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浅析弹性力学平面问题的基本解法作者：杨艳王章星来源：《中国房地产业·下旬》2020年第06期【摘要】本文简单介绍了弹性力学平面问题的两种基本解法以及各种解法的适用范围和优缺点。
【关键词】平面问题;应力;应变;位移;边界弹性力学通常也被称为弹性理论，主要是对应力、变力以及位移这三个基本的未知函数进行研究，这几个函数都是空间变量，在弹性力学中涉及到的平面问题是指当这三类基本未知函数与某一个坐标轴无关时对应的力学问题。
平面问题是二维的问题，它可以非常直观的对弹性力学中的基本理论进行阐述，并且当前在工程中对其计算结果的使用非常广泛，一般被当作弹性力学学习过程中的典型问题以及入门的教学内容来使用，因此弹性力学的基本内容中就包含了对平面问题的求解。
对弹性力学的平面问题进行求解，也就是对3个应力分量、3变力分量以及两个位移分量来进行求解，要求这8个未知函数必须能够满足该区域中的基本方程式，同时也要满足边界上面的位移与应力的边界条件。
为了能够更好的求解，一般会使用与代数方程中消元法相似的方式进行求解。
并且会以选取的基本未知函数的不同为依据，将求解方法分成位移解法与应力解法两种。
在很多实际的工程问题中，体力是常量，此时则可以采用应力函数法求解平面问题。
1、位移解法位移解法指的是按照位移来进行求解的方法，与结构力学中包含的位移法相近。
不管是平面应力问题还是应变问题，对平衡微分方程与几何方程的方法都是相同的，平面问题中涉及大的平衡微分方式如下：平面问题的几何方程为在平面应力问题中，物理方程为在平面应变问题中，物理方程为从上面我们能够看得出来，平面的应力问题与应变问题所涉及的物理方程是不同的，所以把平面应力问题中的E转换为; ; ; ;，v转换为; ; ，平面应变问题的物理方程就能够得出来。
接下来将使用平面的应力问题当作例子，应用位移解法来对平面问题求解。
首先选取基本未知函数为位移分量u和v。
因为几何方程本身就是使用位移分量来表示应变分量的表达式，所以我们可以只将物理方程中的应变分量为依据对应力分量进行表示，然后再把几何方程式代入其中，然后就能够得到使用位移分量来表示的应力分量表达式：在平面问题涉及到的平衡微分方程中把使用位移分量来表示的应力分量的表达式代入，可以得到一个使用位移分量来表示的平衡微分方程，也就是位移解法中的基本微分方程：在应力的边界条件中把使用位移分量来表示的应力分量表达式代入，从而求出平面问题的位移解法的应力边界条件为：除此之外，位移分量还需满足位移边界条件总结来说，使用位移解法来对平面应力问题进行求解，其实就是使得位移的分量u和v在指定的区域内可以满足该解法的基本微分方程，以及能够在边界上满足其应力的边界条件和位移的边界条件。
改进傅里叶方法在梁结构振动特性分析中的应用肖伟;霍瑞东;李海超;高晟耀;庞福振【摘要】对一般边界条件下Euler-Bernoulli 梁的振动特性展开研究.首先基于改进傅里叶法建立了梁结构的位移函数表达式,其中位移函数被表示为傅里叶余弦级数展开式与辅助多项式函数的叠加,其后基于最小势能原理建立拉格朗日方程,并通过Rayleigh-Ritz 法进行求解,得到其固有模态及强迫振动响应.通过讨论旋转方向和横向弹簧刚度取值对计算结果收敛性的影响,验证了本方法的数值稳定性,得到用于模拟经典边界条件的弹簧刚度值.将计算结果与有限元法对比,验证了本方法的有效性.在此基础上对一般边界条件下梁结构受迫振动的响应特性进行研究,给出弹簧刚度值等参数对梁结构振动特性的影响规律.%The vibration characteristics of Euler-Bernoulli beam under general boundary conditions are studied. Firstly, the displacement function expression of the beam structure is established based on the modified Fourier method. The displacement function is expressed as a superposition of a Fourier cosine series expansion and an auxiliary polynomial function, and the Lagrange equation is established using the principle of minimum potential energy. Then, the equation is solved by Rayleigh-Ritz method, and the characteristic equation of the beam structure is obtained. The natural frequency and mode shape of the beam structure can be obtained by solving the characteristic equation. By discussing the influence of rotation and lateral spring stiffness on the convergence of the calculation results, the numerical stability of the method is verified, and the spring stiffness values used to simulate several classical boundary conditions are obtained.The computation results of this method are in good agreement with those of the finite element method. Thus the accuracy of the method is verified. On this basis, the response characteristics of the forced vibration of the beam structure under different boundary conditions are compared mutually. Finally, the influences between the effects of the rotation direction and the stiffness of the transverse spring on the vibration characteristics of the beam structure are discussed.【期刊名称】《噪声与振动控制》【年(卷),期】2019(039)001【总页数】6页(P10-15)【关键词】振动与波;改进傅里叶级数;梁结构;振动特性;弹簧刚度;受迫振动【作者】肖伟;霍瑞东;李海超;高晟耀;庞福振【作者单位】中国舰船研究设计中心, 武汉 430064;哈尔滨工程大学船舶工程学院, 哈尔滨 150001;哈尔滨工程大学船舶工程学院, 哈尔滨 150001;中国人民解放军92578部队, 北京 100161;哈尔滨工程大学船舶工程学院, 哈尔滨 150001【正文语种】中文【中图分类】TB53梁结构在工程领域中应用广泛，开展典型梁结构振动特性研究具有重要的价值。
弹性力学平衡微分方程推导方法的改进弹性力学，是指小型固体体系在受到内部和外部力作用时，改变形状后再回到原始状态的研究。
它模拟了自然界中物体的变形行为，如心肌的收缩，而弹性力学平衡微分方程（EPD）是其中的基本方程式。
虽然它们有着广泛的应用，但这个数学模型仍有待改进。
首先，高维EPD模型存在公式复杂、运算量大的问题。
在一个单元体系上，就算只是求解一个四维动态系统，模型的非线性方程就已经变的复杂难以解。
如果模型要求更高的维度，更多的变量，那将更难求解。
因此，开发出可以有效求解高维EPD的新方法，将有助于使EPD的实际应用变得更为广泛，以满足当今社会对体系性能的高标准需求。
此外，许多研究表明，在模拟体系在不同负载和温度条件下的变形行为时，现有EPD方法存在许多不足和偏差。
另一方面，如果可以引入考虑多个变量的多自变量基础模型，就可以更好的模拟材料的复杂性能行为。
这就要求EPD的改进方法要有足够的灵活性，以满足对体系性能的不断改变。
最后，在计算技术方面，还需要改进弹性力学平衡微分方程（EPD）模型。
采集和处理数据需要耗费大量时间，受到硬件性能的限制。
实时处理和计算要求更好的模型，以及更快更准确的算法。
有效的算法实现有助于数据采集准确快速，从而减少误差，增强模型的准确性。
这有助于更好的模拟材料的性能，更精确的计算弹性力学属性，更有效的预测体系中的变形模态，以及更准确的模拟体系的变形表现。
综上所述，用于改进弹性力学平衡微分方程（EPD）模型的解决方案是非常重要的。
要有效率地解决高维体系的非线性方程，需要采用更有效的方法来计算模型；同时，需要引入考虑多个变量的多自变量基础模型，来解决负载和温度变化时体系性能变化的。
流体平衡微分方程推导过程《聊聊流体平衡微分方程推导过程》同学们，今天咱们来唠唠流体平衡微分方程的推导过程。
想象一下，你面前有一杯静止的水，它安安静静的，没有任何流动。
这就是我们说的流体平衡状态。
那怎么去搞清楚这里面的数学规律呢？咱就从一个小立方体的流体块开始研究。
假设这个小立方体在水里，各个面上都受到了压力。
比如说，前面受到的压力大一点，后面受到的压力小一点，那这个小立方体是不是就会向前移动啦？但现在它没动，说明前后的压力差正好抵消了。
同样的道理，上下左右的压力差也都相互抵消了。
我们把这些压力的关系用数学式子写出来，经过一番捣鼓和整理，就能得到流体平衡微分方程啦！这就好像解开一个神秘的谜题，是不是还挺有意思的？《跟你讲讲流体平衡微分方程推导过程》朋友们，今天我要和你们说一说流体平衡微分方程的推导过程。
咱们先假设在水里有那么一个小小的区域，就像一个小小的房间。
这个小区域里的水是安静的，处于平衡状态。
然后呢，我们来看看这个小区域的四周。
比如说左边的水给它一个压力，右边的水也给它一个压力。
如果这两个压力不一样大，那水是不是就得动起来了？可现在水没动，这就说明左边和右边的压力得是一样的。
再想想上面和下面的压力，也是同样的道理。
我们把这些压力之间的关系用数学的方式表达出来，一步一步地算，慢慢地就能得出流体平衡微分方程啦。
就好像我们在拼凑一个拼图，拼成了一幅完整的画面。
《流体平衡微分方程推导过程，其实不难！》大家好呀！今天咱们来把流体平衡微分方程的推导过程弄明白。
比如说，你想象一下游泳池里的水，平静得像一面镜子。
这时候，水里面的每一个小部分都是平衡的。
我们拿其中一小块水来研究。
这块水的前后左右上下都受到了周围水的压力。
如果前面的压力比后面的大，那这块水是不是就会往后跑？但它没跑，所以前后压力肯定是一样的。
同样，左右、上下的压力也都得相等。
我们根据这些相等的关系，用数学公式去表示，多算几步，就能推出流体平衡微分方程咯。
第五章 弹性力学的求解方法和一般性原理知识点弹性力学基本方程边界条件 位移表示的平衡微分方程应力解法 体力为常量时的变形协调方程 物理量的性质逆解法和半逆解法 解的迭加原理 ,弹性力学基本求解方法 、内容介绍通过弹性力学课程学习， 我们已经推导和确定了弹性力学的基本方程和常用 公式。
本章的任务是对弹性力学所涉及的基本方程作一总结， 并且讨论具体地求 解弹性力学问题的方法。
弹性力学问题的未知量有位移、应力和应变分量，共计 15 个，基本方程有 平衡微分方程、 几何方程和本构方程， 也是 15 个。
面对这样一个庞大的方程组， 直接求解显然是困难的， 必须讨论问题的求解方法。
根据这一要求， 本章的主要 任务有三个：是综合弹性力学的基本方程，并按边界条件的性质将问题分类；二是根据问题性质， 确定基本未知量，建立通过基本未知量描述的基本方程， 得到基本解法。
弹性力学问题的基本解法主要是位移解法、 应力解位移解法 位移边界条件 变形协调方程 混合解法 应变能定理 解的唯一性原理 圣维南原理法和混合解法等。
应该注意的是对于应力解法，基本方程包括变形协调方程。
三是介绍涉及弹性力学求解方法的一些基本原理。
主要包括解的唯一性原理、叠加原理和圣维南原理等，这些原理将为今后的弹性力学问题解建立基础。
如果你在学习本章内容时有困难，请及时查阅和复习前三章相关内容，以保证今后课程的学习。
二、重点1、弹性力学的基本方程与边界条件分类；2、位移解法与位移表示的平衡微分方程；3、应力解法与应力表示的变形协调方程；4、混合解法；5、逆解法和半逆解法；6、解的唯一性原理、叠加原理和圣维南原理§5.1 弹性力学的基本方程及其边值问题学习思路:通过应力状态、应变状态和本构关系的讨论，已经建立了一系列的弹性力学基本方程和边界条件。
本节的主要任务是将基本方程和边界条件作综合总结，并且对求解方法作初步介绍。
弹性力学问题具有15个基本未知量，基本方程也是15 个，因此问题求解归结为在给定的边界条件下求解偏微分方程。
