七年级数学下册第3章因式分解3.1多项式的因式分解习题课件新版湘教版
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七年级数学下册第3章因式分解3.1多项式的因式分解习题课件新版湘教版
2.根据上面的算式填空： (1)3x2-3x=_3_x_(_x_-_1_)_； (2)m2-16=_(_m_+_4_)_(_m_-_4_)_； (3)y2-6y+9=(__y_-_3_)_2 ； (4)a3-a=_a_(_a_+_1_)_(_a_-_1_)_.
【归纳】把一个多项式表示成若干个多项式_乘__积__的形式，称 为把这个多项式因式分解.
【跟踪训练】 5.(2012·西宁中考)下列因式分解正确的是( ) (A)3x2-6x=x(x-6) (B)-a2+b2=(b+a)(b-a) (C)4x2-y2=(4x-y)(4x+y) (D)4x2-2xy+y2=(2x-y)2
【解析】选B.x(x-6)=x2-6x≠3x2-6x,故选项A错误;(b+a)(ba)=b2-a2=-a2+b2,故选项B正确;(4x-y)(4x+y)=(4x)2y2=16x2-y2≠4x2-y2,故选项C错误;(2x-y)2=4x24xy+y2≠4x2-2xy+y2,故选项D错误.
因式分解与整式乘法的关系
【例2】(6分)若多项式x2+ax+b可分解为(x+1)(x-2)，试求a，b
的值.
【规范解答】由题意， 得x2+ax+b=(x+1)(x-2)， 而(x+1)(x-2)=x2-x-2，………2分 所以x2+ax+b=x2-x-2.
特别提醒:注意多项式 与多项式相等，是指 各项的系数对应相等.
一、因式 因为21=3×7，所以把3和7分别叫做21的一个_因__数__ 同理：对于两个多项式f与g，如果多项式h使得f=gh，那么，把 _g_和_h_分别叫做_f_的一个因式.
湘教版七年级下册3.1多项式的因式分解课件12张PPT
（包含单项式与多项式的积或多项式与多项式的积）
深度理解
左边的整式乘法和 右边的因式分解有什
么关系？
整式的乘法
把积化为和
因式分解
互逆关系 把和化为积
下列代数式变形中，哪些是因式分解，
哪些不是？为什么？
(1)2������ ������ + ������ = ������������������ − ������������
——湘教版七年级数学下册
42能被哪些数整除？
42=2×3×7
类似地，在式的变形中，有时也要将一个 多项式写成几个整式乘积的形式。
例，������������ − ������������ = (������ + ������)(������ − ������)
一般地，对于两个多项式f与g，如果有 多项式h使得f=g h，那么我们把g叫做f的一个因式， 此时，h也是f的一个因式。
������������ − ������������
9−252
������2 + 2������ + 1
xy−������2
(������ + 1)2 ������(������ − ������) (3 − 5������)(3 + 5������) (������ + ������)(������ − ������)
2 2������2 − 1 = 2������ + 1 2������ − 1
解：因为 ������������ + ������ ������������ − ������ = ������������������ − ������ ≠ ������������������ − ������ 所以因式分解������������������ − ������ = ������������ + ������ ������������ − ������ 不正确
深度理解
左边的整式乘法和 右边的因式分解有什
么关系？
整式的乘法
把积化为和
因式分解
互逆关系 把和化为积
下列代数式变形中，哪些是因式分解，
哪些不是？为什么？
(1)2������ ������ + ������ = ������������������ − ������������
——湘教版七年级数学下册
42能被哪些数整除？
42=2×3×7
类似地，在式的变形中，有时也要将一个 多项式写成几个整式乘积的形式。
例，������������ − ������������ = (������ + ������)(������ − ������)
一般地，对于两个多项式f与g，如果有 多项式h使得f=g h，那么我们把g叫做f的一个因式， 此时，h也是f的一个因式。
������������ − ������������
9−252
������2 + 2������ + 1
xy−������2
(������ + 1)2 ������(������ − ������) (3 − 5������)(3 + 5������) (������ + ������)(������ − ������)
2 2������2 − 1 = 2������ + 1 2������ − 1
解：因为 ������������ + ������ ������������ − ������ = ������������������ − ������ ≠ ������������������ − ������ 所以因式分解������������������ − ������ = ������������ + ������ ������������ − ������ 不正确
七年级数学下册 第3章 因式分解 3.1 多项式的因式分解课件 湘教下册数学课件
=x2+6x+8.
因为(yīn wèi)甲看错了b,所以a=6.
(x+1)(x+9)
=x2+9x+x+9
=x2+10x+9.
第二十五页，共四十五页。
因为(yīn wèi)乙看错了a,所以b=9,所以a+b=15.
第二十六页，共四十五页。
【学霸提醒】
因式分解(yīn shìfēn jiě)与整式乘法的联系与区别
第二十一页，共四十五页。
(5)右边不是整式积的形式(xíngshì),不是因式分解. 则(1)(2)(4)(5)不是因式分解,(3)是因式分解.
第二十二页，共四十五页。
知识点二 因式分解与整式乘法的关系
(P56例2拓展)
【典例2】甲、乙两个同学进行(jìnxíng)因式分解x2+ax+b时,甲看
第十九页，共四十五页。
(4)9x2-6x+1=3x(3x-2)+1. (5)x2+1=x ( x. 1 )
x
第二十页，共四十五页。
解:(1)因式分解是针对(zhēnduì)多项式来说的,故(1)不是因式分解.
(2)右边不是整式积的形式,不是因式分解.
(3)是因式分解. (4)右边不是整式积的形式,不是因式分解.
第六页，共四十五页。
2.因式分解 把一个多项式表示成若干个多项式的________乘_的积形(ch式éng(jxīí)ngshì), 称为把这个多项式因式分解. 3.因式分解与整式乘法的关系
第七页，共四十五页。
【基础小练】 请自我(zìwǒ)检测一下预习的效果吧!
1.下列各式由左到右的变形是因式分解的是 (
因为(yīn wèi)甲看错了b,所以a=6.
(x+1)(x+9)
=x2+9x+x+9
=x2+10x+9.
第二十五页，共四十五页。
因为(yīn wèi)乙看错了a,所以b=9,所以a+b=15.
第二十六页，共四十五页。
【学霸提醒】
因式分解(yīn shìfēn jiě)与整式乘法的联系与区别
第二十一页，共四十五页。
(5)右边不是整式积的形式(xíngshì),不是因式分解. 则(1)(2)(4)(5)不是因式分解,(3)是因式分解.
第二十二页，共四十五页。
知识点二 因式分解与整式乘法的关系
(P56例2拓展)
【典例2】甲、乙两个同学进行(jìnxíng)因式分解x2+ax+b时,甲看
第十九页，共四十五页。
(4)9x2-6x+1=3x(3x-2)+1. (5)x2+1=x ( x. 1 )
x
第二十页，共四十五页。
解:(1)因式分解是针对(zhēnduì)多项式来说的,故(1)不是因式分解.
(2)右边不是整式积的形式,不是因式分解.
(3)是因式分解. (4)右边不是整式积的形式,不是因式分解.
第六页，共四十五页。
2.因式分解 把一个多项式表示成若干个多项式的________乘_的积形(ch式éng(jxīí)ngshì), 称为把这个多项式因式分解. 3.因式分解与整式乘法的关系
第七页，共四十五页。
【基础小练】 请自我(zìwǒ)检测一下预习的效果吧!
1.下列各式由左到右的变形是因式分解的是 (
七年级数学下册第3章因式分解3.1多项式的因式分解教案新版湘教版
3.1 多项式的因式分解教学目标1.知识与技能：使学生了解因式分解的意义，理解因式分解与整式乘法的联系与区别；使学生理解并熟练运用提公因式法分解因式。
2.过程与方法：培养学生全面观察问题、分析问题和逆向思维的能力。
3.情感与态度：通过学生自行探求解题途径，培养学生的科学精神和创新意识。
重点与难点重点：理解分解因式的意义，准确地辨析整式乘法与分解因式这两种变形。
难点：对分解因式与整式关系的理解教学过程一、创设情境，导入新课1. 回顾整式乘法和乘法公式填空：计算：(1)2ab(3a+4b-1)=_________, （2）（a+2b）(2a-b)=__________(3)（x-2y）(x+2y)=__________; (4) =_____________(5) =________2. 你会解方程：吗？估计学生会想到两种做法：（1）一是用平方根的定义，（2）二是：解：（x+1）(x-1)=0,根据两个因式相乘等于0，必有一个因式等于0，得到：x+1=0或者x-1=0,因此：得x=1或-1指出：把叫因式分解，为什么要把一个多项式因式分解呢？这节课我们来学习这个问题。
二合作交流，探究新知1. 因式的概念（1）说一说：6=2×___, .（2）指出：对于6与2，有整数3使得6=2×3，我们把2叫6的一个因数，同理,3也是6的一个因数。
类似的：对于整式与x+2,有整式x-1使得，我们把x+2叫多项式的一个因式，同理，x-2也叫多项式的一个因式。
你能说说什么叫因式吗？一般地，对于两个多项式f与g,如果有多项式h使得f=gh,那么我们把g叫f 的一个因式，同样，h也是f的一个因式。
（3）考考你：你能说出下面多项式有什么因式吗？A ab+ac,BC D2. 因式分解的概念（1）指出;一般地，把一个含字母的多项式表示成若干个均含字母的多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解。
（2）考考你：下面变形叫因式分解吗？E =F =说明：因式分解的对象是含有字母的多项式因此A 不是因式分解，因式分解的目的是把含字母的多项式化成均含字母的乘积的形式，因此B不是，因为不是多项式。
2022春七年级数学下册第3章因式分解3.1多项式的因式分解习题课件新版湘教版20220222113
2. 下列式子是因式分解的是( C ) A．x(x－1)＝x2－1 B．x2－x＝x(x＋1) C．x2＋x＝x(x＋1) D．x2－x＝(x＋1)(x－1)
知识点 因式分解与整式乘法的区别和联系
3. (3a－y)(3a＋y)是下列哪一个多项式因式分解的
结果( C )
A．9a2＋y2 C．9a2－y2
ห้องสมุดไป่ตู้
C．a(a＋2)(a－2)
D．(a－2)2－4
8. 下列因式分解正确的是( A )
A．2x2－2＝2(x＋1)(x－1)
B．x2＋2x－1＝(x－1)2
C．x2＋1＝(x＋1)2
D．x2－x＋2＝x(x－1)＋2
9. 下列各式从左边到右边的变形：①15x2y＝3x·5xy； ②(x＋y)(x－y)＝x2－y2；③x2－2x＋1＝(x－1)2；④x2－
15. 检验下列因式分解是否正确． (1)a3－ab＝a(a2－b)； (2)x2－x－6＝(x－2)(x－3)； (3)2a2－3ab－2b2＝(2a＋b)(a－2b)； (4)9m2－6mn＋4n2＝(3m－2n)2. 解：(1)、(3)正确；(2)、(4)不正确．
16. 已知多项式 ax2＋bx＋c 分解因式的结果是(3x＋ 1)(4x－3)，求 a＋b＋c 的值．
B．－9a2＋y2 D．－9a2－y2
4. 把 x2＋3x＋C 分解因式得：x2＋3x＋C＝(x＋1)(x
＋2)，则 C 的值为( A )
A．2
B．3
C．－2
D．－3
5. 由(x－2)(x－1)＝x2－3x＋2，则 x2－3x＋2 因式 分解为___(x_－__2_)_(_x_－__1_) ___．
6. 把多项式 x2＋mx＋5 因式分解得(x＋5)(x＋n)， 则 m＝_6_，n＝_1_．
湘教初中数学七年级下册《3.1 多项式的因式分解》课堂教学课件 (3)
＝32 我们主要学习了因式分解的意义及因式分解与整 式乘法的关系. 在对因式分解意义的理解上要注意： ①等式的左边必须是多项式； ②分解的结果必须是几个整式的积； ③必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止.
真理喜欢批评，因为经过批评，真理就会 取胜；谬误害怕批评，因为经过批评，谬 误就会失败.
根据左面的算式填空: (1) 3x2-3x=_3_x__(x_-_1__)__ (2) ma+mb+mc=_m__(_a_+_b__+_c) (3) m2-16=(_m__+__4_)_(m__-_4__) (4) x2-6x+9=__(x__-3__)2_____ (5) a3-a=_a_(_a_+__1_)(_a_-_1_)_
因式分解与整式乘法有何关系? 因式分解与整式乘法是相反方向的变形.
1.判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?
(1)x2-4y2=(x+2y)(x-2y)
因式分解
(2)2x(x-3y)=2x2-6xy
整式乘法
(3)(5a-1)2=25a2-10a+1
整式乘法
(4)x2+4x+4=(x+2)2 (5)(a-3)(a+3)=a2-9
(2)(a+3)(a-3)=a2-9
(3)(a+2b)2=a2+4ab+4b2
(4)(a-3b)2=a2-6ab+9b2
计算下列各式:
3x(x-1)= ____3_x_2_-3x m(a+b+c) = ___m__a_+_ mb+ (m+4)(m-4)= __m__cm__2-16
(x-3)2= ____x_2_-___ a(a+1)(a-1)=6x_+__9_a_3_-a
真理喜欢批评，因为经过批评，真理就会 取胜；谬误害怕批评，因为经过批评，谬 误就会失败.
根据左面的算式填空: (1) 3x2-3x=_3_x__(x_-_1__)__ (2) ma+mb+mc=_m__(_a_+_b__+_c) (3) m2-16=(_m__+__4_)_(m__-_4__) (4) x2-6x+9=__(x__-3__)2_____ (5) a3-a=_a_(_a_+__1_)(_a_-_1_)_
因式分解与整式乘法有何关系? 因式分解与整式乘法是相反方向的变形.
1.判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?
(1)x2-4y2=(x+2y)(x-2y)
因式分解
(2)2x(x-3y)=2x2-6xy
整式乘法
(3)(5a-1)2=25a2-10a+1
整式乘法
(4)x2+4x+4=(x+2)2 (5)(a-3)(a+3)=a2-9
(2)(a+3)(a-3)=a2-9
(3)(a+2b)2=a2+4ab+4b2
(4)(a-3b)2=a2-6ab+9b2
计算下列各式:
3x(x-1)= ____3_x_2_-3x m(a+b+c) = ___m__a_+_ mb+ (m+4)(m-4)= __m__cm__2-16
(x-3)2= ____x_2_-___ a(a+1)(a-1)=6x_+__9_a_3_-a
[新湘教版]七年级数学下册第3章《因式分解》《3.3.1因式分解之平方差公式》课件
生活不必处处带把别人送你的尺子，时时丈量 自己。
对大部分人来说，工作是我们憎恨的一种乐 趣，一种让我们脚步变得轻盈的重负，一个没 有它我们就无处可去的地狱。
世界上任何书籍都不能带给你好运，但是它 们能让你悄悄成为你自己。
一个人的成就越大，对他说忙的人就越少； 一个人的成就越小，对他说忙的人就越多。
山，人外有人!
• 正视自己的长处，扬长避短， • 正视自己的缺点，知错能改， • 谦虚使人进步，骄傲使人落后。 • 自信是走向成功的第一步， • 强中更有强中手，一山还比一山高，山外有
山，人外有人!
永远不要认为我们可以逃避，我们的每一步都 决定着最后的结局，我们的脚正在走向我们自 己选定的终点。
(3)(a+b)2-4a2
课堂小结
1.平方差公式： a2-b2 = (a+b)(a-b) 2.用平方差公式因式分解步骤：
Zx.xk
一变、 二分解
拓展训练1：因式分解
1.-25x2y2+100 2.4(a-b)2-9(2a+3b)2 3.(2a-b)2-9a2 4.(x2+3x)2-(x+1)2
拓展训练2：利用因式分解计算
(3)-64+9m2
(4)a2b2-c2
例题2
(x y)2 (x y)2
(1)(x+2)2-y2
(2)(x+m)2-(x+n)2
(3) (x+p)2 – (x+q)2.
例3 分解因式:
x4 y4
分解因式, 必须进行 到每一个 多项式都 不能再分 解为止.
例3 分解因式:
x4 y4
分解因式, 必须进行 到每一个 多项式都 不能再分 解为止.
对大部分人来说，工作是我们憎恨的一种乐 趣，一种让我们脚步变得轻盈的重负，一个没 有它我们就无处可去的地狱。
世界上任何书籍都不能带给你好运，但是它 们能让你悄悄成为你自己。
一个人的成就越大，对他说忙的人就越少； 一个人的成就越小，对他说忙的人就越多。
山，人外有人!
• 正视自己的长处，扬长避短， • 正视自己的缺点，知错能改， • 谦虚使人进步，骄傲使人落后。 • 自信是走向成功的第一步， • 强中更有强中手，一山还比一山高，山外有
山，人外有人!
永远不要认为我们可以逃避，我们的每一步都 决定着最后的结局，我们的脚正在走向我们自 己选定的终点。
(3)(a+b)2-4a2
课堂小结
1.平方差公式： a2-b2 = (a+b)(a-b) 2.用平方差公式因式分解步骤：
Zx.xk
一变、 二分解
拓展训练1：因式分解
1.-25x2y2+100 2.4(a-b)2-9(2a+3b)2 3.(2a-b)2-9a2 4.(x2+3x)2-(x+1)2
拓展训练2：利用因式分解计算
(3)-64+9m2
(4)a2b2-c2
例题2
(x y)2 (x y)2
(1)(x+2)2-y2
(2)(x+m)2-(x+n)2
(3) (x+p)2 – (x+q)2.
例3 分解因式:
x4 y4
分解因式, 必须进行 到每一个 多项式都 不能再分 解为止.
例3 分解因式:
x4 y4
分解因式, 必须进行 到每一个 多项式都 不能再分 解为止.
2022年数学湘教版七下《多项式的因式分解》立体课件(公开课版)
x 4
4
你能总结出单项式与多项式相乘的法则吗?
单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再 把所得的积相加
例2:计算
(1) 2 a2 b 1 ab 3a b2
2
解:原式=
2 a2 b 1 ab (2 a2 b 3a b2) 2
a3b2 6 a3b3
(2)
1 3
x
3 4
xy
2 1 a2 a2 2
3ab2 4ac
=3 ×a ×b2 × 4×a ×c
=(3 ×4) ×(a × a) ×b 2×c
=12a2b²c
a4
你能总结出单项式与单项式相乘的法则吗?
单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘,其余字母 连同它的指数不变,作为积的因式
例1:计算
=（-3）2 （ a3 ） 2
=9a6
1、已知：anbn=2 求：1）（a b)n=________
2) a2nb2n=_______ 2 、若a2nb2n=16 (a>0,n是正整数）
则anbn=__________
再见
(1)
3
b3
5 6
b2
解:原式 3 5 b3 b2 6
5 b5 2
(2) 6a y3 a2
解:原式 6 1a a2 y3
6 a3 y3
(3) 3x3 5 x2 y
解:原式 27 x3 5 x2 y
(4) 2 1046 103107
解:原式 2 6 104 103 107
练习
1.求4，6，14的最大公因数. 答案：2.
2.下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不 是，为什么？ （1）( x+1 )( x+2 )=x2+3x+2； （2）2x2y+4xy2=2xy( x+2y )； （3）x2-2=( x+1 )( x+1 )-1； （4）4a2-4a+1=( 2a-1 )2.
部编湘教版七年级数学下册优质课件 3.1 多项式的因式分解 (2)
第3章 因式分解
3.1 多项式的因式分解
湘教版 七年级下册
新课导入
（1）21 等于 3 乘哪个整数？
21＝3×7
（2）x2－1等于x+1乘哪个多项式？
x2 1 x 1 x 1
对于整数21 与 3，有整数 7 使得21＝3×7，我们把3叫做21的一个因数．同理，7 也是21的一个因数．
对于多项式 x 2 1与 x ， 1有多项式x－1使得
同样地，每一个多项式可以表示成若干个最基本的多项式的乘积的形式，从而为
许多问题的解决架起了桥梁．例如，以后要学习的分式的约分，解一元二次方程等，
常需要把多项式进行因式分解.
注意：
1.因式分解必须在整式范围内进 行，否则不属于因式分解；
2.利用整式的乘法可以验证因式 分解是否正确.
课堂小结
通过这节课的学习活动，你有什么收获？
（６） a2 4 3a (a 2)(a 2) 3a （ No）
3.5) x 2 2x 15 B. x 2 2x 15 (x 3)( x 5) （1）从左到右看，A式是___整__式__乘_,B法式是______因__式__分. 解 （（23） ）因整____式式____分乘____解法__是是把把一几个个多整项式式的化积成展几开个成整一式个的多乘项积式的. 形式.
x2 1 x 1 x 1，我们把x+1叫做x2－1的一个因式，同理，x－1
也是 x2－1 的一个因式．
推进新课
一般地，对于两个多项 式f ① 与 g，如果有多项式 h 使得 f = gh ，那么我们把 g 叫做 f 的一个因式，此时，h 也是 f 的一个因 式．
① 在现代数学文献中，把单项式看成是只有一项的多项式．
课后作业
3.1 多项式的因式分解
湘教版 七年级下册
新课导入
（1）21 等于 3 乘哪个整数？
21＝3×7
（2）x2－1等于x+1乘哪个多项式？
x2 1 x 1 x 1
对于整数21 与 3，有整数 7 使得21＝3×7，我们把3叫做21的一个因数．同理，7 也是21的一个因数．
对于多项式 x 2 1与 x ， 1有多项式x－1使得
同样地，每一个多项式可以表示成若干个最基本的多项式的乘积的形式，从而为
许多问题的解决架起了桥梁．例如，以后要学习的分式的约分，解一元二次方程等，
常需要把多项式进行因式分解.
注意：
1.因式分解必须在整式范围内进 行，否则不属于因式分解；
2.利用整式的乘法可以验证因式 分解是否正确.
课堂小结
通过这节课的学习活动，你有什么收获？
（６） a2 4 3a (a 2)(a 2) 3a （ No）
3.5) x 2 2x 15 B. x 2 2x 15 (x 3)( x 5) （1）从左到右看，A式是___整__式__乘_,B法式是______因__式__分. 解 （（23） ）因整____式式____分乘____解法__是是把把一几个个多整项式式的化积成展几开个成整一式个的多乘项积式的. 形式.
x2 1 x 1 x 1，我们把x+1叫做x2－1的一个因式，同理，x－1
也是 x2－1 的一个因式．
推进新课
一般地，对于两个多项 式f ① 与 g，如果有多项式 h 使得 f = gh ，那么我们把 g 叫做 f 的一个因式，此时，h 也是 f 的一个因 式．
① 在现代数学文献中，把单项式看成是只有一项的多项式．
课后作业
七年数学下册第3章因式分解31多项式的因式分解习题课件湘教版
17．阅读例题，解决问题： 例题：已知二次三项式 x2－4x＋m 有一个因式是 x＋3，求另 一个因式以及 m 的值． 解：设另一个因式为 x＋n，则 x2－4x＋m＝(x＋3)(x＋n)， 即 x2－4x＋m＝x2＋(n＋3)x＋3n. 所以nm＋＝33＝n，－4，解得nm＝＝－－72，1， 所以另一个因式为 x－7，m 的值为－21.
13．下列各式由左边到右边的变形，是因式分解的用 A 表示， 是整式乘法的用 B 表示．
(1)6a3－3a2b＝3a2(2a－b)； 解：A (2)－x2＋x3＝－x2(1－x)； A (3)(x－2)(x－3)＝x2－5x＋6； B (4)(a－3b)2＝a2－6ab＋9b2； B (5)x2－25＝(x＋5)(x－5)； A (6)(a－b)2－2(a－b)＝(a－b)(a－b－2)． A
④x2＋3x＋1＝xx＋3＋1x. A．0 个 B．1 个 C．2 个
D．3 个
5．下列各式因式分解结果是(a－2)(b＋3)的是( B )
Байду номын сангаас
A．－6＋2b－3a＋ab B．－6－2b＋3a＋ab
C．ab－3b＋2a－6
D．ab－2a＋3b－6
6．因式分解结果为(x－1)2 的多项式是( A )
A．x2－2x＋1
D．b＝－4，c＝－6
【点拨】由多项式 2x2＋bx＋c 因式分解为 2(x－3)(x＋1)，
得 2x2＋bx＋c＝2(x－3)(x＋1)＝2x2－4x－6，
所以 b＝－4，c＝－6.
10．已知(x＋3)(x－1)＝x2＋2x－3，则 x2＋2x－3 因式分解的结 果是__(_x_＋__3_)_(x_－__1_)______．
解：因为因式分解 x2＋ax＋b，甲看错了 a 的值，分解的结果是 (x－3)(x＋2)，(x－3)(x＋2)＝x2－x－6，所以 b＝－6. 因为乙看错了 b 的值，分解的结果是(x－2)(x－3)， (x－2)(x－3)＝x2－5x＋6，所以 a＝－5. 所以 a＋b＝－5＋(－6)＝－11.
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【预习思考】 因式分解和整式乘法有什么关系？ 提示：是相反的过程.
因式分解的概念
【例1】下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？哪些不是？
为什么？
(1)36a2b=3a·12ab；
(2)x2－2xy+y2=(x－y)2；
(3)(a－1)(a+2)=a2+a－2； (4) 1 ax+ 1 bx= 1 x(a+b)；
6.(3a-y)(3a+y)是下列哪一个多项式因式分解的结果( )
(A)9a2+y2
(B)-9a2+y2
(C)பைடு நூலகம்a2-y2
(D)-9a2-y2
【解析】选C.(3a-y)(3a+y)=9a2-y2.
7.若x2+x+m=(x+n)2，求m，n的值.
【解析】因为(x+n)2=x2+2nx+n2=x2+x+m，
【跟踪训练】 1.下列各式由左边到右边的变形中是因式分解的为( ) (A)a(x+y)=ax+ay (B)x2-4x+4=x(x-4)+4 (C)10x2-5x=5x(2x-1) (D)x2-16+3x=(x-4)(x+4)+3x 【解析】选C.A是单项式与多项式的乘法，错误；B等号右边不 是积的形式，错误；C为因式分解，正确；D等号右边不是积的 形式，错误.
比较两边系数，得a=-1，b=-2. ………………………………6
分
【规律总结】 因式分解与整式乘法的关系
1.如果把整式乘法看做一个变形过程，那么多项式的因式分解就 是它的逆过程. 2.如果把多项式的因式分解看做一个变形过程，那么整式乘法又 是因式分解的逆过程. 3.多项式的因式分解与整式乘法互为逆过程，这种互逆联系，一 方面说明了两者之间的密切联系，另一方面又说明了两者的根 本区别.
3.7，21和42的最大公约数为_______. 【解析】因为21=3×7， 42=2×3×7， 所以7，21和42的最大公约数为7. 答案：7
4.若4a2-9b2=(2a+3b)(2a-3b);4a2-6ab=2a(2a-3b); 8a3-27b3=(2a-3b)(4a2+6ab+9b2).则多项式4a2-9b2, 4a2-6ab和8a3-27b3都含有的因式为_________. 【解析】2a+3b和2a-3b是4a2-9b2的因式，2a和2a-3b是 4a2-6ab的因式，2a-3b和4a2+6ab+9b2是8a3-27b3的因式， 故这三个多项式都含有的因式为2a-3b. 答案：2a-3b
4.已知(x+2)(x-2)=x2-4,(x+2)·_______=(x+2)2,故x2-4和 (x+2)2都含有的因式为_______. 【解析】因为(x+2)2=(x+2)(x+2),故x2-4和(x+2)2都含有的 因式为x+2. 答案：(x+2) x+2
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(4) 1ax+ 1bx= 1x(a+b)等号的左侧是多项式，右侧是几个整式
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的积的形式，所以该变形是因式分解. (5)4a2－8a－1=4a(a－2)－1等号的左侧是多项式，但等号的 右侧不是几个整式的积的形式，所以该变形不是因式分解.
【规律总结】 因式分解的两个要求
1.分解的结果要以积的形式表示. 2.每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项 式的次数.
因式分解与整式乘法的关系
【例2】(6分)若多项式x2+ax+b可分解为(x+1)(x-2)，试求a，b
的值.
【规范解答】由题意， 得x2+ax+b=(x+1)(x-2)， 而(x+1)(x-2)=x2-x-2，………2分 所以x2+ax+b=x2-x-2.
特别提醒:注意多项式 与多项式相等，是指 各项的系数对应相等.
所以2n=1，n2=m，
解得：m=1 ，n=1 .
4
2
1.(2012·济宁中考)下列式子变形是因式分解的是( ) (A)x2-5x+6=x(x-5)+6 (B)x2-5x+6=(x-2)(x-3) (C)(x-2)(x-3)=x2-5x+6 (D)x2-5x+6=(x+2)(x+3)
【解析】选B.x2-5x+6=x(x-5)+6的右边最终还是和的形式， 所以不是因式分解，所以A选项错误；x2-5x+6=(x-2)(x-3)满 足多项式由和差形式化为乘积形式，且右边(x-2)(x-3)=x2-3x2x+6 =x2-5x+6，等号的左边和右边相等，所以B选项正确；(x2)(x-3)=x2-5x+6是将乘积的形式化成和差的形式，是多项式 乘法而不是因式分解，所以C选项错误；x25x+6=(x+2)(x+3)“看起来”满足多项式由和差形式化为乘积 形式，但是(x+2)(x+3) =x2+2x+3x+6=x2+5x+6,与等号的左边x2-5x+6不相等，所
【跟踪训练】 5.(2012·西宁中考)下列因式分解正确的是( ) (A)3x2-6x=x(x-6) (B)-a2+b2=(b+a)(b-a) (C)4x2-y2=(4x-y)(4x+y) (D)4x2-2xy+y2=(2x-y)2
【解析】选B.x(x-6)=x2-6x≠3x2-6x,故选项A错误;(b+a)(ba)=b2-a2=-a2+b2,故选项B正确;(4x-y)(4x+y)=(4x)2y2=16x2-y2≠4x2-y2,故选项C错误;(2x-y)2=4x24xy+y2≠4x2-2xy+y2,故选项D错误.
2.根据上面的算式填空： (1)3x2-3x=_3_x_(_x_-_1_)_； (2)m2-16=_(_m_+_4_)_(_m_-_4_)_； (3)y2-6y+9=(__y_-_3_)_2 ； (4)a3-a=_a_(_a_+_1_)_(_a_-_1_)_.
【归纳】把一个多项式表示成若干个多项式_乘__积__的形式，称 为把这个多项式因式分解.
2.一个多项式因式分解的结果是(b3+2)(2-b3)，那么这个多项式
是( )
(A)b6-4
(B)4-b6 (C)b6+4
(D)-b6-4
【解析】选B.(b3+2)(2-b3)=4-b6.
3.(2x+a)(2x-a)是多项式________因式分解的结果. 【解析】(2x+a)(2x-a)=4x2-a2. 答案：4x2-a2
3.1 多项式的因式分解
一、因式 因为21=3×7，所以把3和7分别叫做21的一个_因__数__ 同理：对于两个多项式f与g，如果多项式h使得f=gh，那么，把 _g_和_h_分别叫做_f_的一个因式.
二、因式分解 1.计算下列各式： (1)3x(x-1)=_3_x_2-_3_x_； (2)(m+4)(m-4)=_m_2-_1_6_； (3)(y-3)2=_y_2-_6_y_+_9_； (4)a(a+1)(a-1)=_a_3-_a_.
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(5)4a2－8a－1=4a(a－2)－1.
【解题探究】 (1)36a2b=3a·12ab等号的左侧是单项式，所以该变形不是因 式分解. (2)x2－2xy+y2=(x－y)2等号的左侧是多项式，右侧是几个整 式的积的形式，所以该变形是因式分解. (3)(a－1)(a+2)=a2+a－2等号的左侧是几个整式的积的形式， 不是多项式，所以该变形不是因式分解.
2.下列各式由左边到右边的变形不是因式分解的为( )
(A)x2+3x+2=x(x+3)+2
(B)x2-x+ 1 =(x- 1 )2
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(C)a2-25=(a+5)(a-5)
(D)3ax-3ay+3a=3a(x-y+1)
【解析】选A.选项A的右边不是积的形式，而是和的形式，而其
他三个选项均符合因式分解的定义.