第七讲：平面立体的投影及其截切

例1：求四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。
我们采用的是哪 种解题方法？
棱线法！
例2：求四棱锥被截切后的水平和侧面投影。
1(2)
2
●
1
●
2 1
三面共点： 注意： 1、要逐个截平面分析和绘制截交 Ⅰ、Ⅱ两点分别同 线。 补画棱线 时位于三个面上。 2、当平面体只有局部被截切时，
先假想为整体被截切，求出截交 线后再取局部。
平面立体的投影图画法及面上找点、取线的方法。
（画平面立体的投影图就是画平面立体中所有棱线的投影, 不可见的棱线用虚线表示.平面立体表面找点，利用平面上找点 的方法。） 棱柱的投影特性、投影图画法及其面上取点、取线的方法； 棱锥的投影特性、投影图画法及其面上取点、取线的方法。
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26
截交线的有关概念、性质等。（截交线是由直线组成的封闭的平面多边形， 多边形的边是截平面与棱面的交线，其边数是截平面截到的棱面的个数。）
2
1
Ⅳ
Ⅱ
Ⅰ Ⅲ
５
Ⅵ Ⅴ

k
b
棱柱或棱锥面上取点的步骤:
1、由点的已知投影及其可见性确定点 所在位置; 2、利用积聚性或平面上取点的方法求 另一投影; 3、根据两已知投影求第三投影，并判 断可见性。
三、棱台
特点： 底面——多边形，且对应边互相平行； 棱线——互不平行， 但延长后交于一点； 棱面——梯形。
四棱台的投影如下图示
a

b
的投影也可见。

a
S
二、棱锥
1、 棱锥的三面正投影图的绘制 棱锥处于图示位置时， 其底面ABC是水平面，在水 平投影上反映实形。侧棱面 SAC为侧垂面，另两个侧棱 面为一般位置平面。 2、在棱锥面上取点、取线 同样采用平面上取点法。
a a A s B C

s
k n ( n ) c a(c) b b c s k n
平面立体的投影； 平面立体的表面定点和取线。 平面立体的截切
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1
5.1
平面立体的投影及面上取点、取线
基本立体 棱锥
由 一 个 底 面 和 几 个 棱 面 组 成 。 锥顶 个由 棱两 面个 组底 成面 。和 几 底面为多边形
平行四 边形
组合体 棱柱
平面立体的放置
同一物体因其摆放位置的不同，可绘制 出不同的投影图。
截交线的每条边是截平面与立体表面的交线。 求截交线的实质是求两平面的交线 重点讨论的问题：截交线的分析和投影作图 。 一、平面截切的基本形式 1.单一平面截切平面立体, 截交线在一个截平面内； 2.多个平面截切平面立体, 截交线在多个截平面内， 这时相邻截平面之间还有交线，应准确求出。
二、平面截切体的画图
例:求立体截割后的投影。
2" 1'（2'） 3'（4'） 10' （5'） 5" 4" 1" 3" 10"
Ⅱ Ⅰ Ⅳ Ⅲ Ⅹ Ⅸ Ⅺ
9"
9' 11' 5 2（4）
（6'）
（7'） 8'
6
6" 7" 11" 8"
7 11 1（3） 10 8
三个截平面截切平面立体
9
例：求立体截割后的投影。
本讲小结:重点掌握以下内容
例3: 求八棱柱被平面P截切后的水平投影。
作图步骤: 1、画出棱柱未截切时的投影； 2、求棱线与截平面的交点； 3、判断可见性,顺序连接各点； 4、确定截切后各棱线的长度； 5、用投影的对应关系检查截交线的投影； 6、加深图线。
例4：补全水平投影，作出侧面投影。
空间分析 多个平面截切平面立体 1、三个平面截切棱台，分 别为水平面和两侧平面。 (c") (b") 2、多个平面截切立体时， a" 截平面之间在立体内部产生 d" 交线。 作 图
V
绘制平面立体中所有轮 廓线（棱线及边）的投影,不 可见的线用虚线表示。
每一个投影图中，均包 含立体的所有几何元素。 长对正 宽相等 W 高平齐 ——物体的投影规律 直棱柱的投影特性: 一个投影为多边形， 另外两个投影轮廓线 为矩形。
棱锥的投影特性: 一个投影为多边 形，另外两个投影轮 廓线为三角形。
（5） 4 1 2 （3）
Ⅵ
3 5
1
类似形 6
Ⅴ Ⅳ Ⅲ
2
4
Ⅰ
Ⅱ
例 3: 求八棱柱被平面P截切后的水平投影。
Pv
4≡5
5 7 6 3
4
Ⅴ
2≡3≡6≡7 1≡8 8
2 1
Ⅷ
Ⅶ
Ⅳ Ⅵ Ⅲ Ⅱ
7 6 5
8
3
1 2
4
单一平面截 切平面立体
求截交线 Ⅰ 1、补画棱柱未截切 时的水平投影； 截交线的投影 分析棱线的 检查截交线 截交线的形状？ 2、求棱线与截 特性？ 投影 的投影 平面的交点； 3、判断可见性， 加深图线。 顺序连接各点。
一、棱柱
1、 棱柱的三面投影图的绘制 2、 棱柱面上取点、取线
在图示位置时，六棱柱的两 底面为水平面，在水平投影中反 点的可见性规定： 映实形。前后两棱面是正平面， a 由于棱柱的表面都是平 若点所在的平面的投影 其余四个棱面是铅垂面，它们的 (b ) 面，所以在棱柱的表面上取 水平投影都积聚成直线，与六边 可见，点的投影也可见；若 点、取线与在平面上取点、 形的边重合。 平面的投影积聚成直线，点 取线的方法相同。 b
求截交线的方法：棱线法、棱面法
求截交线的解题方法与步骤
⒈ 空间及投影分析 ⑴ 分析截平面与被截立体的相对位置，以 确定截交线的形状。 ⑵ 分析截平面与被截立体对投影面的相对 位置，以确定截交线的投影特性。 ⒉ 求截交线 注意分析平面体的棱线的投影。 注意:当立体被多个截平面截切时，要逐个截平面进 行截交线的分析与作图。当只有局部被截切时，先按整体 被截切求出截交线，然后再取局部。 最后分析、整理平面体的棱线的投影。
例1: 求四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。
(4)
3 1
2
4
●
●
1
●
2
●
3
4 3
●
●
●
1
●
2
交线的形状？ 截交线水平、 截平面与体的 ★ 求截交线 侧面投影上的 几个棱面相交？ ★ 分析棱线的投影 形状？
★ 空间分析 ★ 投影分析
★ 检查 尤其注意检查截 单一平面截切平面立体 交线投影的类似性。
类似形
5
Ⅴ Ⅰ
例:
求立体切割后的投影。 五个平面截切平面立体
1 （ 2 ） 3 （ 4 ）
2
1
4
3
6 （ 5 ） 6
4 3 2 1
6
5
Ⅱ Ⅳ Ⅲ Ⅵ Ⅴ
Ⅰ
５
例:
求立体切割后的投影
1 （ 2 ） 3 （ 4 ）
4
2
1 3
6 （ 5 ）
6 4 3
6
5
d c
a
b
1、先假想水平面将棱台 完全截开，求得水平投影， 再在其上确定真正截到的 部分。 2、补出侧面投影，求出 侧面投影的截交线。 3、补全并加深所有棱线。
例4：补全水平投影，作出侧面投影。
空间分析 多个平面截切平面立体 1、三个平面截切棱台，分 别为水平面和两侧平面。 (c") (b") 2、多个平面截切立体时， a" 截平面之间在立体内部产生 d" 交线。 作 图 c d 1、先假想水平面将棱台 完全截开，求得水平投影， 再在其上确定真正截到的 部分。 a b 2、补出侧面投影，求出 侧面投影的截交线。 3、补全并加深所有棱线。
例5: 求立体切割后的投影。
4 5 1
（ 3 ）
3 6
4 5
（ 6 ）
2 1
单一平面截 切平面立体
（ 2 ）
Ⅲ
2 3
Ⅳ Ⅵ
1
Ⅱ
6
Ⅴ Ⅰ
5
4
例5: 求立体切割后的投影。
5 1
4 3 ） （
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
6 2 1
4
5
（ 6 ）
类似形
（ 2 ）
2
3
Ⅲ
Ⅳ
1
Ⅵ
6
Ⅱ
4
5.2 平面立体的截切
基本概念 截切： 是指用一个或多个平面与立体 相交。 截平面 —— 用以截切 立体的平面。
截交线 —— 截平面与立 体表面的交线。
截交线 截面
截平面
截交线
截（断）面——由截交线围成的平面图形。 截交线的性质： 截交线是由直线组成的封 闭的平面多边形，多边形的边是截平面与立 体表面（棱面或底面）的交线，其边数是截 平面截到的表面的个数。其形状取决于平面 体的形状及截平面对平面体的截切位置。
两个平面截切平面立体
例2：求四棱锥被截切后的水平和侧面投影。
我们采用的是哪 种解题方法？
棱面法！
练习
求立体切割后的投影。
6
6
5 3 4 1 2
1 2
（5） 4
两个平面截 切平面立体
（3）
Ⅵ Ⅴ
3 5 1 2 6
Ⅳ
Ⅲ
Ⅰ Ⅱ
4
练习
求立体切割后的投影。
6
6 5 3 4 2 类似形
关键是正确地画出截交线的投影。 ⒈ 求截交线的方法： ★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。 ★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。 ⒉ 求截交线的作图步骤： 确定截交 ★ 空间及投影分析 线的形状 ☆ 截平面与立体的相对位置 ☆ 截平面与投影面的相对位置 ★ 画出截交线的投影 确定截交线 分别求出各棱线与截平面的 的投影特性 交点，并连接成多边形。或分别 求出截平面与棱面的交线。