2016年高中北师大版数学必修一教案教学设计：2.5简单的幂函数

2.5幂函数一．教学目标：1．知识技能：（1）理解幂函数的概念；（2）通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用.2．过程与方法：类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，后研幂函数的图象和性质.3．情感、态度、价值观：（1）进一步渗透数形结合与类比的思想方法；（2）体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性.二．重点、难点重点：从五个具体的幂函数中认识的概念和性质难点：从幂函数的图象中概括其性质三、教法、学法1、学法：通过类比、思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质；2、教法：探析交流、讲练结合。

四、教学过程（一）、引入新知阅读教材P90的具体实例（1）~（5），思考下列问题.（1）它们的对应法则分别是什么？（2）以上问题中的函数有什么共同特征？让学生独立思考后交流，引导学生概括出结论答：1、（1）乘以1 （2）求平方（3）求立方（4）求算术平方根（5）求－1次方2、上述的问题涉及到的函数，都是形如：y xα=，其中x是自变量，α是常数.（二）、探究新知1．幂函数的定义一般地，形如y xα=（x∈R）的函数称为幂孙函数，其中x是自变量，α是常数.如11234,,y x y x y x-===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.2．研究函数的图像（1）y x = （2）12y x = （3）2y x = （4）1y x -= （5）3y x =提问：如何画出以上五个函数图像引导学生用列表描点法，应用函数的性质，如奇偶性，定义域等，画出函数图像，最后，教师利用电脑软件画出以上五个数数的图像.913．幂函数性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：11x=）； （2）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.特别地，当x ＞1，x ＞1时，x ∈（0，1），2y x =的图象都在y x =图象的下方，形状向下凸越大，下凸的程度越大（你能找出原因吗？）当∠α＜1时，x ∈（0，1），2y x =的图象都在y x =的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大（你能说出原因吗？）（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.在第一家限内，当x 向原点靠近时，图象在y 轴的右方无限逼近y 轴正半轴，当x 慢慢地变大时，图象在x 轴上方并无限逼近x 轴的正半轴. 例题：例1．证明幂函数()[0,]f x =+∞上是增函数证：任取121,[0,),x x x ∈+∞且＜2x 则12()()f x f x -=因12x x -＜00 所以12()()f x f x <，即()[0,]f x =+∞上是增函数.思考：我们知道，若12()()0,1()f x y f x f x =><若得12()()f x f x <，你能否用这种作比的方法来证明()[0,]f x =+∞上是增函数，利用这种方法需要注意些什么？例2．利用函数的性质 ，判断下列两个值的大小 （1）11662,3 （2）3322(1),(0)x xx +> （3）22244(4),4a --+分析：利用幂函数的单调性来比较大小. （三）、课堂练习画出23y x =的大致图象，并求出其定义域、奇偶性，并判断和证明其单调性. （四）、归纳小结：提问方式（1）我们今天学习了哪一类基本函数，它们定义是怎样描述的？ （2）你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗？ （五）、作业： P 92 习题 2.3 第2、3 题 五、课后反思：。

第二章函数第4.2节简单幂函数的图像和性质教学设计y=及其他们的图像《简单的幂函数》是对学生学习了正、反比例函数和二次函数2x和性质的基础上来研究的，是这些特殊函数等在解析式的形式上共有特征的推广，本节突出幂函数从特殊到一般的推广，同时要研究函数的另外一个重要的性质奇偶性，是继函数单调性之后的又一重要的性质，是函数性质的延续和深化，通过本节课的学习，学生将建立幂函数这一函数模型，并能用系统的眼光看待以前已经接触过的函数，因而本节课更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合提升，为后续学习做了铺垫。

一．教学目标：1．了解指数是整数的幂函数的概念;2．学会利用定义证明简单函数的奇偶性,了解用函数的奇偶性画函数图象和研究函数的方法；3．培养学生从特殊归纳出一般的意识，培养学生利用图像研究函数奇偶性的能力。

二. 核心素养1.数学抽象：幂函数概念的理解y=及其他们的图像和性质的基础上2. 逻辑推理：通过对正、反比例函数和二次函数2x来研究的，我把这些特殊函数等在解析式的形式上共有特征推理到一般的形式上。

3. 数学运算：求简单的幂函数解析式；4. 直观想象：通过幂函数的图像，可以直观的分析函数性质5. 数学建模:在具体情境问题中，运用数形结合思想，利用幂函数的性质，图像，解决实际问题教学重点幂函数的概念、奇偶函数的概念，突出待定系数法教学难点简单幂函数的概念；定义法判断函数的奇偶性PPT1．知识引入我们已经熟悉，y=x是正比例函数，1yx=是反比例函数,y=x2是一元二次函数，还有y x=,y=x3，它们都是简单的幂函数.2.幂函数的概念概述：一般地,形如y=x a(a为常数)的函数，即底数是自变量，指数是常数的函数称为幂函数。

这里的1yx=和y x=在今后的学习中可以分别写成y=x-1和y=x-2【知识点扩充】具体特点:①底数是自变量②指数是常量③xα的系数是13.动手实践1.将y=x;1yx=;y=x2,y x=,y=x3这五个函数的图象画在同一平面直角坐标系中，并填写表2-3.2 在图2-16中，只画出了函数在y轴某一侧的图象，请你画出函数在y轴另一侧的图象,并说出画法的依据.【知识扩充】1、常见幂函数图像2、总结幂函数性质()0,+∞都有定义，⑴所有的幂函数在并且图象都过点(1 , 1)（原因：1x =1）；⑵a>0时，幂函数的图象都通过原点，且在)0,+∞⎡⎣上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.⑶a<0时，幂函数的图象在区间)0,+∞⎡⎣上是减函数.在第一家限内，当x 向原点靠近时，图象在y 轴的右方无限逼近x 轴正半轴，当x 慢慢地变大时，图象在x 轴上方并无限逼近x 轴的正半轴.题型一：判断下列那些是幂函数判一判：判断下列函数是否为幂函数. (1)m y ax = 2(2)y x x =+ 3n y x =（） 5(4)(2)y x =- 2(5)2y x = 21(6)y x =【答案】：（3），（6）题型二：幂函数图像问题2.如图所示，曲线是幂函数y=x a在第一象限内的图象，已知a分别取11,1,,22四个值，则相应图象依次为：答案：C4，C2，C3，C1题型三：根据幂函数性质，求解参数值3．幂函数在（0，+∞）时是减函数，则实数m的值为（）A．2或﹣1 B．﹣1 C．2 D．﹣2或1【解析】解：由于幂函数在（0，+∞）时是减函数，故有，解得m＝﹣1，故选：B．题型四：比较大小4．a＝2，b＝3，c＝5则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a【解析】解：∵a＝2，b＝3，c＝5，很明显，a、b、c都是正实数，∵b6﹣a6＝9﹣8＝1＞0，∴b6＞a6，∴b＞a．∵a10﹣c10＝32﹣25＞0，a10＞c10，∴a＞c．综上可得：b＞a＞c，故选：C．5．已知a＝0.24，b＝0.32，c＝0.43，则（）A．b＜a＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．a＜b＜c【解析】解：∵a＝0.24＝0.042＝0.0016，b＝0.32＝0.09，c＝0.43＝0.064，∴b＞c＞a，故选：B．1.掌握幂函数的概念2.会画5种幂函数的图像3.结合图像了解幂函数图像的变化情况和简单性质。

§5 简单的幂函数一、课标三维目标：1．知识技能：了解简单幂函数的概念；通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用.2．过程与方法：通过作函数图像，让学生体会幂函数图像的特点，会利用定义证明简单函数的奇偶性，了解利用奇偶性画函数图像和研究函数的方法。

3．情感、态度、价值观：进一步渗透数形结合与类比的思想方法；培养从特殊归纳出一般的意识，体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性。

二、教学重点与难点：重点：幂函数的概念，函数奇、偶性的概念。

难点：判断函数的奇偶性。

三、学法指导：通过数形结合，类比、观察、思考、交流、讨论，理解幂函数的概念和函数的奇偶性。

四、教学方法：对奇偶性要求不高，题目不需要过难，尽量用多媒体和计算机画函数的图像，重在从图上看出图像关于谁对称，着重从对称的角度应用这一性质，培养学生自己归纳总结的能力。

五、教学过程：（一）创设情境（生活实例中抽象出几个数学模型）1.如果张红购买每千克1元的蔬菜x千克,那么她需要付的钱数p=x元,这里p是s的函数.2.如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2,这里S是a的函数.3.如果正方体的边长为a,那么正方体的体积V=a3,这里V是a的函数4.如果正方形场地的面积为S,那么正方形的边长a=S1/2,这里a是S的函数.5.如果某人t s内骑车行进了1km,那么他骑车的平均速度v=t-1km/s,这里v 是t的函数.【思考】上述函数解析式有什么形式特征？具有什么共同点？（教师将解析式写成指数幂形式，以启发学生归纳，板书课题并归纳幂函数的定义。

）（二）探究幂函数的概念、图象和性质1．幂函数的定义如果一个函数，底数是自变量x ，指数是常量α，即y = xα，这样的函数称为幂函数．如【练】为了加深对定义的理解，让学生判别下列函数中有几个幂函数？22x 23212(1)y =x +x (2)y = (3)y = (4)y =2 (5)y =2x (6)y =x x x 2.幂函数的图象和性质【1】通过几何画板演示让学生认识到，幂函数的图象因a 的不同而形状各异【2】引导学生从5个具体幂函数的图象入手，研究幂函数的性质① 画出12132,,,,-=====x y x y x y x y x y 的图象（重点画y=x 3和y=x 1/2的图象----学生画，再用几何画板演示）学生活动：1.学生自己说出作图步骤，交流讨论单调性。

北师大版高中数学必修第一册《函数的奇偶性与简单的幂函数》说课稿一、教材内容概述《函数的奇偶性与简单的幂函数》是北师大版高中数学必修第一册的一章内容。

该章主要介绍了函数的奇偶性及简单的幂函数的相关概念和性质。

通过学习本章内容，学生能够理解函数奇偶和幂函数的特点，并能够应用所学知识解决实际问题。

二、教学目标1.了解函数的奇偶性的概念和判断方法；2.掌握简单的幂函数及其图象的性质；3.能够应用函数的奇偶性及简单的幂函数解决实际问题。

三、教学重点1.函数的奇偶性的概念和判断方法；2.简单的幂函数的图象和性质。

四、教学难点1.如何准确地判断函数的奇偶性；2.理解和应用幂函数的图象和性质。

五、教学内容及方法5.1 函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数图象关于坐标原点的对称性。

奇函数关于坐标原点对称，即f(−x)=−f(x)；偶函数关于坐标原点对称，即f(−x)=f(x)。

如果函数既不是奇函数也不是偶函数，则称其为一般函数。

教学方法：通过举例、图表和实际问题引出函数奇偶性的概念，引导学生进行讨论和总结，然后讲解函数奇偶性的判断方法，并进行练习。

5.2 简单的幂函数幂函数是指以变量的某个整数次幂为自变量的函数。

本章主要讲解一次幂函数和二次幂函数的性质。

1.一次幂函数：y=ax+b。

其中a为常数，a eq0。

一次幂函数的图象是一条直线，斜率为a，在坐标平面上表现为直线的斜率性质。

教学方法：通过具体的实例和图象，引导学生理解一次幂函数的特点并进行练习。

2.二次幂函数：y=ax2+b。

其中a和b为常数，a eq0。

二次幂函数的图象是一个开口向上或向下的抛物线，通过分析二次函数的系数a和b的正负关系，引出图象和性质的讨论。

教学方法：通过图象、实例和推导，引导学生掌握二次幂函数的图象和性质。

5.3 函数应用问题教学方法：通过实际问题的引入，结合函数的奇偶性和幂函数的性质，引导学生分析问题，建立方程并解决问题。

六、教学过程1.导入：引出函数的奇偶性的概念，并让学生观察、分析一些函数的图象，引导学生发现函数奇偶性的特点。

简单的幂函数教学目标：一、知识与技能：1、幂函数的概念以及简单幂函数的图像和性质；2、奇函数与偶函数的概念及其判断。

二、过程与方法：通过常见的一次函数、二次函数、反比例函数的图像与性质，得出幂函数的概念，并总结出奇偶函数的概念与性质。

三、情感态度与价值观：通过本节学习，增强学生数形结合的思想。

教学重点：1、幂函数的理解与应用；2、函数奇偶性的判断。

教学难点：函数奇偶性的判断教学过程：一、 课题引入我们以前学习过这样几个函数：x x y y y x y x 211),(,====-下面画出它们的图像(1)y=x(2)x y 1-= (3)x y 2= 从它们解析式的形式上看，底数都是自变量x ，只是指数不同，而且指数都是常数。

这样的函数，就是本节课所要研究的幂函数。

二、 讲授新课1、幂函数的概念幂函数：如果一个函数，底数是自变量x ，指数是常数α，即x y α=，这样的函数称为幂函数。

注：（1）条件：指数是常数，底数是自变量x ，系数为1（2）幂函数x y α=中，α为任意实数。

在第三章将进一步讨论。

例1：指出下列哪些函数是幂函数答:(1)、（6）是幂函数例2：画出幂函数x y 3=的图象,并讨论其图象特征.23220)6()1()5(2)4()3()2()1(x y x y x y x y x y x y x =+==-===特点：（1）定义域为R,值域也为R ，且在R 上单调递增；（2）图像关于原点对称，且对于任意的R x ∈，都有f(-x)=-f(x). 再观察x y 2=的图像，说出它有哪些特征？ 特点：（1）定义域为R,值域也为R ，且在(- ∞,0]上单调递减，[0,+ ∞） 上单调递增。

（2）其图像关于y 轴对称，且对任意的R x ∈，都有f(-x)=f(x) 可以得出幂函数的性质：（1）幂函数图像恒过点（1,1）;（2）α<0时，在区间[0,+ ∞）上，y 随x 的增大而减小；（3）α=0时，是常函数，不具有单调性；（4）α>0时，在区间[0,+ ∞）上，y 随x 的增大而增大。

安边中学 高一 年级 1学期 数学 学科导学稿 执笔人： 邹英 总第 课时备课组长签字： 包级领导签字： 学生： 上课时间： 2013.9集体备课 个人空间一、课题：2.5简单的幂函数二、学习目标1、理解幂函数的概念，会利用定义证明简单函数的奇偶性；2、了解利用奇偶性画函数图像和研究函数的方法；3、类比研究一般函数的方法，研究幂函数的图像和性质；4、进一步渗透数形结合与类比的思想方法，体会幂函数的变化；三、教学过程【温故知新】在初中我们已经熟悉这3种函数的解析式：21),)(1(,x y x y xy x y ====- 问题1、请指出这3个函数解析式的异同点。

【导学释疑】幂函数的概念：如果一个函数，底数是 ，指数是 。

问题1、判断下列函数是否为幂函数.（1）4()f x x = ； （2）3()(2)f x x =-； （3）31y x x -=-；（4）5y x -= ； （5）2y x -=- ； （6）32y x -=。

【巩固提升】例1画出函数3()f x x =的图像，讨论其单调性。

解：先列出x ，y 的对应值表再用描点法画出图像。

练习、利用同样的方法画出函数2)(x x f =的图像，讨论其单调性。

xy问题2、观察3()f x x =的图像，图像关于______对称；观察2()f x x =的图像，图像关于_______对称。

函数的奇偶性：（1）奇函数：（2）偶函数：例2、判断函数5()2f x x =-、4()2g x x =+及2()23h x x x =++的奇偶性。

注：函数具有奇偶性的前提是：定义域关于__________对称。

【检测反馈】1、函数y=f(x)是奇函数，在[a,b]上是减少的，则它在[-b,-a]上是（ ）A.增加的 B .减少的 C.先增后减 D.先减后增2、判断下列函数的奇偶性35(1)()f x x x =+ (]2(2)(),3,3f x x x =∈-2(3)()33f x x =-3、见教材P 50页动手实践。

课题5 简单的幂函数自主备课一、学习目标1、了解简单幂函数的概念； 会利用定义证明简单幂函数的奇偶性2、了解利用奇偶性画函数图像和研究函数的方法。

3、 学习重点：幂函数的概念和奇偶函数的概念4、 学习难点：简单的幂函数的图像性质。

函数奇偶性的判断。

二、教学过程幂函数的概念：1、形如 的函数叫幂函数，它的形式非常严格． ①前面的系数是1；②底数自变量x ； ③指数是常数a;④只有一项例如：11232,,,,y x y x y x y x y x -=====常见的幂函数： 2、在坐标系中画函数图象：y=x 、y ＝x 2、y ＝x 3、y ＝x 21、y ＝x 1-幂函数的图像和性质与幂指数α有关，①当α>0时，过0（0，0），（1,1）且在[0，＋∞)上为增函数， ②当α<0时，过（1,1），且在(0，＋∞)上为减函数.奇偶函数的概念一般地，函数()f x 图像关于原点对称的函数叫奇函数。

如f(x)=x 3 函数()f x 图像关于y 轴对称的函数叫偶函数。

如f(x)=x 2 当函数()f x 是奇函数或者是偶函数时，称函数()f x 具有判断函数奇偶性方法图像法_____________________________________________________________________________________________________ 定义法（1）定义域是否关于原点对称；（2）对定义域中任意x，①当有f(-x)=f(x)时，称f(x)是奇函数；②当有f(-x)=-f(x)时，称f(x)是偶函数。

问题：1、二次函数都是偶函数吗？2、一次函数都是奇函数吗？例题讲解例题1、画出函数3=的图像，并讨论单调性。

f x x()x ... -2 -1 1-0 12 1 2 ...2f x...()54=+例2、判断=-2和的奇偶性f x xg x x()()22例3、已知f(x)的定义域为R的奇函数，当时x>0时，f(x)=x-2x （1）求函数f(x)在R上的解析式（2）画f(x)的图像221()0()=1,(2)23,02()=0023,0()0()=-+22(1)()(2)()()f x R x f x x f x x f x x x x f x R x f x x x f x f x f x >+-+>⎧⎪=⎨⎪-<⎩>+当堂练习题、函数是定义在的奇函数，当时，求。

高中数学幂函数的教案
一、教学目标：
1. 理解幂函数的基本概念和特点；
2. 掌握幂函数的图像特征和性质；
3. 能够解决幂函数相关的问题。

二、教学重点：
1. 幂函数的定义和基本特点；
2. 幂函数的图像性质。

三、教学难点：
1. 幂函数的特殊情况的解决方法；
2. 幂函数的应用问题的解决。

四、教学过程：
1. 导入：通过实际生活中的例子引入幂函数的概念，引发学生的兴趣。

2. 概念讲解：介绍幂函数的定义和基本特点，解释幂函数的图像特征和性质。

3. 实例演练：通过案例分析，让学生运用所学知识解决幂函数相关的问题。

4. 拓展应用：引导学生探讨幂函数在实际问题中的应用，开拓思维。

五、课堂讨论：组织学生讨论幂函数的特殊情况和解决方法，促进学生之间的交流和思考。

六、练习测试：布置与幂函数相关的习题，检验学生对知识的掌握程度。

七、总结反思：引导学生总结本节课的重点知识，反思学习过程中的问题和感悟。

八、课后复习：提醒学生及时复习幂函数相关知识，完成作业，并准备下节课内容。

九、教学手段：采用多媒体教学、案例分析、讨论互动等方式，激发学生学习兴趣。

十、教学评估：根据学生的学习情况和表现，及时调整教学策略，确保教学效果。

十一、教学延伸：鼓励学生主动学习，拓展幂函数相关知识，提高数学思维能力。

以上是高中数学幂函数的教案范本，仅供参考。

祝教学顺利！。

§5简单的幂函数知识点一幂函数性质与图像[填一填]1．幂函数如果一个函数，底数是自变量x，指数是常数α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．2．幂函数性质与图像所有的幂函数在(0，＋∞)上有定义，并且图像都过点(1,1)，如果α>0，则幂函数的图像还过(0,0)，并在区间[0，＋∞)上递增；如果α<0，则幂函数在区间(0，＋∞)上递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图像与y轴无限接近；当x趋向于＋∞时，图像与x轴无限接近．[答一答]1．幂函数y＝xα的图像在第一象限内有何特征？提示：幂函数y＝xα的图像在第一象限内具有如下特征：直线x＝1，y＝1，y＝x将直角坐标平面在第一象限的直线x＝1的右侧分为三个区域(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)如图：则α∈(1，＋∞)⇔y＝xα的图像经过区域(Ⅰ) ，如y＝x2；α∈(0,1)⇔y＝xα的图像经过区域(Ⅱ)，如y＝x；α∈(－∞，0)⇔y＝xα的图像经过区域(Ⅲ)，如y＝1x.并且在直线x＝1的右侧，从x轴起，幂函数y＝xα的指数α由小到大递增，即“指大图高”、“指小图低”，在直线x＝1的左侧，图像从下到上，相应的指数由大变小．知识点二奇函数与偶函数[填一填]3．奇函数与偶函数(1)一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函数．在奇函数f(x)中，f(x)与f(－x)绝对值相等，符号相反，即f(－x)＝－f(x)；反之，满足f(－x)＝－f(x)的函数y＝f(x)一定是奇函数．(2)一般地，图像关于y轴对称的函数叫作偶函数．在偶函数f(x)中，f(x)与f(－x)的值相等，即f(－x)＝f(x)；反之，满足f(－x)＝f(x)的函数y＝f(x)一定是偶函数．(3)当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称函数f(x)具有奇偶性．[答一答]2．(1)若奇函数y＝f(x)在x＝0处有定义，则f(0)的值是否唯一确定？提示：若奇函数y＝f(x)在x＝0处有定义，由f(0)＝－f(0)可知，f(0)＝0，故f(0)的值是唯一确定的，即一定有f(0)＝0.(2)偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，最值相反吗？奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，最值相同吗？提示：偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，最值相同；奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，最值不同．1．幂函数图像的分布特点和规律幂函数在第一象限内的图像，在经过点(1,1)且平行于y轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图像从下到上的分布．2．幂函数y＝xα(α∈R)的图像和性质(1)当α>0时，图像过点(1,1)，(0,0)且在第一象限随x的增大而上升，函数在区间[0，＋∞)上是单调增函数．(2)当α<0时，幂函数y＝xα图像的基本特征：过点(1,1)，且在第一象限随x的增大而下降，函数在区间(0，＋∞)上是单调减函数，且向右无限接近x轴，向上无限接近y轴．(3)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．3．奇、偶函数图像对称性的缘由若函数f(x)是奇函数，对函数f(x)图像上任一点M(x，f(x))，则点M关于原点的对称点为M′(－x，－f(x))．又f(－x)＝－f(x)，则有M′(－x，f(－x))，所以点M′也在函数f(x)的图像上，所以奇函数的图像关于原点对称．同理可证偶函数的图像关于y轴对称．4．奇、偶函数图像的几点说明(1)一个函数为偶函数，其图像一定关于y轴对称，但是却不一定与y轴相交．(2)既是奇函数又是偶函数的函数图像在x轴上．如y＝0，x∈[－1,1]既是奇函数又是偶函数．(3)从图像上看：函数的奇偶性体现的是对称性，单调性体现的是升降性．(4)根据以上奇、偶函数图像对称性的特点可以解决已知奇、偶函数在某区间的部分图像，画出其关于原点或y轴对称的另一部分的图像问题.类型一幂函数的概念【例1】已知函数y＝(m2－m－5)x m＋1是幂函数，求m的值，并写出函数解析式．【思路探究】幂函数的解析式形如y＝xα(α∈R)，幂值前面的系数为1，底数为x，α∈R为常数．【解】∵y＝(m2－m－5)x m＋1为幂函数，∴y可以写成y＝xα(α为常数)的形式，∴m2－m－5＝1，解得m＝3或m＝－2.当m＝3时，m＋1＝4，此时y＝x4；当m＝－2时，m＋1＝－1，此时y＝x－1.规律方法判断一个函数是否为幂函数，依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式．幂函数的解析式为一个幂的形式，且满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有上述形式，这是我们解决某些问题的一个隐含条件．(1)以下四个函数：y ＝x 0；y ＝x －2；y ＝(x ＋1)2；y ＝2·x 13 中，是幂函数的有( B ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：形如y ＝x α(α为常数)的函数为幂函数，所以只有y ＝x 0，y ＝x －2为幂函数． (2)f (x )＝(m 2－m －1)x m 2－2m －1是幂函数，则实数m ＝2或－1.解析：f (x )＝(m 2－m －1)x m 2－2m －1是幂函数，所以m 2－m －1＝1，解得m ＝－1或2. 类型二 幂函数的性质【例2】 幂函数y ＝x α中α的取值集合C 是{－1,0，12，1,2,3}的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C 为( )A ．{－1,0，12}B ．{12，1,2}C ．{－1，12，1,3}D ．{12，1,2,3}【思路探究】 根据常见的幂函数的图像与性质进行逐一判断．【解析】 根据幂函数y ＝x －1，y ＝x 0，y ＝x 12，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3的图像和解析式可知，当α＝－1，12，1,3时，相应幂函数的值域与定义域相同．【答案】 C规律方法 1.画幂函数的图像时，可先画出其在第一象限内的图像，再由定义域、单调性、奇偶性得出在其他象限内的图像．2．幂函数图像的特征：(1)在第一象限内，直线x ＝1的右侧，y ＝x α的图像由上到下，指数α由大变小；在第一象限内，直线x ＝1的左侧，y ＝x α的图像由上到下，指数α由小变大．(2)当α>0时，幂函数的图像都经过(0,0)和(1,1)点，在第一象限内，当0<α≤1时，曲线上凸；当α≥1时，曲线下凸；当α<0时，幂函数的图像都经过(1,1)点，在第一象限内，曲线下凸．如图，图中曲线是幂函数y ＝x α在第一象限的大致图像．已知α取－2，－12，12，2四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α的值依次为( B )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12解析：解法1：在第一象限内，在直线x ＝1的右侧，y ＝x α的图像由上到下，指数α由大变小，故选B.解法2：赋值法．令x ＝4，则4－2＝116，4－12＝12，412＝2,42＝16，易知选B.类型三 幂函数性质的应用【思路探究】 注意分情况讨论要做到不重不漏．先根据条件确定m 的值，再利用幂函数的增减性求实数a 的取值范围．【解】 因为函数在(0，＋∞)上递减， 所以m 2－2m －3<0，解得－1<m <3. 又因为m ∈N ＋，所以m ＝1或2，由函数图像关于y 轴对称知，m 2－2m －3为偶数，所以m ＝1.把m ＝1代入不等式得(a ＋1)－ 13<(3－2a )－ 13.因为y ＝x － 13在(－∞，0)和(0，＋∞)上均递减，所以有a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a ，解得23<a <32或a <－1.即a 的取值范围是(－∞，－1)∪(23，32)．规律方法 作直线x ＝m (m >1)，它与若干个幂函数的图像相交，交点从上到下的排列顺序正是幂指数的降序排列，故可利用其比较指数α的大小．(1)已知(0.71.3)m <(1.30.7)m ，则m 的取值范围是m >0.解析：根据幂函数y ＝x 1.3的图像，当0<x <1时，0<y <1，所以0<0.71.3<1，又根据幂函数y ＝x 0.7的图像，当x >1时y >1，所以1.30.7>1，于是有0.71.3<1.30.7，又(0.71.3)m <(1.30.7)m ，所以m >0. (2)已知幂函数y ＝f (x )的图像过点(2，22)，试求出此函数的解析式，并作出图像，判断奇偶性、单调性．解：设幂函数解析式为y ＝x α，将点(2，22)的坐标代入，得2α＝22，解得α＝－12，所以函数的解析式y ＝x － 12.定义域为(0，＋∞)，它不关于原点对称，所以，y ＝f (x )是非奇非偶函数．当x >0时，f (x )是单调减函数，函数的图像如图．下面用定义证明y ＝x － 12 ＝1x 在(0，＋∞)上为减函数：设x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则Δx ＝x 2－x 1>0， Δy ＝y 2－y 1＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2(x 1＋x 2)＝－Δxx 1x 2(x 1＋x 2)<0，所以y ＝x － 12 ＝1x 在(0，＋∞)上为减函数．类型四 函数奇偶性的判断 【例4】 判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝x 4＋3x 2； (2)f (x )＝x －1x ；(3)f (x )＝0，x ∈(－1,1]； (4)f (x )＝－2x ＋1.【思路探究】 先确定函数的定义域是否关于原点对称，再看f (－x )与f (x )之间的关系． 【解】 (1)函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称． ∵f (－x )＝(－x )4＋3(－x )2＝x 4＋3x 2＝f (x )， ∴函数f (x )为偶函数．(2)函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称． ∵f (－x )＝－x －1－x ＝－⎝⎛⎭⎫x －1x ＝－f (x )， ∴函数f (x )为奇函数．(3)函数f (x )的定义域为(－1,1]，不关于原点对称，故函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数． (4)函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称． ∵f (－x )＝－2(－x )＋1＝2x ＋1≠±f (x )， ∴函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数． 规律方法 1.用定义判断函数奇偶性的步骤是：2．在客观题中，多个函数有公共定义域时也可以利用如下性质判断函数的奇偶性： (1)偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数； (2)奇函数的和、差仍为奇函数；(3)两个奇函数的积为偶函数，两个奇函数的商(分母不为零)也为偶函数； (4)一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 3＋1x 3；(2)f (x )＝x － 53； (3)f (x )＝x 4＋1x 2＋1；(4)f (x )＝2－x ＋x －2.解：(1)函数f (x )＝x 3＋1x 3的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．又∵f (－x )＝－x 3＋1－x 3＝－⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 3＝－f (x )， ∴函数f (x )＝x 3＋1x3是奇函数．(2)函数f (x )＝x － 53的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 又∵f (－x )＝(－x ) － 53＝13(－x )5＝－13x 5＝－x － 53＝－f (x )，∴函数f (x )＝x － 53是奇函数．(3)函数f (x )＝x 4＋1x 2＋1的定义域是R ，关于原点对称．又∵f (－x )＝(－x )4＋1(－x )2＋1＝x 4＋1x 2＋1＝f (x )，∴函数f (x )＝x 4＋1x 2＋1是偶函数．(4)函数f (x )＝2－x ＋x －2的定义域为{2}，不关于原点对称，∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．类型五 利用函数奇偶性求函数的解析式【例5】 若f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝x (1－x )，求当x ≥0时，函数f (x )的解析式．【思路探究】 解决本题的关键是利用奇函数的关系式f (－x )＝－f (x )将x <0时f (x )的解析式转化到x >0上．同时要注意f (0)＝0.【解】 ∵f (x )是奇函数，∴当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－{(－x )[1－(－x )]}＝x (1＋x )， 当x ＝0时，f (0)＝－f (0)，即f (0)＝0.∴当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )．规律方法 1.解答本题时，很容易遗漏x ＝0的情况，在区间转化时要细心．2．利用函数的奇偶性求解函数的解析式，主要利用函数奇偶性的定义．求解一般分以下三个步骤：(1)设所求函数解析式中所给的区间上任一个x ，即求哪个区间上的解析式，就设x 在哪个区间上．(2)把所求区间内的变量转化到已知区间内．(3)利用函数奇偶性的定义f (x )＝－f (－x )或f (x )＝f (－x )求解所求区间内的解析式．(1)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，其定义域为[a －1,2a ]，则a ＝13，b ＝0.解析：因为f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且定义域为[a －1,2a ]，所以a －1＋2a ＝0，a ＝13，所以f (－x )＝f (x )恒成立．所以－bx ＝bx ，所以b ＝0. (2)函数f (x )为R 上的奇函数，且当x <0时，f (x )＝x (x －1)，则当x >0时，f (x )＝－x (x ＋1)．解析：当x >0时，－x <0，所以f (－x )＝－x (－x －1)＝x (x ＋1)， 又因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以－f (x )＝x (x ＋1)， 所以f (x )＝－x (x ＋1)．——易错误区—— 函数奇偶性判断中的误区【例6】 以下说法中：(1)函数f (x )＝5x 2，x ∈(－3,3]是偶函数．(2)f (x )＝x 3＋1x 是奇函数．(3)函数f (x )＝|x －2|是偶函数．(4)函数f (x )＝0，x ∈[－2,2]既是奇函数，又是偶函数．正确的有( )A ．(1)(2)B ．(1)(4)C ．(2)(4)D ．(3)(4)【错解】 选B 或选D【正解】 C 对于(1)，函数f (x )＝5x 2，x ∈(－3,3]的定义域不关于原点对称①，故该函数是非奇非偶函数，故(1)错误．对于(2)，函数f(x)＝x3＋1的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且能满足f(－x)＝－f(x)，x所以是奇函数，故(2)正确．对于(3)，函数f(x)＝|x－2|是由f(x)＝|x|的图像向右平移了两个单位得到的②，图像不关于y轴对称，所以(3)错误．对于(4)，函数f(x)＝0，x∈[－2,2]图像既关于原点对称又关于y轴对称，所以(4)正确，因此正确的只有(2)(4)．【错因分析】 1.忽视了①处函数的定义域x∈(－3,3]不关于原点对称，出现只是根据f(－x)＝f(x)而判定为偶函数的错误；2．忽视了②处函数f(x)＝|x－2|的图像不关于y轴对称，出现只看到绝对值，就认为是偶函数的错误．【防范措施】 1.定义域优先的原则由奇偶函数的定义，“对于函数定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)”可知，具有奇偶性的函数的定义域必是关于原点对称．如本例中(1)函数f(x)＝5x2，x∈(－3,3]的定义域不关于原点对称，所以不具有奇偶性．2．注意图像的变换一些常用的图像平移、变换要牢记，如本例中函数f(x)＝|x－2|，就是要根据y＝|x|的图像特征来平移得到，因为函数y＝|x|的图像关于y轴对称，而向右平移2个单位后图像就不再关于y轴对称，故可得结论．函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|是(C)A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数解析：f(x)＝|x－2|－|x＋1|当x≥2时，f(x)＝x－2－x－1＝－3，当x≤－1时，f(x)＝2－x＋x＋1＝3，当－1<x<2时，f(x)＝2－x－x－1＝1－2x.画出图像如图．由图知f(x)为非奇非偶函数．一、选择题1．下列所给函数中，是幂函数的是(C)A．y＝－x3B．y＝3xC．y＝x 12D．y＝x2－1解析：幂函数的形式为y＝xα，只有C符合．2．幂函数y＝xα(α∈R)的图像一定不经过(A)A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限解析：∵α∈R，x>0，∴y＝xα>0，∴图像不可能经过第四象限，故选A.3．已知函数f(x)是奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，则当x<0时，f(x)＝(D) A．x2＋2x B．x2－2xC．－x2－2x D．－x2＋2x解析：令x<0，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＝x2－2x，又∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－(x2－2x)＝－x2＋2x.二、填空题4．已知幂函数f (x )的图像经过点(2，2)，则f (4)＝2. 解析：设f (x )＝x α，∴α＝12，∴f (4)＝4 12 ＝2.5．已知函数f (x )＝a (x ＋1)－2|x |＋1的图像关于原点对称，则实数a ＝2.解析：由题意可知f (x )为奇函数，且奇函数f (x )＝a (x ＋1)－2|x |＋1在x ＝0处有意义，∴f (0)＝0，∴a －21＝0，∴a ＝2. 三、解答题6．已知f (x )＝(m 2－2m －2)x m －1是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增．(1)求m 的值；(2)求函数g (x )＝f (x )－2ax ＋1在区间[2,3]上的最小值h (a )． 解：(1)∵f (x )＝(m 2－2m －2)x m －1是幂函数， ∴m 2－2m －2＝1，解得m ＝3或m ＝－1；又f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴m －1>0，∴m 的值为3.(2)函数g (x )＝f (x )－2ax ＋1＝x 2－2ax ＋1＝(x －a )2＋1－a 2，当a <2时，g (x )在区间[2,3]上单调递增，最小值为h (a )＝g (2)＝5－4a ；当2≤a ≤3时，g (x )在区间[2,3]上先减后增，最小值为h (a )＝g (a )＝1－a 2； 当a >3时，g (x )在区间[2,3]上单调递减，最小值为h (a )＝g (3)＝10－6a .。

2.5简单的幂函数教案●三维目标1．知识与技能(1)了解简单幂函数的概念．(2)会用定义证明简单幂函数的奇偶性．(3)了解利用奇偶性画函数图像及研究函数的方法．2．过程与方法类比研究一般函数的方法研究幂函数的图像和方法．3．情感、态度与价值观在幂函数的研究过程中让学生体会数学的科学价值和应用价值，引导学生发现数学的对称美，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度．●重点难点重点：幂函数的概念及函数奇偶性的概念．难点：简单幂函数的图像和性质，函数奇偶性的判断．幂函数的概念和性质的突破方法是通过教材中的实例，概括它们解析式的共性来获得幂函数的定义，再根据它们的图像概括出性质；函数的奇偶性的突破方法是让学生观察图像，归纳、猜想概括得出定义，从而也掌握了函数奇偶性的几何意义．●教学建议本节课可以采用直观式教学，启发学生，放手让学生去探索与研究，并在一旁适时地引导学生根据几个实例函数的公共特点归纳、总结幂函数的定义，对几个特殊幂函数的性质先进行初步探索，再根据研究的结果结合描点作图画出幂函数的图像，让学生观察和分析所作的图像，归纳得出图像特征，并由图像特征得到相应的函数性质及函数奇偶性的初步认识，让学生体会系统研究函数的方法．整个教学过程的绝大部分时间都留给学生，让学生动脑动手．通过对同类旧知识的回忆，引导学生利用数形结合，找出与新知识的连接点，并在对照、类比分析中找出规律．可以提高学生学习的积极性和自学能力，培养了他们的归纳演绎能力和创新思维习惯．●教学流程通过几何画板演示部分幂函数的图像，加深对定义的感性认识，为顺利引出幂函数定义作铺垫⇒利用图像，数形结合，理解幂函数的图像和性质⇒通过例1及其变式训练，加深对幂函数的概念及性质的理解⇒通过f(x)＝x3的图像关于原点对称并且对任意的xf(－x)＝(－x)3＝－x 3即f (－x )＝－f (x )，完成对定义的理解⇒通过例2及其变式训练，加深定义及证明步骤的理解和掌握⇒通过例3及其变式训练，加深对函数奇偶性的理解和应用⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正(见学生用书第29页)课标解读1.了解幂函数的概念．2．结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，y ＝x 12的图像，了解它们的变化情况．(难点、易混点)3．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．(重点)【问题导思】我们学习过几种基本初等函数如正比例函数y ＝x ，反比例函数y ＝x －1，二次函数y ＝x 2.看下面两个例子：(1)如果正方体的棱长为x ，正方体的体积为y ； (2)如果正方形场地面积为x ，其边长为y .1．在第一个例子中，y 关于x 的函数关系式怎样？ 【提示】 y ＝x 3.2．在第二个例子中，y 关于x 的函数关系式怎样？ 【提示】 y ＝x 2.3．这两个问题中的函数关系式与y ＝x ，y ＝x －1，y ＝x 2有什么共同特点． 【提示】 从形式上看，它们只是指数不同． 1．幂函数的定义如果一个函数，底数是自变量x ，指数是常量α，即y ＝x α，这样的函数称为幂函数． 2．简单的幂函数的图像和性质函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1在同一平面直角坐标系中的图像如图所示．从图中可以观察得到：【问题导思】画出函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x 的图像．1．它们的图像具有怎样的对称性？【提示】 y ＝x ，y ＝1x的图像关于原点对称，y ＝x 2关于y 轴对称．2．在函数y ＝x 2中，x 取－1时和取1时的函数值相同吗？在函数y ＝1x 中呢？【提示】 在函数y ＝x 2中相同，在y ＝1x 中互为相反数．1．奇函数的定义一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函数．在奇函数f (x )中，f (x )和f (－x )的绝对值相等，符号相反，即f (－x )＝－f (x )．反之，满足f (－x )＝－f (x )的函数y ＝f (x )一定是奇函数．2．偶函数的定义一般地，图像关于y 轴对称，像这样的函数叫作偶函数．在偶函数 f (x )中，f (x )和f (－x )的值相等，即f (x )＝f (－x )；反之，满足f (x )＝f (－x )的函数y ＝f (x )一定是偶函数．3．奇偶性当一个函数是奇函数或偶函数时，称该函数具有奇偶性.(见学生用书第30页)下列函数是幂函数的为()①y＝1x2；②y＝2x2；③y＝x2＋x；④y＝(x－2)3；⑤y＝1.A．①⑤B．②C．①D．①②④【思路探究】紧扣幂函数的概念，y＝xα的形式是解题的关键．【自主解答】函数y＝1x2可写成y＝x－2的形式，是幂函数；y＝2x2的系数不是1，y＝x2＋x等式右边是两个幂和的形式，y＝(x－2)3底数不是自变量x，y＝1与y＝x0(x≠0)不是同一函数，所以它们都不是幂函数．【答案】 C若一个函数是幂函数，则该函数一定是形如y＝xα(α为常数)的形式，即函数解析式的右边是一个幂的形式，其中指数为常数，底数为自变量，系数为1，这是我们解决某些问题的一个隐性条件．若函数y＝(a2－3a－3)x2为幂函数，则a的值为________．【解析】根据幂函数的定义，若函数y＝(a2－3a－3)·x2为幂函数，则x2的系数必为1，即a2－3a－3＝1，所以a2－3a－4＝0，解得a＝－1或a＝4.【答案】－1或4判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3＋2x；(2)f(x)＝x2－|x|＋1；(3)f(x)＝x2x－1x－1；(4)f(x)＝0.【思路探究】首先判断定义域是否关于原点对称，若关于原点对称，再看是否满足f(－x)＝±f(x)即可．【自主解答】(1)函数的定义域是R，又f(－x)＝(－x)3＋2(－x)＝－(x3＋2x)＝－f(x)．所以f(x)是奇函数．(2)f(x)的定义域是R，且f(－x)＝(－x)2－|－x|＋1＝x2－|x|＋1＝f(x)，所以f(x)是偶函数．(3)由于x－1≠0，所以x≠1，即函数的定义域是{x|x≠1}，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(4)由于f(x)＝0的定义域为R，且f(－x)＝f(x)＝－f(x)，所以f(x)既是奇函数，又是偶函数．1．判断函数的奇偶性时，首先考虑函数的定义域，并判断其是否关于原点对称．2．若定义域不关于原点对称，则函数f(x)不具有奇偶性，若定义域关于原点对称，可再利用定义验证f(－x)与f(x)的关系．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x2，x∈(－1,2)；(2)f(x)＝x3＋x，x∈[0,1]；(3)f(x)＝x x－1x－1，x∈(－1,1)．【解】(1)由于定义域不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)因为定义域不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(3)由于x∈(－1,1)，且关于原点对称，所以f(x)＝x，且f(－x)＝－x＝－f(x)，因此，f(x)为奇函数.图2－5－1已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x.(1)求出函数f(x)在R上的解析式；(2)在图2－5－1中画出函数f(x)的图像．【思路点拨】根据题中条件，当x>0时的解析式已知，需求x≤0时的解析式，故需借助奇函数的性质求解，根据对称性即可画出图像．【自主解答】(1)①由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)＝0；②当x<0时，－x>0，∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2(－x )]＝－x 2－2x ， 综上：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ， x >0，0， x ＝0，－x 2－2x ， x <0.(2)图像如图：1．奇、偶函数的图像有以下特征：若f (x )为奇函数，则它的图像关于原点对称，反之也成立；若f (x )为偶函数，则它的图像关于y 轴对称，反之也成立．这个结论提供了结合图像处理函数奇偶性问题的依据，也是数形结合思想的体现．2．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上的表达式，求函数f (x )在区间[－b ，－a ]上的表达式的一般方法：设－b ≤x ≤－a ，则a ≤－x ≤b ；根据已知条件f (x )在区间[a ，b ]上的表达式可求得f (－x )的表达式；然后根据函数f (x )的奇偶性来实现函数的解析式在f (x )与f (－x )之间的相互转化(若函数f (x )为奇函数，则f (x )＝－f (－x )；若f (x )为偶函数，则f (x )＝f (－x ))．特别值得一提的是：设－b ≤x ≤－a ，转化为a ≤－x ≤b 是解决问题的关键．(1)已知函数是定义在R 上的偶函数，且x ≥0时，f (x )＝－x ＋1，则f (x )的解析式为________．(2)若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则使得f (x )>0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－2,2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 【解析】 设x <0，则－x >0.∵当x ≥0时，f (x )＝－x ＋1，∴f (－x )＝－(－x )＋1＝x ＋1. ∵函数f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (－x )＝f (x )．∴当x <0时，f (x )＝x ＋1.∴f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≥0，x ＋1，x <0.(2)由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以它的图像关于y 轴对称．又它在(－∞，0]上是减函数，所以可知该函数在(0，＋∞)上为增函数．根据这些特征及f (2)＝0，可作出它的图像(如下图)．观察图像可得，使f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．【答案】 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≥0，x ＋1，x <0 (2) D。

教学设计§5简单的幂函数整体设计教学分析教材从整数指数的幂函数自然引入，给出定义后，也只是推广到其他整数指数的情况，但是要指出x为其他实数时仍有意义，留待第三章解决．对于函数的奇偶性，虽然给出了一般定义，但是应该知道，教材重在从图上看出图像的对称性，着重从对称的角度应用这一性质，也就是说，对奇偶性的要求是低的，习题不需要过难，要循序渐进．值得注意的是尽量用信息技术画幂函数的图像，通过它们的图像，让学生自己归纳出它们的性质．三维目标1．了解指数是整数的简单幂函数的概念，巩固画函数图像的方法，培养学生识图和画图的能力．2．会利用定义证明简单函数的奇偶性，提高学生的逻辑思维能力．3．了解利用奇偶性画函数图像和研究函数的方法，培养学生分析问题和解决问题的能力．重点难点教学重点是幂函数的概念，奇函数和偶函数的概念．教学难点是判断函数的奇偶性．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(1)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数．(2)如果正方体的边长为a，那么正方体的体积V＝a3，这里V是a的函数．(3)如果正方形场地面积为S，那么正方形的边长a＝S 12，这里a是S的函数．以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？(右边是指数式，且底数都是变量)这只是我们生活中常用到的一类函数的几个具体代表，如果让你给它们起一个名字的话，你将会给它们起个什么名字呢？(变量在底数位置，解析式右边都是幂的形式) 思路 2.我们已经熟悉正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数，这一节课我们再学习一种新的函数——幂函数，教师板书引出课题．推进新课新知探究提出问题①给出下列函数，y ＝x ，y ＝12x ，y ＝x 2，y ＝x －1，y ＝x 3，考察这些解析式的特点.②根据①，如果让我们起一个名字的话，你将会给它们起个什么名字呢？请给出一个一般性的结论.③函数y ＝x ，y ＝1x的图像对称性有什么共同点？ ④函数y ＝x ，y ＝1x的解析式满足f (－x )＝－f (x )吗？ ⑤函数y ＝x 2，y ＝|x |的图像对称性有什么共同点？ ⑥函数y ＝x 2，y ＝|x |的解析式满足f (－x )＝f (x )吗？ 活动：①主要看函数的变量的位置和解析式的形式． ②总结出解析式的共性后，类比前面的式子，起出一个名字． ③画出函数y ＝x ，y ＝1x 的图像来观察．④代入函数的解析式验证即可． ⑤画出函数的图像来观察． ⑥代入函数的解析式验证即可．讨论结果：①通过观察发现这些函数的变量在底数位置，解析式右边都是幂，因为它们的变量都在底数位置上．②由于函数的指数是一个常数，底数是变量，类似于我们学过的幂的形式，因此我们称这种类型的函数为幂函数，如果我们用字母α来表示函数的指数，就能得到一般的式子．即幂函数的定义：一般地，形如y ＝x α(x ∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数．如y ＝x 2，y ＝12x ，y ＝x 3等都是幂函数，幂函数与二次函数一样，都是基本初等函数． ③函数y ＝x ，y ＝1x 的图像都关于原点对称．一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函数． ④都满足f (－x )＝－f (x )．因此有：函数f (x )是奇函数⇔函数f (x )的图像关于原点对称⇔对定义域内任意的x ，f (－x )＝－f (x )．⑤都关于y 轴对称．一般地，图像关于y 轴对称的函数叫作偶函数．⑥都满足f(－x)＝f(x)．因此有：函数f(x)是偶函数⇔函数f(x)的图像关于y轴对称⇔对定义域内任意的x，f(－x)＝f(x)．当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称函数f(x)具有奇偶性．提出问题在图1中，只画出了函数图像的一半，请你画出它们的另一半，并说出画法的依据．图1讨论结果：函数y＝x－1，y＝－x3是奇函数，其图像关于原点对称；函数y＝x2＋1，y＝－x4是偶函数，其图像关于y轴对称．则这些函数图像的另一半如图2所示．图2在研究函数时，如果知道其图像具有关于y轴或原点对称的特点，那么我们可以先研究它的一半，再利用对称性了解另一半，从而减少了工作量．应用示例思路1例1 画出函数f (x )＝x 3的图像，讨论其单调性．活动：学生思考描点法画函数图像的步骤和函数单调性的几何意义． 解：先列出x ，y 的对应值表(如下表)，再用描点法画出图像，如图3.x … －2 －1 －12 0 12 1 2 … y…－8－1－181818…图3从图像上看出，y ＝x 3是R 上的增函数．点评：本题主要考查描点法画函数的图像，以及应用图像讨论函数单调性的能力． 变式训练画出幂函数y ＝x 12的图像，并讨论其单调性．答案：幂函数y ＝x 12的图像如图4所示．图4从图像看出，函数y＝12x在(2)图像法：如果函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果函数的图像关于y轴对称，那么这个函数是偶函数；如果函数的图像关于原点和y轴均对称，那么这个函数既是奇函数又是偶函数；如果函数的图像关于原点和y轴均不对称，那么这个函数既不是奇函数又不是偶函数．注意：分段函数的奇偶性要分段判断．变式训练1．判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝2x2＋2xx＋1；(2)f(x)＝x3－2x.解：(1)函数的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2)函数的定义域为R，f(－x)＝(－x)3－2(－x)＝2x－x3＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．2．已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数．当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，则当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝__________.解析：利用偶函数的性质f(x)＝f(－x)求解．当x∈(0，＋∞)时，则－x＜0.又∵当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，∴f(x)＝f(－x)＝(－x)－(－x)4＝－x－x4.答案：－x－x43．设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是()．A ．f (x )f (－x )是奇函数B ．f (x )|f (－x )|是奇函数C ．f (x )－f (－x )是偶函数D ．f (x )＋f (－x )是偶函数解析：各个选项中函数的定义域都是R .A 中设F (x )＝f (x )f (－x )，则F (－x )＝f (－x )f (x )＝F (x )，即函数F (x )＝f (x )f (－x )为偶函数；B 中设F (x )＝f (x )|f (－x )|，则F (－x )＝f (－x )|f (x )|，此时F (x )与F (－x )的关系不能确定，即函数F (x )＝f (x )|f (－x )|的奇偶性不确定；C 中设F (x )＝f (x )－f (－x )，F (－x )＝f (－x )－f (x )＝－F (x )，即函数F (x )＝f (x )－f (－x )为奇函数；D 中设F (x )＝f (x )＋f (－x )，F (－x )＝f (－x )＋f (x )＝F (x )，即函数F (x )＝f (x )＋f (－x )为偶函数．答案：D思路2例1 已知函数f (x )的定义域是x ≠0的一切实数，对定义域内的任意x 1，x 2都有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，且当x ＞1时f (x )＞0，f (2)＝1.(1)求证：f (x )是偶函数；(2)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (3)试比较f ⎝⎛⎭⎫－52与f ⎝⎛⎭⎫74的大小． 分析：解决此类问题的关键是利用好条件中的函数性质等式．(1)利用赋值法证明f (－x )＝f (x )；(2)利用定义法证明单调性；(3)利用函数的单调性比较它们的大小．解：(1)函数的定义域是x ≠0. 令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)， ∴f (1)＝0.令x 1＝x 2＝－1，得f (1)＝f ＝f (－1)＋f (－1)， ∴2f (－1)＝0.∴f (－1)＝0.∴f (－x )＝f (－1·x )＝f (－1)＋f (x )＝f (x )． ∴f (x )是偶函数． (2)设0＜x 1＜x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝⎛⎭⎫x 1·x 2x 1－f (x 1)＝f (x 1)＋f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1－f (x 1)＝f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1， ∵x 2＞x 1＞0，∴x 2x 1＞1.∴f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1＞0，即f (x 2)－f (x 1)＞0. ∴f (x 2)＞f (x 1)，即f (x 1)＜f (x 2)． ∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(3)由(1)知f (x )是偶函数，则有f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫52，由(2)知f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则f ⎝⎛⎭⎫52＞f ⎝⎛⎭⎫74， ∴f ⎝⎛⎭⎫－52＞f ⎝⎛⎭⎫74. 点评：本题是抽象函数问题，主要考查函数的奇偶性和单调性及其综合应用．判断抽象函数的奇偶性和单调性通常应用定义法，比较抽象函数值的大小通常利用抽象函数的单调性来比较．其关键是将所给的关系等式进行有效的变形和恰当的赋值． 变式训练1．函数y ＝f (x )是偶函数，且在(－∞，0]上为减函数，试比较f ⎝⎛⎭⎫－78与f (2a 2－a ＋1)的大小．分析：用函数的单调性比较大小，但需注意在函数的同一单调区间上进行． 解：∵2a 2－a ＋1＝2⎝⎛⎭⎫a －142＋78≥78，∴－(2a 2－a ＋1)≤－78＜0. 而函数y ＝f (x )在(－∞，0]上为减函数， ∴f ≥f ⎝⎛⎭⎫－78. 又∵y ＝f (x )是偶函数，∴f ＝f (2a 2－a ＋1)． ∴f (2a 2－a ＋1)≥f ⎝⎛⎭⎫－78. 2.已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意x ，y, f (x )都满足f (xy )＝yf (x )＋xf (y )．(1)求f (1)，f (－1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性，并说明理由．分析：(1)利用赋值法，令x ＝y ＝1，得f (1)的值，令x ＝y ＝－1，得f (－1)的值；(2)利用定义法证明f (x )是奇函数，要借助于赋值法，得f (－x )＝－f (x )．解：(1)∵f (x )对任意x ，y 都有f (x ·y )＝yf (x )＋xf (y )， ∴令x ＝y ＝1时，有f (1·1)＝1·f (1)＋1·f (1)， ∴f (1)＝0;∴令x ＝y ＝－1时，有f ＝(－1)·f (－1)＋(－1)·f (－1)． ∴f (－1)＝0.(2)∵f (x )对任意x ，y 都有f (x ·y )＝yf (x )＋xf (y )， ∴令y ＝－1，有f (－x )＝－f (x )＋xf (－1) . 将f (－1)＝0代入，得f (－x )＝－f (x ), ∴函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数.知能训练1．下列命题中正确的是( )．A ．当α＝0时，函数y ＝x α的图像是一条直线B ．幂函数的图像都经过(0,0)，(1,1)两点C ．若幂函数y ＝x α的图像关于原点对称，则y ＝x α在定义域内y 随x 的增大而增大D ．幂函数的图像不可能在第四象限解析：当α＝0时，函数y ＝x α的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }，其图像为两条射线，故A 不正确；当α＜0时，函数y ＝x α的图像不过(0,0)点，故B 不正确；幂函数y ＝x －1的图像关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故C 不正确；当x ＞0，α∈R 时，y ＝x α＞0，则幂函数的图像都不在第四象限．答案：D2．下列函数中不是幂函数的是( )．A ．y ＝xB ．y ＝x 3C ．y ＝2xD ．y ＝x －1 解析：根据幂函数的定义：形如y ＝x α的函数称为幂函数，可知C 不是幂函数． 答案：C3．下列函数是偶函数且在(－∞，0)上为减函数的是( )． A ．y ＝x 13 B ．y ＝x 2C ．y ＝x 3D ．y ＝x －2解析：函数y ＝x 13和y ＝x 3是奇函数，排除A ，C ；函数y ＝x 2和y ＝x －2都是偶函数，由幂函数的性质可知，y ＝x－2在(－∞，0)上为增函数，函数y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数．答案：B4．下列图像表示具有奇偶性的函数可能是( )．图5解析：图像关于原点或y 轴对称的函数具有奇偶性．A ，D 中的图形关于原点和y 轴均不对称，∴排除A ，D ；C 中的图形虽然关于原点对称，但是过(0，－1)和(0,1)两点，这说明当x ＝0时，y ＝±1，这不符合函数的定义，不是函数的图像，排除C ；B 中图形关于y 轴对称．答案：B5．函数g (x )＝⎩⎨⎧ 12x 2＋1，－12x 2－1，x >0，x <0是( )．A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数解析：先验证函数定义域的对称性，再考察f (－x )是否等于f (x )或－f (x )．当x ＞0时，－x ＜0，于是g (－x )＝－12(－x )2－1＝－⎝⎛⎭⎫12x 2＋1＝－g (x )，当x ＜0时，－x ＞0，于是g (－x )＝12(－x )2＋1＝12x 2＋1＝－⎝⎛⎭⎫－12x 2－1＝－g (x )，综上可知，g (x )是奇函数． 答案：A6．若奇函数f (x )在区间上递增且最小值为5，则f (x )在上为( )． A ．增函数且最小值为－5 B ．增函数且最大值为－5 C ．减函数且最小值为－5D ．减函数且最大值为－5解析：由题意得f (3)＝5.由奇函数在y 轴两侧对称区间内的单调性相同，排除C ，D ；f (x )在上是增函数，则此时最大值是f (－3)＝－f (3)＝－5，排除A.答案：B7．幂函数y ＝x －1和y ＝x ，直线y ＝1和x ＝1将平面直角坐标系第一象限分成八个“卦限”：Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ(如图6所示)，那么幂函数y ＝x －32的图像在第一象限中经过的“卦限”是( )．图6A ．Ⅳ，ⅦB ．Ⅳ，ⅧC ．Ⅲ，ⅧD ．Ⅲ，Ⅶ解析：幂函数y ＝x －32的指数小于0，其图像在第一象限内不过Ⅰ，Ⅱ，Ⅴ，Ⅵ卦限，∵－32＜－1，∴在直线x ＝1的右边，幂函数y ＝x －32的图像在y ＝x －1的下边，即过Ⅲ，Ⅶ卦限． 答案：D8．设函数y ＝f (x )是奇函数．若f (－2)＋f (－1)－3＝f (1)＋f (2)＋3，则f (1)＋f (2)＝__________. 解析：∵函数y ＝f (x )是奇函数，∴f (－2)＝－f (2)，f (－1)＝－f (1)． ∴－f (2)－f (1)－3＝f (1)＋f (2)＋3.∴2＝－6.∴f (1)＋f (2)＝－3. 答案：－3拓展提升怎样判断分段函数的奇偶性？探究：理解分段函数与函数奇偶性的含义，通常利用定义法判断分段函数的奇偶性．在函数定义域内，对自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数叫作分段函数．分段函数不是几个函数，而是一个函数．因此其判断方法也是先考察函数的定义域是否关于原点对称，然后判断f (－x )与f (x )的关系．首先要特别注意x 与－x 的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，f (x )与f (－x )对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较．例如：判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x (x －1)，－x (x ＋1)， x ≥0，x <0的奇偶性．解：定义域是(－∞，0]∪(0，＋∞)＝R .当x ＞0时，有f (x )＝x (x －1)，－x ＜0，∴f (－x )＝－(－x )(－x ＋1)＝－x (x －1)＝－f (x )．当x ＜0时，f (x )＝－x (x ＋1)，－x ＞0，∴f (－x )＝－x (－x －1)＝x (x ＋1)＝－f (x )．当x ＝0时，f (0)＝0，f (－0)＝0＝－f (0)．综上所得，对x ∈R ，总有f (－x )＝－f (x )成立．∴f (x )是奇函数．课堂小结1．幂函数的概念．2．函数的奇偶性．作业习题2—5 A 组1,2,3.设计感想幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了二次函数之后的又一类基本的初等函数．学生已经有了学习二次函数的图像和性质的学习经历，幂函数概念的引入以及图像和性质的研究便水到渠成．因此，在本节教学设计过程中，引入幂函数的概念之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学习．备课资料函数对称性的探究函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础．函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美．本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质．一、函数自身的对称性探究定理1.函数y ＝f (x )的图像关于点A (a ，b )对称的充要条件是f (x )＋f (2a －x )＝2b .证明：(必要性)设点P (x ，y )是y ＝f (x )图像上任一点，∵点P (x ，y )关于点A (a ，b )的对称点P ′(2a －x,2b －y )也在y ＝f (x )图像上，∴2b －y ＝f (2a －x )，即y＋f(2a－x)＝2b.故f(x)＋f(2a－x)＝2b，必要性得证．(充分性)设点P(x，y)是y＝f(x)图像上任一点，则y＝f(x)．∵f(x)＋f(2a－x)＝2b，∴2b－f(x)＝f(2a－x)，即2b－y＝f(2a－x)．故点P′(2a－x,2b－y)也在y＝f(x)图像上，又点P与点P′关于点A(a，b)对称，充分性得证．推论：函数y＝f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f(x)＋f(－x)＝0.定理2.函数y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称的充要条件是f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a －x)．(证明留给读者)推论：函数y＝f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是f(x)＝f(－x)．定理3.①若函数y＝f(x)图像同时关于点A(a，c)和点B(b，c)成中心对称(a≠b)，则y＝f(x)是周期函数，且2|a－b|是其一个周期．②若函数y＝f(x)图像同时关于直线x＝a和直线x＝b成轴对称(a≠b)，则y＝f(x)是周期函数，且2|a－b|是其一个周期．③若函数y＝f(x)图像既关于点A(a，c)成中心对称又关于直线x＝b成轴对称(a≠b)，则y ＝f(x)是周期函数，且4|a－b|是其一个周期．①②的证明留给读者，以下给出③的证明：∵函数y＝f(x)图像关于点A(a，c)成中心对称，∴f(x)＋f(2a－x)＝2c，用2b－x代x，得f(2b－x)＋f＝2c.(*)又∵函数y＝f(x)图像关于直线x＝b成轴对称，∴f(2b－x)＝f(x)，代入(*)，得f(x)＝2c－f，(**)用2(a－b)＋x代x，得f＝2c－f，代入(**)，得f(x)＝f，故y＝f(x)是周期函数，且4|a－b|是其一个周期．二、不同函数对称性的探究定理4.函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图像关于点A(a，b)成中心对称．定理5.①函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图像关于直线x＝a成轴对称．②函数y＝f(x)与a－x＝f(a－y)的图像关于直线x＋y＝a成轴对称．③函数y＝f(x)与x－a＝f(y＋a)的图像关于直线x－y＝a成轴对称．定理4与定理5中①②的证明留给读者，现证定理5中的③.设点P(x0，y0)是y＝f(x)图像上任一点，则y0＝f(x0)．记点P( x，y)关于直线x－y＝a的轴对称点为P′(x1，y1)，则x1＝a＋y0，y1＝x0－a.∴x 0＝a ＋y 1，y 0＝x 1－a ，代入y 0＝f (x 0)之中，得x 1－a ＝f (a ＋y 1)，∴点P ′(x 1，y 1)在函数x －a ＝f (y ＋a )的图像上．同理可证：函数x －a ＝f (y ＋a )的图像上任一点关于直线x －y ＝a 的轴对称点也在函数y ＝f (x )的图像上．故定理5中的③成立．推论：函数y ＝f (x )的图像与x ＝f (y )的图像关于直线x ＝y 成轴对称．三、函数对称性应用举例例1 定义在R 上的非常数函数f (x )满足：f (10＋x )为偶函数，且f (5－x )＝f (5＋x )，则f (x )一定是( )．A ．偶函数，也是周期函数B ．偶函数，但不是周期函数C ．奇函数，也是周期函数D ．奇函数，但不是周期函数 解析：∵f (10＋x )为偶函数，∴f (10＋x )＝f (10－x )．∴f (x )有两条对称轴x ＝5与x ＝10.因此f (x )是以10为其一个周期的周期函数．∴x ＝0即y 轴也是f (x )的对称轴．因此f (x )还是一个偶函数．答案：A例2 设f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (1＋x )＝f (1－x )，当－1≤x ≤0时，f (x )＝－12x ，则f (8.6)＝__________.解析：∵f (x )是定义在R 上的偶函数，∴x ＝0是y ＝f (x )的对称轴；又∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴x ＝1也是y ＝f (x )的对称轴．故y ＝f (x )是以2为周期的周期函数．∴f (8.6)＝f (8＋0.6)＝f (0.6)＝f (－0.6)＝0.3.答案：0.3例3 函数y ＝f (x )的图像为C ，而C 关于直线x ＝1对称的图像为C 1，将C 1向左平移1个单位后得到的图像为C 2，则C 2所对应的函数为( )．A ．y ＝f (－x )B ．y ＝f (1－x )C ．y ＝f (2－x )D ．y ＝f (3－x )解析：C关于直线x＝1对称的图像为C1的解析式为y＝f(2－x)，C1向左平移1个单位后得到的图像为C2的解析式为y＝f(2－(x＋1))，即y＝f(1－x)．答案：B(设计者方诚心)。

简单的幂函数§4.1二次函数的性质教学时间 : 2课时教学目标: 1、掌握幂函数的概念，熟练计算幂函数的定义域2、掌握幂函数的图象和性质3、自己正确运用幂函数的图象和性质，解决比大小问题教学重点:1、幂函数的概念2、幂函数的图象和性质教学难点:1、幂函数的图象和性质2、正确运用幂函数的图象和性质，解决比大小问题教学方法:讲授法探讨法教具准备:教学过程：（一）复习回顾1、初中已经学过函数：y=x ，和，这些函数都是幂函数。

（二）新课讲解1．幂函数的概念定义：形如的函数叫做幂函数。

注意：函数，，都不是幂函数。

2．幂函数的定义域：幂函数的定义域就是使幂函数有意义的实数x的集合。

例1 求下列幂函数的定义域，，，，，解：定义域是R的定义域是R的定义域是的定义域是的定义域是的定义域是说明：如果幂函数的指数是常数，则幂函数的定义域较好求，若是给出字母指数，应分四种情况讨论的定义域。

（1）当指数n是正整数时，的定义域是R。

（2）当指数n是正分数时，设（p、q是互质的正整数，q >1），则如果q是奇数，的定义域是R如果q是偶数，的定义域是（3）当指数n是负整数时，设n=-k，则，显然，的定义域是（4）当指数n是负分数时，设（p、q是互质的正整数，q>1）则。

如果q 是奇数，的定义域是如果q 是偶数，的定义域是。

3．幂函数的图象（1）描绘幂函数的图象：依幂函数的定义域先列出对应值表，再用描点法作图，列出对应值是描点法的关键。

例如，画出函数，，，，的图象，其中，，及。

见课本P46。

定义域为（图1）x …-3 -2 -1 1 2 3 …… 1 4 4 1 …定义域为（图2）x … 1 4 …… 4 3 2 1 …4．幂函数的性质例2在同一坐标系内作业幂函数，，，，的图象，（见书P48图1-19），由图象可知当n>0时，幂函数有下列性质：（1）图象都通过点（0，0），（1，1）；（2）在第一象限内，函数值y随x的增大而增大。

5.简单的幂函数一、教材的地位和作用：《简单的幂函数》北师大版必修1第2章第5节的内容。

是对学生学习了正、反比例函数和二次函数2xy 及其他们的图像和性质的基础上来研究的，是这些特殊函数等在解析式的形式上共有特征的推广，本节突出幂函数从特殊到一般的推广，同时要研究函数的另外一个重要的性质奇偶性，是继函数单调性之后的又一重要的性质，是函数性质的延续和深化，通过本节课的学习，学生将建立幂函数这一函数模型，并能用系统的眼光看待以前已经接触过的函数，因而本节课更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合提升，为后续学习做了铺垫。

二、教学目标：（1）知识与技能目标：①理解幂函数的概念②通过几个幂函数的图象，理解函数奇偶性的概念③会利用定义判定、证明简单函数的奇偶性，了解利用奇偶性画函数图像的方法（2）过程与方法目标：①通过幂函数解析式共性的观察、培养学生抽象概括和画图与识图能力。

②使学生进一步体会数形结合、转化的思想。

③培养学生从特殊归纳出一般的意识，培养学生利用图像研究函数奇偶性的能力。

（3）情感态度与价值观①通过熟悉的例子消除陌生感引出幂函数的概念，从而引起学生注意，激发学生的学习兴趣。

②利用多媒体，了解幂函数图象的变化规律，使学生认识到现代技术在数学认知过程中的作用，从而激发学生的学习欲望。

三、教学重难点教学重点：幂函数的概念、奇偶函数的概念，突出待定系数法教学难点：简单幂函数的概念；定义法判断函数的奇偶性四、教法学法与教具本节主要采用“发现法”教学。

通过观察函数解析式及函数图像，借助多媒体全方位的审视，由特殊到一般、直观到抽象进行教学，同时也解决时间上的矛盾,突破了难点。

辅助以启发式、演示法教学，通过优化组合，以期达到最佳教学效果。

教具：多媒体五、教学过程教学程序主要分为五个环节：1、温故知新，引入新课:x y =,xy 1=,2x y = 开门见山 问题：这三个函数解析式从结构上看有什么共同的特点吗？这时，学生观察可能有些困难，教师提示，可以改变形式，上述函数式变成：1211y x y x y x x-====，，，（这个教师可直接给出，说明一下，在后面指数函数将详尽讲解）设计意图： 就近区域的理论，可以使学生利用已有知识与经验，同化和索引出当前学习的新知识，这样获取的知识，易保持，且易于迁移到陌生的问题情境中。