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所以t∈［-3,3］.
六、三角函数也是函数，所以其他一些函数值域的求法对于求三角
函数的值域照样适用
如分别常数法：
例6 若cos2x+2msinx-2m-2sin2x+1sinx-1，
sinx-1=t∈［-1,0)
所以2m>t+2t+2，因为(t+2t+2)max=-1.
所以m>-12.
巧用“对比法〞解题
江苏靖江季南初中(214523) 陈一平
对比法：把两个或两个以上的事物进行比较，找其共同点与不同点的进行解题的方法.对比法是最基本的思维，也是解题方法.它有时会使思维、解题一清二楚，直接明了.
例1 横河九年级物理兴趣小组的同学在讨论“沙子和水谁的吸热本事大〞时，选用了两只完全相同的酒精灯分别给质量都是200 g的沙子和水加热.他们绘制出沙子与水的温度随加热时间改变的图象如图1所示. 已知酒精的热值是3.0×107 J/kg，水的比热容4.2×103 J/(kg·℃)，加热时酒精灯平均每分钟消耗0.8 g酒精.那么请问：
(1)图中a图和b图哪个是沙子吸热升温的图象?为什么?
(2)请依据图象说出水在受热过程中温度改变的特点.
(3)加热满2 min时,水汲取了多少热量?
(4)给水加热持续了10 min时间,共消耗了多少酒精?这些酒精假如完全燃烧将放出多少热量?
(5)试求出沙子的比热容.
图1解：(1) 图a表示的是沙子吸热升温的过程，因为沙子的比热比水小，汲取相同热量时沙子温度升得多.。
三角函数中的最值问题（4种方法）基本方法1、直接法：形如f (x )＝a sin x ＋b (或y ＝a cos x ＋b ),值域为[－|a |＋b ，|a |＋b ]，形如y＝asinx＋bcsinx＋c 的函数可反解出sinx，利用|sinx|≤1求解，或分离常数法.2、化一法：形如f (x )＝a sin x ＋b cos x ，f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ＋c sin x cos x 的函数可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，利用正弦函数的有界性求解，给定x 范围时要注意讨论ωx ＋φ的范围，注意利用单位圆或函数图象．3、换元法：形如f (x )＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 或f (x )＝a cos 2x ＋b sin x ＋c 或f (x )＝a (sin x ±cos x )＋b sin x ·cos x 的函数可通过换元转化为二次函数在某区间上的值域求解．4、几何法（数形结合）：形如dx c bx a y ++=cos sin 转化为斜率问题，或用反解法.典型例题例1已知函数f (x )=(sin x+cos x )2+cos 2x ,求f (x )在区间.解：（化一法）因为f (x )=sin 2x+cos 2x+2sin x cos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x=2sin 2 +1,当x ∈0,2 ∈由正弦函数y=sin x 当2x+π4π2,即x=π8时,f (x )取最大值2+1;当2x+π45π4,即x=π2时,f (x )取最小值0.综上,f (x )在0,上的最大值为2+1,最小值为0.例2求函数y ＝2＋sin x ＋cos x 的最大值.解：（化一法）y ＝2＋2sin(x ＋π4)，当x ＝π4＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝2＋2例3求函数f (x )＝cos2x ＋6cos(π2－x )的最大值.解：（换元法）f (x )＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2(sin x －32)2＋112.令sin x ＝t ，则t ∈[－1,1]，函数y ＝－2(t －32)2＋112在[－1,1]上递增，∴当t ＝1时，y 最大＝5，即f (x )max ＝5，例4已知x 是三角形的最小内角，求函数y ＝sin x ＋cos x －sin x cos x 的最小值.解：（换元法）由0≤x ≤π3，令t ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，又0<x ≤π3，∴π4<x ＋π4≤712π，得1<t ≤2；又t 2＝1＋2sin x cos x ，得sin x cos x ＝t 2－12，得y ＝t －t 2－12＝－12(t －1)2＋1，例5已知sin α＋sin β＝22，求cos α＋cos β的取值范围.解：（换元法）令cos α＋cos β＝t ，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝t 2＋12，即2＋2cos(α－β)＝t 2＋12⇒2cos(α－β)＝t 2－32，∴－2≤t 2－32≤2⇒－12≤t 2≤72，∴－142≤t ≤142，即－142≤cos α＋cos β≤142.例6求函数y ＝1＋sin x3＋cos x的值域解法一：（几何法）1＋sin x3＋cos x可理解为点P (－cos x ，－sin x )与点C (3,1)连线的斜率，点P (－cos x ，－sin x )在单位圆上，如图所示．故t ＝1＋sin x3＋cos x满足k CA ≤t ≤k CB ，设过点C (3,1)的直线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0.由原点到直线的距离不大于半径1，得|1－3k |k 2＋1≤1，解得0≤k ≤34.从而值域为[0，34]．解法二：（反解法）由y ＝1＋sin x3＋cos x 得sin x －y cos x ＝3y －1，∴sin(x ＋φ)＝3y －11＋y2其中sin φ＝－y 1＋y 2，cos φ＝11＋y 2.∴|3y －11＋y2|≤1，解得0≤y ≤34.例7求函数y ＝2sin x ＋1sin x －2的值域解法一：（分离常数法）y ＝2sin x ＋1sin x －2＝2＋5sin x －2，由于－1≤sin x ≤1，所以－5≤5sin x －2≤－53，∴函数的值域为[－3，13]．解法二：（反解法）由y ＝2sin x ＋1sin x －2，解得sin x ＝2y ＋1y －2，∵－1≤sin x ≤1，∴－1≤2y ＋1y －2≤1，解得－3≤y ≤13，∴函数的值域为[－3，13]．针对训练1.函数y ＝3－2cos(x ＋π4)的最大值为____.此时x ＝____.2.函数xxy cos -3sin -4的最大值为.3.函数f (x )=sin 2x+3cos ∈的最大值是.4.函数y ＝12＋sin x ＋cos x的最大值是【解析】1.函数y ＝3－2cos(x ＋π4)的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π(k ∈Z )，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z )．2.解析式表示过A (cos x ,sin x ),B (3,4)的直线的斜率,则过定点(3,4)与单位圆相切时的切线斜率为最值,所以设切线的斜率为k ,则直线方程为y-4=k (x-3),即kx-y-3k+4=+11,∴k max3.由题意可知f (x )=1-cos 2x+3cos x-34=-cos 2x+3cos x+14=-cos -+1.因为x ∈0,cos x ∈[0,1].所以当cos f (x )取得最大值1.4.∵y ＝12＋2sin (x ＋π4)，又2－2≤2＋2sin(x ＋π4)≤2＋2∴y ≤12－2＝1＋22，含参问题一、单选题1．已知函数()sin cos (0,0)62af x x x a πωωω⎛⎫=++>> ⎪⎝⎭，对任意x ∈R ，都有()f x ≤，若()f x 在[0,]π上的值域为3[2，则ω的取值范围是（）A．11,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．12,33⎡⎤⎢⎣⎦C．1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()sin cos 62af x x x πωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos 2a x x ωω++max ()f x =02a a >∴= ，())3f x x πω∴=+0,0x πω≤≤> ，333x πππωωπ∴≤+≤+，3()2f x ≤ 2233πππωπ∴≤+≤，1163ω∴≤≤.故选：A2．已知函数()()cos 0f x x x ωωω=+>，当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为4π，把函数()f x 的图像沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图像，关于函数()g x ，下列说法正确的是（）A．在,42ππ⎡⎤⎢⎣⎦上是增函数B．其图像关于直线6x π=对称C．在区间,1224ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]2,1--D．函数()g x 是奇函数【解析】因()()cos 2sin 06f x x x x πωωωω⎛⎫=+=+> ⎪⎝⎭，当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为4π，则()f x 的最小正周期为22T ππω==，即4ω=，所以()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把函数()f x 的图像沿x 轴向右平移6π个单位，得()2sin 42sin 42cos 46662f x g x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=，所以，()g x 为偶函数，故D 选项不正确；由4,k x k k Z πππ≤≤+∈，即,44k k x k Z πππ+≤≤∈，故()g x 在区间(),44k k k Z πππ+⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上为减函数，所以()g x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，故A选项不正确；由4,2x k k Z ππ=+∈，即,48k x k Z ππ=+∈，所以()g x 图像关于,48k x k Z ππ=+∈对称，故B选项不正确；当,1224x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，4,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，则()21g x -≤≤-，所以C 选项正确.故选：C.3．已知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则ω的取值范围是（）A．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．73,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．57,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】因为0>ω，所以当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[,]4424x ππωππω-∈--因为函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以52244πωπππ≤-≤，解得332ω≤≤，故选：B．4．已知函数()(2)f x x ϕ=+22ππϕ-≤≤，若()0f x >在5(0,)12π上恒成立，则3(4f π的最大值为（）B．0C．D．2-【解析】因为5(0,)12x π∈,故52(,)6x πϕϕϕ+∈+；由()0f x >，即1sin(2)2x ϕ+>-，得722266k x k πππϕπ-+<+<+，k Z ∈，故57(,)(2,2)666k k πππϕϕππ+⊆-++，k Z ∈，故2657266k k πϕπππϕπ⎧≥-+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，解得2263k k πππϕπ-+≤≤+，k Z ∈；又22ππϕ-≤≤，故63ππϕ-≤≤，5．已知曲线()sin cos f x x m x ωω=+，()m R ∈相邻对称轴之间的距离为2π，且函数()f x 在0x x =处取得最大值，则下列命题正确的个数为（）①当0,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，m的取值范围是⎣；②将()f x 的图象向左平移04x 个单位后所对应的函数为偶函数；③函数()()y f x f x =+的最小正周期为π；④函数()()y f x f x =+在区间00,3x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点．故33()()42f ππϕϕ⎡⎤+++-⎢⎥⎣⎦，故3()4f π的最大值为0．故选：BA．1B．2C．3D．4【解析】函数()f x 的相邻对称轴之间的距离为2π，则周期为22T ππ=⨯=，∴22πωπ==，()sin 2cos 2f x x m x =+)x ϕ=+，其中cos ϕ=，sin ϕ=[0,2)ϕπ∈，()f x 在0x 处取最大值，则022,2x k k Z πϕπ+=+∈，0222k x πϕπ=+-，k Z ∈，①若0[,]126x ππ∈，则[2,2]63k k ππϕππ∈++，1sin 2ϕ≤≤，12解m ≤正确．②如()sin(28f x x π=+，0316x π=时函数取最大值，将()f x 的图象向左平移04x 个单位后得313()sin[2(4)sin(2)1688g x x x πππ=+⨯+=+，不是偶函数，错；③()()y f x f x =+中，()y f x =是最小正周期是π，()y f x =的最小正周期是2π，但()()y f x f x =+的最小正周期还是π，正确；④003[,44x x x ππ∈++时，()()0y f x f x =+=，因此在区间00,3x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有无数个零点，错；∴正确的命题有2个．故选：B．6．已知函数()cos 4cos 12=+-xf x x 在区间[0,]π的最小值是（）A．-2B．-4C．2D．4【解析】22()cos 4cos 12cos 14cos 12(cos 1)42222x x x x f x x =+-=-+-=+-，由[0,]x π∈知，[0,]22x π∈，cos [0,1]2x ∈，则当x π=时，函数()f x 有最小值min ()2f x =-.故选：A.7．已知()cos31cos xf x x=+,将()f x 的图象向左平移6π个单位，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的12得到()g x 的图象，下列关于函数()g x 的说法中正确的个数为（）①函数()g x 的周期为2π;②函数()g x 的值域为[]22-,;③函数()g x 的图象关于12x π=-对称;④函数()g x 的图象关于,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称.A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】()()cos 2cos311cos cos x x xf x x x+=+=+cos 2cos sin 2sin 12cos 2cos x x x x x x -=+=.即：()2cos 2f x x =且,2x k k Z ππ≠+∈.()2cos(4)3g x x π=+且,62k x k Z ππ≠+∈.①因为函数()g x 的周期为2π，因此①正确.②因为,62k x k Z ππ≠+∈，故() 2.g x ≠-因此②错误.③令4,3x k k Z ππ+=∈，得,124k x k Z ππ=-+∈.故③正确k ππ二、填空题8．函数()2sin()sin()2sin cos 66f x x x x x ππ=-++在区间[0,2π上的值域为__________．【解析】由11(x)sinx cosx)(sinx cosx)sin 2x2222f =-++22312(sin x cos x)sin 2x 44=-+2231sin cos sin 222x x x=-+11cos 2sin 22x x =--+1x )24π=-当[0,]2x π∈时，2[,]444x ππ3π-∈-，则sin(2)[42x π-∈-，所以11(x)[,22f ∈-.故答案为：11[,22-9．若函数()()2cos 2cos 202f x x x πθθ⎛⎫=++<< ⎪⎝⎭的图象过点()0,1M ，则()f x 的值域为__________.【解析】由题意可得()02cos 2cos 02cos 211f θθ=+=+=，得cos 20θ=，02πθ<<，02θπ∴<<，22πθ∴=，则4πθ=，()22cos cos 2cos 22sin 2sin 2sin 12f x x x x x x x π⎛⎫∴=++=-=--+ ⎪⎝⎭2132sin 22x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，令[]sin 1,1t x =∈-，则213222y t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭.当12t =-时，该函数取最大值，即max 32y =，当1t =时，该函数取最小值，即min 3y =-.因此，函数()y f x =的值域为33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.10．函数32()sin 3cos ,32f x x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的值域为_________．【解析】由题意，可得()3232ππf x sin x 3cos x sin x 3sin x 3,x ,,32⎡⎤=+=-+∈-⎢⎥⎣⎦，令t sinx =，t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即()32g t t 3t 3=-+，t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()2g't 3t 6t 3t t 2=-=-，当t 0<<时，()g't 0>，当0t 1<<时，()g't 0>，即()y g t =在⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，在[]0,1为减函数，又g ⎛=⎝⎭()g 03=，()g 11=，故函数的值域为：⎤⎥⎣⎦．11．（2019·广东高三月考（文））函数()cos 2|sin |f x x x =+的值域为______．【解析】2219()cos 2|sin |12|sin ||sin |2|sin |48f x x x x x x ⎛⎫=+=-+=--+ ⎪⎝⎭,所以当1sin 4x =时,()f x 取到最大值98,当sin 1x =时,()f x 取到最小值0,所以()f x 的值域为90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
三角函数值域求解题技巧解题步骤：1. 确定三角函数的定义域。
三角函数的定义域通常是整个实数集或者某个区间。
例如，对于正弦函数sin(x)，它的定义域为整个实数集，而对于余弦函数cos(x)，它的定义域为整个实数集。
确定了三角函数的定义域之后，我们可以确定其值域的范围。
2. 确定三角函数的周期。
三角函数通常是周期函数，其周期可以根据函数的图像或公式推导得到。
例如，正弦函数的周期是2π，即sin(x+2π) = sin(x)。
通过确定周期，我们可以推导出三角函数的值在一个周期内的变化规律。
3. 分析三角函数的图像。
通过绘制三角函数的图像，我们可以直观地看到它的变化规律，从而确定值域。
根据三角函数图像的特点，可以得到以下结论：- 正弦函数的值域在[-1,1]之间，即sin(x) ∈ [-1,1]。
- 余弦函数的值域在[-1,1]之间，即cos(x) ∈ [-1,1]。
- 正切函数的值域是整个实数集，即tan(x) ∈(-∞,∞)。
- 反正弦函数的值域在[-π/2,π/2]之间，即arcsin(x) ∈ [-π/2,π/2]。
- 反余弦函数的值域在[0,π]之间，即arccos(x) ∈[0,π]。
- 反切函数的值域在(-π/2,π/2)之间，即arctan(x) ∈(-π/2,π/2)。
4. 利用三角函数的性质。
三角函数具有一些特殊的性质，可以用来求解值域。
下面列举一些常用的性质：- 正弦函数的值域是闭区间[-1,1]。
- 余弦函数的值域是闭区间[-1,1]。
- 在同一周期内，正弦函数和余弦函数在相同的x值处取到最大值和最小值。
- 反正弦函数的值域是闭区间[-π/2,π/2]。
- 反余弦函数的值域是闭区间[0,π]。
- 反切函数的值域是开区间(-π/2,π/2)。
通过利用这些性质，结合函数的定义域、周期和图像，可以求解三角函数的值域。
范例：1. 求sin(2x)的值域。
首先确定sin(2x)的定义域，由于正弦函数的定义域是整个实数集，因此sin(2x)的定义域也是整个实数集。
求三角函数最值的常用解题方法
一. 转化为二次函数求解三角函数的最值，适用于题目中出现的三角函数分别为一次和二次时
例1．已知函数的最大值为1，求的值
解：
结论：将三角函数转化为二次函数也是求最值的通法之一，应当注意，整理成
时，要考虑的取值及的条件，才能正确求出最值。
二. 使用辅助角公式（化一法）求解三角函数的最值
适用于题目中出现的三角函数同次时
—1—
例2．求函数的值域。
分析：降幂后发现式中出现了和，这时再化成一个角的三角函数便可求得。
解：
结论：化一法由“化一次”、“化一名”、“化一角”三部分组成，其中“化一次”使用到降幂公式、“化一名”使用到推导公式、“化一角”使用到倍角公式及三角函数的和差公式等，因此需要大家熟练掌握相关公式并灵活运用。
—2—
三.利用函数值域的有界性，求解三角函数的最值
例3.求函数的值域
解：
—3—
四.使用换元法求解三角函数的最值
例4．求函数的最值。
分析：解此题的途径是用逆求将函数式变形，用y表示与x有关的三角函数，利用三角函数的有界性求最值。
解：
—4—。
三角函数值域的常见求法
函数值域的求法：
1、配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值。
2、逆求法(反求法)：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围。
3、换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想。
4、三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域。
5、基本不等式法：利用平均值不等式公式来求值域。
6、单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。
7、数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。
三角函数求值域专题求三角函数值域及最值的常用方法：(1)一次函数型：或利用为：y asinx bcosx a2b2sin(x ),利用函数的有界性或单调性求解；化为一个角的同名三角函数形式，(1)：y 2sin(3x —) 5，y sin xcosx12(2)y 4sin x 3cosx(3) _____________________________________ .函数在区间上的最小值为_1.(4 )函数且的值域是—(,1] [1,)(2)二次函数型：化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、换元及图像法求解;二倍角公式的应用：女口. ( 1) y sin x cos2x3(2)函数的最大值等于3.4(3) _____________________________ .当时，函数的最小值为_4 •(4).已知k v—4,则函数y = cos2x + k(cos x-1)的最小值是 1 •(5).若，则的最大值与最小值之和为2— _ •(3) 借助直线的斜率的关系用数形结合求解；a sin x b型如f(x) 型。
此类型最值问题可考虑如下几种解法：ccos x d①转化为asinx bcosx c再利用辅助角公式求其最值；②利用万能公式求解；③采用数形结合法(转化为斜率问题)求最值。
例1 ：求函数y sinx的值域。
cosx 2结合图形可知，此函数的值域是［』3,』3］。
33例2.求函数的最小值.解法一：原式可化为，得，即， 故，解得或(舍)，所以的最小值为. 解法二：表示的是点与连线的斜率，其中点 B 在左半圆上，由图像知，当 AB 与半圆相切时，最小, 此时，所以的最小值为.(4) 换元法•识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为 解法2：将函数ycosx sinx_变形为 2y cosx sin x2y ，二 sin( x )2y 1 y 2|sin(x )| 理 1V 1 y2(2y)y2，解得：彳，故值域是3]解法 3:利用万能公式求解: 由万能公式sin x -1 2t cosx 口;，代入1 t 2sinx得到cosx 22t2厂沪则有3yt2t0知：当t0,则y满足条件；当0，由24 12y 0 ,乜，故所求函数的值域是3解法4：利用重要不等式求解：由万能公式sinx -12t T ， cosx.代入t 2sinx得到cosx 20,2t1 3t 20时，则y 0,满足条件；当t 0时,2 1" t 3t——,如果t >3t)2 ([)(3t)2 ~1 (：3t)2 2、于，此时即有如果t2、( ；)( 3t)彳，此时有0 y 于。
分式三角函数值域问题的难度一般较大.解答此类问题，不仅要将函数式进行合理的变形，还需关注分母不为０的隐含条件，由此根据函数的定义域来求解.本文主要探讨两类分式三角函数值域问题及其解法，以期帮助同学们更加透彻地了解这两类问题的解法.类型一：y =a 1sin x +b 1a 2sin x +b 2或y =a 1sin x +b 1a 2cos x +b 2型分式三角函数形如y =a 1sin x +b 1a 2sin x +b 2或y =a 1sin x +b 1a 2cos x +b 2的分式三角函数值域问题比较常见，解答此类问题，通常有两种思路：（1）先根据函数式明确分母不为０时函数的定义域，然后将函数式变形为sin x =f ()y ,cos x =f ()y ,tan x =f ()y 的形式，再利用三角函数的有界性求得函数的值域；（2）将y 视为参数，把函数式变形为关于y 的方程，利用一次方程的性质或者二次方程的判别式来建立关于y 的不等式，解不等式即可求得值域.例1.求函数y =sin x +1sin x +2的值域.解：由y =sin x +1sin x +2可得sin x =2y -11-y ，因为||sin x ≤1，所以||||||2y -11-y ≤1，即()2y -12≤()1-y 2，解得0≤y ≤23，所以函数y =sin x +1sin x +2的值域为éëùû0，23.解答本题，要先通过恒等变换将函数式变形，再利用三角函数的有界性||sin x ≤1建立关于y 的不等式，解该不等式求就能求出函数的值域.例2.求函数f ()x =sin x +1cos x +2的值域.解：令t =tan x2，由万能公式可得sin x =2t 1+t 2，cos x =1-t 21+t 2，将其代入y =sin x +1cos x +2可得：y =t 2+2t +1t 2+3，整理得：()y -1t 2-2t +()3y -1=0，因为tan x2∈R ，所以t ∈R ，当y -1=0时，t =1；当y -1≠0时，根据∆≥0得0≤y ≤43，且y ≠1，因此函数f ()x 的值域为éëùû0，43.我们根据万能公式将tan x2用t 替换，通过换元将问题转化为关于t 的一元二次方程()y -1t 2-2t +()3y -1=0有解的问题，由一元二次方程的根的判别式建立不等式，进而求得函数的值域.类型二：y =a 1sin x cos x()sin x +a 2()cos x +a 3型分式三角函数解答形如y =a 1sin x cos x()sin x +a 2()cos x +a 3的分式三角函数值域问题，要先根据同角的三角函数关系式sin 2x +cos 2x =1以及完全平方公式，将sin x cos x 用sin x +cos x 表示出来，以便把函数式转化为只含有sin x +cos x 的式子，这样根据辅助角公式和正余弦函数的性质就能顺利求得函数的值域.例3.已知θ∈æèöø0，π2，则2sin θcos θ()sin θ+1()cos θ+1的值域为_____.解：令t =sin θ+cos θ，∴t =2sin æèöøθ+π4，∵θ∈æèöø0，π2，θ+π4∈æèöøπ4，3π4，∴t ∈(]1，2，∴t 2=1+2sin θcos θ，∴sin θcos θ=t 2-12，∴2sin θcos θ()sin θ+1()cos θ+1=2()t -1t +1=2-4t +1，而在(]1，2上g ()t =2-4t +1单调递增，∴0<2-4t +1≤6-42，∴函数2sin θcos θ()sin θ+1()cos θ+1的值域为(]0,6-42.本题较为复杂，解答时需先根据重要三角函数不等式将函数式进行变形，然后设t =sin θ+cos θ，通过换元将问题转化为求g ()t 在(]1，2上的最值，根据反比例函数的性质即可解出.在求值域的过程中，需注意自变量的取值范围，若自变量的取值范围错误，则所求的值域也必定是错误的.总的来说，求解分式三角函数值域问题的关键是要明确函数式的特征，据此将函数式进行适当的变形，如变形为sin x =f ()y 、cos x =f ()y 、tan x =f ()y 的形式、一元二次方程、反比例函数等，再根据三角函数的有界性和方程的性质就能求得最值.（作者单位：安徽省蚌埠市怀远县包集中学）方法集锦45。
三角函数方程求解在数学中，三角函数方程是指含有三角函数的方程。
对于给定的三角函数方程，我们希望找到这个方程的解。
本文将介绍三种常见的方法用于求解三角函数方程：试值法、化简法和特殊角解法。
方法一：试值法试值法是一种直接而简单的方法，适用于三角函数方程的求解。
具体步骤如下：1. 根据方程中的三角函数种类（正弦、余弦、正切等）确定解的范围。
通常，三角函数的取值范围是[-1, 1]。
2. 在解的范围内选取一些试探值，代入原方程中进行计算。
3. 如果试探值能够使方程等式成立，那么它就是方程的一个解。
4. 继续尝试其他的试探值，直到找到方程的所有解。
方法二：化简法化简法是一种基于三角恒等式和性质的方法，通过对方程进行化简来求解三角函数方程。
具体步骤如下：1. 利用三角函数的基本性质，将方程中的三角函数进行化简。
2. 通过化简后的方程，得到一个等价的、简化的三角函数方程。
3. 再利用试值法或其他方法求解简化后的方程。
4. 将求得的解代入原方程进行验证，如果验证通过，那么它就是方程的一个解。
方法三：特殊角解法特殊角解法适用于一些特殊的三角函数方程，其中方程中的三角函数具有特定的角度值。
具体步骤如下：1. 根据方程中的三角函数类型，找到与方程对应的三角函数的特殊角值。
2. 将特殊角值代入原方程进行计算。
3. 如果计算结果满足方程等式，那么特殊角就是方程的一个解。
4. 继续寻找其他的特殊角值，直到找到方程的所有解。
在使用这三种方法求解三角函数方程时，需要注意以下几点：1. 在使用试值法和特殊角解法时，需要注意方程的定义域和值域，以避免出现解不存在或者无法求解的情况。
2. 在化简法中，对方程进行化简时要小心操作，避免出现错误或者遗漏。
3. 在使用特殊角解法时，需要熟悉各种三角函数在特殊角度值上的取值情况。
总结：三角函数方程求解是数学中的重要内容，通过试值法、化简法和特殊角解法可以有效地求解三角函数方程。
在具体求解时，我们需要根据方程的特点选择合适的方法，并注意计算的准确性和严密性。
三角函数值域的求法三角函数是数学中的重要概念之一，它在几何学、物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
在学习三角函数时，我们不仅需要了解它们的定义和性质，还需要掌握它们的值域。
本文将围绕三角函数值域的求法展开讨论。
我们来回顾一下三角函数的定义。
在直角三角形中，我们可以定义三个基本的三角函数：正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）。
对于一个给定的角度θ，这些函数的值可以通过三角形的边长比例来计算。
接下来，我们将重点讨论三角函数的值域。
值域是函数在定义域上所有可能的输出值的集合。
对于正弦函数和余弦函数来说，它们的值域是[-1, 1]。
换句话说，对于任意的θ，-1 ≤ sinθ ≤ 1，-1 ≤ cosθ ≤ 1。
这是因为在单位圆上，正弦函数和余弦函数的取值范围都在-1到1之间。
而正切函数的值域则是整个实数集。
也就是说，对于任意的θ，tanθ可以取到任意的实数值。
这是因为正切函数是通过sinθ除以cosθ得到的，而在某些角度上，cosθ可能等于0，导致无法除以0。
因此，我们可以得到tanθ的值域是整个实数集。
除了这三个基本的三角函数，还存在其它的三角函数，如余切函数（cot）、正割函数（sec）和余割函数（csc）。
这些函数的值域与它们的定义有关，但可以通过基本的三角函数进行推导和计算。
在实际问题中，我们经常需要根据已知条件来求解三角函数的值域。
这时，我们可以利用三角函数的性质和定义来推导。
例如，当给定θ的范围时，我们可以确定sinθ和cosθ的取值范围。
然后，根据这些取值范围来确定三角函数的值域。
我们还可以利用三角函数的周期性来求解值域。
正弦函数和余弦函数的周期都是2π，而正切函数的周期是π。
这意味着在一个周期内，三角函数的值会重复出现。
因此，我们可以利用周期性来确定三角函数的值域。
总结起来，三角函数的值域是根据其定义和性质来确定的。
正弦函数和余弦函数的值域是[-1, 1]，而正切函数的值域是整个实数集。
常见求三角函数值域的类型教师在处理题目时，不要只是就题论题，要通过这个题目让学生学会分析问题的方法，通过练习总结解题规律及方法，通过练习总结解题规律及方法，如通过解题总结三角函数最值的方法，利用三角函数的有界性，通过换元把三角函数最值问题转化成一般函数求最值问题，但要注意换元后新变元的取值范围。
解题过程中体现了数学思想，教师注意引导学生分析解题思路。
正、余弦函数都是有界函数，求以x sin 、x cos 为未知数的三角函数的值域时，首先要关注其自身的取值范围，否则很容易出错。
对于三角函数的值域，常见求值域的类型： 一、)cos (sin b x a b x a y ++=或型例1：已知函数()x x f cos 31-=，求函数()x f 的值域。
解析：1cos 1≤≤-x31cos 3131+≤-≤-∴x∴函数的值域为[]31,31+-点评：利用三角函数的值域，需注意对字母a 讨论。
二、x b x a y cos sin +=型例2：已知函数()x x x f cos 3sin +=，求函数()x f 的值域。
解：()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=3sin 2cos 3sin πx x x x f∴函数的值域为[]2,2-点评：借助辅助角化成()ϕ++=x b a y sin 22的形式，利用有界性解决。
强调：(),cos ,sin cos sin 2222ba a xb a x b x a y +=++=+=ϕϕ其中22sin ba b +=ϕ三、c x x a y ++=sin sin 2型例3：已知函数()1cos sin 2+-=x x x f ，求函数()x f 的值域。
思路点拔：配成关于x cos 的二次函数再结合x cos 的有界性求解。
解析：()4921cos cos cos 21cos sin 222+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--=+-=x x x x x x f∴函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡49,0点评：化成同名三角函数，通过配方后转化为二次函数的最值，应注意1sin ≤x 的约束。
求三角函数值域及最值的常用方法（一）一次函数型或利用：=+=x b x a y cos sin )sin(22ϕ+⋅+x b a化为一个角的同名三角函数形式，利用三角函数的有界性或单调性求解； （2）2sin(3)512y x π=--+，x x y cos sin =（3）函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2π上的最小值为 1 ．（4）函数tan()2y x π=-(44x ππ-≤≤且0)x ≠的值域是 (,1][1,)-∞-⋃+∞（二）二次函数型利用二倍角公式，化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、 换元及图像法求解。
（2）函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于43．（3）.当20π<<x 时，函数x xx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为 4 ．（4）.已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是 1 ．（5）.若2αβπ+=，则cos 6sin y βα=-的最大值与最小值之和为____2____．（三）借助直线的斜率的关系，用数形结合求解型如dx c bx a x f ++=cos sin )(型。
此类型最值问题可考虑如下几种解法：①转化为c x b x a =+cos sin 再利用辅助角公式求其最值；②利用万能公式求解；③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。
例1：求函数sin cos 2xy x =-的值域。
解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。
作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2xy x =-得最值，由几何知识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为33-、33。
结合图形可知，此函数的值域是33[,]33-。
高中数学解题方法系列：三角函数最值问题的10种方法三角函数是重要的数学运算工具，三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高.解决三角函数最值这类问题的基本途径，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等），另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（二次函数等）最值问题.下面介绍几种常见的求三角函数最值的方法：一．转化一次函数在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法.例1．求函数2cos 1y x =-的值域[分析] 此为cos y a x b =+型的三角函数求最值问题， 设cos t x =，由三角函数的有界性得[1,1]t ∈-，则21[3,1]y t =-∈-二. 转化sin()y A x b ωϕ=++(辅助角法)观察三角函数名和角，先化简，使三角函数的名和角统一.例2．（2017年全国II 卷）求函数()2cos sin f x x x =+的最大值为.[分析] 此为sin cos y a x b x =+型的三角函数求最值问题，通过引入辅助角公式把三角函数化为sin()y A x B ωϕ=++的形式，再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用|sin cos |a x b x +≤求最值.()f x ≤三. 转化二次函数(配方法)若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，且它们次数是2时，一般就需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理.例3． 求函数3cos 3sin 2+--=x x y 的最小值.[分析]利用22sin cos 1x x +=将原函数转化为2cos 3cos 2+-=x x y ，令cos t x =，则,23,112+-=≤≤-t t y t 配方，得41232-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t y , ∴≤≤-,11t Θ当t=1时,即cosx=1时，0min =y四. 引入参数转化（换元法）对于表达式中同时含有sinx+cosx ，与sinxcosx 的函数，运用关系式(),cos sin 21cos sin 2x x x x ±=± 一般都可采用换元法转化为t 的二次函数去求最值，但必须要注意换元后新变量的取值范围.例4. 求函数sin cos sin .cos y x x x x =++的最大值.[分析]解：令().cos sin 21cos sin 2x x x x +=+，设sin cos .t x x =+则[]()t t y t t x x +-=∴-∈-=21,2,221cos sin 22，其中[]2,2-∈t 当.221,14sin ,2max +=∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y x t π 五. 利用基本不等式法利用基本不等式求函数的最值，要合理的拆添项，凑常数，同时要注意等号成立的条件，否则会陷入误区.例5. 已知()π,0∈x ，求函数1sin 2sin y x x =+的最小值. [分析] 此题为xa x sin sin +型三角函数求最值问题，当sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解.设()1sin ,01,2x t t y t t =<≤=+≥=2t =. 六．利用函数在区间内的单调性 例6.已知()π,0∈x ，求函数x x y sin 2sin +=的最小值. [分析] 此题为xa x sin sin +型三角函数求最值问题，当sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解. 设()t t y t t x 1,10,sin +=≤<=，在（0，1）上为减函数，当t=1时，3min =y .七．转化部分分式例7．求函数1cos 21cos 2-+=x x y 的值域[分析] 此为dx c b x a y -+=cos cos 型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角，这类三角函数一般先化为部分分式，再利用三角函数的有界性去解.或者也可先用反解法，再用三角函数的有界性去解. 解法一：原函数变形为1cos ,1cos 221≤-+=x x y Θ，可直接得到：3≥y 或.31≤y 解法一：原函数变形为()()∴≤-+∴≤-+=,1121,1cos ,121cos y y x y y x Θ3≥y 或.31≤y 八． 数形结合由于1cos sin 22=+x x ，所以从图形考虑，点(cosx,sinx)在单位圆上，这样对一类既含有正弦函数，又含有余弦函数的三角函数的最值问题可考虑用几何方法求得. 例8． 求函数()π<<--=x xx y 0cos 2sin 的最小值. [分析] 法一：将表达式改写成,cos 2sin 0x x y --=y 可看成连接两点A(2,0)与点(cosx,sinx)的直线的斜率.由于点(cosx,sinx)的轨迹是单位圆的上半圆（如图），所以求y 的最小值就是在这个半圆上求一点，使得相应的直线斜率最小.设过点A 的切线与半圆相切与点B,则.0<≤y k AB 可求得.3365tan -==πAB k 所以y 的最小值为33-（此时3π=x ）. 法二：该题也可利用关系式asinx+bcosx=()φ++x b a sin 22（即引入辅助角法）和有界性来求解.九． 判别式法例9．求函数22tan tan 1tan tan 1x x y x x -+=++的最值. [分析] 同一变量分子、分母最高次数齐次，常用判别式法和常数分离法.解：()()()()222tan tan 1tan tan 11tan 1tan 101,tan 0,x x y x x y x y x y y x x k k ππ-+=++∴-+++-=∴===∈1≠y 时此时一元二次方程总有实数解()()()().3310313,014122≤≤∴≤--∴≥--+=∆∴y y y y y 由y=3，tanx=-1，()3,4max =∈+=∴y z k k x ππ 由.31,4,1tan ,31min =+=∴==y k x x y ππ 十． 分类讨论法含参数的三角函数的值域问题，需要对参数进行讨论.例10.设()⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤--+-=20214sin cos 2πx a x a x x f ，用a 表示f(x)的最大值M(a). 解：().214sin sin 2+-+-=a x a x x f 令sinx=t,则,10≤≤t ()().21442214222+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-+-==a a a t a at t x f t g （1） 当12≥a ，即()t g a ,2≥在[0，1]上递增， ()();21431-==a g a M （2） 当,120≤≤a 即20≤≤a 时，()t g 在[0，1]上先增后减，();214422+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a g a M （3） 当,02≤a 即()t g a ,0≤在[0，1]上递减，()().4210a g a M -== ()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-≤≤+-≥-=∴0,42120,21442,21432a a a a a a a a M以上几种方法中又以配方法和辅助角法及利用三角函数的有界性解题最为常见.解决这类问题最关键的在于对三角函数的灵活应用及抓住题目关键和本质所在.挑战自我：1.求函数y=5sinx+cos2x 的最值2.已知函数()R x x x x y ∈+⋅+=1cos sin 23cos 212当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合.3.已知函数())cos (sin sin 2x x x x f +=，求函数f(x)的最小正周期和最大值.参考答案：1.[分 析] ：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一. ()48331612,,221sin 683316812,,22,1sin ,1sin 183345sin 21sin 5sin 2sin 21sin 5max min 222=+⨯-=∈+=∴=-=+⨯-=∈-=-=∴≤≤-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++-=-+=y z k k x x y z k k x x x x x x x x y ππππΘ 2.[分析] 此类问题为x c x x b x a y 22cos cos sin sin +⋅+=的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为x b x a y cos sin +=型求解.解： ().47,6,2262,4562sin 21452sin 232cos 2121452sin 432cos 41122sin 2322cos 121max =∈+=∴+=+∴+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+⋅++⋅=y z k k x k x x x x x x x x y ππππππ∴ f(x)的最小正周期为π，最大值为21+.3.[分析] 在本题的函数表达式中，既含有正弦函数，又有余弦函数，并且含有它们的二次式，故需设法通过降次化二次为一次式，再化为只含有正弦函数或余弦函数的表达式. 解：()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-=+=42212sin 2cos 1cos sin 2sin 22πx sn x x x x x x f。
