优化问题的数学模型
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数学建模第二讲简单的优化模型
数学建模第二讲简单的优化模型数学建模是利用数学方法对实际问题进行建模、分析和求解的过程。
在实际问题中，常常需要针对一些指标进行优化，以达到最优的效果。
本讲将介绍一些简单的优化模型。
一、线性规划模型线性规划是一种重要的数学优化方法，广泛应用于工程、经济、管理等领域。
其数学模型可以表示为：\begin{aligned}&\text{max} \quad c^Tx \\&\text{s.t.} \quad Ax \leq b, \quad x \geq 0\end{aligned}\]其中，$x$为决策变量，$c$为目标函数系数，$A$为约束条件系数矩阵，$b$为约束条件右端向量。
线性规划模型指的是目标函数和约束条件都是线性的情况。
通过线性规划模型，可以求解出使得目标函数取得最大（或最小）值时的决策变量取值。
二、非线性规划模型非线性规划模型指的是目标函数或约束条件中存在非线性部分的情况。
非线性规划模型相对于线性规划模型更为复杂，但在实际问题中更为常见。
对于非线性规划问题，通常采用数值优化方法进行求解，如梯度下降法、牛顿法等。
这些方法通过迭代的方式逐步靠近最优解。
三、整数规划模型整数规划模型是指决策变量必须为整数的规划模型。
整数规划在实际问题中应用广泛，如物流配送问题、工程调度问题等。
整数规划模型通常难以求解，因为整数规划问题是一个NP难问题。
针对整数规划问题，常用的求解方法有枚举法、分支定界法、遗传算法等。
四、动态规划模型动态规划模型是指将问题划分为子问题，并通过求解子问题最优解来求解原问题最优解的方法。
动态规划通常用于求解具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
动态规划模型具有递推性质，通过递归或迭代的方式求解子问题的最优解，并保存中间结果，以提高求解效率。
五、模拟退火模型模拟退火是一种用来求解组合优化问题的随机优化算法。
模拟退火算法基于固体退火过程的模拟，通过温度的控制和随机跳出来避免陷入局部最优解。
多目标最优化数学模型
第六章 最优化数学模型§1 最优化问题1．1 最优化问题概念 1．2 最优化问题分类1．3 最优化问题数学模型 §2 经典最优化方法 2．1 无约束条件极值 2．2 等式约束条件极值 2．3 不等式约束条件极值 §3 线性规划 3．1 线性规划 3．2 整数规划§4 最优化问题数值算法 4．1 直接搜索法 4．2 梯度法 4．3 罚函数法§5 多目标优化问题 5．1 多目标优化问题 5．2 单目标化解法 5．3 多重优化解法 5．4 目标关联函数解法 5．5 投资收益风险问题第六章 最优化问题数学模型 §1 最优化问题1．1 最优化问题概念 （1）最优化问题在工业、农业、交通运输、商业、国防、建筑、通信、政府机关等各部门各领域的实际工作中，我们经常会遇到求函数的极值或最大值最小值问题，这一类问题我们称之为最优化问题。
而求解最优化问题的数学方法被称为最优化方法。
它主要解决最优生产计划、最优分配、最佳设计、最优决策、最优管理等求函数最大值最小值问题。
最优化问题的目的有两个：①求出满足一定条件下，函数的极值或最大值最小值；②求出取得极值时变量的取值。
最优化问题所涉及的内容种类繁多，有的十分复杂，但是它们都有共同的关键因素：变量，约束条件和目标函数。
（2）变量变量是指最优化问题中所涉及的与约束条件和目标函数有关的待确定的量。
一般来说，它们都有一些限制条件（约束条件），与目标函数紧密关联。
设问题中涉及的变量为n x x x ,,,21 ；我们常常也用),,,(21n x x x X 表示。
（3）约束条件在最优化问题中，求目标函数的极值时，变量必须满足的限制称为约束条件。
例如，许多实际问题变量要求必须非负，这是一种限制；在研究电路优化设计问题时，变量必须服从电路基本定律，这也是一种限制等等。
在研究问题时，这些限制我们必须用数学表达式准确地描述它们。
最优化问题的建模与解法
最优化问题的建模与解法最优化问题（optimization problem）是指在一组可能的解中寻找最优解的问题。
最优化问题在实际生活中有广泛的应用，例如在工程、经济学、物流等领域中，我们经常需要通过数学模型来描述问题，并利用优化算法来求解最优解。
本文将介绍最优化问题的建模和解法，并通过几个实例来说明具体的应用。
一、最优化问题的数学建模最优化问题的数学建模包括目标函数的定义、约束条件的确定以及变量范围的设定。
1. 目标函数的定义目标函数是一个表达式，用来衡量问题的解的优劣。
例如，对于一个最大化问题，我们可以定义目标函数为：max f(x)其中，f(x)是一个关于变量x的函数，表示问题的解与x的关系。
类似地，对于最小化问题，我们可以定义目标函数为：min f(x)2. 约束条件的确定约束条件是对变量x的一组限制条件，用来定义问题的可行解集合。
约束条件可以是等式或不等式，通常表示为：g(x) ≤ 0h(x) = 0其中，g(x)和h(x)分别表示不等式约束和等式约束。
最优化问题的解必须满足所有的约束条件，即：g(x) ≤ 0, h(x) = 03. 变量范围的设定对于某些变量，可能需要限定其取值的范围。
例如，对于一个实数变量x，可能需要设定其上下界限。
变量范围的设定可以通过添加额外的不等式约束来实现。
二、最优化问题的解法最优化问题的解法包括数学方法和计算方法两种，常见的数学方法有最优性条件、拉格朗日乘子法等，而计算方法主要是通过计算机来求解。
1. 数学方法数学方法是通过数学分析来求解最优化问题。
其中，常见的数学方法包括：（1）最优性条件：例如，对于一些特殊的最优化问题，可以通过最优性条件来判断最优解的存在性和性质。
最优性条件包括可导条件、凸性条件等。
（2）拉格朗日乘子法：对于带有约束条件的最优化问题，可以通过拉格朗日乘子法将原问题转化为无约束最优化问题，从而求解最优解。
2. 计算方法计算方法是通过计算机来求解最优化问题。
最优化方法及其应用课后答案
1 2( ( ⎨最优化方法部分课后习题解答1.一直优化问题的数学模型为：习题一min f (x ) = (x − 3)2 + (x − 4)2⎧g (x ) = x − x − 5 ≥ 0 ⎪ 11 2 2 ⎪试用图解法求出：s .t . ⎨g 2 (x ) = −x 1 − x 2 + 5 ≥ 0 ⎪g (x ) = x ≥ 0 ⎪ 3 1 ⎪⎩g 4 (x ) = x 2 ≥ 0（1） 无约束最优点，并求出最优值。
（2） 约束最优点，并求出其最优值。
（3） 如果加一个等式约束 h (x ) = x 1 −x 2 = 0 ，其约束最优解是什么？ *解 ：（1）在无约束条件下， f (x ) 的可行域在整个 x 1 0x 2 平面上，不难看出，当 x =（3，4） 时， f (x ) 取最小值，即，最优点为 x * =（3，4）：且最优值为： f (x * ) =0（2）在约束条件下， f (x ) 的可行域为图中阴影部分所示，此时，求该问题的最优点就是在约束集合即可行域中找一点 (x 1 ,x 2 ) ，使其落在半径最小的同心圆上，显然，从图示中可以看出，当 x *=15 , 5 ) 时， f (x ) 所在的圆的半径最小。
4 4⎧g (x ) = x −x − 5 = 0⎧ 15 ⎪x 1 = 其中：点为 g 1 (x) 和 g 2 (x ) 的交点，令 ⎪ 1 1 2 ⎨2 求解得到： ⎨ 45即最优点为 x *= ⎪⎩g 2 (x ) = −x 1 −x 2 + 5 = 015 , 5 ) ：最优值为： f(x * ) = 65 ⎪x =⎪⎩ 2 44 48（3）.若增加一个等式约束，则由图可知，可行域为空集，即此时最优解不存在。
2.一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为 S ，怎样设计可使油箱的容量最大？试列出这个优化问题的数学模型，并回答这属于几维的优化问题. 解：列出这个优化问题的数学模型为：max f (x ) = x 1x 2 x 3⎧x 1x 2 + 2x 2 x 3 + 2x 1x 3 ≤ S ⎪ s .t . ⎪x 1 > 0⎪x 2 > 0 ⎪⎩x 3 > 0该优化问题属于三维的优化问题。
优化问题的数学模型
优化问题的数学模型优化问题是现代数学中的一个重要分支，它研究如何在给定的约束条件下，寻找一个最优解。
优化问题可以应用于各种领域，例如经济学、管理学、工程学、计算机科学等。
在这些领域中，优化问题的解法可以帮助我们做出更明智的决策，提高效率和效益。
优化问题的数学模型是描述优化问题的基础。
在建立数学模型时，我们需要确定优化问题的目标函数和约束条件。
目标函数是我们要优化的量，它通常是一个数学表达式，可以是最大化或最小化。
约束条件是限制问题的解必须满足的条件，例如资源的限制、技术的要求等。
在数学模型中，我们需要将目标函数和约束条件用数学符号表示出来，以便进行计算和分析。
最常见的优化问题是线性规划问题。
线性规划问题是指目标函数和约束条件都是线性的优化问题。
它的数学模型可以表示为：Maximize C^T xSubject to: Ax ≤ bx ≥ 0其中，C是一个n维列向量，x是一个n维列向量，A是一个m×n的矩阵，b是一个m维列向量。
这个模型中的目标函数是C^T x，它表示我们要最大化的量。
约束条件分为两部分：Ax ≤ b表示我们的决策变量必须满足的条件，x ≥ 0表示决策变量必须非负。
这个模型可以用线性规划算法求解，得到最优解。
除了线性规划问题，还有非线性规划问题、整数规划问题、混合整数规划问题等。
这些问题的数学模型都有不同的形式，但都可以用优化算法求解。
优化算法可以分为两类：确定性算法和随机算法。
确定性算法是指算法的运行结果是确定的，例如单纯形法、内点法等。
随机算法是指算法的运行结果是随机的，例如遗传算法、模拟退火算法等。
这些算法都有各自的优缺点，在实际应用中需要根据问题的特点选择合适的算法。
优化问题的数学模型和算法在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在生产计划中，我们可以用线性规划模型来确定最优的生产方案，以最大化利润或最小化成本。
在交通规划中，我们可以用非线性规划模型来确定最优的交通流量分配方案，以减少拥堵和污染。
数学模型中的优化问题
数学模型中的优化问题一、引言在实际生活和工作中，我们经常会遇到一些需要优化的问题，比如如何利用有限资源提高效率，如何设计一个最优的方案等等。
而数学模型在解决这些问题中起到了非常重要的作用。
本节将介绍数学模型中的优化问题，并探讨其中的数学原理和解题方法。
二、优化问题的基本概念优化问题是指在给定的条件下，寻找使目标函数值达到最大或最小的一组决策变量的取值。
其中，目标函数一般是已知的，而决策变量则是需要求解的结果。
三、线性规划与最优解1. 线性规划的基本形式线性规划是一类特殊的优化问题，它的目标函数和约束条件都是线性的。
一般而言，线性规划可以表示为如下形式：```max/min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙs.t. A₁₁x₁ + A₁₂x₂ + ... + A₁ₙxₙ ≤ b₁A₂₁x₁ + A₂₂x₂ + ... + A₂ₙxₙ ≤ b₂...Aₙ₁x₁ + Aₙ₂x₂ + ... + Aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ≥ 0.```其中，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数的系数，x₁, x₂, ..., xₙ为决策变量，Aᵢₙ、bₙ分别为约束条件的系数和常数。
2. 最优解的求解方法线性规划的最优解一般可以通过单纯形法进行求解。
单纯形法通过不断迭代改进解向的方式，最终找到目标函数的最优解。
四、非线性规划与最优解1. 非线性规划的基本形式非线性规划是相对于线性规划而言的。
它的目标函数和约束条件可以包含非线性的数学表达式。
一般而言，非线性规划可以表示为如下形式：```max/min Z = f(x₁, x₂, ..., xₙ)s.t. g₁(x₁, x₂, ..., xₙ) ≤ 0g₂(x₁, x₂, ..., xₙ) ≤ 0...gₙ(x₁, x₂, ..., xₙ) ≤ 0h₁(x₁, x₂, ..., xₙ) = 0h₂(x₁, x₂, ..., xₙ) = 0...hₙ(x₁, x₂, ..., xₙ) = 0```其中，f(x₁, x₂, ..., xₙ)为目标函数，gᵢ(x₁, x₂, ..., xₙ)和hₙ(x₁,x₂, ..., xₙ)分别为约束条件中不等式和等式的表达式。
最优化问题数学模型
• 飞机飞行的方向角调整幅度不应超过30 ； • （因飞机飞行的速度变化不大）所有飞机的飞行 速度 v 均为800km/h;
• 进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内 飞机的距离应在60km以上；
根据当年竞赛题目给出的数据，可以验证 新进入的飞机与区域内的飞机的距离超过 60公里。
• 最多需考虑六架飞机；
cij xij 表示该队员的成 目标函数：当队员i入选泳姿j时， 绩，否则 cij xij 0 。于是接力队的成绩可表示为
f cij xij .
j 1 i 1
4
5
约束条件：根据接力队要求， xij 满足约束条件
a. 每人最多只能入选4种泳姿之一，即
x
j 1
4
ij
1.
b. 每种泳姿必须有1人而且只能有一人入选，即
分析，对实际问题进行合理的假设、简化，首先考虑用
线性规划模型，若线性近似误差较大时，则考虑用非线 性规划.
例题讲解
例1 1995年全国数学建模A题：飞行管理问题 在约1万米的高空的某边长为160km的正方 形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行，区 域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记 录其数据，以便进行飞行管理。当一架欲进入 该区域的飞机到达区域边缘时，计算机记录其 数据后，要立即计算并判断是否会发生碰撞。 若会发生碰撞，则应计算如何调整各架飞机 （包括新进入的飞机）飞行的方向角，以避免 碰撞，且使飞机的调整的幅度尽量小，
目标：求函数极值或最值，求取得极值时变量的取值。
x
1.线性规划
问题：某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品，已 知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消 耗，如下表所示
I 设备 1 II 2 8台时
• 进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内 飞机的距离应在60km以上；
根据当年竞赛题目给出的数据，可以验证 新进入的飞机与区域内的飞机的距离超过 60公里。
• 最多需考虑六架飞机；
cij xij 表示该队员的成 目标函数：当队员i入选泳姿j时， 绩，否则 cij xij 0 。于是接力队的成绩可表示为
f cij xij .
j 1 i 1
4
5
约束条件：根据接力队要求， xij 满足约束条件
a. 每人最多只能入选4种泳姿之一，即
x
j 1
4
ij
1.
b. 每种泳姿必须有1人而且只能有一人入选，即
分析，对实际问题进行合理的假设、简化，首先考虑用
线性规划模型，若线性近似误差较大时，则考虑用非线 性规划.
例题讲解
例1 1995年全国数学建模A题：飞行管理问题 在约1万米的高空的某边长为160km的正方 形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行，区 域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记 录其数据，以便进行飞行管理。当一架欲进入 该区域的飞机到达区域边缘时，计算机记录其 数据后，要立即计算并判断是否会发生碰撞。 若会发生碰撞，则应计算如何调整各架飞机 （包括新进入的飞机）飞行的方向角，以避免 碰撞，且使飞机的调整的幅度尽量小，
目标：求函数极值或最值，求取得极值时变量的取值。
x
1.线性规划
问题：某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品，已 知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消 耗，如下表所示
I 设备 1 II 2 8台时
最优化问题的数学模型一般可以用约束集X和目标函数f进行表示.集合X
minimize f (x) subject to x ∈
n n
) (UP)
.
在后面的章节中， 我们将研究 X 是
n
的子集的优化问题， 其中 X 可由等式和 f 是一个连续可微的函数， 并且是二阶连续可微的， f 的 一阶和二阶导数在最优解的特征， 即充分必要条件中发挥了重要作用， 这是 1.1 节的主要 内容. 一阶和二阶导数对于计算近似最优解也是非常重要的，1.2 节～ 1.8 节将讨论这方 面的若干算法和理论.1.9 节将前几节的方法运用到了求解含有离散时间动态系统的最优 控制问题中. 虽然本章主要研究的是无约束优化问题， 但是本章的内容的很多思想也是全 书其余内容的重要基础.
况. 即 x 是 f 在 X 上的一个局部最小点值，如果 x ∈ X 并且存在 ε > 0，对于所有满 足 x − x∗ < ε 的 x ∈ X ，都有 f (x∗ ) 小值点的定义可以类似地给出. 局部和全局的 最大值点 的定义也是类似的，即如果 x∗ 是 −f 的无约束局部 (全局) 最小值点，那么 x∗ 是 f 的无约束局部 (全局) 最大值点. 最优性的必要条件 如果目标函数可微， 那么就可利用梯度和泰勒展开去比较某个向量的函数值及其邻域 内的向量函数值的大小关系. 特别地， 我们考虑在给定向量 x∗ 上给予一个微小扰动 ∆x， 从而利用一阶近似得到目标函数的变化量为
最优化问题的数学模型一般可以用 约束集X 和 目标函数f 进行表示. 集合 X 包含 所有可用的决策 x，函数 f (x) 将 X 的元素映射到实数集上，表示决策 x 带来的成本损 失. 我们试图寻找一个最优的决策，即 x∗ ∈ X ，并且满足
f (x∗ ) f (x), ∀ x ∈ X.
本书假定 x 是一个 n 维向量，即 x 是一个由实数构成的 n 元数组 (x1 , · · · , xn )，因此约 束集 X 是 n 维欧氏空间
n n
) (UP)
.
在后面的章节中， 我们将研究 X 是
n
的子集的优化问题， 其中 X 可由等式和 f 是一个连续可微的函数， 并且是二阶连续可微的， f 的 一阶和二阶导数在最优解的特征， 即充分必要条件中发挥了重要作用， 这是 1.1 节的主要 内容. 一阶和二阶导数对于计算近似最优解也是非常重要的，1.2 节～ 1.8 节将讨论这方 面的若干算法和理论.1.9 节将前几节的方法运用到了求解含有离散时间动态系统的最优 控制问题中. 虽然本章主要研究的是无约束优化问题， 但是本章的内容的很多思想也是全 书其余内容的重要基础.
况. 即 x 是 f 在 X 上的一个局部最小点值，如果 x ∈ X 并且存在 ε > 0，对于所有满 足 x − x∗ < ε 的 x ∈ X ，都有 f (x∗ ) 小值点的定义可以类似地给出. 局部和全局的 最大值点 的定义也是类似的，即如果 x∗ 是 −f 的无约束局部 (全局) 最小值点，那么 x∗ 是 f 的无约束局部 (全局) 最大值点. 最优性的必要条件 如果目标函数可微， 那么就可利用梯度和泰勒展开去比较某个向量的函数值及其邻域 内的向量函数值的大小关系. 特别地， 我们考虑在给定向量 x∗ 上给予一个微小扰动 ∆x， 从而利用一阶近似得到目标函数的变化量为
最优化问题的数学模型一般可以用 约束集X 和 目标函数f 进行表示. 集合 X 包含 所有可用的决策 x，函数 f (x) 将 X 的元素映射到实数集上，表示决策 x 带来的成本损 失. 我们试图寻找一个最优的决策，即 x∗ ∈ X ，并且满足
f (x∗ ) f (x), ∀ x ∈ X.
本书假定 x 是一个 n 维向量，即 x 是一个由实数构成的 n 元数组 (x1 , · · · , xn )，因此约 束集 X 是 n 维欧氏空间
最优化问题的数学模型
为凸集．
1,
0 证明： x , y 为超球中的任意两点， 设
则有：
x 1 y
r ???
x 1 y
r r r 1
即点 x 1 y 属于超球
所以超球为凸集．
注： 常见的凸集：空集，整个欧氏空间 超平面： H
T
aR
n
和实数
,
使得： T x a
a y , x D ,
xR a x
n T
即存在超平面 H y 与凸集 D .
严格分离点
注： 点与闭凸集的分离定理。
y.
D
定理
(点与凸集的分离定理)
是非空凸集，x D, 则存在 非零向量 a R n 使成立
DR
n
目标函数
R ( i 1, 2 , , p )
1
• 根据实际问题的不同要求，最优化模型有不同的形式， 但经过适当的变换都可以转换成上述一般形式.
最优化问题的分类
最优化问题
根据约束条件 分类
m in f ( x ), x R .
n
无约束最优化问题 约束最优化问题 等式约束最优化问题 不等式约束最优化问题 混合约束优化问题
设
a xa x
T T
x D . ( D代 表 D 的 闭 包 )
_ _
定理
(两个凸集的分离定理)
n
x
x
设 D1 , D2 是
且 R 的两个非空凸集， D1 D2 ,
则存在超平面分离 D1 和 D2 , 即存在非零向量 n a R 使得 aT x aT y , x D , y D . 1 2
数学建模最优化模型
或x=fminsearch（fun,X0 ，options） （3）[x，fval]= fminunc（...）；
或[x，fval]= fminsearch（...） （4）[x，fval，exitflag]= fminunc（...）；
或[x，fval，exitflag]= fminsearch （5）[x，fval，exitflag，output]= fminunc（...）；
41m外点法sutm内点法障碍罚函数法1罚函数法2近似规划法罚函数法罚函数法基本思想是通过构造罚函数把约束问题转化为一系列无约束最优化问题进而用无约束最优化方法去求解这类方法称为序列无约束最小化方法简称为sumt法其一为sumt外点法其二为sumt内点法其中txm称为罚函数m称为罚因子带m的项称为罚项这里的罚函数只对不满足约束条件的点实行惩罚
曲线不一定通过那m个测量点,而要产生“偏差”.
将测量点沿垂线方向到曲线的距离的
y
平方和作为这种“偏差”的度量.即
2
x
S
m i 1
yi
a1
1 a3
a2 ln 1 exp
xi a4 a5
显然偏差S越小,曲线就拟合得越好,说明参数值就选择得越好，从而 我们的问题就转化为5维无约束最优化问题。即：
一下是否达到了最优。 （比如基金人投资）
• 在各种科学问题、工程问题、生产管理、社会 经济问题中，人们总是希望在有限的资源条件 下，用尽可能小的代价，获得最大的收获。
（比如保险）
数学家对最优化问题的研究已经有很多年的 历史。
以前解决最优化问题的数学方法只限于古典 求导方法和变分法（求无约束极值问题），拉格 朗日（Lagrange）乘数法解决等式约束下的条件 极值问题。
或[x，fval]= fminsearch（...） （4）[x，fval，exitflag]= fminunc（...）；
或[x，fval，exitflag]= fminsearch （5）[x，fval，exitflag，output]= fminunc（...）；
41m外点法sutm内点法障碍罚函数法1罚函数法2近似规划法罚函数法罚函数法基本思想是通过构造罚函数把约束问题转化为一系列无约束最优化问题进而用无约束最优化方法去求解这类方法称为序列无约束最小化方法简称为sumt法其一为sumt外点法其二为sumt内点法其中txm称为罚函数m称为罚因子带m的项称为罚项这里的罚函数只对不满足约束条件的点实行惩罚
曲线不一定通过那m个测量点,而要产生“偏差”.
将测量点沿垂线方向到曲线的距离的
y
平方和作为这种“偏差”的度量.即
2
x
S
m i 1
yi
a1
1 a3
a2 ln 1 exp
xi a4 a5
显然偏差S越小,曲线就拟合得越好,说明参数值就选择得越好，从而 我们的问题就转化为5维无约束最优化问题。即：
一下是否达到了最优。 （比如基金人投资）
• 在各种科学问题、工程问题、生产管理、社会 经济问题中，人们总是希望在有限的资源条件 下，用尽可能小的代价，获得最大的收获。
（比如保险）
数学家对最优化问题的研究已经有很多年的 历史。
以前解决最优化问题的数学方法只限于古典 求导方法和变分法（求无约束极值问题），拉格 朗日（Lagrange）乘数法解决等式约束下的条件 极值问题。
最优化问题数学模型
最优化问题数学模型在我们的日常生活和各种实际应用中，最优化问题无处不在。
从生产线上的资源分配，到物流运输中的路径规划，从金融投资中的资产配置，到工程设计中的参数选择，都需要找到最优的解决方案，以实现效率最高、成本最低、效益最大等目标。
而数学模型就是帮助我们解决这些最优化问题的有力工具。
那么，什么是最优化问题数学模型呢？简单来说，它是将实际问题转化为数学语言和表达式的一种方式，通过建立数学关系式，来描述问题中的各种约束条件和目标函数，然后运用数学方法和算法求解，找到最优的决策变量取值。
举个简单的例子，假设一家工厂要生产两种产品 A 和 B，生产 A 产品每件需要消耗 2 个单位的原材料和 3 个小时的工时，生产 B 产品每件需要消耗 3 个单位的原材料和 2 个小时的工时。
工厂共有 100 个单位的原材料和 80 个小时的工时可用，每件 A 产品的利润是 5 元，每件 B 产品的利润是 4 元。
那么，如何安排生产才能使工厂的总利润最大呢？为了建立这个问题的数学模型，我们首先定义决策变量：设生产 A 产品的数量为 x 件，生产 B 产品的数量为 y 件。
然后，我们确定目标函数，即要最大化的总利润：Z ＝ 5x ＋ 4y 。
接下来，考虑约束条件。
原材料的限制可以表示为：2x ＋3y ≤ 100 ；工时的限制可以表示为：3x ＋2y ≤ 80 ；还有非负约束：x ≥ 0 ，y ≥ 0 。
这样，我们就建立了一个简单的最优化问题数学模型。
通过求解这个模型，就可以得到最优的生产方案，即 x 和 y 的取值，使得总利润Z 最大。
最优化问题数学模型的类型多种多样，常见的有线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划等。
线性规划是最简单也是应用最广泛的一种模型。
它的目标函数和约束条件都是线性的，就像我们上面的例子。
线性规划问题可以通过单纯形法等有效的算法在较短的时间内求解。
非线性规划则是目标函数或约束条件中至少有一个是非线性的。
优化问题中的数学规划模型
优化问题中的数学规划模型优化问题中的数学规划模型1．优化问题及其一般模型优化问题是人们在工程技术、经济管理和科学研究等领域中最常遇到的问题之一。
例如：设计师要在满足强度要求等条件下选择材料的尺寸，使结构总重量最轻；公司经理要根据生产成本和市场需求确定产品价格，使所获利润最高；调度人员要在满足物质需求和装载条件下安排从各供应点到需求点的运量和路线，使运输总费用最低；投资者要选择一些股票、债券下注，使收益最大，而风险最小等等。
一般地，优化模型可以表述如下：minz?f(x)s.t.gi(x)?0，i=1,2,?,m (1.1)这是一个多元函数的条件极值问题，但是许多实际问题归结出的这种优化模型，其决策变量个数n和约束条件个数m一般较大，并且最优解往往在可行域的边界上取得，这样就不能简单地用微分法求解，数学规划就是解决这类问题的有效方法。
2．数学规划模型分类“数学规划是运筹学和管理科学中应用及其广泛的分支。
在许多情况下，应用数学规划取得的如此成功，以致它的用途已超出了运筹学的范畴，成为人们日常的规划工具。
”[H.P.Williams.数学规划模型的建立]。
数学规划包括线性规划、非线性规划、整数规划、几何规划、多目标规划等，用数学规划方法解决实际问题，就要将实际问题经过抽象、简化、假设，确定变量与参数，建立适当层次上的数学模型，并求解。
3．建立数学规划模型的步骤当你打算用数学建模的方法来处理一个优化问题的时候，首先要确定寻求的决策是什么，优化的目标是什么，决策受到那些条件的限制（如果有限制的话），然后用数学工具（变量、常数、函数等）表示它们，最后用合适的方法求解它们并对结果作出一些定性、定量的分析和必要的检验。
Step 1. 寻求决策，即回答什么？必须清楚，无歧义。
阅读完题目的第一步不是寻找答案或者解法，而是…… Step 2. 确定决策变量第一来源：Step 1的结果，用变量固定需要回答的决策第二来源：由决策导出的变量（具有派生结构）其它来源：辅助变量（联合完成更清楚的回答） Step 3. 确定优化目标用决策变量表示的利润、成本等。
优化问题的数学模型
优化问题的数学模型在现代社会中，优化问题是数学领域中非常重要的一个研究方向。
优化问题的数学模型可以帮助我们更好地理解和解决现实中的各种问题，例如最小化成本、最大化利润、最优化生产、最优化调度、最优化投资等。
本文将从优化问题的定义、数学模型及其应用等方面进行阐述和探讨。
一、优化问题的定义优化问题是指在给定的限制条件下，寻找能使某一目标函数取得最优值的决策变量的问题。
这个目标函数可以是最大化、最小化或其他形式的函数。
优化问题的求解过程可以通过数学方法来实现，例如线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划等。
二、优化问题的数学模型优化问题的数学模型通常由目标函数、约束条件和决策变量三个部分组成。
1. 目标函数目标函数是优化问题中的一个重要概念，它描述了我们想要优化的目标，可以是最大化、最小化或其他形式的函数。
在数学模型中，目标函数通常表示为：$$max f(x)$$或$$min f(x)$$其中，$x$ 是决策变量，$f(x)$ 是关于 $x$ 的目标函数。
2. 约束条件约束条件是指限制决策变量的取值范围，使其满足一定的条件。
在数学模型中，约束条件通常表示为：$$g_i(x) leq b_i$$或$$g_i(x) geq b_i$$其中，$g_i(x)$ 是关于 $x$ 的约束条件，$b_i$ 是约束条件的上限或下限。
3. 决策变量决策变量是指我们需要优化的变量，其取值范围受到约束条件的限制。
在数学模型中，决策变量通常表示为：$$x = (x_1, x_2, ..., x_n)$$其中，$x_i$ 表示第 $i$ 个决策变量的取值。
三、优化问题的应用优化问题的应用非常广泛，包括工业、经济、管理、军事等领域。
下面我们将以几个具体的例子来说明优化问题的应用。
1. 最小化成本在生产过程中，我们希望以最小的成本来生产产品。
这时，我们可以将生产成本作为目标函数，约束条件可以是生产量的限制、材料的限制等。
通过数学模型，我们可以求出最小化成本的生产方案，从而实现成本控制的目的。
数学建模模型常用的四大模型及对应算法原理总结
数学建模模型常用的四大模型及对应算法原理总结四大模型对应算法原理及案例使用教程：一、优化模型线性规划线性回归是利用数理统计中回归分析，来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法，在线性回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。
如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。
案例实操非线性规划如果目标函数或者约束条件中至少有一个是非线性函数时的最优化问题叫非线性规划问题，是求解目标函数或约束条件中有一个或几个非线性函数的最优化问题的方法。
建立非线性规划模型首先要选定适当的目标变量和决策变量，并建立起目标变量与决策变量之间的函数关系，即目标函数。
然后将各种限制条件加以抽象，得出决策变量应满足的一些等式或不等式，即约束条件。
整数规划整数规划分为两类：一类为纯整数规划，记为PIP，它要求问题中的全部变量都取整数；另一类是混合整数规划，记之为MIP，它的某些变量只能取整数，而其他变量则为连续变量。
整数规划的特殊情况是0-1规划，其变量只取0或者1。
多目标规划求解多目标规划的方法大体上有以下几种：一种是化多为少的方法，即把多目标化为比较容易求解的单目标，如主要目标法、线性加权法、理想点法等；另一种叫分层序列法，即把目标按其重要性给出一个序列，每次都在前一目标最优解集内求下一个目标最优解，直到求出共同的最优解。
目标规划目标规划是一种用来进行含有单目标和多目标的决策分析的数学规划方法，是线性规划的特殊类型。
目标规划的一般模型如下：设xj是目标规划的决策变量，共有m个约束条件是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。
设有l个柔性目标约束条件，其目标规划约束的偏差为d+, d-。
设有q个优先级别，分别为P1, P2, …, Pq。
在同一个优先级Pk中，有不同的权重，分别记为[插图], [插图]（j=1,2, …, l）。
数学建模之优化模型
自底向上求解
从最小规模的子问题开始，逐步求解更大规模的子问 题，最终得到原问题的最优解。
自顶向下求解
从原问题开始，将其分解为子问题，通过迭代求解子 问题，最终得到原问题的最优解。
状态转移方程
通过状态转移方程描述子问题之间的关系，从而求解 子问题和原问题。
动态规划模型的应用实例
最短路径问题
如Floyd-Warshall算法，通过动 态规划求解所有节点对之间的最 短路径。
遗传算法
03
模拟生物进化过程的自然选择和遗传机制，通过种群迭代优化
，找到最优解。
整数规划模型的应用实例
生产计划问题
通过整数规划模型优化生产计划，提高生产效 率、降低成本。
投资组合优化
通过整数规划模型优化投资组合，实现风险和 收益的平衡。
资源分配问题
通过整数规划模型优化资源分配，提高资源利用效率。
THANKS
需要进行调整和改进。
02
CATALOGUE
线性规划模型
线性规划模型的定义与特点
线性规划模型是数学优化模型的 一种，主要用于解决具有线性约 束和线性目标函数的优化问题。
线性规划模型的特点是目标函数 和约束条件都是线性函数，形式
简单且易于处理。
线性规划模型广泛应用于生产计 划、资源分配、投资决策等领域
背包问题
如0-1背包问题、完全背包问题和 多重背包问题等，通过动态规划 求解在给定容量的限制下使得总 价值最大的物品组合。
排班问题
如工作调度问题，通过动态规划 求解满足工作需求和工人技能要 求的最优排班方案。
05
CATALOGUE
整数规划模型
整数规划模型的定义与特点
定义
整数规划是一种特殊的线性规划，要求决策变量取整数值。
从最小规模的子问题开始，逐步求解更大规模的子问 题，最终得到原问题的最优解。
自顶向下求解
从原问题开始，将其分解为子问题，通过迭代求解子 问题，最终得到原问题的最优解。
状态转移方程
通过状态转移方程描述子问题之间的关系，从而求解 子问题和原问题。
动态规划模型的应用实例
最短路径问题
如Floyd-Warshall算法，通过动 态规划求解所有节点对之间的最 短路径。
遗传算法
03
模拟生物进化过程的自然选择和遗传机制，通过种群迭代优化
，找到最优解。
整数规划模型的应用实例
生产计划问题
通过整数规划模型优化生产计划，提高生产效 率、降低成本。
投资组合优化
通过整数规划模型优化投资组合，实现风险和 收益的平衡。
资源分配问题
通过整数规划模型优化资源分配，提高资源利用效率。
THANKS
需要进行调整和改进。
02
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线性规划模型
线性规划模型的定义与特点
线性规划模型是数学优化模型的 一种，主要用于解决具有线性约 束和线性目标函数的优化问题。
线性规划模型的特点是目标函数 和约束条件都是线性函数，形式
简单且易于处理。
线性规划模型广泛应用于生产计 划、资源分配、投资决策等领域
背包问题
如0-1背包问题、完全背包问题和 多重背包问题等，通过动态规划 求解在给定容量的限制下使得总 价值最大的物品组合。
排班问题
如工作调度问题，通过动态规划 求解满足工作需求和工人技能要 求的最优排班方案。
05
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整数规划模型
整数规划模型的定义与特点
定义
整数规划是一种特殊的线性规划，要求决策变量取整数值。
初中数学建模30种经典模型
初中数学建模30种经典模型初中数学建模是培养学生综合运用数学知识解决实际问题的一种教学方法和手段。
以下是初中数学建模中的30种经典模型，并对每种模型进行简要介绍：1.线性规划模型：通过建立线性目标函数和线性约束条件，优化解决线性规划问题。
2.排队论模型：研究排队系统中的等待时间、服务能力等问题，以优化系统效率。
3.图论模型：利用图的概念和算法解决实际问题，如最短路径、网络流等。
4.组合数学模型：应用组合数学的方法解决实际问题，如排列组合、集合等。
5.概率模型：利用概率理论分析和预测事件发生的可能性和规律。
6.统计模型：收集、整理和分析数据，通过统计方法得出结论和推断。
7.几何模型：运用几何知识解决实际问题，如图形的面积、体积等。
8.算术平均模型：利用算术平均数来描述和分析数据的集中趋势。
9.加权平均模型：利用加权平均数考虑不同数据的重要性来得出综合结论。
10.正态分布模型：应用正态分布来描述和分析数据的分布情况。
11.投影模型：通过投影的方法解决几何体在平面上的投影问题。
12.比例模型：利用比例关系解决实际问题，如物体的放大缩小比例等。
13.数据拟合模型：根据已知数据点，通过曲线或函数拟合来推测未知数据点。
14.最优化模型：寻找最大值或最小值，优化某种指标或目标函数。
15.路径分析模型：研究在网络或图中找到最优路径的问题。
16.树状图模型：通过树状图的结构来描述和解决问题，如决策树等。
17.随机模型：基于随机事件和概率进行建模和分析。
18.多项式拟合模型：利用多项式函数对数据进行拟合和预测。
19.逻辑回归模型：通过逻辑回归分析，预测和分类离散型数据。
20.回归分析模型：分析自变量和因变量之间的关系，并进行预测和推断。
21.梯度下降模型：通过梯度下降算法来求解最优解的问题。
22.贪心算法模型：基于贪心策略解决最优化问题，每次选择当前最优解。
23.线性回归模型：通过线性关系对数据进行建模和预测。
24.模拟模型：通过构建模拟实验来模拟和分析实际情况。
优化设计 第二章(基本概念)
= ∇ f ( x ( 0 ) ) T S = ∇ f ( x ( 0 ) ) ⋅ S ⋅ cos ∇ f , S
( 0) (0) 其中： ∇f ( x ( 0) ) = ∂f ( x ) , ∂f ( x ) T
∂x1
∂x2
是 X(0)点的梯度。
s方向的单位向量: S = cos 2 α1 + cos 2 α 2 = 1 。
(k))，f(x)
总有一个定值c 与之对应；而当f(x)取定值 c 时，则有无限多个设计点 X(i)(x1(i), x2(i), …,xn(i) ) （i=1,2, … ）与之对应，这些点集构成一个曲 面，称为等值面。 当 c 取c1,c2, …等 值时，就获得一族曲面 族，称为等值面族。 当f(x)是二维时，获 得一族等值线族； 当f(x)是三维时，获 得一族等值面族； 当f(x)大于三维时， 获得一族超等值面族。
它将设计空间分成两部分：满足约束条件 gu(X) ≤ 0 的部分和不满足约 束条件 gu(X) > 0 的部分。
设计可行域（简称为可行域） 对于一个优化问题，所有约束的约束面将组成一个复合的约束 曲面，包围了设计空间中满足所有约束条件的区域，称为设计 可行域 。 记作
=
{x
g u(x) ≤ 0 h v (x) = 0
第二章 优化问题的数学模型和基本概念
§2.1 优化设计的数学模型 §2.2 优化设计的三大要素 §2.3 优化设计的分类 §2.4 优化设计的数学基础 §2.5 优化设计的最优解及获得最优解的条件 §2.6 优化设计问题的数值迭代法及其收敛条件
§2.1 优化设计的数学模型
一. 机械优化设计方法解决实际问题的步骤
§2.2 优化设计的三大要素
( 0) (0) 其中： ∇f ( x ( 0) ) = ∂f ( x ) , ∂f ( x ) T
∂x1
∂x2
是 X(0)点的梯度。
s方向的单位向量: S = cos 2 α1 + cos 2 α 2 = 1 。
(k))，f(x)
总有一个定值c 与之对应；而当f(x)取定值 c 时，则有无限多个设计点 X(i)(x1(i), x2(i), …,xn(i) ) （i=1,2, … ）与之对应，这些点集构成一个曲 面，称为等值面。 当 c 取c1,c2, …等 值时，就获得一族曲面 族，称为等值面族。 当f(x)是二维时，获 得一族等值线族； 当f(x)是三维时，获 得一族等值面族； 当f(x)大于三维时， 获得一族超等值面族。
它将设计空间分成两部分：满足约束条件 gu(X) ≤ 0 的部分和不满足约 束条件 gu(X) > 0 的部分。
设计可行域（简称为可行域） 对于一个优化问题，所有约束的约束面将组成一个复合的约束 曲面，包围了设计空间中满足所有约束条件的区域，称为设计 可行域 。 记作
=
{x
g u(x) ≤ 0 h v (x) = 0
第二章 优化问题的数学模型和基本概念
§2.1 优化设计的数学模型 §2.2 优化设计的三大要素 §2.3 优化设计的分类 §2.4 优化设计的数学基础 §2.5 优化设计的最优解及获得最优解的条件 §2.6 优化设计问题的数值迭代法及其收敛条件
§2.1 优化设计的数学模型
一. 机械优化设计方法解决实际问题的步骤
§2.2 优化设计的三大要素
常见数学建模模型
常见数学建模模型数学建模是数学与现实问题相结合的一门学科，通过数学方法和技巧对现实问题进行抽象和描述，从而得到问题的解决方案。
常见数学建模模型有线性规划模型、回归分析模型、离散事件模型和优化模型等。
下面将分别介绍这些常见数学建模模型的基本原理和应用领域。
一、线性规划模型线性规划模型是一种数学模型，用于解决具有线性约束条件的最优化问题。
其基本原理是通过线性目标函数和线性约束条件，找到使目标函数取得最大或最小值的变量取值。
线性规划模型广泛应用于生产调度、物流配送、资源优化等领域。
二、回归分析模型回归分析模型是通过建立变量之间的数学关系，预测或解释一个变量与其他变量之间的关系。
常见的回归分析模型包括线性回归模型、多项式回归模型和逻辑回归模型等。
回归分析模型在市场预测、金融风险评估等领域有广泛的应用。
三、离散事件模型离散事件模型是一种描述系统内离散事件发生和演化的数学模型。
该模型中，系统的状态随着事件的发生而发生改变，事件之间的发生是离散的。
离散事件模型广泛应用于排队系统、供应链管理、网络优化等领域。
四、优化模型优化模型是通过建立目标函数和约束条件，寻找使目标函数取得最大或最小值的变量取值。
常见的优化模型包括整数规划模型、非线性规划模型和动态规划模型等。
优化模型广泛应用于生产调度、资源分配、路径规划等领域。
以上是常见数学建模模型的基本原理和应用领域。
数学建模模型的应用能够帮助我们解决实际问题，优化决策过程，提高效率和准确性。
在实际应用中，我们可以根据具体问题的特点选择合适的数学建模模型，并通过数学方法求解得到最优解。
最优化问题的数学建模步骤
最优化问题的数学建模步骤
最优化问题的数学建模步骤可以分为以下几个步骤：
1. 指定目标函数：首先需要明确最优化问题的目标函数，即要优化的量。
这个函数通常是与实际问题相关的一些指标，例如成本、收益、效率等等。
2. 确定决策变量：在确定目标函数后，需要确定决策变量，即可以控制或调整的参数或变量。
这些变量的取值可以影响目标函数的值，因此需要选择最优的取值。
3. 建立约束条件：除了目标函数和决策变量外，还需要考虑一些约束条件。
这些约束条件通常是实际问题的限制条件，例如资源限制、技术限制、法规限制等等。
4. 建立数学模型：将目标函数、决策变量和约束条件用数学语言表达出来，建立数学模型。
这个模型通常是一个优化问题的数学表示形式，可以使用线性规划、非线性规划、整数规划等方法进行求解。
5. 求解最优解：根据建立的数学模型，使用相应的优化方法求解最优解。
这个最优解是指在满足约束条件的前提下，使目标函数取得最大值或最小值的决策变量取值。
6. 验证和分析：最后需要对求解结果进行验证和分析，看看是否符合实际需求，是否满足实际约束条件等等。
如果结果不满足要求，需要重新调整模型或重新选择优化方法进行求解。
以上是最优化问题的数学建模步骤，通过这些步骤可以将实际问题转化为数学问题，并使用数学方法进行求解，得到最优的决策方案。
数学建模中的优化问题
30
奥运会临时超市网点设计
23
奥运会临时超市网点设计
（找关键性语句）
2008 年北京奥运会的建设工作已经进入全面设计 和实施阶段。奥运会期间，在比赛主场馆的周边 地区需要建设由小型商亭构建的临时商业网点， 称为迷你超市（ Mini Supermarket, 以下记做 MS ） 网，以满足观众、游客、工作人员等在奥运会期 间的购物需求，主要经营食品、奥运纪念品、旅 游用品、文体用品和小日用品等。在比赛主场馆 周边地区设置的这种 MS ，在地点、大小类型和总 量方面有三个基本要求：满足奥运会期间的购物 需求、分布基本均衡和商业上赢利。
22
奥运会临时超市网点设计
（找关键性语句）
2008 年北京奥运会的建设工作已经进入全面设计 和实施阶段。奥运会期间，在比赛主场馆的周边 地区需要建设由小型商亭构建的临时商业网点， 称为迷你超市（ Mini Supermarket, 以下记做 MS ） 网，以满足观众、游客、工作人员等在奥运会期 间的购物需求，主要经营食品、奥运纪念品、旅 游用品、文体用品和小日用品等。在比赛主场馆 周边地区设置的这种 MS ，在地点、大小类型和总 量方面有三个基本要求：满足奥运会期间的购物 需求、分布基本均衡和商业上赢利。
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奥运会临时超市网点设计
（找关键性语句）
2008 年北京奥运会的建设工作已经进入全面设计 和实施阶段。奥运会期间，在比赛主场馆的周边 地区需要建设由小型商亭构建的临时商业网点， 称为迷你超市（ Mini Supermarket, 以下记做 MS ） 网，以满足观众、游客、工作人员等在奥运会期 间的购物需求，主要经营食品、奥运纪念品、旅 游用品、文体用品和小日用品等。在比赛主场馆 周边地区设置的这种 MS ，在地点、大小类型和总 量方面有三个基本要求：满足奥运会期间的购物 需求、分布基本均衡和商业上赢利。
奥运会临时超市网点设计
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奥运会临时超市网点设计
（找关键性语句）
2008 年北京奥运会的建设工作已经进入全面设计 和实施阶段。奥运会期间，在比赛主场馆的周边 地区需要建设由小型商亭构建的临时商业网点， 称为迷你超市（ Mini Supermarket, 以下记做 MS ） 网，以满足观众、游客、工作人员等在奥运会期 间的购物需求，主要经营食品、奥运纪念品、旅 游用品、文体用品和小日用品等。在比赛主场馆 周边地区设置的这种 MS ，在地点、大小类型和总 量方面有三个基本要求：满足奥运会期间的购物 需求、分布基本均衡和商业上赢利。
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奥运会临时超市网点设计
（找关键性语句）
2008 年北京奥运会的建设工作已经进入全面设计 和实施阶段。奥运会期间，在比赛主场馆的周边 地区需要建设由小型商亭构建的临时商业网点， 称为迷你超市（ Mini Supermarket, 以下记做 MS ） 网，以满足观众、游客、工作人员等在奥运会期 间的购物需求，主要经营食品、奥运纪念品、旅 游用品、文体用品和小日用品等。在比赛主场馆 周边地区设置的这种 MS ，在地点、大小类型和总 量方面有三个基本要求：满足奥运会期间的购物 需求、分布基本均衡和商业上赢利。
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奥运会临时超市网点设计
（找关键性语句）
2008 年北京奥运会的建设工作已经进入全面设计 和实施阶段。奥运会期间，在比赛主场馆的周边 地区需要建设由小型商亭构建的临时商业网点， 称为迷你超市（ Mini Supermarket, 以下记做 MS ） 网，以满足观众、游客、工作人员等在奥运会期 间的购物需求，主要经营食品、奥运纪念品、旅 游用品、文体用品和小日用品等。在比赛主场馆 周边地区设置的这种 MS ，在地点、大小类型和总 量方面有三个基本要求：满足奥运会期间的购物 需求、分布基本均衡和商业上赢利。
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一. 管理科学的定义管理科学是对与定量因素有关的管理问题通过应用科学的方法进行辅助管理决策制定的一门学科.(1) 定量因素(2) 科学的方法(3) 辅助决策制定 二.用管理科学的方法解决问题的基本步骤.（1） 提出问题，并根据需要收录有关数据信息。
管理科学工作者向管理者咨询、鉴别所要考虑的问题以确定合理的目标，然后根据要求收集一些关键数据，并对数据作相应的分析。
（2） 建立模型，引入决策变量，确定目标函数（约束条件）。
建模过程是一项创造性的工作，在处理实际问题时，一般没有一个唯一正确的模型，而是有多种不同的方案。
建模是一个演进过程，从一个初始模型往往需要不断的完善渐渐演化成一个完整的数学模型。
（3） 从模型中形成一个对问题求解的算法。
要在计算机上运行数学程序对模型进行求解，一般情况下能找到对模型求解的标准软件。
例如，对线性规划问题已有Excel 、Cplex 、Lingo 等标准软件求解。
有时要自己编写程序。
（4） 测试模型并在必要时修正。
在模型求解后，需要对模型进行检验，以保证该模型能准确反映实际问题，需要检验模型提供的解是否合理，所有主要相关因素是否已考虑，当有些条件变化时，解如何变化等。
（5） 应用模型分析问题以及提出管理建议。
对模型求解并分析后，将相应的最优方案提交给管理者，由管理者做出决策。
管理科学工作者并不作管理决策，其研究只是对涉及的问题进行分析并向管理者提出建议。
管理者还要考虑管理科学以外的众多因素才能做出决策。
（6） 帮助实施管理决策。
建议被管理者采纳以后，一旦做出管理决策一般要求帮助监督决策方案的实施。
新问题, 新模型, 新算法, 新应用.三.优化问题的数学模型1212max(min)(,,,)(,,)0..1,2,n j n Z f x x x g x x x s t j m=≤⎧⎨=⎩由于,j f g 是非线性函数时，此问题是非线性优化问题, 求解较复杂。
我们主要讨论线性优化问题，常见的形式：混合整数规划（1）max 0 0Z CX hY AX GY b X Y =++≤≥≥取整数其中111,,,,m n m p m n p A G b C h ⨯⨯⨯⨯⨯，不失一般性，我们假定,,,,C h A G b 都是整数矩阵。
当0p =时，（1）为纯整数规划，当0n =时，（1）为线性规划。
下图列出若干常见线性优化问题之间的关系，见Figure 1.13.1．1 Set packing 与Node packing （Set packing ）模型：max 1{0,1}Z CXAX x =≤⎧⎨∈⎩ 其中A 是元素为0或1的矩阵（Node packing ）模型：max 1{0,1}Z CXAX x =≤⎧⎨∈⎩ 其中A 是元素为0或1的矩阵，且每行恰有两个1（没有重复行）显然，Node packing 是Set packing 特例。
对于Set packing 问题，事实上是一个独立集问题，例如1 0 0 01 1 0 01 0 1 00 1 1 1A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦我们按下列方式构造网络：每列对应于一个顶点，j x 对应于点j ，所以有四个点，按行检查，对任意i 若1il ik a a ==，则在点l 与点h 之间有一条边相连。
构成如图网络以后，可以看出约束1AX ≤相当于确定顶点使得被确定的顶点之间没有边相连；而目标系数C 相当于点的权重向量问题变为如何在网络确定若干个（独立的）顶点使得总权重最大的问题。
而Node packing 问题中，A 是0－1矩阵（每行只有两个元素是1），事实上是一个网络的边点关联矩阵，最终也可以化为与上问题类似的问题。
Figure 1.23.2 背包问题对于0-1背包问题（Knapsack ）一般模式：max ..{0,1}Z CX AX b s t x =≤⎧⎨∈⎩ 事实上，它的求解很困难，我们不妨举个非常简单的例子。
1231231max 92860720..{0,1}i Z x x x x x x b s t x =++++≤⎧⎨∈⎩1x 的系数比1：9，2x 的系数比1：4，3x 系数比为1：3，从资源分配问题角度应依次考虑123,,x x x ，而事实上，最优解非常依赖于右端项1b 。
当17b <时，最优解为（1，0，0）； 当178b ≤<时，最优解为（0，1，0）； 当1820b ≤<时，最优解为（1，1，0）； 当12021b ≤<时，最优解为（0，0，1）； 没有体现1x 优先，不同于线性规划。
3．3 Matching （赋权图）匹配问题在网络中，一个匹配是指一些边集使得没有两边相关联。
最大赋权匹配问题，寻找一个匹配使得总权最大。
最大基数匹配问题，（假定每条边权为1），找出边数最多的匹配。
指派问题－事实上是二部图的匹配问题。
（注：二部图是指可以把图中顶点分为两个部分，每一部分之间没有连接）一般模型 ()max ..1 {0,1}e ee Ee e i e Z C X s t X i V X δ∈∈=≤∀∈∈∑∑其中()i δ表示关联顶点i 的边的集合。
（3()O m 算法存在） 3．4 Linear Network Flow,min(max)..0ij iji jij ij ij jh jih ij Z x w x C s t x x s x =⎧≤⎪⎪-=⎨⎪⎪≥⎩∑∑∑ 最大流问题，运输问题，最短路问题和指派问题均为其特例。
网络单纯形法。
Fixed-charge Network flow 是指弧上费用固定，与流量无关。
我们要确定走哪些弧（0－1变量）。
一般模型为0－1混合整数规划。
,min(max)..0,{0,1}ij iji jij ij ij ij jh jih ij ij Z y w x C y s t x x s x y =⎧≤⎪⎪-=⎨⎪⎪≥∈⎩∑∑∑ 事实上，线性网络流（最小费用流）是上问题的特例：在线性网络流中，ij w 是单位费用，将弧(,)i j v v （容量为ij C ）分解为ij C 条容量为1的弧即可。
3．5无容量限制的设备选址问题（uncapacitated facility location ）一般模型：,min .. 0,{0,1}ij ij i ii jiij i i jij j iij i Z c x h y x a y i s t x b x y =+⎧≤∀⎪⎪=⎨⎪⎪≥∈⎩∑∑∑∑这是一种混合0－1规划问题。
3．6 Node Covering给定图(,)G V E 和一个数k ，是否存在一个包含k 个顶点的子集1V V ⊂，使得图中每个边至少关联1V 中的一个顶点？（判定问题）k 的最小个数是多少？（优化问题） （若每点都有权，求一个子集1V V ⊂总权最小，且每个边至少关联1V 中的一个顶点）Independent Set 独立集问题：给定网络图(,)G V E 和整数k ，是否存在包含k 个点的子集1V 使得1V 中任何两个点都不相邻（关联）？（判定问题）求最大的k 是优化问题。
其它问题：哈密顿圈，货郎担问题，中国邮递员问题，适定性问题3．7各种问题的变形问题最大容量路、最大容量树、瓶颈运输问题（指派问题）、约束最小生成树（度约束、hop 约束等）、多种物资流问题、带时间窗的最短路问题，最短路、树问题实际应用的问题都是这些问题的变种形式，首先要判断所遇问题基本上属于哪类问题。
四. 单位模矩阵（么模矩阵）与整数解（Uni-modular ）定义：一个整数方阵B ，若||1B =±，则称B 为单位模（么模）矩阵。
一个m n A ⨯矩阵，若它的任何一个非奇异子方阵都是单位模的，则称A 为全单模的。
推论：A 是全单模的，则A 的任何r 阶子式（r m ≤）取值为0，1±。
由于线性规划的基本解*1||B B X B b b B -==⋅（其中*B 为B 的伴随矩阵）若b 是整数向量，则B X 也是整数向量。
因此有定理1：若A 是全单位模矩阵，对任何整数向量b 都有有界多面体1(){|,0}R A X A X b X ==≥的所有顶点均为整数点，因此用单纯形法求出的最优解必为整数解。
同样，可以证明当约束是不等式约束时，也有以上结论。
2(){|,0}R A X AX b X =≤≥定 理2：当A 是全单位模矩阵，b 是整数向量时，2()R A 的所有顶点均为整数点。
定 理3：设()ij m n A a ⨯=，其中0,1ij a =±，如果A 的每一列的非零元素最多有两个，且A 的行可以划分为两个子集1I 和2I ，使得(1) 若一列中两个非零元素的符号相同，则它们所有的行属于不同的集合1I 和2I(2) 若一列中的两个非零元素的符号不同，则它们所在的行属于同一个集合则A 是全单位模 推论：A 是一个有向图的点－弧关联矩阵或A 是一个无向二部图的点边关联矩阵，则A 是全单位模。
例：Figure 1.3点边关联矩阵123451 0 0 1 0 0 0 1 0 1 A= 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 e e e e e ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦不是全单位模，因为2345e e e e 列形成的4阶子式为－2。
事实上，我们有定理: 无向图的点边关联矩阵是全单位模的充要条件是该图为二部图。
关联矩阵（点弧）123456a a a a a a 1 1 0 0 1 0 -1 -1 1 0 0 1 A= 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 -1 -1 -1 ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Figure 1．4定理：对于关联矩阵（点弧）n m A ⨯其秩为n-1（行的个数－1）。
应用举例：（线性规划中列向量是连续1的情形） 若线性规划min ..0Z CX AX b s t x =≥⎧⎨≥⎩ 其中m n A ⨯是0－1矩阵，且满足每列中的元素是1的元素连续出现的情形，这类问题可以转化为网络最小费用流问题。
现举例说明：min 0 1 0 1 151 1 0 0 1121 1 1 0 0101 1 1 0 06Z CXX =⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥≥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦加剩余变量Y 变为（并增加一行000X Y ⋅+⋅=） 0 1 0 1 1 -1 0 0 051 1 0 0 1 0 -1 0 0121 1 1 0 0 0 0 -1 0101 1 1 0 0 0 0 0 -160 0 0 0 0 0 0 0 0X Y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦对A 作行变换（每行减去上一行）得0 1 0 1 1 -1 0 0 051 0 0 -1 0 1 -1 0 00 0 1 0 -1 0 1 -1 00 0 0 0 0 0 0 1 -1-1 -1 -1 0 0 0 0 0 1X Y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦7246⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦此时() 0,1ij ij A a a ==±，每列恰有两个非零元素（一个1，一个－1）问题化为如下最小费用流问题：发点第1点 发量－收量＝5第2点 发量－收量＝7收点第3，4，5点 分别为2，4，6五. 算法复杂性a) 多项式算法－问题算法的复杂性随着输入规模的增加而多项式地增加，或者有一个多项式的上界。