浙江省杭州地区七校2018-2019学年高一下学期期中联考数学试题(精编含解析)

浙江省杭州市西湖区杭州学军中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在平面直角坐标系中，角α以x 轴非负半轴为始边，终边在射线2(0)y x x =≥上，则tan α的值是（ ） A. 2 B. -2C.12D. 12-【答案】A【解析】由题意，在平面直角坐标系中，角α以x 轴非负半轴为始边，终边在射线2(0)y x x =≥上，设终边上的点(1,2)P ，根据三角函数的定义可得2tan 21α==，故选A ． 2.已知等比数列{}n a 的各项均为正，35a ，2a ，43a 成等差数列，则数列{}n a 的公比是（ ） A.12B. 2C.13D. -2【答案】C【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ()0q >，因为35a ，2a ，43a 成等差数列，则342253a a a =+，即31121253q a q a a q =+，可得23520q q +-=，解答13q =，故选C ． 3.函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若将函数()f x 的图像向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图像，则()g x 的解析式为（ ） A. π()sin 46g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B. π()sin 43g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C. π()sin 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. ()sin 2g x x =【答案】D【解析】∵函数()π3f x sin x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（ω＞0）的图象中，最小正周期为π，∴即周期T 2ππω==，则ω＝2，则f （x ）＝sin （2x π3+）， 将函数f （x ）的图象向右平移π6个单位，得到函数g （x ）， 则g （x ）＝sin[2（x π6-）π3+]＝sin （2x ππ33-+）＝sin2x ，故选：D ．4.已知数列{}n a 满足11a =，()*12n n a a n +-≥∈N ，则（ ） A. 12n n a -≥B. 21n a n ≥+C. 12n n S -≥ D. 2n S n ≥【答案】D【解析】∵()12*n n a a n +-≥∈N ， ∴()122n n a a n --≥≥，∴122n n a a ---≥，232n n a a ---≥，……，322a a -≥，212a a -≥， 将以上1n -个式子两边分别相加可得12(1)n a a n -≥-，∴()212n a n n ≥-≥．又11a =满足上式，∴21(*)n a n n ≥-∈N ． 故选项A ，B 不正确． 又212135(21)n n S a a a n n =+++≥++++-=，故选项C 不正确，选项D 正确． 故选D ．5.已知1cos cos 2αβ+=，1sin sin 3αβ+=，则cos()αβ-=（ ） A. 5972-B. 5972C. 1336D. 1336-【答案】A【解析】2221(cos cos )cos 2cos cos cos 4αβααββ+=++=, 2221(sin sin )sin 2sin sin sin 9αβααββ+=++=, 两式相加得：1322cos()36αβ+-=，则59cos()72αβ-=- ，选A. 6.已知ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若满足2b =，60B =的三角形有两解，则边长a 的取值范围是（ ）A. 2a <<B. 2a <<C.2a << D.122a << 【答案】B【解析】由题意得，当ABC ∆有两解时，则满足sin a B b a <<，即sin 602a a <<，解得2a <<B ． 7.已知π1sin 33α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A. 79-B.79C. 79±D. 29-【答案】A【解析】由题意可得ππππ1cos()cos(())cos()32663ααα-=-+=+=， ππππsin(2)sin[(2)]cos(2)6233ααα-=-+=+2ππ7cos 2()2cos ()1669αα=+=+-=-，选A.8.已知数列{}n a 满足712,83,8n n a n n a a n -⎧⎛⎫-+>⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≤⎩，若对于任意*n ∈N 都有1n n a a +>，则实数a 的取值范围是（ ）A. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1(,1)2D. 11,32⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】由题意，对于任意的*n ∈N 都有1n n a a +>，所以数列{}n a 为单调递减数列， 由8n ≤时，()7n f n a -=，根据指数函数的性质，可知1013a a <<≠且， ①当113a <<时，8n >时，1()23n a a n =-+单调递减，而8n ≤时，7n n a a -=单调递减， 所以871()923a a --⨯+≤，解得12a ≥，所以112a <<；②当103a <<时，8n >时，1()23n a a n =-+单调递增，不符合题意（舍去）．综上可知，实数a 的取值范围是112a <<，故选C ． 9.在ABC △内有任意三点不共线的2016个点，加上,,A B C 三个顶点，共2019个点，把这2019个点连线形成互不重叠的小三角形，则一共可以形成小三角形的个数为（ ） A. 4033 B. 4031 C. 4029 D. 4027【答案】A【解析】由题意，三角形的内角和为180， 又以内部每个点为顶点的角的和为一个周角是360，则2016个点的角的总和2016360S =⨯，加上三角形原来的内角和180， 所以所有三角形的内角和1802016360180(120162)S '=+⨯=+⨯， 所以三角形的个数为1201624033+⨯=， 故选A ．10.已知O 为锐角ABC △的外接圆的圆心，tan 2A =，若c o s c o s2s i n s i n B CAB AC mAO C B+=，则m 的值为（ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】如图所示，取AB中点,D AC 的中点E ，连接,OD OE ，则,OD AB OE AC ⊥⊥；所以22cos ,22ABAC AB AO AB AO BAO AC AO ⋅=∠=⋅=，所以由cos cos 2sin sin B CAB AC mAO C B+=， 设ABC ∆的外接圆半径为R ，则AO R =，由正弦定理得2sin sin AB AC R CB==，所以2sin ,2sin AB R C AC R B ==，且AO R =，代入可得2222cos sin 2cos sin 2B C R C B R mR ⋅+⋅=，的所以sin cos cos sin sin()sin C B C B B C A m +=+==，又因为tan 2A =，可得sin 5A =，即5m =，故选B ．二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11.已知ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若4a =，2c =，60B =，则b =___，C =_____．【答案】 (1). (2). 30【解析】在ABC ∆中，因为4a =，2c =，60B =，由余弦定理可得222222cos 42242cos6012b a c ac B =+-=+-⨯⨯=，所以b = 又由正弦定理可得sin sin b cB C =，即sin 1sin 2c B C b ===， 又由c b <，所以C B <，所以30C =．12.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，公差为d ，若4524a a +=，648S =.则d =____，n S =_____．【答案】 (1). 4 (2). ()22n n -【解析】由题意，因为4524a a +=，所以12724a d +=， 又由648S =，所以1656482a d ⨯+=，即12516a d +=， 联立方程组，解得12,4a d =-=， 所以1(1)(1)(2)42(2)22n n n n n na d n n S n --=+=⨯-+⨯=-．13.已知π0π2αβ<<<<，4tan 3α=，cos()10βα-=，则sin α=_____，cos β=________． 【答案】 (1).45(2). - 【解析】因为π02α<<，且4tan 3α=，所以43sin ,cos 55αα==， 由π0π2αβ<<<<，则0πβα<-<，又因为cos()10βα-=，则sin()10βα-=， 所以cos cos[()]cos()cos sin()sin ββααβααβαα=-+=---341051052=-⨯=-． 14.已知数列{}n a ，{}n b 满足11a =，且n a ，1n a +是函数2()2nn f x x b x =-+的两个零点，则5a =___，10b =____． 【答案】 (1). 4 (2). 64【解析】由题意可知n a ，1n a +是函数2()2nn f x x b x =-+的两个零点，则12n n n a a +=⋅，所以1122n n n a a +++=⋅，两式相除可得22n na a +=， 所以135,,,a a a 成等比数列，246,,,a a a 成等比数列，又由11a =，则22a =，所以2251124a a q ==⨯=，441022232a a q ==⨯=，551111232a a q ==⨯=，所以101011323264b a a =+=+=．15.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若()223578log 5a a a a a =，则19a a =_____． 【答案】4【解析】根据等比数列的性质得()()52235782525log log 5log5a a a a a a a ===，52a =，故2219524a a a ===.16.若一个三角形的三边为连续自然数，且最大角是最小角的两倍，则此三角形的面积为_．【解析】设三角形三边是连续的三个自然数1,,1n n n -+，三个角分别为,3π,2ααα-，由正弦定理可得111sin sin 22sin cos n n n αααα-++==，所以1cos 2(1)n n α+=-，再由余弦定理可得222221(1)(1)2(1)cos (1)2(1)2(1)n n n n n n n n n n n α+-=++-+=++-+⋅⋅-，化简可得250n n -=，解得5n =或0n =（舍去）， 所以5n =，故三角形的三边边长分别为4,5,6，又由余弦定理可得的2225643cos 2564α+-==⨯⨯，所以sin α=，所以三角形的面积为1156sin 5622S α=⨯⨯=⨯⨯=． 17.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，设ABC △的面积为S ，若22232a b c =+，则222Sb c+的最大值为_____．【答案】24【解析】由题得2222222222333223()6cos a b b c cb c b c a bc A =-+-∴+=+-=221sin 12tan 26cos 12bc AS A b c bc A ∴==+由题得2222222222222223,cos 322663b c b c b c b c a b c a A bc bc bc bc ++-++-+=∴===≥=所以tan 2A =≤=,当且仅当b =时取等号. 所以222S b c +的最大值为24,故填24三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18.已知函数π()22sin cos 3f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在[]0,π上单调递增区间.解：（1）由题意，函数3()cos 2sin 2sin 222f x x x x =+-=1πsin 22sin 223x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 所以()f x 的最小正周期为2π2πT ==． （2）令222πππππ232k x k -≤+≤+，k ∈Z ，得512πππ21πk x k -≤≤+，k ∈Z ， 由[0,π]x ∈，得()f x 在[0,]π上单调递增区间为π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7π,π12⎡⎤⎢⎥⎣⎦．19.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，已知a =223b c bc +=+.（1）求角A 的大小； （2）求sin b C ⋅的最大值.解：(1)由已知223a b c bc =+=+，得222231222b c a bc a bc bc +-+-==.即1πcos 23A A =⇒=. (2)由正弦定理，得sin 2sin sin ab B B A==， πsin 2sin sin 2sin sin 3b C C B C C ⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭.1sin 2sin sin 2b C C C C ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭211π1sin cos cos2sin 222262C C C C C C ⎛⎫==-+=-+ ⎪⎝⎭， ∴当π3C =时，sin b C 取得最大值32. 20.已知n S 为等差数列{}n a 前n 项和，42a =，21252S =-.（1）求n a ；（2）设12n n T a a a =+++，求n T .解：（1）由4132a a d =+=，及21121210252S a d =+=-， 联立解得18a =，2d =-，所以1(1)102n a n d a n ==--+．（2）由（1）102n a n =-，可得当15n ≤≤时，0n a ≥，当6n ≥时，0n a <， 所以当15n ≤≤时，1229n n n a a a T S n n =++=+=-，当6n ≥时，12567252940()()n n n a a a a S a n a T S n =+++-++=-+=-++，所以229,15940,6n n n n T n n n ⎧-≤≤=⎨-+≥⎩．21.如图，在ABC △中，π3B =，2BC =，点D 在边AB 上，AD DC =，DE AC ⊥，E 为垂足.（1）若BCD CD 的长；（2）若DE =，求角A 的大小.解：(1)由已知得S △BCD ＝12BC ·BD ·sin B BC ＝2，sin B BD ＝23，cos B ＝12．在△BCD 中，由余弦定理，得CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos B ＝22＋23⎛⎫⎪⎝⎭2－2×2×23×12＝289． ∴CD ．(2)∵CD ＝AD＝sin DE A =，在△BCD 中，由正弦定理，得sin sin BC CDBDC B =∠，又∠BDC ＝2A，得2sin2A =cos A，所以A ＝4π．22.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，14a =且4n n a S λ=+.其中λ为常数. （1）求λ的值及数列{}n a 的通项公式； （2）记22111log log n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式112(1)(25)02n n n n n T k n --⋅---⋅≤+对任意*n N ∈恒成立 ，求实数k 的取值范围.解：（1）由题意知4n n a S λ=+中，令1n =，得114a a λ=+，又14a =，解得2λ=， 即24n n a S =+，所以1124n n a S ++=+， 两式相减得1122n n n a a a ++-=，整理得12n na a +=， 数列{}n a 是以14a =，公比为2的等比数列，所以()1*2n n a n +=∈N ． （2）由（1）可得12211111log log (1)(2)12nn n a a b n n n n +=⋅==-++++， 所以111111233412n T n n =-+-++-++11222(2)n n n =-=++， 由112(1)(25)02n n n n n T k n --⋅---⋅≤+对任意n ∈*N 恒成立，得1(1)(25)2n nn k ---≥对任意n ∈*N 恒成立， 记1(1)(25)()2n nn f n ---=，n ∈*N ， （1）当n 为偶数时，52()2nnf n -=，高一下学期期中考试数学试题11 若4n ≥，则()0f n <，又1(2)4f =，所以max 1()(2)4f n f ==. （2）当n 为奇数时，25()2n n f n -=，则2196(2)()2n n f n f n +-+-=， 若5n ≥，n 为奇数，则(2)()f n f n +≤，即(5)(7)(9)f f f ≥≥≥，若3n ≤，n 为奇数，则(2)()f n f n +≥，即(5)(3)(1)f f f ≥≥，所以max 5()(5)32f n f ==， 综合（1）（2）知max 1()(2)4f n f ==， 所以实数k 的取值范围是14k ≥.。

2019-2020学年第二学期期中杭州地区七校联考高一年级数学学科模拟试题一．选择题(共12小题，每小题4分，共48分)1．330sin 的值为（ ） A ．21-B ．21C ．23-D ．232．下列四式不能化简为AD 的是（ ）A ．；）＋＋（BC CD AB B ．）；＋）＋（＋（CM BC MB AD C ．；－＋BM AD MB D ．；＋－CD OA OC3． 把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是( ) A ．sin(2)3y x π=-，x R ∈ B.sin()26x y π=+，x R ∈ C.sin(2)3y x π=+，x R ∈ D.sin(2)32y x π=+，x R ∈ 4．已知)sin ,(cos αα=a ，)sin ,(cos ββ=b ，且()0cos =-βα，=+b a （ ） A ．2 B ．22C ．2D ．3 5.已知α是第二象限角，其终边上一点P (x ，5)，且cos α＝24x ，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝( )． A ．－104 B ．－64 C ．64 D ．1046．已知船A 在灯塔C 北偏东85且到C 的距离为km 2，船B 在灯塔C 西偏北25且到C 的距离为km 3，则A ，B 两船的距离为( )A ．km 32B ．km 23 C.．km 15 D ．km 137．函数)(x f y =的图象如图所示，则)(x f y =的解析式为( )A ．22sin -=x yB ．13cos 2-=x yC ．1)52sin(--=πx y D ． )52sin(1π--=x y 8．在△ABC 中，若22tan tan b a B A =，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等腰或直角三角形 C ．不能确定 D ．等腰三角形 9．==-αααα2cos 则,55cos sin 是第一象限角，已知( ) A. 53-B. 53±C.54D.54± 10．已知ABC ∆的重心为G ，内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，若033=++GC c GB b GA a ，则角A 为( ) A ．4π B ．6π C ．3π D ．2π 11． 在△ABC中，,4(0)a b m m ==>，如果三角形有解，则A 的取值范围是（ ）A ．060A ︒<≤︒B ．030A ︒<<︒C ．090A ︒<<︒D ．3060A ︒<<︒12. 如图，O 为△ABC 的外心，BAC AC AB ∠==,2,4为钝角，M 是边BC 的中点，则AO AM ⋅的值( ) A ． 4 B.．6 C ．7 D ． 5二．填空题（本大题共6小题，单空题每小题4分,多空题每小题6分每空3分，共28分，将答案填在答题卷的相应位置）13．一扇形的周长等于4cm ，面积等于12cm ，则该扇形的半径为 ，圆心角第12题图为 ．14．化简()()=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛---+αππααπαπsin 32sin cos )2cos(3 ， =++ 35tan 25tan 335tan 25tan ．15．已知向量a 与b 的夹角为120°,且|a |=2, |b |=5,则(2a -b )·a = 16．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a+b+c=20，三角形面积为310， 且角60=A ，则边a = ________17．在ABC ∆中，90=C ，3=CB ,点M 是 AB 上的动点（包含端点），则CB MC ⋅的取值范围为 ． 18．函数π()3sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，则如下结论中不正确的序号是_________________ ①、图象C 关于直线11π12x =对称； ②、图象C 关于点2π03⎛⎫⎪⎝⎭，对称； ③、函数()f x 在区间π5π1212⎛⎫-⎪⎝⎭，内是增函数； ④、由3sin 2y x =的图像向右平移π3个单位长度可以得到图象C三．解答题（本大题有4小题，前2题每题10分，后2题每题12分，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.）19．（本题10分）已知a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a =（1，－2）.（1）若|c |52=，且a c //，求c 的坐标；（2）若|b |=1，且a b +与2a b -垂直，求a 与b 的夹角θ的余弦值.20．（本题10分）已知A,B,C 的坐标分别为)sin 3,cos 3(),4,0(),0,4(ααC B A . (1)若)0,(πα-∈且||||BC AC =，求α的值；(2)若0=⋅BC AC ，求αααtan 12sin sin 22++21．（本题12分）已知函数1cos sin 3cos )(2+-=x x x x f ．（1）求函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间； （2）若65)(=θf ，)3π23π(，∈θ，求θ2sin 的值．22．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若()()()C A c B A b a sin sin sin sin -=-+. (1)求角B 的大小；(2)设BC 中点为D ，且3=AD ，求c a 2+的最大值．2019-2020学年第二学期期中杭州地区七校联考模拟高一年级数学学科参考答案一．选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ACCCBDDBABAD二．填空题13． 1 ， 2 14． 1-，315． 13 16． 717． []09，- 18． ④ 三．解答题19. 解：（1）设),(y x c =，由a c //和52||=c 可得：⎩⎨⎧2212020y x x y ⋅+⋅=+= ， ……………….. 2分 ∴ ⎩⎨⎧24x y =-= 或 ⎩⎨⎧24x y ==- ………………..4分∴(2,4)c =-，或(2,4)c =- ………………… 5分 （2）()(2),a b a b +⊥-∴()(2)0a b a b +⋅-= ……… 7分即2220,a a b b -⋅-=∴22||2||0a a b b -⋅-=，∴ 520a b -⋅-=，所以3a b ⋅=， ………….8分 ∴35cos 5||||a b a b θ⋅==⋅ …………10分 20.解：（1）由已知：)sin 3,4cos 3αα-=（AC ，)4sin 3,cos 3(-=ααBC …………..1分BCAC =()()()()4sin 3cos 3sin 34cos 32222--+=+∴αααα化简得：1tan ,cos sin ==ααα即………………..3分 )0,(πα-∈ 43πα-=∴……………………5分 （2）0=⋅BC AC 0)4sin 3(sin 3)4sin 3(cos 3=-+-∴αααα 43cos sin =+αα ………….7分 两边平方得：167cos sin 2-=αα ………………..8分 又αααtan 12sin sin 22++=ααααααcos cos sin cos sin 22sin 2++=167cos sin 2-=αα………………….10分 21. 解：（1）1cos sin 3cos )(2+-=x x x x f12sin 2322co 1+-+=x x s ....................2分 23)32cos(++=πx ． ……………..4分 函数最小正周期T=π ……………..5分由ππππk x k 2322≤+≤-，得632ππππ-≤≤-k x k （Z k ∈）． ∴函数)(x f 的单调递增区间是]6,32[ππππ--k k （Z k ∈）．…………………………………………….7分（2）∵65)(=θf ，∴6523)32cos(=++πx ，32)32cos(-=+πθ．∵⎪⎭⎫⎝⎛∈323ππθ，，∴)35,(32πππθ∈+，35)32(cos 1)32(sin 2-=+--=+πθπθ． ………………….9分 ∴)32cos(23)32sin(21)332sin(2sin πθπθππθθ+-+=-+=6532-=…………………………………12分 22．解：（1）()()()C A c B A b a sin sin sin sin -=-+ 所以由正弦定理可得()()()c a c b a b a -=-+ ， 即ac b c a =-+222，…………………2分由余弦定理可知212cos 222=-+=ac b c a B ，…………………………4分 因为()π,0∈B ，所以3π=B …………………………5分(2)设θ=∠BAD ，则在ABD ∆中， 由3π=B 可知⎪⎭⎫ ⎝⎛∈32,0πθ， 由正弦定理及3=AD 可得23sin32sin sin ==⎪⎭⎫⎝⎛-=πθπθADAB BD， (7)分所以θsin 2=BD ，θθθπsin cos 332sin 2+=⎪⎭⎫⎝⎛-=AB ，…………………………8分所以⎪⎭⎫⎝⎛+=+=+6sin 34sin 6cos 322πθθθc a ，…………………………10分 由⎪⎭⎫ ⎝⎛∈32,0πθ可知⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+65,66πππθ，所以当26ππθ=+， 即3πθ=时，c a 2+的最大值为34.…………………………12分。

杭州市2018-2019学年高一下期末考试数学试题一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1.设集合{1,2,3,4,5},{1,2,5}U A ==，则U C A =（ ） A. {1,5}B. {3,4}C. {3,5}D.{1,2,3,4,5}【答案】B 【解析】 【分析】补集：{}|,U C A x x A x U =∈∉且【详解】因为{}{}1,2,3,4,5,1,2,5U A ==，所以{}3,4U C A =,选B.【点睛】本题主要考查了集合的运算，需要掌握交集、并集、补集的运算。

属于基础题。

2.设函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2x f x =，则()2f -=（ ） A. －4 B.14C. 14-D. 4【答案】A 【解析】 【分析】由奇函数的性质可得: ()()f x f x -=-即可求出()2f -【详解】因为()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以()()()()22f x f x f f -=-⇒-=- 又因为当0x >时，()2xf x =，所以()2224f ==，所以()()224f f -=-=-，选A.【点睛】本题主要考查了函数的性质中的奇偶性。

其中奇函数主要有以下几点性质：1、图形关于原点对称。

2、在定义域上满足()()f x f x -=-。

3、若定义域包含0，一定有()00f =。

3.函数1()2xf x x=-的零点所在的区间是（ ）A. 1(0,)2B. 1(,1)2C. 3(1,)2D. 3(,2)2【答案】B 【解析】()120,12102f f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故零点在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.4.已知||1a =，||6b =，()2a b a ⋅-=，则向量a 与向量b 的夹角是（ ） A.6πB.4π C.3π D.2π 【答案】C 【解析】试题分析：由条件得22a b a ⋅-=，所以223cos 16cos a b a a b αα⋅=+==⋅=⨯⨯，所以1cos 2α=，即3πα=． 考点：向量的数量积运算．5.若1cos 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A. －13B.13C.3D. 3-【答案】B 【解析】 【分析】首先观察两个角之间的关系：632πππαα-++=，因此623a πππα⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭两边同时取余弦值即可。

浙江省杭州八校联盟2018-2019学年高一数学下学期期中联考试题（含解析）考生须知：1．本卷共4 页满分120分，考试时间100分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。

3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题纸。

一、选择题（第小题5分，共40分）1.设点O是正方形ABCD的中心，则下列结论错误的是（）A. AO OC= B. //BO DB C. AB与CD共线 D.=AO BO【答案】D【解析】【分析】由正方形的基本性质和向量的基本性质可得答案.【详解】解：如图，AO与CO方向相同，长度相等，∴A正确；B,O,D三点在一条直线上，//∴，B正确；BO DBAB CD，AB∴与CD共线，C正确；∴≠，D错误.AO与B O方向不同，BAO O故选D.【点睛】本题考查相等向量、共线向量.熟练掌握相等向量和共线向量的定义是解决本题的关键.2.已知向量(,),(,)1102a b ==，且(,)28a b λμ+=，则λμ-=（ ） A. 5 B. -5C. 1D. -1【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的坐标运算，得到方程组求出结果即可. 【详解】解：(,),(,)a b ==1102，(,)a b λμλλμ∴+=+2(,)a b λμ+=28，(,)λλμ∴+2=(2,8)，,λμ∴==231λμ∴-=-故选D.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算.3.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ，若,602A a b c ==+，则ABC ∆一定是（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由,602A a b c ==+，再根据余弦定理可得a bc =2，即可得出ABC ∆是等边三角形. 【详解】解: 在ABC ∆中，,A a b c ==+602()b c b bc c a ∴+=++=222224化简得：b c a a bc +-=-222232cos b c a bc A +-=2222 cos a bc bc A bc ∴-==2322a bc ∴=2()b c ∴-=20，则b c =∴a b c ==，ABC ∆是等边三角形.故选C.【点睛】本题考查了余弦定理、等边三角形的判定方法.熟练掌握正弦定理和余弦定理是解此类题目的关键. 4.sincos sincos2212121212ππππ-+=（ ）B.14- C. 14-D.34【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数中二倍角公式化简即可求得答案.【详解】解：2211sin cos sincoscossin 121212124662ππππππ--+=-+=故选B.【点睛】本题考查三角函数中二倍角公式的运用.熟练掌握二倍角公式是解题的关键.5.在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若4cos 5A =，且边5,c a ==b =（ ）A. 3或5B. 3C. 2或5D. 5【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理即可求出b 的值. 【详解】解：4cos 5A =，由余弦定理得241025255b b =+-⋅⋅⋅，即28150b b -+=，解得3b =或5b =.故选A.【点睛】本题考查余弦定理的运用.熟练掌握余弦定理是解题的关键.6.已知正六边形12345OPP P P P 的边长为1，则(,,,,)112345i OP OP i ⋅=的最大值是（ ）A. 1B.32D. 2【答案】B 【解析】 【分析】依题意得，分别计算出当1,2,3,4,5i =时i OP OP ⋅1的值，比较即可得出答案. 【详解】解：如图，当1,2,3,4,5i =时，(,,,,)112345i OP OP i ⋅=的值相应是,,,,3111022-，故最大值为32.【点睛】本题考查正多边形的性质、余弦定理和向量数量积的运算等知识.7.当x 0,2π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()sin 2sin 44f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域是（ ）A. [B. [-C. [2]D. []1,2-【答案】C 【解析】 【分析】由题通过三角恒等变换得()sin()f x x π=-223，根据x 0,2π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求出ππ2π2[,]333x -∈-，即可得出()f x的值域.【详解】解：由题意得，()sin sin()cos()244f x x x x ππ=---sin sin()sin sin()22222223x x x x x ππ=-==-. 当[0,]2x π∈时，ππ2π2[,]333x -∈-∴当0x =时，()f x 取最小值为，所以值域为[2]【点睛】本题考查三角恒等变换和正弦函数的定义域和值域.熟练掌握三角恒等变换是解题的关键.8.对于集合12,,},{n aa a ⋯和常数0a ，定义：()()()22210200cos cos cos n a a a a a a p n-+-++-=为集合12,,},{n a a a ⋯相对0a 的“余弦方差”，则集合240,,33ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭相对0a 的“余弦方差”为（ ） B.12C.14D. 与0a 有关的一个值【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，cos (cos )(cos )a a a a a p +-+-=222000001122223，利用诱导公式和两角和与差的正弦公式对其化简；将2200sin cos 1a a +=代入化简后得到的结果，即可求出答案. 【详解】因为cos ()cos ()cos ()222000240333a a a p ππ-+-+-=cos (cos )(cos )222000001122223a a a a a +-++-=cos cos sin cos sin 222220000013131444432a a a a a ++++==故选B.【点睛】本题考查了两角和与差的余弦公式以及诱导公式，难点在于对表达式做合理变形后能够使用三角函数公式对其化简.对于此类题目，应熟记三角函数的各个公式，不要混淆.二、填空题（每小题4分，共28分）9.已知(,),(,)222a b x =-=，若6a b ⋅=，则x =________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据6a b ⋅=，利用平面向量数量积的坐标表示即可求出答案. 【详解】解：(,),(,)a b x =-=222a b x ∴⋅=-24又6a b ⋅=x ∴-=246解得5x =【点睛】本题考查平面向量的坐标表示.已知平面向量的数量积求参数.10.若3cos ,,052παα⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭，则sin 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=_____．【答案】 【解析】 【分析】求出角的正弦函数，然后利用两角和的正弦函数公式求解即可. 【详解】解：由条件得4sin 5α=-，所以sin()sin cos 1432210πααα+-=⋅-=-. 【点睛】本题考查两角差的正弦函数，同角三角函数的基本关系的应用.11.已知()()2,5,10,3A B --，点P 在直线AB 上，且13PA PB =-，则点P 的坐标是_____． 【答案】(1,3) 【解析】 【分析】由题意可知，,,A B P 三点共线，且有13PA PB =-，设出点P 的坐标，利用向量相等的条件建立方程求出点P 的坐标 【详解】解：设(),P x y()()2,5,10,3A B --，点P 在直线AB 上(,)PA x y ∴=---25，(,)PB x y =---103PA PB =-13，则有12(10)315(3)3x x y y ⎧--=--⎪⎪⎨⎪-=---⎪⎩解得13x y =⎧⎨=⎩()1,3P ∴【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，向量相等的条件.解题的关键是由题设条件得出两向量的数乘关系，再利用向量相等的条件得出坐标的方程求出P 的坐标.12.有一长为10m 斜坡，它的倾斜度是75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的斜角改为30°，则坡底要延伸_____m ．【答案】【解析】 【分析】画出图形，利用正弦定理即可求出.【详解】解：如图，在ABC ∆中，设BC xm =，由正弦定理可知10sin 45sin 30x =︒︒10sin 45sin 30x ︒∴==︒【点睛】本题考查了三角函数的简单运用，解答本题的关键是找到边角关系，列出等式求得即可.13.若tan ,tan αβ是方程2620x x ++=的两个实数根，则cos()sin()αβαβ-+=_____．【答案】12- 【解析】 【分析】根据韦达定理求出tan tan ,tan tan 62αβαβ+=-=，利用三角函数和与差的正弦和余弦公式将cos()sin()αβαβ-+展开，分子分母同时除于cos cos αβ，代入即可得出答案.【详解】解：由韦达定理得tan tan ,tan tan 62αβαβ+=-=cos()sin()αβαβ-∴+cos cos sin sin tan tan sin cos cos sin tan tan 112162αβαβαβαβαβαβ+++====-++-.【点睛】本题考查了韦达定理，三角函数两角和与差的正弦、余弦公式.14.在ABC △中，60,4sin 5sin ,A B C S ∠=︒==_____．【答案】18+【解析】 【分析】因为4sin 5sin B C =，由正弦定理可得45AC AB =，所以可设,54AC x AB x ==，根据面积公式可求出x ，继而求出AC 和AB ，利用余弦定理求出BC ，从而求出周长. 【详解】4sin 5sin B C =由正弦定理得45AC AB =. 设,54AC x AB x ==则sin 145602S x x =⋅⋅⋅=2x =， ,AC AB ∴==108. 由余弦定理得2222cos BC AB AC AB BC A =+-⋅⋅∠BC ∴=故此三角形的周长为18+【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理，解题的关键是由面积求出AB 和AC.15.已知点M 是ABC ∆所在平面内的一点，若满足620AM AB AC --=，且ABC ABM S S λ∆∆=，则实数λ的值是______.【答案】3 【解析】 【分析】点M 是ABC ∆所在平面内的一点，若满足620AM AB AC --=，根据向量的概念，运算求解得：2BN NC =，32ABC ABN S S ∆∆=，再根据ABM S ∆与ABN S ∆的关系，求出A S ∆BC 与ABM S ∆之比，得出λ.【详解】解：记2AM AN =AN AB AN AC -+-=2202BN NC ∴=，32ABC ABN S S ∆∆=.又ABM ABN S S ∆∆=12ABC ABM S S ∆∆∴=3，从而有3λ=.【点睛】本题考查了向量的几何运算，根据线段的比值，面积的关系求解.三、解答题（5小题，共52分）16.已知α，β均为锐角，且3sin(),sin()510πααβ-=-=-， （1）求3sin 22πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求cos β的值．【答案】（1）725-（2【解析】 【分析】（1）由题意可得，3sin()sin 5παα-==利用诱导公式和二倍角的余弦公式求出3sin 22πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭即可（2）利用cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+-，即可求出cos β的值．【详解】解: （1）3sin()sin 5παα-==sin()cos sin πααα∴+=-=-=-2372221225（2）cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+-(4351051050=⋅+⋅-=【点睛】本题考查了两角和与差的三角函数，考查角的变换.正确运用公式是解题的关键.17.已知两个非零向量12,e e 不共线，如果12121223,413,24AB e e BC e e CD e e =+=+=-，（1）求证：A ，B ，D 三点共线；（2）若121e e ==，且||13AB =，求向量12,e e 的夹角． 【答案】（1）见解析（2）2π【解析】 【分析】（1）要证明A ，B ，D 三点共线，只需证明,AD AB 共线.根据向量加法的三角形法则求出AD ，利用向量共线定理可证.（2）根据||AB AB =22得出120e e ⋅=，从而得出向量12,e e 的夹角. 【详解】（1）AD AB BC CD e e AB =++=+=128124，,AD AB ∴共线，即,,A B D 三点共线.（2）()AB e e e e e e e e =+=+⋅+=+⋅=222212112212234129131213，120e e ∴⋅=，故有向量12,e e 的夹角为2π. 【点睛】本题考查了向量的加法法则、向量共线定理.18.在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，(,),(,)p a c b q b a c a =+=--，若//p q ， （1）求角C的大小；（2）若()cos 23ab C c =，求11tan tan A B+的值． 【答案】（1）3C π=（2）3【解析】 【分析】（1）利用//p q 推出a ，b ，c 的关系，利用余弦定理求出C 的大小即可.（2）由正弦定理可得()sin sin 21322A B ⋅=，得出sin sin 3A B =11tan tan A B +化简得sin tan tan sin sin CA B A B+=11，进而求出答案. 【详解】解：（1）//p q ，则()()()0a c c a b b a +---=，c a b ab ∴--=-222.由余弦定理得1cos 2C =，故有3C π=. （2）()cos ab C c -=2333，()sin sin )A B ∴⋅=21322，即sin sin 3A B =cos cos sin tan tan sin sin sin sin 11A B C A B A B A B+=+=233==【点睛】本题考查了平行向量与共线向量，余弦定理、正弦定理的运用.19.已知ABC△的面积为S ，且AB AC S λ⋅=，（1）当1λ=时，求tan 4A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值； （2）当3λ=，边BC 的长为2时，求ABC △的周长的最大值． 【答案】（1）3-（2）周长的最大值为6 【解析】 【分析】设ABC ∆的角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，根据向量和数量积和面积公式得出cos sin 2A A λ=，从而得出tan 2A λ=.（1）当1λ=时，tan 2A =，利用两角和的正切公式展开，代入tan 2A =即可得出答案.（2）当3λ=，=2BC 时，利用正弦定理可将ABC ∆的周长转化为sin sin sin()L R B R C B π=++=++222426，进而得出当3B π=时，周长取最大值为6.【详解】设ABC ∆的角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，由题意得cos sin 12bc A bc A λ=⋅，即cos sin 2A A λ=，解得tan 2A λ=.（1）当1λ=时，tan 2A =，则有tan tan()tan 1341A A Aπ++==--.（2）当3λ=时，tan A =3A π=.由正弦定理得sin sin 2423a R A π===以ABC ∆的周长为sin sin sin()44222223L R B R C B B π=++=+-(cos sin )cos sin()44122242226B B B B B B π=++=++=++，所以当3B π=时，周长取最大值为6.【点睛】本题考查了正弦定理，三角形面积、周长的求解和三角函数知识的运用.20.设函数()sin cos f x a x b x =+，,a b 为常数， （1）当23x π=时，()f x 取最大值2，求此函数在区间[,]2ππ上的最小值；（2）设()sin ag x x =-，当1b =-时，不等式()()f x g x >对(0,)2x π∈恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的最小值是1.（2）4a > 【解析】 【分析】（1）根据辅助角公式，联立方程可解得1a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩质求得即可.（2）利用分离参数法，将不等式问题转化为求sin cos sin 21x xy x =+的最大值.【详解】解：（1）由题意得21222a b =-=⎩，解得1a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩()cos f x x x ∴=-.又()2sin()6f x x π=-，[,]2x ππ∈，∴当x π=时，()f x 的最小值是1.（2）法一：sin sin cos 20a x x x a -+>对(0,)2x π∈恒成立，则(cos )sin 12220a x x a --+>，即sin cos 322a x a x >+恒成立，所以3a >，解得a >a的取值范围是a >法二：利用分离变量法可得，只要sin cos sin 21x x a x >+恒成立，即求sin cos sin 21x xy x =+的最大值.因为sin cos sin cos tan sin sin cos tan 22221221x x x x xy x x x x ===+++，令tan ()0x t t =>，得211212t y t t t==++. 利用单调性（或图象）易得函数12u t t=+的最小值为11142y t t=≤=+，所以4a >【点睛】本题考查了三角函数中辅助角公式的运用，正弦函数的性质，不等式问题的求解.熟练掌握三角函数中辅助角公式的运用是解本题的关键.。

2018-2019学年浙江省杭州市六校联考高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合I={x∈Z|-3＜x＜3}，A={-2，0，1}，B={-1，0，1，2}，则（∁I A）∩B=（）A. B. C. D. 0，1，2.下列选项中，表示的是同一函数的是（）A. ，B. ，C. ，D. ，3.下列函数中，既不是奇函数又不是偶函数的是（）A. B. C. D.4.函数y=lg（4-2x）的定义域是（）A. B. C. D.5.函数的零点所在区间为（）A. B. C. D.6.三个数，，的大小关系为（）A. B. C. D.7.已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≤0时，f（x）=x2+4x，则f（x+2）＞5的解集为（）A. B.C. D.8.若当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1，则函数y=log a||的图象大致为（）A. B.C. D.9.已知函数f（x）=log a（x2-ax+3）（a＞0且a≠1）满足：对任意实数x1，x2，当x1＜x2≤时，总有f（x1）-f（x2）＞0，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.10.已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，，若＞关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.已知2a=3，则8a=______．log26-a=______．12.函数y=a x-4+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则点P坐标为______；若点P在幂函数g（x）的图象上，则g（x）=______．13.函数的单调递增区间为______；值域为______．14.设函数，则f[f（1）]=______；若f[f（m）]≤6，则实数m的取值范围是______．15.已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2-2x，则函数f（x）在R上的解析式为______．16.已知在R上为增函数，那么a的取值范围是______．17.已知函数（t为常数）在区间[-1，0]上的最大值为1，则t=______三、解答题（本大题共4小题，共44.0分）18.设全集U=R，集合A={x|2x-1≥1}，B={x|x2-4x-5＜0}．（Ⅰ）求A∩B，（∁U A）（∁U B）；（Ⅱ）设集合C={x|m+1＜x＜2m-1}，若B∩C=C，求实数m的取值范围．19.设函数f（x）=log2（4x）log2（2x）的定义域为，．（Ⅰ）若t=log2x，求t的取值范围；（Ⅱ）求y=f（x）的最大值与最小值，并求出最值时对应的x的值．20.已知函数＞且是定义在（-∞，+∞）上的奇函数．（1）求a的值；（2）求函数f（x）的值域；（3）当x∈（0，1]时，tf（x）≥2x-2恒成立，求实数t的取值范围．21.已知a∈R，函数f（x）=x|x-a|，（Ⅰ）当a=4时，写出函数y=f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当a=4时，求f（x）在区间[0，t]（t＞0）上的最大值；（Ⅲ）设a≠0，函数f（x）在（p，q）上既有最大值又有最小值，请分别求出p，q 的取值范围（用a表示）．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合I={x∈Z|-3＜x＜3}={-2，-1，0，1，2}，A={-2，0，1}，B={-1，0，1，2}，∴（∁I A）∩B={-1，2}∩{-1，0，1，2}={-1，2}．故选：B．先求出集合I，再求出C I A，由此能求出（∁I A）∩B．本题考查补集、交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集、交集定义的合理运用．2.【答案】C【解析】解：对于A：f（x）=的定义域为R，g（x）=（）2定义域为{x|x≥0}，定义域不相同，∴不是同一函数；对于B：f（x）=x2，g（x）=（x-2）2它们的定义域为R，但对相应不相同，∴不是同一函数；对于C：f（x）=，g（t）=|t|=，它们的定义域为R，对相应相同，∴是同一函数；对于D：f（x）=•的定义域为{x|x≥1}，g（x）=的定义域为{x|x≥1或x≤-1}，定义域不相同，∴不是同一函数；故选：C．根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可．本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，是基础题目．3.【答案】C【解析】解：A是偶函数，B是奇函数；C：x=-1时，y=，x=1时，y=-2；∴该函数为非奇非偶函数．故选C．根据奇函数和偶函数的定义便可判断这几个函数的奇偶性，从而找出正确选项．考查奇函数和偶函数的定义，以及判断方法，非奇非偶函数的定义．4.【答案】D【解析】解：由函数y=lg（4-2x），得到4-2x＞0，即2x＜4=22，解得：x＜2，则函数的定义域是（-∞，2），故选：D．根据负数和0没有对数，求出函数的定义域即可．此题考查了函数的定义域及其求法，熟练掌握对数及指数函数的性质是解本题的关键．5.【答案】B【解析】解：∵函数的是（0，+∞）上的连续函数，且单调递增，f（1）=-3＜0，f（2）=1=0，f（3）=log23-1＞0，∴f（2）f（3）＜0．∴函数的零点所在区间为（2，3），故选：B．将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）•f（b）＜0的区间（a，b）为零点所在的一个区间．本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．6.【答案】A【解析】解：∵∈（0，1），＞1，＜0，∴ln＜＜，故选：A．利用指数函数、对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数、对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：设x＞0，则-x＜0，因为当x≤0时，f（x）=x2+4x，所以f（-x）=x2-4x，因为f（x）为偶函数，所以f（x）=f（-x）=x2-4x，因为f（x）为偶函数，所以f（|x+2|）=f（x+2），则f（x+2）＞3可化为f（|x+2|）＞5，即|x+2|2-4|x+2|＞5，（|x+2|-5）（|x+2|+1）＞0，所以|x+2|＞5，解得：x＞3或x＜-7，所以不等式f（x+2）＞5的解集是{x|x＞3或x＜-7}，故选：C．先求出x＞0时的解析式，由偶函数性质得：f（-x）=f（x），则f（x+2）＞5可变为f （|x+2|）＞5，代入已知表达式可表示出不等式，求出x的范围即可．本题考查函数的奇偶性、一元二次不等式的解法，借助偶函数性质把不等式具体化是解决本题的关键．8.【答案】B【解析】解：∵当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1．因此，必有0＜a＜1．先画出函数y=log a|x|的图象：黑颜色的图象．而函数y=log a||=-log a|x|，其图象如红颜色的图象．故选B．由于当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1，利用指数函数的图象和性质可得0＜a＜1．先画出函数y=log a|x|的图象，此函数是偶函数，当x＞0时，即为y=log a x，而函数y=log a||=-log a|x|，即可得出图象．本题考查指数函数与对数函数的图象及性质，属于难题．9.【答案】D【解析】解：由题意可得函数f（x）在（-∞，）上是减函数．令t=x2-ax+3，则函数t在（-∞，）上是减函数，且f（x）=log a t．由复合函数的单调性规律可得a＞1，且-a•+3＞0．解得1＜a＜2，故选：D．由题意可得函数f（x）在（-∞，）上是减函数．令t=x2-ax+3，则函数t在（-∞，）上是减函数，由复合函数的单调性规律可得a＞1，且-a•+3＞0，由此求得a的范围．本题主要考查对数函数的图象和性质，复合函数的单调性规律，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：根据题意，当x≥0时，，分析可得：f（x）在（0，2）上递增，在（2，+∞）上递减，当x=2时，函数f（x）取得极大值，当x=0时，函数f（x）取得最小值0，又由函数为偶函数，则f（x）在（-∞，-2）上递增，在（-2，0）上递减，当x=-2时，函数f（x）取得极大值，当x=0时，函数f（x）取得最小值0，要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且只有6个不同实数根，设t=f（x），则t2+at+b=0必有两个根t1、t2，且必有t1=，0＜t2＜，又由-a=t1+t2，则有-＜a＜-，即a的取值范围是（-，-），故选：B．根据题意，由函数f（x）的解析式以及奇偶性分析可得f（x）的最小值与极大值，要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且只有6个不同实数根，转化为t2+at+b=0必有两个根t1、t2，讨论t1、t2的值，即可得答案．本题考查方程的根的存在以及个数的判定，关键是依据函数f（x）的解析式，分析函数f（x）的最大、最小值，转化思路，分析二次方程的根的情况．11.【答案】27 1【解析】解：∵2a=3，则8a=（2a）3=33=27．log26-a=log26-log23=log22=1．故答案为：27，1．利用指数与对数运算性质即可得出．本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.【答案】（4，2）【解析】解：指数函数y=a x恒过定点（0，1），令x-4=0得x=4，此时y=1+1=2故P（4，2），设g（x）=xα，∴2=4α，∴α=，∴g（x）=，故答案为：（2，2），．根据指数函数的性质求出点P，再代入函数g（x）=xα，即可求出本题考查指数函数的性质和幂函数的解析式，考查了运算能力，属于基础题．13.【答案】[0，2）[-2，+∞）【解析】解：由4-x2＞0，解得：-2＜x＜2，故函数的定义域是（-2，2），函数y=4-x2在（-2，0）递增，在[0，2）递减，而y=log0.5x是减函数，根据复合函数同增异减的原则，函数y=log0.5（4-x2）的单调递增区间是[0，2），当x=0时，函数取得最小值：-2，函数的值域为：[-2，+∞）．故答案为：[0，2）；[-2，+∞）．求出函数的定义域，根据二次函数以及对数函数的单调性求出复合函数的递增区间，然后求解函数的值域．本题考查了对数函数以及二次函数的单调性问题，考查复合函数的单调性，以及函数的值域的求法．14.【答案】0 ，【解析】解：根据题意，函数，则f（1）=-（1）2=-1，则f[f（-1）]=（-1）2+（-1）=0，对于f[f（m）]≤6，分3种情况讨论：①，当m=0时，f（m）=0，f[f（m）]=0≤6，符合题意；②，当m＞0时，f（m）=-m2＜0，则f[f（m）]=m4-m2，若f[f（m）]≤6，即m4-m2≤6，又由m＞0，解可得0＜m≤，此时m的取值范围为（0，]；③，当m＜0时，f（m）=m2+m，当m≤-1时，f（m）=m2+m≥0，此时f[f（m）]=-（m2+m）2≤0，满足f[f（m）]≤6，当-1＜m＜0时，f（m）=m2+m＜0，分析可得：-≤f（m）＜0，此时f[f（m）]=（f（m））2+f（m）≤6恒成立，此时m的取值范围为（-∞，0）；综合可得：m的取值范围为（-∞，]；故答案为：0，（-∞，]．根据题意，由分段函数的解析式可得f（1）=-1，进而计算f[f（-1）]的值即可得答案；对于f[f（m）]≤6，按m的取值范围分3种情况讨论，分别求出每种情况下不等式解集，综合三种情况即可得答案．本题考查分段函数的应用，涉及函数值的求法，注意分段函数解析式的形式，是基础题．15.【答案】，＜，，＞【解析】解：根据题意，函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）=0，设x＜0，有-x＞0，则f（-x）=（-x）2-2（-x）=x2+2x，又由函数f（x）为奇函数，则f（x）=-f（-x）=-x2-2x，则；故答案为：．根据题意，由奇函数的性质可得f（0）=0，设x＜0，有-x＞0，由函数的解析式可得f（-x）的解析式，结合函数的奇偶性可得f（x）=-f（-x）=-x2-2x，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性的应用，涉及函数解析式的计算，属于基础题．16.【答案】1＜a≤2【解析】解：依题意，有a＞1且3a-2＞0，解得a＞1，又当x＜1时，（3a-2）x-2a＜a-2，当x＞1时，log a x＞0，因为f（x）在R上单调递增，所以a-2≤0，解得a≤2综上：1＜a≤2故答案为：1＜a≤2．由f（x）在R上单调增，确定a，以及3a-2的范围，再根据单调增确定在分段点x=1处两个值的大小，从而解决问题．本题考查分段函数单调性问题，关键根据单调性确定在分段点处两个值的大小．属中档题．17.【答案】-2【解析】解：由y=x-2-x在[-1，0]递增，可得y的值域为[-3，-1]，当t≥0时，f（x）的值域为[t+1，t+3]，由题意可得t+3=1，解得t=-2＜0，舍去；当t＜0时，由于函数f（x）在[-1，0]不单调，由题意可得f（-1）=1或f（0）=1，|-3-t|=1或|-1-t|=1，解得t=-2成立．综上可得t的值为-2．故答案为：-2．由y=x-2-x在[-1，0]递增，可得y的值域，讨论t≥0时，t＜0时，运用函数的单调性可得最值，解方程即可得到所求值．本题考查函数的最值求法，注意运用分类讨论思想方法和函数的单调性，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）∵全集U=R，集合A={x|2x-1≥1}={x|x≥1}，B={x|x2-4x-5＜0}={x|-1＜x＜5}…（2分）∴A∩B={x|1≤x＜5}，…（3分）（C U A）（C U B）={x|x＜1或x≥5}…（5分）（Ⅱ）∵集合C={x|m+1＜x＜2m-1}，B∩C=C，∴C⊆B，当C=∅时，2m-1＜m+1…（6分）解得m＜2…（7分）当C≠∅时，由C⊆B得＜，解得：2＜m≤3…（10分）综上所述：m的取值范围是（-∞，3]…（12分）【解析】（Ⅰ）求出集合A，B，由此能出A∩B，（C U A）（C U B）．（Ⅱ）由集合C={x|m+1＜x＜2m-1}，B∩C=C，得C⊆B，当C=∅时，2m-1＜m+1，当C≠∅时，由C⊆B得，由此能求出m的取值范围．本题考查交集、补集、并集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查交集、补集、并集集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．19.【答案】解：（Ⅰ）∵x∈[，4]，∴t=log2x∈[log2，log24]∴t的取值范围为[-2，2]；（Ⅱ）化简可得y=log2（4x）•log2（2x）=（log24+log2x）（log22+log2x）=（2+t）（1+t）=t2+3t+2，由二次函数可得当t=-时，y取最小值-，此时x=；当t=2时，y取最大值12，此时x=1．【解析】（Ⅰ）由对数函数性质可得t的取值范围；（Ⅱ）利用对数的运算性质与（Ⅰ），换元，原函数可化为g（t）=（t+2）（t+1），（-2≤t≤2），利用二次函数的性质求解即可．本题主要考查对数函数的性质与对数的运算性质、函数的单调性与最值以及换元法．20.【答案】解：（1）∵函数f（x）是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，∴f（0）==0，解得a=2．（2）由（1）得f（x）===1-，又∵2x＞0，∴2x+1＞1，∴0＜＜2，∴-1＜1-＜1，∴函数f（x）的值域（-1，1），（3）由（1）可得f（x）=，当0＜x≤1时，f（x）＞0，∴当0＜x≤1时，t•f（x）≥2x-2恒成立，则等价于t≥=对x∈（0，1]时恒成立，令m=2x-1，0＜m≤1，即t≥m-+1，当0＜m≤1时恒成立，即t≥m-+1在（0，1]上的最大值，易知在（0，1]上单调递增，∴当m=1时有最大值0，所以t≥0，故所求的t范围是：t≥0．【解析】（1）根据奇函数的性质，令f（0）=0列出方程，求出a的值；（2）f（x）=1-，利用函数性质求出值域．（3）由0＜x≤1判断出f（x）＞0，再把t分离出来转化为t≥，对x∈（0，1]时恒成立，利用换元法：令m=2x-1，代入上式并求出m的范围，再转化为求y=m-+1在（0，1]上的最大值．本题考查了奇函数的性质应用，恒成立问题以及转化思想和分离常数法求参数范围，难度较大．21.【答案】解：（Ⅰ）当a=4时，，由图象可得：单调增区间为（-∞，2]，[4，+∞）．（Ⅱ）∵由f（x0）=4（x0＞4）得：，（1）当0＜t≤2时，；（2）当＜时，f（x）max=4；（3）当＞时，，（Ⅲ）f（x）=，①当a＞0时，图象如图1所示．由得x=，∴0≤p＜，a＜q≤，②当a＜0时，图象如图2所示．由得x=，∴≤p＜a，a＜q≤0【解析】（Ⅰ）当a=4时，求得f（x）的分段函数式，由二次函数的单调性可得增区间；（Ⅱ）写出f（x）的分段函数，讨论t的范围，即可得到所求最大值；（Ⅲ）求得f（x）的分段函数，讨论a＞0，a＜0，结合图象可得p，q的范围．本题考查含绝对值函数的图象和性质，考查分类讨论思想方法，以及化简整理的运算能力和推理能力，属于中档题．。

杭州地区七校2018-2019学年高一第二学期期中联考数学试题一、选择题。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。

1.的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意利用诱导公式和特殊角的三角函数值可得所求三角函数的值.【详解】由题意可得：.故选：B.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，特殊角的三角函数值，属于基础题.2.下列结论正确的是（）A. B.C. ，D.【答案】A【解析】【分析】逐一考查所给的说法是否正确即可.【详解】逐一考查所给的说法：若，则，选项A说法正确；若，则由不一定能得到，选项B说法错误；若，则由，不一定能得到，选项C说法错误；两个向量无法比较大小，故结论错误，选项D说法错误；故选：A.【点睛】本题主要考查向量的定义与向量的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.已知向量，且，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由向量垂直的充分必要条件得到关于的方程，解方程可得的值.【详解】由向量平行的充分必要条件可得：，解得.故选：B.【点睛】本题主要考查向量平行的充分必要条件，由向量平行求参数的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.已知函数，为了得到函数的图象，只要将的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】D【解析】【分析】由题意结合函数的解析式可得函数图像的平移变换方法.【详解】注意到，故得到函数的图象，只要将的图象向右平移个单位长度.故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，属于基础题.5.已知为等差数列，，，则的值为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用等差数列的性质可得的值. 【详解】由等差数列的性质有：.故选：C .【点睛】本题主要考查等差数列的性质及其应用，属于基础题. 6.函数（）是（ ）A. 最小正周期是B. 区间上的增函数C. 图象关于点对称D. 偶函数【答案】D 【解析】 【分析】首先对函数的解析式进行恒等变形，然后考查函数的性质即可. 【详解】函数的解析式：，绘制函数图像如图所示：结合函数图像可知函数的最小正周期为，选项A 说法错误； 在区间上是减函数，选项B 说法错误；函数不存在对称点，选项C 说法错误；，选项D说法正确.故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数式的化简，三角函数的性质，三角函数图像的绘制等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.数列满足，，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先确定数列的周期性，然后结合周期性可得的值.【详解】由题意可得：，，故数列是周期为的周期数列，则.故选：C.【点睛】本题主要考查数列的递推关系，周期数列的概念与性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.在中，角、、的对边分别为，，，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先由正弦定理边化角，然后结合两角和差正余弦公式和同角三角函数基本关系可得的值，据此可得的值.【详解】由题意利用正弦定理边化角可得：，.故选：D.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.在中，角、、的对边分别为，，，若，，成等差数列，，的面积为，那么的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意得到关于a,b,c的方程组，求解方程组即可确定b的值.【详解】由题意可得：，求解方程组可得：.故选：A.【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，三角形面积公式，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10.在中，已知是延长线上一点，若，点为线段的中点，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意结合向量的运算法则和平面向量基本定理整理计算可得的值.【详解】由题意可得：，注意到，故，故选C.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，平面向量基本定理等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题。

杭州2023-2高一年级期中考试数学试卷命题人高一数学备课组审核人高一数学备课组（答案在最后）注意事项：1.本试卷满分100分，考试时间100分钟.2.整场考试不准使用计算器.一､单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知,m n 表示两条不同直线，α表示平面，则（）A.若//,//m n αα，则//m nB.若//,m m n α^，则n α⊥C.若,m m n α⊥⊥，则//n αD.若,m n αα⊥⊂，则m n⊥【答案】D 【解析】【分析】利用空间中直线、平面的位置关系一一判定选项即可.【详解】对于A ，若//,//m n αα，则,m n 可能相交、平行或异面，故A 错误；对于B ，若//,m m n α^，则,n α可能平行，或相交，或垂直，故B 错误；对于C ，若,m m n α⊥⊥，则n 可能在α中，也可能//n α，故C 错误；对于D ，由线面垂直的性质定理可知D 正确.故选：D2.如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）1111ABCD A B C D -中，E 为BC 延长线上一点，3BC CE =，则1D E =（）A.11-3AB AD AA + B.12-3AB AD AA + C.113AB AD AA ++ D.11-3AB AD AA + 【答案】A【解析】【分析】根据空间向量的加减法运算法则，直接写出向量1D E的表达式，即可得答案.【详解】111()D E AD AE AB AD A B A E =-=+-+=114133AD AB BC AA AB AD AA +--=+- ,故选：A.3.如图，已知平面α，β，且l αβ= .设梯形ABCD 中，//AD BC ，且AB α⊂，CD β⊂.则下列结论正确的是（）A.直线AB 与CD 可能为异面直线B.直线AB ，CD ，l 相交于一点C.AB CD =D.直线AC 与BD 可能为异面直线【答案】B 【解析】【分析】结合题意以及空间中点线面的位置关系，逐项分析即可求出结果.【详解】梯形AB CD =中，//AD BC ，所以AB 与CD 是梯形的两腰，所以AB 与CD 是共面直线，故A 错误；AB 与CD 是不一定相等，故C 错误，直线AC 与BD 是梯形的对角线，故是共面直线，故D 错误；设AB CD M = ，又且AB α⊂，CD β⊂，所以M α∈，M β∈，所以M αβ∈⋂，又因为l αβ= ，故M l ∈，即直线AB ，CD ，l 共点，故B 正确.故选：B.4.如图，一个正四棱锥P ABCD -的五个顶点都在球面上，且底面ABCD 经过球心O .若1283-=P ABCD V ，则球O 的表面积是A.814π B.36π C.64πD.274π【答案】C 【解析】【分析】由题意可知，PO ⊥平面ABCD ，并且PO 是半径，由体积求出半径，然后求出球的表面积．【详解】设球的半径为R ，则1112822323四棱锥-=⨯⨯⨯⨯=P ABCD V R R R ，得4R =，∴2=464球ππ=S R .故选C【点睛】本题考查球的内接体问题，球的表面积、体积，考查学生空间想象能力，属于中档题．5.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，若二面角1C C AB --的大小为60︒，则点C 到平面1C AB 的距离为（）A.1B.12C.34D.2【答案】C 【解析】【分析】取AB 的中点O ，连接OC 和1OC ，由二面角的定义得出160COC ∠=o，可得出OC 、1CC 、OC的值，由此可计算出1ABC ∆和ABC ∆的面积，然后利用三棱锥1C ABC -的体积三棱锥1C ABC -的体积相等，计算出点C 到平面1ABC 的距离.【详解】取AB 的中点O ，连接OC 和1OC ，根据二面角的定义，160COC ∠=o.由题意得2OC =，所以132CC =，1OC =.设C 到平面1C AB 的距离为h ，易知三棱锥1C ABC -的体积三棱锥1C ABC -的体积相等，即1111311323222h ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得34h =，故点C 到平面1C AB 的距离为34.故选C.【点睛】本题考查点到平面距离的计算，常用的方法有等体积法与空间向量法，等体积法本质就是转化为三棱锥的高来求解，考查计算能力与推理能力，属于中等题.6.已知正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是线段1BB 上靠近1B 的三等分点，点F 是线段11D C 上靠近1D 的三等分点，则平面AEF 截正方体1111ABCD A B C D -形成的截面图形为（）A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形【答案】C 【解析】【分析】如图，由题意，根据空间线面的位置关系、基本事实以及面面平行的性质定理可得//l AE ，进而//FI AE ，结合相似三角形的性质即可求解．【详解】如图，设6AB =，分别延长11AE A B 、交于点G ，此时13B G =，连接FG 交11B C 于H ，连接EH ，设平面AEF 与平面11DCC D 的交线为l ，则∈F l ，因为平面11//ABB A 平面11DCC D ，平面AEF ⋂平面11ABB A AE =，平面AEF ⋂平面11DCC D l =，所以//l AE ，设1l D D I = ，则//FI AE ，此时1FD I ABE △∽△，故1ID =43，连接A I ，所以五边形AIFHE 为所求截面图形，故选：C ．7.北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是π3，所以正四面体在各顶点的曲率为π2π3π3-⨯=，故其总曲率为4π，则四棱锥的总曲率为（）A.2πB.4πC.5πD.6π【答案】B 【解析】【分析】根据题中给出的定义，由多面体的总曲率计算求解即可．【详解】解：由题意，四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和，因为四棱锥有5个顶点，5个面，其中4个三角形，1个四边形，所以四棱锥的表面内角和由4个三角形和1个四边形组成，所以面角和为426πππ+=，故总曲率为5264πππ⨯-=．故选：B.8.已知正方体1111ABCD A B C D -边长为1，点,E O 分别在线段11B D 和BD 上，1114,5EB B D DO BO ==，动点F 在线段1AA 上，且满足1102AF AA λλ⎛⎫=<<⎪⎝⎭，分别记二面角11,F OB E F OE B ----，1F EB O --的平面角为,,αβγ，则总有（）A.αβγ>>B.γβα>>C.γαβ>>D.βαγ>>【答案】D 【解析】【分析】作出三个二面角的平面角，求出其正切值后比较大小可得．【详解】作FF '⊥平面11BB D D ，垂足为F '，则22FF '=，因为1OB ⊂平面11BB D D ，所以1FF OB '⊥，作1FK OB ⊥，FM OE ⊥，11FN B D ⊥，垂足分别为,,K M N ，连接,,KF MF NF '''，由于FF FK F '= ，FF '⊂平面FF K '，FK ⊂平面FF K '，所以1OB ⊥平面FF K '，又F K '⊂平面FF K '，从而1OB F K '⊥，所以FKF α'=∠，同理FMF β'=∠，FNF γ'=∠，所以tan tan 2FKF F K α'=∠='，tan tan 2FMF F M β'=∠='，tan tan 2FNF F Nγ'=∠='，因为点O 是正方形ABCD 对角线的交点，所以OA BD ⊥，因为1BB ⊥平面ABCD ，OA ⊂平面ABCD ，所以1OA BB ⊥，因为1BB BD B ⋂=，1BB ⊂平面11BDD B ，BD ⊂平面11BDD B ，所以AO ⊥平面11BDD B ，ON 就是1AA 在平面11BDD B 上的射影，11,//,ON AA ON AA OF AF '==，又1sin F K OF B OF '''=⋅∠，sin F M OF EOF '''=⋅∠，且1112AF AA AA λ=<，则OF F N ''<，由11145EB B D =得1EN NB <，从而1EOF B OF ''∠<∠，所以F N OF F K F M ''''>>>，所以tan tan tan βαγ>>，又π,,0,2αβγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以βαγ>>.故选：D.【点睛】关键点点睛：关键是作出二面角的平面角，然后求出角的正切值，再利用正方体的性质比较线段长的大小，从而可得结论．二､多项选择题：本题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分9.如图，A B C ''' 为水平放置的ABC 的直观图，其中2,A B A C B C ''''''===，则在原平面图形ABC 中有（）A.AC BC <B.2AB =C.AC =D.ABC S =△【答案】ACD 【解析】【分析】根据斜二测画法规则确定点,,A B C '''的位置，再作出ABC ，逐项计算判断即可.【详解】在直观图A B C ''' 中，2,A B A C B C ''''''===，取A B ''中点D ¢，连接C D ''，则C D A B ''''⊥，而45B O C '''∠= ，于是2O D C D ='''=='，则1O A ''=，O C ''==3B O ''=，由斜二测画法规则作出ABC ，如图，则22,26OC O C OA O A OB O B ''''''======，4AB =，AC ==，BC ==12ABC S OC AB =⋅= 显然AC BC <，A 、C 、D 正确，B 错误.故选：ACD10.如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，翻折ABD △和ACD ，使得平面ABD ⊥平面ACD .下列结论正确的是（）A.BD AC⊥ B.ABC 是等边三角形C.三棱锥D ABC -是正三棱锥 D.平面ACD ⊥平面ABC【答案】ABC 【解析】【分析】利用面面垂直以及线面垂直的性质可判断A 选项；设AD a =，利用勾股定理可判断B 选项；利用正棱锥的定义可判断C 选项；利用面面垂直的性质结合面面垂直的性质可判断D 选项.【详解】对于A 选项，翻折前，因为AB AC =，D 为BC 的中点，则AD BD ⊥，翻折后，对应地有AD BD ⊥，因为平面ABD ⊥平面ACD ，平面ABD ⋂平面ACD AD =，BD ⊂平面ABD ，所以，BD ⊥平面ACD ，因为AC ⊂平面ACD ，故BD AC ⊥，A 对；对于B 选项，设AD a =，翻折前，因为ABC 为等腰直角三角形，D 为BC 的中点，则BD CD AD a ===，且AD BD ⊥，AD CD ⊥，由勾股定理可得AC AB ===，翻折后，因为BD ⊥平面ACD ，CD ⊂平面ACD ，则BD CD ⊥，由勾股定理得BC ==，在三棱锥D ABC -中，AB AC BC ==，则ABC 为等边三角形，B 对；对于C 选项，在三棱锥D ABC -中，因为ABC 为等边三角形，DA DB DC ==，故三棱锥D ABC -为正三棱锥，C 对；对于D 选项，假设平面ACD ⊥平面ABC ，如下图所示：取AC 的中点E ，连接DE 、BE ，因为AD CD =，E 为AC 的中点，则DEAC ⊥，若平面ACD ⊥平面ABC ，因为平面ACD 平面ABC AC =，DE ⊂平面ACD ，所以，DE ⊥平面ABC ，设等边ABC 的中心为点O ，连接DO ，由正棱锥的性质可知，DO ⊥平面ABC ，因为过点D 作平面ABC 的垂线，有且只有一条，故假设不成立，即平面ACD 与平面ABC 不垂直，D 错.故选：ABC.11.中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，1AA 垂直于底面，15AA =，底面扇环所对的圆心角为π2，弧AD 的长度是弧BC 长度的3倍，2CD =，则下列说法正确的是（）A.弧AD 长度为3π2B.曲池的体积为10π3C.曲池的表面积为2014π+D.三棱锥1A CC D -的体积为5【答案】ACD 【解析】【分析】设弧AD 所在圆的半径为R ，弧BC 所在圆的半径为r ，根据弧AD 的长度是弧BC 长度的3倍及2CD R r =-=求出R 、r ，再根据体积、表面积公式计算可得.【详解】设弧AD 所在圆的半径为R ，弧BC 所在圆的半径为r ，因为弧AD 的长度是弧BC 长度的3倍，ππ322R r =⨯，即3R r =，22CD R r r ∴=-==，1r ∴=，3R =，所以弧AD 的长度为3π2，故A 正确；曲池的体积为222211111πππ3π1510π4444V R r AA ⎛⎫⎛⎫=-⨯=⨯-⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；曲池的表面积为221111ππ2ππ52524422R r R r ⎛⎫⎛⎫-⨯++⨯+⨯⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221111π3π12π3π15202014π4422⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯⨯+⨯+⨯⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；三棱锥1A CC D -的体积为11235532⨯⨯⨯⨯=，故D 正确．故选：ACD ．12.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，160,2,BAD AB AA P ∠=== 为1CC 的中点，点Q 满足][()10,1,0,1DQ DC DD λμλμ⎡⎤=+∈∈⎣⎦ ，则下列结论正确的是（）A.若13λμ+=，则四面体1A BPQ 的体积为定值B.若1A BQ △的外心为O ，则11A B AO ⋅ 为定值2C.若1AQ =，则点Q 的轨迹长度为4D.若1λ=且12μ=，则存在点1E A B ∈，使得AE EQ +【答案】ACD【解析】【分析】A 选项，作出辅助线，结合空间向量基本定理得到,,W Q F 三点共线，得到//WF 平面1PA B ，故点Q 为平面1PA B 的距离为定值，四面体1A BPQ 的体积为定值，A 正确；B 选项，作出辅助线，结合空间向量数量积的几何意义得到11114A B A O A B AT ⋅=⋅= ；C 选项，建立空间直角坐标系，设()0,2,2Q λμ，表达出()()2221222λμ++-=，故Q 点的轨迹为以()1,2S -为半径的圆，落在正方形11CDD C 内的部分，结合弧长公式求出答案；D 选项，求出()0,2,1Q ，)2,2E a a -，得到AE EQ +=，画出图形，数形结合得到其最小值.【详解】A 选项，在1,CD DD 上分别取,F W ，使得13DF DC =，113DW DD =，因为1DQ DC DD λμ=+ ，所以33DQ DF DW λμ=+ ，因为13λμ+=，所以331λμ+=，即()313DQ DF DW λλ=+- ，故33DQ DW DF DW λλ--= ，即3WQ WF λ= ，所以,,W Q F 三点共线，因为1//WF CD ，11//A B CD ，所以1//WF AB ，故//WF 平面1PA B ，故点Q 为平面1PA B 的距离为定值，又1PA B S 为定值，故四面体1A BPQ 的体积为定值，A 正确；B 选项，取1A B 的中点T ，因为1A BQ △的外心为O ，所以OT ⊥1A B ，又题意得1A B ==则11114A B A O A B AT ⋅=⋅= ，B 错误；C 选项，取AB 的中点R ，因为底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，故DR ⊥DC ，以D 为坐标原点，以DR ，1,DC DD 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，故)11,2A -，设()0,2,2Q λμ，则1AQ ==，化简得()()2221222λμ++-=，点Q 满足][()10,1,0,1DQ DC DD λμλμ⎡⎤=+∈∈⎣⎦ ，即点Q 在正方形11CDD C 内，包括边界，故Q 点的轨迹为以()1,2S -为半径的圆，落在正方形11CDD C 内的部分，如图所示：因为SH =，11SD =，故11D H ==，故1SD H 为等腰直角三角形，π4S ∠=，故点Q 的轨迹长度为π44=，C 正确；D 选项，若1λ=且12μ=，112DQ DC DD =+ ，即()()()10,2,00,0,20,2,12DQ =+= ，即()0,2,1Q ，又)11,2A -，)B ，设()111,,E x y z ，设()[]10,2,2,0,1EB a A B a a a ==-∈ ，即)()111,1,0,2,2x y z a a ---=-，解得11112,2x y a z a ==-=，即)2,2E a a -，AE EQ +=+=+=，如图所示，设1101,,242KJ GV JG ===，且KJ ⊥JG ，JG ⊥GV ，在线段JG 上取一点L ，设GL a =，则12LJ a =-，故KL VL +=，显然，直接连接KV ，此时KL VL +取得最小值，最小值即为KV ，由勾股定理得KV ==，故AE EQ +=的最小值为=D 正确.故选：ACD【点睛】空间向量解决几何最值问题，通常有两种思路：①形化，即用空间向量的几何意义将问题转化为空间几何中的最值或取值范围问题，然后根据图形的特征直接进行求解；②数化，即利用空间向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.三､填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13.()()1,0,2,1,3,1A B -，点M 在z 轴上且到,A B 两点的距离相等，则M 点的坐标为__________.【答案】()0,0,3-【解析】【分析】设点(0,0,)M z ，根据点M 到,A B 两点的距离相等，列出方程，即可求解.【详解】根据题意，可设点(0,0,)M z ，因为点M 到,A B 两点的距离相等，可得AM BM =，=解得3z =-，所以点M 的坐标为()0,0,3-.故答案为：()0,0,3-.14.如图，在四面体A BCD -中，2,AC BD AC ==与BD 所成的角为45 ，,M N 分别为,AB CD 的中点，则线段MN 的长为__________.【答案】2或2【解析】【分析】取BC 的中点E ，连接EM 、EN ，即可得到MEN ∠为异面直线AC 与BD 所成的角或其补角，即45MEN ∠= 或135 ，再利用余弦定理计算可得.【详解】取BC 的中点E ，连接EM 、EN ，M 、E 分别为AB 、BC 的中点，//ME AC ∴且112ME AC ==，同理可得EN //BD 且1222EN BD ==，MEN ∴∠为异面直线AC 与BD 所成的角或其补角，则45MEN ∠= 或135 .在MEN 中，1ME =，2EN =，若45MEN ∠= ，由余弦定理可得MN =2==；若135MEN ∠= ，由余弦定理可得MN =2==；综上所述，2MN =或2.故答案为：22或2.15.已知()()21,5(0,R)f x axg x x bx a b =-=+->∈（1）若2a =时，()()f x g x =的两根为12,x x ，则12x x -的最小值为__________.（2）若0x >时，()()0f x g x ⋅≥恒成立，则3b a +的最小值为__________.【答案】①.4②.【解析】【分析】（1）依题意可得()2240x b x +--=，列出韦达定理，则12x x -=性质计算可得；（2）令()0f x =解得1x a =，分析可得10g a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而得到15b a a =-，再利用基本不等式计算可得.【详解】（1）若2a =时()21f x x =-，()25g x x bx =+-，方程()()f x g x =，即()2240x b x +--=，显然0∆>，所以122x x b +=-，124x x =-，则124x x -==≥，所以当2b =时，12x x -取得最小值，且最小值为4．（2）0,R a b >∈ ，当0x >时，()()0f x g x ≥恒成立，由()0f x =解得1x a =，当1x a >时，()0f x >；当10x a<<时，()0f x <；∴当1x a >时，()0g x ≥，当10x a <<时，()0g x ≤；∴20115b g a a a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，∴15b a a =-，325b a a a ∴+=+≥=，当且仅当52a a =，即5a =、2b =时取等号，所以3b a +的最小值是．故答案为：4；16.下列命题正确的是__________.（填序号）①若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行；②垂直于同一条直线的两直线平行；③两个平面互相垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，必垂直与另一个平面；④过两个点与已知平面的垂直的平面可能不存在；⑤过两条异面直线外任一点有且只有一条直线与这两条异面直线都垂直；⑥到一个四面体的四个顶点的距离都相等的平面有7个.【答案】①⑤⑥【解析】【分析】根据题意，由直线与直线，直线与平面的位置关系，依次分析6个命题，即可判断．【详解】对于①：如图，//AB α，平面,ABDC CD AB α⋂=⊂平面ABDC ，所以//AB CD ，同理//AB EF ，所以//CD EF ，又因为,CD EF ββ⊄⊂，所以CD//β，又,CD l ααβ⊂⋂=，所以//CD l ，所以//AB l ，若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行，故①正确；对于②：垂直于同一条直线的两条直线相交、平行或异面，故②错误；对于③：根据面面垂直的性质定理可知，两个平面互相垂直，过一个平面内任意一点（不在交线上）作交线的垂线，必垂直与另一个平面，当该点在交线上时，作交线的垂线，得不到该直线与另一个平面垂直，故③错误；对于④：分3种情况讨论：若两点确定的直线在已知平面内，则过两点与一个已知平面垂直的平面有且只有一个；若两点确定的直线不在平面内，但与已知平面不垂直，则过两点与一个已知平面垂直的平面有一个，若两点确定的直线不在平面内且与已知平面垂直，则过两点与一个已知平面垂直的平面有无数个，综上，过两点与一个已知平面垂直的平面有一个或无数个，一定存在，故④错误；对于⑤：设直线m 、n 异面，过直线m 上一点O 作直线n '，使得//n n '且m n O '= ，如下图所示：设直线m 、n '确定平面α，过空间中任意一点P ，有且只有一条直线l ，使得l α⊥，因为m 、n α'⊂，则l m ⊥，l n '⊥，又因为//n n '，则l n ⊥，故过两条异面直线外任一点有且只有一条直线与这两条异面直线都垂直，故⑤正确；对于⑥：到一个四面体的四个顶点的距离相等的平面，可以看作是与一个四面体四个顶点距离相等的平面，可以是与两条对棱平行，这样的平面有3个，也可以是与一个底面平行，与另一个顶点距离相等，这样的面有4个，则到一个四面体的四个顶点的距离都相等的平面有7个，⑥正确．故答案为：①⑤⑥【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是正确理解空间中线线、线面、面面的位置关系，利用反例及适度的数形结合是有效且快速的处理方法.四､解答题：本大题共4小题，共44分，解答应在相应的答题框内写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知空间向量(1,2,1),(2,1,1)a b =-=- ．（1）计算32a b + 和53a b - ;（2）求a 与b夹角θ的余弦值．【答案】（1）32(1,8,1)a b +=-- ,53(11,7,8)a b -=- （2）16-．【解析】【分析】（1）利用空间向量的坐标运算公式即可求解；（2）利用空间向量的夹角公式计算即可.【小问1详解】由题可得323(1,2,1)2(2,1,1)(1,8,1)a b +=-+-=-- 535(1,2,1)3(2,1,1)(11,7,8)a b -=---=- ．【小问2详解】由题可得a ==，b == (1,2,1)(2,1,1)2211a b ⋅=-⋅-=-+-=-，1cos 6a b a b θ⋅∴===- ,a ∴与b 夹角θ的余弦值为16-．18.正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是1BC ，1CD 的中点.（1）求异面直线1CD 与1BC 所成角；（2）求证：//MN 平面ABCD【答案】（1）60︒（2）证明见解析【解析】【分析】（1）连接1A B ，11A C ，即可得到11//CD A B ，则11A BC ∠为异面直线1CD 与1BC 所成的角，结合正方体的性质求出11A BC ∠；（2）取1CC 的中点E ，连接ME ，NE ，即可证明平面//MEN 平面ABCD ，从而得证.【小问1详解】连接1A B ，11A C ，因为11A D BC =且11//A D BC ，所以四边形11A D CB 为平行四边形，所以11//CD A B ，则11A BC ∠为异面直线1CD 与1BC 所成的角，在正方体中，可得1111A C A B BC ==，即11A C B △为等边三角形，所以1160A BC ∠=︒，所以异面直线1CD 与1BC 所成角为60︒；【小问2详解】取1CC 的中点E ，连接ME ，NE ，因为M ，N 分别是1BC ，1CD 的中点，所以//ME BC ，11//NE C D ，而11//C D CD ，所以//NE CD ，又因为BC ⊂平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，NE ⊄平面ABCD ，ME ⊄平面ABCD ，所以//NE 平面ABCD ，//ME 平面ABCD ，又ME NE E ⋂=，,ME NE ⊂平面MNE ，所以平面//MEN 平面ABCD ，因为MN ⊂平面MNE ，所以//MN 平面ABCD ．19.已知四棱柱1111ABCD A B C D -如图所示，底面ABCD 为平行四边形，其中点D 在平面1111D C B A 内的投影为点1A ，且1AB AA ==2,120AD ABC ︒∠=．（1）求证：平面1A BD ⊥平面11ADD A ；（2）已知点E 在线段1C D 上（不含端点位置），且平面1A BE 与平面11BCC B，求1DE EC 的值．【答案】（1）证明见解析（2）113DE EC =【解析】【分析】（1）不妨设1AD =，根据线面垂直的性质证明1A D AD ⊥，利用勾股定理证明AD DB ⊥，再根据线面垂直和面面垂直的判定定理即可得证；（2）以D 为坐标原点，建立的空间直角坐标系D xyz -，利用向量法求解即可.【小问1详解】不妨设1AD =，因为1A D ⊥平面,ABCD AD ⊂平面ABCD ，故1A D AD ⊥，在ADB 中，2,1,60AB AD DAB ==∠= ，由余弦定理，222222cos 21221cos603BD AB AD AB AD DAB ∠=+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯= ，得BD =，故222AD BD AB +=，则AD DB ⊥，因为11,,A D DB D A D DB ⋂=⊂平面1A BD ，所以AD ⊥平面1A BD ，而AD ⊂平面11ADD A ，所以平面1A BD ⊥平面11ADD A ；【小问2详解】由（1）知，1,,DA DB DA 两两垂直，如图所示，以D 为坐标原点，建立的空间直角坐标系D xyz -，则()()()(()10,0,0,1,0,0,0,,0,0,,1,D A B A C -，故()11,AC A C AC =-=，(1C ∴-，所以((11,A B DC ==-，设()101DE DC λλ=<<，则()12DE DC λλ==-，即()2E λ-，所以(12A E λ=--；设()111,,n x y z =为平面1A EB 的一个法向量，则1111111020nA B n A E x y z λ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+--=⎪⎩，令12z λ=，则112,==-y x λ()2,2n λλ=-，因为y 轴⊥平面11BCC B ，则可取()0,1,0m =为平面11BCC B 的一个法向量，设平面1A EB 与平面11BCC B 的夹角为α，则cos 5n m n m α⋅===⋅ ，解得14λ=，故113DE EC =．20.已知函数(),(),()f x g x h x 的定义域均为R ，给出下面两个定义：①若存在唯一的x ∈R ，使得(())(())f g x h f x =，则称()g x 与()h x 关于()f x 唯一交换；②若对任意的x ∈R ，均有(())(())f g x h f x =，则称()g x 与()h x 关于()f x 任意交换．（1）请判断函数()1g x x =+与()1h x x =-关于2()f x x =是唯一交换还是任意交换，并说明理由；（2）设()22()2(0),()1f x a x a g x x bx =+≠=+-，若存在函数()h x ，使得()g x 与()h x 关于()f x 任意交换，求b 的值；（3）在（2）的条件下，若()g x 与()f x 关于e 1()e 1x x w x -=+唯一交换，求a 的值．【答案】（1）唯一交换，理由见解析（2）0b =（3）()1e2e 1a -=+【解析】【分析】（1）根据方程()()()()f g x h f x =解的情况判断即可；（2）根据“对任意的x ∈R ，()()()()f g x h f x =成立”得到关于x 的方程，然后设出()h x 的解析式，根据方程左右两边对应项相同求解出b 的值；（3）根据条件通过分离参数将问题转化为“存在唯一实数x ，使得22112e 1e 1e 12e 1xxx x a ---+=⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎣⎦”，然后分析()22112e 1e 1e 12e 1xxx x s x ---+=⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎣⎦的奇偶性，从而确定出()0a s =，由此可求a 的值.【小问1详解】()g x 与()h x 关于()f x 是唯一交换，理由如下：因为()()()21f g x x =+，()()21h f x x =-，令()()()()f g x h f x =，所以()2211x x +=-，解得=1x -，所以()()()()f g x h f x =有唯一解=1x -，所以()g x 与()h x 关于()f x 是唯一交换.【小问2详解】由题意可知，对任意的x ∈R ，()()()()f g x h f x =成立，即对任意的x ∈R ，()()()222122a x bx h a x ⎡⎤+-+=+⎢⎥⎣⎦；因为()h x 为函数，且()()()()()2222h ax h a x -+=+，故0b =，故()()()222122a x h a x ⎡⎤-+=+⎢⎥⎣⎦，即()()()2222322a x a h a x a ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥⎪-+=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以()2211326x x h x a x a aa ⎡⎤⎛⎫=-+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，综上所述，0b =.【小问3详解】当0b =时，()21g x x =-，因为()g x 与()f x 关于()e 1e 1x x w x -=+唯一交换，所以存在唯一实数x ，使得()2e 11e 1x x w xf ⎛⎫--= ⎪+⎝⎭，即存在唯一实数x ，使得22211e 1e 12e 1e 1x x x x a --⎡⎤⎛⎫--⎢⎥=+ ⎪++⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即存在唯一实数x ，使得22112e1e 1e 12e 1x xx x a ---+=⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎣⎦；令()22112e 1e 1,e 12e 1x xx x s x ---+=⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥⎪+⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()22211e 1e 1,2e 1e 1x x x x q x p x --⎛⎫--==+ ⎪++⎝⎭，且()()(),,s x q x p x 定义域均为R ，又()()()()22221111e 1e 1e 1e 1x xx x q x q x ---------===++，()()222e 11e e 1222e 11e e 1x x x x x x p x p x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫----=+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()(),q x p x 都是偶函数，所以()s x 为偶函数，因此，若存在唯一实数x 使得22112e 1e 1e 12e 1xxx x a ---+=⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎣⎦，只能是()0a s =，所以()11e 111ee 22e 1a -+-==+，综上所述，a 的取值为()1e2e 1-+.【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义，涉及方程解以及函数奇偶性等相关问题，对学生的理解与计算能力要求较高，难度较大.“新定义”题型的关键是根据新定义的概念、新公式、新定理、新法则、新运算去解决问题，本题第二问可以从方程左右两边对应相等入手，第三问则可以从函数的奇偶性入手进行分析.。

绝密★考试结束前2023学年第二学期浙里特色联盟期中联考高一年级数学学科试题（答案在最后）考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。

3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。

4．考试结束后，只需上交答题纸。

选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合{}24A x x =≤<，集合{}2560B x x x =-+>，则集合A B = （）A ．()2,4B ．()2,3C ．()3,4D ．[)2,32．已知i 是虚数单位，则复数202433i 2i z =+在复平面内所对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设,,αβγ是三个不同平面，且l αγ= ，m βγ= ，则“l m ∥”是“αβ∥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若命题00:,0p x y ∃>，有220000x y x y +=且00x y ≠，则命题p ⌝为（）A ．22,0,x y x y xy ∀>+≠且x y =B ．22,0,x y x y xy ∀>+≠或x y =C ．22,0,x y x y xy ∀≤+≠且x y=D ．22,0,x y x y xy ∀≤+≠或x y=5．已知向量,a b，满足5a = ，6b = ，6a b ⋅=- ，则cos ,a a b += （）A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．19356．已知函数()1sin cos 4f x x x =+，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的周期为πB ．()f x 的图象关于直线π2x =对称C ．1π,4⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心D ．()f x 在区间ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增7．如图，透明塑料制成的长方体容器1111ABCD A B C D -内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器绕边BC 倾斜．随着倾斜度的不同，在下面四个命题中错误．．的是（）（1）（2）（3）A ．没有水的部分始终呈棱柱形B ．棱11A D 始终与水面所在平面平行C ．水面EFGH 所在四边形的面积为定值D ．当容器倾斜如图（3）所示时，BE BF ⋅是定值8．已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3a =，()cos 2cos a B c b A =-，则ABC △面积的最大值为（）A ．4B ．2C ．94D ．92二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

2018-2019学年浙江省杭州市六校联考高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40分）1. 已知集合，0，，0，1，，则A. B. C. D. 0，1，【答案】B【解析】解：集合0，1，，0，，0，1，，0，1，，．故选：B．先求出集合I，再求出，由此能求出．本题考查补集、交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集、交集定义的合理运用．2. 下列选项中，表示的是同一函数的是A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】解：对于A：的定义域为R，定义域为，定义域不相同，不是同一函数；对于B：，它们的定义域为R，但对相应不相同，不是同一函数；对于C：，，它们的定义域为R，对相应相同，是同一函数；对于D：的定义域为，的定义域为或，定义域不相同，不是同一函数；故选：C．根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可．本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，是基础题目．3. 下列函数中，既不是奇函数又不是偶函数的是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：A是偶函数，B是奇函数；C：时，，时，；该函数为非奇非偶函数．故选：C．根据奇函数和偶函数的定义便可判断这几个函数的奇偶性，从而找出正确选项．考查奇函数和偶函数的定义，以及判断方法，非奇非偶函数的定义．4. 函数的定义域是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由函数，得到，即，解得：，则函数的定义域是，故选：D．根据负数和0没有对数，求出函数的定义域即可．此题考查了函数的定义域及其求法，熟练掌握对数及指数函数的性质是解本题的关键．5. 函数的零点所在区间为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：函数的是上的连续函数，且单调递增，，，，．函数的零点所在区间为，故选：B．将选项中各区间两端点值代入，满足的区间为零点所在的一个区间．本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．6. 三个数，，的大小关系为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，，，，故选：A．利用指数函数、对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数、对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7. 已知是定义域为R的偶函数，当时，，则的解集为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：设，则，因为当时，，所以，因为为偶函数，所以，因为为偶函数，所以，则可化为，即，，所以，解得：或，所以不等式的解集是或，故选：C．先求出时的解析式，由偶函数性质得：，则可变为，代入已知表达式可表示出不等式，求出x的范围即可．本题考查函数的奇偶性、一元二次不等式的解法，借助偶函数性质把不等式具体化是解决本题的关键．8. 若当时，函数始终满足，则函数的图象大致为A.B.C.D.【答案】B【解析】解：当时，函数始终满足．因此，必有．先画出函数的图象：黑颜色的图象．而函数，其图象如红颜色的图象．故选：B．由于当时，函数始终满足，利用指数函数的图象和性质可得先画出函数的图象，此函数是偶函数，当时，即为，而函数，即可得出图象．本题考查指数函数与对数函数的图象及性质，属于难题．9. 已知函数且满足：对任意实数，，当时，总有，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由题意可得函数在上是减函数．令，则函数t在上是减函数，且由复合函数的单调性规律可得，且．解得，故选：D．由题意可得函数在上是减函数令，则函数t在上是减函数，由复合函数的单调性规律可得，且，由此求得a的范围．本题主要考查对数函数的图象和性质，复合函数的单调性规律，属于中档题．10. 已知函数是定义域为R的偶函数当时，，若关于x的方程，a，有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是A. B.C. D.【答案】B【解析】解：根据题意，当时，，分析可得：在上递增，在上递减，当时，函数取得极大值，当时，函数取得最小值0，又由函数为偶函数，则在上递增，在上递减，当时，函数取得极大值，当时，函数取得最小值0，要使关于x的方程，a，有且只有6个不同实数根，设，则必有两个根、，且必有，，又由，则有，即a的取值范围是，故选：B．根据题意，由函数的解析式以及奇偶性分析可得的最小值与极大值，要使关于x的方程，a，有且只有6个不同实数根，转化为必有两个根、，讨论、的值，即可得答案．本题考查方程的根的存在以及个数的判定，关键是依据函数的解析式，分析函数的最大、最小值，转化思路，分析二次方程的根的情况．二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 已知，则____________．【答案】27 1【解析】解：，则．．故答案为：27，1．利用指数与对数运算性质即可得出．本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12. 函数且的图象恒过定点P，则点P坐标为______；若点P在幂函数的图象上，则______．【答案】【解析】解：指数函数恒过定点，令得，此时故，设，，，，故答案为：，．根据指数函数的性质求出点P，再代入函数，即可求出本题考查指数函数的性质和幂函数的解析式，考查了运算能力，属于基础题．13. 函数的单调递增区间为______；值域为______．【答案】【解析】解：由，解得：，故函数的定义域是，函数在递增，在递减，而是减函数，根据复合函数同增异减的原则，函数的单调递增区间是，当时，函数取得最小值：，函数的值域为：．故答案为：；．求出函数的定义域，根据二次函数以及对数函数的单调性求出复合函数的递增区间，然后求解函数的值域．本题考查了对数函数以及二次函数的单调性问题，考查复合函数的单调性，以及函数的值域的求法．14. 设函数，则______；若，则实数m的取值范围是______．【答案】0【解析】解：根据题意，函数，则，则，对于，分3种情况讨论：，当时，，，符合题意；，当时，，则，若，即，又由，解可得，此时m的取值范围为；，当时，，当时，，此时，满足，当时，，分析可得：，此时恒成立，此时m的取值范围为；综合可得：m的取值范围为；故答案为：0，根据题意，由分段函数的解析式可得，进而计算的值即可得答案；对于，按m的取值范围分3种情况讨论，分别求出每种情况下不等式解集，综合三种情况即可得答案．本题考查分段函数的应用，涉及函数值的求法，注意分段函数解析式的形式，是基础题．15. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则函数在R上的解析式为______．【答案】【解析】解：根据题意，函数是定义在R上的奇函数，则，设，有，则，又由函数为奇函数，则，则；故答案为：．根据题意，由奇函数的性质可得，设，有，由函数的解析式可得的解析式，结合函数的奇偶性可得，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性的应用，涉及函数解析式的计算，属于基础题．16. 已知在R上为增函数，那么a的取值范围是______．【答案】【解析】解：依题意，有且，解得，又当时，，当时，，因为在R上单调递增，所以，解得综上：故答案为：．由在R上单调增，确定a，以及的范围，再根据单调增确定在分段点处两个值的大小，从而解决问题．本题考查分段函数单调性问题，关键根据单调性确定在分段点处两个值的大小属中档题．17. 已知函数为常数在区间上的最大值为1，则______【答案】【解析】解：由在递增，可得y的值域为，当时，的值域为，由题意可得，解得，舍去；当时，由于函数在不单调，由题意可得或，或，解得成立．综上可得t的值为．故答案为：．由在递增，可得y的值域，讨论时，时，运用函数的单调性可得最值，解方程即可得到所求值．本题考查函数的最值求法，注意运用分类讨论思想方法和函数的单调性，考查方程思想和运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共4小题，共44.0分）18. 设全集，集合，．Ⅰ求，；Ⅱ设集合，若，求实数m的取值范围．【答案】解：Ⅰ全集，集合，分，分或分Ⅱ集合，，，当时，分解得分当时，由得，解得：分综上所述：m的取值范围是分【解析】Ⅰ求出集合A，B，由此能出，．Ⅱ由集合，，得，当时，，当时，由得，由此能求出m的取值范围．本题考查交集、补集、并集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查交集、补集、并集集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．19. 设函数的定义域为．Ⅰ若，求t的取值范围；Ⅱ求的最大值与最小值，并求出最值时对应的x的值．【答案】解：Ⅰ，的取值范围为；Ⅱ化简可得，由二次函数可得当时，y取最小值，此时；当时，y取最大值12，此时．【解析】Ⅰ由对数函数性质可得t的取值范围；Ⅱ利用对数的运算性质与Ⅰ，换元，原函数可化为，，利用二次函数的性质求解即可．本题主要考查对数函数的性质与对数的运算性质、函数的单调性与最值以及换元法．20. 已知函数且是定义在上的奇函数．求a的值；求函数的值域；当时，恒成立，求实数t的取值范围．【答案】解：函数是定义在上的奇函数，，解得．由得，又，，，，函数的值域，由可得，当时，，当时，恒成立，则等价于对时恒成立，令，，即，当时恒成立，即在上的最大值，易知在上单调递增，当时有最大值0，所以，故所求的t范围是：．【解析】根据奇函数的性质，令列出方程，求出a的值；，利用函数性质求出值域．由判断出，再把t分离出来转化为，对时恒成立，利用换元法：令，代入上式并求出m的范围，再转化为求在上的最大值．本题考查了奇函数的性质应用，恒成立问题以及转化思想和分离常数法求参数范围，难度较大．21. 已知，函数，Ⅰ当时，写出函数的单调递增区间；Ⅱ当时，求在区间上的最大值；Ⅲ设，函数在上既有最大值又有最小值，请分别求出p，q的取值范围用a表示．【答案】解：Ⅰ当时，，由图象可得：单调增区间为，．Ⅱ由得：，当时，；当时，；当时，，Ⅲ，当时，图象如图1所示．由得，，，当时，图象如图2所示．由得，，【解析】Ⅰ当时，求得的分段函数式，由二次函数的单调性可得增区间；Ⅱ写出的分段函数，讨论t的范围，即可得到所求最大值；Ⅲ求得的分段函数，讨论，，结合图象可得p，q的范围．本题考查含绝对值函数的图象和性质，考查分类讨论思想方法，以及化简整理的运算能力和推理能力，属于中档题．。