平衡微分方程和边界条件

弹性力学(习题详解)

第二章平面问题的基本理论
（习题讲解）
习题2-1 设有任意形状的等厚度薄板，体力可 o
以不计，在全部边界上（包括孔口边界上）受有均匀压力 q 。试证：
x
q
x y q 及 xy 0
能满足平衡微分方程、相容方程和边界条件，同时也满足位移单值条件，
y
因而就是正确的解答。
解：本问题属平面应力问题
X V ,Y V
x
y
（1）
其中V是势函数，则应力分量亦可用应力函数 (x, y)表示成为：
x
2
y 2
V ,
y
2
x2
V , xy
2
xy
试导出相应的相容方程。
（2）
将式（2）代入应力表示的相容方程：
2 x2
2 y 2
( x
y)
4
x 2y 2
4
x4
2V x 2
2V x 2
4
y 4
解：由材料力学理论求出：
l
x
Px I
y
(I h3 ) h 12
xy
QS Ib
P 2I
h2 4
y2
1P y x
将式 (1)代入相容方程：
x
y 0
(1)
将式 (1)代入平衡微分方程：
x xy P y P y 0 x y I I
xy y 0 0 0
2 x2
2 y 2
( x
2V y 2
4
x 2y 2
2V y 2
4
x 4
4
2 x2y2
4
y 4
2
2V x 2
2V y 2
4
22V
2 x2

弹性力学：平板弯曲问题的有限元分析(1)

其中为薄板的弯曲刚度9899薄板的弹性曲面微分方程薄板横截面上的内力称为薄板横截面上的内力称为薄板内力薄板内力是指薄板横截面的单是指薄板横截面的单位宽度上由应力合成的位宽度上由应力合成的主矢量主矢量和和主矩主矩
平板弯曲问题的有限元分析(1) Kirchhoff弹性薄板理论
参考文献： “弹性力学(下册)”第13章。徐芝纶
x
2w
2 (z2
2
2
)dz 4
E 3 12(1 2 )
x
2w
(c)
同样，在y为常量的截面上，每单位宽度内的 y , yx , yz
也分别合成如下的弯矩，扭矩，和横向剪力：
M y
2 2
z
y dz
E
12(1
3
2
)
(
2w y2
2w x2
)
(d)
M yx
2
2
z yxdz
E 3 12(1 2 )
(9-6)
( z )z q
(f)
2
将(9-6)式代入薄板上板面的边界条件：
得：
E
12(1
3
2
)
4
w
q
(9-7)
或 D4w q， (9-8)
其中
D
E
12(1
3
2
)
(9-9)
薄板的弹性曲面微分方程
为薄板的弯曲刚度
§9-３薄板横截面上的内力
► 薄板横截面上的内力，称为薄板内力，是指薄板横截面的单位宽度上，由应力合成的主矢量和主矩。
对z积分，得到： z
2(1 2 )
2
( 4
z
z2 )4w 3
F3 (x,

2-2平面应力问题

可以根据上式，求出应力与应变之间的关系广西工学院汽车工程系
1 ε x = (σ x − μσ y ) E 1 ε y = (σ y − μσ x ) E 1 γ xy = τ xy G
E (ε x + με y ) 2 1− μ E σy = (ε y + με x ) 2 1− μ E τ xy = Gγ xy = γ xy 2(1 + μ )
广西工学院汽车工程系
在z面的负面z处，正应力记为σz
广西工学院汽车工程系
∂σ z σz + dz ∂z
z正面z+dz处应力为
∂σ z σz + dz ∂z
在x面的负面处，切应力记为τxz x正面x+dx处切应力为
τ yz +
∂τ yz ∂y
dy
Z
τ yz
τ xz
τ yz +
∂τ yz ∂y
dy
Z
τ yz
∂τ xz τ xz + dx ∂x
τ xz
σz
x
∂σ z (σ z + dz ) ⋅ dxdy − σ z dxdy + ∂z ∂τ xz (τ xz + dx) ⋅ dydz − τ xz dydz + ∂x ∂τ yz dy ) ⋅ dxdz − τ yz dxdz + (τ yz + ∂y Z ⋅ dxdydz = 0
γ zx = γ xz = 0, γ yz = γ zy = 0
εz = − μ
E (σ x + σ y )
1 (σ x − μσ y ) E 1 ε y = (σ y − μσ x ) E 1 γ xy = τ xy G

常微分方程平衡点

常微分方程平衡点
常微分方程平衡点是指一个微分方程在其所有可能的取值点处都相等的解点。

当微分方程被求解时,如果它的所有解都位于平衡点,那么该微分方程就是平衡的,也就是说,其边界条件在所有的解点处都相等。

在常微分方程中,平衡点通常可以通过以下方法找到:
1. 使用条件值法:在微分方程中设一个条件值,如果条件值在解点处相等,那么平衡点就是该解点。

2. 使用积分法:将微分方程积分得到其导数,如果导数在所有解点处都相等,那么平衡点就是该解点。

3. 使用数值方法:使用数值方法,如迭代法、有限元法等,计算微分方程的解并寻找平衡点。

找到常微分方程平衡点的关键是找到所有可能的解点,并确定它们是否都位于平衡点。

如果所有可能的解点都位于平衡点,那么微分方程就是平衡的。

流体力学第二章流体静力学

流体力学第二章流体静力学编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（流体力学第二章流体静力学）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为流体力学第二章流体静力学的全部内容。

第二章流体静力学1º 研究任务：流体在静止状态下的平衡规律及其应用。

根据平衡条件研究静止状态下压力的分布规律，进而确定静止流体作用在各种表面的总压力大小、方向、作用点.2º 静止：是一个相对的概念，流体质点对建立的坐标系没有相对运动。

① 绝对静止：流体整体相对于地球没有相对运动。

② 相对静止：流体整体（如装在容器中）对地球有相对运动，但液体各部分之间没有相对运动。

共同点：不体现粘性,无切应力3º 适用范围：理想流体、实际流体4º 主要内容:流体平衡微分方程式静力学基本方程式（重点)等压面方程(测压计）作用于平面和曲面上的力（难点)重力压力重力直线惯性力压力质量力质量力重力离心惯性力压力重力压力第一节流体静压强及其特性一、基本概念1、流体静压强:静止流体作用在单位面积上的力。

设微小面积上的总压力为，则平均静压强：点静压强：即流体单位面积上所受的垂直于该表面上的力。

单位：N/m 2 (Pa)2、总压力：作用于某一面上的总的静压力.P单位：N (牛）3、流体静压强单位:国际单位：N/m 2＝Pa物理单位：dyn/cm 21N=105dyn ，1Pa=10 dyn/cm 2工程单位:kgf/m 2混合单位：1kgf/cm 2 = 1at (工程大气压) ≠ 1atm (标准大气压）1 at=1 kgf/cm2 =9。

弹性力学简明教程第2章平面问题的基本理论

一、求AB面上的正应力σn和切应力τn
设px、py为斜面AB的应力p在x、y 轴上的投影。斜面 AB的长度为 ds, 则AB=ds, PB=lds, PA=mds 。由平衡条件∑Fx=0 得：
l ds m d s p x ds x l ds xy m ds f x 0 2
除以ds ,然后令ds→0, 得：
B'
一、位移与形变
刚体位移
如果各点(或部分点）间的相对距离发生变化，则物体发生了变形。这种变形一方面表现在微线段长度的变化，称为线应变；一方面表现在微线段间夹角的变化，称为切应变。
O
A
O
A'
B
B'
二、几何方程
几何方程——描述任一点的微线段上形变分量与位移分量之间的关系。 P点的形变分量与位移分量的关系？
0 l 1
当 l2 = 1 时，
0 l 2 1
n nmax 1 ( 1 2 ) 2 1
当 l2 = 0 时，
n n min 2
可见：两个主应力就是最大与最小的正应力。
五、求最大与最小的切应力
任意斜面上的切应力 n lm( y x ) (l 2 m 2 ) xy
y
二、几何方程
PA的线应变在小变形
时是由x 方向的位移引起的，因此PA的线应变为
P' A' PA x PA
o u
P
x
u
dx
v
P'
A
u dx x

A'
v
v dx x
y
u (u dx) u AA' PP' u x dx PA x v (v dx) v v x PA的转角为 dx x

第七章_弹性力学平面问题的极坐标系解答讲解

在r = b边界（外径）：
r= -qb，r=0
本问题仍为轴对称问题，且体力为零，
可采用前述的应力函数求解方程，也可按位移法求解。
１．按应力函数法求解
按应力函数求解前面已导出应力分量和位移表达式：
，，
平面应力问题的位移：
法求解：
由基本方程得
代入应力与位移之间关系式，对于平面应力问题，有
其中Brsin=By可略去。
将( r,)代入应力分量表达式
A、C、D由力的边界条件来定。
力的边界条件：在主要边界上，
在r = a：r= 0,r= 0, 2Aa+C/a-2D/a3= 0
在r = b:r= 0,r= 0, 2Ab+C/b-2D/b3= 0
在次要边界上，
在=0，环向方向的面力为零，满足。
在= 0: 由于主要边界满足，则此式自然满足；
在= 0:
(3)
主要边界满足时，由（1）、（2）、(3)求出A、B、C，应力求出后，依次可求出应变和位移表达式，详细推导在徐芝纶（上册）P.91-92。
在徐芝纶(4-13)中I、K、H为刚体位移，I = u0、K = v0, H =。
可利用约束确定，如令r0=(a+b)/2，= 0处
应力分量表达代入几何方程的第一式并积分，得
——(b)
考虑位移单值性比较（a）和（b）式：
4Br-F=0B=F=0
轴对称问题的应力和位移解为：
，，
，
A、C由两个力的边界条件确定。
对于无体力圆盘（或圆柱）的轴对称问题，
则根据圆盘（或圆柱）中心应力和
位移有限值,得
A=0
图示圆盘受力情况，得应力为r==2C= -q
然后，利用r = a时，，得

课后习题解答

【解答】由于 h l ，OA 为小边界，故其上可用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件：
(a)上端面
OA
面上面力
fx
0,
fy
x b
q
由于 OA 面为负面，故应力主矢、主矩与面力主矢、主矩符号相反，有
b
0
y
dx
y0
b
0 f ydx
b x qdx qb
0b
2
b 0
①主要边界，上边界 y h 上，面力为 2
f
x
(
y
h 2
)
2ax
f
y
(
y
h 2
)
ah
②主要边界，下边界 y h ，面力为 2
fx
(
y
h) 2
2ax,
fy(y
h) 2
ah
③次要边界，左边界 x=0 上，面力的主矢，主矩为
h/2
x 向主矢： Fx h/ 2 ( x )x0 dy 0
h/2
y 向主矢： Fy h/ 2 ( xy )x0 dy 0
y0
12
b
0
xy
dx 0
y0
综上所述，在小边界 OA 上，两个问题的三个积分的应力边界条件相同，故这两个问题是静力等
效的。
【2-11】检验平面问题中的位移分量是否为正确解答的条件是什么
【解答】（1）在区域内用位移表示的平衡微分方程式（2-18）；
（2）在 s 上用位移表示的应力边界条件式（2-19）；
【3-3】如果某一应力边界问题中有 m 个主要边界和 n 个小边界，试问在主要边界和小边界上各应满足什么类型的应力边界条件，各有几个条件
【解答】在 m 个主要边界上，每个边界应有 2 个精确的应力边界条件，公式（2-15），共 2m 个；在 n 个次要边界上，如果能满足精确应力边界条件，则有 2n 个；如果不能满足公式（2-15）的精确应力边界条件，则可以用三个静力等效的积分边界条件来代替 2 个精确应力边界条件，共 3n 个。

弹性力学-边界条件

y
yx

x
P y
fx
n
l cosn, x cos m cosn, y sin
xy

由 x s m xy s f x xy s m y s f y
fy
x s cos yx s sin 0

h 2 h 2
h 2 h 2
f x ydy M
则边界条件可以写成(P.23 (b))：

x x l
dy Fx ,

xy x l
dy Fy ,

x x l
ydy M
悬臂梁的例子：
y
h 2 h 2
y y x
h 2 h 2
x
P
L
L
对边界条件的积分为： (P.23 (b))：
x yx
xy l fx y s m fy
x 上面：l=0，m=-1 左面：右面： l=-1 l=1 m=0 m=0 下面：l=0，m=1 y
(2).上下两面 ( ) f l 0 m 1 ( ) f
二、应力边界条件在边界上的楔形体（单位厚度）如图所示：弹性体内单元体斜面上的 y 应力分量与坐标面应力的 yx 关系有(静力平衡) f xn X x p x x xy l p y m y yx
• 所得到的应力分量必须在所有边界上各点处严格满足应力边界条件，才是所论问题的解答。 • 在小边界上，如果不能严格满足边界条件，可以用圣维南原理在静力等效意义上满足(积分意义上的)边界条件。 • 根据这个原理：两组面力其分布尽管不同，但如果两者的合力与合力矩相同(静力等效)，此时它们所产生的作用结果仅仅在局部有比较大的差异，远离这个局部，结果基本相同。

弹塑性力学第四章弹性力学的求解方法

微分方程并求解，最后根据边界条件确定待定常数。
逆解法求解空间问题
逆解法的基本思想
从已知的空间应力或位移函数出发，反推得到弹性体的形状和边界条件。
适用于具有特定应力或位移分布的空间问题
如无限大体、半无限大体等具有特殊应力或位移分布的空间问题。
求解步骤
假设空间应力或位移函数，根据弹性力学基本方程推导得到弹性体的形状和边界条件，并验证假设的合理性。
04
半解析法在弹性力学中的应用
有限差分法基本原理及步骤
差分原理
有限差分法基于差分原理，将连续问题离散化，通过求解差分方程得到近似解。
网格划分
将求解区域划分为规则的网格，每个网格节点对应一个未知数。
差分格式
根据问题的性质和精度要求，选择合适的差分格式，如向前差分、向后差分、中心差分等。
边界处理
电测实验方法介绍及优缺点分析
电阻应变片法
利用电阻应变片将试件表面的应变转换为电阻变化，通过测量电路获取应变信息。该方法具有测量精度高、稳定性好、适用于各种环境和试件形状的优点，但需要粘贴应变片并进行温度补偿，且只能进行点测量。
VS
电容传感器法
利用电容传感器将试件表面的位移或应变转换为电容变化，通过测量电路获取相关信息。电容传感器法具有非接触、高灵敏度、宽频响等优点，但易受环境干扰，且需要进行复杂的电路设计和信号处理。
04 边界条件处理根据边界条件对总体刚度矩阵和荷载向量进行修正。
05
求解线性方程组
求解总体刚度矩阵和荷载向量构成的线性方程组，得到节点位移。
边界元法基本原理及步骤
边界积分方程
边界离散化
单元分析
总体合成
求解线性方程组

流体平衡微分方程式

2020/3/25
1
第一节流体静压强及其特性
在流体内部或流体与固体壁面所存在的单位面积上的法向作用力称为流体的压强。当流体处于静止状态时，流
体的压强称为流体静压强，用符号p表示，单位为Pa。
流体静压强有两个基本特性。
（1）流体静压强的方向与作用面相垂直，并指向作用面的内法线方向。
这一特性可由反证法给予证明：
ρdxdydz则得
同理得
写成矢量形式
1 p
f x x 0
fy
1
p y
0
fz
1
p z
0
f
1
p
0
（2-3）
这就是流体平衡微分方程式，是在1755年由欧拉
（Euler）首先推导出来的，所以又称欧拉平衡微分方程
式。此方程的物理意义是：在静止流体中，某点单位质量
流体的质量力与静压强的合力相平衡。在推导这个方程中，
2020/3/25
4
其上的力是平衡的
现在来分析作用于微元四面体ABCD上各力的平衡关
系。由于静止流体中没有切应力，所以作用在微元四面体
四个表面上的表面力只有垂直于各个表面的压强。因为所
取微元四面体的各三角形面积都是无限小的，所以可以认
为在无限小表面上的压强是均匀分布的。设作用在ACD、
ABD、ABC和BCD四个面上的流体静压强分别为px、py、
流体静力学着重研究流体在外力作用下处于平衡状态的规律及其在工程实际中的应用。
这里所指的静止包括绝对静止和相对静止两种。以地球作为惯性参考坐标系，当流体相对于惯性坐标系静止时，称流体处于绝对静止状态；当流体相对于非惯性参考坐标系静止时，称流体处于相对静止状态。
流体处于静止或相对静止状态，两者都表现不出黏性作用，即切向应力都等于零。所以，流体静力学中所得的结论，无论对实际流体还是理想流体都是适用的。

弹性力学综合题及其解题提示

1. 基本概念(1) 什么是体力、面力和应力？其方向是如何规定的？试画出正、负y 面上正的应力和正的面力，写出平面问题应力分量满足的Cauchy 公式。

⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⇒⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(s f l m s f m l f f m l y yx y x xy x s y x s y yx xy x τστσσττσ(2) 弹性力学有哪些基本假定(6个)？1) 连续性假设：物体内物理量－用连续函数表示2) 线弹性假设：物体服从胡克定律－弹性常数不变 3) 均匀性假设：物体由同一材料组成－材料常数不变4) 各向同性假设：物体内任一点弹性性质各向同性－弹性常数不随方向而变－－符合以上四个假定的物体称为理想弹性体5) 小变形假设：微小位移和应变－尺寸不变－可略去高阶小量－方程线性化 6) 无初始应力假设：物体处于自然状态－求解应力仅由外力或温度改变而产生(3) 已知物体的边界形状、材料性质、体力和边界约束，如何求解应力、形变和位移？ (4) 弹性力学的两类平面问题是什么？等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力或约束，同时，体力也平行于板面且不沿厚度变化。

这类问题即为平面应力问题。

很长的柱形体，其横截面不沿长度变化，在柱面上受平行于横截面且不沿长度变化的面力或约束，同时，体力也平行于横截面且不沿长度变化，这类问题即为平面应变问题。

平面应力问题的物理方程为：xy xy x y y y x x EE E τμγμσσεμσσε)1(2,)(1,)(1+=-=-=平面应变问题的物理方程为：xy xy x y y y x x EE E τμ+=γσμ-μ-σμ-=εσμ-μ-σμ-=ε)1(2,)1(1,)1(122(5) 圣维南原理的基本内容是什么？写出与主矢和主矩对应的静力等效条件。

圣维南原理指出：作用在物体表面上一个局部区域内的平衡力系(主矢量为0，对于同一点的主矩也为0)，可以用一个与之静力等效的任意力系来代替，由他们产生的应力分布在力系作用区域内有显著不同，在离开力系作用区域相当远的范围内，其应力分布几乎是相同的(可忽略不计)。

《弹性力学》第二章_平面问题的基本理论

o
xy
x
y
P
yx
y
A
XN
x
设AB面在xy平面内的长度为dS，厚度为一个单位长度，N为该面的外法线方向，其方向余弦为：
B
N
N
N
cos(N , x) l , cos(N , y) m
9
YN S
图2 － 4
斜面AB上全应力沿x轴及y轴的投影分别为XN和YN。由PAB 的平衡条件 Fx 0 可得： X N dS xldS yxmdS
2.主应力的方向
1 与 2 互相垂直。
11
§2-4
几何方程、刚体位移
在平面问题中，弹性体中各点都可能产生任意方向的位移。通过弹性体内的任一点P，取一单元体PAB，如图2-5所示。弹性体受力以后P、A、B三点分别移动到P′、A′、B′。一、P点的正应变
u (u dx) u u x x dx x
二、P点的剪应变
线段PA的转角：
同理可得线段PB的转角：
u y
所以
xy
v u x y
13
因此得到平面问题的几何方程：
u x x v y y v u xy x y
由几何方程可见，当物体的位移分量完全确定时，形变分量即可完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。
z

E
( x y )
16
二、平面应变问题的物理方程 1 2 x ( x y ) E 1 1 2 y ( y x ) E 1 2(1 ) xy xy E 三、平面应力的应力应变关系式与平面应变的关系式之间的变换关系 1 ( ) y 将平面应力中的关系式： x E x

弹性力学总结与复习全文

4
2 r 2
1 r
r
1 r2
2
2
2
0
（2）由式（4－5）求出相应的应力分量： r , , r
（4－6）
r
1 r
r
1 r2
2 2
2
r 2
r
r
1 r
（4－5）
（3）将上述应力分量 r , , r 满足问题的边界条件：
位移边界条件： ur s ur , u s u 应力边界条件： l r s m r s kr （位移单值条件） l r s m s k
y
叠加法的应用
第七章平面问题的差分解
（1）了解差分法的基本思想；（2）了解应力函数差分解中，应力分量的差分公式；应力函数
Q分别为梁截面上弯矩与剪力。
结合应力分量与应力函数的关系确定应力函数：
2
r 2
f (r) f (r)sin f (r) cos
4. 半平面问题 P
O
y
r
rf ( ) x
q
O
r
y
r2 f ( )
M O
y
r
( ) x
q(x)
O
x
x
r
q aa
y r3 f ( )
O
x
r
y 0
y f ( y)
y xf ( y)
O
x
O
b
x
xl
g
gy
y
y 0
习题：3 -1，3 –2，3 –3，3 -4
g
y
(x, y)
ax3 bx2 y cxy2 dy3
第四章平面问题的极坐标解答
（1）极坐标解答适用的问题结构的几何形状？（圆环、圆筒、圆弧形曲杆、楔形体、半无限平面体等）

岩石力学22

u x x v y y v u xy x y
(4-3)
•
（2）岩石本构关系的概念
• ① 平衡方程和几何方程与材料的性质无关，只有本构关系反映材料的性质。 • ② 岩石本构关系：指岩石的应力或应力速率与应变或应变速率的关系。 • 岩石本构关系一般有：弹性本构关系、塑性本构关系和流变本构关系三种。 • ③ 强度理论：采用判断推理的方法，提出一些假设，推测材料在复杂应力状
• （4）相容方程 • ① 用变形表示的相容方程：
x 2 2 y x xy
2
2 y
2 xy
（4-11）
（ ② 用应力函数 x, y ) 表示的相容方程：
• •
4 4 4 2 2 2 4 0 4 x x y y
（4-26）
• （5）当物体体力为常数时，两种平面问题的相容方程，应力分量以及应力边界条件都不含任何弹性常数，故体力为常数时的平面问题的应力分布规律与材料的弹性常数无关。 • 4.2.5 空间问题基本方程 • （1）空间问题的平衡微分方程：
• （2）平衡微分方程由列平衡方程
F F
x y
0 0
可得平面问题的平衡微分方程为
• 4.1.2 几何方程 • （1）平面问题的几何方程
x yx X 0 y x y xy y x Y 0
(4-2)
（1）应力分量、变形分量和位移分量的符号规定（在弹性力学中）：在外法线的指向与坐标轴的正向一致的面上，应力的正向与坐标轴的正向相同；在外线的指向与坐标轴的正向相反的面上，应力的正向与坐标轴的正向相反。应变的伸长为正，压缩为负。剪应变以直角变小为正，变大时为负。作用力和位移以沿坐标轴的正方向为正，沿坐标轴的负方向为负。依此规定图所示的应力全都是正的。

弹性力学最新试题带答案

【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。

【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。

非均匀的各向同性体如：混凝土。

【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。

【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。

【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。

引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。

因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。

完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。

这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。

均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。

各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。

小变形假定：假定位移和变形是微小的。

亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。

这样在建立物体变形以后的平衡方程时，就可以方便的用变形以前的尺寸来代替变形以后的尺寸。

弹性力学2-7圣维南原理2-8按位移求解平面问题

按位移求解平面问题的基本方程1将平衡方程用位移表示xyxy由应变表示的物理方程将几何方程代入有用位移表示的平衡微分方程2将边界条件用位移表示位移边界条件
作业：2.8 预习：2-9,2-10,3-1,3-2
§2-7 圣维南原理
问题的提出：
求解弹性力学问题时，使应力分量、 P
P
形变分量、位移分量完全满足8个基本方
顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。
y
yx
左侧面：
x xy
xh xh
0 0
x xh y
右侧面：
τ xy
0
xh
上端面：为次要边界，可由圣维南原理求解。
y方向力等效：
h
h
(
y
)
dx
y0
P
sin
对O点的力矩等效：
h h
(
y
)
y
0
x
dx
P
h 2
sin
x方向力等效：
h
( h
yx
)
2.弹性力学问题的求解方法
（1）按位移求解（位移法、刚度法）以u、v 为基本未知函数，将平衡方程和边界条件都用u、v
表示，并求出u、v ，再由几何方程、物理方程求出应力与形变
分量。
（2）按应力求解（力法，柔度法）
以应力分量为基本未知函数，将所有方程都用应力分量表示，并求出应力分量；再由几何方程、物理方程求出形变
( x )s 0 ( xy )s q
上侧面： y 0
次要边界，可用圣维南原理列写边界条件：
h
2 h
(
y
)
y
0
dx
0
2
h

弹性力学11-极坐标中的平衡微分方程

如图分别取环向和径向的微分线段：（2）只有环向位移时图中P、A和B点的位移分别为：
PP uj AA uj + BB uj + uj r uj j dr dj
点 P , A , B 变形后为 P’’,A’’,B’’ ，各点的位移如图。P’’A’’长度近似等于PA，PA,PB线应变分别为：

目的及意义：平面区域内任一点的微分体的平衡条件考虑问题的基础知识：平面上的静力学知识

分析问题方法：平面力系和力矩的平衡条件
分析手段：微分单元体（微分）
第四章平面问题的极坐标解答 4.1 极坐标中的平衡微分方程
径向面PB和AC的面积不相同
，分别为 rdf×1 和 (r+dr )df
s r r dj +
s r r
r dr dj + s r dr dj +
s r r
( dr ) dj s r r dj
2
dj s j dj dj s j dr sin dj dr sin s j dr sin 2 j 2 2 t jr dj + dj dr cos + f r r dj dr 0, j 2
第四章平面问题的极坐标解答本章内容41极坐标中的平衡微分方程42极坐标中的几何方程与物理方程43极坐标中的应力函数与相容方程44应力分量的坐标变换式45轴对称应力和相应的位移46圆环或圆筒受均布压力47圆孔的孔口应力集中48半平面体在边界上受集中力第四章平面问题的极坐标解答41极坐标中的平衡微分方程采用极坐标系求解的优点
dr )( r + dr )dj s r r dj
第四章平面问题的极坐标解答 4.1 极坐标中的平衡微分方程

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