2.5简单的幂函数(北师大版教案)

2.5幂函数一．教学目标：1．知识技能：（1）理解幂函数的概念；（2）通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用.2．过程与方法：类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，后研幂函数的图象和性质.3．情感、态度、价值观：（1）进一步渗透数形结合与类比的思想方法；（2）体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性.二．重点、难点重点：从五个具体的幂函数中认识的概念和性质难点：从幂函数的图象中概括其性质三、教法、学法1、学法：通过类比、思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质；2、教法：探析交流、讲练结合。

四、教学过程（一）、引入新知阅读教材P90的具体实例（1）~（5），思考下列问题.（1）它们的对应法则分别是什么？（2）以上问题中的函数有什么共同特征？让学生独立思考后交流，引导学生概括出结论答：1、（1）乘以1 （2）求平方（3）求立方（4）求算术平方根（5）求－1次方2、上述的问题涉及到的函数，都是形如：y xα=，其中x是自变量，α是常数.（二）、探究新知1．幂函数的定义一般地，形如y xα=（x∈R）的函数称为幂孙函数，其中x是自变量，α是常数.如11234,,y x y x y x-===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.2．研究函数的图像（1）y x = （2）12y x = （3）2y x = （4）1y x -= （5）3y x =提问：如何画出以上五个函数图像引导学生用列表描点法，应用函数的性质，如奇偶性，定义域等，画出函数图像，最后，教师利用电脑软件画出以上五个数数的图像.913．幂函数性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：11x=）； （2）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.特别地，当x ＞1，x ＞1时，x ∈（0，1），2y x =的图象都在y x =图象的下方，形状向下凸越大，下凸的程度越大（你能找出原因吗？）当∠α＜1时，x ∈（0，1），2y x =的图象都在y x =的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大（你能说出原因吗？）（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.在第一家限内，当x 向原点靠近时，图象在y 轴的右方无限逼近y 轴正半轴，当x 慢慢地变大时，图象在x 轴上方并无限逼近x 轴的正半轴. 例题：例1．证明幂函数()[0,]f x =+∞上是增函数证：任取121,[0,),x x x ∈+∞且＜2x 则12()()f x f x -=因12x x -＜00 所以12()()f x f x <，即()[0,]f x =+∞上是增函数.思考：我们知道，若12()()0,1()f x y f x f x =><若得12()()f x f x <，你能否用这种作比的方法来证明()[0,]f x =+∞上是增函数，利用这种方法需要注意些什么？例2．利用函数的性质 ，判断下列两个值的大小 （1）11662,3 （2）3322(1),(0)x xx +> （3）22244(4),4a --+分析：利用幂函数的单调性来比较大小. （三）、课堂练习画出23y x =的大致图象，并求出其定义域、奇偶性，并判断和证明其单调性. （四）、归纳小结：提问方式（1）我们今天学习了哪一类基本函数，它们定义是怎样描述的？ （2）你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗？ （五）、作业： P 92 习题 2.3 第2、3 题 五、课后反思：。

§5 简单的幂函数一、课标三维目标：1．知识技能：了解简单幂函数的概念；通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用.2．过程与方法：通过作函数图像，让学生体会幂函数图像的特点，会利用定义证明简单函数的奇偶性，了解利用奇偶性画函数图像和研究函数的方法。

3．情感、态度、价值观：进一步渗透数形结合与类比的思想方法；培养从特殊归纳出一般的意识，体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性。

二、教学重点与难点：重点：幂函数的概念，函数奇、偶性的概念。

难点：判断函数的奇偶性。

三、学法指导：通过数形结合，类比、观察、思考、交流、讨论，理解幂函数的概念和函数的奇偶性。

四、教学方法：对奇偶性要求不高，题目不需要过难，尽量用多媒体和计算机画函数的图像，重在从图上看出图像关于谁对称，着重从对称的角度应用这一性质，培养学生自己归纳总结的能力。

五、教学过程：（一）创设情境（生活实例中抽象出几个数学模型）1.如果张红购买每千克1元的蔬菜x千克,那么她需要付的钱数p=x元,这里p是s的函数.2.如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2,这里S是a的函数.3.如果正方体的边长为a,那么正方体的体积V=a3,这里V是a的函数4.如果正方形场地的面积为S,那么正方形的边长a=S1/2,这里a是S的函数.5.如果某人t s内骑车行进了1km,那么他骑车的平均速度v=t-1km/s,这里v 是t的函数.【思考】上述函数解析式有什么形式特征？具有什么共同点？（教师将解析式写成指数幂形式，以启发学生归纳，板书课题并归纳幂函数的定义。

）（二）探究幂函数的概念、图象和性质1．幂函数的定义如果一个函数，底数是自变量x ，指数是常量α，即y = xα，这样的函数称为幂函数．如【练】为了加深对定义的理解，让学生判别下列函数中有几个幂函数？22x 23212(1)y =x +x (2)y = (3)y = (4)y =2 (5)y =2x (6)y =x x x 2.幂函数的图象和性质【1】通过几何画板演示让学生认识到，幂函数的图象因a 的不同而形状各异【2】引导学生从5个具体幂函数的图象入手，研究幂函数的性质① 画出12132,,,,-=====x y x y x y x y x y 的图象（重点画y=x 3和y=x 1/2的图象----学生画，再用几何画板演示）学生活动：1.学生自己说出作图步骤，交流讨论单调性。

简单的幂函数教学目标：一、知识与技能：1、幂函数的概念以及简单幂函数的图像和性质；2、奇函数与偶函数的概念及其判断。

二、过程与方法：通过常见的一次函数、二次函数、反比例函数的图像与性质，得出幂函数的概念，并总结出奇偶函数的概念与性质。

三、情感态度与价值观：通过本节学习，增强学生数形结合的思想。

教学重点：1、幂函数的理解与应用；2、函数奇偶性的判断。

教学难点：函数奇偶性的判断教学过程：一、 课题引入我们以前学习过这样几个函数：x x y y y x y x 211),(,====-下面画出它们的图像(1)y=x(2)x y 1-= (3)x y 2= 从它们解析式的形式上看，底数都是自变量x ，只是指数不同，而且指数都是常数。

这样的函数，就是本节课所要研究的幂函数。

二、 讲授新课1、幂函数的概念幂函数：如果一个函数，底数是自变量x ，指数是常数α，即x y α=，这样的函数称为幂函数。

注：（1）条件：指数是常数，底数是自变量x ，系数为1（2）幂函数x y α=中，α为任意实数。

在第三章将进一步讨论。

例1：指出下列哪些函数是幂函数答:(1)、（6）是幂函数例2：画出幂函数x y 3=的图象,并讨论其图象特征.23220)6()1()5(2)4()3()2()1(x y x y x y x y x y x y x =+==-===特点：（1）定义域为R,值域也为R ，且在R 上单调递增；（2）图像关于原点对称，且对于任意的R x ∈，都有f(-x)=-f(x). 再观察x y 2=的图像，说出它有哪些特征？ 特点：（1）定义域为R,值域也为R ，且在(- ∞,0]上单调递减，[0,+ ∞） 上单调递增。

（2）其图像关于y 轴对称，且对任意的R x ∈，都有f(-x)=f(x) 可以得出幂函数的性质：（1）幂函数图像恒过点（1,1）;（2）α<0时，在区间[0,+ ∞）上，y 随x 的增大而减小；（3）α=0时，是常函数，不具有单调性；（4）α>0时，在区间[0,+ ∞）上，y 随x 的增大而增大。

高一数学精品教案：2.5简单的幂函数学习目标：1、 了解指数是整数的简单幂函数的概念，能够判断幂函数；2、 会利用定义判定、证明简单函数的奇偶性；3、 了解利用奇偶性画函数图像和研究函数的方法。

学习重点：幂函数的概念；奇偶性的定义及简单函数奇偶性的判定与证明。

难点：利用奇偶性画函数图像和研究函数 学习过程: 一、引入：我们已经很熟悉y=x 是正比例函数，y=x 2是二次函数， y=x1(即y=x -1)是反比例函数，它们有什么共同特点呢？根据这一特点它们有个怎样的共同名字？ 二、 阅读导学 阅读P 481，2两段，1、回答：一般的，函数 叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数。

2、判断下列函数，其中那些是幂函数：y=x 3，y=x 2+x , y=2x 2 , y=(2x)4 幂函数的系数是 底数是 ， 是任意实数。

例1画出函数f(x)= x 3的图像，讨论其单调性。

再用描点法画出图像： 从图像上可以看出f(x)= x 3是R 上的 函数阅读P 483、观察f(x)= x 3的图像，说出他有那些特征？什么是奇函数？奇函数满足关系式 ？4、观察f(x)= x 2的图像说出他有那些特征？什么是偶函数？偶函数满足关系式 ？例2判断f(x)= -2x 2和g(x)= x 4+2的奇偶性 方法小结：三、 动手实践在P 49图2-28中，只画出了函数图像的一半，请你画出它们的另一半，并说出画法的依据 结论：四、 自我展示1、下列函数中是幂函数的是（ ）①y=21x②y=ax m(a,m 为非零常数，且a ≠1)③y=x 31+ x 2④y= x π⑤y=(x-1)32、画出下列函数图像，判断奇偶性 f(x)= -x3y=x 2,x ∈(]33-，f(x)=3x 2-3 f(x)=2(x+1)2+1 五、拓展练习1.已知y=(m 2+2m-2)x 112-m+2n-3是幂函数，求m,n 的值。

2.函数y=f(x)是奇函数，在[a,b]上是减少的，则它在[-b,-a]上是（ ） A.增加的 B .减少的 C.先增后减 D.先减后增3已知函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3是偶函数 ，则f(x)在(-∞,0]上是（ ） A.增加的 B .减少的 C.先增后减 D.先减后增 六、 课后小结七、 作业P 50A 组2，3（1）(3)。

5 简单的幂函数教学目标：1．了解指数是整数的幂函数的概念;2．学会利用定义证明简单函数的奇偶性,了解用函数的奇偶性画函数图象和研究函数的方法；3．培养学生从特殊归纳出一般的意识，培养学生利用图像研究函数奇偶性的能力。

重点难点：1．教学重点：幂函数的概念，奇偶函数的概念 . 2．教学难点：幂函数图像性质，研究函数奇偶性。

教学过程：一、情景引入(1)如果张红买了每千克1元的蔬菜x 千克,那么她需要支付y x = (2)如果正方形的边长为x ,那么正方形的面积2y x = (3)如果立方体的边长为x ,那么立方体的体积3y x =(4)如果正方形的面积为x ，那么正方形的边长y =(5)如果某人x 秒内骑车行进1千米那么他骑车的平均速度1y x=以上问题中的函数有什么共同特征？y x = 2y x = 3y x = y =12()y x = 1y x= 1()y x -=答：底数是自变量x,只是指数不同. 二、知识探究1、幂函数的定义：如果一个函数，底数是自变量x ,指数是常量,即y x α=（α是常数)，这样的函数叫幂函数.具体特点:①底数是自变量 ②指数是常量 ③x α的系数是1 判一判：判断下列函数是否为幂函数.(1)m y ax = 2(2)y x x =+ 3n y x =（） 5(4)(2)y x =- 2(5)2y x = 21(6)y x=仅(3)⑹是幂函数2、画出函数3y x =的图像，讨论其图像特征（单调性、对称性等） 解：列表：描点连线：图像特征:⑴单调性: 在R 上是增加的 ⑵对称性: 函数图像关于原点对称 并且对任意x , ()()()33f x x x f x -=-=-=-即()()f x f x -=-，像这样的函数叫作奇函数 奇函数的特点：⑴定义域关于原点对称⑵对于定义域中的任意的x ，都有()()f x f x -=-３、观察函数()2f x x =，讨论图像特征 函数图像关于y 轴对称，并且对任意x , ()()()22f x x x f x -=-==即()()f x f x -=，像这样的函数叫作偶函数 偶函数的特点：⑴定义域关于原点对称⑵对于定义域中的任意的x ，都有()()f x f x -=注：①如果函数()y f x =是奇函数或偶函数，我们就说函数()y f x =具有奇偶性；②根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数也不是偶函数；③注意：“任意”、“都有”等关键词，奇偶性是函数的整体性 ④奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；⑤奇、偶函数的定义域关于“0”对称．如果一个函数的定义域不关于“0”对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数；三、典型例题例2 判断()52f x x =-和4()2g x x =+的奇偶性. 【课本49页动手实践】 四、课堂训练1、画出下列函数的图像,判断其奇偶性.3(1)y x=- 2(2)y x ,x (3,3]=∈- 2(3)y x 3=- 2(4)y 2(x 1)1=++ 2、判断⑴函数()y f x =在定义域R 上是奇函数,且在](,0-∞上是增加的的,则()f x 在)0,+∞⎡⎣上也是增加的. (正确)⑵函数()y f x =在定义域R 上是偶函数,且在](,0-∞上是减少的,则()f x 在)0,+∞⎡⎣上也是减少的. (错误)3、⑴已知奇函数()f x , 则()f a b = , ()f a -= . ⑵已知偶函数()f x , 则()f a b = , ()f a -= .4、二次函数()2(1)23f x m x mx =-++是偶函数,则()f x 在](,0-∞上是5、设()f x 为定义在R 上的偶函数,且()f x 在)0,+∞⎡⎣上是增加的,则(2),(3),(4)f f f --由小到大的排列顺序为五、小结1.几种简单幂函数的图像及性质.2.判断函数奇偶性的方法: (1)图像法()y f x=是奇函数. 图像关于y ()y f x =是偶函数.(2)解析法 ()()f x f -=-()y f x =为奇函数 ()()f x f x -=()y f x =为偶函数六、补充1、常见幂函数图像（右图）2、总结幂函数性质⑴所有的幂函数在()0,+∞都有定义，并且图象都过点()1,1（原因：11x =）；⑵0a >时，幂函数的图象都通过原点，且在)0,+∞⎡⎣上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.⑶0a <时，幂函数的图象在区间)0,+∞⎡⎣上是减函数.在第一家限内，当x 向原点靠近时，图象在y 轴的右方无限逼近y 轴正半轴，当x 慢慢地变大时，图象在x 轴上方并无限逼近x 轴的正半轴.。

北师大版高中必修15简单的幂函数教学设计一、教学目标1.能够理解幂函数的定义和性质；2.能够通过观察函数图像和求函数值的方法来理解幂函数的变化规律；3.能够通过数值计算和函数图像分析的方法来求解幂函数的相关问题；4.能够通过练习巩固所学内容，并积累解决问题的方法和技巧。

二、教学内容与教学方法1. 教学内容1.幂函数的定义和性质；2.幂函数的变化规律；3.幂函数在一定条件下的应用。

2. 教学方法1.授课讲解：通过教师讲解幂函数的定义和性质，引导学生理解幂函数的概念和特点；2.活动探究：通过给出一些幂函数的图像，让学生观察并总结出幂函数的变化规律；3.练习巩固：通过练习题巩固所学内容，并帮助学生积累解决问题的方法和技巧；4.课堂讨论：通过课堂讨论，让学生分享解题方法和思路，促进彼此之间的学习。

三、教学过程与课时安排1. 第1课时教学内容1.幂函数的定义；2.幂函数的图像和性质。

教学过程1.通过讲解幂函数的定义和性质，引导学生掌握幂函数的概念和特点；2.通过幂函数的图像和性质，帮助学生了解幂函数的变化规律，并理解幂函数的数学意义。

2. 第2课时教学内容1.幂函数的变化规律；2.幂函数的应用。

教学过程1.通过一些幂函数的图像，让学生观察并总结出幂函数的变化规律；2.通过幂函数的应用，让学生了解幂函数在一定条件下的应用，并培养学生解决实际问题的能力。

3. 第3课时教学内容1.幂函数的应用；2.练习巩固。

教学过程1.通过幂函数的应用，让学生掌握幂函数在实际问题中的应用方法；2.通过练习题巩固所学内容，并帮助学生积累解决问题的方法和技巧。

4. 第4课时教学内容1.练习巩固；2.课堂讨论。

教学过程1.通过练习题巩固所学内容；2.通过课堂讨论，让学生分享解题方法和思路，促进彼此之间的学习。

四、教学评价1.能够根据幂函数的定义和性质，正确解释幂函数的特点；2.能够通过观察函数图像和求函数值的方法来理解幂函数的变化规律；3.能够通过数值计算和函数图像分析的方法来求解幂函数的相关问题；4.能够通过练习巩固所学内容，并积累解决问题的方法和技巧。

§5简单的幂函数知识点一幂函数性质与图像[填一填]1．幂函数如果一个函数，底数是自变量x，指数是常数α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．2．幂函数性质与图像所有的幂函数在(0，＋∞)上有定义，并且图像都过点(1,1)，如果α>0，则幂函数的图像还过(0,0)，并在区间[0，＋∞)上递增；如果α<0，则幂函数在区间(0，＋∞)上递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图像与y轴无限接近；当x趋向于＋∞时，图像与x轴无限接近．[答一答]1．幂函数y＝xα的图像在第一象限内有何特征？提示：幂函数y＝xα的图像在第一象限内具有如下特征：直线x＝1，y＝1，y＝x将直角坐标平面在第一象限的直线x＝1的右侧分为三个区域(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)如图：则α∈(1，＋∞)⇔y＝xα的图像经过区域(Ⅰ) ，如y＝x2；α∈(0,1)⇔y＝xα的图像经过区域(Ⅱ)，如y＝x；α∈(－∞，0)⇔y＝xα的图像经过区域(Ⅲ)，如y＝1x.并且在直线x＝1的右侧，从x轴起，幂函数y＝xα的指数α由小到大递增，即“指大图高”、“指小图低”，在直线x＝1的左侧，图像从下到上，相应的指数由大变小．知识点二奇函数与偶函数[填一填]3．奇函数与偶函数(1)一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函数．在奇函数f(x)中，f(x)与f(－x)绝对值相等，符号相反，即f(－x)＝－f(x)；反之，满足f(－x)＝－f(x)的函数y＝f(x)一定是奇函数．(2)一般地，图像关于y轴对称的函数叫作偶函数．在偶函数f(x)中，f(x)与f(－x)的值相等，即f(－x)＝f(x)；反之，满足f(－x)＝f(x)的函数y＝f(x)一定是偶函数．(3)当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称函数f(x)具有奇偶性．[答一答]2．(1)若奇函数y＝f(x)在x＝0处有定义，则f(0)的值是否唯一确定？提示：若奇函数y＝f(x)在x＝0处有定义，由f(0)＝－f(0)可知，f(0)＝0，故f(0)的值是唯一确定的，即一定有f(0)＝0.(2)偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，最值相反吗？奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，最值相同吗？提示：偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，最值相同；奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，最值不同．1．幂函数图像的分布特点和规律幂函数在第一象限内的图像，在经过点(1,1)且平行于y轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图像从下到上的分布．2．幂函数y＝xα(α∈R)的图像和性质(1)当α>0时，图像过点(1,1)，(0,0)且在第一象限随x的增大而上升，函数在区间[0，＋∞)上是单调增函数．(2)当α<0时，幂函数y＝xα图像的基本特征：过点(1,1)，且在第一象限随x的增大而下降，函数在区间(0，＋∞)上是单调减函数，且向右无限接近x轴，向上无限接近y轴．(3)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．3．奇、偶函数图像对称性的缘由若函数f(x)是奇函数，对函数f(x)图像上任一点M(x，f(x))，则点M关于原点的对称点为M′(－x，－f(x))．又f(－x)＝－f(x)，则有M′(－x，f(－x))，所以点M′也在函数f(x)的图像上，所以奇函数的图像关于原点对称．同理可证偶函数的图像关于y轴对称．4．奇、偶函数图像的几点说明(1)一个函数为偶函数，其图像一定关于y轴对称，但是却不一定与y轴相交．(2)既是奇函数又是偶函数的函数图像在x轴上．如y＝0，x∈[－1,1]既是奇函数又是偶函数．(3)从图像上看：函数的奇偶性体现的是对称性，单调性体现的是升降性．(4)根据以上奇、偶函数图像对称性的特点可以解决已知奇、偶函数在某区间的部分图像，画出其关于原点或y轴对称的另一部分的图像问题.类型一幂函数的概念【例1】已知函数y＝(m2－m－5)x m＋1是幂函数，求m的值，并写出函数解析式．【思路探究】幂函数的解析式形如y＝xα(α∈R)，幂值前面的系数为1，底数为x，α∈R为常数．【解】∵y＝(m2－m－5)x m＋1为幂函数，∴y可以写成y＝xα(α为常数)的形式，∴m2－m－5＝1，解得m＝3或m＝－2.当m＝3时，m＋1＝4，此时y＝x4；当m＝－2时，m＋1＝－1，此时y＝x－1.规律方法判断一个函数是否为幂函数，依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式．幂函数的解析式为一个幂的形式，且满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有上述形式，这是我们解决某些问题的一个隐含条件．(1)以下四个函数：y ＝x 0；y ＝x －2；y ＝(x ＋1)2；y ＝2·x 13 中，是幂函数的有( B ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：形如y ＝x α(α为常数)的函数为幂函数，所以只有y ＝x 0，y ＝x －2为幂函数． (2)f (x )＝(m 2－m －1)x m 2－2m －1是幂函数，则实数m ＝2或－1.解析：f (x )＝(m 2－m －1)x m 2－2m －1是幂函数，所以m 2－m －1＝1，解得m ＝－1或2. 类型二 幂函数的性质【例2】 幂函数y ＝x α中α的取值集合C 是{－1,0，12，1,2,3}的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C 为( )A ．{－1,0，12}B ．{12，1,2}C ．{－1，12，1,3}D ．{12，1,2,3}【思路探究】 根据常见的幂函数的图像与性质进行逐一判断．【解析】 根据幂函数y ＝x －1，y ＝x 0，y ＝x 12，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3的图像和解析式可知，当α＝－1，12，1,3时，相应幂函数的值域与定义域相同．【答案】 C规律方法 1.画幂函数的图像时，可先画出其在第一象限内的图像，再由定义域、单调性、奇偶性得出在其他象限内的图像．2．幂函数图像的特征：(1)在第一象限内，直线x ＝1的右侧，y ＝x α的图像由上到下，指数α由大变小；在第一象限内，直线x ＝1的左侧，y ＝x α的图像由上到下，指数α由小变大．(2)当α>0时，幂函数的图像都经过(0,0)和(1,1)点，在第一象限内，当0<α≤1时，曲线上凸；当α≥1时，曲线下凸；当α<0时，幂函数的图像都经过(1,1)点，在第一象限内，曲线下凸．如图，图中曲线是幂函数y ＝x α在第一象限的大致图像．已知α取－2，－12，12，2四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α的值依次为( B )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12解析：解法1：在第一象限内，在直线x ＝1的右侧，y ＝x α的图像由上到下，指数α由大变小，故选B.解法2：赋值法．令x ＝4，则4－2＝116，4－12＝12，412＝2,42＝16，易知选B.类型三 幂函数性质的应用【思路探究】 注意分情况讨论要做到不重不漏．先根据条件确定m 的值，再利用幂函数的增减性求实数a 的取值范围．【解】 因为函数在(0，＋∞)上递减， 所以m 2－2m －3<0，解得－1<m <3. 又因为m ∈N ＋，所以m ＝1或2，由函数图像关于y 轴对称知，m 2－2m －3为偶数，所以m ＝1.把m ＝1代入不等式得(a ＋1)－ 13<(3－2a )－ 13.因为y ＝x － 13在(－∞，0)和(0，＋∞)上均递减，所以有a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a ，解得23<a <32或a <－1.即a 的取值范围是(－∞，－1)∪(23，32)．规律方法 作直线x ＝m (m >1)，它与若干个幂函数的图像相交，交点从上到下的排列顺序正是幂指数的降序排列，故可利用其比较指数α的大小．(1)已知(0.71.3)m <(1.30.7)m ，则m 的取值范围是m >0.解析：根据幂函数y ＝x 1.3的图像，当0<x <1时，0<y <1，所以0<0.71.3<1，又根据幂函数y ＝x 0.7的图像，当x >1时y >1，所以1.30.7>1，于是有0.71.3<1.30.7，又(0.71.3)m <(1.30.7)m ，所以m >0. (2)已知幂函数y ＝f (x )的图像过点(2，22)，试求出此函数的解析式，并作出图像，判断奇偶性、单调性．解：设幂函数解析式为y ＝x α，将点(2，22)的坐标代入，得2α＝22，解得α＝－12，所以函数的解析式y ＝x － 12.定义域为(0，＋∞)，它不关于原点对称，所以，y ＝f (x )是非奇非偶函数．当x >0时，f (x )是单调减函数，函数的图像如图．下面用定义证明y ＝x － 12 ＝1x 在(0，＋∞)上为减函数：设x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则Δx ＝x 2－x 1>0， Δy ＝y 2－y 1＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2(x 1＋x 2)＝－Δxx 1x 2(x 1＋x 2)<0，所以y ＝x － 12 ＝1x 在(0，＋∞)上为减函数．类型四 函数奇偶性的判断 【例4】 判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝x 4＋3x 2； (2)f (x )＝x －1x ；(3)f (x )＝0，x ∈(－1,1]； (4)f (x )＝－2x ＋1.【思路探究】 先确定函数的定义域是否关于原点对称，再看f (－x )与f (x )之间的关系． 【解】 (1)函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称． ∵f (－x )＝(－x )4＋3(－x )2＝x 4＋3x 2＝f (x )， ∴函数f (x )为偶函数．(2)函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称． ∵f (－x )＝－x －1－x ＝－⎝⎛⎭⎫x －1x ＝－f (x )， ∴函数f (x )为奇函数．(3)函数f (x )的定义域为(－1,1]，不关于原点对称，故函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数． (4)函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称． ∵f (－x )＝－2(－x )＋1＝2x ＋1≠±f (x )， ∴函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数． 规律方法 1.用定义判断函数奇偶性的步骤是：2．在客观题中，多个函数有公共定义域时也可以利用如下性质判断函数的奇偶性： (1)偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数； (2)奇函数的和、差仍为奇函数；(3)两个奇函数的积为偶函数，两个奇函数的商(分母不为零)也为偶函数； (4)一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 3＋1x 3；(2)f (x )＝x － 53； (3)f (x )＝x 4＋1x 2＋1；(4)f (x )＝2－x ＋x －2.解：(1)函数f (x )＝x 3＋1x 3的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．又∵f (－x )＝－x 3＋1－x 3＝－⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 3＝－f (x )， ∴函数f (x )＝x 3＋1x3是奇函数．(2)函数f (x )＝x － 53的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 又∵f (－x )＝(－x ) － 53＝13(－x )5＝－13x 5＝－x － 53＝－f (x )，∴函数f (x )＝x － 53是奇函数．(3)函数f (x )＝x 4＋1x 2＋1的定义域是R ，关于原点对称．又∵f (－x )＝(－x )4＋1(－x )2＋1＝x 4＋1x 2＋1＝f (x )，∴函数f (x )＝x 4＋1x 2＋1是偶函数．(4)函数f (x )＝2－x ＋x －2的定义域为{2}，不关于原点对称，∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．类型五 利用函数奇偶性求函数的解析式【例5】 若f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝x (1－x )，求当x ≥0时，函数f (x )的解析式．【思路探究】 解决本题的关键是利用奇函数的关系式f (－x )＝－f (x )将x <0时f (x )的解析式转化到x >0上．同时要注意f (0)＝0.【解】 ∵f (x )是奇函数，∴当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－{(－x )[1－(－x )]}＝x (1＋x )， 当x ＝0时，f (0)＝－f (0)，即f (0)＝0.∴当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )．规律方法 1.解答本题时，很容易遗漏x ＝0的情况，在区间转化时要细心．2．利用函数的奇偶性求解函数的解析式，主要利用函数奇偶性的定义．求解一般分以下三个步骤：(1)设所求函数解析式中所给的区间上任一个x ，即求哪个区间上的解析式，就设x 在哪个区间上．(2)把所求区间内的变量转化到已知区间内．(3)利用函数奇偶性的定义f (x )＝－f (－x )或f (x )＝f (－x )求解所求区间内的解析式．(1)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，其定义域为[a －1,2a ]，则a ＝13，b ＝0.解析：因为f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且定义域为[a －1,2a ]，所以a －1＋2a ＝0，a ＝13，所以f (－x )＝f (x )恒成立．所以－bx ＝bx ，所以b ＝0. (2)函数f (x )为R 上的奇函数，且当x <0时，f (x )＝x (x －1)，则当x >0时，f (x )＝－x (x ＋1)．解析：当x >0时，－x <0，所以f (－x )＝－x (－x －1)＝x (x ＋1)， 又因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以－f (x )＝x (x ＋1)， 所以f (x )＝－x (x ＋1)．——易错误区—— 函数奇偶性判断中的误区【例6】 以下说法中：(1)函数f (x )＝5x 2，x ∈(－3,3]是偶函数．(2)f (x )＝x 3＋1x 是奇函数．(3)函数f (x )＝|x －2|是偶函数．(4)函数f (x )＝0，x ∈[－2,2]既是奇函数，又是偶函数．正确的有( )A ．(1)(2)B ．(1)(4)C ．(2)(4)D ．(3)(4)【错解】 选B 或选D【正解】 C 对于(1)，函数f (x )＝5x 2，x ∈(－3,3]的定义域不关于原点对称①，故该函数是非奇非偶函数，故(1)错误．对于(2)，函数f(x)＝x3＋1的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且能满足f(－x)＝－f(x)，x所以是奇函数，故(2)正确．对于(3)，函数f(x)＝|x－2|是由f(x)＝|x|的图像向右平移了两个单位得到的②，图像不关于y轴对称，所以(3)错误．对于(4)，函数f(x)＝0，x∈[－2,2]图像既关于原点对称又关于y轴对称，所以(4)正确，因此正确的只有(2)(4)．【错因分析】 1.忽视了①处函数的定义域x∈(－3,3]不关于原点对称，出现只是根据f(－x)＝f(x)而判定为偶函数的错误；2．忽视了②处函数f(x)＝|x－2|的图像不关于y轴对称，出现只看到绝对值，就认为是偶函数的错误．【防范措施】 1.定义域优先的原则由奇偶函数的定义，“对于函数定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)”可知，具有奇偶性的函数的定义域必是关于原点对称．如本例中(1)函数f(x)＝5x2，x∈(－3,3]的定义域不关于原点对称，所以不具有奇偶性．2．注意图像的变换一些常用的图像平移、变换要牢记，如本例中函数f(x)＝|x－2|，就是要根据y＝|x|的图像特征来平移得到，因为函数y＝|x|的图像关于y轴对称，而向右平移2个单位后图像就不再关于y轴对称，故可得结论．函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|是(C)A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数解析：f(x)＝|x－2|－|x＋1|当x≥2时，f(x)＝x－2－x－1＝－3，当x≤－1时，f(x)＝2－x＋x＋1＝3，当－1<x<2时，f(x)＝2－x－x－1＝1－2x.画出图像如图．由图知f(x)为非奇非偶函数．一、选择题1．下列所给函数中，是幂函数的是(C)A．y＝－x3B．y＝3xC．y＝x 12D．y＝x2－1解析：幂函数的形式为y＝xα，只有C符合．2．幂函数y＝xα(α∈R)的图像一定不经过(A)A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限解析：∵α∈R，x>0，∴y＝xα>0，∴图像不可能经过第四象限，故选A.3．已知函数f(x)是奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，则当x<0时，f(x)＝(D) A．x2＋2x B．x2－2xC．－x2－2x D．－x2＋2x解析：令x<0，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＝x2－2x，又∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－(x2－2x)＝－x2＋2x.二、填空题4．已知幂函数f (x )的图像经过点(2，2)，则f (4)＝2. 解析：设f (x )＝x α，∴α＝12，∴f (4)＝4 12 ＝2.5．已知函数f (x )＝a (x ＋1)－2|x |＋1的图像关于原点对称，则实数a ＝2.解析：由题意可知f (x )为奇函数，且奇函数f (x )＝a (x ＋1)－2|x |＋1在x ＝0处有意义，∴f (0)＝0，∴a －21＝0，∴a ＝2. 三、解答题6．已知f (x )＝(m 2－2m －2)x m －1是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增．(1)求m 的值；(2)求函数g (x )＝f (x )－2ax ＋1在区间[2,3]上的最小值h (a )． 解：(1)∵f (x )＝(m 2－2m －2)x m －1是幂函数， ∴m 2－2m －2＝1，解得m ＝3或m ＝－1；又f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴m －1>0，∴m 的值为3.(2)函数g (x )＝f (x )－2ax ＋1＝x 2－2ax ＋1＝(x －a )2＋1－a 2，当a <2时，g (x )在区间[2,3]上单调递增，最小值为h (a )＝g (2)＝5－4a ；当2≤a ≤3时，g (x )在区间[2,3]上先减后增，最小值为h (a )＝g (a )＝1－a 2； 当a >3时，g (x )在区间[2,3]上单调递减，最小值为h (a )＝g (3)＝10－6a .。

2.5 简单的幂函数
本节教材分析
教材从整数指数的幂函数自然引入，给出定义后，也只是推广到其他整数指数的情况，但是要指出x为其他实数时依有意义，留待第三章解决.对于函数的奇偶性，虽然给出了一般定义，但是应该知道，教材重在从图上看出图像的对称性，着重从对称的角度应用这一性质，也就是说，对奇偶性的要求是低的，习题不需要过难，要循序渐进.
三维目标
1.了解指数是整数的简单的幂函数的概念，巩固画函数图像的方法，培养学生识图和画
图的能力.
2.会利用定义证明简单函数的奇偶性，提高学生的逻辑思维能力.
3.了解利用奇偶性画函数图像和研究函数方法，培养学生分析问题和解决问题的能力. 教学重点：幂函数的概念，奇函数和偶函数的概念.
教学难点：判断函数的奇偶性．
教学建议：尽量用信息技术画幂函数的图像，通过它们的图像，让学生自己归纳出它们的性质.
新课导入设计
导入一:举例说明生活中经常遇到的几个数学模型，让学生发现共同点，进而导出课题.
导入二：运用我们已经熟悉正比例、反比例、一次函数、二次函数，这一节课我们学习一种新的函数---幂函数，教师板书引出课题.
1。

2.5简单的幂函数教案●三维目标1．知识与技能(1)了解简单幂函数的概念．(2)会用定义证明简单幂函数的奇偶性．(3)了解利用奇偶性画函数图像及研究函数的方法．2．过程与方法类比研究一般函数的方法研究幂函数的图像和方法．3．情感、态度与价值观在幂函数的研究过程中让学生体会数学的科学价值和应用价值，引导学生发现数学的对称美，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度．●重点难点重点：幂函数的概念及函数奇偶性的概念．难点：简单幂函数的图像和性质，函数奇偶性的判断．幂函数的概念和性质的突破方法是通过教材中的实例，概括它们解析式的共性来获得幂函数的定义，再根据它们的图像概括出性质；函数的奇偶性的突破方法是让学生观察图像，归纳、猜想概括得出定义，从而也掌握了函数奇偶性的几何意义．●教学建议本节课可以采用直观式教学，启发学生，放手让学生去探索与研究，并在一旁适时地引导学生根据几个实例函数的公共特点归纳、总结幂函数的定义，对几个特殊幂函数的性质先进行初步探索，再根据研究的结果结合描点作图画出幂函数的图像，让学生观察和分析所作的图像，归纳得出图像特征，并由图像特征得到相应的函数性质及函数奇偶性的初步认识，让学生体会系统研究函数的方法．整个教学过程的绝大部分时间都留给学生，让学生动脑动手．通过对同类旧知识的回忆，引导学生利用数形结合，找出与新知识的连接点，并在对照、类比分析中找出规律．可以提高学生学习的积极性和自学能力，培养了他们的归纳演绎能力和创新思维习惯．●教学流程通过几何画板演示部分幂函数的图像，加深对定义的感性认识，为顺利引出幂函数定义作铺垫⇒利用图像，数形结合，理解幂函数的图像和性质⇒通过例1及其变式训练，加深对幂函数的概念及性质的理解⇒通过f(x)＝x3的图像关于原点对称并且对任意的xf(－x)＝(－x)3＝－x 3即f (－x )＝－f (x )，完成对定义的理解⇒通过例2及其变式训练，加深定义及证明步骤的理解和掌握⇒通过例3及其变式训练，加深对函数奇偶性的理解和应用⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正(见学生用书第29页)课标解读1.了解幂函数的概念．2．结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，y ＝x 12的图像，了解它们的变化情况．(难点、易混点)3．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．(重点)【问题导思】我们学习过几种基本初等函数如正比例函数y ＝x ，反比例函数y ＝x －1，二次函数y ＝x 2.看下面两个例子：(1)如果正方体的棱长为x ，正方体的体积为y ； (2)如果正方形场地面积为x ，其边长为y .1．在第一个例子中，y 关于x 的函数关系式怎样？ 【提示】 y ＝x 3.2．在第二个例子中，y 关于x 的函数关系式怎样？ 【提示】 y ＝x 2.3．这两个问题中的函数关系式与y ＝x ，y ＝x －1，y ＝x 2有什么共同特点． 【提示】 从形式上看，它们只是指数不同． 1．幂函数的定义如果一个函数，底数是自变量x ，指数是常量α，即y ＝x α，这样的函数称为幂函数． 2．简单的幂函数的图像和性质函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1在同一平面直角坐标系中的图像如图所示．从图中可以观察得到：【问题导思】画出函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x 的图像．1．它们的图像具有怎样的对称性？【提示】 y ＝x ，y ＝1x的图像关于原点对称，y ＝x 2关于y 轴对称．2．在函数y ＝x 2中，x 取－1时和取1时的函数值相同吗？在函数y ＝1x 中呢？【提示】 在函数y ＝x 2中相同，在y ＝1x 中互为相反数．1．奇函数的定义一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函数．在奇函数f (x )中，f (x )和f (－x )的绝对值相等，符号相反，即f (－x )＝－f (x )．反之，满足f (－x )＝－f (x )的函数y ＝f (x )一定是奇函数．2．偶函数的定义一般地，图像关于y 轴对称，像这样的函数叫作偶函数．在偶函数 f (x )中，f (x )和f (－x )的值相等，即f (x )＝f (－x )；反之，满足f (x )＝f (－x )的函数y ＝f (x )一定是偶函数．3．奇偶性当一个函数是奇函数或偶函数时，称该函数具有奇偶性.(见学生用书第30页)下列函数是幂函数的为()①y＝1x2；②y＝2x2；③y＝x2＋x；④y＝(x－2)3；⑤y＝1.A．①⑤B．②C．①D．①②④【思路探究】紧扣幂函数的概念，y＝xα的形式是解题的关键．【自主解答】函数y＝1x2可写成y＝x－2的形式，是幂函数；y＝2x2的系数不是1，y＝x2＋x等式右边是两个幂和的形式，y＝(x－2)3底数不是自变量x，y＝1与y＝x0(x≠0)不是同一函数，所以它们都不是幂函数．【答案】 C若一个函数是幂函数，则该函数一定是形如y＝xα(α为常数)的形式，即函数解析式的右边是一个幂的形式，其中指数为常数，底数为自变量，系数为1，这是我们解决某些问题的一个隐性条件．若函数y＝(a2－3a－3)x2为幂函数，则a的值为________．【解析】根据幂函数的定义，若函数y＝(a2－3a－3)·x2为幂函数，则x2的系数必为1，即a2－3a－3＝1，所以a2－3a－4＝0，解得a＝－1或a＝4.【答案】－1或4判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3＋2x；(2)f(x)＝x2－|x|＋1；(3)f(x)＝x2x－1x－1；(4)f(x)＝0.【思路探究】首先判断定义域是否关于原点对称，若关于原点对称，再看是否满足f(－x)＝±f(x)即可．【自主解答】(1)函数的定义域是R，又f(－x)＝(－x)3＋2(－x)＝－(x3＋2x)＝－f(x)．所以f(x)是奇函数．(2)f(x)的定义域是R，且f(－x)＝(－x)2－|－x|＋1＝x2－|x|＋1＝f(x)，所以f(x)是偶函数．(3)由于x－1≠0，所以x≠1，即函数的定义域是{x|x≠1}，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(4)由于f(x)＝0的定义域为R，且f(－x)＝f(x)＝－f(x)，所以f(x)既是奇函数，又是偶函数．1．判断函数的奇偶性时，首先考虑函数的定义域，并判断其是否关于原点对称．2．若定义域不关于原点对称，则函数f(x)不具有奇偶性，若定义域关于原点对称，可再利用定义验证f(－x)与f(x)的关系．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x2，x∈(－1,2)；(2)f(x)＝x3＋x，x∈[0,1]；(3)f(x)＝x x－1x－1，x∈(－1,1)．【解】(1)由于定义域不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)因为定义域不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(3)由于x∈(－1,1)，且关于原点对称，所以f(x)＝x，且f(－x)＝－x＝－f(x)，因此，f(x)为奇函数.图2－5－1已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x.(1)求出函数f(x)在R上的解析式；(2)在图2－5－1中画出函数f(x)的图像．【思路点拨】根据题中条件，当x>0时的解析式已知，需求x≤0时的解析式，故需借助奇函数的性质求解，根据对称性即可画出图像．【自主解答】(1)①由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)＝0；②当x<0时，－x>0，∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2(－x )]＝－x 2－2x ， 综上：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ， x >0，0， x ＝0，－x 2－2x ， x <0.(2)图像如图：1．奇、偶函数的图像有以下特征：若f (x )为奇函数，则它的图像关于原点对称，反之也成立；若f (x )为偶函数，则它的图像关于y 轴对称，反之也成立．这个结论提供了结合图像处理函数奇偶性问题的依据，也是数形结合思想的体现．2．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上的表达式，求函数f (x )在区间[－b ，－a ]上的表达式的一般方法：设－b ≤x ≤－a ，则a ≤－x ≤b ；根据已知条件f (x )在区间[a ，b ]上的表达式可求得f (－x )的表达式；然后根据函数f (x )的奇偶性来实现函数的解析式在f (x )与f (－x )之间的相互转化(若函数f (x )为奇函数，则f (x )＝－f (－x )；若f (x )为偶函数，则f (x )＝f (－x ))．特别值得一提的是：设－b ≤x ≤－a ，转化为a ≤－x ≤b 是解决问题的关键．(1)已知函数是定义在R 上的偶函数，且x ≥0时，f (x )＝－x ＋1，则f (x )的解析式为________．(2)若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则使得f (x )>0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－2,2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 【解析】 设x <0，则－x >0.∵当x ≥0时，f (x )＝－x ＋1，∴f (－x )＝－(－x )＋1＝x ＋1. ∵函数f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (－x )＝f (x )．∴当x <0时，f (x )＝x ＋1.∴f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≥0，x ＋1，x <0.(2)由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以它的图像关于y 轴对称．又它在(－∞，0]上是减函数，所以可知该函数在(0，＋∞)上为增函数．根据这些特征及f (2)＝0，可作出它的图像(如下图)．观察图像可得，使f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．【答案】 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≥0，x ＋1，x <0 (2) D。

5.简单的幂函数一、教材的地位和作用：《简单的幂函数》北师大版必修1第2章第5节的内容。

是对学生学习了正、反比例函数和二次函数2xy 及其他们的图像和性质的基础上来研究的，是这些特殊函数等在解析式的形式上共有特征的推广，本节突出幂函数从特殊到一般的推广，同时要研究函数的另外一个重要的性质奇偶性，是继函数单调性之后的又一重要的性质，是函数性质的延续和深化，通过本节课的学习，学生将建立幂函数这一函数模型，并能用系统的眼光看待以前已经接触过的函数，因而本节课更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合提升，为后续学习做了铺垫。

二、教学目标：（1）知识与技能目标：①理解幂函数的概念②通过几个幂函数的图象，理解函数奇偶性的概念③会利用定义判定、证明简单函数的奇偶性，了解利用奇偶性画函数图像的方法（2）过程与方法目标：①通过幂函数解析式共性的观察、培养学生抽象概括和画图与识图能力。

②使学生进一步体会数形结合、转化的思想。

③培养学生从特殊归纳出一般的意识，培养学生利用图像研究函数奇偶性的能力。

（3）情感态度与价值观①通过熟悉的例子消除陌生感引出幂函数的概念，从而引起学生注意，激发学生的学习兴趣。

②利用多媒体，了解幂函数图象的变化规律，使学生认识到现代技术在数学认知过程中的作用，从而激发学生的学习欲望。

三、教学重难点教学重点：幂函数的概念、奇偶函数的概念，突出待定系数法教学难点：简单幂函数的概念；定义法判断函数的奇偶性四、教法学法与教具本节主要采用“发现法”教学。

通过观察函数解析式及函数图像，借助多媒体全方位的审视，由特殊到一般、直观到抽象进行教学，同时也解决时间上的矛盾,突破了难点。

辅助以启发式、演示法教学，通过优化组合，以期达到最佳教学效果。

教具：多媒体五、教学过程教学程序主要分为五个环节：1、温故知新，引入新课:x y =,xy 1=,2x y = 开门见山 问题：这三个函数解析式从结构上看有什么共同的特点吗？这时，学生观察可能有些困难，教师提示，可以改变形式，上述函数式变成：1211y x y x y x x-====，，，（这个教师可直接给出，说明一下，在后面指数函数将详尽讲解）设计意图： 就近区域的理论，可以使学生利用已有知识与经验，同化和索引出当前学习的新知识，这样获取的知识，易保持，且易于迁移到陌生的问题情境中。

简单的幂函数教学目的：了解简单幂函数的概念，理解图像和性质，理解函数奇偶性及图像特征，能基本运用；培养学生形数结合的能力，及图像对称性的审美能力。

教学重点：理解幂函数的图像和性质，理解函数奇偶性及图像特征。

难点：判断函数奇偶性，及运用幂函数的图像和性质、函数奇偶性解决问题。

教学过程：一.导入：观察--- 正比例函数 y=x （即x1 )反比例函数 y= （即x-1)二次函数 y=x2（即x2 )-------------三者有何共性？二.知识构建：1．幂函数（1）定义：（略）[注] 哪个是幂函数？ A.y=2x B.y=x2 C.y=xx D. y=-x2[答] B（2）图像：【探究1】【探究2】幂函数y=x1/22-1（3）性质：(引导学生发现下列特点)1).特征点：(1,1)?; (0,0)?2).单调性：略.2.函数的奇偶性【观察1】以上各幂函数图像关于y轴对称吗？偶函数定义：若一个函数的图像关于y轴对称，则称之为偶函数.【观察2】以上各幂函数图像关于原点对称吗？奇函数定义：若一个函数的图像关于坐标原点对称，则称之为奇函数.【观察3】奇偶函数的图像有什么特点吗？（通过观察课件，知：）偶函数满足f(-x )=f(x )， 奇函数满足f(-x )=-f(x )【设问2】以上各幂函数x 1、x -1、x 3、x 2、x 1/2各有怎样的奇偶性？ 答：略.【观察4】哪些函数定义域关于原点O 对称？1.定义域对称O ？2.公式f(-x)成立？三.用法示范 例1.已知f(x )=(2m 2-1)·x 是幂函数，且在区间 （0，+∞）上递增. (1)试求f(x)的解析式,并画图；(2)判断f(x)奇偶性及单调性.（黑板讲解分析后，图像可由课件给出）练习1：幂函数f(x)=(m-1)·x m-1.5,试画图象，并判断其单调性、奇偶性.（图像、答案由课件给出）213m m 212-+例2.判断奇偶性，并说明图像特征：(1) f (x)=- 2x -1； (2) f(x)=x 2+2; (3) f(x)=(x-1) ; (4) f(x)= ..（黑板讲解分析后，图像可由课件给出）练习2：p50(1)、(2)、(3)、(4) （学生动手过程中，逐次给出由课件图像、答案）四.小结（以课件诱导进行）【设问3】本节课学习的第一个核心内容是什么？-------幂函数: 1.特征点; 2.单调性.【设问4】本节课学习的第二个核心内容是什么？-------奇偶性: 1.图对称; 2.公式f(-x).五. 智力冲浪----激趣、提升及备用你能解决下列问题吗？1.已知函数f(x)=ax2+bx+(3a+b)为偶函数，其定义域为[a-1,2a],求f(x)的值域.2.若(a+1)-1<(3-2a)-1,求实数a 的取值范围.3.若函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x<0 时， f(x)=x(1-x).(1)求证：f(0)=0.(2)求当x ＞0时，f(x)的表达式.（结合课件诱导关键处，在黑板上推导）[答]:1.a=1/3,b=0.故(-∞，1];2. a<-1,或1x x 122-+-x 1x 1-+2/3<a<3/2.3.(1)f(-0)=-f(0);(2)x(1+x).六.作业（略）精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

陕西省蓝田县高中数学第二章函数2.5 简单的幂函数（1）教案北师大版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（陕西省蓝田县高中数学第二章函数2.5 简单的幂函数（1）教案北师大版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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§2。

5 简单的幂函数【教材依据】一、设计思路1。

指导思想①教学指导思想根据课程需要，本节主要采用的教学指导思想是：数形结合思想；特殊与一般思想。

②设计理念本节主要的设计理念体现为：让学生主动学习，并挖掘其学习的潜力,而且形成合作学习，探究学习的意识。

从而帮助学生形成认知结构.③教材分析简单的幂函数是继一次函数,二次函数，反比例函数之后的又一新函数。

通过本节课的学习,学生将建立和认识幂函数这一函数模型，并能用系统的眼光看待以前已接触的函数，从而进一步确立利用函数的定义域、值域、单调性研究一个函数的意识；而这三方面也是高考中考察函数部分的重要组成。

④学生学情分析学生通过一次函数,二次函数,反比例函数的学习，已经初步掌握了如何去研究函数的方法：即由几个特殊的函数的图像，归纳出函数一般的性质这一方法，为学习本节课打下了基础。

但由于本班学生基础相对来说还比较薄弱，缺乏学习的主动性，所以本节仍是以基础为主；循序善诱,逐步激发学生的学习兴趣.2.教学目标。

⑴知识与能力①了解幂函数的概念；②会画简单幂函数的图像，并能根据图像得出函数的性质,能进行初步的应用.⑵方法与途径在探究幂函数性质的活动中，培养学生观察和归纳能力，培养学生数形结合的意识和思想以及特殊与一般思想。

2.5《简单的幂函数》【教学目标】1.知识与能力：理解幂函数的概念，通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用。

2.过程与方法：类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，后研究幂函数的图象和性质。

3.情感、态度、价值观：进一步渗透数形结合与类比的思想方法；体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性。

【学情分析】本节是对学生熟悉的正比例函数、反比例函数及特殊的二次函数y=x2等在解析式的形式上有共同特征的函数的推广，注意循序渐进。

【教学重点】从具体的幂函数中认识的概念和性质。

【教学难点】从幂函数的图象中概括其性质。

【教学过程】一.幂函数1.幂函数的概念：我们先观察以下函数，看它们有什么共同特征：y=x，y=x2，y=x3，y=x1/2,y=x-1。

共同特征：（1）以自变量x为底的幂的函数；（2）指数为常数；（3）自变量前的系数为1;（4）幂前的系数也为1。

从形式上看，它们都是形如y=xα的函数。

概念：形如y=xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数，α∈R。

如y=x，y=x-1，y=x2，y=x3等都是幂函数。

幂函数的定义域是使y=xα有意义的实数的集合。

2、幂函数的图像及性质值域 R ［0，+∞）［0，+∞） {y|y ≠0} R单调性在R 上单调递增在（-∞，0］单调递减，在［0，+∞）单调递增在［0，+∞）单调递增 在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增 在R 上单调递增幂函数y x α=的性质 当0>α时，幂函数y x α=有下列性质：（1）图象都通过点点（0,0）和（1,1）；（2）在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在（0，+∞)上是单调递增的。

当0<α时，幂函数y x α=有下列性质：（1）图象都通过点（1,1）；（2）在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在（0，+∞)上是单调递减的。

（3）在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近；向右无限地与x 轴无限地接近。