几何图形解题时中点的运用

A D CB M 四边形拓展练习——中点应用中点，特别是线段的中点是几何图形中的一个特殊点，直角三角形斜边中线、等腰三角形三线合一、中心对称图形、三角形中位线和梯形中位线等都有其身影．那么，如何恰当地利用中点和处理与中点有关的问题呢？关键在于：充分挖掘中点所包含的信息，合理联想构造含中点的图形来解决问题．一、利用中点构造三角形中线例1．如图，在ABC 中，AB AC ，90BAC ，BD 是中线，AE BD 交BC 于点E ．求证：2BE CE．例2．如图，在ABC 中，AB AC ，90BAC ，BD 是中线，AM BD 于M ，交BC 于点E ．求CDES．【注】如果是等腰三角形的问题，则腰上的中点即为构造全等三角形创造了条件．三角形中线的性质是分三角形为两个面积相等的小三角形．在涉及求面积时，往往是常用的结论之一．二、利用中点构造中心对称三角形例3．如图，在梯形ABCD 中，90D ，M 为AB 中点．若 6.5CM，17BC CD DA ，求梯形ABCD 的面积．E D CAB MEDCBAB C AD M NE 例4．如图，在菱形ABCD 中，120ABC ，F 是DC 的中点，AF 的延长线交BC 的延长线于点E ．求直线BF 与DE 所夹的锐角的度数．【注】：在四边形问题中，若已知条件中有一边的中点，往往可利用中点构造中心对称的全等的三角形，从而把分散的条件相对集中，为解题创造有利条件．三、利用中点构造三角形中位线例5．如图，在ABC中，7AC ，4BC ，D 为AB 的中点，E 为AC 上一点，且1902AED C ．求CE 的长．例6．如图，已知AD 为ABC的角平分线，AB ＜AC ，在AC 上截取CE AB ，M 、N 分别为边BC 、AE 的中点．求证：//MN AD ．【注】：在四边形问题中，当已知条件中出现四边形对边的两个中点时，常见的方法是：另外作对角线的中点，再利用三角形的中位线来解题．F CA DBE EDACBA B C DEFA BC PD E45°A D BC E四、利用中点构造直角三角形斜边中线和三角形中位线例7．如图，在ABC中，AB AC ，AD BC ，垂足为D ，E G 、分别为AD AC 、的中点，DF BE ，垂足为F ．求证：FG DG．例8．如图，在ABC内取一点P ，使PBA PCA ，作PD AB 于点D ，PE AC 于点E ．求证：DE 的垂直平分线必经过BC 的中点M ．【注】：当题目的条件中涉及到三角形一边的中点和直角三角形时，常用的方法是：另取一边（一般取斜边）的中点，为沟通直角三角形斜边中线定理和三角形中位线定理架起一座桥梁．五、利用中点构造梯形中位线例9．在梯形ABCD 中，90ABC DCB ，AD 上有一点E 使得BE EC ，且45CED ．求证：AB CD BC ．例10．如图，M N 、分别是四边形ABCD 边AB CD 、的中点，BN 与MC 交于点P ，AN 与MD 交于点Q ．求证：BCPADQMQNP SSS四边形．六、利用多个中点构造三角形和四边形 例11．如图，在任意五边形ABCDE中，M N P Q 、、、分别为AB CD BC DE 、、、的中点，K L 、分别为MN PQ 、的中点．求证：//KL AE 且1=4KL AE ．例12．在六边形ABCDEF中，//AB DE ，//BC EF ，//CD FA ，AB DE BC EF ，1111A B D E 、、、分别是边AB BC DE EF 、、、的中点，且1111A DB E ．求证：CDE AFE．QP NM AD B CK L Q PM NA BCD EE 1D 1B 1A 1EA BCD FABCD配套练习：1．如图，在菱形ABCD 中，100A ，M N 、分别是边AB BC 、的中点，MP CD于点P ，求NPC的度数．2．如图，在ABC中，D 为边BC 的中点，点E F 、分别在边AC AB 、上，且ABE ACF ，BE 与CF 交于点O ，作OP AC ，OQ AB ，P Q 、为垂足．求证：DP DQ．3．如图，在ABC 中，2A B ACB ，8BC ，D 为AB 的中点，且1972CD ，求AC 的长．PQDOABCE F PNMA B C DD BCAFE MABCDEM4．如图，在ABC 中，2B C ，AD BC 于D ，M 为BC 的中点，求证：12DM AB5．如图，在ABC中，2ABC C ，AD 平分BAC ，过BC 的中点M 作AD 的垂线，交AD 的延长线于F ，交AB 的延长线于E ，求证：12BE BD ．6．如图，已知五边形ABCDE中，90,ABC AED BAC EAD。

一道双中点几何题的多角度解答
高亮荣
【期刊名称】《数理天地（初中版）》
【年(卷),期】2024()9
【摘要】添加辅助线是解答几何题的一个基本策略,要求对题目的重要条件作分析,对基本图形进行理解与联系,运用图形之间的关联探索思考问题.下面以一道双中点问题作解题分析.
【总页数】2页(P22-23)
【作者】高亮荣
【作者单位】江苏省扬州市朱自清中学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.一道典型几何题的多种证法——例谈中点相关的辅助线
2.一道几何题的多种思考与解法——例谈中点的常见用法
3.巧用数学模型解初中几何题--解答一道压轴题的几点思考
4.对一道解析几何题的多角度探究
5.一道经典几何题的多角度解答
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方法技巧训练(二) 几何中与中点有关的计算与证明方法指导1 有关中点的常见考法 (1)直角三角形斜边上的中线如图,在Rt △ABC 中,点D 是斜边AB 的中点,则BD ＝12AB,AD ＝CD ＝DB.反过来,在△ABC 中,点D 在AB 边上,若AD＝BD ＝CD ＝12AB,则有∠ACB ＝90°.解题通法：直角＋中点⇒直角三角斜边上的中线．(1)图 (2)图 (3)图(2)等腰三角形“三线合一”如图,在△ABC 中,若AB ＝AC,通常取底边BC 的中点D,则AD ⊥BC,且AD 平分∠BAC.解题通法：事实上,在△ABC 中：①AB ＝AC ；②AD 平分∠BAC ；③BD ＝CD ；④AD ⊥BC.对于以上四条语句,任意选择两个作为条件,就可以推出另两条结论,即“知二得二”．(3)线段垂直平分线如图,直线l 是线段BC 的垂直平分线,则可以在直线l 上任意取一点A,得到AB ＝AC,即△ABC 是等腰三角形． 解题通法：遇到垂直平分线⇒线段相等⇒等腰三角形． (4)倍长中线在△ABC 中,M 为BC 的中点．①如图1,连接AM 并延长至点E,使得AM ＝ME,连接CE,则△ABM ≌△ECM.②如图2,点D 在AB 边上,连接DM 并延长至点E,使得ME ＝DM,连接CE,则△DMB ≌△EMC.解题通法：遇到三角形一边上的中点,常常倍长中线,利用“8”字形全等将题中条件集中,以达到解题的目的．图1 图2(5)构造三角形的中位线在△ABC 中,D 为AB 边的中点．①如图1,取AC 边上的中点E,连接DE,则DE ∥BC,且DE ＝12BC.②如图2,延长BC 至点F,使得CF ＝BC,连接CD,AF,则DC ∥AF,且DC ＝12AF.解题通法：三角形的中位线从位置关系和数量关系两个方面将图形中分散的线段关系集中起来,通常需要再找一个中点来构造中位线,或倍长某段线段构造中位线．拓展：如果已知中点的边不在一个三角形中,则需先添加辅助线构造中点,然后构造三角形的中位线解题．如在四边形ABCD 中,点E,H 分别为AB,CD 边的中点,则先连接AC,然后取AC 边的中点F,连接EF,FH,则EF 为△ABC 的中位线,FH 为△ACD 的中位线．图1 图2(6)中点四边形如图,在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是四边形的边AB,BC,CD,AD的中点．结论：①连接EF,FG,GH,EH,则中点四边形EFGH是平行四边形．②若对角线AC和BD相等,则中点四边形EFGH是菱形．③若对角线AC与BD互相垂直,则中点四边形EFGH是矩形．④若对角线AC与BD互相垂直且相等,则中点四边形EFGH是正方形．方法指导2中考数学中涉及“一半”的相关内容①直角三角形斜边中线等于斜边的一半；②30°角所对的直角边等于斜边的一半；③三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半；④圆周角的度数等于它所对弧圆心角度数的一半．题组11．如图,在△ABC中,E为BC边的中点,CD⊥AB,AB＝2,AC＝1,DE＝32,则∠CDE＋∠ACD＝(C)A．60°B．75°C．90°D．105°2．如图,在△ABC中,D是BC上一点,AB＝AD,E,F分别是AC,BD的中点,EF＝2,则AC的长是(B) A．3 B．4 C．5 D．63．如图,在四边形ABCD中,∠DAB＝90°,∠DCB＝90°,E,F分别是BD,AC的中点,AC＝6,BD＝10,则EF的长为(B) A．3 B．4 C．5 D.74．如图,在钝角△ABC中,已知∠A为钝角,边AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E.若BD2＋CE2＝DE2,则∠A的度数为135°．5．(青岛)如图,已知正方形ABCD的边长为5,点E,F分别在AD,DC上,AE＝DF＝2,BE与AF相交于点G,点H为BF的中点,连接GH,则GH的长为342．题组26．如图,在△ABC 中,两条中线BE,CD 相交于点O,则S △DOE ∶S △DCE ＝(B)A ．1∶4B ．1∶3C ．1∶2D ．2∶37．(陕西)如图,在菱形ABCD 中,点E,F,G,H 分别是边AB,BC,CD 和DA 的中点,连接EF,FG,GH 和HE.若EH ＝2EF,则下列结论正确的是(D)A ．AB ＝2EF B ．AB ＝2EFC ．AB ＝3EFD ．AB ＝5EF8．(苏州)如图,在△ABC 中,延长BC 至D,使得CD ＝12BC,过AC 中点E 作EF ∥CD(点F 位于点E 右侧),且EF ＝2CD,连接DF.若AB ＝8,则DF 的长为(B)A ．3B ．4C ．2 3D ．3 29．如图,在△ABC 中,AB ＝10,AC ＝6,则BC 边上的中线AD 的取值范围是2＜AD ＜8．10．(武汉)如图,在△ABC 中,∠ACB ＝60°,AC ＝1,D 是边AB 的中点,E 是边BC 上一点．若DE 平分△ABC 的周长,则DE 的长是32．11．(1)如图1,在四边形ABCD 中,F,E 分别是BC,AD 的中点,连接FE 并延长,分别与BA,CD 的延长线交于点M,N,已知∠BME ＝∠CNE,求证：AB ＝CD ；(提示：取BD 的中点H,连接FH,HE 作辅助线)(2)如图2,在△ABC 中,点O 是BC 边的中点,D 是AC 边上一点,E 是AD 的中点,直线OE 交BA 的延长线于点G.若AB ＝DC ＝5,∠OEC ＝60°,求OE 的长度．图1 图2解：(1)证明：连接BD,取DB 的中点H,连接EH,FH. ∵F,E 分别是BC,AD 的中点, ∴EH ∥AB,EH ＝12AB,FH ∥CD,FH ＝12CD.∴∠BME ＝∠HEF,∠CNF ＝∠HFE.∵∠BME ＝∠CNE, ∴∠HEF ＝∠HFE.∴HE ＝HF.∴AB ＝CD.(2)连接BD,取DB 的中点H,连接EH,OH. ∵O,E 分别是BC,AD 的中点,∴EH 平行且等于12AB,OH 平行且等于12CD.∵AB ＝CD,∴HO ＝HE.∴∠HEO ＝∠HOE ＝∠OEC. ∵∠OEC ＝60°,∴∠HEO ＝∠HOE ＝60°. ∴△OEH 是等边三角形． ∵AB ＝DC ＝5,∴OE ＝52.。

2012中考数学专题复习5图形的中点问题一.知识要点：线段的中点是几何图形中的一个特殊点，与中点有关的问题很多，添加适当的辅助线、恰当地利用中点是处理中点问题的关键。

涉及中点问题的几何问题，一般常用下列定理或方法：(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;(2)三角形中位线定理；(3)等腰三角形三线合一的性质；(4)倍长中线，构造全等三角形（或平行四边形）；(5)平行四边形的性质与判定.二.例题精选1、若一点是直角三角形斜边的中点或等腰三形底边的中点，则常过中点作中线，应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”性质或“等腰三角形三线合一”的性质。

例1. 如图，已知△ABC中，∠B =90°，AB=BC,D在AB上,E在BC上，BD=CE , M是AC的中点，求证：△DEM是等腰直角三角形.提示：连结BM,证明ΔBDM≌ΔCEM,得DM=ME，∠DMB=∠EMC,则∠DME=,得ΔMDM为等腰直角三角形2、三角形中遇到两边的中点，常应用“三角形的中位线定理”,若有一点是三角形一边的中点或梯形一腰的中点，则常过中点作中位线。

例2.如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线分别交MN的延长线于E、F．求证：∠DEN＝∠F．提示：连结AC，作AC中点G，连结MG，NG。

则MG=NG，MG∥BC，NG∥AD。

∴∠MGN＝∠F ,∠GNM=∠DEN,∠MGN=∠GNM. ∴∠DEN＝∠F．3、若有三角形的中线或过中点的线段，则通常加倍延长中线或过中点的线段，以构造两个三角形全等。

例3. 已知：如图2，AD为△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证：AC=BF提示：延长AD至G，使DG=AD，连结BG，则ΔBDG≌ΔCDA，∴AC=BG=BF4、遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想或构造“X字型”全等三角形.例4. 如图，正方形ABCD和正方形CGEF的边长分别是2和3，且点B，C，G在同一直线上，M是线段AE的中点，连结MF，则MF的长为．提示：延长AD、FM交于点H，则AH=EF=3，DH=1=DF，∴FH=MF=5、有关面积的问题中遇到中点，常用“等底等高的两个三角形面积相等”的性质。

线段双中点解题技巧
线段的中点是线段上的一点，它把线段分成两个相等的部分。

当我们面对一个几何问题，特别是涉及到线段的问题时，利用中点的性质往往能简化问题，找到解题的突破口。

线段双中点解题技巧主要包括以下步骤：
1. 确定中点：首先确定题目中的两个中点，并理解它们的位置和性质。

2. 利用中点性质：利用中点的性质，如“中位线定理”或“中点四边形”等，这些性质可以帮助我们快速找到解题方向。

3. 建立数学模型：根据题目的具体要求，建立适当的数学模型，如方程、不等式或几何图形等。

4. 求解问题：通过计算或推理，求解出问题。

下面是一个具体的例子，说明如何使用线段双中点解题技巧。

题目：在三角形ABC中，D和E分别是AB和AC的中点，F是BC的中点。

DE = 2EF。

求证：BD = 2DC。

证明：
第一步，由题目信息，D和E是AB和AC的中点，所以DE是三角形ABC 的中位线。

第二步，根据中位线的性质，DE = ，且DE平行于BC。

第三步，同样由题目信息，F是BC的中点，所以BF = FC = 。

第四步，由第二步和第三步的信息，我们可以得出DE = 2EF。

第五步，由于DE平行于BC并且D是AB的中点，所以BD = 2DC（平行线性质和线段的比例性质）。

综上，我们证明了BD = 2DC。

七上数学中点问题解题技巧和方法一、认识中点1、什么是中点在平面几何中，中点指的是线段的中心点，也就是将一条直线段平均分成两段的点。

在坐标系中，中点的坐标可以通过相应线段的两个端点的坐标来求得。

2、中点的特点中点具有以下特点：- 与两端点距离相等- 与两端点连线构成的线段长度是全线段长度的一半- 坐标为两端点坐标的算术平均值二、中点问题解题技巧和方法1、求直线段中点的坐标求直线段中点的坐标，可以通过端点坐标的平均值来求得。

假设直线段的两个端点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则中点的坐标为：\[M(\frac{x1+x2}{2},\frac{y1+y2}{2} )\]2、中点问题解题步骤求解中点问题一般需要经过以下步骤：- 确定问题：明确问题中需要求解的中点的具体内容，确定问题中所给条件以及未知数。

- 分析问题：通过问题分析，理清思路，确定解题的方法和步骤。

- 求解过程：根据问题需求，使用公式或者坐标的求解方法求得中点坐标。

- 检验答案：求得中点坐标后，通过计算或者图示方法对答案进行检验，确保结果的准确性。

三、实例分析下面通过实例对中点问题的解题技巧和方法进行具体分析。

例题：已知直线段AB的端点坐标分别为A（2，3）和B（6，8），求直线段AB的中点坐标M。

分析解题步骤：1. 确定问题：根据题目要求，需要求解直线段AB的中点坐标M。

2. 分析问题：根据中点的定义和公式，可以通过端点坐标的平均值求得中点坐标。

3. 求解过程：根据公式\[M(\frac{x1+x2}{2},\frac{y1+y2}{2} )\]，带入端点坐标得到：\[M(\frac{2+6}{2},\frac{3+8}{2} )\]，计算得中点坐标M为：\[M(4,5)\]。

4. 检验答案：通过计算得到的中点坐标进行检验，发现满足与端点距离相等的特点，因此得出结论，中点坐标M为(4,5)。

四、总结与思考中点问题是数学中的基础问题，其求解过程涉及到坐标系的运用、平均值的计算等数学知识。

专题几何中与中点有关的那些事一、知识点综述中点是几何中的一个重要概念，体现了对称、和谐之美，是中考的核心考察对象之一，在命题中占着重要的一席之地.主要有：①三角形的中线（三角形的中线将三角形面积一分为二）；三角形重心将三角形中线分成1:2两份.②等腰三角形三线合一（等腰三角形底边的中线、高、顶角平分线共线）；③线段垂直平分线（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）；④斜中定理（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）；⑤三角形中位线定理（三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）；⑥平行四边形对角线性质（平行四边形对角线互相平分）；⑦四边形的中点四边形（形状与对角线关系有关）.二、基本图形图形条件结论CD中△ACB的中线S1=S2△ABC是直角三角形，D、E、F分别是各边的中点四边形DFCE是矩形EF=CD图形条件结论D是△ABC边AB的中点，连接CD，CD=AD=BD∠ACB=90°平行四边形ABCD对角线交于点OO是AC和BD的中点DE∥BC，DE=12BCD、E分别是AB、AC的中点D、E分别是AB、AC的中点DE∥BC，DE=12BCE、F、G、H是各边中点AC⊥BD四边形EFGH是矩形AC=BD四边形EFGH是菱形AC⊥BD且AC=BD四边形EFGH是正方形延长AB至F，使AF=AB△ABC≌△AFD四边形BC FD是平行四边形三、典型例题分析下面我们就一些典型例题讲述这类题目的做题思路及方法.例题1. 如图-1，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，过点E作EG⊥AD于G，连接GF．若∠A=70°，则∠DGF的度数为．图-1例题2. 如图-2，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，连接CD、BE相交于点O.求证：OC=2OD，OB=2OE.图-2例题3. 如图-3，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，猜一猜MN与BD 的位置关系，并证明你的结论.图-3例题4. 如图-4,在△ABC中,AD是边BC上的高,CE是边AB边上的中线,点G是CE的中点,DG⊥CE,点G为垂足．（1）求证：DC=BE；（2）若∠AEC=75°，求∠BCE的度数．图-4例题5. 若任意四边形ABCD 各边中点分别是E 、F 、G 、H ，若对角线AC 、BD 的长都为30 cm ，则四边形EFGH的周长是例题6. 如图-6,已知在四边形ABCD 中,AD =BC ,E 、F 分别是DC 、AB 边的中点,FE 的延长线分别与AD 、BC 的延长线交于H 、G 点．求证：∠AHF =∠BGF ．图-6例题7. 如图-7，在四边形ABCD 中，∠A =90°，AB =33，AD =3，点M ，N 分别在边AB ，BC 上，点E ，F 分别为MN ，DN 的中点，连接EF ，则EF 长度的最大值为 ．图-7例题8. 如图-8所示，已知△ABC 中，D 是BC 边的中点，AE 平分∠BAC ，BE ⊥AE 于E 点，若AB ＝12，AC ＝16，求ED ．CBADE图-8例题9. 如图-9，在△ABC 中，AB ＝AC ，E ，F 分别是BC ，AC 的中点，以A C 为斜边作Rt △ADC ，若∠CAD ＝∠CAB ＝45°. （1）求∠ECD 的度数；（2）求证：DE平分∠FDC.图-9例题10. 如图-10所示，在△ABC中，点D在边AC的中点上，DB＝BC，E是CD的中点，F是AB的中点，（1）求证：EF＝12 AB．（2）当∠C＝60°时，BC、AB与AC满足怎么样的关系？图-10例题答案例题1. 如图-1，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，过点E作EG⊥AD于G，连接GF．若∠A=70°，则∠DGF的度数为．图-1【答案】55°.【解析】延长AD、EF相交于点H，如图所示∵F是CD的中点，∴CF=DF，由菱形性质知：AD∥BC，∴∠H=∠CEF，可证得：△CEF≌△DHF，∴EF=FH，∵EG⊥AD，∴GF=FH，∴∠DGF=∠H，∵四边形ABCD是菱形，∴∠C=∠A=70°，∵E、F分别是BC、CD的中点，∴CE=CF，在△CEF中，∠CEF=（180°﹣70°）÷2=55°，∴∠DGF=∠H=∠CEF=55°．故答案为：55°．例题2. 如图-2，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，连接CD、BE相交于点O. 求证：OC=2OD，OB=2OE.图-2【答案】见解析.【解析】此题有多种证明方法，这里以其中三种加以证明.证明方法①：连接DE，如图.∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE：BC=1:2，∴OD:OC=OE: OB=DE: BC=1:2,即：OC=2OD，OB=2OE.证明方法②：连接DE，取OB、OC的中点F、G，连接FG，如图所示.∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE =12 BC，同理可证：FG∥BC，FG =12 BC，所以△DOE≌△GOF，∴OD=OG，OE=OF，即：OC=2OD，OB=2OE.证明方法③：连接OA，如图.由上面证明可知：DE∥BC所以S2+S5=S4+S5,所以S2=S4，而S1=S2，S3=S4，所以S1=S2=S3=S4，所以S△AOC=2S△AOD，所以OC=2OD，同理，OB=2OE.例题3. 如图-3，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，猜一猜MN与BD 的位置关系，并证明你的结论.图-3【答案】见解析.【解析】解：MN⊥BD，理由如下：连接BM，DM，如图所示.因为∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，所以BM是Rt△ABC斜边上的中线，所以BM=12AC，同理DM=12AC.所以BM=DM.又因为N是BD的中点，所以MN⊥BD（三线合一）.例题4. 如图-4,在△ABC中,AD是边BC上的高,CE是边AB边上的中线,点G是CE的中点,DG⊥CE,点G 为垂足．（1）求证：DC=BE；（2）若∠AEC=75°，求∠BCE的度数．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵G是CE的中点，DG⊥CE，∴DG是CE的垂直平分线，∴DE=DC，∵AD是高，CE是中线，∴DE是Rt△ADB的斜边AB上的中线，∴DE=BE=12 AB，∴DC=BE；（2）∵DE=DC，∴∠DEC =∠BCE ，∴∠EDB =∠DEC +∠BCE =2∠BCE ， ∵DE =BE ， ∴∠B =∠EDB ， ∴∠B =2∠BCE ， ∴∠AEC =3∠BCE =75°， 则∠BCE =25°．例题5. 若任意四边形ABCD 各边中点分别是E 、F 、G 、H ，若对角线AC 、BD 的长都为30 cm ，则四边形EFGH 的周长是【答案】60cm .【解析】根据基本图形，可知：四边形EFGH 的形状为菱形， 依据中位线定理，可得：EF =0.5×30=15cm ， 所以四边形EFGH 的周长为：4×EF =60cm . 故答案为：60cm .题6. 如图-6,已知在四边形ABCD 中,AD =BC ,E 、F 分别是DC 、AB 边的中点,FE 的延长线分别与AD 、BC 的延长线交于H 、G 点．求证：∠AHF =∠BGF ．图-6【答案】见解析.【解析】证明：连接AC ，取AC 的中点M ，连接ME 、MF . 如图.H DCAB E M G∵M是AC的中点，E是DC的中点，∴ME是△ACD的中位线，∴AD =2ME, PE∥AH，∴∠MEF＝∠AHF，同理可证：BC =2MF, ∠MFE＝∠BGF，∵AD＝BC，∴ME＝MF，∴∠MFE＝∠MEF，∴∠AHF＝∠BGF.例题7. 如图-7，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=33，AD=3，点M，N分别在边AB，BC上，点E，F分别为MN，DN的中点，连接EF，则EF长度的最大值为．图-7【答案】3.【解析】解：∵E，F分别为MN，DN的中点，∴EF是△NDM的中位线，∴EF=12 DM，即DM取最大值时，EF的长度最大，很明显，当M与B重合时，DM最大，根据勾股定理，得DM最大值为：DB=6.∴EF的最大值为3. 故答案为：3.例题8. 如图-8所示，已知△ABC中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E点，若AB＝12，AC＝16，求ED．C B AD E图-8【答案】2.【解析】解：延长BE 交AC 于点F , 如图. C BD EF因为AE ⊥BE ，所以∠A EB =∠AEF =90°，因为AE 平分∠BAC ，所以∠BAE =∠FAE ，又AE =AE ，所以△ABE ≌△AFE ,所以BE =EF ，即E 是BF 的中点，因为D 是BC 的中点，所以DE 是△BCF 的中位线，因为AB ＝12，AC ＝16， 所以CF =4，DE = 12CF =2.故答案为：2.例题9. 如图-9，在△ABC 中，AB ＝A C ，E ，F 分别是BC ，AC 的中点，以AC 为斜边作Rt △ADC ，若∠CAD ＝∠CAB ＝45°.（1）求∠ECD 的度数；（2）求证：DE 平分∠FDC .图-9 【答案】见解析.【解析】解：（1）∵AB＝AC，∠CAB＝45°，∴∠B＝∠ACB＝67.5°．∵Rt△ADC中，∠CAD＝45°，∠ADC＝90°，∴∠ACD＝45°，AD＝DC，∴∠ECD＝∠ACB+∠ACD＝112.5°；(2)证明：∵E、F分别是BC、AC的中点，∴FE＝12AB，FE∥AB，∴∠EFC＝∠BAC＝45°，∠FEC＝∠B＝67.5°．∵F是AC的中点，∠ADC＝90°，AD＝DC，∴FD＝12AC，DF⊥AC，∠FDC＝45°，∵AB＝AC，∴FE＝FD，∴∠FDE＝∠FED＝12（180°﹣∠EFD）＝12（180°﹣135°）＝22.5°，∴∠FDE＝12∠FDC，∴DE平分∠FDC.例题10. 如图-10所示，在△ABC中，点D在边AC的中点上，DB＝BC，E是CD的中点，F是AB的中点，（1）求证：EF＝12 AB．（2）当∠C＝60°时，BC、AB与AC满足怎么样的关系？图-10 【答案】见解析.【解析】（1）证明：连接BE，∵在△BCD中，DB＝BC，E是CD的中点，∴BE⊥CD，∵F是AB的中点，∴在Rt△ABE中，EF是斜边AB上的中线，∴EF＝12 AB；（2）结论：BC2+AB2＝AC2理由：∵BC＝BD，∠C＝60°，∴△BDC是等边三角形，∴CD＝BD，∵CD＝AD，∴DB＝DC＝DA，∴∠CBA＝90°∴BC2+AB2＝AC2。

几何中点的概念几何中点是指在几何图形中，两点之间的中点。

具体来说，中点是指连接线段的两个端点，并且距离这两个端点相等的点。

在几何中，中点是一个非常重要且常见的概念，它在解题和构造几何图形中起着重要的作用。

首先，我们来看一下中点的定义。

给定线段AB，如果M是线段AB的中点，那么AM = MB。

这意味着M到线段的两个端点的距离是相等的。

中点可以是线段的内部，也可以是线段的延长线上的一点。

中点的特性和性质有以下几点：1. 集合定义：线段的中点构成的集合，就是线段的中位数。

一个线段只有一个中点，而一条线段的中位线可以不存在，也可以不唯一。

2. 位置唯一：给定线段的两个端点，它们的中点位置是唯一确定的。

3. 对称性：如果M是线段AB的中点，则AM = MB。

反过来，如果AM = MB，则M是线段AB的中点。

4. 比例性：如果M是线段AB的中点，那么AM/AB = 1/2，并且MB/AB = 1/2。

也就是说，线段的中点将线段分成两个等长的部分。

5. 中点连线：两线段的中点连线平行于这两线段本身，并且等于这两线段的平均值。

6. 中点分割：一条直线上的任意两点，它们的中点也在这条直线上。

中点具有上述的特性和性质，在解题和构造几何图形时，可以利用这些性质来简化问题或者确定几何图形的一些未知位置。

在解题过程中，利用中点的概念可以使问题简化。

以证明两个线段相等为例，在线段的中点处作平行于该线段的另一个线段，将两线段按照某种方法连接起来，利用中点的性质，可以得出两线段相等的结论。

在构造几何图形时，中点的位置也是很有用的辅助点。

比如，在绘制等边三角形时，可以通过找出一个线段的中点并连接两个端点，然后沿着中点连线的延长线截取等长的线段，再连接线段的两个延长线，就可以得到一个等边三角形。

除了常见的线段中点，平面几何中还存在着其它几何图形的中点。

比如，三角形的中点就是连接三角形两个顶点的中点，也可以视为三角形的边上的点。

同样，四边形、多边形等都有自己的中点。

初中数学中点模型归纳总结中点模型是初中数学中一个重要的概念，常用于几何图形的证明和计算中。

通过对中点模型的归纳总结，可以更好地理解和运用这一概念。

本文将分别从数轴中点、线段中点和三角形中点三个方面进行归纳总结。

一、数轴中点数轴中点是指数轴上离两个点距离相等的点。

在数轴上，如果A、B两个点的坐标分别为a和b，那么它们的中点的坐标可以通过以下公式计算：中点坐标 = (a + b) / 2通过这个公式，我们可以很方便地求解两个点的中点坐标。

同时，我们还可以推广到三个点的情况：三点中点坐标 = (a + b + c) / 3这个公式也可以以类似的方式计算。

二、线段中点线段中点是指线段上距离两个端点相等的点。

在线段AB上，如果A、B两个点的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），那么它们的中点的坐标可以通过以下公式计算：中点坐标 = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2)通过这个公式，我们可以计算出线段AB的中点坐标。

同样地，我们还可以推广到三维空间中的情况：三维空间中点坐标 = ((x1 + x2 + x3) / 3, (y1 + y2 + y3) / 3, (z1 + z2 +z3) / 3)这个公式在三维几何场景中也能帮助我们求解线段的中点坐标。

三、三角形中点三角形中点是指连接三角形三个顶点与对边中点的线段所构成的三个线段的交点。

三角形的三个中点分别是三边中点、三角形重心和三角形外心。

下面我们分别来介绍它们的特点和计算方法。

1. 三边中点：连接三角形三个顶点与对边中点的线段的交点，分别记为M1、M2、M3。

这三个点构成的线段M1M2、M2M3和M3M1分别平分三角形的三条边，且交于三角形的重心G。

2. 三角形重心：三角形重心是连接三角形三个顶点与对边中点的线段的交点，记为G。

三角形的重心是三条中线的交点，其中中线是连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。

3. 三角形外心：三角形外心是三角形三边垂直平分线的交点，记为O。