示范教案{§5简单的幂函数}

§5简单的幂函数导学案一、学习目标通过具体实例了解幂函数的概念，掌握幂函数的图像和性质，并进行简单的应用。二、重点、难点重点：从五个具体幂函数图像中认识幂函数的一些性质难点：画五个具体幂函数图像并由图像概况其性质，体会图像的变化。规律。三、学习内容1、问题引入（1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，那么她需要支付y=_______元。（2）如果正方形的边长为x，那么正方形的面积y=______。（3）如果立方体的边长为x，那么立方体的体积y=______。（4）如果正方形的场地面积为x，那么正方形的边长y=______。（5）如果某人x秒骑车行进了1千米，那么他的速度y=______千米/秒。讨论：根据函数的定义，以上五个式子都是函数表达式，它们是指数函数吗？指数函数的形式是什么样的？差别在哪里？以上五个式子有什么共同特征？2、引出定义由上面五个函数表达式的共同特征得出的新的函数--------幂函数。幂函数的定义: 3、幂函数的图象（学生讨论完成）在同一平面直角坐标系中作出幂函数xy,2xy,3xy,21xy,1

xy

的图象。x …-3 -2 -1 0 1 2 3 …xy……

2xy

……

3xy

……

21xy…

1xy

……4、幂函数的性质（学生讨论完成）幂函数性质xy2xy3xy21xy1

xy

定义域值域奇偶性单调性公共点共同的性质：1. 2.如果α>0，

如果α<0，

5、探讨1y和0xy是不是同一个函数？6、课堂达标1．比较下列两个代数式值的大小：（1）5.1)1(a,5.1a; (2)322)2(a,322.

7、小结。8、作业

幂函数教案
幂函数是高中数学中的一个重要概念，也是一个重要的函数类型。

在教学中，我会采用以下教学方法来帮助学生理解和掌握幂函数的概念和性质。

一、引入部分：
我会通过一个简单的例子来引入幂函数的概念。

让学生观察并思考一下图形，从而了解幂函数的定义和特点。

例：画出函数y=x²的图像，并观察图像的特点。

二、定义和性质：
然后，我会给出幂函数的定义和一些基本性质，例如幂函数的定义域、值域、图像的特点等。

再通过一些具体的例子来说明这些性质。

例：给出函数y=2ⁿ的定义和一些性质，例如定义域是实数集，值域是正数集，图像是一个上凸函数等。

三、幂函数的图像和性质：
接下来，我会通过一系列的例题来帮助学生更好地理解和掌握幂函数的图像和性质。

例如画出函数y=2ⁿ的图像，让学生观
察图像的特点，并解释函数的增减性、奇偶性、极限等性质。

例：求函数y=2ⁿ的增减性、奇偶性和极限。

四、幂函数的应用：
最后，我会给出一些幂函数的应用问题，例如经典的利息问题、指数增长问题等，让学生运用已学的知识解决实际问题。

通过这些应用问题，学生能够更好地理解幂函数在实际生活中的应
用。

例：小明存了一笔钱，年利率为3%，如果每年利息都重新投资，求n年后，小明总共的存款。

通过这样的教学方法，学生可以更直观地理解幂函数的概念和性质，并能够运用所学知识解决实际问题。

同时，我也会通过课堂练习和作业等方式来巩固学生对幂函数的理解和掌握。

5 简单的幂函数教学目标：1．了解指数是整数的幂函数的概念;2．学会利用定义证明简单函数的奇偶性,了解用函数的奇偶性画函数图象和研究函数的方法；3．培养学生从特殊归纳出一般的意识，培养学生利用图像研究函数奇偶性的能力。

重点难点：1．教学重点：幂函数的概念，奇偶函数的概念 . 2．教学难点：幂函数图像性质，研究函数奇偶性。

教学过程：一、情景引入(1)如果张红买了每千克1元的蔬菜x 千克,那么她需要支付y x = (2)如果正方形的边长为x ,那么正方形的面积2y x = (3)如果立方体的边长为x ,那么立方体的体积3y x =(4)如果正方形的面积为x ，那么正方形的边长y =(5)如果某人x 秒内骑车行进1千米那么他骑车的平均速度1y x=以上问题中的函数有什么共同特征？y x = 2y x = 3y x = y =12()y x = 1y x= 1()y x -=答：底数是自变量x,只是指数不同. 二、知识探究1、幂函数的定义：如果一个函数，底数是自变量x ,指数是常量,即y x α=（α是常数)，这样的函数叫幂函数.具体特点:①底数是自变量 ②指数是常量 ③x α的系数是1 判一判：判断下列函数是否为幂函数.(1)m y ax = 2(2)y x x =+ 3n y x =（） 5(4)(2)y x =- 2(5)2y x = 21(6)y x=仅(3)⑹是幂函数2、画出函数3y x =的图像，讨论其图像特征（单调性、对称性等） 解：列表：描点连线：图像特征:⑴单调性: 在R 上是增加的 ⑵对称性: 函数图像关于原点对称 并且对任意x , ()()()33f x x x f x -=-=-=-即()()f x f x -=-，像这样的函数叫作奇函数 奇函数的特点：⑴定义域关于原点对称⑵对于定义域中的任意的x ，都有()()f x f x -=-３、观察函数()2f x x =，讨论图像特征 函数图像关于y 轴对称，并且对任意x , ()()()22f x x x f x -=-==即()()f x f x -=，像这样的函数叫作偶函数 偶函数的特点：⑴定义域关于原点对称⑵对于定义域中的任意的x ，都有()()f x f x -=注：①如果函数()y f x =是奇函数或偶函数，我们就说函数()y f x =具有奇偶性；②根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数也不是偶函数；③注意：“任意”、“都有”等关键词，奇偶性是函数的整体性 ④奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；⑤奇、偶函数的定义域关于“0”对称．如果一个函数的定义域不关于“0”对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数；三、典型例题例2 判断()52f x x =-和4()2g x x =+的奇偶性. 【课本49页动手实践】 四、课堂训练1、画出下列函数的图像,判断其奇偶性.3(1)y x=- 2(2)y x ,x (3,3]=∈- 2(3)y x 3=- 2(4)y 2(x 1)1=++ 2、判断⑴函数()y f x =在定义域R 上是奇函数,且在](,0-∞上是增加的的,则()f x 在)0,+∞⎡⎣上也是增加的. (正确)⑵函数()y f x =在定义域R 上是偶函数,且在](,0-∞上是减少的,则()f x 在)0,+∞⎡⎣上也是减少的. (错误)3、⑴已知奇函数()f x , 则()f a b = , ()f a -= . ⑵已知偶函数()f x , 则()f a b = , ()f a -= .4、二次函数()2(1)23f x m x mx =-++是偶函数,则()f x 在](,0-∞上是5、设()f x 为定义在R 上的偶函数,且()f x 在)0,+∞⎡⎣上是增加的,则(2),(3),(4)f f f --由小到大的排列顺序为五、小结1.几种简单幂函数的图像及性质.2.判断函数奇偶性的方法: (1)图像法()y f x=是奇函数. 图像关于y ()y f x =是偶函数.(2)解析法 ()()f x f -=-()y f x =为奇函数 ()()f x f x -=()y f x =为偶函数六、补充1、常见幂函数图像（右图）2、总结幂函数性质⑴所有的幂函数在()0,+∞都有定义，并且图象都过点()1,1（原因：11x =）；⑵0a >时，幂函数的图象都通过原点，且在)0,+∞⎡⎣上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.⑶0a <时，幂函数的图象在区间)0,+∞⎡⎣上是减函数.在第一家限内，当x 向原点靠近时，图象在y 轴的右方无限逼近y 轴正半轴，当x 慢慢地变大时，图象在x 轴上方并无限逼近x 轴的正半轴.。

3．3幂函数一、教材分析幂函数是在继一次函数、反比例函数、二次函数之后，又学习了单调性、最值、奇偶性的基础上，借助实例，总结出幂函数的概念，再借助图像研究幂函数的性质.二、课程目标1、理解幂函数的概念，会画幂函数y =x ，y =x 2，y =x 3，y =x －1，y =x 21的图象；2、结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质；3、通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力．三、数学学科素养1.数学抽象：用数学语言表示函数幂函数；2.逻辑推理：常见幂函数的性质；3.数学运算：利用幂函数的概念求参数；四、重点与难点重点：常见幂函数的概念、图象和性质；难点：一般幂函数的图像与性质．五、教学过程探究一幂函数概念（一）实例观察，引入新课(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克,那么她需要支付P =元，P 是W 的函数。

(2)如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=，S 是a 的函数。

(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V =，S 是a 的函数。

(4)如果一个正方形场地的面积为S,那么正方形的边长a=。

a 是S 的函数。

(5)如果某人t s 内骑车行进1km,那么他骑车的平均速度v=，V 是t 的函数。

问题1：以上问题中的函数具有什么共同特征?（二）类比联想，探究新知1.幂函数的定义：一般地，函数y=x ɑ叫做幂函数(power function)，其中x 为自变量，ɑ为常数。

注意:幂函数的解析式必须是y =x a 的形式，其特征可归纳为“系数为１，只有１项”．探究二幂函数性质对于幂函数，我们只讨论21,1,3,2,1-=α时的情况，即：21132,,,,x y x y x y x y x y =====-1.思考：我们应如何研究幂函数呢？2、在同一平面直角坐标系内作出幂函数21132,,,,x y x y x y x y x y =====-的图象：3、性质：xy =2xy =3xy =21xy =1-=x y定义域值域奇偶性单调性公共点4、归纳：一般幂函数的图象特征（1）．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点。