...必修5配套课件1-3-1 第1课时 《等比数列》_图文

2020年10月2日
2006.9.26
1
一、温故知新：
1、等差数列定义： an－an－１=d(d为常数) 2、等差数列单调性：d>0单调递增
d<0单调递减 d=0常数列
3、 等 差 数 列 的： 通an项 a1公 (n式 1)d
2020年10月2日
2
二、课题引入：
2020年10月2日
3
2020年10月2日
若数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则用通项公式表示是：
＿a＿n=＿2 n－＿1 ＿＿
上式还可以写成
an
1 2n 2
an 8 7
·
可见，表示这个等比数列
6
的各点都在函数
y
1 2
2x
5
的图象上，如右图所示。
4
·
3
2
·
结 论 ： 等 比 数 an列 的 图1象·是 其 对 应
函 数 的 图 象 上的 一点 0些1 孤 2 3立4 n
2020年10月2日
11
例题讲解
1.在等比数列 an 中,
(1 )a 4 2,q 7 3 ,求 a 7 ; (2 ) 若 a 2 1 ,a 4 8 8 ,求 a 1 与 q ;
2020年10月2日
12
例题讲解
2.根据右图的框图,写出所打 印数列的前5项,并建立数 列的递推公式.这个数列是 等比数列吗?
2020年10月2日
开始
A=1
n=1
输出A
n=n+1
A=1/2A
否
n>5?
是 结束
13
例３．一个等比数列的第３项和第４
项分别是１２和１８，求它的第１项和 第２项．

设项的方法：（等差数列） （1）若所给等差数列的项数为奇数时，
则这个数列可设为 , a d, a, a d, , 此数列的公差为d ; （2）若所给等差数列的项数为偶数时， 则这个数列可设为 , a 3d, a d, a d, a 3d , 此数列的公差2d ;
高中数学人教A版必修5《等比数列的 性质》P PT课件
知识回顾： 1.等比数列的概念及定义式； 2.等比数列的通项公式；
教学目标： 1.了解等比数列部分性质的推导过程； 2.掌握等比数列的性质； 3.能利用等比数列的性质解题； 4.感受利用性质解题的优势。
1.公式的推广（次通项公式）
复习：等差数列：an a1 (n 1)d am a1 (m 1)d (m, n N )
高中数学人教A版必修5《等比数列的 性质》P PT课件
课堂总结：
1.四个性质； 2.一个方法：类比法 3.一个感悟：知识是灵活的
布置作业：
电子版练习题已发到钉钉班级 群里，请认真完成，及时上传。
高中数学人教A版必修5《等比数列的 性质》P PT课件
例4.将公比为 q的等比数列a1, a2 , a3, 依次取相邻两项的乘积组成新的
B 数列 a1a2 , a2a3, a3a4 , ,则此数列是（ ）
A.公比为 q的等比数列
B.公比为 q2的等比数列
C.公比为 q3的等比数列
D.不一定是等比数列
例5.设an 是等比数列，给出下列说法：
（1）an2 是等比数列； √ q 2
A.12
B.6
C. 12
D. 6
解： a7 a10 a2 a15 36 3a15 36 a15 12
高中数学人教A版必修5《等比数列的 性质》P PT课件

的 公比 ，通常用字母 q 表示。
二、基础知识讲解
1、等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它
的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫
做等比数列。这个常数就叫做等比数列的公比， 公比
通常用字母 q 表示。 (q≠0) 等比数列的每一
思考：用数学符号语言（递推公式）项怎都样不表为示0等，比即
在等比数列{an}中 （1）an=akqn-k； （2）若m+n=k+l，则am·an =ak·al 在等比数列{an}中，若m+n=k+l，则am·an =ak·al
特别地，若m n 2k(m, n, k N * ), 则aman ak2
例1、在等比数列{an}中，an 0，且a1a9 64， a3 a7 20，求a11。
成等差数列的三个正数之和为15，若这三个数分别 加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数。
一、复习回顾 1、等比数列的定义： 或
2、等比数列的通项公式： an=a1qn-1 3、等比数列的性质： ①an=a1qn-1=akqn-k；
a1q2 12 ①
a1，公比是
q，那么
设
a1q3 18 ②
把②的两边分别除以①的两边，得
q
3
③
把③代入①，得
a1
6 3
2
方
程列
思 想
因此，a2
a1q
16 3
3 2
8
求
二、基础知识讲解
3、等比数列的通项公式： an=a1qn-1
练习2：在等比数列{an}中，
（1）a1=3，an=192，q=2，求n；n=7
a3 a7 20，求a11。
解：依题意可得

在等差数列中有
− = − = − = ⋯
= + − =
则+ = +
在等比数列中有

+
=
=
=⋯=
= q


则 + = .q
等差数列
=
= +
= + = +
通项公式 = + = +



的推导过
= + = +
程
……
= + ( − )
三数 , , 成等差数列
+
则A-a=b-A，
=
中项推导

过程
通常用
2A=a+b
等比数列
a1 = a1
2 = 1 . q
= . q = . q2
按照复利(即前一期的利息和本金加在一起算作本金，再
计算下一期的利息)，5年内各年末的本利和依次为（用
算式表示）
0000（1 + 5%)2
0000
0000（1 + 5%)4
0000（1 + 5%） 0000（1 + 5%)3
类比等差数列,你能找出这几个数列的共同特
征并加以定义吗？

4 = 3 . q = . q3
5 = 4 . q = . q4
……
n = . q−
三数 , , 成等比数列
则
= , = ±

通常用 G2 =ab
思考：(1) 3与27的等比中项是多少？-3和27呢？

思考：{an}为常数列，则该数列为等比数列， 且公比为1这句话对吗？
9
北师大版必修五《等比数列》（第一课时）
3、试一试
如果已知一个数列是等比数列,并且知道它的首
项是a1 ，公比是q，怎样写出它的通项公式?
aa21 a3
aaa1q12q归 纳a1法q2
… a4 a3q a1q3
…
a2 q a1 a3 q a2 a4 q a3
1) -2，-4，-8，-16，…； 2) 16，8，4，1， 2；
3) 2，2，2，2，2，…；
q2
q 1
4) 1，0，1，0，1，…；
5) 5，-25，125，- 625，…；q 5
6)1,1,1,1,1 2 4 8 16
q1 2
7）a, a, a, a, …….
当a0时,q1
8）m,2m2,4m3,8m4, …… 当 m0时 ,q2m
(单位:万元). 第1年产值:a; 第2年产值:a+a×10%=a(1+10%); 第3年产值:a(1+10%)+a(1+10%)×10%=a(1+10%)2;
……
第6年产值:a(1+10%)4+a(1+10%)×10%=a(1+10%)5; 故这6年的产值构成一个数列:
a,a(110%)a,(110%2),a(110%3),a(110%4), a(110%5),
an q
累乘法
n-1个式子相乘
a n q n 1 a1
an a1•qn1
an a1qn1
a n1
10
北师大版必修五《等比数列》（第一课时）
4、概括结论
若等比数列首项是a1 ，公比是q， 则这个数列的通项公式是

课件在线
年
班
学校公开 教育教学样
讲课人：教育者
1
§3 等比数列
3.1 等比数列(一)
【课标要求】 1．掌握等比数列的概念． 2．掌握等比数列的通项公式及推导过程． 3．能应用等比数列的定义及通项公式解决问题．
【核心扫描】 1．等比数列的判定．(重点) 2．等比数列的通项公式及应用．(重点、难点)
课前探究学习
课前探究学习
课堂讲练互动
题型二 等比数列通项的运用
【例2】求下列各等比数列的通项公式：(1)a1＝－2，a3＝－8； (2)a1＝5，且2an＋1＝－3an. [思路探索] 要求an，关键是求出首项a1和公比q. 解 (1)∵a3＝a1q2，∴q2＝4，∴q＝±2. 当q＝2时，an＝(－2)×2n－1＝－2n； 当q＝－2时，an＝(－2)×(－2)n－1＝(－2)n. (2)∵q＝aan＋n 1＝－32，又 a1＝5，∴an＝5×－32n－1. 规律方法 a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个 基本量，其他量便可迎刃而解．此类问题求解的通法是根 据条件，建立关于a1和q的方程组，求出a1和q.
课前探究学习
课堂讲练互动
想一想：等比数列的通项公式有哪些常见的推导方法？ 提示 等比数列的通项公式常见的推导方法有： (1)迭代法 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由等比数列的定义 得， an＝an－1·q＝an－2·q2＝…＝a2·qn－2＝a1·qn－1. (2)归纳法 a2＝a1·q，a3＝a2·q＝a1q2，a4＝a3·q＝a1q3，…，an＝an－1·q＝ a1qn－1. (3)累积法
题型三 等纵数列的实际应用
【例3】(本题满分12分)始于2007年初的美国次贷危机，至 2008年中期，已经演变为全球金融危机．受此拖累，国际 原油价格从2008年7月每桶最高的147美元开始大幅下跌， 9月跌至每桶97美元．你能求出7月到9月平均每月下降的 百分比吗？若按此计算，到什么时间跌至谷底(即每桶34 美元)? 审题指导 这是一道数学应用题，先考虑建立数学模 型，把应用问题数学化是解决应用题的关键． 【解题流程】

证明： 设数列{an}的公比为p; 数列{bn}的公比为q,
pq 因为
an • bn an • bn
an1 • bn1
an1 bn1
它是一个与n无关的常数，
所以an • bn是一个以pq为公比的等比数列。
你能利用本例的条件，构造其他数列吗？并判断 该数列是不是等比数列？
思考(1)c是不为0的常数,{an }是等比数列, 则{ c ·an }是 等比数列吗？
你能得到什么结论？
人教A版高中数学必修5等比数列PPT课 件
若n +m= 2t m,n,t ∈N*, 则 at2=an·am .
4.等比数列的性质 人教A版高中数学必修5等比数列PPT课件
等差数列与等比数列的类比
定义
首项、公差 （公比）取 值有无限制
等差数列 an an1 d (n 2)
a1 R, d R
等比数列
an q (n 2) an1
a1 0, q 0
通项 公式
an a1 (n 1)d
an a1qn1
主要 性质
(1)an am (n m)d
(2)若m+n=s+r (m,n,s,r∈N*) 则 am+an=as+ar . (3)2an=an-1+ an+1 . (4)(等差中项）
(4).已知数列{an}为等比数列 (1)若an 0,且a2a4 2a3a5 a4a6 25, 求a3 a5; (2)a1 a2 a3 7, a1a2a3 8, 求an
(5).已知等比数列{an}中，
a1
a2
a3
7, a1a2a3
8, 求
1 a1
1 a2
1 a3

以此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里麦粒
数的2倍，直到第64格，请给我足够的麦粒实现上述要求”。
国王觉得这个要求不高，就欣然同意了，假定千粒麦粒的
质量为40g，据查，目前世界年度小麦产量约为6亿吨，根
据以上数据，判断国王能否实现他的诺言？
一、导
• 等差数列前n项和：Sn= a1 + a2 +…+ an
多年才能产出所需小麦。
一、导
• （3）等比数列前n项和推导
乘以公比， 错位相减
• 等比数列首项a1，公比为q：
•
Sn= a1 + a2 +…+ an
①
•
qSn= a1q+…+an-1q + anq
•
qSn= a2 +…+ an + anq
②
• ①-②：（1-q）Sn=a1-anq=a1（1-qn）
• q=1
Sn=na1
• q≠1 Sn=a1（1-qn）/（1-q) (知3求2)
二、思
• （1）1/2，1/4，1/8，…，求S8； • （2）a1=27，a9=1/243，求S8； • （3）a1=3，q=2，n=6，求Sn； • （4）a1=27，q=-1/3，an=1/90，求Sn； • （5）在递增的等比数列{an}中，已知a1+an=34，a3*an-2=64,
且前n项和为Sn，则n= （ ）。
三、议
• （1）a1=3，q=2，n=6，求Sn； • （2）a1=27，q=-1/3，an=1/90，求Sn； • （3）在递增的等比数列{an}中，已知a1+an=34，a3*an-2=64,

1．判断下列说法是否正确：(正确的打“√”，错误的打
“×”)
(1)一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于常 数，这个数列就叫等比数列( × ) (2)一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同 一个常数，这个数列就叫等比数列( √ ) (3)由于数列bn＝2，不能表示成a1qn－1的形式，故数列bn＝2
a1，q是通项公式中的两个基本量，一般来说，涉及到列出
方程组的问题，大多数采用两式相比，消去a1再求解．
1．在等比数列{an}中，a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求 n.
a2＋a5＝ a1q＋ a1q ＝ 18， ① 解：法一：因为 2 5 a3＋a6＝ a1q ＋ a1q ＝9， ②
27 (2)设 an＝－ ，由等比数列的通项公式得 64 27 2 n－ 2 3 3 2 n－2 － ＝－ ( ) ，即( ) ＝ ( ) ， 此方程有解但 n 不为正整 64 3 4 3 27 数，故－ 不是该等比数列中的项． 64
判定某数列是否为等比数列，可依据等比数列的定义证明。 an＋1 常用的判定等比数列的方法有：(1)定义法： ＝q(常数)； an (2)等比中项法：a2 n＋ 1＝ anan＋2(an≠0)．
§3
等比数列
等比数列
3．1 等比数列 第一课时
• 学习导航
1.通过类比，理解等比数列、等比中项的概念． (重点) 学习 2．掌握等比数列的通项公式中有关量a1、q、n、 目标 an的求法．(重点) 3．了解等差、等比数列的异同点(难点) 通过学习等差数列的概念和性质，用类比方法得 学法 出等比数列的概念，通项公式，引导学生学会利 指导 用归纳、类比等方法探究问题，发现规律.
2．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝2an＋1，求证：数列{an}是 等比数列，并求出通项公式．

1,1 ,1 ,1 ,... 248
某种汽车购买时的价格是10万元，每年的折旧率是 15%，这辆车各年开始时的价值（单位：万元）分别 是：
10，10×0.85,10×0.852 ,10×0.853,…
观察并判断下列数列是否是等比数列:
(1) 1，3，9，27，81，… (2) 1，2，8，32，128，…
这几天，环保局的工作人员碰到了一个
难题，辖区里有一块土地被含有放射性物质 T的工业废渣污染了。经调查放射性物质T 每经过一年衰变为原来的0.8 ，一个单位体 积废渣里含有放射性物质T 1KG。若环保标 准是一个单位体积废渣中放射性物质T含量 低于0.2KG。
问：需要经过几年才能对环境不产生影响？
2.4 等比数列 （第1课时）
约8年
探究：在平面直角坐标系中，
Y
•(1)画出函数y=2x-1的图像。 9
8
•(2)再在坐标系中画出通项公 7
6
式为an=2n-1的数列的图像，观 5 4
察它们之间的关系。
3
2
•(3)若将底数都换为
1 2
呢？
1 0 123 4 56 X
你有怎样的结论？
结论：当q>0且q 1时，等比数列an的图像
细胞分裂的过程
构成数列：1，2，4，8，…
庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”
意思：“一尺长的木棒， 每日取其一半，永远也 取不完”。
如果将“一尺之棰”视为一份， 则每日开始的木棒长度依次为：
1 ，1 ，1 ，1 ，… 248
细胞分裂:
1, 2, 4, 8, …
“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”
方程的思想---知三求一. 函数的思想---等差数列与一次函数图像.