巧构几何图形解代数题

数形结合巧解高考题引言在高考数学中，有一类常见的题目是要求我们将数学问题与几何图形相结合，通过观察图形特征或者利用几何性质来解决问题。

这种数形结合的方法可以帮助我们更好地理解和应用数学知识，提高解题的效率和准确性。

本文将通过一些典型的高考题目，介绍数形结合的思路和方法，并给出详细的解答过程。

例题1题目描述已知函数f(x)=13x3+ax2+bx+c，其中a,b,c为常数。

若对于任意实数x，都有f(x+1)−f(x)=3x2+5x+2，求a,b,c的值。

解答过程首先观察到题目中给出了函数f(x)的表达式以及关于f(x)的等式。

我们可以利用这些信息来推导出a,b,c的值。

由于等式f(x+1)−f(x)=3x2+5x+2成立对于任意实数x都成立，所以我们可以尝试取特殊值来简化计算。

让我们取x=0，代入等式中得到：f(1)−f(0)=2再取x=1，代入等式中得到：f(2)−f(1)=10通过观察这两个等式，我们发现f(x)的每一项系数都可以通过这些等式来求解。

将f(x)展开得到：f(x)=13x3+ax2+bx+c=13x3+(a−13)x2+(b−a+13)x+(c−b+a3)由于等式成立对于任意实数x 都成立，所以我们可以将x 换成特殊的值来简化计算。

取x =0，代入上述展开式中，得到：c −b +a 3=0 (1) 再取x =1，代入上述展开式中，得到：43+a −23+b −a +13=10 (2) 将(1)带入(2)，整理可得：b =−56 (3) 将(1)和(3)带入(2)，整理可得：a =76 (4) 将(4)带入(1)，整理可得：c =518 (5) 综上所述，a =76，b =−56，c =518。

例题2题目描述已知函数f (x )=ax 2+bx +c 的图像上存在两个不同的点(x 1,y 1)和(x 2,y 2)，满足以下条件： 1. x 1+x 2=4 2. y 1+y 2=6 3. x 1y 1+x 2y 2=9求a,b,c 的值。

解析几何求解技巧解析几何是高等数学的重要分支之一，它主要研究几何图形的性质和相关问题的解法。

解析几何的求解技巧是解决几何问题的关键，下面将介绍几种常用的解析几何求解技巧。

一、坐标法：坐标法是解析几何中最常见的求解技巧。

它利用坐标系和坐标代数的方法，通过确定几何图形上的点的坐标，将几何问题转化为代数方程的求解问题。

具体的求解步骤可以概括为：1. 建立坐标系。

根据题目所给条件，确定适当的坐标系，并选择合适的单位长度。

2. 确定几何图形上的点的坐标。

根据题目所给条件，推导出几何图形上点的坐标关系。

可以运用平面几何中的基本性质和定理，通过代数方法求解。

3. 转化为代数方程。

根据几何图形的性质和定理，将几何问题转化为代数方程的求解问题。

这一步骤需要灵活应用代数方程的解法技巧。

4. 求解代数方程。

根据所得的代数方程，运用代数解法将方程求解。

5. 检验结果。

将求得的解代入原方程中，验证是否满足题目所给条件。

如果满足，即为几何问题的解；如果不满足，需重新检查求解过程。

二、向量法：向量法是解析几何中另一种常用的求解技巧。

它运用向量的概念和运算，通过向量的相等、垂直、平行等性质，推导出几何图形和问题的解法。

具体的求解步骤可以概括为：1. 确定坐标系和向量的表示。

建立适当的坐标系，确定向量的表示方法。

常用的表示方法有坐标表示法、定点表示法和参数表示法等。

2. 利用向量的性质和运算推导条件。

根据题目所给条件，利用向量的性质和运算，推导出几何图形上的条件和关系。

3. 利用向量之间的关系求解。

根据所得的几何图形上的条件，利用向量的关系，运用向量的加减、数量积、向量积等运算进行求解。

4. 检验结果。

将求得的解代入原方程中，验证是否满足题目所给条件。

如果满足，即为几何问题的解；如果不满足，需重新检查求解过程。

三、分析法：分析法是解析几何中辅助性的求解技巧。

它通过对几何图形的分析，将几何问题转化为具有明确几何意义的问题，并通过几何性质和定理的应用，求解问题。

巧用勾股定理列方程求解几何计算题勾股定理被被誉为千古第一定理，是“几何学的基石和明珠”，也是相关考试中的重点考查内容之一，勾股定理除了可以解决“已知直角三角形的两条边长，求第三边”外，在求解折叠、切线、特殊四边形计算等问题时，也常会出现直角三角形及其边长的一些数量关系，此时可结合题意，借助相关概念及图形性质，找到或者构造出各边之间存在着某些数量关系的直角三角形，从而利用勾股定理列出方程求解.下面对这类问题进行归类整理.一、已知三角形的一条边长，及另两边的数量关系这类问题关键是首先要找到或构造出这样的一个直角三角形，利用全等、等腰三角形、切线等性质确定其中两边的数量关系.那么，这两条边都可以用含同一个字母的代数式表示，然后利用勾股定理列出方程，求解即可.1、利用全等的性质建立数量关系例1 (2015年泰州中考题)如图1，在矩形ABCD 中，8AB =，6BC =，P 为AD 上一点，将ABP ∆沿BP 翻折至EBP ∆，PE 与CD 相交于点O ，且OE OD =，则AP 的长为.分析 根据OE OD =，可以证明ODP OEG ∆≅∆，从而得到EG DP =，EP DG =.若设AP x =，则CG 、BG 可以用含x 的代数式表示.在Rt BCG ∆中，BC 的长已知，利用勾股定理列出方程求解即可.解 在ODP ∆和OEG 中，D E OD OEDOP EOG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ODP OEG ∆≅∆，∴OP OG =，PD GE =，∴EP DG =.设AP EP DG x ===，则6GE PD x ==-，8CG x =-，8(6)2BG x x =--=+. 在Rt BCG ∆中，222BC CG BG +=，即 2226(8)(2)x x +-=+，解得 4.8x =.∴AP 的长为4. 8.2、利用等腰三角形性质建立数量关系例2 (2017年哈尔滨中考题)如图2，在矩形ABCD 中，M 为BC 边上一点，连结AM ，过点D 作DE AM ⊥，垂足为E .若1DE DC ==，2AE EM =，则BM 的长为 . 分析 已知点D 到AMC ∠两边的距离相等，连结DM ，可证明EM CM =，DM 平分AMC ∠，结合//AD BC ，由“两平”可得到ADM ∆是等腰三角形.若设EM x =，则AM 、BM 可以用含x 的代数式表示.在ABM ∆中，AB 的长已知，利用勾股定理列出方程求解即可.解 连结DM ，在Rt DEM ∆和Rt DCM ∆中，DE DC DM DM =⎧⎨=⎩， ∴Rt DEM Rt DCM ∆≅∆，∴AMD EMD ∠=∠.∵//AD BC ，∴DMC ADM ∠=∠，∴AMD ADM ∠=∠，∴AD AM =.设EM CM x ==，则3AD AM BC x ===,∴2BM x =.在Rt ADM ∆中，222AB BM AM +=，即2221(2)(3)x x +=，解得x =∴BM . 3、利用切线的性质建立数量关系例3 (2015年宁波中考题)如图3，在矩形ABCD 中，8AB =，12AD =，过点A ，D 两点的⊙O 与BC 边相切于点E ，则⊙O 的半径为 .分析 根据切线的性质，连结OE ，则OE BC ⊥，结合//AD BC ，反向延长OE 交AD 于点F ，则OF AD ⊥.若连结OA ，在Rt OAF ∆中，AF 的长已知，OF 、OA 的长可以用含r 的代数式表示，利用勾股定理列出方程求解即可.解 设⊙O 的半径为r ，连结OE 、OA ，并反向延长交AD 于点F .∵⊙O 与BC 边相切于点E ，∴ OE r =，OE BC ⊥.又//AD BC ，OF AD ⊥，6AF =.则8OF EF OE r =-=-.在Rt OAF ∆中，222OF AF OA +=，即222(8)6r r -+=， 解得 6.25r =.∴⊙O 的半径为6.25.二、一个直角三角形的三条边可以用含同一个未知数的代数式表示这类问题与第一类类似，关键是要结合题目的条件，利用折叠、相似等性质，找到或者构造这样的一个直角三角形，将三边用含同一个字母的代数式表示，然后利用勾股定理列出方程，求解即可.1、利用折叠建立数量关系例4 (2018年杭州中考题)如图4，折叠矩形纸片ABCD 时，发现可以进行如下操作:①把ADE ∆翻折，点A 落在DC 边上的点F 处，折痕为DE ，点E 在AB 边上;②把纸片展开并铺平，得到正方形AEFD ;③把CDG ∆翻折，点C 落在直线AE 上的点H 处，折痕为DG ，点G 在BC 边上.若2AB AD =+，1EH =，则AD = .分析若设AD x =，由折叠可知2DH DC x ==+，1AH AE HE x =-=-.在Rt ADH ∆中，三条边长可以用含x 的代数式表示，利用勾股定理列出方程求解即可.解 设AE AD x ==，则1AH AE HE x =-=-.由③，可知2DH DC AB x ===+.在Rt ADH ∆中222AD AH DH +=，即222(1)(2)x x x +-=+，解得13x =+，23x =-(舍).∴3AD =+ 2、利用相似建立数量关系例5 (2017年潍坊中考题)如图5，将一张矩形纸片ABCD 的边BC 斜着向AD 边对折，使点B 落在AD 边上，记为'B ，折痕为CE ;再将CD 边斜向下对折，使点D 落在'B C 边上，记为'D ，折痕为CG ，''2B D =，13BE BC =，矩形纸片ABCD 的面积为 . 分析 由折叠，可知'90EB C B ∠=∠=︒.根据“一线三垂足”模型，易证''AEB DB C ∆∆，且相似比为13.在'Rt AEB ∆中，若设BE x =，则三边都可以用含x 的代数式表示，利用勾股定理列出方程求解即可.解 设BE x =，则3BC x =.折叠可得'90EB C B ∠=∠=︒，'32CD CD x ==-，3222AE x x x =--=-.∵A D ∠=∠，''EB A B CD ∠=∠，∴''AEB DB C ∆∆， ∴''1'3AB B E BE CD B C BC ===， 12'33A B CD x ==- ∴在'Rt AEB ∆中，222''AE AB B E +=， 即2222(22)()3x x x -+-=， 解得123x =(舍)，253x = ∴5BC =，3AB =，∴矩形纸片ABCD 的面积为15. 三、两个直角三角形有一条边相等(公共边)在有些问题中，可以找到这样的两个直角三角形，它们有一条边相等，有些情况下这条相等的边是一条公共边;其它的边长或者已知，或者可以用含同一个字母的代数式表示.根据勾股定理，利用这条公共边列方程求解即可例6 (2017年威海中考题)如图6，四边形ABCD 为一个矩形纸片，3AB =，2BC =，动点P 自D 点出发沿DC 方向运动至C 点后停止. ADP ∆以直线AP 为轴翻折，点D 落到点1D 的位置.设DP x =.(1)略.(2)当x 为何值时，直线1AD 过BC 的中点E ?分析 根据条件，1D P 、1D E 、PC 可以用含x 的代数式表示.若连结PE ，注意到在1Rt PD E ∆和Rt PCE ∆中，有一条公共边PE ，根据222211PD D E PC CE +=+，列方程求解即可.解 连结PE ，由折叠，可知1D P DP x ==，3PC x =-.∵12AD AD ==，∴12D E =.在1Rt PD E ∆和Rt PCE ∆中，222211PD D E PC CE +=+，即22222)(3)1x x +=-+，解得x =. 例7 (2018年宁波中考题)如图7，在菱形ABCD 中，2AB =，B ∠是锐角，AE BC ⊥于点E ，M 为AB 的中点，连结MD 、ME .若90EMD ∠=︒，则cos B 的值为 .分析 要求cos B 的值，只需要求BE 的长.利用条件“M 为AB 的中点”，结合菱形的对边分别平行的性质，可延长DM 、CB 交于点F ，证明ADM BFM ∆≅∆，从而得到DE EF =.若设BE x =，则2DE EF x ==+，注意到在Rt ABE ∆和Rt ADE ∆中，有一条公共边AE ，根据2222AB BE DE AD -=-，列方程求解即可.解 延长DM 、CB 交于点F ，连结DE ，则有ADM BFM ∆≅∆，∴DM MF =.又∵90EMD ∠=︒，∴ME 是DF 的垂直平分线，∴DE EF =.设BE x =，则2DE EF x ==+.在Rt ABE ∆和Rt ADE ∆中2222AB BE DE AD -=-，即2222(2)22x x +-=-，解得1x =-±∴1EB =-+∴1cos 2BE B AB ==.。

掌握几何解题技巧让初中数学得心应手几何学是初中数学中一个重要的分支，也是考验学生解题能力和逻辑思维的关键领域。

对于大部分学生来说，几何解题一直是一道难题。

然而，只要掌握了一些解题的技巧，几何题目就能变得得心应手。

本文将介绍一些几何解题的技巧，帮助初中学生提高解题能力。

一、理解题意，画出几何图形解决几何题目的第一步是要明确题目的要求，正确理解题目中的条件和关系。

针对所给条件，可以选择合适的方法来解题。

在解题过程中，画出几何图形是必不可少的。

通过画图，能够直观地了解题目中所给条件之间的关联，为下一步的解题提供帮助。

二、利用几何基本定理几何学有许多基本定理，如垂直定理、平行定理、相似三角形定理等。

熟练掌握这些基本定理的条件和推论，能够在解题时洞察问题的本质，快速找到解题的方法。

在应用基本定理时，要特别注意证明过程的正确性，严谨而详细。

三、利用相似和全等相似和全等是几何学中常见的重要概念。

在解决几何问题时，观察图形是否相似或全等，可以为解题提供重要线索。

通过观察相似和全等的特点，可以得到一些相等的边角关系，从而简化解题过程。

四、运用比例和比例关系比例作为数学中基本的概念，在几何解题中也有广泛的应用。

通过设定比例关系，建立几何图形中各个部分之间的数量关系，可以解决一些常见的几何问题。

同时，在解题过程中，要善于运用比例关系，将几何题目与代数问题相结合，提高解题的效率。

五、利用图形的对称性图形的对称性是几何学中的一个重要性质。

通过观察图形的对称性，可以发现一些隐藏的关系，从而为解题提供线索。

对称性可以简化问题的结构，减少解题的复杂度。

因此，在解题时，要善于发现图形的对称性，并加以利用。

六、运用勾股定理和正弦定理勾股定理和正弦定理是几何学中的重要定理，在解决与三角形有关的几何问题时经常被应用。

通过应用勾股定理和正弦定理，可以求解直角三角形的边长，计算不规则三角形的角度等。

因此，在解决几何问题时，要熟练掌握这两个定理，并巧妙运用。

中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度．为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程，达到快准解题．类型一共线问题转化法解决圆锥曲线中的三点共线问题通常用转化法．例1(2024·福建泉州实验中学段考)点F 是抛物线Γ：y 2＝2px (p >0)的焦点，O 为坐标原点，过点F 作垂直于x 轴的直线l ，与抛物线Γ交于A ，B 两点，|AB |＝4，抛物线Γ的准线与x 轴交于点K .(1)求抛物线Γ的方程；(2)设C ，D 是抛物线Γ上异于A ，B 两点的两个不同的点，直线AC 与BD 交于点E ，直线AD 与BC 交于点G ，证明：E ，K ，G 三点共线．解(1)抛物线Γ：y 2＝2px (p >0)的焦点为p 2，0，过点F 作垂直于x 轴的直线l ，与抛物线Γ交于A ，B 两点，且|AB |＝4，不妨设p 2，2，B p 2，－2则22＝2p ·p 2，解得p ＝2或p ＝－2(舍去)，所以抛物线Γ的方程为y 2＝4x .(2)如图，由(1)知A (1，2)，B (1，－2)，K (－1，0)，设C y 214，y 1D y 224，y 2y 1≠±2，y 2≠±2)，则直线AC 的方程为y －2＝y 1－2y 214－1(x －1)，y －2＝4y 1＋2(x －1)，直线BD的方程为y＋2＝y2＋2y224－1(x－1)，y＋2＝4y2－2(x－1)．－2＝4y1＋2（x－1），＋2＝4y2－2（x－1），＝y1y2－y1＋y2y1－y2＋4，＝2（y1＋y2）y1－y2＋4，则所以k EK＝2（y1＋y2）y1－y2＋4y1y2－y1＋y2y1－y2＋4－（－1）＝2（y1＋y2）y1－y2＋4y1y2－y1＋y2y1－y2＋4＋1＝2（y1＋y2）y1y2＋4，则直线BC的方程为y＋2＝y1＋2y214－1(x－1)，y＋2＝4y1－2(x－1)，直线AD的方程为y－2＝y2－2y224－1(x－1)，y－2＝4y2＋2(x－1)．＋2＝4y1－2（x－1），－2＝4y2＋2（x－1），＝y1y2－y2＋y1y2－y1＋4，＝2（y1＋y2）y2－y1＋4，则所以k GK＝2（y1＋y2）y2－y1＋4y1y2－y2＋y1y2－y1＋4－（－1）＝2（y1＋y2）y2－y1＋4y1y2－y2＋y1y2－y1＋4＋1＝2（y1＋y2）y1y2＋4，则k EK＝k GK，所以E，K，G三点共线．解析几何证明三点共线的方法(1)直接证明其中一点在过另两点的直线上．(2)证明过其中一点和另两点所连两条直线斜率相等．(3)证明过其中一点和另两点所连两个向量共线．1．(2024·广东花都调研)已知动点M 在圆x 2＋y 2＝3上，过点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足MN →＝3PN →，点P 的轨迹为C .(1)求C 的方程；(2)已知点F (－2，0)，设A ，B 是曲线C 上的两点，直线AB 与曲线x 2＋y 2＝1(x <0)相切．证明：A ，B ，F 三点共线的充要条件是|AB |＝ 3.解(1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0，0)，MN →＝(0，－y 0)，PN →＝(x 0－x ，－y )，由MN →＝3PN →，0＝x ，0＝3y ，因为点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝3上，所以x 2＋(3y )2＝3，即x 23＋y 2＝1，所以C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)当直线AB 的斜率不存在时，直线AB ：x ＝－1，不符合题意；当直线AB 的斜率存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，必要性：若A ，B ，F 三点共线，可设直线AB ：y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，由直线AB 与曲线x 2＋y 2＝1(x <0)相切，可得|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±1，±（x ＋2），y 2＝1，可得4x 2＋62x ＋3＝0，所以x 1＋x 2＝－322，x 1x 2＝34，所以|AB |＝1＋1·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝3，必要性成立．充分性：设直线AB：y＝kx＋b，即kx－y＋b＝0，由直线AB与曲线x2＋y2＝1(x<0)相切，可得|b|k2＋1＝1，所以b2＝k2＋1，kx＋b，y2＝1，可得(1＋3k2)x2＋6kbx＋3b2－3＝0，所以x1＋x2＝－6kb1＋3k2，x1x2＝3b2－31＋3k2，所以|AB|＝1＋k2·（x1＋x2）2－4x1x2＝1＋k21＋k2·24k21＋3k2＝3，化简得3(k2－1)2＝0，所以k＝±1，＝1，＝2＝－1，＝－2，所以直线AB：y＝x＋2或y＝－x－2，所以直线AB过点F(－2，0)，A，B，F三点共线，充分性成立．所以A，B，F三点共线的充要条件是|AB|＝ 3.类型二垂直关系转化法解决圆锥曲线中的垂直关系问题通常是转化为斜率之间的关系或向量的数量积．例2双曲线C：x2－y2＝2右支上的弦AB过右焦点F.(1)求弦AB的中点M的轨迹方程；(2)是否存在以AB为直径，且过原点O的圆？若存在，求出直线AB的斜率k的值；若不存在，请说明理由．解(1)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)．因为双曲线C：x2－y2＝2的右焦点为F(2，0)，所以当AB⊥x轴时，x＝2，y＝0；当AB与x轴不垂直时，x21－y21＝2，x22－y22＝2，两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0.又x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y，所以x(x1－x2)－y(y1－y2)＝0.因为k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k FM ＝y －0x －2，所以x (x －2)－y ·y ＝0，即x 2－2x －y 2＝0.又点(2，0)满足上式，点A ，B 在双曲线x 2－y 2＝2的右支上，所以x ≥2，故所求中点M 的轨迹方程为x 2－2x －y 2＝0(x ≥2)．(2)假设存在以AB 为直径，且过原点O 的圆．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当AB ⊥x 轴时，|AF |≠|OF |，所以可设l AB ：y ＝k (x －2)，因为A ，B 两点都在双曲线右支上，所以k >1或k <－1.由已知，得OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0.(*)2－y 2＝2，＝k （x －2），得(1－k 2)x 2＋4k 2x －4k 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝4k 2k 2－1，x 1x 2＝4k 2＋2k 2－1.所以y 1y 2＝k 2(x 1－2)(x 2－2)＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－2k 2k 2－1，因为x 1x 2＋y 1y 2＝4k 2＋2k 2－1－2k 2k 2－1＝2（k 2＋1）k 2－1≠0，与(*)式矛盾，所以不存在以AB 为直径，且过原点O 的圆．将以AB 为直径的圆经过原点转化为OA ⊥OB ，利用OA →·OB →＝0求解是解决本题的关键．2．(2024·河南平许济洛质检一)已知抛物线C ：x 2＝－4y ，直线l 垂直于y 轴，与C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，过点N 且平行于y 轴的直线与直线OM 交于点P ，记动点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)点A 在直线y ＝－1上运动，过点A 作曲线E 的两条切线，切点分别为P 1，P 2，在平面内是否存在定点B ，使得AB ⊥P 1P 2？若存在，求出定点B 的坐标；若不存在，请说明理由．解(1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (－x 0，y 0)，由题意直线l 垂直于y 轴，与C 交于M ，N 两点，知x 0≠0，过点N 且平行于y 轴的直线方程为x ＝－x 0，直线OM 的方程为y ＝y 0x 0x .令x ＝－x 0，得y ＝－y 0，即P (－x 0，－y 0)，x ＝－x 0，y ＝－y 0，x 0＝－x ，y 0＝－y .因为M 在抛物线C 上，即x 20＝－4y 0，则(－x )2＝－4(－y )，化简得x 2＝4y .由题意知O ，M 不重合，故x ≠0，所以曲线E 的方程为x 2＝4y (x ≠0)．(2)由(1)知，曲线E 的方程为x 2＝4y (x ≠0)，点A 在直线y ＝－1上运动，当点A 在特殊位置(0，－1)时，两个切点P 1，P 2关于y 轴对称，故要使得AB ⊥P 1P 2，则点B 在y 轴上．故设A (m ，－1)，B (0，n )，P 1x 1，14x 21，P 2x 2，14x 22曲线E 的方程为y ＝14x 2(x ≠0)，求导得y ′＝12x ，所以切线AP 1的斜率k 1＝12x 1，直线AP 1的方程为y －14x 21＝121(x －x 1)，又点A 在直线AP 1上，所以－1－14x 21＝12x 1(m －x 1)，整理得x 21－2mx 1－4＝0，同理可得x 22－2mx 2－4＝0，故x 1和x 2是一元二次方程x 2－2mx －4＝0的根，由根与系数的关系，1＋x 2＝2m ，1x 2＝－4，P 1P 2→·AB →2－x 1，14x 22－14x －m ，n ＋1)＝14(x 2－x 1)[－4m ＋(n ＋1)(x 2＋x 1)]＝14(x 2－x 1)[－4m ＋2m (n ＋1)]＝12m (x 2－x 1)(n －1)，当n ＝1时，P 1P 2→·AB →＝0恒成立，所以存在定点B (0，1)，使得AB ⊥P 1P 2恒成立．类型三对称关系转化法对称关系转化法有：将角的关系转化为直线斜率之间的关系，将两条直线的对称关系转化为它们斜率之间的关系等．例3(2024·辽宁抚顺模拟)已知动点M 到定点F (1，0)的距离与到定直线x ＝2的距离之比为22.(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)∀k ∈R ，曲线C 上是否始终存在两点A ，B 关于直线y ＝kx ＋b 对称？若存在，求实数b 的取值范围；若不存在，请说明理由．解(1)设M (x ，y )(x ≠2)，则（x －1）2＋y 2|x －2|＝22，即2[(x －1)2＋y 2]＝(x －2)2，整理得x 22＋y 2＝1，所以点M 的轨迹C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)假设曲线C上始终存在两点A，B关于直线y＝kx＋b对称，当k≠0时，设直线AB的方程为y＝－1kx＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)，y＝－1kx＋t，x22＋y2＝1，整理得1＋2k22－4tkx＋2t2－2＝0，则Δ＝16t2k2－41＋2k2t2－2)＝16k2－8t2＋8>0，所以t2<1＋2k2＝k2＋2k2，x1＋x2＝4tk1＋2k2＝4ktk2＋2.设AB的中点为(x0，y0)，则x0＝x1＋x22＝2ktk2＋2，y0＝－1kx0＋t＝k2tk2＋2，将(x0，y0)代入y＝kx＋b，则b＝y0－kx0＝k2tk2＋2－2k2tk2＋2＝－k2tk2＋2，所以t＝－k2＋2k2b，所以k2＋2k2b<k2＋2k2对k∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒成立，即b2<k2k2＋2对k∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒成立，因为k2k2＋2＝1－2k2＋2∈(0，1)，所以b2≤0，则b＝0.易知当k＝0时，曲线C上存在两点A，B关于直线y＝0对称．所以实数b的取值范围为{0}．对称问题的求解策略(1)解决对称问题的思路是利用待定系数将几何问题转化为代数问题求解．(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点关于直线对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题．3．(2023·山东临沂模拟)如图，已知点F 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，过点F 的动直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，且当直线l 的倾斜角为45°时，|MN |＝16.(1)求抛物线C 的方程；(2)试确定在x 轴上是否存在点P ，使得直线PM ，PN 关于x 轴对称？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．(1)当直线l 的倾斜角为45°时，l 的斜率为1，因为p 2，0，所以直线l 的方程为y ＝x －p 2y ＝x －p 2，y 2＝2px ，得x 2－3px ＋p 24＝0，Δ>0.则x 1＋x 2＝3p ，所以|MN |＝x 1＋x 2＋p ＝4p ＝16，解得p ＝4，所以抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)假设满足条件的点P 存在，设P (a ，0)，由(1)知F (2，0)．显然，直线l 的斜率不为0，设l ：x ＝my ＋2，＝my＋2，2＝8x，得y2－8my－16＝0，Δ>0，则y1＋y2＝8m，y1y2＝－16.因为k PM＝y1x1－a，k PN＝y2x2－a，且直线PM，PN关于x轴对称，所以k PM＋k PN＝0，即(x2－a)y1＋(x1－a)y2＝0，所以(my2＋2－a)y1＋(my1＋2－a)y2＝0，即2my1y2＋(2－a)(y1＋y2)＝2m×(－16)＋(2－a)×8m＝0，解得a＝－2，所以存在唯一的点P(－2，0)，使直线PM，PN关于x轴对称．类型四设而不求法设而不求是解析几何解题的基本手段，是比较特殊的一种思想方法，其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少，通过设出相应的参数，利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡，设而不求．由于设而不求法在解答题中比较常见，而且前面也已经讲了很多，所以在这里以小题为例进行讲解．例4(2023·东北三省四城市联考暨沈阳二模)已知椭圆C：x2a2＋y22＝1(a>2)的离心率为63，过点P C交于A，B两点，且满足|PA|＝|PB|，若M为直线AB上任意一点，O为坐标原点，则|OM|的最小值为()A．1B．2C．2D．22答案B解析由题意，得ca＝63，即c2a2＝1－b2a2＝1－2a2＝23，则a2＝6>2，过P C 交于A，B两点，且满足|PA|＝|PB|，则P为线段AB的中点，设A(x A，y A)，B(x B，y B)，所以x A＋x B＝3，y A＋y B＝1，又x2A6＋y2A2＝1，x2B6＋y2B2＝1，则x2A－x2B6＋y2A－y2B2＝0，即（x A＋x B）（x A－x B）6＝－（y A＋y B）（y A－y B）2，所以y A－y Bx A－x B＝－x A＋x B3（y A＋y B）＝－1，故直线AB的方程为y－12＝－即x＋y－2＝0，所以|OM|的最小值为|－2|1＋1＝ 2.故选B.(1)本题设出A ，B 两点的坐标，却不求出A ，B 两点的坐标，巧妙地表达出直线AB 的斜率，通过将直线AB 的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．(2)在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”；②“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多．4．(2024·福建诊断性检测)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过F 且倾斜角为π3的直线交C 于A ，B 两点，线段AB 中点的纵坐标为3，则|AB |＝()A ．83B ．4C ．8D ．24答案C解析记AB 的中点为M (x 0，y 0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，显然x 1≠x 2，所以由点差法，得(y 1＋y 2)y 1－y 2x 1－x 2＝2p ，由题意知y 1＋y 2＝23，y 1－y 2x 1－x 2＝tan π3＝3，所以p ＝3，易得直线AB 的方程为y ＝3x －32则x 0＝33y 0＋32＝33×3＋32＝52，即x 1＋x 2＝2x 0＝5，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝8.故选C.类型五整体换元法变量换元的关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而将非标准型问题转化为标准型问题，将复杂问题简单化．整体换元法常用于求解最值、范围问题．例5设双曲线C ：x 23－y 2＝1，其右焦点为F ，过F 的直线l 与双曲线C 的右支交于A ，B 两点．(1)求直线l 的倾斜角θ的取值范围；(2)直线AO (O 为坐标原点)与双曲线C 的另一个交点为D ，求△ABD 面积的最小值，并求此时直线l 的方程．解(1)由双曲线C ：x 23－y 2＝1，得c 2＝3＋1＝4，则右焦点F (2，0)，显然直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x ＝my ＋2，y 2＝1，my ＋2，得(m 2－3)y 2＋4my ＋1＝0.因为直线l 与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则Δ＝16m 2－4(m 2－3)>0，y 1＋y 2＝－4m m 2－3，y 1y 2＝1m 2－3.＝16m 2－4（m 2－3）>0，1＋x 2＝m （y 1＋y 2）＋4＝－4m 2m 2－3＋4>0，1x 2＝（my 1＋2）（my 2＋2）＝m 2y 1y 2＋2m （y 1＋y 2）＋4＝m 2m 2－3－8m 2m 2－3＋4>0，解得－3<m <3，当m ＝0时，直线l 的倾斜角θ＝π2；当m ≠0时，直线l 的斜率k >33或k <－33，综上，直线l 的倾斜角θ(2)因为O 是AD 的中点，所以S 2×12|OF |×|y 1－y 2|＝2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝212m 2＋12（m 2－3）2，令t ＝m 2－3，则t ∈[－3，0)，S △ABD ＝43·t ＋4t2＝43·4t 2＋1t ＝43·4u 2＋u ，其中u ＝1t ，且u∞，－13.又y ＝4u 2＋u ∞，－13上单调递减，所以S △ABD ≥433，当u ＝－13，即m ＝0时取得最小值，此时直线l 的方程为x ＝2.通过整体换元法，可以降低求解难度，但要注意新元的取值范围，以保证等价转化，整体换元后，一般利用函数的性质求最值或范围．5．(2024·湖南岳阳调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)经过点P 23，223为F 1，F 2，O 为坐标原点，且|PF 1|＋|PF 2|＝4.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设A 为椭圆C 的右顶点，直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，以MN 为直径的圆过点A ，求|AM |·|AN |的最大值．解(1)根据题意，49a 2＋89b 2＝1，|PF |＋|PF 2|＝4＝2a ，a 2＝4，b 2＝1，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)得A (2，0)，由题可设直线l 的方程为x ＝my ＋t (t ≠2)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，x ＝my ＋t ，x 24＋y 2＝1，得(m 2＋4)y 2＋2mty ＋t 2－4＝0，所以Δ＝(2mt )2－4(m 2＋4)(t 2－4)＝16m 2－16t 2＋64>0，y 1＋y 2＝－2mt m 2＋4，y 1y 2＝t 2－4m 2＋4，又y 1y 2<0，所以t 2<4，即－2<t <2，x 1＋x 2＝(my 1＋t )＋(my 2＋t )＝m (y 1＋y 2)＋2t ＝m －2mt m 2＋42t ＝8t m 2＋4，x 1x 2＝(my 1＋t )(my 2＋t )＝m 2y 1y 2＋mt (y 1＋y 2)＋t 2＝m 2·t 2－4m 2＋4＋mt ·－2mt m 2＋4＋t 2＝－4m 2＋4t 2m 2＋4.因为以MN 为直径的圆过点A ，故AM ⊥AN ，所以AM →·AN →＝0，所以(x 1－2，y 1)·(x 2－2，y 2)＝0，所以－2(x 1＋x 2)＋x 1x 2＋y 1y 2＋4＝0，所以－2×8t m 2＋4＋－4m 2＋4t 2m 2＋4＋t 2－4m 2＋4＋4＝0，所以5t 2－16t ＋12m 2＋4＝0，解得t ＝65或t ＝2(舍去)．当t ＝65时，Δ>0，且|MN |＝m 2＋1|y 1－y 2|，点A 到MN 的距离为d ＝|2－t |m 2＋1，所以S △AMN ＝12|AM |·|AN |＝12|2－t |·|y 1－y 2|＝12|2－t |·4m 2t 2－4（t 2－4）（m 2＋4）m 2＋4，化简得|AM |·|AN |＝165×m 2＋6425m 2＋4.令s ＝m 2＋6425≥85，则m 2＋4＝s 2＋3625，所以|AM |·|AN |＝165×s s 2＋3625＝165×1s ＋3625s.由对勾函数的单调性，知y ＝s ＋3625s在85，＋，即当s ＝85，m ＝0时，y ＝s ＋3625s 取得最小值52，此时(|AM |·|AN |)max ＝165×152＝3225.。

首先，我们要明确一点，代数法和几何法是两种不同的解题思路。

代数法主要是通过代数运算和方程求解来解决问题，而几何法则是通过图形的性质和关系来解决问题。

对于高中数学中的几何题，我们通常可以采用以下步骤来用代数法解题：
1. 建立坐标系：根据题目的具体情况，选择合适的坐标系，将几何问题转化为代数问题。

2. 设定变量：在坐标系中设定一些变量，这些变量通常代表点、线、面的坐标。

3. 建立方程：根据题目条件，建立关于这些变量的方程。

这些方程通常是一些代数表达式，可以反映几何图形的性质和关系。

4. 解方程：通过代数方法求解这些方程，得到变量的值。

5. 得出结论：根据解得的变量值，得出几何问题的答案。

下面我们通过一个具体的例子来说明如何用代数法解几何题：
题目：已知圆C的方程为x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 = 0，求圆C的圆心和半径。

解法：
1. 建立坐标系：以圆心为原点，建立直角坐标系。

2. 设定变量：令圆心为(a, b)，半径为r。

3. 建立方程：根据题目条件，圆的方程可以表示为(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2。

将这个方程与题目给出的方程x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 = 0 对比，可以得到两个方程：
-2a = -2, -4b = -4。

4. 解方程：解这两个方程，得到a = 1, b = 2。

5. 得出结论：根据解得的a和b的值，可以得出圆心为(1, 2)，半径为r = \sqrt{(1-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{5}。

数学几何题目解题技巧整理解题技巧一：理清题目要求在解决数学几何题目之前，首先要仔细阅读题目，理解题目要求。

要注意判断题目所给条件以及需要推导的结论，确保清楚问题所涉及的几何概念和定理。

解题技巧二：绘制清晰准确的图形绘制图形有助于我们更好地理解题目，并直观地观察几何形状之间的关系。

在绘制图形时，要保证图形清晰、准确，注重比例和尺寸的准确性。

同时，要标注出已知条件和需要求解的未知量，以便后续分析和推导。

解题技巧三：利用几何性质和定理在解决几何问题时，我们需要充分利用已知的几何性质和定理来推导未知量。

熟练掌握一些基本的几何定理，如勾股定理、相似三角形的性质、圆的性质等，可以为我们解题提供很大的帮助。

同时，要注意将题目中的几何条件与相应的定理进行联系，灵活应用。

解题技巧四：使用代数方法解题有些几何问题可以通过代数方法求解，特别是涉及到线性方程组、二次方程等等。

当几何问题难以直接求解或分析时，可以通过引入代数符号，构建代数方程来辅助解题。

这样可以将几何问题转化为代数问题，应用代数知识进行求解。

解题技巧五：巧妙利用相似性和比例关系相似性和比例关系在几何问题中经常出现，并且常常与几何图形之间的性质相关。

我们可以利用相似性和比例关系来推导出未知量的值，或者利用已知条件与要求解的未知量之间的比例关系来求解。

解题技巧六：思维灵活，多角度分析在解决几何问题时，我们要善于思维灵活，从不同角度分析问题。

有时候，同一个问题可以通过不同的方法来解答，甚至可以从多个角度来理解和解读。

学会多角度思考可以帮助我们更好地理解问题，并找到更有效的解题方法。

解题技巧七：切忌心急冒进在解决几何问题时，切勿心急冒进，要耐心分析和推导，逐步解决问题。

一步一步地进行推导，确保每个步骤都是正确的，避免出现错误。

如果遇到难题，可以先暂时搁置，放松一下思维，或者尝试其他解题思路，寻找突破口。

总结：数学几何题目的解题技巧包括理清题目要求、绘制清晰准确的图形、利用几何性质和定理、使用代数方法解题、巧妙利用相似性和比例关系、思维灵活多角度分析以及切忌心急冒进。

“数形结合”巧解数学题作者：朱允著来源：《师道·教研》2012年第07期数形结合，顾名思义就是把数学问题中的数量关系与几何图形结合起来，使“数”和“形”各展其长，优势互补，相辅相成，使逻辑思维和形象思维完美地统一起来.正如我国著名数学家华罗庚先生所言：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞？数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”数是形的灵魂，形是数的翅膀，二是相互联系、相互补充、密不可分.每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之，数量关系又常常可以通过几何图形作出直观地反映和描述.一、以形助数，直观明朗许多代数问题，可根据题设中的数量关系的几何意义，联想构造出与之相关的几何图形（图示、图象、图表等），使原问题所蕴含的数量关系，通过图形直观、整体、鲜明地表示出来，从而使原问题获得巧妙的解答，这种创造性思维方式，不妨称之为“以形助数”.例1已如cosα+cosβ=1，求sinα+ sinβ的最值.解：构造圆心在原点的单位圆，如图1所示，在单位圆上取两点A(cosα，sinα)和B(cosβ，sinβ)，则AB连线的中点坐标M为（■,■），由cosα+cosβ=1可知M点坐标为（■,■），当M点在弦CD上移动时，可得-■≤■≤■，即－■≤sinα+sinβ≤■. ∴ sinα+sinβ的最小值是-■，最大值是■.本题仅凭代数方法难以求解.根据题目中cosα+cosβ=1和sinα+sinβ的特点，联想到圆心在原点的单位圆上的点的坐标（cosα, sinα）和（sinα, sinβ），构造出图1后，可直观清晰地体现出题中式子cosα+cosβ和sinα+sinβ与弦AB的中点坐标相关，从而巧妙地找到解题之路.正如美国数学家斯蒂思所说的：“如果一个代数问题可以被转化为一个图形，那么，思想就整体地把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法.”“以形助数”的解题方法，其作用有如“春雨断桥人不渡，小舟撑出柳荫来”.行人要过河，恰逢断桥受阻，可喜的是，柳荫深处悠悠撑出小舟一只，渡过行人.构造之图形好似撑出之小舟，它能及时渡过解题难关.用“以形助数”的方法解题既要明确目的，即需要构造什么图形，又要清楚题设条件的特点，以便依据特点设计构造途径和形式.明确目的、掌握特点是“以形助数”解题的关键.二、以数辅形，简便灵巧不少几何问题，可针对其图形的特点，寻找恰当表达问题的数量关系，将图像信息转换为代数信息，让几何问题代数化，巧妙利用代数的知识解决几何问题.这种解题方法，不妨称之为“以数辅形”.例2在正方形ABCD内取一点E，使∠EBC=∠ECB=15°，连结AE、DE，求证：△AED是正三角形.证明：建立如图2所示的平面直角坐标系，设正方形边长为2，则B（0,0），C（2,0），A（0,2），D（2,2），E点坐标为（1,tan15°），即E（1,2－■）.∴AE=■=2，DE=■=2，而AD=2，∴△AED是正三角形.本题仅凭“纯几何”的方法难以证明，但题目中给出了边和角度的数量关系，且图形对称，故可考虑建立平面直角坐标系，用坐标法求得AE、DE的长度，与AD等长，灵巧而简便地解答了问题.当几何问题中“形缺数时”，往往使人感受到“难入微”的困惑，对于这类问题，要善于挖掘图形特点，利用代数的性质，得出相应的数量关系，实现由形到数的转化，让几何问题代数化，使问题化难为易.在“以数辅形”解题中，常用的方法是解析法，也即坐标法，对于具有明确的数量关系的命题和具有对称图形、图形中各元素有一定的位置关系的命题，用解析法解题是很方便的，除前面所列出常见的“数”与“形”的对应关系外，还有利用斜率关系证明直线的平行或垂直，利用距离公式证明线段的相等或不等.这种利用“以数辅形”来解决“纯几何”问题的解题思维，往往有“出人意料之外，又在情理之中”的效果，其方法别开生面，不仅能拓宽思维，开阔解题思路，有益于培养学生良好的思维品质，对几何与代数知识的综合、熟练掌握也有促进作用.。