人教版A版(教案1)2.3幂函数

2.3 幂函数一、教学目标：知识与能力1、通过实例，了解幂函数的概念；2、会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质；3、能应用幂函数的图像和性质解决有关简单问题。

过程与方法培养学生数形结合能力，合作交流能力，以及应用数学的能力。

情感态度与价值观让学生感受到数学来源于生活，应用于生活，并认识到现代信息技术在人们认识世界过程中的作用,激发学生的学习动力。

二、重点难点重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的一些性质难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质是教学中可能遇到的困难．三、教学方法通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现幂函数的性质.四、教学过程（一）实例观察，引入新课(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付P = W元P是W的函数（y=x）(2)如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2S是a的函数（y=x2）(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V =a3S是a的函数（y=x3）(4)如果一个正方形场地的面积为S,那么正方形的边长a=12S a是S的函数（y=12 x）(5)如果某人t s内骑车行进 1 km,那么他骑车的平均速度v=t-1 V是t的函数（y=x-1）问题一：以上问题中的函数具有什么共同特征?学生反应：底数都是自变量，指数都是常数.【设计意图】引导学生从具体的实例中进行总结，从而自然引出幂函数的一般特征. （二）类比联想，探究新知1.幂函数的定义；一般地，函数y=xɑ叫做幂函数(power function) ，其中x为自变量，ɑ为常数。

注意:幂函数的解析式必须是y = ｘa 的形式，其特征可归纳为“系数为１，只有１项”．（让学生判断y=2x2y=（x+1）2 y=x2+1 是否为幂函数）【设计意图】加深学生对幂函数定义和呈现形式的理解.2.幂函数的图像与简单性质同前面的指数函数和对数函数一样，先画出函数的图像，再由图像来研究幂函数的相关性质（定义域，值域，单调性，奇偶性，定点）不妨也找出典型的函数作为代表：y=x y=x2y=x3 y=12x y=x-1让学生自主动手，在同一坐标系中画出这5个函数的图像问题三：所有图像都过第几象限，所有图像都不过第几象限，为什么？学生反应：都过第一象限，而都不过第四象限，因为当x>0时所有幂函数都有意义,且函数值都为正.问题四:第一象限内函数图像的变化趋势与指数有什么关系,为什么？学生反应:当指数为正时是增函数,指数为负时是减函数.为什么却讲不清楚.教师讲解：指数为正分为正分数和正整数，正无理数我们高中不做研究，当是正整数时很显然递增，当是正分数时，可以化成根式，很显然当被开方数为正时，被开方数越大，整个根式值越大。

2、3幂函数学案编写者：黄冈实习学校数学教师孟凡洲（教师注意：这一节课我们主要学习的是幂函数，其实 幂函数我们初中时已经接触过一些，譬如21,,x y x y x y ===-，我们高中又加了两个函数，一个是3x y =，另一个是21x y =，这些函数的图像我们每一个学生都要很熟悉，因为这是我们以后研究函数的基础）一、【学习目标】（教师注意：这节课的重点是渗透幂函数的画法，幂函数的画法是一个很重要的内容，我们要记住密函数的形状，这是我们研究函数所必须的.）1、了解幂函数的性质，掌握几个特殊的幂函数的画法；2、通过练习，能解决幂函数复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等问题.【教学效果】：教学目标的出示，有利于学生把握课堂学习的方向.二、【自学内容和要求及自学过程】阅读课本第77页内容，请你回答问题（教师注意：这五个函数图像是我们要记住的.由于书上的图像时画在一个坐标系内，所以比较乱，建议老师把这些图像分开画，然后在画在一个坐标系内，结合起来看比较好一些.)<1>教材第77页给出了5个函数例子，这5个函数有什么共同特 征呢？我们初中时接触过其中的哪几种函数呢？<2>给出下列函数：12132,,,,-=====x y x y x y x y x y ,考察这些解 析式的特点，总结出来，是否为指数函数？如果让我们起一个 名字的话,你将会给他们起个什么名字呢？请给出一个一般性 结论.结论：<1>略；<2>通过观察发现这些函数的变量在底数位置,解析式右边都是幂,因为它们的变量都在底数位置上,不符合指数函数的定义,所以都不是指数函数.由于函数的指数是一个常数,底数是变量,类似于我们学过的幂的形式,因此我们称这种类型的函数为幂函数,如果我们用字母α来表示函数的指数,就能得到一般的式子,即幂函数的定义：一般地,形如αx y =（R x ∈）的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α是常数.如12132,,,,-=====x y x y x y x y x y 等都是幂函数,幂函数与指数函数、对数函数一样,都是基本初等函数.【教学效果】：由于有前面对数函数、指数函数的铺垫，所以学生对幂函数，还是能很快的理解的.阅读教材77页—78页幂函数性质的有关内容，然后回答问题 （教师注意：其实，我们研究函数用的方法都是由特殊到一般，然后是数形结合的思想，归根结底我们要研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性，以及函数的凹凸性，所以这些点我们都要点到，让学生自己学会研究，那是最好的.）<3>我们前面学习指对数函数的性质时,用了什么样的思路?研究幂函数的性质呢?（教师注意：其实研究幂函数和其它函数一样，都是通过相同的思路研究，而研究函数的性质，第一步就是画图像，我们只能通过函数的图像来研究函数的性质）<4>画出12132,,,,-=====x y x y x y x y x y 五个函数图象,总结幂函数的性质.结论：<3>我们研究指对数函数时,根据图象研究函数的性质,由具体到一般;一般要考虑函数定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性；有时也通过画函数图象,从图象的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性对称性、周期性等性质,研究幂函数的性质也应如此.<4>学生用描点法,也可应用函数的性质,如奇偶性、定义域等,画出函数图象.利用描点法,在同一坐标系中画出函数12132,,,,-=====x y x y x y x y x y 的图像如下图所示：通过观察图象,可以得到幂函数有如下性质：观察与思考（教师注意：其实这个观察与思考就是让学生自学的过程，老师要引导一下）通过对以上五个函数图象的观察,哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有幂函数的图象？哪个象限可能有幂函数的图象,这时可以通过什么途径来判断？结论：第一象限一定有幂函数的图象；第四象限一定没有幂函数的图象；而第二、三象限可能有,也可能没有图象,这时可以通过幂函数和定义域和奇偶性来判断.【教学效果】：有了前面的对数函数和指数函数的学习，幂函数学生还是能很好的理解的.通过图像总结函数的性质，从特殊到一般的归纳的思想，等等.三、【巩固与练习】通过今天的学习，请完成下列练习（教师注意：练习一我们不必深究，学生会判断即可；练习二是一个函数奇偶性问题，老师要精讲细讲；练习三要结合数形结合，关键是中间量的“搭桥”）练习一：请你回答教材第79页习题2.3第一题练习二：请你自学例1，学习完以后把书合上，自己做一遍.练习三：比较下列各组数的大小：①1.10.1,1.20.1；②0.24-0.2,0.25-0.2；③0.20.3,0.30.3,0.30.2.结论：练习三①由于要比较的数的指数相同,所以利用幂函数单调性,考察函数y=x0.1的单调性,在第一象限内函数单调递增,又因为1.1＜1.2,所以 1.10.1<1.20.1.②由于要比较的数的指数相同,所以利用幂函数的单调性,考察函数y=x-0.2的单调性,在第一象限内函数单调递减,又因为0.24＜0.25,所以0.24-0.2>0.25-0.2.③首先比较指数相同的两个数的大小,考察函数y=x0.3的单调性,在第一象限内函数单调递增,又因为0.2＜0.3,所以0.20.3<0.30.3.再比较同底数的两个数的大小,考察函数y=0.3x 的单调性,它在定义域内函数单调递减,又因为0.2＜0.3,所以0.30.3<0.30.2.所以0.20.3<0.30.3<0.30.2.本题还有图象法,计算结果等方法,同学们自己完成.【教学效果】：这节课只是讲了关于函数奇偶性的问题，那么关于函数的比较大小的问题，我们还是要另外花费时间讲解的. 思考：请同学们思考下面两个小问题（教师寄语：判断函数的奇偶性第一步就是先求函数的定义域，若定义域关于原点对称，才能往下面研究，关键是判断)(x f -与）x f (的关系.第<2>个小题是复合函数的定义域值域问题，也是一个常考的考点，是我们每个同学都要会的.)<1>求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性、单调性. ①32x y =,②23x y =,③2-=x y<2>求函数212)2(x x y -=的定义域和值域、单调区间.【教学效果】：函数的单调性、奇偶性、定义域、值域是我们研究函数要考虑的问题.四、【作业】1、必做题：把幂函数的性质、幂函数的图像整理到作业本上；教 材第79页习题2.3第2题；2、选做题：教材第79页习题2.3第3题.五、【小结】这节课我们主要学习了幂函数的性质，和几个特殊的幂函数的画法；我们要通过练习，能解决幂函数复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等问题.当然这一节课我们还要渗透从特殊到一般的数学归纳思想和数形结合的思想.六、【教学反思】这一节课学习了几个特殊的幂函数，由于其中的直线、抛物线、双曲线我们都是由接触的，所以这一节课讲起来还是很顺利的，学生们学习的效果也是很不错的.。

2.3 幂函数-人教A版必修一教案1. 教学目标1.了解幂函数的定义和特点；2.掌握幂函数的图像、增减性和奇偶性；3.能够绘制幂函数的图像；4.应用幂函数解决实际问题。

2. 教学重点1.幂函数的定义和特点；2.幂函数的图像、增减性和奇偶性；3.幂函数的绘制。

3. 教学难点1.幂函数的图像、增减性和奇偶性的理解；2.幂函数的绘制方法。

4. 教学内容和方法（1）教学内容1.幂函数的定义和特点；2.幂函数的图像、增减性和奇偶性；3.幂函数的绘制；4.幂函数在实际中的应用。

（2）教学方法1.讲授法：通过讲解幂函数的定义和特点，引导学生理解幂函数的性质；2.演示法：通过展示幂函数的图像，演示幂函数的绘制方法；3.练习法：通过练习各种类型的幂函数，加强学生对幂函数的掌握；4.实践法：通过引导学生应用幂函数解决实际问题，促进学生的思考和创新能力。

5. 教学过程（1）引入通过引导学生参考已学知识，引出幂函数的概念。

（2）讲授1.幂函数的定义和特点；2.幂函数的图像、增减性和奇偶性；3.幂函数的绘制；4.幂函数在实际中的应用。

（3）演示1.通过展示幂函数的图像，演示幂函数的绘制方法；2.解释幂函数图像的特点和变化规律。

（4）练习1.练习不同类型的幂函数，加强学生对幂函数的掌握；2.引导学生自己尝试绘制幂函数图像。

（5）实践通过引导学生应用幂函数解决实际问题，促进学生的思考和创新能力。

6. 总结归纳通过对幂函数的讲解及演示，学生应该掌握幂函数的概念及其性质，能够绘制幂函数的图像，并能够应用幂函数解决实际问题。

7. 课后作业1.练习教材中的习题；2.研究幂函数在实际问题中的应用，并撰写小论文。

8. 教学反思在教学过程中，学生对幂函数的绘制方法较为困难，需要以更加生动形象的方式来演示幂函数的图像和规律，从而加深学生对幂函数的理解和掌握。

同时，教师也需要引导学生在练习中不断地加深对幂函数的理解和掌握，才能真正地掌握幂函数的概念及应用。

《2.3幂函数》教学案例1.教学设计1.1教材的地位和作用《2.3幂函数》是继指数函数和对数函数后学习的另一个基本函数。

幂函数出现在必修一第二章第三节，是基本初等函数之一，是在学生系统学习了函数概念与函数性质之后，进入高中以来遇到的第三种特殊函数，是对函数概念及性质的应用，能培养学生应用性质（定义域，值域，图象，单调性，奇偶性）研究一个函数的意识。

本节课从概念到图象，通过探究归纳出幂函数的性质，让学生再次体会利用信息技术来探索函数的图象和性质，从教材整体安排上来看，学习幂函数是为了让学生进一步了解研究函数的方法，学会利用这种方法去研究其他函数。

因而本节课更是对学生研究函数方法和能力的一个综合提升。

1.2教学目标1.2.1基础知识目标（1）理解幂函数的概念，会画幂函数21132,,,,x y x y x y x y x y =====-的图象，结合这几个幂函数的图象，掌握幂函数的图象变化和性质；（2）能应用幂函数性质解决简单问题。

1.2.2能力训练目标（1）通过观察总结幂函数性质，培养学生抽象概括、逻辑推理和识图能力；（2）使学生进一步体会数形结合思想。

1.3教学重、难点重点：本节的教学重点是从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质。

难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质是教学中可能遇到的困难。

突破难点：引导学生观察图象，从图象特点入手，观察单调性奇偶性。

1.4学情分析学生学过了一次函数，二次函数，正、反比例函数，指数函数和对数函数，知道了他们的图象和性质，用性质解决一些简单问题也有了一定的基础，为学习幂函数做好了准备，但由于幂函数性质较复杂，学生需要一定的综合分析能力，所以在教学中重视学生自己动手操作、观察分析发现的过程。

我所教的班级是遵义四中高一（23）班，总体学习程度在中等，根据学生的学情，本节课我重在基础，难度上适当适中。

1.5教学用具本节课使用三角板，PPT ，学生准备白纸，格尺。

《2.3幂函数》教学案例1.教学设计1.1教材的地位和作用《2.3幂函数》是继指数函数和对数函数后学习的另一个基本函数。

幂函数出现在必修一第二章第三节，是基本初等函数之一，是在学生系统学习了函数概念与函数性质之后，进入高中以来遇到的第三种特殊函数，是对函数概念及性质的应用，能培养学生应用性质（定义域，值域，图象，单调性，奇偶性）研究一个函数的意识。

本节课从概念到图象，通过探究归纳出幂函数的性质，让学生再次体会利用信息技术来探索函数的图象和性质，从教材整体安排上来看，学习幂函数是为了让学生进一步了解研究函数的方法，学会利用这种方法去研究其他函数。

因而本节课更是对学生研究函数方法和能力的一个综合提升。

1.2教学目标1.2.1基础知识目标（1）理解幂函数的概念，会画幂函数21132,,,,x y x y x y x y x y =====-的图象，结合这几个幂函数的图象，掌握幂函数的图象变化和性质；（2）能应用幂函数性质解决简单问题。

1.2.2能力训练目标（1）通过观察总结幂函数性质，培养学生抽象概括、逻辑推理和识图能力；（2）使学生进一步体会数形结合思想。

1.3教学重、难点重点：本节的教学重点是从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质。

难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质是教学中可能遇到的困难。

突破难点：引导学生观察图象，从图象特点入手，观察单调性奇偶性。

1.4学情分析学生学过了一次函数，二次函数，正、反比例函数，指数函数和对数函数，知道了他们的图象和性质，用性质解决一些简单问题也有了一定的基础，为学习幂函数做好了准备，但由于幂函数性质较复杂，学生需要一定的综合分析能力，所以在教学中重视学生自己动手操作、观察分析发现的过程。

我所教的班级是遵义四中高一（23）班，总体学习程度在中等，根据学生的学情，本节课我重在基础，难度上适当适中。

1.5教学用具本节课使用三角板，PPT ，学生准备白纸，格尺。

2.3 幂函数教案一、教材分析本节是新课标教材新增的内容，位于新人教A版必修1的第二章2.3 ，幂函数作为一类重要的函数模型，是在学生系统地学习了指数函数，对数函数之后研究的又一类基本初等函数，，相比旧教材幂函数的地位和难度都有所下降。

二、三维目标1．知识与技能（1）理解幂函数的概念，通过具体实例了解幂函数的图象和性质（2）能从幂函数的图象得到性质，并能进行初步的应用.2．过程与方法类比研究一般函数的过程与方法，来研究幂函数概念图象和性质.3．情感、态度与价值观（1）给学生进一步渗透数形结合与类比的思想方法；（2）让学生体会幂函数变化规律及蕴含其中的对称性.三、教学重点教学重点：从五个具体的幂函数中认识的概念和性质四、教学难点教学难点：从幂函数的图象中概括其性质.五、教学策略1.学法：通过类比、观察、思考、归纳、总结、交流、理解幂函数的概念和性质 ;2.教学用具：多媒体六、教学过程式子名称常数xy指数函数: y=a x （a >0且a ≠1)幂函数: y= x αa 为底数指数α为指数底数幂值幂值判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点看未知数x 是指数还是底数幂函数指数指数函数幂函数与指数函数的对比：小试牛刀：快速反应x y 2.0= =y 21x y = x y 5=x y -=3 6x y =22x y = （答案：（1）不是（2）是（3）是（4）不是（5幂函数性质归纳．观察图象，总结填写下表： x y = 2x y =1-=x y 3x y =21x y =定义域 值域 奇偶性 单调性应用函数的性质画图象，如：定义域、奇偶性． 师生共同分析，强调画图象易犯的错误． 师：引导学生观察图象，归纳概括幂函数的的性质及图象变化规律．环节教学内容设计师生双边互动组 织 探 究六、总结幂函数的共同性质： （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）在第一象限内，α》0，在（0，+∞）上是增函数，α<0，是减函数。

课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。

2、了解我国书法发展的历史。

3、掌握基本笔画的书写特点。

重点：基本笔画的书写。

难点：运笔的技法。

教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。

2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。

二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。

换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。

三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。

2、教师边书写边讲解。

3、学生练习，教师指导。

（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。

在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。

5、学生练习，教师指导。

（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。

板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。

这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。

基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。

课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。

课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。

2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。

重点：正确书写6个字。

难点：注意字的结构和笔画的书写。

教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。

二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。

2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。

（老师读，学生读，加深理解。

2.3幂函数一、 教学分析（一）教学内容分析幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本初等函数。

本节课对幂函数的研究，对于函数1-=x y ，x y =，2x y =的图象与性质，学生已经非常熟悉了，通过自主研究就可以完成；函数21x y =，3x y =是两个新函数，通过老师的点拨让学生合作完成对这两个函数图象与性质的研究。

本节内容计划用一课时完成。

（二）教学对象分析在此之前，学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象与性质的学习经历，对幂函数的学习有了较高的兴趣，幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成。

（三）教学环境分析（1）利用PPT 课件、几何画板展示；（2）通过几何画板直观展示五个幂函数的图象，让学生主动发现、主动探索，不仅使学生的逻辑思维能力得到较好的训练，而且还有效地培养了学生的发散思维和直觉思维，充分体现信息技术与数学教学整合的必要性；（3）利用多媒体教学，学生可以自己控制和掌握学习主动权，发挥主体积极性，激发学生的学习兴趣，促进学生眼、耳、手、脑并用，同时学生在这种学习过程中，能不断产生成功的喜悦，增强学习数学的信心，从而真正让学生自然、和谐、健康、主动的学习。

二、教学目标分析1、 知识与技能：（1）通过实例，了解幂函数的概念，熟悉1,21,3,2,1-=α时的幂函数的图象与性质；（2）结合五个具体的函数的图象，了解它们图象的发展变化情况。

2、 过程与方法：（1）经历从具体情境中抽象出幂函数模型的过程；（2）加深学生对研究函数性质的基本方法和流程的经验，使学生体会到生活中处处有数学，激发学生的学习兴趣；（3）通过比较知道幂函数与学过的一些函数的关系，进一步懂得学习函数的方法. 3、情感态度价值观：（1）通过设置丰富的问题情境，鼓励从多角度思考、探索、交流，激发的好奇心和主动学习的欲望； （2）通过幂函数的概念的学习，进一步体会数形结合的思想, 养成利用数形结合解决问题的习惯。

[教案精品]新课标高中数学人教A版必修一全册教案2.3幂函数(2.3 幂函数（一）教学目标1．知识与技能（1）理解幂函数的概念，会画幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=x－1，y=x21的图象.（2）结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质.2．过程与方法（1）通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力.（2）使学生进一步体会数形结合的思想.3. 情感、态度、价值观（1）通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到数学在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣.（2）利用计算机，了解幂函数图象的变化规律，使学生认识到现代技术在数学认知过程中的作用，从而激发学生的学习欲望.（二）教学重点、难点重点：常见幂函数的概念、图象和性质.难点：幂函数的单调性及比较两个幂值的大小.（三）教学方法采用师生互动的方式，由学生自我探索、自我分析，合作学习，充分发挥学生的积极性与主动性.利用实物投影仪及计算机辅助教学.（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习（多媒体显示以下5个问题，同时附注学生阅读、思考、交流、口答，教培养引入相关图象，每个问题的结论由学生说出，然后再在多面体屏幕上弹出）问题1：如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要付的钱数p=w元，这里p是w的函数.问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数.问题3：如果正方体的边长为a，那么正方体的体积V=a3，这里V是a的函数.问题4：如果正方师板演．师：观察上述例子中函数模型，这几个函数表达式有什么共同特征？生：解析式的右边都是指数式，且底数都是变量. 变量在底数位置，解析式右边又都是幂的形式，我们把这种函数叫做幂函数.（引入新课，书写课题）学生的观察、归纳、概括能力，形场地的面积为S，那么正方形的边长a=S21，这里a是S的函数.问题5：如果某人t s内骑车行进了 1 km，那么他骑车的平均速度v=t－1 km/s，这里v是t的函数.形成概念幂函数的定义一般地，形如y xα=（x∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数.师：请同学们举出几个具体的幂函数.生：如11234,,y x y x y x-===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.理解幂函数的定义.深化概念1.研究幂函数的图像（1）y x=（2）12y x=（3）2y x=（4）1y x-=（5）3y x=2.通过观察图像，填P86探究中的表格y x=2y x=定义域R R奇偶性奇奇引导学生用列表描点法，应用函数的性质，如奇偶性，定义域等，画出函数图像，最后，教师利用电脑软件画出以上五个数数的图像.42-2-4-6-8-10-551015让学生通过观察图像，分组讨论，探究幂函数的性质和图像探究幂函数的性质和图像y x=12y x=y=xy=x-1在第Ⅰ象限单调增减性 在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增定点 （1，1）（1，1） 3y x=12y x=1y x -=R {}|0x x ≥ {}|0x x ≠奇非奇非偶奇在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递减（1，（1，（1，的变化规律，教师注意引导学生用类比研究指数函数，对函数的方法研究幂函数的性质.的变化规律，1）1）1）3.幂函数性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：11x=）；（2）x＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.特别地，当x＞1，x＞1时，x∈（0，1），2=的图象都在y x=图y x象的下方，形状向下凸越大，下凸的程度越大（你能找出原因吗？）当0<α＜1时，x∈（0，1），y xα=的图象都在y x=的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大（你能说出原因吗？）（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.在第一家限内，当x向原点靠近时，图象在y轴的右方无限逼近y轴正半轴，当x慢慢地变大时，图象在x轴上方并无限逼近x轴的正半轴.应用举例例1 求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性.（1）y=x52；（2）y=x43 ；（3）y=x－2.例1分析：解决有关函数求定义域的问题时，可以从以下几个方面来考虑，列出相应不等式（组），解不等式（组）即可得到所求函数的定义域.①若函数解析式中含有分母，分母不能为0；②若函数解析式中含有根号，要注意偶次根号下非负；③0的0次幂没有意义；④若函数解析掌握幂函数知识的应用.A.幂函数的图象一定过（0，0）和（1，1） B.当α＜0时，幂函数y =x α是减函数C.当α＞0时，幂函数y =x α是增函数D.函数y =x 2既是二次函数，也是幂函数3.函数y =x 53的图象大致是4.幂函数f （x ）=axmm 82-（m ∈Z ）的图（－710）32=（107）32-，1.134-=［（1.1）2］32-=1.2132-.∵幂函数y =x32-在（0，+∞）上单调递减，且107＜22＜1.21， ∴（107）32-＞（22）32-＞1.2132-， 即（－710）32＞（－22）32-＞1.134-. （3）利用幂函数和指数函数的单调性可以发现0＜3.832-＜1，3.952＞1，备选例题例 1 已知221(22)23m y mm x n -=+-+-是幂函数，求m ，n 的值.【解析】由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-≠-=-+0320112222n m m m ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=233n m ， 所以23,3=-=n m . 【小结】做本题时，常常忽视m 2 + 2m – 2 = 1且2n – 3 = 0这些条件.表达式y =αx (x ∈R)的要求比较严格，系数为1，底数是x ，α∈R 为常数，如221-==x x y ，y = 1 = x 0为幂函数，而如y = 2x 2，y = (x – 1)3等都不是幂函数.例2 比例下列各组数的大小. （1）8787)91(8---和；（2）(–2)–3和(–2.5)–3； （3）(1.1)–0.1和(1.2)–0.1； （4）533252)9.1()8.3(,)1.4(--和.【解析】（1）8787)81(8-=--，函数87x y =在(0, +∞)上为增函数，又9181>，则8787)91()81(>，从而8787)91(8-<--.（2）幂函数y = x –3在(–∞, 0)和(0, +∞)上为减函数，又∵–2＞–2.5，∴(–2)–3＜(–2.5)–3.（3）幂函数y = x –0.1在(0, +∞)上为减函数， 又∵1.1＜1.2，∴1.1–0.1＞1.2–0.1. （4）52)1.4(＞521= 1；0＜32)8.3(-＜321-= 1；53)9.1(-＜0，∴53)9.1(-＜32)8.3(-＜52)1.4(.【小结】比较大小题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更善于用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的“桥梁”.。