB=5，
∴BE=AB?sin∠1=，∵AB=AC，∠AEB=90，∴BC=2BE=2，在
Rt△ABE中，勾股定理得AE=∴sin∠2===，cos∠2===， =2，在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，∴AG=3，∵GC∥BF，
∴△AGC∽△ABF，∴∴BF= = 点评：
本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，角的大小及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题、
2、如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于点D，延长AO交⊙O于点E，连接CD，CE，若CE 是⊙O的切线，解答下列问题：
求证：CD是⊙O的切线；若BC=3，CD=4，求平行四边形OABC的面积、考点：
切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质、专题：
证明题、第9页分析：
连接OD，求出∠EOC=∠DOC，根据SAS推出△EOC≌△DOC，推出∠ODC=∠OEC=90，根据切线的判定推出即可；根据全等三角形的性质求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出OA=3，根据平行四边形的面积公式求出即可、解答：
证明：连接OD，∵OD=OA，∴∠ODA=∠A，∵四边形OABC 是平行四边形，∴OC∥AB，∴∠EOC=∠A，∠COD=∠ODA，
∴∠EOC=∠DOC，在△EOC和△DOC中∴△EOC≌△DOC，
∴∠ODC=∠OEC=90，即OD⊥DC，∴CD是⊙O的切线；解：
∵△EOC≌△DOC，∴CE=CD=4，∵四边形OABC是平行四边形，∴OA=BC=3，∴平行四边形OABC的面积S=OACE=34=
12、点评：
本题考查了全等三角形的性质和判定，切线的判定，平行四边形的性质的应用，解此题的关键是推出△EOC≌△DO
C、
3、如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CB
D、判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理、过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC=2，⊙O的半径是3，求BE 的长、第10页考点：
切线的判定与性质、专题：
几何图形问题、分析：
连接OD，根据圆周角定理求出∠DAB+∠DBA=90，求出
∠CDA+∠ADO=90，根据切线的判定推出即可；根据勾股定理求出DC，根据切线长定理求出DE=EB，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可、解答：
解：直线CD和⊙O的位置关系是相切，理是：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90，∴∠DAB+∠DBA=90，
∵∠CDA=∠CBD，∴∠DAB+∠CDA=90，∵OD=OA，
∴∠DAB=∠ADO，∴∠CDA+∠ADO=90，即OD⊥CE，∴直线CD是⊙O的切线，即直线CD和⊙O的位置关系是相切；∵AC=2，⊙O 的半径是3，∴OC=2+3=5，OD=3，在Rt△CDO中，勾股定理得：CD=4，∵CE切⊙O于D，EB切⊙O于B，∴DE=EB，∠CBE=90，设DE=EB=x，在Rt△CBE中，勾股定理得：CE=BE+BC，222则
=x+，解得：x=6，即BE=
6、222第11页点评：
本题考查了切线的性质和判定，勾股定理，切线长定理，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定的应用，题目比较典型，综合性比较强，难度适中、
4、如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是
平行四边形、求AD的长； BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理、考点：
切线的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；平行四边形的性质、专题：
计算题、分析：
连接BD，ED为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到∠DBE为直角，BCOE为平行四边形，得到BC与OE平行，且
BC=OE=1，在直角三角形ABD中，C为AD的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半求出AD的长即可；连接OB，BC与OD平行，BC=OD，得到四边形BCDO为平行四边形，AD为圆的切线，利用切线的性质得到OD垂直于AD，可得出四边形BCDO为矩形，利用矩形的性质得到OB垂直于BC，即可得出BC为圆O的切线、解答：解：连接BD，∵DE是直径∴∠DBE=90，∵四边形BCOE为平行四边形，∴BC∥OE，BC=OE=1，在Rt△ABD中，C为AD的中点，∴BC=AD=1，则AD=2；是，理如下：
如图，连接O
B、∵BC∥OD，BC=OD，∴四边形BCDO为平行四边形，∵AD 为圆O的切线，∴OD⊥AD，
第12页∴四边形BCDO为矩形，∴OB⊥BC，则BC为圆O 的切线、点评：
此题考查了切线的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，以及平行四边形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键、
5、如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点D，取CD的中点E，AE的延长线与BC 的延长线交于点P、求证：AP是⊙O的切线； OC=CP，AB=6，求CD的长、考点：
切线的判定与性质；解直角三角形、分析：
连接AO，A
C、欲证AP是⊙O的切线，只需证明OA⊥AP即可；利用中切线的性质在Rt△OAP中利用边角关系求得∠ACO=
60、然后在Rt△BA
C、Rt△ACD中利用余弦三角函数的定义知AC=2，CD=
4、解答：
证明：连接AO，A
C、∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=∠CAD=
90、∵E是CD的中点，∴CE=DE=AE、∴∠ECA=∠EA
C、∵OA=OC，∴∠OAC=∠OC
A、∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥O
C、∴∠ECA+∠OCA=
90、∴∠EAC+∠OAC=
90、∴OA⊥AP、∵A是⊙O上一点，∴AP是⊙O的切线；
第13页解：知OA⊥AP、在Rt△OAP中，∵∠OAP=90，
OC=CP=OA，即OP=2OA，∴sinP==，∴∠P=
30、∴∠AOP=
60、∵OC=OA，∴∠ACO=
60、在Rt△BAC中，∵∠BAC=90，AB=6，∠ACO=60，
∴AC==2，又∵在Rt△ACD中，∠CAD=90，∠ACD=90﹣
∠ACO=30，∴CD===
4、点评：
本题考查了切线的判定与性质、解直角三角形、注意，切线的定义的运用，解题的关键是熟记特殊角的锐角三角函数值、
6、如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB 的弦，垂足为E，过点C作DA的平行线与AF相交于点F，CD=，BE=
2、求证：
四边形FADC是菱形； FC是⊙O的切线、考点：
切线的判定与性质；菱形的判定、专题：
压轴题、分析：
首先连接OC，垂径定理，可求得CE的长，又勾股定理，可求得半径OC的长，然后勾股定理求得AD的长，即可得AD=CD，易证得四边形FADC是平行四边形，继而证得四边形FADC是菱形；
第14页首先连接OF，易证得△AFO≌△CFO，继而可证得FC 是⊙O的切线、解答：
证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=DE=CD=4=2，设OC=x，∵BE=2，∴OE=x﹣2，222在
Rt△OCE中，OC=OE+CE，222∴x=+，解得：x=4，∴OA=OC=4，OE=2，∴AE=6，在Rt△AED中，AD=∴AD=CD，∵AF是⊙O切线，∴AF⊥AB，∵CD⊥AB，∴AF∥CD，∵CF∥AD，∴四边形FADC是平行四边形，∵AD=CD，∴平行四边形FADC是菱形；连接OF，AC，∵四边形FADC是菱形，∴FA=FC，
∴∠FAC=∠FCA，∵AO=CO，∴∠OAC=∠OCA，
∴∠FAC+∠OAC=∠FCA+∠OCA，即∠OCF=∠OAF=90，即OC⊥FC，∵点C在⊙O上，∴FC是⊙O的切线、 =4，
第15页点评：
此题考查了切线的判定与性质、菱形的判定与性质、垂径定理、勾股定理以及全等三角形的判定与性质、此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用、
7、已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC 于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE、求证：BE与⊙O相切；连接AD并延长交BE于点F，若OB=9，sin∠ABC=，求BF的长、考点：
切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形、专题：
几何综合题、分析：
连接OC，先证明△OCE≌△OBE，得出EB⊥OB，从而可证得结论、过点D作DH⊥AB，根据sin∠ABC=，可求出OD=6，OH=4，HB=5，然后△ADH∽△AFB，利用相似三角形的性质得出比例式即可解出BF的长、解答：
证明：连接OC，
第16页∵OD⊥BC，∴∠COE=∠BOE，在△O CE和△OBE 中，∵，∴△OCE≌△OBE，∴∠OBE=∠OCE=90，即OB⊥BE，∵OB是⊙O半径，∴BE与⊙O相切、过点D作DH⊥AB，连接AD 并延长交BE于点F，∵∠DOH=∠BOD，∠DHO=∠BDO=90，
∴△ODH∽△OBD，∴== 又∵sin∠ABC=，OB=9，∴OD=6，易得∠ABC=∠ODH，∴sin∠ODH=，即∴OH=4，∴DH==2， =，又
∵△ADH∽△AFB，∴=，=，
第17页∴FB=、点评：
此题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握切线的判定定理，在第二问的求解中，一定要注意相似三角形的性质的运用、
8、如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过点A 作⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接P
C、B
C、猜想：线段OD与BC有何数量和位置关系，并证明你的结论、求证：PC是⊙O的切线、考点：
切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理；圆周角定理、分析：
根据垂径定理可以得到D是AC的中点，则OD是△ABC的中位线，根据三角形的中位线定理可以得到OD∥BC，CD=BC；连接OC，设OP与⊙O交于点E，可以证得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：∠OCP=90，即OC⊥PC，即可等证、解答：
猜想：OD∥BC，OD=B
C、证明：∵OD⊥AC，∴AD=DC ∵AB是⊙O的直径，
∴OA=OB…2分∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥BC，OD=BC 证明：连接OC，设OP与⊙O交于点E、∵OD⊥AC，OD经过圆心O，∴，即∠AOE=∠COE 在△OAP和△OCP中，，∴△OAP≌△OCP，∴∠OCP=∠OAP
第18页∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP=
90、∴∠OCP=90，即OC⊥PC ∴PC是⊙O的切线、点评：
本题考查了切线的性质定理以及判定定理，三角形的中位线定理，证明圆的切线的问题常用的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题、
9、如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G、求
证：AE?FD=AF?EC；求证：FC=FB；若FB=FE=2，求⊙O的半径r 的长、考点：
切线的判定与性质；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；直角三角形斜边上的中线；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质、专题：
证明题；几何综合题；压轴题、分析：
BD是⊙O的切线得出∠DBA=90，推出CH∥BD，证
△AEC∽△AFD，得出比例式即可；连接OC，BC，证
△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，推出BF=DF，根据直角三角形斜边上中线性质得出CF=DF=BF即可；求出EF=FC，求出∠G=∠FAG，推出AF=FG，求出AB=BG，求出∠FCB=∠CAB22推出CG是⊙O切线，切割线定理得出=BGAG=2BG，在Rt△BFG中，2222勾股定理得出BG=FG﹣BF，推出FG﹣4FG﹣12=0，求出FG即可、解答：证明：∵BD是⊙O的切线，∴∠DBA=90，∵CH⊥AB，
∴CH∥BD，
第19页∴△AEC∽△AFD，∴=，∴AE?FD=AF?E
C、证明：连接OC，BC，∵CH∥BD，∴△AEC∽△AFD，
△AHE∽△ABF，∴=∴=，==，，∵CE=EH，∴BF=DF，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=∠DCB=90，∵BF=DF，∴CF=DF=BF，即CF=BF、解：∵BF=CF=DF，EF=BF=2，∴EF=FC，
∴∠FCE=∠FEC，∵∠AHE=∠CHG=90，∴∠FAH+∠AEH=90，
∠G+∠GCH=90，∵∠AEH=∠CEF，∴∠G=∠FAG，∴AF=FG，
∵FB⊥AG，∴AB=BG，∵BF切⊙O于B，∴∠FBC=∠CAB，
∵OC=OA，CF=BF，∴∠FCB=∠FBC，∠OCA=∠OAC，
∴∠FCB=∠CAB，∵∠ACB=90，∴∠ACO+∠BCO=90，
∴∠FCB+∠BCO=90，即O C⊥CG，∴CG是⊙O切线，∵GBA是
⊙O割线，AB=BG， FB=FE=2，22∴切割线定理得：=BGAG=2BG，第20页在Rt△BFG中，勾股定理得：BG=FG﹣BF，2∴FG﹣4FG﹣12=0，解得：FG=6，FG=﹣2，勾股定理得：
AB=BG=∴⊙O的半径是2=
4、，222 点评：
本题考查了切线的性质和判定，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线的性质，圆周角定理，勾股定理等知识点的综合运用，题目综合性比较强，有一定的难度、
10、已知：如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠
A、求证：CD为⊙O的切线；过点C作CE⊥AB于E、若
CE=2，cosD=，求AD的长、考点：
切线的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形、分析：
先连接CO，根据AB是⊙O直径，得出∠1+∠OCB=90，再根据AO=CO，得出∠1=∠A，最后根据∠4=∠A，证出OC⊥CD，即可得出CD为⊙O的切线；根据OC⊥CD，得出∠3+∠D=90，再根据
CE⊥AB，得出∠3+∠2=90，从而得出cos∠2=cosD，再在△OCD中
根据余弦定理得出CO的值，最后根据⊙O的半径为，即可得出AD 的长、解答：
证明：连接CO，∵AB是⊙O直径∴∠1+∠OCB=90，
∵AO=CO，∴∠1=∠
A、第21页∵∠4=∠A，∴∠4+∠OCB=
90、即∠OCD=
90、∴OC⊥C
D、又∵OC是⊙O半径，∴CD为⊙O的切线、∵OC⊥CD于C，∴∠3+∠D=
90、∵CE⊥AB于E，∴∠3+∠2=
90、∴∠2=∠
D、∴cos∠2=cosD，在△OCD中，∠OCD=90，∴cos∠2=，∵cosD=，CE=2，∴=，tanD=∴CO=，∴⊙O的半径为、 =，
∴OD===， AD=、点评：
本题考查了切线的判定与性质，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点，再证垂直即可，同时考查了三角函数的知识、
11、如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交A
B、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP、求证：直线CP是⊙O的切线、第22页若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离、在第的条件下，求△ACP的周长、考点：
切线的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形、专题：
几何综合题；压轴题、分析：
根据∠ABC=∠ACB且∠CAB=2∠BCP，在△ABC中
∠ABC+∠BAC+∠BCA=180，得到2∠BCP+2∠BCA=180，从而得到∠BCP+∠BCA=90，证得直线CP是⊙O的切线、作BD⊥AC于点D，得到BD∥PC，从而利用sin∠BCP=sin∠DBC===，求得DC=2，再根据勾股定理求得点B到AC的距离为
4、先求出AC的长度，然后利用BD∥PC的比例线段关系求得CP的长度，再勾股定理求出AP的长度，从而求得△ACP的周长、解答：
解：∵∠ABC=∠ACB且∠CAB=2∠BCP，在△ABC中，
∠ABC+∠BAC+∠BCA=180 ∴2∠BCP+2∠BCA=180，
∴∠BCP+∠BCA=90，又C点在直径上，∴直线CP是⊙O的切线、如右图，作BD⊥AC于点D，∵PC⊥AC ∴BD∥PC
∴∠PCB=∠DBC ∵BC=2，sin∠BCP==， =，
∴sin∠BCP=sin∠DBC=解得：DC=2，∴勾股定理得：BD=4，∴点B到AC的距离为
4、如右图，连接AN，∵AC为直径，∴∠AN C=90，
第23页∴Rt△ACN中，AC==5，又CD=2，∴AD=AC﹣CD=5﹣2=
3、∵BD∥CP，∴∴CP=，、 ==20，，在Rt△ACP中，AP=AC+CP+AP=5++∴△ACP的周长为
20、点评：
本题考查了切线的判定与性质等知识，考查的知识点比较多，难度较大、
12、如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径作半圆⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E、求证：DE为⊙O的切线；2 求证：BD=AB?BE、考点：
切线的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质、专题：
证明题、分析：
连接O
D、BD，根据圆周角定理可得∠ADB=90，继而得出点D是AC 中点，判断出OD是三角形ABC的中位线，利用中位线的性质得出∠ODE=90，这样可判断出结论、2根据题意可判断△BED∽△BDC，从而可得BD=BC?BE，将BC替换成AB即可第24页得出结论、解答：
证明：连接O
D、BD，则∠ADB=90，∵BA=BC，∴CD=AD，又∵AO=OB，
∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥BC，∵∠DEB=90，
∴∠ODE=90，即OD⊥DE，故可得DE为⊙O的切线；
∵∠EBD=∠DBC，∠DEB=∠CDB，∴△BED∽△BDC，∴=，又
∵AB=BC，∴=2，故BD=AB?BE、点评：
此题考查了切线的判定及性质、三角形的中位线的判定与性质等腰三角形的性质，解答本题的关键是得出点D是AC中点，求出∠ODE是直角，有一定难度、
13、如图，已知直线PA交⊙O于
A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD丄PA，垂足为
D、求证：CD为⊙O的切线；若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度、考点：
切线的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理、专题：
几何综合题、第25页分析：
连接OC，根据题意可证得∠CAD+∠DCA=90，再根据角平分线的性质，得∠DCO=90，则CD为⊙O的切线；过O作OF⊥AB，则∠OCD=∠CDA=∠OFD=90，得四边形OCDF为矩形，设AD=x，22在Rt△AOF中，勾股定理得+=25，从而求得x的值，勾股定理得出AB的长、解答：
证明：连接OC，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∵AC平分
∠PAE，∴∠DAC=∠CAO，∴∠DAC=∠OCA，∴PB∥OC，
∵CD⊥PA，∴CD⊥OC，CO为⊙O半径，∴CD为⊙O的切线；
圆的概念和性质例2．已知，如图，CD是直径，? = ∠84 EOD，AE交⊙O于B，且AB=OC，求∠A的度数。 例3 ⊙O平面内一点P和⊙O上一点的距离最小为3cm。例4 在半径为5cm的圆中，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm 例6.已知：⊙O的半径0A=1，弦AB、AC的长分别为3 ,2 【考点速练】 1.下列命题中，正确的是（） A．三点确定一个圆B．任何一个三角形有且仅有一个外接圆 C．任何一个四边形都有一个外接圆 D．等腰三角形的外心一定在它的外部 2．如果一个三角形的外心在它的一边上，那么这个三角形一定是（） A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．钝角三角形 3．圆的内接三角形的个数为（）A．1个B．2 C．3个D．无数个 4．三角形的外接圆的个数为（）A．1个B．2 C．3个D．无数个 5．下列说法中，正确的个数为（） ①任意一点可以确定一个圆；②任意两点可以确定一个圆；③任意三点可以确定一个圆；④经过任一点可以作圆；⑤经过任意两点一定有圆． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6.与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是( ) A.圆的外部(包括边界)； B.圆的内部(不包括边界)； C.圆； D.圆的内部(包括边界) 7.已知⊙O的半径为6cm,P为线段OA的中点,若点P在⊙O上,则OA的长( ) A.等于6cm B.等于12cm； C.小于6cm D.大于12cm 8.如图,⊙O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB上一点,若OP的长为整数, 则满足条件的点P有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 9.如图,A是半径为5的⊙O内一点,且OA=3,过点A且长小于8的弦有( ) A.0条 B.1条 C.2条 D.4条 11.如图，已知在ABC ?中，? = ∠90 A，A为圆心，AC长为半径画弧交CB的延长线于点D，求CD的长． 12、如图，有一圆弧开桥拱，拱的跨度AB＝ 13、△ABC中，AB=AC=10，BC=12 14、如图，点P是半径为5的⊙O内一点，且OP＝3，在过点P 条数为＿＿。 1、在半径为2的圆中，弦长等于的弦的弦心距为 ____ B P A O
第 3题 A C 第8题图 B C A 第5题图 初三总复习2 圆 一、选择题。 1、（2010南通） 如图，⊙O 的直径AB =4，点C 在⊙O 上，∠ABC =30°，则AC 的长是（ ） A ．1 B C D ．2 2、（2010浙江嘉兴）如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三点， 已知?=∠60O ，则=∠C （ ） A ?20 B ?25 C ?30 D ?45 3、（2010湖南郴州）如图，AB 是⊙的直径，CD 为弦，CD AB ⊥于E ，则下列结论中不成立．．．的是（ ） Ａ．A D ∠=∠ Ｂ．CE DE = Ｃ．90ACB ∠= Ｄ．CE BD = 4、如图，PA 、PB 是O 的切线，切点分别是A 、B ，如果∠P ＝60°,那么∠AOB 等于（ ） A.60° B.90° C.120° D.150° 5、（2010山东青岛市）如图，在Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 30°，BC = 4 cm ，以点C 为圆心，以2 cm 的长为半径作圆，则⊙C 与AB 的位置关系是（ ）． A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．相切或相交 二、填空题。 6、（2010重庆綦江县）如图所示，A 、B 、C 、D 是圆上的点，∠1＝68°，∠A ＝40°．则∠D ＝_______． 7、（2010 黄冈）如图，⊙O 中， MAN 的度数为320°，则圆周角∠MAN ＝____________. 8．（2010福建宁德）如图，在直径AB ＝12的⊙O 中，弦C D ⊥AB 于M ，且M 是半径OB 的中点，则弦C D 的长是_______（结果保留根号）. 9、 （2009年娄底）如图6，已知AB 是⊙O 的直径，PB 1 C B A 题图
下载试卷文档前说明文档： 1.试题左侧二维码为该题目对应解析； 2.请同学们独立解答题目，无法完成题目或者对题目有困惑的，扫描二维码查 看解析，杜绝抄袭； 3.只有老师通过组卷方式生成的二维码试卷，扫描出的解析页面才有“求老师 讲解”按钮，菁优网原有的真题试卷、电子书（习题集）上的二维码试卷扫出的页面无此按钮。学生点击该按钮以后，下载试卷教师可查看被点击的相关统计数据。 4.自主组卷的教师使用该二维码试卷后，可在“菁优网->我的空间->我的收藏 ->我的下载”处点击图标查看学生扫描的二维码统计图表，以便确定讲解重点。 5.在使用中有任何问题，欢迎在“意见反馈”提出意见和建议，感谢您对菁优 网的支持。
2015年04月19日九年级数学组的初中数学组卷 (扫描二维码可查看试题解析) 一．解答题（共17小题） 1．（2014?辽阳）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB． （1）求证：直线BF是⊙O的切线； （2）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的长． 2．（2014?吉林）如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆 交AB于点D，延长AO交⊙O于点E，连接CD，CE，若CE是⊙O的切线，解答下列问题：（1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若BC=3，CD=4，求平行四边形OABC的面积． 3．（2014?天水）如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD． （1）判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由． （2）过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC=2，⊙O的半径是3，求BE的长．
圆的基本性质 垂径定理应用 1. 2. 如图，在直径 AB ＝12 的⊙ O 中，弦 CD ⊥AB 于 M ，且 M 是半径 OB 的中点，则弦 CD 的长是 _______. 如图是一条直径为 2 米的通水管道横截面， 其水面宽 1.6 米，则这条管道中此时最深为 ______ 米 . A y O P C · D M B OA B x 第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图 3. ⌒ ⌒ 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧 （图中的 AB ），点 O 是这段弧的圆心，C 是AB 上一点，OC ⊥AB ， 垂足为 D ， AB=300m ， CD=50m ，则这段弯路的半径是 m ． B C 4. 如图，以点 P 为圆心的圆弧与 x 轴交于 A ，B ，两点，点 P 的坐标为（ 4，2）点 A 的坐标为（ 2，0）则点 B 的坐标为 ． A O D 5. 如图等腰梯形 ABCD 内接于半圆，且 AB = 1， BC = 2，则 OA = ． 6. 在半径为 5cm 的⊙ O 中，弦 AB ＝6cm ，弦 CD ＝8cm ，且 AB ∥CD ，求 AB 与 CD 之间的距离． 圆心角、弧、弦关系应用 7. 如图， AB 为半圆⊙ O 的直径，弦 AD 、BC 相交于 P ，那么 CD 等于 ( ) BA B A . sin ∠BPD B. cos ∠BPD C. tan ∠BPD D. cot ∠ BPD C M C A C B D O D M N O P O P B A B A A D O 第 7 题图 第 8 题图 第 9 题图 第 10 题图 8. 9. ⌒ 如图， MN 是⊙ O 的直径， MN=2，点 A 在⊙ O 上，∠ AMN=30°， B 为AN 的中点， P 是直径 MN 上一动点，则 PA+PB 的最小值为 ． 已知⊙ O 的半径为 5，锐角△ ABC 内接于⊙ O ， BD ⊥AC 于点 D ，AB=8，则 tan ∠ CBD 的值等 于 ． ⌒ ⌒ 10. 如图，已知 A 、 B 、C 、D 四点顺次在⊙ O 上，且 AB =BD ，BM ⊥AC 于 M ，求证： AM ＝DC ＋CM ．
一、河南省近4年中招圆专题 1. 河南省 2010 年中招 11．如图，AB 切⊙O 于点A ，BO 交⊙O 于点C ，点D 是CmA 上异于点C 、A 的一点，若∠ABO =32°， 则∠ADC 的度数是 _____________ ． 14．如图矩形 ABCD 中，AD =1，AD =，以 AD 的长为半径的⊙A 交 BC 于点 E ，则图中阴影部分的 面积为 ________________________ ． 2. 河南省 2011 年中招 10. 如图，CB 切⊙O 于点B ，CA 交⊙O 于点 D 且 AB 为⊙O 的直 径， 点 E 是?ABD 上异于点 A 、D 的一点.若∠C=40°，则∠E 的度数 3. 河南省 2012 年中招 8．如图，已知AB 为⊙O 的直径，AD 切⊙O 于点A, E ?C = C ?B ，则下列结论不一定正确的是【 】 4. 河南省 2013 年中招 7. 如图，CD 是⊙O 的直径，弦 AB ⊥CD 于点G ，直线EF 与⊙O 相切于点 D ，则下列结论中不一定正确的是 A. AG =BG B. AB //EF C. AD //BC 专题训练 A ．BA⊥DA B ．OC∥AE C ．∠COE=2∠CAE D ．OD⊥AC D. ∠ABC =∠ADC 第 11 题）
2. （2013 湖北省咸宁市，1，3 分）如图，在Rt△AOB中，OA=OB=3 ， ⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ （点 Q为切点），则切线PQ的最小值为． 3.（2011 浙江台州，10,4 分）如图，⊙O 的半径为2，点O 到直线 l 的距离为3 ，点P 是直线l 上的一个动点，PB 切⊙ O 于点B ， 则PB 的最小值是（） A. 13 B. 5 C. 3 D.2 4. （2007?常州）如图，在△ ABC中，AB=10，AC=8 ，BC=6， 经过点C 且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点 P、Q，则线段PQ长度的最小值是（） A.4 2 B.4.75 C.5 D.4.8 二、圆中阴影面积计算专题 1.（2012广东汕头4分）如图，在□ABCD 中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A 为圆心，AD 的长为 半径画弧交 AB 于点E，连接CE，则阴影部分的面积是结果保留 π）． 2. （宁夏回族自治区）如图，在两个半圆中，大圆的弦MN 与小圆相 切，D 为切点，且MN∥AB，MN＝a，ON、CD 分别为两圆的半径，求 阴影部分的面积．
九年级中考数学圆的综合解答题压轴题提高专题练习及详细答案 一、圆的综合 1．（类比概念）三角形的内切圆是以三个内角的平分线的交点为圆心，以这点到三边的距 离为半径的圆，则三角形可以称为圆的外切三角形，可以得出三角形的三边与该圆相 切．以此类推，如图1，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形 （性质探究）如图1，试探究圆外切四边形的ABCD两组对边AB， CD 与 BC， AD 之间的数量关系 猜想结论：（要求用文字语言叙述） 写出证明过程（利用图1，写出已知、求证、证明） （性质应用） ① 初中学过的下列四边形中哪些是圆外切四边形（填序号） A：平行四边形：B：菱形： C：矩形； D：正方形 ②如图 2，圆外切四边形ABCD，且 AB=12， CD=8，则四边形的周长是． ③圆外切四边形的周长为48cm，相邻的三条边的比为5：4： 7，求四边形各边的长． 【答案】见解析. 【解析】 【分析】 （1）根据切线长定理即可得出结论； （2）①圆外切四边形是内心到四边的距离相等，即可得出结论； ② 根据圆外切四边形的对边和相等，即可求出结论； ③ 根据圆外切四边形的性质求出第四边，利用周长建立方程求解即可得出结论． 【详解】 性质探讨：圆外切四边形的对边和相等，理由： 如图 1，已知：四边形ABCD的四边 AB， BC，CD， DA 都于⊙ O 相切于 G， F， E， H． 求证： AD+BC=AB+CD． 证明：∵ AB， AD 和⊙O 相切，∴ AG=AH，同理： BG=BF，CE=CF，DE=DH， ∴A D+BC=AH+DH+BF+CF=AG+BG+CE+DE=AB+CD，即：圆外切四边形的对边和相 等．故答案为：圆外切四边形的对边和相等； 性质应用：① ∵根据圆外切四边形的定义得：圆心到四边的距离相等． ∵平行四边形和矩形不存在一点到四边的距离相等，而菱形和正方形对角线的交点到四边 的距离相等． 故答案为： B， D；
E D O C B A 第3题 · A B C D O M 第8题图 B C A 第5题图 初三总复习2 圆 一、选择题。 1、（2010南通） 如图，⊙O 的直径AB =4，点C 在⊙O 上，∠ABC =30°，则AC 的长是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 2、（2010浙江嘉兴）如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三点， 已知?=∠60O ，则=∠C （ ） A ?20 B ?25 C ?30 D ?45 3、（2010湖南郴州）如图，AB 是⊙的直径，CD 为弦，CD AB ⊥于E ，则下列结论中不成立．．．的是（ ） Ａ．A D ∠=∠ Ｂ．CE DE = Ｃ．90ACB ∠=o Ｄ．CE BD = 4、如图，PA 、PB 是O 的切线，切点分别是A 、B ，如果∠P ＝60°,那么∠AOB 等于（ ） A.60° B.90° C.120° D.150° 5、（2010山东青岛市）如图，在Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 30°，BC = 4 cm ，以点C 为圆心，以2 cm 的长为半径作圆，则⊙C 与AB 的位置关系是（ ）． A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．相切或相交 二、填空题。 6、（2010重庆綦江县）如图所示，A 、B 、C 、D 是圆上的点，∠1＝68°，∠A ＝40°．则∠D ＝_______． 7、（2010 黄冈）如图，⊙O 中， } MAN 的度数为320°，则圆周角∠MAN ＝____________. 8．（2010福建宁德）如图，在直径AB ＝12的⊙O 中，弦C D ⊥AB 于M ，且M 是半径OB 的中点，则弦C D 的长是_______（结果保留根号）. 9、（2009年娄底）如图6，已知AB 是⊙O 的直径，PB O A B C 1 D C B A 第6题图 第7题图 第10题图
专题04 圆章末重难点题型【举一反三】 【考点1 圆的相关概念】 【方法点拨】解决此类问题的关键是圆中的半径所构成等腰三角形的灵活应用. 【例1】如图，⊙O的直径BA的延长线与弦DC的延长线交于点E，且CE＝OB， 已知∠DOB＝72°，则∠E等于（） A．36°B．30°C．18°D．24° 【变式1-1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，以C为圆心，CB为半径的 圆交AB于点D，连接CD，则∠ACD＝（） A．10°B．15°C．20°D．25° 【变式1-2】如图，半圆O是一个量角器，△AOB为一纸片，AB交半圆于点D，OB交半圆于点C，若点C、
D、A在量角器上对应读数分别为45°，70°，160°，则∠B的度数为（） A．20°B．30°C．45°D．60° 【变式1-3】如图，A，B，C是⊙O上的三点，AB，AC的圆心O的两侧，若∠ABO＝20°，∠ACO＝30°，则∠BOC的度数为（） A．100°B．110°C．125°D．130° 【考点2 垂径定理求线段】 【方法点拨】垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧． 【例2】如图，⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝4：5，则AB的长为（） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式2-1】如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EB．若AB＝4，CD＝1，则EB的长为（） A．3 B．4 C．5 D．2.5
圆的概念和性质 例2．已知，如图，CD 是直径，?=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，求∠A 的度数。 例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm 。 例4 在半径为5cm 的圆中，弦AB ∥CD ，AB=6cm ，CD=8cm ，则AB 和CD 的距离是多少？ 例6.已知：⊙O 的半径0A=1，弦AB 、AC 的长分别为3,2，求BAC ∠的度数． 【考点速练】 1.下列命题中，正确的是（ ） A ．三点确定一个圆 B ．任何一个三角形有且仅有一个外接圆 C ．任何一个四边形都有一个外接圆 D ．等腰三角形的外心一定在它的外部 2．如果一个三角形的外心在它的一边上，那么这个三角形一定是（ ） A ．等腰三角形B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．钝角三角形 3．圆的内接三角形的个数为（ ） A ．1个 B ．2 C ．3个 D ．无数个 4．三角形的外接圆的个数为（ ） A ．1个 B ．2 C ．3个 D ．无数个 5．下列说法中，正确的个数为（ ） ①任意一点可以确定一个圆；②任意两点可以确定一个圆；③任意三点可以确定一个圆；④经过任一点可以作圆；⑤经过任意两点一定有圆． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6.与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是( ) A.圆的外部(包括边界)； B.圆的内部(不包括边界)； C.圆； D.圆的内部(包括边界) 7.已知⊙O 的半径为6cm,P 为线段OA 的中点,若点P 在⊙O 上,则OA 的长( ) A.等于6cm B.等于12cm ； C.小于6cm D.大于12cm 8.如图,⊙O 的直径为10cm,弦AB 为8cm,P 是弦AB 上一点,若OP 的长为整数, 则满足条件的点P 有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 9.如图,A 是半径为5的⊙O 内一点,且OA=3,过点A 且长小于8的弦有( ) A.0条 B.1条 C.2条 D.4条
圆精选练习题及答案一 一、选择题 (共8题，每题有四个选项，其中只有一项符合题意。每题3分,共24分)： 1.下列说法正确的是( ) A.垂直于半径的直线是圆的切线 B.经过三点一定可以作圆 C.圆的切线垂直于圆的半径 D.每个三角形都有一个内切圆 2.在同圆或等圆中，如果? AB ＝?2CD ，则AB 与CD 的关系是( ) (A)AB ＞2CD ； (B)AB ＝2CD ； (C)AB ＜2CD ； (D)AB ＝CD ； 3.如图(1),已知PA 切⊙O 于B,OP 交AB 于C,则图中能用字母表示的直角共有( ) 个 A.3 B.4 C.5 D.6 (1) P (2) (3) 4.已知⊙O 的半径为10cm,弦AB ∥CD,AB=12cm,CD=16cm,则AB 和CD 的距离为( ) A.2cm B.14cm C.2cm 或14cm D.10cm 或20cm 5.在半径为6cm 的圆中,长为2πcm 的弧所对的圆周角的度数为( ) A.30° B.100 C.120° D.130° 6.如图(2),已知圆心角∠AOB 的度数为100°,则圆周角∠ACB 的度数是( ) A.80° B.100° C.120° D.130° 7. ⊙O 的半径是20cm,圆心角∠AOB=120°,AB 是⊙O 弦,则AOB S ?等于( ) cm 2 2 cm 2 2
8.如图(3),半径OA 等于弦AB,过B 作⊙O 的切线BC,取BC=AB,OC 交⊙O 于E,AC 交 ⊙O 于点D,则?BD 和?DE 的度数分别为( ) A .15°,15° B.30°,15° C.15°,30° D.30°,30° 9.若两圆半径分别为R 和r(R>r),圆心距为d,且R 2+d 2=r 2+2Rd, 则两圆的位置关 系为( ) A.内切 B.内切或外切 C.外切 D.相交 10.圆锥的母线长5cm,底面半径长3cm,那么它的侧面展开图的圆心角是( ) A.180° B.200° C.225° D.216° 二、填空题:(每小题4分,共20分)： 11.一条弦把圆分成1∶3两部分，则劣弧所对的圆心角的度数为 . 12.如果⊙O 的直径为10cm,弦AB=6cm,那么圆心O 到弦AB 的距离为______cm. 13.在⊙O 中,弦AB 所对的圆周角之间的关系为_________. 14.如图(4), ⊙O 中，AB 、CD 是两条直径，弦CE∥AB，?EC 的度数是40°，则∠BOD＝ . (4) 15. 点A 是半径为3为__________. 16.⊙O 的半径为6,⊙O 的一条弦AB 长以3为半径的同心圆与直线AB 的位置关系是__________. 17.两圆相切,圆心距为10cm,已知其中一圆半径为6cm, 则另一圆半径为____ 18.如果圆弧的度数扩大2倍,半径为原来的 3 2 ,则弧长与原弧长的比为______. 19.如图(5),A 是半径为2的⊙O 外一点,OA=4,AB 是⊙O 的切线,点B 是切点,弦BC ∥OA,连结AC,则图中阴影部分的面积为_________. (5)A A B D E O
初三圆的证明专题训练（答案） 下载试卷文档前说明文档： 1、试题左侧二维码为该题目对应解析； 2、请同学们独立解答题目，无法完成题目或者对题目有困惑的，扫描二维码查看解析，杜绝抄袭； 3、只有老师通过组卷方式生成的二维码试卷，扫描出的解析页面才有“求老师讲解”按钮，菁优网原有的真题试卷、电子书上的二维码试卷扫出的页面无此按钮。学生点击该按钮以后，下载试卷教师可查看被点击的相关统计数据。 4、自主组卷的教师使用该二维码试卷后，可在“菁优网->我的空间->我的收藏 ->我的下载”处点击重点。 5、在使用中有任何问题，欢迎在“意见反馈”提出意见和建议，感谢您对菁优网的支持。 图标查看学生扫描的二维码统计图表，以便确定讲解 第1页 xx年04月19日九年级数学组的初中数学组卷 (扫描二维码可查看试题解析) 一、解答题 1、如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交A C、BC于点 D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CA
B、求证：直线BF是⊙O的切线；若AB=5，sin∠CBF= ，求BC和BF的长、 2、如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于点D，延长AO交⊙O于点E，连接CD，CE，若CE 是⊙O的切线，解答下列问题： 求证：CD是⊙O的切线；若BC=3，CD=4，求平行四边形OABC的面积、 3、如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CB D、判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理、过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC=2，⊙O的半径是3，求BE 的长、第2页 4、如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形、求AD的长； BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理、 5、如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点D，取CD的中点E，AE的延长线与BC 的延长线交于点P、求证：AP是⊙O的切线； OC=CP，AB=6，求CD的长、
08-圆有关的证明题专项练习 1、如图，△ABC 内接于⊙O ，AD 是的边BC 上的高，AE 是⊙O 的直径，连BE. （1）求证：△ABE ∽△ADC ； （2）若AB=2BE=4DC=8，求△ADC 的面积. 2、如图，AE 是△ABC 外接圆⊙O 的直径，AD 是△ABC 的边BC 上的高， EF ⊥BC ，F 为垂足。 （1）求证：BF=CD （2）若CD=1，AD=3，BD=6，求⊙O 的直径。 5、如图，AB 是⊙O 的直径，D 是AB 上一点，D 是弧BC 的中点，AD 、BC 交于点E ，CF ⊥AB 于F ，CF 交AD 于G 。 （1）求证：AD =2CF ； （2）若AD=34，BC =62，求⊙O 的半径 6、如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点H ，E 为AB 延长线上一点，CE 交⊙O 于F 。
（1）求证：BF平分∠DFE； （2）若EF=DF=4，BE=5，CH=3，求⊙O的半径 7、如图，Rt△ABC内接于⊙O，D为弧AC的中点， DH⊥AB于点H，延长BC、HD交于点E。 （1）求证：AC=2DH； （2）连接AE，若DH=2，BC=3，求tan∠AEB的值 8、在Rt△ABC中，∠ACB=90o，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F． （1）求证：BD=BF； S。 （2）若BC=6，AD=4，求ECF 9、如图，⊙O中，直径DE⊥弦AB于H点，C为圆上一动点，
AC与DE相交于点F。 (1)求证△AOG∽△FAO。 S。(2)若OA=4，OF=8，H点为OD的中点，求 CGF 10、如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中点E， 连接AD并延长至F点，使DF=AD,连接BC、BF。（1）、求证：△CBE∽△AFB。 （2）、若∠C=30o，∠CEB=45o1, S. 求ABF 11、如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，D为弧AC 的中点，连接BD，交AC于G,过D作DE⊥AB于E点， 交⊙O于H点，交AC于F点。 （1）、求证:FD=FG S。 (2)、若AF·FC=32,ED=6，求ADF
南京中考数学专题训练---圆的综合的综合题分类 一、圆的综合 1．如图，⊙A过?OBCD的三顶点O、D、C，边OB与⊙A相切于点O，边BC与⊙O相交于点H，射线OA交边CD于点E，交⊙A于点F，点P在射线OA上，且∠PCD=2∠DOF，以O为原点，OP所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，点B的坐标为（0，﹣2）． （1）若∠BOH=30°，求点H的坐标； （2）求证：直线PC是⊙A的切线； （3）若OD=10，求⊙A的半径． 【答案】（1）（132）详见解析；（3）5 3 . 【解析】 【分析】 （1）先判断出OH=OB=2，利用三角函数求出MH，OM，即可得出结论； （2）先判断出∠PCD=∠DAE，进而判断出∠PCD=∠CAE，即可得出结论；（3）先求出OE═3，进而用勾股定理建立方程，r2-（3-r）2=1，即可得出结论．【详解】 （1）解：如图，过点H作HM⊥y轴，垂足为M． ∵四边形OBCD是平行四边形， ∴∠B=∠ODC ∵四边形OHCD是圆内接四边形 ∴∠OHB=∠ODC ∴∠OHB=∠B ∴OH=OB=2 ∴在Rt△OMH中， ∵∠BOH=30°， ∴MH=1 2 OH=1，33 ∴点H的坐标为（13 （2）连接AC． ∵OA=AD， ∴∠DOF=∠ADO ∴∠DAE=2∠DOF
∵∠PCD=2∠DOF， ∴∠PCD=∠DAE ∵OB与⊙O相切于点A ∴OB⊥OF ∵OB∥CD ∴CD⊥AF ∴∠DAE=∠CAE ∴∠PCD=∠CAE ∴∠PCA=∠PCD+∠ACE=∠CAE+∠ACE=90°∴直线PC是⊙A的切线； （3）解：⊙O的半径为r． 在Rt△OED中，DE=1 2 CD= 1 2 OB=1，OD=10， ∴OE═3 ∵OA=AD=r，AE=3﹣r． 在Rt△DEA中，根据勾股定理得，r2﹣（3﹣r）2=1 解得r=5 3 ． 【点睛】 此题是圆的综合题，主要考查了平行四边形的性质，圆内接四边形的性质，勾股定理，切线的性质和判定，构造直角三角形是解本题的关键． 2．图 1 和图 2 中，优弧?AB纸片所在⊙O 的半径为 2，AB＝3，点P为优弧?AB上一点（点P 不与A，B 重合），将图形沿BP 折叠，得到点A 的对称点A′．
圆的专题1——与圆有关的角度计算 一运用辅助圆求角度 1、如图，△ABC内有一点D，DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20?，∠DAC＝30?， 则∠BDC＝. 2、如图，AE＝BE＝DE＝BC＝DC，若∠C＝100?，则∠BAD＝. 3、如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CBD＝20?，∠BDC＝30?，则 ∠BAD＝. 第1题第2题第3题 4、如图，□ABCD中，点E为AB、BC的垂直平分线的交点，若∠D＝60?， 则∠AEC＝. 5、如图，O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝70?， 则∠DAO＋∠DCO＝. 6、如图，四边形ABCD中，∠ACB＝∠ADB＝90?，∠ADC＝25?，则∠ABC＝. 第4题第5题第6题 二运用圆周角和圆心角相互转化求角度
第10题 第11题 第12题 第7题 第8题 第9题 7、如图，AB 为⊙O 的直径，C 为AB 的中点，D 为半圆AB 上一点，则∠ADC ＝ . 8、如图，AB 为⊙O 的直径，CD 过OA 的中点E 并垂直于OA ，则∠ABC ＝ . 9、如图，AB 为⊙O 的直径，3BC AC =，则∠ABC ＝ . 10、如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，∠BAC ＝50?，则∠ADC ＝ . 11、如图，⊙O 的半径为1，弦AB ＝2，弦AC ＝3，则∠BOC ＝ . 12、如图，PAB 、PCD 是⊙O 的两条割线，PAB 过圆心O ，若AC CD =，∠P ＝30?， 则∠BDC ＝ . （设∠ADC ＝x ，即可展开解决问题） 初中数学试卷 鼎尚图文**整理制作
初三圆的专题训练
一、选择题（共13小 1、（2010?烟台）如图，△ABC内接于⊙O，D为线段AB的中点，延长OD交⊙O于点E，连接AE，BE，则下列五个结论①AB⊥DE，②AE=BE，③OD=DE，④∠AEO=∠C，⑤弧AE=弧AEB，正确结论的个数是（） A、2 B、3 C、4 D、5 2、（2005?茂名）下列三个命题：①圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分这条弦；③相等圆心角所对的弧相等．其中是真命题的是（） A、①② B、②③ C、①③ D、①②③
3、（2009?福州）如图，弧是以等边三角形ABC 一边AB为半径的四分之一圆周，P为弧上任意一点，若AC=5，则四边形ACBP周长的最大值是（） A、15 B、20 C、15+ D、15+ 4、（2006?绵阳）如图，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD=（） A、105° B、120° C、135° D、150° 5、（2006?济南）如图，BE是半径为6的圆D的圆周，C点是BE上的任意一点，△ABD是等边三角形，则四边形ABCD的周长P的取值范围是
（） A、12＜P≤18 B、18＜P≤24 C、18＜P≤18+6 D、12＜P≤12+6 6、（2009?兰州）如图，A，B，C，D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O﹣C﹣D﹣O 路线作匀速运动，设运动时间为t（s）．∠APB=y （°），则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（） A、B、
C、D、 7、（2010?荆门）如图，MN是⊙O的直径，MN=2，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（） A、B、 C、1 D、2 8、（2006?防城港）如图，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点P在上，且不与M，N重合，当P点在上移动时，矩形PAOB的形状、大小随之变化，则AB的长度（） A、变大 B、变小 C、不变 D、不能确定
数学九年级上册圆几何综合专题练习（解析版） 一、初三数学圆易错题压轴题（难） 1．在圆O中，C是弦AB上的一点，联结OC并延长，交劣弧AB于点D ，联结AO、BO、AD、BD．已知圆O的半径长为5，弦AB的长为8． （1）如图1，当点D是弧AB的中点时，求CD的长； （2）如图2，设AC=x，ACO OBD S S=y，求y关于x的函数解析式并写出定义域； （3）若四边形AOBD是梯形，求AD的长． 【答案】（1）2；（2） 2825 x x x -+ （0＜x＜8）;（3）AD= 14 5 或6． 【解析】 【分析】 (1)根据垂径定理和勾股定理可求出OC的长. (2)分别作OH⊥AB，DG⊥AB，用含x的代数式表示△ACO和△BOD的面积，便可得出函数解析式. (3)分OB∥AD和OA∥BD两种情况讨论. 【详解】 解：（1）∵OD过圆心，点D是弧AB的中点，AB=8， ∴OD⊥AB，AC= 1 2 AB=4， 在Rt△AOC中，∵∠ACO=90°，AO=5， ∴22 AO AC -， ∴OD=5， ∴CD=OD﹣OC=2； （2）如图2，过点O作OH⊥AB，垂足为点H， 则由（1）可得AH=4，OH=3， ∵AC=x， ∴CH=|x﹣4|， 在Rt△HOC中，∵∠CHO=90°，AO=5， ∴22 HO HC +22 3|x4| +-2825 x x -+
∴CD=OD ﹣OC=5 过点DG ⊥AB 于G ， ∵OH ⊥AB ， ∴DG ∥OH ， ∴△OCH ∽△DCG ， ∴ OH OC DG CD =， ∴DG=OH CD OC ? 35， ∴S △ACO = 12AC ×OH=12x ×3=32 x ， S △BOD =12BC （OH +DG ）=12（8﹣ x ）×（3 35）=3 2 （8﹣ x ） ∴y= ACO OBD S S = ()32 3582x x - （0＜x ＜8） （3）①当OB ∥AD 时，如图3， 过点A 作AE ⊥OB 交BO 延长线于点E ，过点O 作OF ⊥AD ，垂足为点F ， 则OF=AE ， ∴S=12AB?OH=1 2 OB?AE ， AE= AB OH OB ?=24 5 =OF ， 在Rt △AOF 中，∠AFO=90°， AO=5， ∴75 ∵OF 过圆心，OF ⊥AD ， ∴AD=2AF=14 5 ． ②当OA ∥BD 时，如图4，过点B 作BM ⊥OA 交AO 延长线于点M ，过点D 作DG ⊥AO ，垂足为点G ， 则由①的方法可得DG=BM= 245 ， 在Rt △GOD 中，∠DGO=90°，DO=5，
1. 下列条件中,能画出唯一圆的是 （ ） 均相等）.现计划修建一座以点O 为圆心，OA 的长为半径的圆形水池，要求池中 不留树木，贝J E 、F 、G H 四棵树中需要被移除的树为（ ） 2018 年初三中考专题复 习 圆 综合训练题 A.以已知点O 为圆心 B .以点O 为圆心, 5 cm 为半径 C.以2 cm 为半径 D ．经过已知点 A ， 且半径为 2 cm 2.已知? O 的半径是6 cm , 点O 到直线I 的距离为8 cm ,则直线I 与? O 的位 置关系是 （ ） A.相离 B .相切 C ．相交 D ．无法判断 3.如图，AB 是? O 的直径, D C 在? O 上，AD// OC / DAC= 30°，连结 AC , 则/ BOC 的度数为（ A. 30° B . 60° ．45° D ．80° 4.公园的O 处附近有 E 、F 、 G H 四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长
如图，OO 的直径AB 垂直于弦CD Z CAB= 36°,则/ BCD 勺大小是（ ） 如图，PA PB 分别与? O 相切于点A B,OO 的切线EF 分别交PA PB 于点 F ,切点C 在AB 上.若△ PEF 的周长为6cm 则PA 长是（） A ． E 、F 、G B ．F 、G 、H C ．G 、H 、E D ．H 、 E 、F 5. A ． 18° B ．36° C ．54° D ．72° 6. E 、
A．3 cm B ．6 cm C ．4 cm D ．5 cm 7.如图，一块直角三角形ABC勺斜边AB与量角器直径重合，点D对应54°, 则/ BCD勺度数为（ A．27° B ．54° C ．63° D ．36° 8. 如图,一个边长为 4 cm的等边三角形ABC的高与? O的直径相等.O O与BC 相切于点C,与AC相交于点E,则CE的长为（
圆的专项 一．解答题 1．如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，E 是BC上的一点，且BE＝BF，连接DE． （1）求证：DE是⊙O的切线． （2）若BF＝2，DH＝，求⊙O的半径． 2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，过B，C，D三点的⊙O交AB于点E，连接ED，EC，点F是线段AE上的一点，连接FD，其中∠FDE＝∠DCE． （1）求证：DF是⊙O的切线． （2）若D是AC的中点，∠A＝30°，BC＝4，求DF的长．
3．如图，△ABC内接于⊙O，AD与BC是⊙O的直径，延长线段AC至点G，使AG＝AD，连接DG交⊙O于点E，EF∥AB交AG于点F． （1）求证：EF与⊙O相切． （2）若EF＝2，AC＝4，求扇形OAC的面积． 4．如图，B是⊙O外一点，连接OB，过点B作⊙O的切线BD，切点为D，延长BO交⊙O于点A，过点A作切线BD的垂线，垂足为C． （Ⅰ）求证：AD平分∠BAC； （Ⅱ）若⊙O的半径为4，OB＝7，求AC的长．
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，与边BC交于点F，过点E作EH⊥AB于点H，连接BE． （1）求证：BC＝BH； （2）若AB＝5，AC＝4，求CE的长． 6．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，O是AB上的一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，交AC于点D，其中DE∥OC． （1）求证：AC为⊙O的切线； （2）若AD＝，且AB、AE的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个实数根，求⊙O的半径、CD的长．
中考数学锐角三角函数与圆综合训练题 1、如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，∠CDA=∠CBD． （1）求证：CD2=CA?CB； （2）求证：CD是⊙O的切线； （3）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=12，tan∠CDA=，求BE的长． 2、如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE 于点M，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3． （1）求证：点F是AD的中点； （2）求cos∠AED的值； （3）如果BD=10，求半径CD的长．
3、如图11，PB 为⊙O 的切线，B 为切点，直线PO 交⊙O 于点E ，F ，过点B 作PO 的垂线BA ，垂足为点D ，交⊙O 于点A ，延长AO 与⊙O 交于点C ，连接BC ，AF ． （1）求证：直线PA 为⊙O 的切线； （2）试探究线段EF ，OD ，OP 之间的等量关系，并加以证明； （3）若BC ＝6，tan ∠F ＝ 1 2 ，求cos ∠ACB 的值和线段PE 的长． 4、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于H ，过CD 延长线上一点E 作⊙O 的切线交AB 的延长线于F ．切点为G ，连接AG 交CD 于K ． （1）求证：KE=GE ； （2）若2 KG =KD ·GE ，试判断AC 与EF 的位置关系，并说明理由； （3） 在（2）的条件下，若sinE=3 5 ， AK=FG 的长． 5、如图11，AB 是⊙O 的弦，D 是半径OA 的中点，过D 作CD ⊥OA 交弦AB 于点E ，交⊙O 于F ，且CE=CB 。 （1）求证：BC ⊙O 是的切线； （2）连接AF 、BF ，求∠ABF 的度数； （3）如果CD=15，BE=10，sinA=13 5 ，求⊙O 的半径。 图11 P
O A E D B C F O A B C D P 初三《圆》培优专题练习 一、选择题 1、如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠B =60°，则∠CAO 的度数是( ) A ．15° B ．30° C ． 45° D ．60° 2．如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为H ，且CD ＝22，BD ＝3，则AB 的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 3. 下列命题中，真命题是 （ ） A ．相等的圆心角所对的弧相等 B ．相等的弦所对的弧相等 C ．度数相等的弧是等弧 D ．在同心圆中，同一圆心角所对的两条弧的度数相等 4．边长为2的等边三角形的外接圆的半径是（ ） （A ） 3 3 （B ） 3 （C ）2 3 （D ）2 3 3 5，圆内接四边形ABCD 中，四个角的度数比可顺次为（ ） （A ）4：3：2：1 （B ）4：3：1：2 （C ）4：2：3：1 （D ）4：1： 3：2 6．如图3，已知⊙O 的半径为5，点到弦的距离为3，则⊙O 上到弦所在直线的距离为2的点有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 7、 ⊙O 的半径为10cm ，两平行弦AC ，BD 的长分别为12cm ，16cm ，则两弦间的 距离是（ ） A. 2cm B. 14cm C. 6cm 或8cm D. 2cm 或14cm 8、 如图，⊙O 是?ABC 的外接圆，AO BC ⊥于F ，D 为AC ? 的中点，E 是BA 延长线上一点，∠=?D A E 114，则∠C A D 等于（ ） A. 57° B. 38° C. 33° D. 28.5° 二、填空题 1、.已知圆O 的半径为6㎝，弦AB=6㎝，则弦AB 所对的 圆周角是 度。 2、一条弦分圆周为5：7，这条弦所对的圆周角的度数是 。 3、.弓形的半径为10cm ，弦长为12cm ，则弓形高为___________cm. 4、 如图，弦CD ⊥AB 于P ，AB=8，CD=8，⊙O 半径为5，则OP 长为________。 5．如图7所示，⊙O 的两弦AB 、CD 交于点P ，连接AC 、BD ， 得S △ACP ：S △DBP =16:9，则AC ：BD