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构造几何图形解决代数问题摘要 数与行是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。
数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。
因此，数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一。
数形结合的应用大致可分为两种情形：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。
本课题调查研究中主要研究“以形助数”的情形。
关键词 数形结合 解题 以形助数 教学1.“以形助数”的思想应用1.1解决集合问题：在集合运算中常常借助于数轴、Venn 图处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。
例:已知集合A=[0，4]，B=[-2，3]，求A B 。
分析：对于这两个有限集合，我们可以将它们在数轴上表示出来，就可以很清楚地知道结果。
如下图，由图我们不难得出AB=[0,3]例:（2009湖南卷文）某班共30人，其中15人喜欢篮球运动，10人喜欢乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为分析：如下图，设所求人数为x ,则只喜爱乒乓球运动的人数为10(15)5,15530812x x x x --=-+-=-⇒=故。
B=[-2,3] A=[0,4]评价：通过上面两个典型例题的学习，我们基本了解了构造几何图形在代数问题中的简单应用，将抽象的集合问题形象地用图形表现出来，形象生动便于思考，找出问题中条件间的相互关系进而方便快捷地解答。
1.2解决函数问题：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。
函数图像的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。
例:（2009山东理）若函数()(01)x f x a x a a a a =-->≠且有两个零点，则实数的取值范围是分析：设函数(0,1)x y a a a =>≠且和函数y x a =+，则函数()(01)x f x a x a a a =-->≠且有两个零点，就是函数(0,1)x y a a a =>≠且与函数y x a =+有两个交点，由图象可知当01a <<时两函数只有一个交点，不符合，当1a >时，因为函数(1)x y a a =>的图象过点（0，1），而直线y x a =+所过的点一定在点（0，1）的上方，所以一定有两个交点，所以一定有两个交点，所以实数a 的取值范围是1a >0<a<1a>1例:若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(,0]-∞上是减函数，且(2)0f =，求()0f x <的x 的取值范围。
巧构几何图形妙解代数问题作者：李冰冰来源：《教师·下》2017年第11期数学是中学的一门重要学科，而数学中的代数是比较复杂且枯燥的，如何解决代数问题，是数学学习过程中的一个难点，因此在解题过程中需要寻找不同的思路与方法。
本文主要探讨如何通过构造几何图形解决代数问题，将数与形结合起来，把代数问题转换成几何图形，有利于直观地看出代数式所表达的内容，能够通过图形将复杂的代数问题简单化，提高解题效率，开发学生思维灵活性，提高学生分析问题、解决问题的能力。
一、代数问题几何化的必要性将代数问题几何化这一思路方法，本质上就是把抽象的代数问题和具象化的几何问题相互结合起来，相互弥补不足之处，如几何问题的长处是能够直观地看出图形，能直观地理解两者之间的关系，但是不足之处则是表达不够简练。
而代数式的表达都比较简练，但是代数是公式化的问题，解决起来比较复杂，没有直观的形象，因此代数问题是让很多学生都头痛的问题。
将代数问题几何化其本质就是把抽象问题具体化，把复杂问题简单化，通过对图形的处理，能够发挥出直观图对抽象代数的支柱作用。
目前全国正在大力推行素质教育，而创新教育是素质教育的重要环节，因此，培养学生的创新能力是全国推广素质教育的重点，而创新能力培养的重点就是加强学生的创新思维能力，创新思维能力的实质是通过不同的思路、不同解题方法的综合运用，在前人解决问题的基础上，通过发散性思维的创造，能够有新的解决问题的思路，在数学的学习上培养学生的创新能力，也显得尤为重要。
本文通过对勾股定理将代数问题几何化的研究，开拓初中生的思维能力，培养解决问题的创新方法。
二、代数问题几何化的基本步骤数学是一门很神奇的学科，数学中的很多代数问题都可以转换成图形来解决，如果单纯使用代数来解决问题，则会比较困难，而数学中的数字都能转换成图形，这就代表在代数解题时也可以通过构建图形来解决。
一些代数问题本身比较复杂，对于初中生来说解决起来比较困难，甚至会出现无从下手的情况。
初中数学几何证明题思路方法和技巧
1.利用定义和性质：几何证明题通常需要用到几何图形的定义和性质，因此在做题前需要熟悉相关概念。
2. 运用相似三角形：相似三角形有着相同的角度和比例关系，
因此可以通过相似三角形来证明几何关系。
3. 利用角度和：三角形内角和为180度，四边形内角和为360度，因此可以通过计算角度和来证明几何关系。
4. 利用垂直和平行关系：垂直和平行线有着明显的几何特征，
因此可以通过垂直和平行关系来证明几何关系。
5. 利用勾股定理和正弦定理等定理：勾股定理和正弦定理等定
理是几何证明中常用的工具，可以通过运用这些定理来证明几何关系。
6. 利用反证法：反证法是数学证明中常见的方法，可以通过排
除其他可能性来证明几何关系。
7. 利用矛盾法：矛盾法也是数学证明中常见的方法，可以通过
假设相反的情况来证明几何关系。
在做几何证明题时，还需要注意以下一些技巧：
1. 画图：画图可以帮助我们更好地理解几何关系，同时也可以
在证明中提供一些线索。
2. 标记线段和角度：标记线段和角度可以使证明过程更加清晰，方便读者理解。
3. 步骤清晰：证明过程需要步骤清晰、逻辑性强，不能出现漏
洞或矛盾。
4. 注意细节：几何证明中有时需要注意一些细节问题，例如判
断角度是否是锐角或钝角，判断线段是否相等等。
综上所述，初中数学几何证明题需要掌握一定的思路方法和技巧，并且需要认真、仔细地推导证明。
数学中的几何证明学习几何证明的基本方法与技巧几何证明是数学中的重要分支，它通过逻辑推理和形象化的图示，来证明几何命题的正确性。
学习几何证明需要一定的方法和技巧，本文将介绍几何证明学习的基本方法和技巧。
一、几何证明的基本方法1. 形象思维：几何证明需要我们将问题形象化，通过观察和分析几何图形的特点，找到关键的几何性质，从而推导出所需要证明的结论。
因此，建立形象思维是学习几何证明的基础。
2. 逻辑推理：几何证明是通过逻辑推理来达到结论的，只有逻辑严密的推理才能使证明过程正确。
在几何证明中，我们可以运用假设、反证法、归纳法等逻辑推理方法，分析几何图形的性质和条件，进行推导和引出结论。
3. 利用定理：几何学中有许多重要的定理，学习几何证明时可以利用这些定理作为推理的基础。
比如，利用平行线的性质、三角形的性质、圆锥的性质等，可以推导出更复杂的几何命题。
因此，熟练掌握和灵活运用各种几何定理是学习几何证明的重要方法之一。
二、几何证明的技巧1. 构造辅助线：在几何证明中，有时候需要构造一些辅助线来帮助我们证明几何命题。
构造辅助线可以改变问题的形式，使证明过程更加简单明了。
因此，在学习几何证明时，要善于运用构造辅助线的技巧。
2. 利用对称性：对称性是几何形体常见的性质之一。
在证明中，我们可以利用对称性来简化推理，通过证明形状对称的一部分即可推出整个形状的性质。
因此，在几何证明中，合理利用对称性是一个重要的技巧。
3. 反证法：反证法是几何证明中常用的一种方法，它通过假设所要证明的结论不成立，推导出矛盾的结论，从而证明原命题成立。
在学习几何证明时，要掌握反证法的思维方式和运用技巧。
4. 画图和标记：在几何证明中，画图和标记是非常重要的技巧。
画图可以帮助我们更好地理解问题，通过几何图形的形象表达，有助于我们对问题的把握。
同时，在画图过程中，合理的标记和注释也能够使证明过程更加清晰明了。
综上所述，几何证明的学习需要掌握基本的思维方法和技巧。
智汇好题目小学生的思维具有直观性和形象性等特点，借助现实可见的实物学具、模型、几何图形等可为学生提供丰富的学材，将抽象的推理内容变得具体形象，为复杂推理问题提供解决的路径和方法。
在数与代数领域中如何借助几何直观，开展数学观察、对比、分析、推理等活动，是发展学生逻辑思维的关键切入口。
我们尝试设计一组图形推理题目，运用几何直观打通数与形之间的关联，引导学生在逐步深入的观察、思考和探究中，发现变与不变的规律，建构数量关系的模型，并在此过程中发展推理意识。
【题目】第1题 静态转化中的推理数学课上，李老师让同学们探索一类特殊分数之和的计算方法。
爱思考的轩轩总有不同的想法，借助图形（如图1）巧算它们的和。
1 2+14+18+116=22-116=151613+16+112+124=23-124=152414+18+116+132=24-1=…… (1)2141818116116131611212414132图1（1）仔细观察轩轩的做法，把第三道算式的计算过程补充完整。
（2）轩轩的想法让大家眼前一亮，不禁跃跃欲试。
请你填一填：15+110+120+140=-；17+114+128+…+1224=-。
第2题 动态关联中的推理聪聪用1cm2的正方形纸片摆出不同的图形（如图2）并进行研究，你能帮帮他吗？图2（1）观察图2，填写表1。
表1 层数与面积关系统计表层数1234…8…n 面积/cm2149……（2）利用发现的规律，佳佳制作了图3所示“方阵”。
照这样排下去，排在（5，1）位置的数是（ ），排在（8，2）位置的数是（ ），当n大于2时，排在（n，3）位置的数是（ ）。
……………10111213…56714…23815…14916…5432112345图3巧用几何直观，明晰推理路径——图形推理题目一组华 松 陈维花76智慧教学 2024年2月第3题 联想操作中的推理数学中有些证明和推理是不需要文字的，仅凭图形就能清楚解释数学公式或道理，这种以图代字、不证自明的“无字证明”比严谨的文字证明更为优雅和有条理。
高中数学几何证明解题技巧高中数学几何证明题是让很多学生头疼的难题，因为它不仅需要掌握一定的几何知识，还需要灵活运用证明方法和技巧。
下面，我将介绍一些高中数学几何证明解题的技巧，希望能对高中学生及其父母有所帮助。
一、利用相似三角形证明相似三角形是几何证明中常用的重要概念，通过利用相似三角形的性质，可以简化证明过程。
例如，有一道题目要证明两条线段平行，可以先找出两个相似三角形，然后利用相似三角形的对应边比例关系证明两条线段平行。
这种方法可以减少计算量，提高证明的效率。
二、利用等腰三角形证明等腰三角形是另一个常用的几何证明工具，它具有一些特殊的性质，比如底角相等、底边中线与高线重合等。
在证明过程中，如果能够找到等腰三角形，就可以利用其性质进行推理。
例如，要证明一个四边形是平行四边形，可以先证明它有一对对边相等，然后再证明它有一对对边平行。
三、利用垂直证明垂直是几何证明中常见的关系之一，通过利用垂直关系可以推导出很多结论。
例如，要证明两条线段垂直，可以先证明它们的斜率互为相反数，然后再证明它们的斜率积为-1。
这种方法可以简化证明过程，减少计算量。
四、利用面积证明面积是几何证明中重要的概念，通过利用面积的性质可以推导出很多结论。
例如，要证明一个四边形是平行四边形，可以先证明它的对角线平分彼此，然后再证明它的对角线长度相等。
这种方法可以通过计算面积来进行证明，具有一定的准确性。
五、利用反证法证明反证法是几何证明中常用的一种方法，通过假设结论不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题成立。
例如，要证明一个三角形是等边三角形，可以先假设它不是等边三角形，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题成立。
这种方法可以通过推理来进行证明，具有一定的逻辑性。
综上所述，高中数学几何证明解题需要掌握一定的几何知识，同时还需要灵活运用证明方法和技巧。
通过利用相似三角形、等腰三角形、垂直关系、面积和反证法等方法，可以简化证明过程，提高解题效率。
几何问题代数化全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：几何问题代数化是一种将几何问题转化为代数问题的方法，通过代数化的处理，可以更加简便地解决复杂的几何问题。
在数学研究和实际应用中，几何问题代数化被广泛使用，为解决难题提供了一种有效的思路。
在几何问题代数化的过程中，通常需要将几何图形的特征、性质或关系转化为代数式或方程，从而获得更加直观和便捷的计算方法。
这种方法在解决几何问题时具有一定的普适性和灵活性，适用于不同类型的问题求解。
在接下来的文章中，我们将详细介绍几何问题代数化的基本方法和应用技巧，希望对读者能够有所帮助。
一、几何问题代数化的基本步骤1. 先分析几何问题的核心要点，确定问题的关键性质和特征。
2. 将几何图形的特征或关系转化为代数式或方程，建立数学模型。
3. 利用代数方法解决问题，求解方程得到问题的解答。
4. 最后验证答案，确保解答符合几何题意。
1. 计算三角形的面积：设三角形的底边长为a，高为h，则三角形的面积S=1/2*a*h。
通过代数化可将三角形的面积计算问题转化为代数式求解。
2. 求解直线与平面的交点：设直线的方程为y=ax+b，平面的方程为mx+ny+p=0，通过代数化可求解直线与平面的交点坐标。
3. 计算圆的周长和面积：设圆的半径为r，通过代数化可以求解圆的周长和面积的表达式。
三、几何问题代数化的优点和局限性1. 优点：代数化简化了几何问题的计算过程，提高了问题的求解效率和准确性。
2. 局限性：代数化不能完全替代几何推理和证明，有些几何问题需要辅助几何知识进行解答。
（以上文章仅为模拟示例，实际所需内容可能有所不同。
）第二篇示例：几何问题一直是数学中的一个重要领域，它涉及到空间的形状、大小和位置关系等内容。
在学习几何问题的过程中，很多学生会遇到一些代数化的问题，即如何将几何问题转化为代数问题，并通过代数方法来解决。
几何问题代数化，就是将几何问题中的线段、角度、面积等几何概念用代数符号表示，并通过代数运算来解决几何问题。
几何证明的方法与技巧几何证明是数学中的重要部分，它要求我们运用几何知识和推理能力来论证、解释和证明一些几何命题。
在几何证明的过程中，方法与技巧起到了至关重要的作用。
本文将介绍一些常用的几何证明方法与技巧，帮助读者提升解题能力。
一、数学归纳法数学归纳法是一种常用的证明方法，它通常用于证明具有递归关系的命题。
在几何证明中，数学归纳法同样适用。
例如，当我们需要证明一个关于三角形的性质对于所有三角形都成立时，可以采用数学归纳法。
首先，证明当三角形是某个基本形状（如等边三角形）时，该性质成立；然后，假设该性质对于一个具有n条边的三角形成立，再利用该性质证明对于一个具有n+1条边的三角形也成立。
通过这种逐步推理的方式，我们可以得出结论。
二、反证法反证法是一种常用的证明方法，在几何证明中也经常使用。
当我们需要证明一个命题时，可以先假设反命题成立，然后经过推理得出一个矛盾的结论，从而证明原命题成立。
在几何证明中，反证法可以用于证明两个线段不相等、两个角度不相等等情况。
通过推理可以得出，如果反命题成立，则会导致矛盾，从而证明原命题成立。
三、等价命题等价命题是一种常用的证明方法，它将一个需证明的命题转化为一个已知的等价命题，从而简化证明过程。
在几何证明中，等价命题常常用于证明两个图形的相似性或等量性。
通过找到两个图形之间的对应关系，并利用已知的几何性质证明它们之间的相似性或等量性，可以简化证明过程，提高解题效率。
四、引理法引理法是一种通过引入辅助命题来解决主命题的证明方法。
在几何证明中，我们经常会遇到一些复杂的命题，难以直接证明。
这时，可以通过引入一个辅助命题来推导主命题的证明。
辅助命题通常是一个中间结论，与主命题有关，但相对容易证明。
通过先证明这个辅助命题，再利用它来证明主命题，可以简化证明过程。
五、辅助线法辅助线法是一种通过引入辅助线来辅助证明的方法，常用于几何证明中。
当我们在几何证明过程中遇到复杂的图形时，往往可以通过引入一条或多条辅助线来得到更简单的结构，从而更容易进行推导和证明。
巧构几何图形证明代数问题——兼谈构造法习题已知a,b,c,d为正数，a^2+b^2=c^2+d^2，ac=bd，求证a=d，b=c. 分析注意到条件a^2+b^2=c^2+d^2，如果把a，b；c，d分别看成两个直角三角形的直角边，那么a^2+b^2，c^2+d^2分别表示这两个直角三角形的斜边的平方。
故可构造如下图形1。
ac=bd，即BC*AD=AB*CD∴BC/AB=CD/AD又∠B=∠D=90 ֯֯∴Rt⊿ABC 相似于Rt⊿ADC但为公共斜边，故Rt⊿ABC≅Rt⊿ADC∴AB=AD,BC=CD,即b=c,a=d.评注把正数与线段的长联系起来，给代数等式附以几何意义，从而利用图形的特点巧妙地解决了上述习题。
其证法十分简捷，独具风格，耐人寻味！其高明之处就在于选择了恰当的图形！这种思考方法的关键是把数和形结合起来以互相利用！对代数等式可以这样做，对不等式也可以。
应用【例1】已知a，b是两个不相等的正实数，求证（a+b）/2 >ab[证明] 以a+b为边长作正方形，然后过a,b的连接点作正方形各边的垂线（如图2），于是大正方形的面积为（a+b)^2,四个矩形的面积都是ab,这样得（a+b）^2>4abab>0∴a+b>2ab即（a+b)/2>ab【例2】已知0<θ<∏/2，求证1<sinθ+cosθ≤2[证明]作圆使其直径为单位长1，如图3，由于0<θ<∏/2,故θ可如图作出。
BC+AC>AB∴sinθ+cosθ>1(三角形两边之和大于第三边)又⊿ABC的面积=(1/2)BC*AC≤(1/2)AB*CO=(1/4)AB^2(三角形面积不大于一边与这边上中线积的一半)∴2BC*AC≤AB^2又BC^2+AC^2≤AB^2∴(BC+AC)^2≤2AB^2，BC+AC≤2AB,即sinθ+cosθ≤2【例3】设a,b 为小于1的正数，求证2)^1(2)^1(2)^1(2^2^2)^1(2^2^b a b a b a b a -+-+-+++-++22≥[证明]如图4作边长为1的正方形ABCD,分别在AB,AD 上取AE=a,AG=b( a 、b<1),并过E,G 分别作AD,AB 的平行线，分别交DC,BC 于F ，H,设EF,GH 的交点为O ，则 OA=2^2^b a +, OB=2^2^a -1b +）（, OC=2)^1(2^-1b a -+）（, OD=2)^1(2^a b -+,OA+OC ≥AC, OB+OD ≥BD.∴OA+OB+OC+OD ≥AC+BD,即2)^1(2)^1(2)^1(2^2^2)^1(2^2^b a b a b a b a -+-+-+++-++22≥【例4】设a/b=c/d,且a,b,c,d 均为正数，求证(a+b)/(c+d)=2^2^/2^2^a d c b ++[证明] 不妨设a ≥c ，作直角⊿ABC,使∠C=90֯(如图5)，BC=a ，AC=b.在BC 上取点D,使BD=c;过D 作DE ⊥BC 交AB 于E ，故 BC/AC=BD/ED又a/b=c/d,所以ED=d.在BC 直线上取点F,G ,使CF=AC,DG=ED,连EG ,AF,易知EG//AF,故BF/BG=BA/BE即(a+b)/(c+d)=2^2^/2^2^a d c b ++【例5】设a>0，b>0，2c>a+d. 求证c^2>ab 且 c-ab -2^c <a<c+ab -2^c[证明] 如图6，作半圆O ，直径AB=2c,在AB 上顺次取AC=a,CD=b( 2c>a+b)以AD 为直径作半圆，过C 作CE ⊥AD 交圆于E,则两圆相切，且CE<c,OC<c( OE<c)由相交弦定理知CE^2=ab.∴c^2>ab.又CO^2+CE^2=OE^2，∴(a-c)^2+ab<c^2.即｜a-c ｜<ab -2^c ,亦即 c-ab -2^c <a<c+ab -2^c .【例6】在锐角三角形ABC 中求证cos A+cos B+cos C<sin A+sin B+sin C[证明]如图7，作⊿ABC 三边上的高AE,BF,CD,则A,B,E,F 四点共圆。
同圆中所对的圆周角大的弦也大（圆周角为锐角使时）。
由于∠ABF<∠ABC,所以AF<AE,故cos A=AF/AB<AE/AB=sin B,同理os c B<sin C,cos C<sin A.∴cos A+cos B+cos C<sin A+sin B+sin C【例7】求证1/2(2^s in α+2^s in β)+2cos^α+2cos^β≤2βαcos cos +βαsin s in +4.[证明]原不等式经整理即为1/2(αin s -βsin )^2+(βαcos cos -)^2≤4.根据此三角函数的特点可设 x=θcosy=2/2θsin (椭圆的参数方程)，如图8，A(αcos ，2αsin /2), B(βcos ,βsin 2/2)为椭圆上两点。
｜AB ｜≤｜CD ｜=2(椭圆长轴等于2，长轴是椭圆中最大的弦)∴2)^cos (cos 2)^sin (sin 2/1βαβα-+-2≤.即2/1(βαsin sin -)2^+(βαcos c -os )2^4≤.【例8】当m 为何值时，方程 mx-y+5m+3=0 有唯一解。
x^2+y^2-6y=0解：方程mx-y+5m+3=0表示一条过点（-5,3）且斜率为m 的直线，而方程x^2+y^2-6y=0表示一个圆心在（0,3），半径为3的圆。
要使原方程组有唯一解，要求这直线与圆相切。
如图9，设切点为P,P ’.Rt ⊿ABP,Rt ⊿ABP ’的三条边的长度分别为3,4,5.∴AP,AP ’的斜率是±(3/4)即当m=±(3/4)时原方程组有唯一解。
拓广 用几何法证代数题构思精巧，利于锻炼思维能力。
代数等式或不等式反映出来的是线段间等量与不等量关系，最常见的有以下一些基本图形：代数结构 几何定理 图形a^2+b^2=c^2 勾股定理（图10）a/b=c/c 相似三角形ab=bc 平行线，相交弦（图12）割线（图13）等ab+cd=ef 托勒米定理(图14)a>b 斜边<直角边（图15）直径>弦（图16）X=b a射影定理（图17）切割线定理（图18）上面谈到的造图证代数题的方法，是构造法解题的一种。
所谓构造法，就是根据题设条件或命题的结论所具有的特征、性质，构造满足条件或结论的其他数学形式去解决数学题的方法。
它是一种综合运用数学知识解题的方法，题设或结论不同，所采用的构造方法或形式也各异。
采用构造法解题，必须审清题意，挖掘明显的或隐含的条件，综合各分支知识，去联想、类比，找到恰当的构造形式。
下面以例说明常用的几种构造方法。
1.构造方程方程是中学数学中的一个十分重要的内容，是解决数学问题的重要工具。
很多数学问题粗看起来无从下手或用一般方法去解决很困难，而通过用方程的知识解决却显得十分简捷。
构造方程解题，常用的方法有：A.直接利用已知条件构造方程【例9】求证33/73/21++33/73/21-=1[证明]设x=33/73/21++33/73/21-,则 x^3=(33/73/21+)^3+(33/73/21-)^3 +33)3/73/21(3/73/21-+）（ (33/73/21++33/73/21-). =2+3327/281-∙x=2-x即x^3+x-2=0,(x-1)(x^2+x+2)=0,因x^2+x+2>0,所以x=1,亦即 33/73/21++33/73/21-=1.【例10】求证：不论x 取什么值，多项式[（x+b ）（x+c ）]÷[(a-b)(a-c)]+[(x+c)(x+a)]÷[(b-c)(b-a)]+[(x+a)(x+b)]÷[(c-a)(c-b)]的值恒为1。
分析 用分式计算，可以得出所求的结论，但过程较复杂。
若用构造方程的方法来解，则要简捷得多。
[证明] 构造辅助方程f(x)= [（x+b ）（x+c ）]÷[(a-b)(a-c)]+[(x+c)(x+a)]÷[(b-c)(b-a)] +[(x+a)(x+b)]÷[(c-a)(c-b)]-1=0.显然-a,-b,-c 是上述方程的根，因a,b,c 两两不等，于是上述方程至少有三个不同的根，但方程的次数不超过2，所以只有f(x)≡0，即[（x+b ）（x+c ）]÷[(a-b)(a-c)]+[(x+c)(x+a)]÷[(b-c)(b-a)]+[(x+a)(x+b)]÷[(c-a)(c-b)]=1.【例11】把γβαγβαcos sin sin 22sin^2sin^sin^2--+化为积的形式。
解： 作方程γβαγβα2sin^sin^2sin cos sin 2sin^2-+-=0，解此关于 αsin 的方程得)sin(sin γβα±=原式=[])sin(sin γβα+-[])sin(sin γβα--=4[])/2--(sin γβα[])/2-(sin γβα+[])/2(sin γβα++[])/2(cos γβα++B.用判别式构造方程【例12】若（z-x ）^2-4(x-y)(y-z)=0,求证x,y.z 成等差数列。
分析 题中所给等式的左边是b^2-4ac 的形式，故构造方程 （x-y ）t^2+(z-x)t+(y-z)=0.因方程各项系数之和为0，故1是此方程的一个根。
由已知∆=0，故此方程的另一根也为1，于是由韦达定理有1×1(y-z)/(x-y)即得 x-y=y-z.说明x,y,z 成等差数列。
【例13】证明柯西不等式∑=n1i a 【例14】已知a,b,c ∈R,且a+b+c=0,abc=1。
求证a,b,c 中必有一个大于3/2.[证明] 由已知得a,b,c 中必有一个大于0，设c>0,则a+b=-c,ab=1/c,可知a 、b 是方程x^2+cx+1/c=0的两根。
因a,b ∈R ，故∆=c^2-4/c ≥0,又c>0,所以c^3-4≥0,c^3≥4,于是c ≥34=38/32>38/27=3/2.【例15】 已知x,y,z ∈R,且满足等式x^2-yz-8x+7=0 ①y^2+z^2+yz-6x+6=0 ②求证1≤x≤9.[证明] 由①得yz=x^2-8x+7,由②得（y+z）^2=yz+6x-6=(x-1)^2,从而y+z=±(x-1),即说明，z是方程t^2±(x-1)t+(x^2-8x+7)=0的两根。
