三角函数求值域的方法

所以t∈［-3,3］.
六、三角函数也是函数，所以其他一些函数值域的求法对于求三角
函数的值域照样适用
如分别常数法：
例6 若cos2x+2msinx-2m-2sin2x+1sinx-1，
sinx-1=t∈［-1,0)
所以2m>t+2t+2，因为(t+2t+2)max=-1.
所以m>-12.
巧用“对比法〞解题
江苏靖江季南初中(214523) 陈一平
对比法：把两个或两个以上的事物进行比较，找其共同点与不同点的进行解题的方法.对比法是最基本的思维，也是解题方法.它有时会使思维、解题一清二楚，直接明了.
例1 横河九年级物理兴趣小组的同学在讨论“沙子和水谁的吸热本事大〞时，选用了两只完全相同的酒精灯分别给质量都是200 g的沙子和水加热.他们绘制出沙子与水的温度随加热时间改变的图象如图1所示. 已知酒精的热值是3.0×107 J/kg，水的比热容4.2×103 J/(kg·℃)，加热时酒精灯平均每分钟消耗0.8 g酒精.那么请问：
(1)图中a图和b图哪个是沙子吸热升温的图象?为什么?
(2)请依据图象说出水在受热过程中温度改变的特点.
(3)加热满2 min时,水汲取了多少热量?
(4)给水加热持续了10 min时间,共消耗了多少酒精?这些酒精假如完全燃烧将放出多少热量?
(5)试求出沙子的比热容.
图1解：(1) 图a表示的是沙子吸热升温的过程，因为沙子的比热比水小，汲取相同热量时沙子温度升得多.。

三角函数求值域三角函数是利用定义函数诸如正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）等，用来描述极坐标系下特殊角度向量的行为，以及用反三角函数和其余的三角函数之间的关系关联的函数的总称。

三角函数在不同文化环境中被人们熟识，早在公元前2000多年前，古埃及人和古希腊人已开始尝试用角度及其关联的三角函数进行数学计算。

在几何术语中，把一个角或一个角度图形投影到一个空间中，比如线段和曲线，使用三角函数。

比如说，在极坐标系下，位置矢量p(r，θ)可以使用三角函数x = rcosθ和y = rsinθ表述，以确定点p在二维平面中的位置。

一组三个三角函数（包括正弦函数、余弦函数和正切函数）可以表示出某个旋转的关系，比如坐标系下的旋转变换，即测量不随旋转变换而改变。

函数在定义域中取值总是一样，从而使在计算机中任何角度都能够唯一标识出来。

三角函数提供了可视化的、和角度相关的表达式。

由此，几何计算既能够用角度表示空间变换，又能够以可视形式直观地表示出来，使得几何计算更容易进行。

三角函数的值域一般规定为标准角的实数值的范围，即-π/2-π/2，其中-π/2代表最小值，π/2代表最大值。

有时也可以将值域定义为在负pi/2和pi/2之间，且有限个值。

一种普遍的变种是值域由一系列有限的值构成，涵盖了所有可能的值，例如30°、45°、60°。

此外，三角函数的反函数也在抽象代数及几何中经常用到，其实质也是把已知的函数关系反过来。

比如已知函数f(x) = sinx，则它的反函数为f-1(x) = arcsin x，并且f(f-1(x)) = x。

三角函数的值域是一个范围，该范围由它的定义域，即使用的角度定义而定。

因此，用三角函数分析几何形状和位置的属性时，必须确定每个角度的范围。

三角函数值域的常见求法
函数值域的求法：
1、配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值。

2、逆求法(反求法)：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围。

3、换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想。

4、三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域。

5、基本不等式法：利用平均值不等式公式来求值域。

6、单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。

7、数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。

三角函数求值域专题求三角函数值域及最值的常用方法：(1)一次函数型：或利用为：y asinx bcosx a2b2sin(x ),利用函数的有界性或单调性求解；化为一个角的同名三角函数形式，(1)：y 2sin(3x —) 5，y sin xcosx12(2)y 4sin x 3cosx(3) _____________________________________ .函数在区间上的最小值为_1.(4 )函数且的值域是—(,1] [1,)(2)二次函数型：化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、换元及图像法求解;二倍角公式的应用：女口. ( 1) y sin x cos2x3(2)函数的最大值等于3.4(3) _____________________________ .当时，函数的最小值为_4 •(4).已知k v—4,则函数y = cos2x + k(cos x-1)的最小值是 1 •(5).若，则的最大值与最小值之和为2— _ •(3) 借助直线的斜率的关系用数形结合求解；a sin x b型如f(x) 型。

此类型最值问题可考虑如下几种解法：ccos x d①转化为asinx bcosx c再利用辅助角公式求其最值；②利用万能公式求解；③采用数形结合法(转化为斜率问题)求最值。

例1 ：求函数y sinx的值域。

cosx 2结合图形可知，此函数的值域是［』3,』3］。

33例2.求函数的最小值.解法一：原式可化为，得，即， 故，解得或(舍)，所以的最小值为. 解法二：表示的是点与连线的斜率，其中点 B 在左半圆上，由图像知，当 AB 与半圆相切时，最小, 此时，所以的最小值为.(4) 换元法•识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为 解法2：将函数ycosx sinx_变形为 2y cosx sin x2y ，二 sin( x )2y 1 y 2|sin(x )| 理 1V 1 y2(2y)y2，解得：彳，故值域是3]解法 3:利用万能公式求解: 由万能公式sin x -1 2t cosx 口;，代入1 t 2sinx得到cosx 22t2厂沪则有3yt2t0知：当t0,则y满足条件；当0，由24 12y 0 ,乜，故所求函数的值域是3解法4：利用重要不等式求解：由万能公式sinx -12t T ， cosx.代入t 2sinx得到cosx 20,2t1 3t 20时，则y 0,满足条件；当t 0时,2 1" t 3t——,如果t >3t)2 ([)(3t)2 ~1 (：3t)2 2、于，此时即有如果t2、( ；)( 3t)彳，此时有0 y 于。

三角换元法求值域什么是三角换元法三角换元法是一种常用的数学方法，用于求解含有三角函数的方程中的变量的范围，即求解该变量的值域。

三角换元法通过将方程中的变量通过三角函数的相关性质进行转换，从而简化方程的求解过程，得到变量的取值范围。

为什么需要三角换元法在数学中，我们常常遇到含有三角函数的方程，例如sin(x) = 0，cos(x) = 1等。

这些方程的解并非简单的数值，而是涉及到角度的取值范围。

为了求解这些方程，我们需要确定所涉及的变量的范围，即求解变量的值域。

三角换元法可以通过将方程中的变量通过三角函数的相关性质进行转换，从而将原始方程转化为一个新的方程，该方程中的变量的范围更加明确。

通过求解新的方程，可以得到原始方程中变量的值域。

三角换元法的基本原理三角换元法主要基于三角函数的性质进行变量的转换。

常用的三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)、正切函数tan(x)等。

以下是常用的三角函数的性质：1.sin(x)的值域为[-1, 1]，即-1 ≤ sin(x) ≤ 1。

2.cos(x)的值域为[-1, 1]，即-1 ≤ cos(x) ≤ 1。

3.tan(x)的值域为(-∞, +∞)，即tan(x) ∈ R。

基于以上性质，我们可以利用三角函数的相关性质进行变量的转换，从而求解变量的值域。

具体的步骤如下：Step 1: 观察原方程中的三角函数，确定需要进行的变量转换。

Step 2: 利用三角函数的性质，将原方程中的变量通过三角函数的相关公式进行转换。

Step 3: 得到转换后的方程，该方程中的变量的范围更加明确。

Step 4: 求解转换后的方程，得到变量的值域。

三角换元法的示例我们以一个简单的示例来演示三角换元法的步骤和过程。

考虑方程sin^2(x) + cos(x) = 1，我们需要求解变量x的值域。

Step 1: 观察原方程中的三角函数，确定需要进行的变量转换。

在该方程中，我们可以看到sin(x)和cos(x)两个三角函数。