构造几何图形巧解向量问题

立体几何向量法解题步骤嘿，小伙伴们！今天咱们来讲讲立体几何向量法解题的步骤呀。

一、建立合适的空间直角坐标系1. 首先呢，你得观察这个立体几何图形的特点。

看看有没有现成的互相垂直的三条棱或者三条线呀。

这一步很关键哦！要是找不到现成的，你可能就得自己想办法构造啦。

比如说，利用图形中的垂直关系，像正方体、长方体那些棱就很好找垂直关系啦。

不过呢，有时候图形比较复杂，这就需要你多花点时间仔细观察啦。

我自己做的时候，在这个环节都会特别小心，因为这个坐标系建得好不好，直接影响后面的计算呢。

你可千万别小瞧这一步呀！2. 确定好坐标轴之后呢，把原点定好。

这就像给整个解题过程打地基一样重要呢。

通常我们会选择图形中比较特殊的点作为原点，比如顶点或者对称中心之类的。

这一步看起来很简单，但建议不要跳过，避免后续出现问题。

二、求出相关点的坐标1. 在坐标系建立好之后，就要找出题目中涉及到的点的坐标啦。

这时候呢，你要根据图形的已知条件，比如边长比例关系呀来确定坐标。

有些点的坐标可能很容易看出来，但是有些可能就需要你稍微推导一下喽。

比如说，如果知道一个点在某条棱上，而且知道它的比例位置，那就可以通过计算得到坐标。

我在求坐标的时候，经常会反复核对好几遍呢，因为一旦坐标错了，后面可就全错啦，这一点真的很重要，我通常会再检查一次，真的，确认无误是关键。

三、求出相关向量的坐标1. 根据已经得到的点的坐标，就可以求出我们需要的向量的坐标啦。

这一步就是简单的坐标相减啦。

不过呢，可别粗心算错了哦。

我就有过这样的经历，因为一个小的计算失误，结果整个题都做错了，真是太懊恼了！所以在这一步也要认真对待呢。

2. 如果涉及到多个向量，要一个一个耐心地求出来。

这时候，你可以把每个向量的坐标都写清楚，这样后面计算的时候就不容易混淆啦。

四、利用向量的运算解决问题（比如求角度、距离等）1. 要是求异面直线所成的角呢，我们就可以利用向量的夹角公式啦。

先算出两个向量的点积，再算出它们的模长，然后根据公式就能求出夹角的余弦值啦。

立体几何空间向量解题方法
在立体几何中，空间向量是非常重要的概念。

它们可以帮助我们解决许多与立体图形有关的问题。

在本文中，我将为你介绍一些常见的立体几何空间向量解题方法。

首先，了解空间向量的定义是非常重要的。

空间向量是具有大小和方向的量，它由三个有序数组成，分别表示向量在x、y和z方向上的分量。

我们可以使用向量的加法、减法、数量乘法和点乘等运算来对它们进行操作。

在解决立体几何问题时，我们可以使用空间向量的叉乘来计算两个向量的法向量。

叉乘的结果是一个垂直于原始向量的向量，它的大小等于两个向量构成的平行四边形的面积。

这对于计算平面或体积问题非常有用。

另一个常见的解题方法是在空间中使用坐标系和向量方程。

我们可以将立体图形的各个点表示为向量的组合，从而形成一个向量方程。

通过对这个向量方程进行运算，我们可以解决与距离、相交等问题相关的几何问题。

此外，使用投影也是解决立体几何问题的一种方法。

通过将立体图形投影到一个平面上，我们可以得到更简化的问题，从而更容易解决。

投影可以是正交投影或透视投影，具体取决于问题的要求。

最后，解决立体几何问题时，我们还可以使用向量的尺度模型来求解。

通过对向量进行缩放和平移，我们可以轻松地推导出两个图形之间的关系，例如相似性、共面性等。

综上所述，立体几何空间向量解题方法多样且灵活。

我们可以根据具体问题的要求选择适当的方法来求解。

通过熟练掌握这些方法，我们能够更好地理解立体几何，并且能够解决各种与立体图形相关的问题。

利用向量解决平面几何问题的方法与技巧平面几何是数学中的一个重要分支，它研究平面上的点、直线、圆等几何图形及其性质。

解决平面几何问题时，常常可以运用向量的概念和运算来简化计算和分析过程。

本文将介绍一些利用向量解决平面几何问题的方法与技巧。

一、向量的基本概念与运算在讨论向量解决平面几何问题之前，首先需要了解向量的基本概念和运算。

向量是具有大小和方向的量，可以表示为箭头形式或坐标形式。

向量的加法满足交换律和结合律，即（a+b）+c=a+（b+c），a+b=b+a。

向量的数乘是将向量的长度进行拉伸或压缩的操作，结果仍是一个向量。

二、利用向量进行辅助构造1. 向量平移在解决平面几何问题时，有时可以通过向量平移来简化问题。

设有一个平面几何问题，已知点A，B，C等多个点，需要求得某个点D。

可以选择一个已知向量，用它将所有的点平移，然后通过平移后的点的位置关系来确定点D的位置。

2. 向量加法构造向量当需要得到几何图形中的一个向量时，可以利用已知向量进行向量加法构造。

例如，已知直线上的两个点A和B，需要求得直线上的另一个点C，可以利用已知向量AB和一条与直线垂直的向量得出向量AC，从而确定点C在直线上的位置。

三、利用向量进行问题的求解1. 直线和向量的关系在平面几何中，直线可以由点和向量唯一确定。

已知直线上的两点A和B，通过向量AB可以得到直线上的一个特征向量。

2. 平行和共线的判定利用向量的平行性质，可以方便地判定两条直线是否平行或共线。

若两个向量的方向相同或相反，则两条直线平行；若两个向量共线，则两条直线共线。

3. 角度和向量的夹角利用向量的内积，可以求得两个向量之间的夹角。

已知两个向量a和b，它们的夹角θ满足公式cosθ=(a·b)/(|a||b|)。

4. 平面和向量的关系在解决平面几何问题时，有时可以通过平面的法线向量来简化问题。

已知平面上的三个点A、B、C，可以通过向量AB和向量AC求得平面的法线向量，从而得到平面的方程。

=1+12(2cos60°cos40°)-12(cos40°-cos120°)=1+12cos40°-12cos40°+12cos120°=1-14=34.四、其它转化在求值问题中,除了重组角度转化之外,还应重视三角函数名,结构等方面的转化,如:①切割化弦;②降幂转化来计算.例6　求tan20°+4sin20°的值.分析:对此类问题一般先将切化弦:tan20°+4sin20°=sin20°cos20°+4sin20°=sin20°+4sin20°cos20°cos20°由于题目中出现了20°与40°的角,其和为60°的特殊角,这样就为转化带来了空间,而且方法不是唯一的.变式1　tan20°+4sin20°=sin20°+2sin40°cos20°=sin(60°-40°)+sin40°cos20°=sin60°cos40°-cos60°sin40°+2sin40°cos20°=32cos40°-12sin40°+2sin40°cos20°=32cos40°+32sin40°cos20°=3(12cos40°+32sin40°)cos20°=3sin70°cos20°=3.变式2　tan20°+4sin20°=sin20°+2sin(60°-20°)cos20°=sin20°+3cos20°-sin20°cos20°=3cos20°cos20°=3.以上几种形式的转化求值问题,只是在三角函数教学中比较普遍存在的转化思想的体现,在很多的具体求值中,还有些异于上述的其它方法.但任何问题的解决都是将未知转化为已知的过程,在三角函数求值中体现得更为突出.在教学中应提炼出来,以便于学生共享.黑龙江省农垦总局哈尔滨分局高级中学(150088)●韩晓辉巧用平面向量解立体几何问题 平面向量是解答立体几何问题的一种快速、简捷的运算工具.不少复杂的立体几何问题,引入平面向量后,通过将空间元素的位置关系转化为数量关系,将过去的形式逻辑证明转化为数值运算,即借助平面使解题模式化,用机械性操作把问题转化,因此,平面向量为立体几何代数化带来了极大的便利.下面,介绍平面向量在立体几何中的应用.例1　如图1,AB、CD为异面直线,CD<平面α,AB∥平面α,M、N分别是AC、BD的中点,求证MN∥平面α证明因为D<平面α,B∥平面α且··数理化学习(高中版)©:.:C A12AB 、CD 异面,所以在α内存在�a 、�b 使AB =�a ,CD =�b ,且�a 、�b 不共线,由M 、N 分别是AC 、BD 的中点,得MN =12(MB +MD )=12[(MA +AB )+(MC +CD )]=12[(MA +AB )+(MC +C D )]=12[-M C +AB +MC +CD ]=12[AB +CD ]=12(�a +�b ),即MN 与�a 、�b 共面.又因为�a 、�b 在平面α内,故MN ∥平面α或MN <平面α,而若MN <平面α,则A B 、C D 同在平面α内,与AB 、CD 为异面直线矛盾,所以MN ∥平面α.例2　正四面体V -ABC 的高VD 的中点为O ,AC 的中点为M.求证:A O 、BO 、CO 两两垂直.证明:设V A =�a,V �b =�b ,VC =�c ,正四面体棱长为m,则VD =13(�a +�b +�c ),A O =16(�b +�c -5�a ),BO =16(�a +�c -5�b ),CO =16(�a +�b -5�c ).因为AO ·BO =136(�b +�c -5�a )·(�a +�c -5�b )=0,所以AO ⊥BO,即AO ⊥BO,同理,AO ⊥CO ,BO ⊥C O.例3　如图3,在三棱锥S -A BC 中,∠S AB =∠S AC =∠AC B =90°,AC =2,SA =23,BC =13,S B =29.证明:(1)SC ⊥BC;(2)求异面直线SC 与AB 所成角α的余弦值.解:(1)证明:由题意,S ·B =,·B =,所以S ·B =(S +)·B =S A ·CB +AC ·C B =0,即SC ⊥BC .(2)因为SC ·AB =(S A +AC)·(AC +C B )=S A ·AC +SA ·C B +AC ·AC +AC ·CB =0+0+|AC |2+0=|AC |2=4,|SC |=(23)2+22=4,|A B |=(13)2+22=17,所以cosα=SC ·AB |SC |·|AB |=4417=1717.例4　如图3,已知平行六面体ABC D -A 1B 1C 1D 1的底面是菱形,且∠C 1CB =∠C 1C D=∠BC D =60°.(1)证明:C 1C ⊥BD ;(2)当CDCC 1的值为多少时,能使A 1C ⊥平面C 1BD 请给予证明.证明:(1)取C D 、CB 、CC 1为空间的一个基.因为∠C 1CB =∠BC D =60°,ABCD 是棱形,所以|C D |=|CB |,又因为BD =C D -CB,所以CC 1·BD =CC 1·(C D -CB )=CC 1·CD -CC 1·C B =0.所以C 1C ⊥BD.(2)设CDCC 1=λ(λ>0),即|C D |=λ|CC 1|时,能使A 1C ⊥平面C 1BD.因为C 1D ∩BD =D ,所以A 1C ⊥平面C 1BD ΖA 1C ⊥C 1D 且A 1C ⊥BD ΖA 1C ·C 1D =0且A 1C ·BD =0.因为=(D +B +),D =D ,<B,D >=6°,<B ,>=6°,··数理化学习(高中版)©A C 0AC C 0C C A AC C A 1C -C C CC 1C 1C -CC 1C C 0C CC 1022|CD|=|CB|,所以A1C·C1D=-(|C D|2-CD·CC1+ CB·CD-CB·CC1+CC1·CD-|CC1|2)=-(λ2|CC1|2+12λ2|CC1|2-12λ|CC1|2-|CC1|2)=-(32λ2-12λ-1)|CC1|2.所以A1C·C1D=0Ζ32λ2-12λ-1=0Ζ(λ-1)(3λ+2)=0,因为λ>0,所以λ=1.经验证,当λ=1时,A1C·C1D=0.即当C DCC1=1时,能使A1C⊥平面C1BD.前面这些题目若采用传统的立体几何方法证明,大多数不可避免地需要添加“辅助线”,然后再分别证明线线平行(垂直)或面面平行(垂直),而这些证法与用平面向量法相比,显然难度是大的.因此,平面向量确实是处理立体几何问题的重要而又简便的方法.作为平面向量的主要技巧,是将相关量表示为基向量的形式,把问题转化为平面向量的运算,这与把空间图形关系转化为平面图形关系的传统解法相比,显然是更高的思维方式,它抓住了空间的主要特征和其内在规律,使“纷繁复杂的现象变得井然有序.”河北省乐亭县第一中学(063600)●张云飞线段定比分点的向量公式及应用例举(一) 线段的定比分点公式是同学们所熟悉的重要公式,它在中学数学中有较为广泛的应用,近几年的高考也时有涉及,如2000年全国高考文理科倒数第一大题都直接考查了定比分点公式的运用.同学们所熟悉的是定比分点的坐标公式,其实,除此以外,定比分点公式还有其向量形式.运用定比分点的向量形式解题有时显得更为简洁明快.一、线段的定比分点向量公式设P1、P2是直线l上的两点,点P是l上不同于、的任意一点,O 是平面内任意一点,设O P1=�a,O P2=�b,P分有向线段P1P2所成的比为λ,则有O P=�a+λ�b1+λ.证明:如图1,因为P1P=O P-�a,.PP2=�b-O P,P1P=λPP2,所以O P-�a=λ(�b-O P)所以O P=�a+λ�b1+λ①公式①就是线段的定比分点向量公式.二、应用例1　在△ABC中,已知D是BC的中点, E是AD的中点,直线B E交AC于F,求证:CF =2FA.证明如图,在△B中,设BD=�,B=�,·3·数理化学习(高中版)©P1P2:2A Ca A b2。

向量是高中数学中的重要内容.向量问题经常出现在各类试题中，其常见的命题形式有：（1）求两个向量的数量积及取值范围；（2）求某个向量的模的最值；（3）求向量中参数的取值范围；（4）判断两个向量的位置关系；等等.这就要求同学们熟练掌握并灵活运用各种求解向量问题的方法和思路.下面介绍三种解答向量问题常用的途径.一、利用几何法几何法是指根据向量的几何意义来画出图形，将问题转化为几何图形的位置关系、距离、最值问题来求解.这就要求我们熟练掌握并运用向量的几何意义：（1）向量的加法意义：三角形法则、平行四边形法则；（2）向量的模的几何意义：向量所在线段的长；（3）两个向量数量积的几何意义：一个向量的模与其在另一个向量方向上的投影的乘积.在求解与向量的模或角度有关的问题时，通常可将某个向量看作三角形、四边形、多边形的一条边，利用这些几何图形的性质以及位置关系来解题.例1.在等腰△BCE 中，若∠C =90°，BC =4，那么向量 BE ∙BC =_____.解：由于∠C =90°，可知BC 、EC 分别为等腰△BCE 的两条直角边，由于等腰直角三角形的两腰相等，所以BC =4=EC =4，可得BE =42，则 BE ∙ BC =|| BE ∙||BC cos 45°=4×42=16.解答本题，需根据两向量的数量积公式，将求BE ∙BC转化为求|| BE ∙|| BC .只需将|| BE 、|| BC 看作等腰直角三角形的两条边长，根据等腰直角三角形的性质进行求解即可.例2.若 OA =a ，OB =b ，a 与b 不共线，则∠AOB 平分线上的向量为().A.a |a |+b |b | B.a +b |a +b |C.|b |a -|a |b |a |+|b |D.λæèöøa |a |+b|b |，λ由 OM 确定解：以OM 为对角线，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OCMD ，如图1所示.图1∵OM 平分∠AOB ，∴平行四边形OCMD 是菱形．设OC =OD =λ，∴ OC =λa |a |，OD =λb |b |，∴ OM = OC + OD =λæèöøa |a |+b |b |，且λ由 OM 确定.用几何法来解答向量问题，需先将向量所表示的线段“搬”到几何图形中；再借助几何图形的性质，如三角形的性质、圆的性质、平行四边形的性质等来求解.对于本题，我们以OM 为对角线，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OCMD ，根据平行四边形和菱形的性质建立关系式，就能顺利求得问题的答案.二、运用坐标法运用坐标法解答向量问题，首先要建立一个合适的平面直角坐标系；然后设出未知点的坐标，并求得其他点的坐标；再根据向量的运算法则，如加法a +b =(x 1+x 2，y 1+y 2)，减法a -b =(x 1-x 2，y 1-y 2)，数乘运算λa =(λx 1，λy 1)，向量的模|a |=x 21+y 21，其中a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，求得问题的答案.例3.在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，DC ∥AB ，AD =DC =1，AB =2，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，点P 在以A 为圆心、AD 为半径的圆弧DE 上变动(如图2所示)，若AP =λ ED +μ AF ，其中λ，μ∈R ，则2λ-μ的取值范围是_____．解：以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，图2考点透视32图3a ，OB =b ，OM =x a ，得 OM =4x OC ＋y 三点共线，∴4x ＋y =；得 OM =x a ＋2y OD 考点透视。

立体几何向量解题方法
嘿，朋友们！今天咱就来唠唠立体几何向量解题方法。

想象一下哈，你面对那些奇奇怪怪的立体图形，是不是感觉脑袋都大了？就像在迷宫里找不到出口一样。

但是！一用上向量这个神器，哇塞，那就像打开了新世界的大门。

比如说有个三棱锥，那几个面呀，棱呀，看着就让人发愁。

咱就可以用向量来搞定，把那些边呀面呀都转化成向量来研究。

假设这个三棱锥的三个侧面，咱给它标记成向量 a、向量 b 和向量 c，就像给它们起了个小名一样。

然后通过一些运算，嘿，就能求出很多关键的信息啦，比如角度啊，距离啊之类的。

有一次我做一道题，那个立体图形复杂得呀，我都快崩溃了。

但我静下心来，试着用向量去分析，就像给它来了个“解剖”。

慢慢地，我发现了一些规律，就像找到了宝藏的线索一样兴奋！我跟你们说呀，那种攻克难题后的成就感，简直太棒啦！
还有啊，你看向量就像个小魔术棒，能把那些看似很难搞的问题变得简单易懂。

就像孙悟空有了金箍棒，啥妖怪都不怕！咱用向量来解决立体几何问题，不也是这么回事嘛。

哎呀呀，你可别小瞧这向量，它可厉害着呢！只要你掌握了方法，再难的立体几何题都能轻松搞定。

所以呀，大家一定要好好去学向量，去实践，去感受它的奇妙之处。

相信我，一旦你学会了，你就会惊叹：哇塞，原来这么简单呀！就像发现了一个大秘密一样，那感觉，爽歪歪！
总之，向量在立体几何中就是那个能让你如鱼得水的好帮手，别犹豫，赶紧和它成为朋友吧！。

立体几何中几类典型问题的向量解法空间向量的引入为求立体几何的空间角和距离问题、证线面平行与垂直以及解决立体几何的探索性试题提供了简便、快速的解法。

它的实用性是其它方法无法比拟的，因此应加强运用向量方法解决几何问题的意识，提高使用向量的熟练程度和自觉性，注意培养向量的代数运算推理能力，掌握向量的基本知识和技能，充分利用向量知识解决图形中的角和距离、平行与垂直问题。

一、利用向量知识求点到点，点到线，点到面，线到线，线到面，面到面的距离（1）求点到平面的距离除了根据定义和等积变换外还可运用平面的法向量求得，方法是：求出平面的一个法向量的坐标，再求出已知点P 与平面内任一点M 构成的向量MP u u u r的坐标，那么P 到平面的距离cos ,n MP d MP n MP n •=•<>=r u u u r u u u r r u u u rr（2）求两点,P Q 之间距离，可转化求向量PQ uuu r的模。

（3）求点P 到直线AB 的距离，可在AB 上取一点Q ，令,AQ QB PQ AB λ=⊥u u u r u u u r u u u r u u u r或PQ u u u r 的最小值求得参数λ，以确定Q 的位置，则PQ u u u r为点P 到直线AB 的距离。

还可以在AB 上任取一点Q 先求<AB ,cos ，再转化为><,sin ，则PQ u u u r><,sin 为点P 到直线AB 的距离。

(4)求两条异面直线12,l l 之间距离，可设与公垂线段AB 平行的向量n r，,C D 分别是12,l l 上的任意两点，则12,l l 之间距离CD nAB n•=u u u r r r例1：设(2,3,1),(4,1,2),(6,3,7),(5,4,8)A B C D --，求点D 到平面ABC 的距离例2：如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直。