圆的认识思维导图

圆圆的有关性质圆的对称性弧、弦、圆心角与圆有关的计算正多边形和圆与圆有关的位置关系圆的定义有关概念弦：连接圆上任意两点的线段直径：过圆心的弦轴对称性中心对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴垂径定理(1)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等(2)在同圆或等圆中，相等的两条弧所对的圆心角相等，所对的弦相等(3)在同圆或等圆中，相等的两条弦对的圆心角相等，所对的弧相等周长和面积弧长相关概念相关计算画法正多边形的中心正多边形的半径中心角的度数内角、外角利用同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等点和圆直线和圆相离相切相交点在圆内点在圆上动态：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周， 另一个端点A所形成的的图形叫做圆静态：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离 等于定长r的点的集合。

弧：圆上任意两点之间的部分弦心距：弦到圆心的距离垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧圆是中心对称图形，绕圆心旋转任何一个角度都能与自身重合，即有旋转不变性圆周角圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径定义定理顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫做圆周角圆和圆点在圆外没有公共点，（d>r)只有一个公共点，（d=r)有两个公共点，（d<r)切线判定定理切线性质定理切线长三角形内切圆过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线圆的切线垂直于过切点的半径经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角与三角形各边都相切的圆三角形的外接圆不在同一直线上的三个点确定一个圆经过三角形三个顶点的圆，叫三角形的外接圆相离相交相切正多边形外接圆的圆心正多边形外接圆的半径中心角正多边形每一边所对的圆心角边心距中心到正多边形的边的距离周长、面积、边心距扇形圆锥。

《圆》章节思维导图(全)一、圆的基本概念1. 圆的定义：平面内到定点距离相等的点的集合。

2. 圆的表示：圆心坐标为 (a, b)，半径为 r 的圆表示为(xa)² + (yb)² = r²。

3. 圆的性质：圆心、半径、直径、周长、面积等。

二、圆的方程1. 标准方程：(xa)² + (yb)² = r²。

2. 一般方程：x² + y² + Dx + Ey + F = 0。

3. 圆的切线方程：y = mx ± √(r²(1+m²))。

三、圆与直线的关系1. 相交：圆与直线有两个交点。

2. 相切：圆与直线有一个交点。

3. 相离：圆与直线没有交点。

四、圆与圆的关系1. 内含：一个圆完全在另一个圆内部。

2. 外切：两个圆外切于一点。

3. 内切：一个圆内切于另一个圆。

4. 相交：两个圆有两个交点。

5. 相离：两个圆没有交点。

五、圆的几何性质1. 圆心角：以圆心为顶点的角。

2. 弧长：圆周上的一段弧。

3. 扇形：由圆心角和对应的弧组成的图形。

4. 椭圆：平面内到两个定点距离之和为常数的点的集合。

六、圆的应用1. 数学：圆在几何、代数、三角等领域有广泛应用。

2. 物理：圆在运动学、力学等领域有广泛应用。

3. 工程：圆在机械、建筑等领域有广泛应用。

4. 日常生活：圆在装饰、设计等领域有广泛应用。

《圆》章节思维导图(全)七、圆的定理与公式1. 勾股定理：直角三角形的斜边平方等于两腰平方和。

2. 圆的周长公式：C = 2πr。

3. 圆的面积公式：A = πr²。

4. 圆的弧长公式：L = rθ，其中θ为圆心角（弧度制）。

八、圆的几何变换1. 平移：将圆沿着某一方向移动一定距离。

2. 旋转：将圆绕某一点旋转一定角度。

3. 放缩：将圆按一定比例放大或缩小。

4. 对称：将圆关于某一直线或点进行对称。

九、圆与坐标系的关联1. 圆在直角坐标系中的表示：通过圆心和半径确定。

九年级圆知识点思维导图圆是几何学中的重要概念之一，它在九年级数学课程中具有重要性。

理解和掌握圆相关的知识点，能够帮助学生更好地解决几何题目和应用问题。

本文将通过思维导图的形式，系统地梳理九年级圆知识点的内容和关系，帮助学生更好地理解和记忆。

一、圆的基本概念1.1 定义圆是平面上所有与一个固定点的距离都相等的点构成的集合。

1.2 要素（1）圆心：圆的中心点，用O表示。

（2）半径：圆心到圆上任意一点的距离，用r表示。

（3）直径：圆上经过圆心的线段的长度，是半径的两倍，用d 表示。

（4）弧：圆上两点间的一段曲线。

（5）弦：在圆上任意两点间的线段。

二、圆的性质2.1 圆的唯一性通过任意三个不在同一直线上的点可以确定一个唯一的圆。

2.2 圆的对称性圆具有中心对称性，即关于圆心的对称。

2.3 弧的度数在圆上，以半径为单位测量的弧长与圆周长的比值等于弧所对的圆心角的度数比值。

2.4 弦的性质（1）相等弦的距离圆心的距离相等。

（2）相等弦所对的圆心角相等。

（3）在同一圆中，距离圆心相等的两弦相等。

（4）圆上的弦等于圆心角所对的弧。

三、圆的关系与定理3.1 同圆与等圆（1）同圆：两个圆的圆心重合，但半径可能不同。

（2）等圆：两个圆的圆心与半径都完全相同。

3.2 切线与切点（1）切线：与圆只有一个公共点的直线。

（2）切点：切线与圆相交的点。

3.3 接触与相切（1）内切：一个圆和一个多边形的内部，仅有一个公共点。

（2）外切：一个圆和一个多边形的外部，仅有一个公共点。

3.4 圆心角定理在同一个圆中的圆心角对应的弧相等，即圆心角所对的弧长相等。

四、常见问题解析4.1 如何判断一条直线与圆的位置关系？当直线与圆相交时，有两个交点；当直线与圆相切时，有一个切点；当直线完全在圆内或圆外时，无交点。

4.2 如何求解圆的面积和周长？圆的面积公式为：S = πr²，其中π取近似值3.14；圆的周长公式为：C = 2πr。

4.3 如何判断两个圆在平面上的位置关系？当两个圆的圆心距离小于两个圆的半径之和时，两个圆相交；当两个圆的圆心距离等于两个圆的半径之和时，两个圆相切；当两个圆的圆心距离大于两个圆的半径之和时，两个圆相离。

第5讲圆（思维导图+知识梳理+例题精讲+易错专练）一、思维导图二、知识点梳理知识点一：圆的认识1.圆心、半径、直径用圆规画圆时，针尖所在的点叫做圆心，一般用字母O表示，连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，一般用字母r表示，通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，一般用字母d表示。

在任意一个圆中都可以画出无数条半径和无数条直径。

2.同圆或等圆中半径、之间的关系在同圆或等圆中，所有的半径都相等，所有的直径也都相等，直径是半径的2倍；圆心相同，半径不同的圆叫做同心圆；圆是轴对称图形，它有无数条对称轴。

3.用圆规画圆用圆规画圆的方法：先定好两脚之间的距离，再把带有针尖的脚固定在一点上，最后把装有铅笔的脚旋转一周，就画出了一个圆。

知识点二：圆的周长1.意义：围成圆的曲线的长叫做圆的周长，周长一般用字母C来表示。

2.测量方法：滚动法、绕绳法、直接测量法。

3.圆周率：圆的周长总是它的直径的3倍多一些，这个固定的比值叫做圆周率，用字母Π来表示，Π是一个无线不循环小数。

C=Πd或2Πr。

已知圆的半径，求周长时，用C=2Πr进行计算；已知圆的直径，求周长时，用C=Πd进行计算。

知识点三：圆的面积1.意义：圆所占平面的大小叫做圆的面积，圆的面积一般用S表示。

2.已知圆的半径为r，S=Πr2已知直径或周长求面积时，都要先求出半径，再求出面积。

3.圆环：两个半径不相等的同心圆之间的部分叫做圆环，也叫做环形。

S=ΠR2-Πr23.圆与正方形组合的面积问题的应用（1）“外方内圆”图形中，圆的直径等于正方形的边长。

如果圆的半径为r，那么正方形和圆之间部分的面积为0.86r2。

（2）“外圆内方”图形中，这个正方形的对角线等于圆的直径。

如果圆的半径为r，那么圆和正方形之间部分的面积为1.14r2。

知识点四：扇形1.意义：圆上两点之间的部分叫做弧；一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。

注意：扇形的大小由圆心角的度数和半径的长短决定。

六年级圆的思维导图知识点圆是初中数学中一个重要的几何概念，六年级学生必须掌握有关圆的基本知识。

本文将通过思维导图的方式帮助六年级学生整理和理解圆的相关知识点，帮助他们更好地学习和应用这些知识。

1. 圆的定义与特点- 圆的定义：圆是由平面上的一点到平面上到另一点的所有等距离的点的集合。

- 圆的特点：圆的所有点到圆心的距离都相等，这个距离称为半径。

圆由圆心和半径确定，圆心是圆的中心点。

2. 圆的元素- 圆心：圆的中心点，通常用大写字母O表示。

- 弦：连接圆上的两点的线段。

- 直径：通过圆心的弦，等于圆的半径的两倍。

- 弧：圆上的一段曲线，由两个端点和弧上的所有点组成。

- 弧长：弧的长度，可以通过弧所对的圆心角来计算。

3. 圆的相关公式- 圆的周长公式：C = 2πr，其中C表示圆的周长，r表示半径。

- 圆的面积公式：A = πr²，其中A表示圆的面积，r表示半径。

- 弧长公式：L = 2πr(θ/360°)，其中L表示弧长，r表示半径，θ表示所对圆心角的度数。

4. 圆与其他几何图形的关系- 正方形的内切圆：正方形的四个顶点都位于圆上，且圆的圆心与正方形的中心重合。

- 正方形的外切圆：正方形的四条边都切于圆上，且圆的圆心与正方形的中心重合。

- 三角形的外接圆：三角形的三个顶点都位于圆上，且圆的圆心与三角形的外心重合。

- 任意四边形的内切圆：四边形的四个顶点都位于圆上，且圆的圆心与四边形的内心重合。

5. 圆的绘制与判断- 绘制圆的方法：可以使用指南针和直尺来绘制圆，先确定圆心，然后量取半径，最后绘制圆的曲线。

- 判断圆的方法：给定三个点，可以通过计算三角形的三条边长来判断这三个点是否位于同一个圆上。

如果三个点到某一点的距离相等，则这三个点位于同一个圆上。

6. 圆的应用- 圆的运动：圆形运动是物体围绕一个固定点或轴作圆周运动的现象，例如地球绕太阳的运动。

- 圆的工程应用：圆的几何特性使它在工程和建设中得到广泛应用，例如桥梁的弧形结构、圆形水池等。

圆的思维导图定义•圆是平面上所有离一个固定点（圆心）的距离相等的点的集合。

•圆由一个圆心和一个半径来唯一确定。

基本特征•圆心：圆上所有点到圆心的距离相等，圆心是圆的中心点。

•半径：圆心到圆上任一点的距离，半径决定了圆的大小。

•直径：通过圆心的线段，其长度为圆的两倍，直径等于半径的两倍。

•弦：圆上的弦是连接两个圆上的点并且没有通过圆心的线段。

•弧：圆上的弧是连接两个圆上的点的曲线，它的长度小于等于半圆周长。

•圆周长：圆周长等于直径乘以π（Pi），或者等于2π乘以半径。

基本公式•圆的面积公式：A=πr2，其中A表示圆的面积，r表示圆的半径。

•圆的周长公式：C=2πr，其中C表示圆的周长，r表示圆的半径。

性质1.所有的直径都是相等长的，任意两个直径的长度相等。

2.在同一圆上，圆周上的弧相等对应的弦也相等。

3.在同一圆（或等圆）中，相等弧所对的角也相等。

4.在同一圆弧上，夹角等于其所对的弧的一般角。

5.在同一圆角的两弦所对的圆周角（或弧所对的圆心角）相等。

6.圆心角是直径所对的角，则直径角是直角，反之亦然。

7.圆周角（弧所对的圆心角）等于互补的角的圆周角（弧所对的圆心角）。

圆的应用•圆在几何学中有广泛的应用，主要用于测量和描述平面上的各种形状。

•圆是许多几何图形（如正多边形）的外接圆和内切圆。

•圆的运动学应用广泛，用于描述转动和圆周运动。

•圆的概念在工程、建筑、地理、天文等学科中也有重要的应用。

思维导图圆的思维导图如下：圆的基本特征||---------------------------------------| | |圆心半径直径| | || | |圈圆弧弦| | || | |------------------- ------------------- ------------------ | | | | | |圆的周长圆的面积相等的圆弧圆的性质和应用| | | | | | | | | | | |周长公式面积公式弧所对的角圆的运动学应用| | | | | | | | | | | |π和圆圆的性质和应用弦所对的角圆的概念在其他学科中的应用| | | | | | | | | | | |圆的基本特征圆的周长和面积圆心角圆的应用领域结论通过思维导图的方式，我们可以清晰地了解圆的定义、基本特征、公式、性质和应用。

.让思想在脑筋风暴中解说—《圆的认识》一课中思想导图的应用和领会贵阳市第二实验小学姚琛思想导图自20世纪90年月传入我国后，在教育领域产生了踊跃的影响，其潜伏的教育价值，惹起了教育研究者的高度重视，并已经开始应用到了教课中来。

经过学习，我知道思想导图又叫心智图，是表达发射思想的有效的图形思想工具。

我校“学习力”课题组也开始加入了这一研究队列，作为课题组的一员，我开始试试在自己的数学课中使用思想导图，下边我就以一节苏教版五年级下册数学中《圆的认识》一课为例，从复习导入、讲解新课、拓展总结三个方面谈一谈自己对思想导图在一节数学课中的应用和领会。

1、复习导入过去的数学讲堂，我喜爱出示一些复习题来稳固已经学过的知识，为新的知识做铺垫，认识思想导图后，我决定改变这类做法，在讲堂教课的开始，我要为学生搭建适合的知识“脚手架”，找到新旧知识的连结点，而不不过简单的复习题。

好像学们在学习《圆的认识》这一知识点时，是在学生已经初步掌握长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形的基本特点的基础长进行教课的。

主假如让学生认识圆的基本特点以及圆心、半径和直径，并学会用圆规画圆。

在此基础上拓展同圆的半径与直径的关系，圆是轴对称图形，有无数条对称轴。

复习题变为了如图1所示的思想导图图1'..经过以前的学习，学生已经掌握了研究平面图形的基本方法，就是找特点，所以在研究圆时自然就想到了找圆的特点，为新讲课埋下了伏笔。

因为课前安排了预习，所以同学们会众说纷纭地说出自己要从哪些方面研究圆的特点，这样能够有效地刺激学生的学习兴趣，使他们在自己的脑筋中迅速地组织好自己的思想。

2、讲解新课依据同学们的研究方向我将思想导图1增补为思想导图2.。

图2在图2中，我采纳了以下的方式进行教课。

其一对于思想导图2中出现的圆心、半径、直径的观点和字母表示，采纳自学和阅读相联合的方式，让学生们自己勾画，节俭了记数学笔录的时间。

其二在画圆时，我松手让学生自己试着达成，也能够伙伴相助，只需画的雅观，流利就能够了。

初三数学圆的思维导图归纳初三数学圆：圆的定义第一定义在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆[1] (circle)。

这个定点叫做圆的圆心。

圆形一周的长度，就是圆的周长。

能够重合的两个圆叫等圆。

圆是一个正n边形(n为无限大的正整数)，边长无限接近0但永远无法等于0。

第二定义平面内一动点到两定点的距离的比，等于一个不为1的常数，则此动点的轨迹是圆。

证明：点坐标为(x1,y1)与(x2,y2),动点为(x,y),距离比为k,由两点距离公式。

满足方程(x-x1)^2 + (y-y1)^2 =k^2*[ (x-x2)^2 + (y-y2)^2 ] 当k不为1时,整理得到一个圆的方程。

.几何法：假设定点为A,B,动点为P,满足|PA|/|PB| =k(k1),过P点作角APB的内、外角平分线,交AB与AB的延长线于C,D两点由角平分线性质,角CPD=90。

由角平分线定理：PA/PB = AC/BC = AD/BD =k,注意到唯一确定了C和D的位置，C在线段AB内,D在AB延长线上,对于所有的P,P在以CD 为直径的圆上。

初三数学圆：相关定义径1.连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，字母表示为r(radius)2.通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，字母表示为d(diameter)。

直径所在的直线是圆的对称轴。

圆的直径 d=2r弦1.连接圆上任意两点的线段叫做弦(chord).在同一个圆内最长的弦是直径。

直径所在的直线是圆的对称轴，因此，圆的对称轴有无数条。

弧1.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧(arc)以⌒表示。

2.大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧，所以半圆既不是优弧，也不是劣弧。

优弧一般用三个字母表示，劣弧一般用两个字母表示。

优弧是所对圆心角大于180度的弧，劣弧是所对圆心角小于180度的弧。

3.在同圆或等圆中，能够互相重合的两条弧叫做等弧。

角1.顶点在圆心上的角叫做圆心角(central angle)。