板材优化下料的数学模型的研究

数学建模〔一〕、装箱设计问题〔二〕、板材玻璃下料问题组员：日期：板材玻璃下料问题摘要该问题属于优化问题中的排样问题。

排样下料问题在很多工业领域中都有广泛的应用，解决好排样问题，可以提高材料的利用率。

本文解决的是玻璃板材的最优化下料策略，不同的下料策略形成不同的线性规划模型。

在充分理解题意的基础上，以使用原材料张数最少、材料利用率最高为目标，采用逐级优化的方法，进行下料方案的筛选。

在第一题中，对每块原材料进行两个层次的切割。

首先按照零件需求量选用由大面积到小面积下料的两个方向排料优选的下料策略，成品料的长在原材料的长和宽两个方向上分别排列，求出最优解；其次采用由大面积到小面积下料中成品料的长和宽在原材料的长、宽两个方向套裁排料优选，而对每次切割的余料按同种方法再进行一次切割。

算出所需原材料的块数和利用率，求出最正确下料方案。

按照原材料的利用率，筛选出最正确的下料方案为按照零件需求量，进行几种零件的配套优选下料方案，所选方案是原材料的长对成品的宽，所求需要原材料的块数为579，利用率为95.03%。

第二题的求解以第一题相似，当有两种规格的原材料时，在第一题的基础上，通过控制第一种规格原材料的基础上，来选取两种材料的最正确组合。

求得需要规格为2100cm×1650cm的原材料447块，需要规格为2000cm×1500cm的原材料146块，共计593块，利用率为%。

此模型可以推广到更多板材排样下料领域的应用，通过逐级优化和组合原理，确定各种切割方式，然后再进行优化问题的求解。

关键词：优化排样板材下料最优化一·问题重述在大型建筑工程中，需要大量使用玻璃材料，如门窗等。

在作材料预算时，需要求出原材料的张数。

已知板材玻璃原材料和下料后的成品料均为矩形。

由于玻璃材料特点，切割玻璃时，刀具只能走直线，且中间不能拐弯或停顿，即每切一刀均将玻璃板一分为二。

切割次序和方法的不同、各种规格搭配〔即下料策略〕不同，材料的消耗将不同。

板材成本控制问题摘要排样下料问题在很多工业领域中都有广泛应用，解决好排样问题，可以提高材料的利用率，板材下料成本控制问题是经典的优化问题，本文解决的是在板材面积和长宽比以及用材面积给定的情况下，根据不同的用材规格要求，确定最大的用材数y与l的关系。

在充分理解题意的基础上，本文通过建立非线性规划模型，利用LINGO软件求解，选出最优下料方案。

问题一中有一种下料方案，建立非线性规划模型并利用LINGO软件求解得出，当l=1、n=25时，最大用材数y=25问题二中有三种下料方案，第一种方案将圆形看做正方形排样，最优结果同问题一；第二种方案用材在板材上横向排样，排样会出现三种情况；第三种方案用材在板材上纵向排样，同样会出现三种情况；每种情况都可以建立非线性规划模型确定最大用材数y与l的关系，再利用LINGGO软件求解。

问题三中因为矩形用材长宽比为2:1比较特殊，两块矩形用材拼一块儿课形成正方形，所以只有两种下料方案，第一种方案用材在板材上纵向排样，此种排样结果会有两种情况；第二种方案用材在板材上纵向排样，此种排样结果同样会有两种情况。

每种情况都可以建立非线性规划模型确定最大用材数y与l的关系，再利用LINGGO软件求解。

问题四排样方案同问题三，问题四中矩形用材的长宽比在1到2之间最优排样方案会比问题三多，由于求解过程繁琐只对问题三中的两种方案加以求解。

关键词：非线性规划分向排样奇偶排列图表分析目录一．问题重述 (2)二．符号说明 (2)三．问题分析 (2)问题一问题二问题三问题四四．模型假设 (8)五．模型建立与求解 (8)六．模型评价 (21)参考文献 (21)一．问题重述板材下料成本控制问题是经典的优化问题。

考虑一块面积为A，长宽比为l的板材。

现在需要切割成面积为B的用材。

16/25≤=≤，不妨假设n为整数。

请根据下列n A B需求，建立实际问题的数学建模，确定最大的用材数y与l的关系。

问题一：用材为正方形，12≤≤，确定最大的用材数y与l的关系。

复杂下料问题的优化模型及求解方法研究xx年xx月xx日CATALOGUE目录•引言•复杂下料问题的数学模型•优化求解方法•实验与验证•结论与展望•参考文献01引言随着制造业的快速发展，下料问题已成为制约企业生产效率提高的关键因素之一。

在生产实践中，由于材料种类繁多、尺寸差异大、切割方式各异等因素，导致下料问题变得异常复杂和困难。

因此，研究复杂下料问题的优化模型及求解方法具有重要的现实意义。

意义阐述通过对复杂下料问题的深入研究，可以为企业提供更加精准的下料方案，提高原材料的利用率和生产效率，降低生产成本，同时也有助于推动制造业的数字化、智能化发展。

背景介绍研究背景与意义VS研究现状与问题现状概述目前，国内外学者已对下料问题进行了广泛的研究，提出了许多不同的优化模型和求解方法。

然而，在实际应用中，这些方法往往难以取得理想的效果，特别是在处理复杂下料问题时，存在着求解速度慢、求解精度低、鲁棒性差等问题。

存在的问题现有的优化模型和求解方法在下料问题中的主要问题包括：1)模型建立不够精确，导致求解结果与实际生产需求存在较大偏差；2)求解算法效率低下，无法在短时间内得出优化结果；3)对于复杂下料问题的处理能力不足，难以满足实际生产中的多样化需求。

本研究旨在解决复杂下料问题的优化模型及求解方法，主要研究内容包括：1)建立精确的数学模型，以提高模型的预测能力和鲁棒性；2)设计高效的求解算法，以提高求解速度和精度；3)结合实际生产需求，对模型和算法进行实验验证和性能评估。

本研究将采用理论分析和实验验证相结合的方法，具体包括：1)对复杂下料问题进行数学建模，建立相应的优化模型；2)设计相应的求解算法，包括遗传算法、模拟退火算法、蚁群算法等；3)通过实验验证和性能评估，对模型和算法进行优化和改进。

研究内容研究方法研究内容与方法02复杂下料问题的数学模型复杂下料问题是在满足一系列限制条件下，从给定的物料清单中选择最优的切割方案，以达到成本最低、材料浪费最少的目标。

板材优化下料方案研究下料问题(Cutting Stock Problem)是一个应用范围很广的热门研究问题，它的特殊情况是装箱问题。

人造板材下料方案影响着产品生产成本、报价和和材料采购。

特别对于同规格、大批量的产品来说，企业总要花大量人力核算下料方案，微小的调整就有可能节约可观的原材料费用。

无论是人工经验排料，还是计算机辅助排料都难以达到一个最优的程度，小批量生产中需要多种规格家具混合计算，加之下料存在的主要问题是计算时间和空间呈指数增长，并且假定供排料的矩形件总数是无限的，这使市场上现有行业软件也黯然失色。

如何结合板式家具的结构和加工工艺，通过计算机辅助得到更优解呢？本文针对这个展开论述。

1 板式家具的结构分析下料中难度最大的为实心压板部件和覆面空心结构板等异形部件，对于骨料、尺寸过小的部件在下料时往往要经过尺寸上的合并处理。

下面按实际生产中各种因素进一步细分，讨论家具结构对下料方案的影响。

1.1 板材分类排料方案所需数据是根据板材的规格分批处理的，不能将不同材料的零件放在一起排序，每个零件必须标明所用材料规格。

排料前首先要对不同品种、不同规格的板材进行分类，然后按各个不同类别单独计算用量。

中密度纤维板常用作骨架材料，由于其没有方向性，细小板条都可以用来做骨架，故中纤板的利用率极高。

有纹理的胶合板和二次加工板价格较贵，用于外表显著的部位，其利用率相对较低，这是板材下料中需要重点解决的问题。

对于没有纹理的加工板，常用于隐蔽的零部件。

由于大多二次加工板表面有光滑的保丽纸或者华丽纸，其在厚度方面上是不能用来压板的，一般情况下，用作骨架的中纤板允许存在一定偏差，饰面板和普夹板则视其加工工艺而定。

1.2 纹理定向指有纹理的板材在排料时需要考虑零件的方向性，分为定向和非定向两种。

定向要求纹理与零件某一长度方向一致。

一般情况下，家具高度方向上为顺纹理，具体到各个部件也不尽相同。

如大班台的侧板高度方向为顺纹理；抽屉面板同样如此，但对于抽屉面板本身来说，自身长度方向是与顺纹理方向垂直的；抽屉底板在深度方向纹理要与面板纹理相呼应。

B 题 钢管下料问题摘要应客户要求，某钢厂用两类同规格但不同长度的钢管切割出四种不同长度的成品钢管。

故该原料下料问题为典型的优化模型。

钢厂在切割钢管时，又要求每种钢管的切割模式都不能超过5种，故我们先分别列出两种原料钢管出现频率较高的切割模式，每一问都需要针对不同钢管节约要求分别求出5种切割模式的最佳组合。

第一问要求余料最少，在切割模式的选择方面，我们尽量要求余料为零，并在此基础上要求切割得成品钢管除满足客户要求外，多余客户要求的钢管数也要尽可能的少，运用Lingo 软件求出余料最少时，需要65根A 类钢管采用4种切割模式切割，需要40根B 类钢管采用2种切割模式切割，总余料为20米。

第二问要求总根数最少，故我们只要求总根数最少，在这里我们分了两种情况：有余料时，需A 类钢管65根，采用5种切割模式，需B 类钢管38根，采用4种切割模式，余料各为2米；无余料时，需A 类钢管75根，采用3种切割模式，需B 类钢管39根，采用4种切割模式。

第三问我们运用Lingo 软件求出较优解为当m=0.4时最大收益h=a-159，具体切割模式见模型求解部分。

为了找到替代比例与最大收益的关系，我们分别给m 赋值为0、10%、20%、30%、40%时，用Lingo 解得各自的最大收益，并用四次拟合的方法大致算出了最大收益z 和替代比例m 的关系，为4322083.31416.7279.1715.833160h a m m m m =+-+--（a 为总售出额）。

第四问就是将钢厂下料问题一般化，将本文中模型进行推广，得出了可普遍应用的一般化模型。

关键词：优化模型、整数规划模型、线性规划模型、非线性规划模型、Lingo 、四次拟合问题重述某钢厂主要生产两种结构用无缝钢管，两类钢管除长度不同外规格无差别，A 类型钢管长度为19米，B 类型钢管长度为29米。

假设某单位要订购该钢厂的一批钢管，要求钢厂将原料钢管按照客户订单的要求进行切割成不同长度，具体如下：钢厂在切割钢管时，要求每种钢管的切割模式都不能超过5种，建立数学模型解决下列问题： （1）在满足订单要求的前提下，如何切割才能使余料最省；（2）在满足订单要求的前提下，如何切割才能使耗费原料钢管的数量最少；（3）如果B 类钢管的单价是A 类钢管的2.5倍，又目前钢厂B 类钢管产量不足，如果客户要求将B 类钢管中的5米、7米和8米三种长度的订货量必须全部满足，而B 类中3米的订货量中可以有不超过40%的部分用A 类代替，又该如何切割，才能使钢厂的收益最大，并给出替代比例与最大收益之间的关系。

板材优化下料方案研究随着制造业的发展和生产成本的不断上升，对板材的合理利用成为求职的热点之一、由于板材的价格和质量直接影响到企业的利润和竞争力，因此研究板材优化下料方案具有重要意义。

本文将从板材的下料原则、下料方法和下料系统等方面对板材优化下料方案进行研究。

首先，板材的下料原则是合理利用板材的面积，减少浪费。

为了达到这个目标，要先了解板材的类型、规格和特性，然后根据产品的尺寸及数量，选择合适的下料方案。

常见的下料原则有最小套料原则、最小余料原则、最大利用率原则等。

其中，最小套料原则是指在保证产品尺寸和数量的前提下，尽量减小板材的面积；最小余料原则是指在保证产品尺寸和数量的前提下，尽量减少板材的浪费；最大利用率原则是指在保证产品尺寸和数量的前提下，尽量提高板材的利用率。

其次，板材的下料方法是实现下料原则的关键。

常见的下料方法有手工下料、数控下料和优化下料。

手工下料是传统的下料方法，由操作工根据图纸和经验进行下料；数控下料是利用数控设备根据图纸和参数进行下料，可以提高下料的精度和效率；优化下料是通过计算机软件进行下料方案的优化，可以实现自动化和智能化。

其中，手工下料适用于小批量生产和特殊形状的下料；数控下料适用于大批量生产和精密尺寸的下料；优化下料适用于中小批量生产，可以综合考虑产品尺寸、板材规格和下料效果等因素，实现最佳下料方案。

最后，下料系统是实现优化下料方案的支撑技术。

下料系统是指利用计算机软件对板材进行自动下料的系统，可以实现下料方案的优化和生产计划的调度。

下料系统主要包括板材库存管理、下料方案生成、下料方案评价和下料方案调整等功能。

其中，板材库存管理是指对板材的规格、数量和位置进行管理，通过对库存的分析和预测，实现下料方案的合理安排；下料方案生成是指根据产品的尺寸和数量，以及板材的规格和利用率等要求，生成符合要求的下料方案；下料方案评价是指对下料方案进行评价和分析，比较不同方案的优劣，提供合理的决策依据；下料方案调整是指根据实际生产情况，对下料方案进行调整和优化，及时地满足生产需求。

板材下料问题 Prepared on 22 November 2020板材玻璃的下料问题摘要“下料问题（cutting stock problem）”就是指在给定板材宽度和长度的情况下，如何将具有一定种类和数量的矩形件排放到板材上，使所需的板材数量最少的问题，该问题广泛存在于工业生产中。

本文运用优化理论，建立了矩形件优化排样数学模型，并提出了基于启发式算法的一刀切约束条件下二维板材下料算法。

关键词下料二维下料问题优化启发式算法矩形件排样一刀切一、问题的重述在大型建筑工程中，需要大量使用玻璃材料，如门窗等。

在作材料预算时，需要求出原材料的张数。

已知板材玻璃原材料和下料后的成品均为矩形。

由于玻璃材料的特点，切割玻璃时，刀具只能走直线，且中间不能拐弯或者停顿，即每切一刀均将玻璃板一分为二。

切割次序和方法的不同、各种规格搭配（即下料策略）不同，材料的消耗将不同。

工程实际需要解决如下问题，在给定一组材料规格尺寸后：（1）在原材料只有一种规格的情况下（例如长为2100cm，宽为1650㎝），给出最优下料策略，此时所需要材料张数最小。

（2）在原材料为两种规格的情况下（例如2100cm*1650cm和2000cm×1500cm），给出最优下料策略，使所需材料的张数最小，且利用率（实际使用总面积与原材料总面积之比）尽量高。

（3）下表是一些成品料及所需块数（长×宽×块数）分别以一种原材料2100cm×1650cm及两种原材料规格2100cm×1650cm,2000cm×1500cm为例，分别给出（1）和（2）的算法及数字结果，并给出两种情况下的利用率。

二、问题的分析本问题属于二维下料问题，该问题已被证明为是NP完全问题。

由于任何NP完全问题都不能用任何已知的多项式算法求解，所以我们建立一个排样的算法模型。

由题目要求该算法首先要满足生产工艺，即要满足“一刀切”，即从板材的一端，沿直线方向切割到另一端。

一类优化下料数学模型存在的问题及对策优化下料是传统制造行业最为实用的算法之一，随着技术的进步，已被广泛地应用到工厂中，在其中，一类优化下料数学模型（CO-Packing）特别被广泛采用，其目的在于最小化原材料的废弃，减少产品成本，并且能够满足客户的要求。

然而，目前一类优化下料数学模型也存在着许多问题，损害了其在行业的应用。

首先，由于一类优化下料数学模型的求解过程极其耗费时间，无法在实际生产过程中得到及时的解决，从而导致产品的滞后性问题，给企业造成不良的影响。

其次，一类优化下料数学模型不具备良好的扩展性，不能有效解决更复杂的问题，也限制了其应用范围。

最后，由于一类优化下料数学模型不能实时响应产品的变化，在实际应用时，容易出现产品设计缺陷带来的质量问题，无法满足客户的需求。

针对上述存在的问题，应采取一系列对策，以最大化CO-Packing 模型的运用。

首先，采用智能计算技术，消除一类优化下料数学模型的求解耗费的时间，使其能够更快的响应生产需求，提高产品质量。

其次，采用可扩展的算法，可以有效求解复杂问题，增加CO-Packing 模型的应用范围。

最后，通过实时监测数据，快速调整CO-Packing模型，实现系统的最优化，提高产品的质量，满足客户的要求。

综上，一类优化下料数学模型CO-Packing是一类非常重要的技术，用于简化任务的复杂度，为企业带来更多的利润。

然而，它也存在许多问题，需要采取一系列的对策以解决。

可以采用智能计算技术以及可扩展的算法，通过实时数据监测调整CO-Packing模型，使其能够更加及时、有效地响应生产需求，达到最佳结果。

只有实施这些措施，才能充分发挥一类优化下料数学模型CO-Packing的优势，使其在企业中得到更广泛的应用。