水力学2.2欧拉平衡微分方程

河海大学水力学考研讲义（重要知识点总结）第1章概论内容提要本章主要介绍水力学的定义及研究内容。

同时介绍了连续介质模型、波体的特征及主要物理力学性质和作用在波体上的力。

1.1 液体的连续介质模型液体是由无数没有微观运动的质点组成的没有空隙存在的连续体,并且认为表征液体运动的各物理量在空间和时间上都是连续分布的。

在连续介质模型中,质点是最小单元,具有“宏观小”、“微观大”的特性。

1.2 液体的主要物理性质液体的主要物理性质有质量和重量、易流性、黏滞性、压缩性、表面张力等。

液体单位体积内所具有的质量称为液体的密度,用ρ表示。

一般情况下,可将密度视为常数，水银的密度p=13600 kg/m3。

2.黏滞性易流性: 液体受到切力后发生连续变形的性质。

黏滞性：液体在流动状态之下抵抗剪切变形的性质。

切力、黏性、变形率之间的关系可由牛顿内摩擦定律给出3．压缩性液体受压后体积减小的性质称为液体的压缩性。

用体积压缩系数来衡量压缩性大小，K值越大，液体越难压缩。

4．表面张力表面张力是液体自由表面在分子作用半径一薄层内，由于分子引力大于斥力而在表层沿表面方向产生的拉力。

通常用表面张力系数来度量，其单位为N/m。

1.3 作用于液体的力(1)无论是处于静止或运动状态都受到各种力的作用，这些力可以分为两类。

表面力：作用在液体的表面或截面上且与作用面的面积成正比的力，如压力P、切力F。

表面力又称为面积力。

质量力：作用在脱离体内每个液体质点上的力，其大小与液体的质量成正比。

如重力、惯性力。

对于均质液体，质量力与体积成正比，故又称为体积力。

第2章水静力学内容提要水静力学研究液体平衡（包括静止和相对平衡）规律及其在工程实际中的应用。

其主要任务是根据液体的平衡规律，计算静水中的点压强，确定受压面上静水压强的分布规律和求解作用于平面和曲面上的静水总压力等。

2.1 静水压强及其特性在静止液体中，作用在单位面积上的静水压力定义为静水压强，用字母p表示。

复习总结（标红或划线的需记住）0 绪论一、概念1、水力学：用实验和分析的方法，研究液体机械运动（平衡和运动）规律及其实际应用的一门科学。

2、密度和容重：ρ=V M γ=V Mgγ=ρg 纯净水1个标准大气压下，1atm 4℃时密度最大 ρ水=1000kg /m 3 γ水=9.80kN/m 3ρ水银=13.6×103 kg /m 3（1atm20℃） 1N=1kg m/s 2容重γ的概念一般新教材中多已不引用，但工程中仍采用，本教案中仍采用，3、粘滞性：液体质点抵抗相对运动的性质。

粘滞性是液体内摩擦力存在的表现，是液体运动中能量产生损失的根本原因。

4、理想液体：不考虑粘滞性、压缩性、热涨性、表面张力性质的液体称为理想液体。

τ=ηdydu 或T=ηAdyduη动粘 [ML -1T -1] Pa.s (帕.秒) 1 Pa=1N/m 2 1N=1kg ²m/s 2ν运粘 [L 2T -1] m 2/sν=η/ρ水的经验公式：ν=2000221.00337.0101775.0tt ++公式中ν单位为cm 2/s ，t 为水温℃。

5、连续介质模型：假定液体质点毫无空隙地充满所占空间，描述液体运动物理量（质量、速度、压力等）是时间和空间的连续函数，因而可用连续函数的分析方法来研究，这种假定对解决一般工程实际问题是有足够的精度的。

6、压缩性 一般不考虑热膨胀性 流动性二、 问题1、 牛顿内摩擦定律简单应用；2、 作用于液体上的力：质量力、表面力；3、 水力学研究方法：理论分析、科学试验、数值模拟4、 水力学应用（水利工程）：1）确定水力荷载2）确定水工建筑物过水能力（管、渠、闸、堰 ） 3）分析水流流动形态4）确定水流能量消耗和利用 5）水工建筑物水力设计1 水静力学一、概念1、静水压强：p =AP A ∆∆→∆0lim=dAdP2、等压面：均质连通液体中，压强各点相等的点构成的面称为等压面。

869《水力学》考试大纲一、考试的基本要求掌握水力学的基本概念、基本原理及基本计算，掌握实验的基本技能，并具有一定的分析、解决本专业涉及水力学问题的能力。

二、考试方式和考试时间闭卷考试，总分150，考试时间为3小时。

三、参考书目《工程流体力学》（水力学）（第三版）上册、下册，闻德荪主编，高等教育出版社四、试题类型：主要包括选择题、填空题、作图题、计算题、综合案例题等类型，并根据每年的考试要求做相应调整。

五、考试内容及要求第一章绪论1.工程流体力学的任务及其发展简史2. 连续介质假设·流体的主要物理性质3. 作用在流体上的力4.工程流体力学的研究方法基本要求：了解流体力学的任务及发展简史；理解连续介质假设含义；掌握流体的主要物理力学性质；理解流体的粘滞性、掌握牛顿内摩擦定律、掌握作用于流体上的质量力和表面力；了解工程流体力学的研究方法。

第二章流体静力学1．流体静压强特性，2．流体的平衡微分方程——欧拉平衡微分方程3．流体静力学基本方程4．液体的相对平衡5．压缩气体中的压强分布规律6．作用在平面上的液体总压力7．作用在曲面上的液体总压力8．力和潜体及浮体的稳定基本要求：熟练掌握静压强的特性，静压强三种计量单位和表示方法，相对平衡压强分布规律，平面及曲面上静水总压力大小、方向及作用点，压力体的概念及绘制。

第三章流体运动学1．描述流体运动的两种方法2．描述流体运动的一些基本概念3．流体运动的类型4．流体运动的连续性方程基本要求：掌握拉格朗日方法和欧拉方法的异同，流量、断面平均速度等概念，均匀流、恒定流特点，流线的特点。

掌握连续性方程及其应用。

第四章理想流体动力学1．理想流体的运动微分方程2．理想流体元流的伯努利方程基本要求：掌握元流伯努利方程的推导及应用。

第五章实际流体动力学基础1．实际流体的N---S2．实际流体元流的伯努利方程3．实际流体总流的伯努利方程4．不可压缩气体的伯努利方程5．总流的动量方程基本要求：掌握功能原理推求元流、总流伯努利方程，伯努利方程及动量方程的应用。

第二章 水静力学水静力学（Hydrostatics ）是研究液体处于静止状态时的力学规律及其在实际工程中的应用。

“静止”是一个相对的概念。

这里所谓“静止状态”是指液体质点之间不存在相对运动，而处于相对静止或相对平衡状态的液体，作用在每个液体质点上的全部外力之和等于零。

绪论中曾指出，液体质点之间没有相对运动时，液体的粘滞性便不起作用，故静止液体质点间无切应力；又由于液体几乎不能承受拉应力，所以，静止液体质点间以及质点与固壁间的相互作用是通过压应力（称静水压强）形式呈现出来。

水静力学的主要任务是根据力的平衡条件导出静止液体中的压强分布规律，并根据其分布规律，进而确定各种情况下的静水总压力。

因此，水静力学是解决工程中水力荷载问题的基础，同时也是学习水动力学的基础。

§2-1 静水压强及其特性1．静水压强的定义在静止的液体中，围绕某点取一微小作用面，设其面积为 ΔA ，作用在该面积上的压力为ΔP ，则当ΔA 无限缩小到一点时，平均压强A P ∆∆/便趋近于某一极限值，此极限值便定义为该点的静水压强(Hydrostatic Pressure)，通常用符号p 表示，即dAdP AP p A =∆∆=→∆0lim(2-1)静水压强的单位为2/m N (Pa(帕))，量纲为 [][]21--=T ML p 。

2．静水压强的特性静水压强具有两个重要的特性：(1)静水压强方向与作用面的内法线方向重合。

在静止的液体中取出一团液体，用任意平面将其切割成两部分，则切割面上的作用力就是液体之间的相互作用力。

现取下半部分为隔离体，如图2-1所示。

假如切割面上某一点M 处的静水压强p 的方向不是内法线方向而是任意方向，则p 可以分解为切应力τ和法向应力p n 。

从绪论中知道，静止的液体不能承受剪切力也不可能承受拉力，否则将平衡破坏，与静止液体的前提不符。

所以，静水压强唯一可能的方向就是和作用面的内法线方向一致。

(2)静水压强的大小与其作用面的方位无关，亦即任何一点处各方向上的静水压强大小相等。

水力学复习重点1绪论1、作用在液体上力的分类：表面力、质量力2、流体的粘性：牛顿内摩擦定律，粘滞系数3、什么是理想液体？4、什么是牛顿液体？1．与牛顿内摩擦定律直接有关的因素是）。

切应力和压强切应力和剪切变形速度切应力和剪切变形 2．液体的粘性是液体具有抵抗剪切变形的能力。

( √ )3．作用于液体上的力可以分为质量力和表面力两类。

惯性力属于质量力。

4．液体流层之间的内摩擦力与液体所承受的压力有关。

( ×) 粘度为常数无粘性不可压缩符合pRT 5．凡符合牛顿内摩擦定律的液体均为牛顿液体。

( √ ) 6．自然界中存在着一种不具有粘性的液体，即为理想液体。

( × )2流体静力学欧拉平衡微分方程1、液体平衡微分方程的表达式及其理解2、等压面概念，静止液体形成等压面的条件；质量力与等压面正交3、重力作用下流体压强分布规律；静止液体压强基本方程及其应用； 4、测压管水头概念及其理解1．在重力作用下静止液体中，等压面是水平面的条件是。

同一种液体，相互连通相互连通不连通同一种液体2．等压面不一定和单位质量力相互垂直。

( ×) 3．在重力作用下平衡的液体中，各点的单位势能相等。

( √) 4．静止液体中某一点的测压管水头是）。

测压管的液柱高度测压管液面到测点的高差测压管液面到基准面的高差点的位置与基准面的高差 5．一密闭容器内下部为水，上部为空气，液面下米处的测压管高度为，则容器内液面的相对压强为－2m 水柱。

水5．液体平衡微分方程为X1p1p1p，Y ，Z 。

xzy液体压强的测量1、绝对压强、相对压强、真空度2、金属测压计和真空计的区别1．某点的真空度为65000Pa，当地大气压为，该点的绝对压强为 35000 Pa 。

2．水力学中的真空现象是指该处没有任何物质。

( ×)3．水中某点的绝对压强 pabs=55kPa，其相对压强 p =－43 kPa ,真空高度hv= m 。

《流体力学与流体机械》(上)主要公式及方程式1．流体的体积压缩系数计算式：pp V V d d 1d d 1p ρρβ=-= 流体的体积弹性系数计算式：ρρd d d d pV p VE =-= 流体的体积膨胀系数计算式：TT V V d d 1d d 1T ρρβ-==2．等压条件下气体密度与温度的关系式：t βρρ+=10t ， 其中2731=β。

3．牛顿内摩擦定律公式：y u AT d d μ±= 或 yuA T d d μτ±== 恩氏粘度与运动粘度的转换式：410)0631.00731.0(-⨯-=EE ν 4．欧拉平衡微分方程式： ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=∂∂-=∂∂-=∂∂-010101z p f y p f x pf z y x ρρρ 和 ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=∂∂-=∂∂-=∂∂-010101z pf r p f r p f z r ρθρρθ 欧拉平衡微分方程的全微分式： )d d d (d z f y f x f p z y x ++=ρ )d d d (d z f r f r f p z r ++=θρθ 5．等压面微分方程式： 0d d d =++z f y f x f z y x0d d d =++z f r f r f z r θθ6．流体静力学基本方程式：C z p=+γ或2211z p z p +=+γγ或 2211z g p z g p ρρ+=+相对于大气时： C z g p a m =-+)(ρρ 或 2211)()(z g p z g p a m a m ρρρρ-+=-+ 7．水静力学基本方程式：h p p γ+=0，其中0p 为自由液面上的压力。

8．水平等加速运动液体静压力分布式：)(0gz ax p p +-=ρ；等压面方程式：C z g ax =+；自由液面方程式：0=+z g ax 。

注意：p 0为自由液面上的压力。

9．等角速度旋转液体静压力分布式：)2(220z gr p p -+=ωγ；等压面方程式：C z g r =-222ω；自由液面方程式：0222=-z g r ω。

ρ2。

还受到惯性力的作用。

铅垂方向： 铅垂方向：重力Δ 重力ΔG与浮力Δ 与浮力ΔFB之差∆Fz = ∆G − ∆FB = m1 g − mg = (m1 − m) g水平方向： 水平方向 ： 离心惯性力Δ 离心惯性力 ΔFI 与压力差 ΔFp之差2 2 2 ∆Fr = ∆F − ∆ F = m ω r − m ω r = ( m − m ) ω r Ⅰ p 1 1ρ ρ ϖ ρ ρ 合力： 合力：∆F = ∆Fz + ∆Fr = (m1 − m) g + (m1 − m)r§2-4液体的相对平衡1. 当 ml=m 时 ， ΔF=0 ， 杂质混合在 流体中， 流体中，不能用这个原理来清除。

不能用这个原理来清除。

2. 当 m1>m时 ， ΔF向右下方倾斜， 向右下方倾斜， 杂质在Δ 杂质在ΔF的作用下， 的作用下 ， 下沉于底部。

下沉于底部。

离 心除尘器除去空气中粉尘的。

心除尘器除去空气中粉尘的。

3. 当 m1<m时 ， ΔF向左上方倾斜， 向左上方倾斜， 杂 质 在 ΔF 的 作 用 下 ， 上 浮 于 流 体 表 面。

油脂分离器回收水中的油脂。

油脂分离器回收水中的油脂。

§2-4液体的相对平衡§2-7 浮力和潜体及浮体的稳定浸没于静止流体中的潜体 浸没于静止流体中的潜体(sinking body)和漂浮在 液面的浮体 液面的 浮体(floating body)所受的流体总压力， 受的流体总压力，即 所谓浮力 所谓浮力(buoyancy)问题 。

A' B'D' F1 C'§2-7 浮力和潜体及浮体的稳定D A C BD' F2 C'§2-7 浮力和潜体及浮体的稳定1、阿基米德原理： 阿基米德原理：作用在浸没于流体中物体的流 体总压力FPz，其大小等于该物体所排除的同体积 的流体重量， 的流体重量，方向向上。