2019年高中数学北师大版必修五达标练习：第3章 §4-4.3 简单线性规划的应用 Word版含解析

,[学生用书单独成册])[A.基础达标]1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧（x －y ＋3）（x ＋y ）≥0，－32≤x ≤3表示的平面区域是( )A ．矩形B ．三角形C ．直角梯形D ．等腰梯形解析：选B.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧（x －y ＋3）（x ＋y ）≥0－32≤x ≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≥0－32≤x ≤3x ＋y ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≤0－32≤x ≤3x ＋y ≤0，那么利用不等式表示的区域可知，得到的区域为三角形，故选B.2．若x ，y ∈R ，且⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x ，则z ＝x ＋2y 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．5D ．9解析：选B.可行域如图阴影部分所示，则当直线x ＋2y －z ＝0经过点M (1，1)时，z ＝x ＋2y 取得最小值，为1＋2＝3.3．在△ABC 中，三个顶点分别为A (2，4)，B (－1，2)，C (1，0)，点P (x ，y )在△ABC 的内部及其边界上运动，则y －x 的取值范围为( )A ．[1，3]B ．[－3，1]C ．[－1，3]D ．[－3，－1]解析：选C.先画出三角形区域(如图)，然后转化为一个线性规划问题，求线性目标函数z ＝y －x 的取值范围．由图求出其取值范围是[－1，3]．4．直线2x ＋y ＝10与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个解析：选B.画出可行域如图阴影部分所示．(5，0)．则W ＝y －1x ＋1的取值范围是( )⎦⎥⎤－12，13⎭⎪⎫－12，1画出题中不等式组所表示的可行域如图所示，目标函数W ＝y －1x ＋1表示阴影部分的点与定点A (－1，1)的连线的斜率，由图可知点A (－1，1)与点(1，0)连线的斜率为最小值，最大值趋近于1，但永远达不到1，故－12≤W ＜1.6．如图中阴影部分的点满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0.在这些点中，使目标函数z ＝6x ＋8y 取得最大值的点的坐标是________．解析：首先作出直线6x ＋8y ＝0，然后平移直线，当直线经过平面区域内的点(0，5)时截距最大，此时z 最大．答案：(0，5)7．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x ≥1，y ≥0，x ＋2y －3≥0，则yx 的最大值为________．解析：画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x ≥1，y ≥0，x ＋2y －3≥0对应的平面区域Ω如图阴影部分所示， y x ＝y －0x －0表示平面区域Ω上的点P (x ，y )与原点的连线的斜率．A (1，2)，B (3，0)， 所以0≤y x≤2. 答案：28．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为________．解析：如图所示的阴影部分即为满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0的可行域，而直线ax －y ＋1＝0恒过点(0，1)，故可看成直线绕点(0，1)旋转．当a ＞－1时，可行域是一个封闭的三角形区域，由12×(a＋1)×1＝2得a ＝3.答案：39．如果由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，y ≤2－x ，t ≤x ≤t ＋1所确定的平面区域的面积为S ＝f (t )(0＜t ＜1)，试求f (t )的表达式．解：ABCEP (如图)，其面积S ＝f (t )＝S △OPD －S △AOB －S △ECD ，而S △OPD t )2所以S ＝f (t )＝1－12t 2－12(1－t )2＝－t 2＋t ＋12(0＜t＜1)4，(2)求z ＝y ＋5x ＋5的取值范围． 解：作出可行域如图所示．(1)作直线l ：2x ＋y ＝0，并平移此直线，当平移直线过可行域内的A 点时，z 取最小值；当平移直线过可行域内的B 点时，z 取得最大值．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －3y ＝－4，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53.解⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＝－4，3x ＋5y ＝30，得B (5，3)． 所以z max ＝2×5＋3＝13，z min ＝2×1＋53＝113.(2)z ＝y ＋5x ＋5＝y －（－5）x －（－5），可看作区域内的点(x ，y )与点D (－5，－5)连线的斜率，由图可知，k BD ≤z ≤k CD .因为k BD ＝3－（－5）5－（－5）＝45，k CD ＝275－（－5）1－（－5）＝2615，所以z ＝y ＋5x ＋5的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，2615.[B.能力提升]1．设O 为坐标原点，A (1，1)，若点B (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －2y ＋1≥0，1≤x ≤2，1≤y ≤2，则OA →·OB →取得最小值时，点B 的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．无数个解析：选B.如图，阴影部分为点B (x ，y )所在的区域． 因为OA →·OB →＝x ＋y ， 令z ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋z .由图可知，当点B 在C 点或D 点时，z 取最小值，故点B 的个数为2.2.如图所示的坐标平面的可行域内(包括边界)，若使目标函数z ＝ax ＋y (a ＞0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为( )A.14B.35 C ．4D.53解析：选B.由y ＝－ax ＋z 知当－a ＝k AC 时，最优解有无穷多个．因为k AC ＝－35，所以a ＝35.3．若目标函数z ＝x ＋y ＋1在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0x －y ＋2≤0y ≤n x ≥－3下取得最大值的最优解有无穷多个，则n的取值范围是________．解析：先根据⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －y ＋2≤0，x ≥－3，作出如图所示阴影部分的可行域，欲使目标函数z ＝x ＋y ＋1取得最大值的最优解有无穷多个，需使目标函数对应的直线平移时达到可行域的边界直线x ＋y －2＝0，且只有当n ＞2时，可行域才包含x ＋y －2＝0这条直线上的线段BC 或其他部分．答案：(2，＋∞)4．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，x ≤0.则z ＝3x ＋2y的最小值是________．解析：由不等式组得可行域是以A (0，0)，B (0，1)，C (－0.5，0.5)为顶点的三角形，易知当x ＝0，y ＝0时，z ′＝x ＋2y 取最小值0.所以z ＝3x ＋2y的最小值是1.答案：15．设m 为实数，若⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5≥03－x ≥0mx ＋y ≥0⊆{(x ，y )|x 2＋y 2≤25}，求m 的取值范围．解：由题意知，可行域应在圆内，如图阴影部分所示，如果－m ＞0，则可行域取到x ＜－5的点，不能在圆内，故－m ≤0，即m ≥0.当mx ＋y ＝0绕坐标原点旋转时，直线过B 点时为边界位置，此时－m ＝－43，所以m ＝43.所以0≤m ≤43.6．实系数一元二次方程x 2＋ax ＋2b ＝0有两个根，一个根在区间(0，1)内，另一个根在区间(1，2)内，求：(1)点(a ，b )对应的区域的面积； (2)b －2a －1的取值范围； (3)(a －1)2＋(b －2)2的值域．解：方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根在区间(0，1)和(1，2)上的几何意义分别是：函数y ＝f (x )＝x 2＋ax ＋2b 与x 轴的两个交点的横坐标分别在区间(0，1)和(1，2)内，由此可得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＞0，f （1）＜0，f （2）＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧b ＞0，a ＋2b ＋1＜0，a ＋b ＋2＞0.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a ＋b ＋2＝0，解得A (－3，1)； 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋2＝0，b ＝0，解得B (－2，0)；由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，b ＝0，解得C (－1，0)．所以在如图所示的坐标平面aOb 内，满足约束条件的点(a ，b )对应的平面区域为△ABC (不包括边界)．(1)△ABC 的面积为S △ABC ＝12×|BC |×h ＝12(h 为A 到Oa 轴的距离)．(2)b －2a －1的几何意义是点(a ，b )和点D (1，2)连线的斜率． k AD ＝2－11＋3＝14，k CD ＝2－01＋1＝1. 由图可知，k AD ＜b －2a －1＜k CD .所以14＜b －2a －1＜1，即b －2a －1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1. (3)因为(a －1)2＋(b －2)2表示区域内的点(a ，b )与定点(1，2)之间距离的平方，所以(a －1)2＋(b －2)2∈(8，17)．。

高中数学 3.4.3 简单线性规划的应用同步精练 北师大版必修5基础巩固1某人有一栋楼房，室内面积共计180 m 2，拟分割成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为18 m 2，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为15 m 2，可住游客3名，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1 000元，装修小房间每间需要600元．如果他只能筹款8 000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，才能获得最大效益？2有一批钢管，长度都是4 000 mm ，要截成500 mm 和600 mm 两种毛坯，且以这两种毛坯数量之比大于13配套，问怎样截最合理？3已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和300万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地．东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨．煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？4医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10 g 含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g 含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？5有一批同规格的钢条，每根钢条有两种切割方式，可截成长度为a 的钢条2根，长度为b 的钢条1根；或截成长度为a 的钢条1根，长度为b 的钢条3根．现长度为a 的钢条至少需要15根，长度为b 的钢条至少需27根，问：如何切割可使钢条用量最省？综合过关6制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别是100%和50%，可能的亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？7某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少180 t 支援物资的任务．该公司有8辆载重6 t 的A 型卡车与4辆载重为10 t 的B 型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车4次，B 型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A 型为320元，B 型为504元．请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？若只安排A 型或B 型卡车，所花的成本费分别是多少？能力提升8某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式有多少种？参考答案1分析：设大房间x 间，小房间y 间，然后列出x ，y 的关系式，写出目标函数，即可转化为求目标函数的最值问题．解：设隔出大房间x 间，小房间y 间，收益为z 元， 则x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧18x ＋15y ≤180，1 000x ＋600y ≤8 000，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋5y ≤60，5x ＋3y ≤40，x ≥0，y ≥0，z ＝200x ＋150y .作出可行域，如图所示的阴影部分．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋5y ＝60，5x ＋3y ＝40，得点M 的坐标为(207，607)．由于点B 的坐标不是整数，而最优解(x ，y )是整点，所以可行域内点M (207，607)不是最优解．经验证：经过可行域内的整点，且使z ＝200x ＋150y 取得最大值的整点是(0,12)和(3,8)，此时z max ＝1 800元，即应隔出小房间12间，或大房间3间、小房间8间，可以获得最大利润．2分析：先设出未知数，建立约束条件和目标函数后，再按求最优解是整数解的方法去求．解：设截500 mm 的x 根，600 mm 的y 根， 根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≤40，y <3x ，x >0，y >0，且x ，y ∈R ＋.作出可行域，如图中的阴影部分．目标函数为z ＝x ＋y ，作一组平行直线x ＋y ＝t ，经过可行域内的点且和原点距离最远的直线为过B (8,0)的直线，这时x ＋y ＝8.由x 、y 为正整数，知(0,8)不是最优解． 在可行域内找整点，使x ＋y ＝7.可知点(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)均为最优解．即每根钢管截500 mm 的2根，600 mm 的5根，或截500 mm 的3根，600 mm 的4根，或截500 mm 的4根，600 mm 的3根，或截500 mm 的5根，600 mm 的2根，或截500 mm 的6根，600 mm 的1根最合理．3解：设甲煤矿向东车站运x 万吨煤，乙煤矿向东车站运y 万吨煤，那么总运费z ＝x ＋1.5(200－x )＋0.8y ＋1.6(300－y )万元，即z ＝780－0.5x －0.8y .其中x 、y 应满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，200－x ≥0，300－y ≥0，x ＋y ≤280，200－x ＋300－y≤360.作出上面的不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示．设直线x ＋y ＝280与y 轴的交点为M ，则M (0,280)．把直线l ：0.5x ＋0.8y ＝0向上平移至经过平面区域上的点M (0,280)时，z 的值最小． ∵点M 的坐标为(0,280)，∴甲煤矿生产的煤全部运往西车站，乙煤矿向东车站运280万吨，向西车站运20万吨时，总运费最少．4分析：将已知数据列成下表：x ＋2y ；病人每餐至少需要35单位蛋白质，可表示为5x ＋7y ≥35；同理，对铁质的要求可以表示为10x ＋4y ≥40，这样，问题成为：在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ≥35，10x ＋4y ≥40，下，求目标函数z ＝3x ＋2y 的最小值.x ≥0，y ≥0解：设甲、乙两种原料分别用10x g 和10y g ，总费用为z ，那么 ⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ≥35，10x ＋4y ≥40，x ≥0，y ≥0；目标函数为z ＝3x ＋2y ， 作出可行域如图：把z ＝3x ＋2y 变形为y ＝－32x ＋z 2，得到斜率为－32，在y 轴上的截距为z2，随z 变化的一族平行线．由图可知，当直线y ＝－32x ＋z 2经过可行域上的点A 时，截距z2最小，即z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋4y ＝40，5x ＋7y ＝35，得A (145，3)．∴z min ＝3×145＋2×3＝14.4.∴甲种原料145×10＝28(g)，乙种原料3×10＝30(g)，费用最省．5分析：先设变元，然后找到变元满足的约束条件，建立目标函数，将实际问题转化为线性规划问题．解：设按第一种切割方式需钢条x 根，按第二种切割方式需钢条y 根，根据题意列出约束条件组．⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥15，x ＋3y ≥27，x >0，y >0.目标函数z ＝x ＋y ，求其最小值．画出不等式组表示的平面区域如图所示阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝15，x ＋3y ＝27，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3.6，y ＝7.8.此时z ＝11.4，但x ，y ，z 都应当为正整数． 而当z ＝12时，满足该约束条件的(x ，y )有两个：(4,8)或(3,9)，它们都是最优解．即满足条件的切割方式有两种，即按第一种方式切割钢条4根，按第二种方式切割8根；或按第一种方式切割3根，按第二种方式切割9根，可满足要求．6解：设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目，由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，0.3x ＋0.1y ≤1.8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝x ＋0.5y .上述不等式组所表示的平面区域如下图所示的阴影部分(含边界)即可行域．作直线l ：x ＋0.5y ＝0，并作出平行于直线l 的一组直线x ＋0.5y ＝z ，且与可行域相交，由图可知，当直线x ＋0.5y ＝z 过点M 时，z 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，0.3x ＋0.1y ＝1.8，得x ＝4，y ＝6，即M (4,6)，此时z ＝1×4＋0.5×6＝7(万元)． ∵7＞0，∴当x ＝4，y ＝6时，z 取得最大值，即投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．7解：设需A 型、B 型卡车分别为x 辆和y 辆，列表分析数据.由表可知，x 、y 满足的约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，24x ＋30y ≥180，0≤x ≤8，0≤y ≤4，且z ＝320x ＋504y .作出可行域，如图所示阴影部分．可知当直线z ＝320x ＋504y 过A (7.5,0)时，z 最小，但A (7.5,0)不是整点，继续向上平移直线z ＝320x ＋504y 可知，(5,2)是最优解．这时z min ＝320×5＋504×2＝2 608(元)， 即用5辆A 型车，2辆B 型车，成本费最低． 若只用A 型车，成本费为8×320＝2 560(元)． 只用B 型车，成本费为18030×504＝3 024(元)．8分析：适合不等式组的有序整数对(x ，y )的对数就是不同的选购方式的种数，也是直角坐标平面上相关区域(含边界)整数点的个数，分类讨论即可获解．解：设购买软件x 片，磁盘y 盒， 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧60x ＋70y ≤500，x ≥3，y ≥2，即⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋7y ≤50，x ≥3，y ≥2，∴3≤x ≤6. ∴x 可取3,4,5,6.当x 取3时，2≤y ＜327，此时y ＝2,3,4.当x 取4时，2≤y ＜267，此时y ＝2,3.当x 取5时，2≤y ＜207，此时y ＝2.当x 取6时，此时y ＝2.∴整点为(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)，则不同的选购方式有7种．。

第1课时 求线性目标函数的最值课时过关·能力提升1.若变量x ,y 满足约束条件{x +y ≤8,2y -x ≤4,x ≥0,y ≥0,且z =5y −x 的最大值为a,最小值为b,则a −b 的值是( )A.48B.30C.24D.16,如图所示.联立{x +y =8,2y -x =4,解得{x =4,y =4,即点A 坐标为(4,4).故z max =5×4-4=16,z min =0-8=-8,即a=16,b=-8,因此a-b=24.故选C . 2.若变量x ,y 满足约束条件{x +y ≥0,2x -y ≥0,x ≤4,则z =2x +y 取最大值时的最优解为( )A.(4,8)B.(4,-4)C.16D.4,如图中阴影部分所示,当直线y=-2x+z 经过点A (4,8)时,纵截距z 取得最大值16,因此z=2x+y 取最大值时的最优解为(4,8).答案:A3.若变量x ,y 满足{x +y -1≥0,x +3y -6≤0,x -y -2≥0,则z =x −2y 的最小值为( )A.1B .52 C.3 D.32,如图中阴影部分所示.当直线y =12x −12z 经过点A (3,1)时,在y 轴上的截距−12z 达到最大值,此时z 取得最小值1.4.设实数x ,y 满足不等式组{x +2y -5>0,2x +y -7>0,x ≥0,y ≥0,若x,y 为整数,则z =3x +4y 的最小值是( )A.14B.16C.17D.19{x +2y -5>0,2x +y -7>0,x ≥0,y ≥0表示的平面区域,如图中阴影部分所示.因为x ,y 为整数,所以z=3x+4y 在点A (4,1)处取到最小值16.5.设变量x ,y 满足|x|+|y|≤1,z=2x+y ,则z 的最大值和最小值分别为( ) A.1,-1 B.2,-2 C.1,-2D.2,-1≤1表示的平面区域如图阴影部分所示.当直线y=-2x+z 过点(1,0)时,z 最大;当直线y=-2x+z 过点(-1,0)时,z 最小,则z 的最大值为2,最小值为-2.6.设变量x ,y 满足约束条件{x -2≤0,x -2y ≤0,x +2y -8≤0,则目标函数z =3x +y 的最大值为( )A.7B.8C.9D.14,如图阴影所示.目标函数z=3x+y 可化为y=-3x+z ,平移目标函数线,当其过点A 时,z 取最大值.由{x =2,x +2y -8=0得{x =2,y =3.所以点A 的坐标为(2,3),z max =3×2+3=9.7.若实数x ,y 满足不等式组{x +y ≥2,2x -y ≤4,x -y ≥0,则z =2x +3y 的最小值是______________..当直线y=−23x +z 过点A (2,0)时,z=2x+3y 有最小值4.8.若实数x ,y 满足{y ≤2x ,y ≥-2x ,x ≤3,则目标函数z =x −2y 的最小值是______________.画出满足不等式组的可行域如图阴影部分所示,目标函数化为y =12x −z,当直线经过点A 时,-z 的值最大,z 的值最小,点A 坐标为(3,6),所以z 的最小值为3-2×6=-9.答案:-99.若x ,y 满足不等式组{x -y +1≥0,x +y +1≥0,x +2y -2≤0,x -2y -2≤0,则z =3x +y −7的最大值为______________..当直线y=-3x+z 0经过点A (2,0)时,直线在y 轴上的截距z 0最大,所以z 0=3x+y 有最大值6,故z=3x+y-7有最大值-1. 110.设z=2y-2x+4,式中x ,y 满足{0≤x ≤1,0≤y ≤2,2y -x ≥1,求z 的最大值和最小值.{0≤x ≤1,0≤y ≤2,2y -x ≥1的可行域,如图阴影部分所示,作直线l :2y-2x=z-4,当直线l 经过点A (0,2)时,z max =2×2-2×0+4=8;当直线l 经过点B (1,1)时,z min =2×1-2×1+4=4.★11.求z=5x-8y 的最大值,式中的x ,y 满足约束条件{x +y ≤6,5x +9y ≤45,x ≥0,y ≥0.{x +y ≤6,5x +9y ≤45,x ≥0,y ≥0的可行域,如图阴影部分所示.作直线l 0:5x-8y=0,平移直线l 0,由图可知,当直线平移到经过点A 时,z 取最大值.解方程组{x +y =6,y =0,得A (6,0),所以z max =5×6-8×0=30.★12.若实数x ,y 满足不等式组{2≤2x -y ≤4,x ≤3,y ≥-3,求下列目标函数的最大值,以及此时x,y 的值.(1)z=x-y ; (2)z=x+3y+1.,如图阴影部分所示.(1)当直线y=x-z 移动到经过点A (12,-3)时,直线在y 轴上的截距-z 最小,为−72,所以当x =12,y =−3时,z 取得最大值72. (2)当直线y=−13x +z -13移动到经过点B (3,4)时,直线在y 轴上的截距z -13最大,为5,所以当x=3,y=4时,z 取得最大值16.。

[学业水平训练]1．设x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥4，x －y ≥－1，x －2y ≤2，则z ＝x ＋y ( )A ．有最小值2，最大值3B ．有最小值2，无最大值C ．有最大值3，无最小值D ．既无最小值，也无最大值解析：选B.由图像可知z ＝x ＋y 在点A 处取最小值，即z m in ＝2，无最大值．2．设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，0≤y ≤15，则2x ＋3y 的最大值为( )A ．20B ．35C ．45D ．55解析：选D.作出可行域如图所示．令z ＝2x ＋3y ，则y ＝－23x ＋13z ，要使z 取得最大值，则需求直线y ＝－23x ＋13z 在y 轴上的截距的最大值，移动直线l 0：y ＝－23x ，可知当l 0过点C (5，15)时，z 取最大值，且z m ax＝2×5＋3×15＝55，于是2x ＋3y 的最大值为55.故选D.3．(2013·高考课标全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x ≤3，则z ＝2x －3y 的最小值是()A．－7 B．－6C．－5 D．－3解析：选B.作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z＝2x－3y过点C时，z取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x＝3，x－y＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x＝3，y＝4，∴z m in＝2×3－3×4＝－6，故选B.4．直线2x＋y＝10与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥0y≥0x－y≥－24x＋3y≤20，表示的平面区域的公共点有()A．0个B．1个C．2个D．无数个解析：选B.画出可行域如图阴影部分所示．∵直线过(5，0)点，故只有1个公共点(5，0)．5．已知实数x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧y≥1，y≤2x－1，x＋y≤m.如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m等于()A．7 B．5C．4 D．3解析：选B.画出x ，y 满足的可行域，可得直线y ＝2x －1与直线x ＋y ＝m 的交点使目标函数z ＝x －y 取得最小值，解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x ＋y ＝m得x ＝m ＋13，y ＝2m －13，代入x －y ＝－1，得m ＋13－2m －13＝－1，解得m ＝5.6．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，点O 为坐标原点，那么|PO |的最小值等于________，最大值等于________．解析：画出约束条件对应的可行域，如图阴影部分所示，∵|PO |表示可行域上的点到原点的距离，从而使|PO |取得最小值的最优解为点A (1，1)；使|PO |取得最大值的最优解为B (1，3)，∴|PO |m in ＝2，|PO |m ax ＝10.答案：2107．(2013·高考大纲全国卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4，则z ＝－x ＋y 的最小值为________．解析：由不等式组作出可行域，如图阴影部分所示(包括边界)，且A (1，1)，B (0，4)，C (0，43)．由数形结合知，直线y ＝x ＋z 过点A (1，1)时，z m in ＝－1＋1＝0.答案：08．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是________．解析：设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，则该企业可获得利润为z＝5x＋3y，且⎩⎨⎧x≥0，y≥0，3x＋y≤13，2x＋3y≤18，联立⎩⎪⎨⎪⎧3x＋y＝13，2x＋3y＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝3，y＝4.由图可知，最优解为P(3，4)．故z的最大值为z＝5×3＋3×4＝27(万元)．答案：27万元9．已知x，y满足条件⎩⎪⎨⎪⎧y≤x，x＋2y≤4，y≥－2，若r2＝(x＋1)2＋(y－1)2(r>0)，求r的最小值．解：作出不等式⎩⎨⎧y≤x，x＋2y≤4，y≥－2所表示的平面区域如图：依据上图和r的几何意义可知：r的最小值是定点P(－1，1)到直线y＝x的距离，即r m in＝|1＋1|2＝ 2.10．某工厂制造A种仪器45台，B种仪器55台，现需用薄钢板给每台仪器配一个外壳．已知钢板有甲、乙两种规格：甲种钢板每张面积2 m2，每张可作A种仪器外壳3个和B种仪器外壳5个．乙种钢板每张面积3 m2，每张可作A种仪器外壳6个和B种仪器外壳6个，问甲、乙两种钢板各用多少张才能用料最省？(“用料最省”是指所用钢板的总面积最小)解：设用甲种钢板x张，乙种钢板y张，依题意⎩⎪⎨⎪⎧x，y∈N，3x＋6y≥45，5x＋6y≥55，钢板总面积z＝2x＋3y.作出可行域如图所示中阴影部分的整点．由图可知当直线z＝2x＋3y过点P时，z最小．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x＋6y＝45，5x＋6y＝55得⎩⎪⎨⎪⎧x＝5，y＝5.所以甲、乙两种钢板各用5张用料最省．[高考水平训练]1．若实数x，y满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y≥0x－y≤42x－y－2≥0，则w＝y－1x＋1的取值范围是() A．[－1，13] B．[－12，13]C．[－12，2) D．[－12，＋∞)解析：选C.把w＝y－1x＋1理解为一动点P(x，y)与定点Q(－1，1)连线斜率的取值范围，可知当x＝1，y＝0时，w m in＝－12，且w＜2.2．若实数x、y满足⎩⎪⎨⎪⎧x－y＋1≥0，x＋y≥0，x≤0.则z＝3x＋2y的最小值是________．解析：由不等式组，得可行域是以A (0，0)，B (0，1)，C (－0.5，0.5)为顶点的三角形，易知当x ＝0，y ＝0时，z ′＝x ＋2y 取最小值0.∴z ＝3x ＋2y 的最小值为1.答案：1 3．某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐，已知1个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；1个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果1个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？解：法一：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，则依题意，得z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.作出可行域如图，则z 在可行域的四个顶点A (9，0)，B (4，3)，C (2，5)，D (0，8)处的值分别是z A ＝2.5×9＋4×0＝22.5， z B ＝2.5×4＋4×3＝22， z C ＝2.5×2＋4×5＝25， z D ＝2.5×0＋4×8＝32.比较之，z B 最小，因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．法二：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z 元，则依题意，得z＝2.5x＋4y，且x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≥0，12x＋8y≥64，6x＋6y≥42，6x＋10y≥54，即⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≥0，3x＋2y≥16，x＋y≥7，3x＋5y≥27.作出可行域如图，让目标函数表示的直线2.5x＋4y＝z在可行域上平移，由此可知z＝2.5x＋4y在B(4，3)处取得最小值．因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．4．已知实数x、y满足⎩⎪⎨⎪⎧x＋y－3≥0，x－y＋1≥0，x≤2，(1)若z＝2x＋y，求z的最大值和最小值；(2)若z＝x2＋y2，求z的最大值和最小值；(3)若z＝yx，求z的最大值和最小值．解：不等式组⎩⎨⎧x＋y－3≥0，x－y＋1≥0，x≤2表示的平面区域如图阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，∴A (1，2)； 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，∴M (2，3)； 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，∴B (2，1)． (1)∵z ＝2x ＋y ，∴y ＝－2x ＋z ，当直线y ＝－2x ＋z 经过可行域内点M (2，3)时，直线在y 轴上的截距最大，z 也最大，此时z m ax ＝2×2＋3＝7.当直线y ＝－2x ＋z 经过可行域内点A (1，2)时，直线在y 轴上的截距最小，z 也最小，此时z m in ＝2×1＋2＝4.∴z 的最大值为7，最小值为4.(2)过原点(0，0)作直线l 垂直于直线x ＋y －3＝0，垂足为N ，则直线l 的方程为y ＝x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y －3＝0，得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32，∴N ⎝⎛⎭⎫32，32. 点N ⎝⎛⎭⎫32，32在线段AB 上，也在可行域内．此时可行域内点M 到原点的距离最大，点N 到原点的距离最小．又|OM |＝13，|ON |＝92， 即92≤x 2＋y 2≤13，∴92≤x 2＋y 2≤13，∴z 的最大值为13，最小值为92.(3)∵k OA ＝2，k OB ＝12，∴12≤yx ≤2，∴z 的最大值为2，最小值为12.。

- 1 - 3.4 简单线性规划分层训练
1.点(1,1)在下面各不等式表示的哪个区域中
( )
A 2≤-y x
B 022>--y x
C 0≤y
D 2≥x
２.不在3x+2y<6表示的平面区域内的点是
( )
A. (0 , 0)
B. (1 , 1)
C. (0 , 2)
D. (2 , 0)
３.不等式x －2y+6>0表示的平面区域在直线x －2y+6=0的 ( )
A.右上方
B. 左上方
C. 右下方
D. 左下方
４．原点和点(1,1)在直线0=-+a y x 的同侧，则a 的取值范围是 （ ）
A 0<a 或2>a
B 0=a 或2=a
C 20<<a
D 20≤≤a
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５.已知直线l : x －y+a=0, 点P 1(1 , －2) , P 2(3 , 5)分别位于直线l 的两侧, 则a 的取值范围_____________ .
６.若B>0 时, 不等式Ax+By+C>0表示的区域是直线Ax+By+C=0的__________ , 若B<0时，
不等式Ax+By+C>0表示的区域是直线Ax+By+C=0的__________ ．（填＂上方＂或＂下方＂）．
７.画出下列不等式表示的平面区域
(1)y>2x －3 (2)y ≤－x+2 (3)3x －2y+6≥0 (4) x>y+1
拓展延伸
８.将下列各图中平面区域(阴影部分)用不等式表示出来.：
(1) (2)
(3)
本节学习疑点：
用心爱心专心- 2 -。

3.4.简单线性规划同步练习1．图中阴影部分表示的平面区域满足不等式( )A ．2x ＋y －2≥0B ．2x ＋y －2≤0C ．2x －y －2≥0D ．2x －y －2≤0解析：由截距式得直线方程为x 1＋y 2＝1， 即2x ＋y －2＝0，把(0,0)代入2x ＋y －2，得2×0＋0－2＜0，且(0,0)不在图中平面区域内，故不等式为2x ＋y －2≥0.答案：A2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，x ≤3，y ≥0表示的平面区域的面积为( )A ．7B ．8C ．9D ．10 解析：不等式组表示的平面区域如图，点A 的坐标为(3,6)，其平面区域是直角三角形，所以其面积为S ＝12×3×6＝9. 答案：C3．直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个 解析：直线2x ＋y －10＝0与不等式组表示的平面区域的位置关系如图所示，故直线与此区域的公共点有1个．答案：B4．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a 表示的平面区域是一个三角形，则正数a 的取值范围是( )A ．C ．∪[43，＋∞) 解析：画出前三个不等式表示的平面区域为图中△OAB ，当直线l ：x ＋y ＝a 在l 0与l 1之间(包括l 1)时不等式组表示的平面区域为三角形；当l 在l 2的位置或从l 2向右移动时，不等式组表示的平面区域是三角形，又l 在l 1，l 2的位置时，a 的值分别为1，43. 所以0＜a ≤1或a ≥43. 答案：D5．若点A (3,3)，B (2，－1)在直线x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是________． 解析：∵点A ，B 在直线两侧，∴(3＋3－a )(2－1－a )＜0.即(a －6)(a －1)＜0.解得1＜a ＜6.答案：(1,6)6．观察如图区域，它对应的不等式组是________．解析：由图可求三边对应的直线方程分别为x ＋y －3＝0；x －2y ＝0； x －y ＋1＝0，由图知不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋y －3≤0.答案：⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋y －3≤0.7．点P (a,4)在不等式3x ＋y －3＞0表示的平面区域内，且到直线x －2y ＋2＝0的距离等于25，求点P 的坐标．解：∵点P (a,4)在不等式3x ＋y －3＞0表示的区域内，∴3a ＋4－3＞0.∴a ＞－13. 又∵P (a,4)到x －2y ＋2＝0的距离等于25，∴|a －8＋2|5＝2 5.∴|a －6|＝10. ∴a ＝16或－4.又∵a ＞－13，∴a ＝16. ∴P (16,4)．8．已知D 是以点A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界及内部)．(1)写出表示区域D 的不等式组；(2)直线4x －3y －a ＝0与线段BC 有公共点，求a 的取值范围．解：(1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0,4x ＋y ＋10＝0.原点(0,0)在区域D 内，表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧ 7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)∵直线4x －3y －a ＝0与线段BC 有公共点．∴点B ，C 分别在直线4x －3y －a ＝0两侧或有一点在直线上．将B ，C 的坐标代入4x －3y －a ，得(14－a )(－18－a )≤0，得a 的取值范围是．1．设x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ≥4，x －y ≥－1，x －2y ≤2.则z ＝x ＋y ( )A ．有最小值2，最大值3B ．有最小值2，无最大值C ．有最大值3，无最小值D ．既无最大值，也无最小值 解析：如图所示，作出可行域，作直线l 0：x ＋y ＝0，平移l 0，当l 0平移至过点A (2,0)时，z 有最小值2，无最大值．答案：B2．设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ≥0，则x ＋2y 的最大值和最小值分别为 ( ) A ．1，－1B ．2，－2C ．1，－2D ．2，－1解析：画出可行域如图，分析图可知当直线z ＝x ＋2y 经过点A (0，1)，C (0，－1)时分别对应z 的最大值和最小值．答案：B3．已知点(x ，y )在如图所示平面区域内运动(包含边界)，目标函数z ＝kx －y 当且仅当x ＝23，y ＝45时，目标函数z 取最小值，则实数k 的取值范围是( )A ．(－125，－310) B ． C ．(－512，－103) D ． 解析：∵k BC ＝1－450－23＝－310，k AC ＝45－023－1＝－125， ∴－125＜k ＜－310. 答案：A4．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为12，则ab 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(0，32)C ．解析：作出可行域如图． ∵a >0，b >0.∴当ax ＋by ＝z 经过A 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6＝0，x －y ＋2＝0，得A (4,6)． ∴4a ＋6b ＝12,2a ＋3b ＝6∴ab ＝16×(2a )×(3b )≤16×(62)2＝32， 即ab ∈(0，32]． 答案：D5．如图，点(x ，y )在四边形ABCD 内部和边界上运动，那么2x－y 的最小值为________．解析：设目标函数为z ＝2x －y ，显然直线z ＝2x －y 经过点A (1,1)时z 最小，则2x －y 的最小值为1.答案：16．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋6≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，则实数a 的取值范围为________．解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，则z 在点A 处取得最大值，在点C 处取得最小值，又k BC ＝－1，k AB ＝1，∴－1≤a ≤1.答案：7．设z ＝x ＋2y －4，其中x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0.求z 的最大值和最小值．解：作出可行域(如图)，其中可行域的顶点为A (1,3)，B (3,1)，C (7,9)．将直线l 0：x ＋2y ＝0平移，当直线平移到B (3,1)处时，对应直线l 1的纵截距最小，此时z 也取得最小值；当直线平移到C (7,9)时，对应直线l 2的纵截距最大，此时z 也取得最大值．将B (3,1)代入目标函数z ＝x ＋2y －4，可得z min ＝1；将C (7,9)代入目标函数z ＝x ＋2y －4，可得z max ＝21.所以z 的最小值为1，最大值为21.8．设x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3.(1)求u ＝x 2＋y 2的最大值与最小值；(2)求v ＝y x －5的最大值与最小值． 解：画出可行域，如图阴影部分所示．(1)x 2＋y 2＝u 表示可行域内点P (x ，y )到原点O 距离的平方，由图可知，当P 与C 重合时，u 最大，当P 与O 重合时，u 最小，又C 点坐标为(3,8)，所以u max ＝73，u min ＝0.(2)v ＝y x －5表示可行域内的点(x ，y )与定点D (5,0)连线的斜率，由图可知，k BD 最大，k CD 最小，又C (3,8)，B (3，－3)，所以v max ＝－33－5＝32，v min ＝83－5＝－4.。

§4 简单线性规划（数学北京师大版必修5）一、选择题（每小题5分，共20分）1.已知点与点A（1，2）在直线l:3x+2y-8=0的两侧，则（）A.＞B.＜C.＞D.＜2.已知点P（x，y）在不等式组20,10,220xyx y-≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域上运动，则z=x-y的取值范围是（）A.［-2，-1］B.［-2，1］C.［-1，2］D.［1，2］3.设x，y满足约束条件360,20,0,0,x yx yxy--≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的最大值为12，则2a+3b的最小值为（）A.256B.83C.113D.44.若x，y满足约束条件1，122，，取值范围是( )A.(-1，2)B.(-4，2)C.(-4，0］D.(-2，4)二、填空题(每小题5分，共20分)5．不等式组0,0,4312,xyx y>⎧⎪>⎨⎪+<⎩表示的平面区域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）共有个.6．若x、y均为整数，且满足约束条件20,20,0,x yx yy+-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则z=2x+y的最大值为，最小值为.7.在平面直角坐标系中，不等式组20，20，2表示的平面区域的面积是 .8.如果点P在平面区域1，2，上，点M的坐标为(3，0)，那么|PM|的最小值是 .9．（12分）画出不等式组，，所表示的平面区域.10.（12分）试用不等式组表示由直线，，围成的三角形区域（包括边界）.11.（12分）医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐.甲种原料每10 g含5单位蛋白质和10白质和4单位铁质，售价2元.若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质.试问：应如何使用甲、乙两种原料，才能既满足营养，又使费用最省？12．(12分)某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3、五合板2 m2；生产每个书橱需要方木料0.2 m3、五合板1 m2.出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元.（1）如果只安排生产书桌，最多可获利润多少？（2）如果只安排生产书橱，最多可获利润多少？（3）怎样安排生产可使所得利润最大？13.（12分）变量x，y满足430，352501，，（1）设，求的最小值；§4 简单线性规划（数学北京师大版必修5）答题纸得分：一、选择题二、填空题5． 6． 7． 8．三、解答题9.10.11.12.13.§4 简单线性规划（数学北京师大版必修5）参考答案一、选择题1.C 解析：∵3028348＜0，∴328＞0.2.C解析：作出可行域，如图，因为目标函数z=x-y中y的系数-1＜0，而直线y=x-z表示斜率为1的一族直线，所以当它过点（2，0）时，在y轴上的截距最小，此时z取最大值2；当它过点（0，1）时，在y轴上的截距最大，此时z取最小值-1，所以z=x-y的取值范围是［-1，2］，选C.3.A解析：不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大值12，即4a+6b=12，亦即2a+3b=6，而2a+3b=（2a+3b）·236a b=136+ba+ab≥13 6+2=256，故选A.4.B解析：如图所示，可行域为△ABC.当a=0时，显然成立.当a＞0时，直线ax+2y-z=0的斜率k a2＞kA C1，∴a＜2.当a＜0时，k a2＜kA B2，∴a＞-4.综上可得,4＜a＜2.二、填空题5.3解析：（1，1），（1，2），（2，1），共3个.6. 4-4解析：作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示，可知在可行域内的整点有（-2，0）、（-1，0）、（0，0）、（1，0）、（2，0）、（-1，1）、（0，1）、（1，1）、（0，2），分别代入z=2x+y可知当x=2，y=0时，z 最大为4；当x=-2，y=0时，z最小为-4.7.4 解析：作出不等式组表示的平面区域如图所示.则由 2 0， 2， 解得A (2，0)，由 2 0， 2， 解得B (2，4)，∴ S 124 2 4.8.3 22解析：点P 所在的可行域如图中阴影部分所示，点M 到点A (1，1)，B (2，2)的距离分别为 5， 5，又点M (3，0)到直线x -y =0的距离为 3 22，故|PM |的最小值为 322.三、解答题9.解：先画出直线 ，由于含有等号，所以画成实线.取直线 左下方区域的点（0，0），由于2×0+0-4＜0，所以不等式 表示直线 及其左下方的区域.同理，对另外两个不等式选取合适的测试点，可得不等式 ＞ 表示直线 右下方的区域，不等式 表示x 轴及其上方的区域.取三个区域的重叠部分，就是上述不等式组所表示的平面区域，如图所示.10．解：画出三条直线，并用阴影表示三角形区域，如图，取原点（0，0），将 ， 代入 得2＞0，代入 得1＞0，代入 得1＞0.结合图形可知，三角形区域用不等式组可表示为20,210,210.x y x y x y ++≥⎧⎪++≤⎨⎪++≤⎩11.解：设甲、乙两种原料分别用 g 和 g ，总费用为z ，则5735,10440,0,0,x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩目标函数为 ，作出可行域如图阴影所示.把z =3x+2y 变形为y =-32x+2z ，得到斜率为-32.在y 轴上的截距为2z，随z 变化的一族平行直线. 由图可知，当直线y =-32x+2z 经过可行域上的点A 时，截距2z由10440,5735,x y x y +=⎧⎨+=⎩得A 145， ，∴ z min =3×145+2×3=14.4. ∴ 选用甲种原料145×10=28（g ），乙种原料3×10=30（g ）时，费用最省.12.解：（1）设只生产书桌x 张，可获得利润z 元.则0.190,900,3002600300x x x x x ≤≤⎧⎧⇒⇒≤⎨⎨≤≤⎩⎩， ，∴ 当 时， （元）.即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润 24 000元.（2）设只生产书橱 张，可获得利润z 元. 则0.290,450,450600600y y y y y ≤≤⎧⎧⇒⇒≤⎨⎨≤≤⎩⎩，z ，∴ 当 时，z max =120×450=54 000（元）.即如果只安排生产书橱，最多可生产450个，获得利润54 000元. （3）设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元. 则 ， ， ，， ，， . 作出可行域如图阴影所示.由图可知，当直线经过可行域上的点M 时，截距120z最大，即z 最大，解方程组2900,2600,x y x y +=⎧⎨+=⎩得M 点的坐标为（100，400）. ∴ z max （元）.因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大，最大利润为56 000元.13.解：由约束条件4 3 0，35 25 0，1，作出(x ，y )的可行域如图阴影所示. 由 1， 3 5 25 0，得A (1， 225).由 1， 4 3 0，得C (1，1).由4 3 0， 35 25 0，得B (5，2).(1)∵ z0 0，∴ z 的值即是可行域中的点与坐标原点O 连线的斜率，由图形可知min=kO B 25 .(2)x2y2的几何意义是可行域上的点到坐标原点O的距离的平方，结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min=|OC|2，d max=|OB|29，∴229.。