平衡微分方程和边界条件

弹性力学知识点总结弹性力学是固体力学的重要分支，主要研究弹性体在外界因素作用下产生的应力、应变和位移。

以下是对弹性力学主要知识点的总结。

一、基本假设1、连续性假设：假定物体是连续的，不存在空隙。

2、均匀性假设：物体内各点的物理性质相同。

3、各向同性假设：物体在各个方向上的物理性质相同。

4、完全弹性假设：当外力去除后，物体能完全恢复到原来的形状和尺寸，不存在残余变形。

5、小变形假设：变形量相对于物体的原始尺寸非常小，可以忽略高阶微量。

二、应力分析1、应力的定义：应力是单位面积上的内力。

2、应力分量：在直角坐标系下，有 9 个应力分量，分别为正应力（σx、σy、σz）和剪应力（τxy、τyx、τxz、τzx、τyz、τzy）。

3、平衡微分方程：根据物体的平衡条件，可以得到应力分量之间的关系。

三、应变分析1、应变的定义：应变是物体在受力后的变形程度。

2、应变分量：包括线应变（εx、εy、εz）和剪应变（γxy、γyx、γxz、γzx、γyz、γzy）。

3、几何方程：描述了应变分量与位移分量之间的关系。

四、位移与变形的关系位移是指物体内各点位置的变化。

通过位移可以导出应变，从而建立起位移与变形之间的联系。

五、物理方程物理方程也称为本构方程，它描述了应力与应变之间的关系。

对于各向同性的线弹性材料，物理方程可以表示为应力与应变之间的线性关系。

六、平面问题1、平面应力问题：薄板在平行于板面且沿板厚均匀分布的外力作用下，板面上无外力作用，此时应力分量只有σx、σy、τxy。

2、平面应变问题：长柱体在与长度方向垂直的平面内受到外力作用，且沿长度方向的位移为零，此时应变分量只有εx、εy、γxy。

七、极坐标下的弹性力学问题在一些具有轴对称的问题中，采用极坐标更为方便。

极坐标下的应力、应变和位移分量与直角坐标有所不同，需要相应的转换公式。

八、能量原理1、应变能：物体在变形过程中储存的能量。

2、虚功原理：外力在虚位移上所做的虚功等于内力在虚应变上所做的虚功。

题提示和答案《弹性力学简明教程》习题提示和参考答案第二章习题的提示与答案2－1 是2－2 是2－3 按习题2－1分析。

2－4 按习题2－2分析。

2－5 在的条件中，将出现2、3阶微量。

当略去3阶微量后，得出的切应力互等定理完全相同。

2－6 同上题。

在平面问题中，考虑到3阶微量的精度时，所得出的平衡微分方程都相同。

其区别只是在3阶微量（即更高阶微量）上，可以略去不计。

2－7 应用的基本假定是：平衡微分方程和几何方程─连续性和小变形，物理方程─理想弹性体。

2－8 在大边界上，应分别列出两个精确的边界条件；在小边界（即次要边界）上，按照圣维南原理可列出3个积分的近似边界条件来代替。

2－9 在小边界OA边上，对于图2－15（a）、（b）问题的三个积分边界条件相同，因此，这两个问题为静力等效。

2－10 参见本章小结。

2－11 参见本章小结。

2－12 参见本章小结。

2－13 注意按应力求解时，在单连体中应力分量必须满足（1）平衡微分方程，（2）相容方程，（3）应力边界条件（假设)。

2－14 见教科书。

2－15 见教科书。

2－16 见教科书。

2－17 取它们均满足平衡微分方程，相容方程及x=0和的应力边界条件，因此，它们是该问题的正确解答。

2－18 见教科书。

2－19 提示：求出任一点的位移分量和，及转动量，再令,便可得出。

第三章习题的提示与答案3－1 本题属于逆解法，已经给出了应力函数，可按逆解法步骤求解：（1）校核相容条件是否满足，（2）求应力，（3）推求出每一边上的面力从而得出这个应力函数所能解决的问题。

3－2 用逆解法求解。

由于本题中l>>h, x=0,l 属于次要边界（小边界），可将小边界上的面力化为主矢量和主矩表示。

3－3 见3-1例题。

3－4 本题也属于逆解法的问题。

首先校核是否满足相容方程。

再由求出应力后，并求对应的面力。

本题的应力解答如习题3-10所示。

应力对应的面力是：主要边界：所以在边界上无剪切面力作用。

弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答徐芝纶第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。

【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。

非均匀的各向同性体如：混凝土。

【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。

【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。

【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。

引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。

因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。

完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。

这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。

均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。

各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。

小变形假定：假定位移和变形是微小的。

亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。

弹性力学复习资料一、简答题1．试写出弹性力学平面问题的基本方程，它们揭示的是那些物理量之间的相互关系？在应用这些方程时，应注意些什么问题？答：平面问题中的平衡微分方程：揭示的是应力分量与体力分量间的相互关系。

应注意两个微分方程中包含着三个未知函数σx、σy、τxy=τyx ，因此，决定应力分量的问题是超静定的，还必须考虑形变和位移，才能解决问题。

平面问题的几何方程: 揭示的是形变分量与位移分量间的相互关系。

应注意当物体的位移分量完全确定时，形变量即完全确定。

反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。

平面问题中的物理方程：揭示的是形变分量与应力分量间的相互关系。

应注意平面应力问题和平面应变问题物理方程的转换关系。

2．按照边界条件的不同，弹性力学问题分为那几类边界问题？试作简要说明。

答：按照边界条件的不同，弹性力学问题分为位移边界问题、应力边界问题和混合边界问题。

位移边界问题是指物体在全部边界上的位移分量是已知的，也就是位移的边界值是边界上坐标的已知函数。

应力边界问题中，物体在全部边界上所受的面力是已知的，即面力分量在边界上所有各点都是坐标的已知函数。

混合边界问题中，物体的一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件;另一部分边界则具有应力边界条件。

3．弹性体任意一点的应力状态由几个应力分量决定？试将它们写出。

如何确定它们的正负号？ 答：弹性体任意一点的应力状态由6个应力分量决定，它们是：σx 、σy 、σz 、τxy 、τyz 、、τzx 。

正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。

负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。

4．在推导弹性力学基本方程时，采用了那些基本假定？什么是“理想弹性体”？试举例说明。

答：答：在推导弹性力学基本方程时，采用了以下基本假定： （1）假定物体是连续的。

（2）假定物体是完全弹性的。

（3）假定物体是均匀的。

（4）假定物体是各向同性的。

弹塑性力学简答题2002年1 什么是偏应力状态？什么是静水压力状态？举例说明？P24静水压力状态时指微六面体的每个面只有正应力作用，应力大小均为平均应力。

偏应力状态是从应力状态中扣除静水压力后剩下的部分。

2 从数学和物理的不同角度，阐述相容方程的意义。

P48从数学角度看，由于几何方程是6个，而待求的位移分量是3个，方程数目多于未知函数的数目，求解出的位移不单值。

从物理角度看，物体各点可以想象成微小六面体，微单元体之间就会出现“裂缝”或者相互“嵌入”，即产生不连续。

3 两个材料不同、但几何形状、边界条件及体积力（且体积力为常数）等都完全相同的线弹性平面问题，它们的应力分布是否相同？为什么？相同。

应力分布受到平衡方程、变形协调方程及力边界条件，未涉及本构方程，与材料性质无关。

4 虚位移原理等价于哪两组方程？推导原理时是否涉及到物理方程？该原理是否适用于塑性力学问题？P156平衡微分方程和静力边界条件。

不涉及物理本构方程。

适用于塑性力学问题。

5 应力状态是否可以位于加载面外？为什么？P239当应力状态从加载面上向加载面外变化时，将产生新的塑性变形，引起内变量增加，这时，加载面会随之改变，使得更新的应力状态处在更新的加载面上。

6 什么是加载？什么是卸载？什么是中性变载？中性变载是否会产生塑性变形？P250加载：随着应力的增加，应变不断增加，材料在产生弹性变形的同时，还会产生新的塑性变形，这个过程称之为加载。

卸载：当减少应力时，应力与应变将不会沿着原来的路径返回，而是沿接近于直线的路径回到零应力，弹性变形被恢复，塑性变形保留，这个过程称之为卸载。

中性变载：应力增量沿着加载面，即与加载面相切。

应力在同一个加载面上变化，内变量将保持不变，不会产生新的塑性变形，但因为应力改变，会产生弹性应变。

7 用应力作为未知数求解弹性力学问题时，应力除应满足平衡方程外还需要满足哪些方程？P93协调方程和边界条件。

8 薄板弯曲中，哪些应力和应变分量较大？哪些应力和应变分量较小？P121 平面内应力分量（x y xy σστ、、）最大，最主要的是应力，横向剪应力（z y xz ττ、）较小，是次要的应力；z 方向的挤压应力z σ最小，是更次要的应力。

1 / 1第一章 绪论 弹性力学基本假设： 1、连续性假设指组成物体的介质充满了物体所占的空间，物体中不存在任何间隙。

2、均匀性假设物体内的每一点都具有相同的力学性质3、各向同性假设。

指物体内一点的各个方向上的力学性质相同。

4、完全弹性假设指物体在载荷作用下发生变形，当这些荷载拆除以后物体能完全恢复到原来的形状和大小，而没有任何残余变形。

5、小变形假设假定物体内各点在载荷作用下所产生的位移远小于物体原来的尺寸，因而应变分量和转角都远小于1。

6、无初应力假设假定物体的初始状态为自然状态，即载荷作用以前物体内没有应力。

第二章 弹性力学的基本方程 平衡微分方程：000yx x zxx xy y zy y yz xz zz F x y z F xyzF x y zτσττστττσ∂∂∂+++=∂∂∂∂∂∂+++=∂∂∂∂∂∂+++=∂∂∂边界条件：()()()x xy xz s x xy y yz s y xz yz z s z l m n T l m n T l m n T στττστττσ++=++=++=斜面应力公式（Cauchy 公式）：x x xy zx y xy y zy z xz yz z T l m n T l m n T l m nστττστττσ=++=++=++ 斜截面上的全应力：T υ斜截面上的正应力：x y z T l T m T n υσ=++斜截面上的总剪应力：222T υυυτσ=-几何方程：;;;x yz y xy z xy u w vx y z v u w y z x w v u z x yεγεγεγ∂∂∂==+∂∂∂∂∂∂==+∂∂∂∂∂∂==+∂∂∂物理方程：()()()2(1)1;2(1)1;2(1)1;x x y z xy xy y y x z yzyz z z y x zx zxv v E E v v E E v v E E εσσσγτεσσσγτεσσσγτ⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎣⎦+=-+=+=-+=+=-+=体积应变：x y z θεεε=++x =()y z σσσΘ++12Evθ-=Θ 第三章 平面问题的直角坐标解法 平衡方程：00yxx x xy yy F x yF x yτστσ∂∂++=∂∂∂∂++=∂∂ 几何方程：;;x y xy u v u v x y y xεεγ∂∂∂∂===+∂∂∂∂ 边界条件：;x yx x xy y yl m T l m T σττσ+=+=位移边界条件：;xx y yu u u u ==平面应变：22222y xyx xy y xετε∂∂∂+=∂∂∂平面应力：222220;0;0z z zxy x yεεε∂∂∂===∂∂∂ 平面问题应力解：22222x x y y xy F xy F y x x yϕσϕσϕτ∂=-∂∂=-∂∂=-∂∂相容方程：444422420y x x y ϕϕϕ∂∂∂++=∂∂∂∂ 第四章 平面问题的极坐标解法 平衡微分方程：10210r r r r r r F r r r F r r rθθθθθθτσσσθτστθ∂-∂+++=∂∂∂∂+++=∂∂几何方程：1;1r r r r r u u u r r r u u u r r rθθθθθεεθγθ∂∂==+∂∂∂∂=+-∂∂物理方程：()()r 11;2(1)r r r rv v E E v Eθθθθθεσσεσσγτ=-=-+=相容方程：22222211()0r r r r ϕθ∂∂∂++=∂∂∂ 第五章 应力张量=0x xy xzyx y yz zx zy z σστττσστττσσ---。

[平衡微分方程的适用范围]平衡微分方程平衡微分方程的适用范围弹性力学、塑性力学、弹塑性力学。

张量:怎样判断？商判则：和任意矢量点积为K-1阶张量的量一定为K 阶张量。

能否满足分量转换规律是判断某个数的集合是否表示一个张量的基本准则。

3、n 维张量的举例标量零阶张量，矢量为一阶张量，应力、应变为二阶张量，应力、应变之间的弹性关系可用四阶张量表示。

4、▽的意义？▽为一个梯度，▽2为调和算子，▽4为重调和算子。

5、柯西应变张量与格林应变张量的区别？柯西应变张量适用于线弹性小变形，格林应变张量适用于任何情况。

6、任意斜面上的应力的本质是？平衡微分方程和转轴公式。

7、如何描述正应变，剪应变，体积应变，应力的球张量，应力的偏张量？对于各向同性材料，正应力引起正应变，引起线元长度变化；剪应力引起剪应变，引起角度的变化；应力的球张量，只引起体积变化，不会引起形状的变化；应力的偏张量，只引起形状变化，不会引起体积的变化。

动力学的平衡微分方程如何表示？根据达朗贝尔原理，把惯性力当作体力来满足力平衡和力矩平衡条件。

9、转轴公式的理论依据:柯西公式。

10、等效应力、等效应变物理意义、公式：等效应力将6个应力分量的对变形体的作用，等效于一个单向拉伸力的作用；等效应变将6个应变分量等效于一个单向拉伸力所产生的应变。

利用实验，就可以直接建立等效应变与等效应力的数值关系11、体积不可压：从体积弹性模量来看，当时，K 趋向于无穷大，也就是说体积变化无限小，即表示体积不可压缩。

12、为什么等值拉压是纯剪切等值拉压时，线元只有角度发生变化，长度有发生变化，故等值拉压是纯剪切。

13、里茨和伽辽金法的物理思想均是利用利用最小势能原理，寻找满足约束边界条件的试验函数。

14、弹性力学为什么可用逆解法、半逆解法：解的唯一性定理表明，无论用什么方法求得的解，只要能满足全部基本方程和边界条件，就一定是问题的真解。

15、叠加原理建立在什么条件下：基本方程和边界条件满足线弹性条件，举例：在线弹性条件下，复杂问题可通过简单叠加处理。

微分方程边界条件
微分方程是数学中的一个重要分支，它描述了自然界中许多现象的演化规律。

在研究微分方程时，我们通常需要给出一些边界条件，以确定方程的解。

边界条件可以是在某些点上的函数值，也可以是关于函数导数的限制，甚至可以是更为复杂的条件。

对于一些简单的微分方程，我们可以通过直接求解来得到它们的解，而在给定一些边界条件后，我们可以进一步确定解的特性。

例如，对于常微分方程 $y' = f(x,y)$，我们可以通过欧拉法等数值方法来求解，而边界条件常常是 $y(a) = b$ 或者 $y(a) = y(b)$ 等。

对于更为复杂的偏微分方程，我们通常需要借助于分离变量法、变分法等数学工具来得到它们的解，并在此基础上给出相应的边界条件。

边界条件在微分方程中扮演着非常重要的角色，它们可以帮助我们确定方程的解，并且对于实际问题的建模也具有非常重要的意义。

因此，在学习微分方程时，我们需要重视对边界条件的理解和掌握。

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重力场中流体的平衡微分方程
在重力场中，流体的平衡微分方程可以通过质量守恒和动量守恒方程来描述。

1. 质量守恒方程：
质量守恒方程描述了流体质量在空间和时间上的变化。

根据质量守恒原理，流体在单位时间内进入一个控制体的质量应该等于离开该控制体的质量减去在控制体内积累的质量。

在重力场中，质量守恒方程可以表示为：
∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0
其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的速度矢量，∇是梯度算子，·表示向量的点乘。

2. 动量守恒方程：
动量守恒方程描述了流体运动的力学行为。

根据牛顿第二定律，流体在单位时间内受到的外力等于流体动量的变化率。

在重力场中，动量守恒方程可以表示为：
ρ(∂v/∂t + v·∇v) = -∇P + ρg
其中，P是流体的压力，g是重力加速度。

综合以上两个方程，就可以得到重力场中流体的平衡微分方程。

需要注意的是，这是一个非线性偏微分方程组，求解方法较为复杂，通常需要结合适当的边界条件和物质特性方程进行求解。