专题04 圆章末重难点题型【举一反三】
【考点1 圆的相关概念】
【方法点拨】解决此类问题的关键是圆中的半径所构成等腰三角形的灵活应用.
【例1】如图，⊙O的直径BA的延长线与弦DC的延长线交于点E，且CE＝OB，
已知∠DOB＝72°，则∠E等于（）
A．36°B．30°C．18°D．24°
【变式1-1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，以C为圆心，CB为半径的
圆交AB于点D，连接CD，则∠ACD＝（）
A．10°B．15°C．20°D．25°
【变式1-2】如图，半圆O是一个量角器，△AOB为一纸片，AB交半圆于点D，OB交半圆于点C，若点C、
D、A在量角器上对应读数分别为45°，70°，160°，则∠B的度数为（）
A．20°B．30°C．45°D．60°
【变式1-3】如图，A，B，C是⊙O上的三点，AB，AC的圆心O的两侧，若∠ABO＝20°，∠ACO＝30°，则∠BOC的度数为（）
A．100°B．110°C．125°D．130°
【考点2 垂径定理求线段】
【方法点拨】垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．
【例2】如图，⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝4：5，则AB的长为（）
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式2-1】如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EB．若AB＝4，CD＝1，则EB的长为（）
A．3 B．4 C．5 D．2.5
【变式2-2】如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC于点E，连接BC过点O作OF⊥BC于点F，若BD＝12cm，AE＝4cm，则OF的长度是（）
A．B．C．D．3cm
【变式2-3】如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD 的长是（）
A．2B．2C．2D．4
【考点3 圆周角定理】
【方法点拨】圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
【例3】如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，连接AB，AD，BD，若∠ADB＝70°，则∠ABC 的度数是（）
A．20°B．70°C．30°D．90°
【变式3-1】如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点．若∠BOC＝50°，则
∠D的度数（）
A．105°B．115°C．125°D．85°
【变式3-2】如图，AD是半圆的直径，点C是弧BD的中点，∠ADC＝55°，则∠BAD等于（）
A．50°B．55°C．65°D．70°
【变式3-3】如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，若∠ABC＝30°，则∠CAD的度数为（）
A．l00°B．105°C．110°D．120
【考点4 圆的内接四边形】
【方法点拨】圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补,且任意一个角的外角都等于其内对角.
【例4】如图，点A、B、C、D在⊙O上，，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝（）
A．30°B．50°C．70°D．80°
【变式4-1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠EBC＝55°，分别连接AC、BD，若AC＝AD，则∠DBC的度数为（）
A．50°B．60°C．65°D．70°
【变式4-2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线
于点E ，连接AC ，若∠ABC ＝105°，∠BAC ＝25°，则∠E 的度数为（ ）
A ．45°
B ．50°
C ．55°
D ．60°
【变式4-3】如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，若⊙O 的半径为4，且∠B ＝2∠D ，连接AC ，则线 段AC 的长为（ ）
A ．4
B ．4
C ．6
D ．8
【考点5 弧长计算】
【方法点拨】n °的圆心角所对的弧长l 为：180R n l π=。 【例5】如图，AC 是⊙O 的直径，B ，D 是⊙O 上的点，若⊙O 的半径为3，∠ADB ＝30°，
则的长为 ．
【变式5-1】如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，∠ABC 的平分线交⊙O 于点D ．若AB ＝6，∠BAC ＝30°，则劣弧的长等于 ．
【变式5-2】如图，△ABC 的顶点C 在半径为9的⊙O 上，∠C ＝40°，边AC ，BC 分别与⊙O 交于D ，E 两
点，则劣弧DE的长度为．
【变式5-3】如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，E为BC的中点，AF＝1，以EF为直径的半圆与DE 交于点G，则劣弧的长为．
【考点6 正多边形与圆】
【方法点拨】定义：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
【例6】如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA、OE分别交丁点F、G，点M在FG上，则圆周角∠FMG 的大小为度．
【变式6-1】如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧所对的圆心角∠BOD 的大小为度．
【变式6-2】如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是°．
【变式6-3】如图，⊙O的半径为2，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，对角线CE、DF相交于点M，则
