圆的基本性质
垂径定理应用
1.
2.
如图，在直径 AB ＝12 的⊙ O 中，弦 CD ⊥AB 于 M ，且 M 是半径 OB 的中点，则弦 CD 的长是 _______.
如图是一条直径为 2 米的通水管道横截面， 其水面宽 1.6 米，则这条管道中此时最深为 ______ 米 .
A
y
O
P
C
·
D
M
B
OA B x
第 1 题图
第 2 题图 第 3 题图
第 4 题图
3.
⌒ ⌒
如图，一条公路的转弯处是一段圆弧 （图中的 AB ），点 O 是这段弧的圆心，C 是AB 上一点，OC ⊥AB ，
垂足为 D ， AB=300m ， CD=50m ，则这段弯路的半径是
m ．
B
C
4.
如图，以点 P 为圆心的圆弧与 x 轴交于 A ，B ，两点，点 P 的坐标为（ 4，2）点
A 的坐标为（ 2，0）则点
B 的坐标为
．
A
O
D
5. 如图等腰梯形 ABCD 内接于半圆，且 AB = 1， BC = 2，则 OA = ．
6.
在半径为 5cm 的⊙ O 中，弦 AB ＝6cm ，弦 CD ＝8cm ，且 AB ∥CD ，求 AB 与 CD 之间的距离．
圆心角、弧、弦关系应用
7.
如图， AB 为半圆⊙ O 的直径，弦 AD 、BC 相交于 P ，那么
CD
等于 ( )
BA
B
A . sin ∠BPD
B. cos ∠BPD
C. tan ∠BPD
D. cot ∠ BPD
C
M
C
A C
B
D
O
D M N
O
P O P
B
A
B
A
A
D
O
第 7 题图 第 8 题图 第 9 题图
第 10 题图
8.
9.
⌒
如图， MN 是⊙ O 的直径， MN=2，点 A 在⊙ O 上，∠ AMN=30°， B 为AN 的中点， P 是直径 MN
上一动点，则 PA+PB 的最小值为
．
已知⊙ O 的半径为 5，锐角△ ABC 内接于⊙ O ， BD ⊥AC 于点 D ，AB=8，则 tan ∠ CBD 的值等
于
．
⌒ ⌒
10.
如图，已知 A 、 B 、C 、D 四点顺次在⊙ O 上，且 AB =BD ，BM ⊥AC 于 M ，求证： AM ＝DC ＋CM ．
圆周角定理的应用
11.如图，⊙ O 的直径 CD⊥ AB，∠ AOC=50°，则∠ CDB 大小为 _________．
12. 如图在⊙ O 中，弦AB、CD相交于点P，若 A 30 ， APD 70 ，则 B =________．
D
B A
C D
O P
A O
O β
O
α
C α
θ
C
A B
C A
D B B
第 14 题图
第 11 题图第 12 题图第 13 题图
13. 如图⊙ O 的半径为 1cm，弦 AB、CD 的长度分别为 2 cm，1cm，则弦AC、BD所夹的锐角＝．
14. 如图，⊙ O 中， AB、 AC 是弦， O 在∠ BAC 的内部∠ ABO= ，∠ ACO= ，∠BOC= ，则下列关
系式中，正确的是（）
A ．B．2 2C．180D．360
15. 在⊙ O 中直径为 4，弦 AB＝2 3 ，点C是圆上不同于A、B的点，那么∠ACB度数为___ ___．
16.
⌒
如图，△ ABC 是⊙ O 的内接三角形，点 D 是 BC 的中点，已知∠ AOB=98°，∠COB=120°．则∠ ABD 的度数是．
C A D
A O D O
D
O
A C
50°
B
C
B
B
第 16 题图第 17 题图第 18 题图第 19 题图
17.
⌒
如图，△ ABC 内接于⊙ O，AC 是⊙ O 的直径，∠ACB＝ 50°，点 D 是BAC 上一点，则∠ D＝______．
18. 如图，△ ABC 内接于⊙ O，AB=BC，∠ ABC=120°，AD 为⊙ O 的直径，AD ＝6，那么 BD＝_________．
19. 如图，在△ ABC 中， AB=AC，以 AB 为直径的⊙ O 交 AC 与 E，交 BC 与 D．求证：
（1） D 是 BC 的中点；（ 2）△BEC∽△ ADC；（ 3） BC2 · ．
=2AB CE
20.如图， AD 为△ ABC 外接圆的直径， AD⊥ BC，垂足为点 F，∠ ABC 的平分线交 AD 于点 E，连接
BD、CD. A
（1）求证： BD=CD；
E
（ 2）请判断 B、E、C 三点是否在以 D 为圆心，以 DB 为半径的圆上？
B
C
F
D
圆的位置关系
圆切线的应用
21.
如图，已知⊙ O 是以数轴的原点 O 为圆心，半径为 1 的圆，
∠AOB=45°，点 P 在数轴上运动，若过点 P 且与 OA 平行的直线
与⊙ O 有公共点，设 OP=x ，则 x 的取值范围是（
）
A ． 1 x 1
B ． 2 x 2
C ． 0 x 2
D ． x
2
A
O
P B
第 21 题图
22.
如图在边长为 2 的正方形 ABCD 中， E ，F ，O 分别是 AB ，CD ， AD 的中点，以 O 为圆心，以 OE
⌒
，并延长 交线段 于点 ，过点 作⊙
为半径画弧 EF ． P 是EF 上的一个动点，连结
OP BC K P O OP
的切线，分别交射线 AB 于点 M ，交直线 BC 于点 G. 若 BG
3 ，则 BK ﹦ ．
BM
23.
如图，已知△ ABC ，AC=BC=6，∠ C=90°．O 是 AB 的中点，⊙ O 与 AC 、BC 分别相切于点 D 与点
E ．点
F 是⊙ O 与 AB 的一个交点，连 DF 并延长交 CB 的延长线于点 G. 则 CG=
.
A
O
D C
y
D
E
?P
E F
B M
A
OF
G
O
x
B
K C G
第 24 题图 第 25 题图
第 26 题图
24. 如图，已知⊙ P 的半径为 2，圆心 P 在抛物线 y
1 x
2 1上运动，当⊙ P 与 x 轴相切时，圆心 P 的
2
坐标为
.
25.
如图，⊙ O 的弦 AD ∥BC ，过点 D 的切线交 BC 的延长线于点 E ，AC ∥ DE 交 BD 于点 H ，DO 及延长线分别交 AC 、 BC 于点 G 、F.
（1）求证： DF 垂直平分 AC ；
（2）若弦 AD ＝5cm ， AC ＝ 8cm ，求⊙ O 的半径 .
圆的切线证明方法
圆的切线的特点是：①与圆只有一个交点，即切点；②过切点与圆心的直线垂直于切线；③圆心与切点间的距离为半径．
证明一条直线为圆的切线，方法一般是：
26.
（作垂直，证半径）如图，已知梯形的直径，求证：⊙ O 与 DC 相切．
作垂直，证半径；连半径，证垂直 ．
ABCD 中， AD ∥ BC ， DC ⊥ BC ， AB=AD ＋BC ，且 AB 为⊙ O
A
D
O
27.（连半径，证垂直）如图， A 是⊙ O 外一点，连 OA 交⊙ O 于 C，过⊙ O 上一点 P 作 OA 的垂线交
OA 于 F，交⊙ O 于 E，连结 PA，若∠ FPC=∠CPA，求证： PA 是⊙ O 的切线．
E
F C
O A
P
28.如图，AB 是半圆 O 的直径，过点 O 作弦 AD 的垂线交半圆 O 于点 E，交 AC 于点 C 使∠
BED=∠C．（1）判断直线 AC 与圆 O 的位置关系，并证明你的结论；C
E D
A
O B
29.如图，在△ABC 中， AB=AC，D 是 BC 中点， AE 平分∠ BAD
⊙O 过 A、E 两点 , 交 AD 于点 G，交 AB 于点 F．
（ 1）求证： BC 与⊙ O 相切； C
（ 2）当∠ BAC=120°时，求∠ EFG 的度数．
D
G 交 BC 于点 E，点 O 是 AB 上一点，E
A O F B