七年级数学下册 3 因式分解检测题课件 (新版)湘教版

素养核心练 (1)问题：若 x2＋2y2－2xy－4y＋4＝0，求 xy 的值；
解：原式可变形为(x－y)2＋(y－2)2＝0，所以 x－y＝22＝4.
素养核心练 (2)应用：已知三角形 ABC 的三边长 a，b，c 都是正整数，且满
足 a2＋b2－6a－6b＋18＋|3－c|＝0，请问三角形 ABC 是什么 形状的三角形？ 解：原式可变形为(a－3)2＋(b－3)2＋|3－c|＝0， 所以 a－3＝0，b－3＝0，3－c＝0， 即 a＝b＝c＝3， 所以三角形 ABC 是等边三角形．
素养核心练 19．先阅读下面的内容，再解决问题．
例题：若 m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求 m 和 n 的值． 解：因为 m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0， 所以 m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0， 所以(m＋n)2＋(n－3)2＝0， 所以 m＋n＝0，n－3＝0， 所以 m＝－3，n＝3.
A．(5a－b)2
B．(5a＋b)2
C．(3a－2b)(3a＋2b)
D．(5a－2b)2
【点拨】9(a－b)2＋12(a2－b2)＋4(a＋b)2＝[3(a－b)＋2(a＋b)]2 ＝(5a－b)2.
能力提升练
16．a4－2a2b2＋b4 因式分解的结果是( D ) A．a2(a2－2b2)＋b4 B．(a－b)2 C．(a－b)4 D．(a＋b)2(a－b)2
能力提升练
18．已知 x2－y2＝20，求[(x－y)2＋4xy][(x＋y)2－4xy]的值．
解：因为 x2－y2＝20， 所以[(x－y)2＋4xy][(x＋y)2－4xy]＝(x2＋2xy＋y2)(x2－2xy＋y2) ＝(x＋y)2(x－y)2＝[(x＋y)(x－y)]2＝(x2－y2)2＝202＝400.

比较两边系数，得a=-1，b=-2. ……………. …………………6分
第十五页，编辑于星期六：六点 一分。
【规律总结】
因式分解与整式乘法的关系
1.如果把整式乘法看做一个变形过程，那么多项式的因式分解就是它的逆
过程.
2.如果把多项式的因式分解看做一个变形过程，那么整式乘法又是因式 分解的逆过程. 3.多项式的因式分解与整式乘法互为逆过程，这种互逆联系，一 方面说明了两者之间的密切联系，另一方面又说明了两者的根本 区别.
4.已知(x+2)(x-2)=x2-4,(x+2)·_______=(x+2)2,故x2-4和(x+2)2都含有的 因式为_______. 【解析】因为(x+2)2=(x+2)(x+2),故x2-4和(x+2)2都含有的因式为x+2. 答案：(x+2) x+2
第二十七页，编辑于星期六：六点 一分。
(A)a(x+y)=ax+ay (B)x2-4x+4=x(x-4)+4
(C)10x2-5x=5x(2x-1) (D)x2-16+3x=(x-4)(x+4)+3x 【解析】选C.A是单项式与多项式的乘法，错误；B等号右边不是积 的形式，错误；C为因式分解，正确；D等号右边不是积的形式，错 误.
第十一页，编辑于星期六：六点 一分。
【解析】选B.x(x-6)=x2-6x≠3x2-6x,故选项A错误;(b+a)(b-a)=b2a2=-a2+b2,故选项B正确;(4x-y)(4x+y)=(4x)2-y2=16x2-y2≠4x2-y2,故选 项C错误;(2x-y)2=4x2-4xy+y2≠4x2-2xy+y2,故选项D错误.

辩一辩
判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解：
A. x(a﹣b)=ax﹣bx
×
B. x2﹣1+y2=(x﹣1)(x+1)+y2
×
C. y2﹣1=(y+1)(y﹣1)
√
D. ax+by+c=x(a+b)+c
×
E. 2a3b=a2•2ab
×
F. (x+3)(x﹣3)=x2﹣9
×
提示：判定一个变形是因式分解的条件：(1)左边是多
整式乘法
(3)(5a-1)2=25a2-10a+1 (4)x2+4x+4=(x+2)2 (5)2πR+ 2πr= 2π(R+r)
整式乘法 因式分解 因式分解
5. 若多项式x4+mx3+nx﹣16含有因式(x﹣2)和(x﹣1)， 求mn的值.
解：因为x4+mx3+nx﹣16的最高次数是4， 所以可设x4+mx3+nx﹣16=(x-1)(x-2)(x2+ax+b)， 则x4+mx3+nx-16=x4+(a-3)x3+(b-3a+2)x2+(2a-3b)x+2b
找一找: 下列各多项式的公因式是什么？
(1) 3x+6y (2)ab-2ac (3) a 2 - a 3 (4)9 m 2n-6mn (5)-6 x 2 y-8 xy 2
3 a a2
3mn -2xy
小亮的解法有误吗？ 把3x2 - 6xy+x分解因式. 解：原式 =x(3x-6y).
错误
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

解:原式=3x2y2(3xy-7x+4). 原式= x2(x-y)-y2(x-y)=(x-y)(x2-y2) =(x-y)(x-y)(x+y)=(x-y)2(x+y). 原式=(a-b-2c)2. 原式=m2-3m-4+3m= m2-4 =(m+2)(m-2).
【火眼金睛】
因式分解: 1 x2-2x+3.
4
解:原式=x2-x+ ( 1 )2
2
= (x 1 )2 .
2
知识点一 用完全平方公式进行因式分解(P65例5、6、 7拓展) 【典例1】因式分解: 4x2-12xy+9y2.
(x-y)4-2(x-y)2+1. (x2+2x)2+2(x2+2x)+1.
【思路点拨】题目可直接利用完全平方公式进行因式 分解. 题目注意要把(x-y)看成整体,并且要分解到每个因式 都不能再分解为止. 题目要两次运用完全平方公式进行因式分解.
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.下列各式中,能用完全平方公式进行因式分解的是
(A)
A. 1 x2-xy+y2
4
B.2x2+4x+1
C.2x2+4xy+y2 D.x2-y2+2xy
2.多项式x2+ax+4能用完全平方公式分解因式,则a的值
是 __±__4____.
3.因式分解:x2-x+ 1 .
(A)
A.4x2-4x+1
B.9x2+3x+1
C.x2+4x+2y2
D.x2+5xy+25y2

2. 下列式子是因式分解的是( C ) A．x(x－1)＝x2－1 B．x2－x＝x(x＋1) C．x2＋x＝x(x＋1) D．x2－x＝(x＋1)(x－1)
知识点 因式分解与整式乘法的区别和联系
3. (3a－y)(3a＋y)是下列哪一个多项式因式分解的
结果( C )
A．9a2＋y2 C．9a2－y2
ห้องสมุดไป่ตู้
C．a(a＋2)(a－2)
D．(a－2)2－4
8. 下列因式分解正确的是( A )
A．2x2－2＝2(x＋1)(x－1)
B．x2＋2x－1＝(x－1)2
C．x2＋1＝(x＋1)2
D．x2－x＋2＝x(x－1)＋2
9. 下列各式从左边到右边的变形：①15x2y＝3x·5xy； ②(x＋y)(x－y)＝x2－y2；③x2－2x＋1＝(x－1)2；④x2－
15. 检验下列因式分解是否正确． (1)a3－ab＝a(a2－b)； (2)x2－x－6＝(x－2)(x－3)； (3)2a2－3ab－2b2＝(2a＋b)(a－2b)； (4)9m2－6mn＋4n2＝(3m－2n)2. 解：(1)、(3)正确；(2)、(4)不正确．
16. 已知多项式 ax2＋bx＋c 分解因式的结果是(3x＋ 1)(4x－3)，求 a＋b＋c 的值．
B．－9a2＋y2 D．－9a2－y2
4. 把 x2＋3x＋C 分解因式得：x2＋3x＋C＝(x＋1)(x
＋2)，则 C 的值为( A )
A．2
B．3
C．－2
D．－3
5. 由(x－2)(x－1)＝x2－3x＋2，则 x2－3x＋2 因式 分解为___(x_－__2_)_(_x_－__1_) ___．
6. 把多项式 x2＋mx＋5 因式分解得(x＋5)(x＋n)， 则 m＝_6_，n＝_1_．

(1) 4a2b 6ab2 2ab 提公因式 解：原式 2ab(2a 3b) 不翼而飞
(2) (2x y)2 (x 2 y)2
忘记初衷 背道而驰
解：原式 (2x y) (x 2y)(2x y) (x 2y)
(3x y)( x 3y) 3x2 8xy 3y2
错解剖析
4
2
2
2
(2)、a4 81
(a2 9)(a 3)(a 3)
(3)、(3x 2 y)2 (2x 3y)2 5(x y)(x y)
基础过关：完全平方公式法
1、下列各式可以用完全平方公式因式分解的
是（ D ） A、 a2 1
B、9x2 9x 1
C、a2 ab b2 2、因式分解
(1)、x2 4xy 4y2
3(x y) 2(x-y) 1
3(x y)(2x-2y+1)
基础过关：平方差公式法
1、下列各式可用平方差公式因式分解的是（ D）
A、a2 b2 2ab
B、(m 1）2 (n m)2
C、 (a b)2 (b a)2 D、1 m2 9n2
2、因式分解
4
(1)、a2 1 b2 a2 (1 b)2 (a 1 b)(a 1 b)
1、下列各等式从左至右是因式分解的 是：___(_3_) __(填序号)
(1) (x 3)(x 3) x2 9 (2) a2 b2 1 (a b)(a b) 1 (3) a2 ab a(a b) (4) 8m2n 4mn 2m
基础过关：提公因式法
多项式6ab3+12a3b2c的公因式（ C ） （A）6ab2c （B）ab2 （C）6ab2 （D）6a3b2c
D、m2 m 1 4
(x-2y)2

(4)(x2+1)2-4x2共有两项，可考虑利用平方差公式分解，故把 (x2+1)2-4x2写成(x2+1)2-(2x)2的形式，分解后为 (x2+1+2x)(x2+1-2x),括号里的每个因式均为完全平方式，故 继续分解为(x+1)2(x-1)2.
【规律总结】
因式分解的三步法
提
有公因式的先提公因式
第2课时
运用完全平方公式因式分解 探究：(1)因为(x+2)2=_x_2+_4_x_+_4_, 所以_x_2+_4_x_+_4_=(x+2)2; (2)因为(x-5)2=_x_2-_1_0_x_+_2_5_, 所以_x_2-_1_0_x_+_2_5_=(x-5)2;
(3)因为(2x+3y)2=_4_x_2+_1__2_x_y_+_9_y_2 , 所以_4_x_2_+_1_2_x_y_+_9_y_2 =(2x+3y)2. (4)因为(a+b)2=_a_2+_2__ab__+_b_2 ，(a-b)2=_a_2_-_2_a_b_+_b_2 ， 所以_a_2_+_2_a_b_+_b_2 =(a+b)2,_a_2-_2__a_b_+_b_2 =(a-b)2.
(C)x2+x+1
(D)x2+4x+4
【解析】选D.根据完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2可得，
选项A，B，C都不能用完全平方公式进行因式分解，D项可以，
即x2+4x+4=(x+2)2.
2.下列各式因式分解正确的是( )

• 解：原式=-m(m2-n2)
•
=-m(m+n)(m-n)
• 11、
9a 4 36b2
• 解：原式=-9(a4-4b2)
•
=-9[(a2)2-(2b)2]
•
=-9(a2+2b)(a2-2b)
利用完全平方公式
• 1、
y2 4y 4
• 解：原式=(y2+4y+22)
•
=(y+2)2
利用完全平方公式
• 2、
9a 2 3a 1 4
• 解：原式=(3a)2-3a+ ( 1)2 2
•
=(3a-
1 2
)2
利用完全平方公式
• 3、
9a2 12ab 4b2
• 解：原式=-(9a2-12ab+4b2)
•
=-[(3a)2-12ab+(2b)2]
•
=-(3a-2b)2
利用完全平方公式
• 2、
•
1
-2
•
1
-5
• 1×（-5）+1×（-2）=-7（一次项系数）
• 解：原式=(x-2)(x-5)
• 3、
•
1
3
•
1
6
• 1×6+1×3=9(一次项系数）
• 解：原式=(x+3)(x+6)
• 4、
•
1
-2
•
1
-10
• 1×（-10）+1×(-2)=-12( 一次项系数）
• 解：原式=(x-2)(x-10)
• 变形：(a+c)(a-b)2-(a-c)(a-b)2
• 找最简公因式:(a-b)2

【学霸提醒】 提公因式法与平方差公式综合应用的一般步骤
“一提”“二套”“三查”. 一提:将一个多项式分解因式时,第一要视察被分解的 多项式是否有公因式,若有,就要先提公因式;
二套:再视察另一个因式特点,进而发现其能否用公式 法继续分解; 三查:因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.
【题组训练】
2.下列各式应用平方差公式进行因式分解: ①32-y2=9-y2;②a2-9b2=(a+9b)(a-9b); ③4x4-1=(2x2+1)(2x2-1);
④m2n2- 1 = (mn 1 )(mn 1 ) ;⑤-a2-b2=(-a+b)(-a-b).
9
3
3
其中正确的有 ( B )
A.1个
B.2个
【学霸提醒】 能应用平方差公式因式分解的多项式特点 等号左边: ①是二项式; ②每一项都可以表示成平方的情势;
③两项的符号相反. 等号右边是等号左边两底数的和与两底数的差的积.
【题组训练】 1.下列多项式不能用平方差公式因式分解的是( A ) A.-m2-n2 B.-16x2+y2 C.b2-a2 D.4a2-49n2
C.(-x)2+y2
D.x2+(-y)2
(B)
2.多项式n2-4m2因式分解的结果为 ___(_n_+_2_m_)_(_n_-_2_m_)___. 3.因式分解:(a-2b)2-b2.
解:(a-2b)2-b2 =(a-2b+b)(a-2b-b) =(a-b)(a-3b).
知识点一 用平方差公式进行因式分解(P63-64例1,2,
3拓展)
【典例1】因式分解:
16- m21.
25
81y4-16x4.

17. 某养殖专业户现计划投资建仔猪场和成猪场， 两个养殖场均为正方形．已知成猪场的面积比仔猪场的 面积大 40 m2，两个猪场的围墙总长为 80 m，请你帮他 计算出这两个猪场的面积分别是多少？(两个猪场没有 公共围墙)
解：设成猪场的边长为 x m，仔猪场的边长为 y m， 由题意得x42（－xy＋2＝y）40＝，80.
x□－4y2(“□”表示漏抄的指数)，则这个指数可能的结果共
有( D )
A．2 种
B．3 种
C．4 种
D．5 种
【解析】该指数可能是 2，4，6，8，10 五个数．
6. 因式分解： (1)a3－4ab2＝__a_(_a_＋__2_b_)(_a_－__2_b_)_______． (2)x2－64＝__(x_＋__8_)_(_x_－__8_) ____． (3)3x2－27＝_3_(_x_＋__3_)_(x_－ ___3_) ___．
14. 分解因式：
(1)x2(2a－b)＋4(b－2a)；
解：原式＝(2a－b)(x＋2)(x－2)；
(2)－4a2x2＋(2ax－3ay)2. 解：原式＝3a2y(3y－4x)； (3)2x4－18. 解：原式＝2x4－124 ＝2x2＋122x2－122 ＝2x2＋14x＋12x－12.
15. 用平方差公式进行简便计算： (1)152－4×2.52； 解：原式＝152－(2×2.5)2 ＝(15＋5)×(15－5) ＝200；
解：(1)11×29＝202－92；12×28＝202－82； 13×27＝202－72；14×26＝202－62； 15×25＝202－52；16×24＝202－42； 17×23＝202－32；18×22＝202－22； 19×21＝202－12；20×20＝202－02. 例如：11×29；假设 11×29＝□2－○2， 因为□2－○2＝(□＋○)(□－○)； 所以，可以令□－○＝11，□＋○＝29. 解得，□＝20，○＝9. 故 11×29＝202－92. 或 11×29＝(20－9)(20＋9)＝202－92.