湘教版数学七年级下册综合练习 因式分解及其应用

新课标2017-2018学年湘教版七年级数学下册综合练习因式分解及其应用1.下列式子从左到右变形是因式分解的是( )A．a2+4a-21=a(a+4)-21 B．a2+4a-21=(a-3)(a+7)C．(a-3)(a+7)=a2+4a-21 D．a2+4a-21=(a+2)2-252.下面分解因式正确的是( )A．x2+2x+1=x(x+2)+1 B.(x2-4)x=x3-4xC.ax+bx=(a+b)xD.m2-2mn+n2=(m+n)23.若代数式x2+ax可以因式分解，则常数a不可以取( )A．-1 B．0 C．1 D．24.下列各式不能用平方差公式因式分解的是( )A.-y2+1B.x2+(-y)2C.m2-n2D.-x2+(-y)25.下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是( )A．-a2-4ab+4b2B．a2+6ab-9b2C．a2+6a+9b2D．4（a-b）2+4（a-b）+16.若多项式ax2+bx+c可分解为(1-3x)2，那么a、b、c的值分别为( )A.-9，6，-1B.9，-6，1C.9，6，1D.9，6，-17.利用因式分解简便计算57×99+44×99-99正确的是( )A.99×(57+44)=9 999B.99×(57+44-1)=9 900C.99×(57+44+1)=10 098D.99×(57+44-99)=1988.(-12)2 015+(-12)2 016的结果是( )A.-12 B.12 C.(12)2 015D.-(1 2)2 0169.将3a2（x-y）-6ab（y-x）用提公因式法因式分解，应提出的公因式是__________.10.计算：32×3.14+3×(－9.42)=__________.11.因式分解：x2+3x(x-3)-9=__________.12.设a＝192×918，b＝8882-302，c＝1 0532-7472，则数a，b，c 按从小到大的顺序排列，结果是__________＜__________＜__________．13.若x2+(m-3)x+4是完全平方式，则数m的值是__________.14.如图，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，若将图1的阴影部分拼成一个长方形，如图2，比较图1和图2的阴影部分的面积，你能得到的公式是____________________.15.58-1能被20至30之间的两个整数整除，那么这两个整数是__________.16.若a※b=a2-ab2，则x2※y所表示的代数式因式分解的结果是__________.17.因式分解：（1）4a2b2-12ab2+24ab3c; (2)4x(y-x)-y2;(3)x2-(y-1)2; (4)(a2+1)2-4a(a2+1)+4a2.18.用简便方法计算：（1）15×1012-992×15; (2)14×8.92-8.9×2.9×12+14×2.92.19.若|a+b-6|+(ab-4)2=0，求-a3b-2a2b2-ab3的值.20.已知a2+b2+8a-6b+25=0，求(a+b)2 014的值.21.春蕾中学正在新建一栋食堂，在施工过程中，需要浇制三种半径分别为0.21 m，0.35 m，0.44 m的钢筋圆环，每种圆环都需要20个，则所需钢筋共有多长？22.阅读并解决问题．对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2ax-3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax-3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax 的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：x2+2ax-3a2=（x2+2ax+a2）-a2-3a2=（x+a）2-（2a）2=（x+3a）（x-a）．像这样，先添一适当的项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．（1）利用“配方法”因式分解：a2-6a+8;（2）若a+b=5，ab=6，求：①a2+b2；②a4+b4的值．参考答案1.B2.C3.B4.B5.D6.B7.B8.D9.3a(x-y) 10.011.(4x+3)(x-3) 12.a c b 13.7或-114.a2-b2=(a+b)(a-b) 15.26、24 16.x2(x+y)(x-y)17.(1)原式=4ab2(a-3+6bc).(2)原式=4xy-4x2-y2=-(2x-y)2.(3)原式=(x+y-1)(x-y+1).(4)原式=(a2+1-2a)2=(a-1)4.18.(1)原式=15×(1012-992)=15×200×2=6 000.(2)原式=14×(8.92-8.9×2.9×2+2.92)=14×(8.9-2.9)2=14×62=9.19.因为|a+b-6|+(ab-4)2=0,所以a+b-6=0,ab-4=0,即a+b=6,ab=4.又因为-a3b-2a2b2-ab3=-ab(a2+2ab+b2)=-ab(a+b)2,当a+b=6,ab=4时,原式=-ab(a+b)2=-4×6=-24.20.因为a2+b2+8a-6b+25=0,所以(a2+8a+16)+(b2-6b+9)=0,(a+4)2+(b-3)2=0.所以a=-4,b=3,(a+b)2 014=(-4+3)2 014=1.21.2π×0.21×20+2π×0.35×20+2π×0.44×20=2π×20×(0.21+0.35+0.44)=40π≈125.6(m).答：所需钢筋共有约125.6 m．22.（1）a2-6a+8=a2-6a+9-1=（a-3）2-1=（a-3+1）（a-3-1）=（a-2）（a-4）. （2）①a2+b2=（a+b）2-2ab=52-2×6=13.②a4+b4 =（a2+b2）2-2a2b2=132-2×62=97.。

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3.1多项式的因式分解同步练习一、选择题（本大题共8小题）1. 把代数式xy2—9x，分解因式，结果正确的是( )A、x（y2-9）B、x(y+3)2C、x（y+3)（y-3)D、x（y+9）（y-9）2。

若m+n=3，则2m2+4mn+2n2—6的值为（）A。

12； B. 6； C。

3; D. 0；3. 下列各式从左到右的变形中,是分解因式的是（ )A、x2-9+6x＝（x+3)（x-3)+6xB、（x+5）（x-2)＝x2+3x-10C、x2—8x+16＝（x-4)2D、(x—2)（x+3)＝（x+3）（x-2）4。

在一个边长为12.75 cm的正方形纸板内，割去一个边长为7。

25 cm的正方形,剩下部分的面积等于（）A.100 cm2 B。

105 cm2 C。

108 cm2 D.110 cm25. 多项式mx+n可分解为m（x-y），则n的值为（）A。

m B.my C。

-y D.-my6. 将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是( ）A．a2﹣1 B．a2+a C．a2+a﹣2 D．（a+2）2﹣2(a+2)+17。

下列各式从左到右的变形(1）15x2y=3x·5xy;（2）（x+y)(x—y）=x2-y2;（3）x2-6x+9=(x—3)2；（4)x2+4x+1=x(x+4+)，其中是因式分解的个数是（）A、1个B、2个C、3个 D.4个8. 把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）(x﹣3）则a，b的值分别是（）A．a=2，b=3 B．a=﹣2，b=﹣3 C．a=﹣2，b=3 D．a=2，b=﹣3二、填空题(本大题共6小题)9。

2021年度湘教版七年级数学下册第3章因式分解单元综合能力提升训练（附答案）1．下列从左到右的变形是因式分解的是（）A．（y﹣1）（y﹣2）＝y2﹣3y+2B．a2﹣2ax+x2＝a（a﹣2x）+x2C．x2+x+＝（x+）2D．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣92．若长和宽分别是a，b的长方形的周长为10，面积为4，则a2b+ab2的值为（）A．14B．16C．20D．403．已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（）A．﹣1B．0C．3D．64．多项式2ax2﹣6axy中，应提取的公因式是．5．已知a﹣b＝3，ab＝﹣2，则a2b﹣ab2的值为．6．若长方形的长为a，宽为b，周长为16，面积为15，则a2b+ab2的值为．7．分解因式：9x2﹣6x+1＝．8．分解因式：9x2﹣y2＝．9．若多项式x2+2（m﹣2）x+25能用完全平方公式因式分解，则m的值为．10．把多项式x2﹣8x+16分解因式的结果为．11．把a3﹣4ab2分解因式，结果为．12．把多项式a3﹣4a2b+4ab2分解因式的结果是．13．分解因式：ab2﹣9a＝．14．若对于一切实数x，等式x2﹣px+q＝（x+1）（x﹣2）均成立，则p2﹣4q的值是．15．分解因式：a2（x﹣y）+b2（y﹣x）＝．16．如果关于x的二次三项式x2﹣4x+m在实数范围内不能分解因式，那么m的取值范围是．17.因式分解：﹣28m3n2+42m2n3﹣14m2n＝．18．在实数范围内分解因式：3x2﹣6y2＝．19．已知x2﹣3x+1＝0，则＝．20．如果x﹣y＝2，xy＝3，则x2y﹣xy2＝．21．分解因式：2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m）22．分解因式：4xy2+4x2y+y3．23．把下列多项式因式分解（要写出必要的过程）：（1）﹣x2y+6xy﹣9y；（2）9（x+2y）2﹣4（x﹣y）2；（3）1﹣x2﹣y2+2xy．24．观察下列因式分解的过程：（1）x2﹣xy+4x﹣4y＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组）＝x（x﹣y）+4（x﹣y）（直接提公因式）＝（x﹣y）（x+4）（2）a2﹣b2﹣c2+2bc＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组）＝a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式）＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）（1）请仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式：①ad﹣ac﹣bd+bc②x2﹣y2﹣6x+9（2）请运用上述分解因式的方法，把多项式1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n 分解因式．25．把下列各式分解因式：（1）2x2﹣5x﹣3（2）a2（x﹣2a）2﹣a（2a﹣x）3（3）（x2﹣3）2﹣4x2（4）a2﹣2a+b2﹣2b+2ab+1（5）（x﹣y）（x2+3xy+y2）﹣5xy（x﹣y）（6）（a﹣3b）2﹣4c2+12ab26．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：ax+by+bx+ay，x2+2xy+y2﹣1分组分解法：解：原式＝（ax+bx）+（ay+by）＝x（a+b）+y（a+b）＝（a+b）（x+y）解：原式＝（x+y）2﹣1＝（x+y+1）（x+y﹣1）（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x2+2x﹣3解：原式＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；（2）分解因式：x2﹣6x﹣7．27．阅读下面的问题，然后回答，分解因式：x2+2x﹣3，解：原式＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）上述因式分解的方法称为配方法．请体会配方法的特点，用配方法分解因式：（1）x2﹣4x+3（2）4x2+12x﹣7．28．如图，边长为a，b的矩形，它的周长为14，面积为10，求下列各式的值：（1）a2b+ab2；（2）a2+b2+ab．29．先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）因式分解：1+2（x﹣y）+（x﹣y）2＝；（2）因式分解：（x2﹣6x）（x2﹣6x+18）+81；（3）求证，若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．30．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图①可以得到两数和的平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．请解答下列问题：（1）写出由图②可以得到的数学等式；（2）利用（1）中得到的结论，解决下面问题：若a+b+c＝6，a2+b2+c2＝14，求ab+bc+ac的值；（3）可爱同学用图③中x个边长为a的正方形，y个宽为a，长为b的长方形，z个边长为b的正方形，拼出一个面积为（2a+b）（a+4b）的长方形，则x+y+z＝．31．如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且a＞b．（1）观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以因式分解为．（2）若图中阴影部分的面积为242平方厘米，大长方形纸板的周长为78厘米，求图中空白部分的面积．参考答案1．解：A、（y﹣1）（y﹣2）＝y2﹣3y+2，是整式的乘法，不属于因式分解，故此选项不符合题意；B、a2﹣2ax+x2＝a（a﹣2x）+x2，右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故此选项不符合题意；C、x2+x+＝（x+）2，右边是几个整式的积的形式，属于因式分解，故此选项符合题意；D、（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9，是整式的乘法，不属于因式分解，故此选项不符合题意．故选：C．2．解：∵长和宽分别是a，b的长方形的周长为10，面积为4，∴2（a+b）＝10，ab＝4，∴a+b＝5，则a2b+ab2＝ab（a+b）＝20．故选：C．3．解：a2b+ab2﹣a﹣b＝（a2b﹣a）+（ab2﹣b）＝a（ab﹣1）+b（ab﹣1）＝（ab﹣1）（a+b）将a+b＝3，ab＝1代入，得原式＝0．故选：B．4．解：∵2ax2﹣6axy＝2ax（x﹣3y），∴应提取的公因式是2ax．故答案是：2ax．5．解：a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝﹣2×3＝﹣6，故答案为：﹣6．6．解：由题意得：a+b＝8，ab＝15，则原式＝ab（a+b）＝120，故答案为：1207．解：原式＝（3x﹣1）2，故答案为：（3x﹣1）28．解：原式＝（3x+y）（3x﹣y），故答案为：（3x+y）（3x﹣y）．9．解：∵多项式x2+2（m﹣2）x+25能用完全平方公式因式分解，∴2（m﹣2）＝±10，解得：m＝7或﹣3，故答案为：7或﹣310．解：x2﹣8x+16＝（x﹣4）2．故答案为：（x﹣4）2．11．解：原式＝a（a2﹣4b2）＝a（a+2b）（a﹣2b），故答案为：a（a+2b）（a﹣2b）12．解：a3﹣4a2b+4ab2＝a（a2﹣4ab+4b2）＝a（a﹣2b）2．故答案为：a（a﹣2b）2．13．解：原式＝a（b2﹣9）＝a（b+3）（b﹣3），故答案为：a（b+3）（b﹣3）．14．解：由题意得：﹣p＝1﹣2，q＝1×（﹣2），∴p＝1，q＝﹣2，∴p2﹣4q＝1﹣4×（﹣2）＝1+8＝9．故答案为：9．15．解：a2（x﹣y）+b2（y﹣x）＝（x﹣y）（a2﹣b2）＝（x﹣y）（a+b）（a﹣b）．16．关于x的二次三项式x2﹣4x+m在实数范围内不能分解因式，就是对应的二次方程x2﹣4x+m＝0无实数根，∴△＝（﹣4）2﹣4m＝16﹣4m＜0，∴m＞4．故答案为：m＞4．17．解：（1）﹣28m3n2+42m2n3﹣14m2n＝﹣14m2n（2mn﹣n2+1）；18．解：原式＝3（x2﹣2y2）＝3（x+y）（x﹣y），故答案为3（x+y）（x﹣y）．19．解：∵x2﹣3x+1＝0，∴x+＝3，∴＝＝＝，故答案为．20．解：∵x﹣y＝2，xy＝3，∴x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）＝3×2＝6．故答案为：6．21．解：2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m）＝2m（m﹣n）[（m﹣n）+4m]＝2m（m﹣n）（5m﹣n）．22．解：4xy2+4x2y+y3＝y（4xy+4x2+y2）＝y（y+2x）2．23．解：（1）﹣x2y+6xy﹣9y＝﹣y（x2﹣6x+9）＝﹣y（x﹣3）2；（2）9（x+2y）2﹣4（x﹣y）2；＝[3（x+2y）+2（x﹣y）][3（x+2y）﹣2（x﹣y）]＝（5x+4y）（x+8y）；（3）1﹣x2﹣y2+2xy＝1﹣（x2+y2﹣2xy）＝1﹣（x﹣y）2＝[1+（x﹣y）][1﹣（x﹣y）]＝（1+x﹣y）（1﹣x+y）．24．（1）①原式＝（ad﹣ac）﹣（bd﹣bc）＝a（d﹣c）﹣b（d﹣c）＝（d﹣c）（a﹣b）②原式＝（x2﹣6x+9）﹣y2＝（x﹣3）2﹣y2＝（x﹣3+y）（x﹣3﹣y）（2）原式＝1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n＝（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n＝（1+x）[1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n﹣1]＝（1+x）（1+x）n＝（1+x）n+125．解：（1）2x2﹣5x﹣3，＝（x﹣3）（2x+1）；（2）a2（x﹣2a）2﹣a（2a﹣x）3，＝a（x﹣2a）2（2a+x﹣2a），＝ax（x﹣2a）2；（3）（x2﹣3）2﹣4x2，＝（x2﹣3）2﹣（2x）2，＝（x2﹣2x﹣3）（x2+2x﹣3），＝（x﹣3）（x+1）（x﹣1）（x+3）；（4）a2﹣2a+b2﹣2b+2ab+1，＝（a2+2ab+b2）﹣（2a+2b）+1，＝（a+b）2﹣2（a+b）+1，＝（a+b﹣1）2；（5）（x﹣y）（x2+3xy+y2）﹣5xy（x﹣y），＝（x﹣y）（x2+3xy+y2﹣5xy），＝（x﹣y）3；（6）（a﹣3b）2﹣4c2+12ab，＝a2﹣6ab+9b2﹣4c2+12ab，＝（a2+6ab+9b2）﹣（2c）2，＝（a+3b﹣2c）（a+3b+2c）．26．解：（1）原式＝（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）＝（a﹣b）（a+b+1）；（2）原式＝（x2﹣6x+9﹣16）＝（x﹣3）2﹣16＝（x﹣3﹣4）（x﹣3+4）＝（x﹣7）（x+1）．27．解：（1）x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣4+3＝（x﹣2）2﹣1＝（x﹣2+1）（x﹣2﹣1）＝（x﹣1）（x﹣3）（2）4x2+12x﹣7＝4x2+12x+9﹣9﹣7＝（2x+3）2﹣16＝（2x+3+4）（2x+3﹣4）＝（2x+7）（2x﹣1）28．解：（1）∵a+b＝7，ab＝10，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝70．（2）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝72﹣2×10＝29，∴a2+b2+ab＝29+10＝39．29．解：（1）1+2（x﹣y）+（x﹣y）2＝（x﹣y+1）2；（2）令A＝x2﹣6x，则原式变为A（A+18）+81＝A2+18A+81＝（A+9）2，故（x2﹣6x）（x2﹣6x+18）+81＝（A+9）2；（3）（n+1）（n+2）（n2+3n）+1＝（n2+3n）[（n+1）（n+2）]+1＝（n2+3n）（n2+3n+2）+1＝（n2+3n）2+2（n2+3n）+1＝（n2+3n+1）2，∵n为正整数，∴n2+3n+1也为正整数，∴代数式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．30．解：（1）观察图形可得：大正方形的边长为：a+b+c，该正方形的面积等于3个小正方形的面积加上6个长方形的面积，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（2）∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，a+b+c＝6，a2+b2+c2＝14，∴62＝14+2（ab+ac+bc），∴ab+ac+bc＝（36﹣14）÷2＝11．（3）由题意得：（2a+b）（a+4b）＝xa2+yab+zb2，∴2a2+8ab+ab+4b2＝xa2+yab+zb2，∴2a2+9ab+4b2＝xa2+yab+zb2，∴x＝2，y＝9，z＝4，∴x+y+z＝2+9+4＝15．故答案为：15．31．解：（1）观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以因式分解为（a+2b）（2a+b）；故答案为：（a+2b）（2a+b）；（2）由已知得：，化简得∴（a+b）2﹣2ab＝121，∴ab＝24，5ab＝120．∴空白部分的面积为120平方厘米．。

《因式分解》典型例题、基础思维探究题型一：多项式的因式分解典例1下列因式分解中，结果正确的是( )A. x2 -4 = U + 2)(x-2)B. 1 —(兀一2)2 =(兀+ 1)(兀 + 3)C. 2m2n-8n}, =2n(m2 -4/?2)D. x1 -x-\-丄= 〒(］一丄+ ^^_)4 x 4兀▼【研析】A项正确运用平方差公式分解；B项将x-2看成一个整体用平方差公式分解为(x-1)(3-%)；C项分解不彻底，m2 - 4/22还能继续分解；D项分解结果不是几个整式积的形式，所以选择A.【技巧点拔】注意到因式分解的概念，并且因式分解要分解到不能再分解为止. 典例2填空:分解因式：/-2°给+必2 = ______________________________________ .【研析】按照因式分解的步骤，本题首先要提取公因式然后考虑用完全平方公式分解. 解:/ 一2a2b + ab2 = a(a2一2ab + b2) = a(a-b)2【归纳总结】一般来说，多项式如果含有公因式，那么首先提公因式，然后再考虑运用公式或其他方法.题型二：生产中的实际应用典例3在半径为R的圆形钢板上，冲去4个半径为r小圆，如图所示，利用因式分解计算，当R二85cm, r=15cm时剩余部分的面枳(结果用；T表示).【研析】剩余部分的面积可以看成是大圆的面积减去4个小圆的面积，在运算过程中，利用因式分解有吋可以使运算简化.解：剩余部分的面积为：7rR2-47ir2=7T(R2 -4r2) = %(/? + 2r)(/?一2r)=兀(85 + 2x7.5)(85 — 2x7.5)二乃x 100x70 = 7000龙(cm2).【观察思考】本题巧妙的运用因式分解，避免了半径的平方运算，减小了运算量，使计算变得简便，迅速.题型三：化简求值典例4已知a二丄兀+20, b二丄x+19, c二丄兀+21,那么代数式/ +戸+c2 - ab - be-ac20 20 20的值是A. 4B. 3C. 2 D・1【研析】因本题所求代数式中含有a、b、c的平方项与二次乘积项与完全平方展开式所含的项基本相同，所以应想办法，如何造型利用公式法分解因式进行化简.解：原式二* (d-b)2 +(b-C)2 +(d-C)2 ]当a=-!-尢+20, b二丄兀+19, c二丄兀+21 日寸,有：a—b=l, b—c=—2, a—c=—1,20 20 20'1 1・・・原式二一『+(—2)2 +(-1)打=_(1 + 4 + 1) = 3・故应选B.2 2【品思感悟】本题通过配成完全平方式，将条件代入，整体消元，方便简洁.题型四：证明不等式典例5设a、b、c是三角形的三边长，求iiE: a2 -b2 -c2 -2bc<0.【研析】本题是证明一个不等问题，想办法利用三角形三边的关系以及因式分解来证明. 证明：*.* a2 -b2 -c2 -2bc = a2一(b + c)?二(a + b + c)(d-方一c), 又・・・Q、b、c是三角形的三边长，.•.a + b + c>0, avb + c,即(a + b + c)(a一b - c) v 0 ,•*. ci~ —— c~ — 2bc v 0.【方法指导】本题借助因式分解，将左边的多项式分解成一次因式的积，再根据三角形的三边的关系进行判断因式的符号.二、综合思维探究题型一：学科内综合题典例6已知x2 + x -1 = 0,求疋+ 2x2 + 3的值.【研析】本题要充分利用“/+” —1 = 0”这个条件，经过变式來求值•这里可将2/拆成两项，变为(x2 +x2),再添加(x-x).解：T X? + 兀-1 =(),/•兀'+ 2无 ~ + 3 =(兀"+ x~—兀)+ (x~ + 无 + 3) = x(^x~ + 兀一1) + (x~ + 兀一1 + 4) —4. 【品思感悟】将多项式变形或拆项，整体运用已知条件，体现“整体”与“分解”思想的有机统一. 典例7已知248 -1可以被在60到70 Z间的两个数整除，则它们是( )A. 61、63B. 61、65C. 63、65D. 63、67【研析】由248 -1联想到运用平方差公式进行因式分解，从而做出判断.因为248 -1 = (224 +1)(224 -1) = (224 +1)(2" +1)(212 -1) = (224 +1)(2,2 +1)(26 +1)(26一1)=(224 +1)(2,2 +1)(26 +1)(23 +1)(23 -1),而(26 +1) = 65, (23 +1)(23 -1)=9X7=63,所以选择C.【品思感悟】利用因式分解判断数的整除性，大大的简化运算量•从而体现公式方便快捷.题型二：学科间渗透题典例8如图所示，把三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I,电压为V,则V = //?, + IR2 + IR3,当 & =34. 9, R2=20. 8, R3 =32. 3,1=2. 5 时，求V 的值.尺2 R、【研析】将因式分解的知识运用到物理学的运算当中，可减少运算量,使运算简化.解：当R} =34. 9, 7?2=20. 8, 7?3=32. 3,1=2.5 时，V =只 + IR2 + IR3二HR1+R2+R3)=2. 5 (34. 9+20. 8+32. 3) =220.【梳理总结】根据物理学的知识，串联线路电压等于各部分电压Z和，构造数学模型, 运用因式分解中的提取公因式，使运算得以简化.题型三：实际应用题典例9校园内有一个环形花坛，它的外圆半径R=7.5米，内圆半径r=2.5米,请问：该花坛的占地而积是多少？(龙取3. 14)【研析】由于花坛是环形的，所以花坛的占地而积是外圆的而积减去内圆的面积. 解：S环=S外圆一S 内圆=加?2 -= 71 (R~ - r~}-7i (R + r)(/?- r)二龙(7. 5+2. 5) (7. 5-2. 5)二龙><50〜155(米？).答:该花坛的占地而积约是155米S【迁移应用】此处所用的环形面积计算公式：3环=5外圆一5内= 7rR2 -7ir~ -71 (7?2 -r2),它不仅适应于同心圆，对于内含的两圆的坏形面积同样适应.如下图所示的阴影面积等于两圆面积之差.题型四：阅读理解题典例10阅读下面的解题过程，然后回答问题：（1）分解因式：（x + l）（x+2）（x + 3）（兀+ 4）—8 ・解：原式二（兀+ 1）（兀+ 4）（兀+ 2）（兀+ 3）— 8=（兀2 + 5x + 4）（兀~ + 5x + 6）— 8.设（x2 +5兀 + 4） = m,则原式二血（加 + 2）— 8 = m2 + 2m-8 =+ 4）.（2）计算：12345672-1234566x 1234568解：设1234567二x,则原式二x~—（x —1）（兀 +1）=兀'—（兀'—1） = 1.利用(1)、(2)的解法计算：72003x2004x2005x2006 + 1 -20042.【研析】本题是属于阅读理解的题目，可仿照(1)、(2)用换元法，使问题变得简单些.解:设2004= a, a2 +a = m,则V2003 x 2004 x 2005 x 2006 +1 - 20042 =如-1)应 +1)(°+ 2) + 1 - a2-+d)(d 亠+ d - 2) + 1 — d 2 二+a)~ _2(Q2 + d) + ] — ci~二』m._ - 2m +1 - d_二J(巾—1)~ —— ITI —\— ci~= 1-G? — tz — 1 — 2004 -1 = 2003.【联想类比】解决阅读理解这类题目的要点：要认真仔细阅读题目中的语言文字信息、观察式子的特点，找出内在联系，写出求解过程.本题运用字母代数的特点，将被开方数转化为完全平方数，体现特殊与一般的思想方法.三、创新思维探究题型一：奇思妙解题【研析】若按常规思路从左到右逐个运算，比较麻烦；设法进行简便运算•观察整个算式, 不难看出每一个因式都是两数的平方差，于是可以将每个因式分解，得以求解.解：(1-4)(i-4)(i--V )……(1-4)(1--) 22 32 42 92 102=(1 + 丄)(1- -)(1 + -)(1 - -)(1 + -)(1--)……(1+ -)(1--)(1+ —)(1 -—) 2 2 3 3 4 4 9 910 10 3 14 2 5 3 10 8 11 9 =—X —X —X —X —X — ............ — X-X — X — 2 2 3 3 4 49 9 10 10 z 3 4 510 111 2 3 2 3 49 10 2 3 4 111 11 ——X —— ・2 10 20【品思感悟】本题如果按照常规思路来解，比较困难，通过分析认真分析式子的结构、发散思 维，运用所学知识，利用因式分解，使问题得以简捷解决.题型二：奥赛欣赏题典例12 (第十届希望杯全国数学邀请赛)【研析】仔细观察算式发现：最后两项-29+2"可分解因式，提公因式2后得2®,再依次 和前一项进行类似计算.解：2 - 22 - 23 - 24 - 25 - 26 - 27 - 28 - 29 4- 210=2-22 -23 -24 -25 -26 -27 -28 +(210 -29) =2-22 -23 -24 -25 -26 -27 -2x +29(2-l) =2-22 -23 -24 -25 -26 -27 -28 +29. (6)【技巧点拨】本题逆向思考，从最高的两项进行因式分解，逐次提取公因式，达到消项的目 的. 典例13 (第十六届“希望杯”全国数学邀请赛)选择题： 如果(a + b)2-(a-b)2 =4,则一定成立的是( )(A) d 是b 的相反数(B) a 是一/?的相反数 (C) d 是b 的倒数 (D) a 是-b 的倒数【研析】由平方差公式将(a + b)2-(a-b)2=4的左边因式分解化简整理即可.解：— (a — h)~ = 4, /. (a + b + a — b)(a + h — a + b) = 4, 即：2ax2方二 4 , axb = l.故选择C.【方法探究】本题由已知条件联想平方差公式，化简代数式，从而使a, bZ 间的关系得以显现.三、中考思维探究典例14 (湖北)分解因式：/+2x-6y — 9y2二 ___________________________ .【研析】910 X 8 - 9 汁算 2 - 22 - 23 - 24 - 25 - 26 - 27 -28 - 29 + 210x2 + 2兀 _ 6y- 9y2 = (x2 - 9y2) + (2兀-6y)二(兀 + 3y)(无-3y) + 2(兀-3y)= (x- 3y)[(x + 3y) + 2] = (x - 3j)(x + 3y + 2).(方法点拔)整体上来看此题的各项没有公因式，也不能运用公式，但把第一、四两项作为一组可运用平方差公式，其屮有一个因式是(x-3>9；把第二、三项作为一组提公因式后，也有一个因式(兀-3刃，于是再一次提公因式就能将原式进行因式分解.典例15 (江苏)把多项式a2-2ah-^-b2-\分解因式,结果是( )A. (a — h +1)(6? — b —B. (a— b + l)(a + /? —1)C. (G + b + 1)(G + Z? — 1)D. (d + b + 1)(G — Z? — 1)【研析】整体看各项没有公因式，也不能运用公式,但把前三项作为一组，它是一个完全平方式，可以分解成(a-b)2；把第四项-1作为另一组，那么(f/-Z?)2-l是符合平方差形式得多项式，可继续分解因式. 解：cT — 2cib + b~—1=(Q2—2cib4-/?^) — l = (^z —— + l)(cz — b — Y),故选择A. 【中考导向】多项式因式分解作为中考的重要的内容，一是以客观形势出现，占分值在6 分左右，二是因式分解常常作为基础性工具，运用于整式或分式的化简.所以熟练地的掌握因式分解的常用方法，十分必耍.。

《因式分解》典型例题一、基础思维探究题型一：多项式的因式分解典例1 下列因式分解中，结果正确的是 （ ）A ．)2)(2(42-+=-x x xB ．)3)(1()2(12++=--x x xC ．)4(2822232n m n n n m -=-D ．)4111(41222xx x x x +-=+- 【研析】A 项正确运用平方差公式分解；B 项将2-x 看成一个整体用平方差公式分解为)3)(1(x x --；C 项分解不彻底，224n m -还能继续分解；D 项分解结果不是几个整式积的形式,所以选择A.【技巧点拔】注意到因式分解的概念，并且因式分解要分解到不能再分解为止. 典例2 填空:分解因式:__________2223=+-ab b a a .【研析】按照因式分解的步骤,本题首先要提取公因式a ,然后考虑用完全平方公式分解. 解:222223)()2(2b a a b ab a a ab b a a -=+-=+-【归纳总结】一般来说,多项式如果含有公因式,那么首先提公因式,然后再考虑运用公式或其他方法.题型二：生产中的实际应用典例3 在半径为R 的圆形钢板上，冲去4个半径为r 小圆，如图所示，利用因式分解计算，当R=85cm ，r=15cm 时剩余部分的面积（结果用π表示）.【研析】剩余部分的面积可以看成是大圆的面积减去4个小圆的面积，在运算过程中，利用因式分解有时可以使运算简化.解：剩余部分的面积为:πR 2-4πr 2=)2)(2()4(22r R r R r R -+=-ππ=)5.7285)(5.7285(⨯-⨯+π=ππ700070100=⨯⨯()2cm . 【观察思考】本题巧妙的运用因式分解，避免了半径的平方运算，减小了运算量，使计算变得简便,迅速.题型三：化简求值典例4 已知a=x 201+20，b=x 201+19，c=x 201+21，那么代数式ac bc ab c b a ---++222的值是 （ ）A.4B.3C.2D.1【研析】因本题所求代数式中含有a 、b 、c 的平方项与二次乘积项与完全平方展开式所含的项基本相同，所以应想办法，如何造型利用公式法分解因式进行化简.解：原式=()[()()]22221c a c b b a -+-+- 当a=x 201+20，b=x 201+19，c=x 201+21时，有：a －b=1，b －c=－2，a －c=－1， ∴原式=()()[]()31412112121222=++=-+-+.故应选B. 【品思感悟】本题通过配成完全平方式，将条件代入，整体消元，方便简洁.题型四：证明不等式典例5 设c b a 、、是三角形的三边长,求证:02222<---bc c b a .【研析】本题是证明一个不等问题,想办法利用三角形三边的关系以及因式分解来证明. 证明:∵22222)(2c b a bc c b a +-=---=))((c b a c b a --++,又∵c b a 、、是三角形的三边长,∴0>++c b a ,c b a +<，即0))((<--++c b a c b a ，∴02222<---bc c b a .【方法指导】本题借助因式分解，将左边的多项式分解成一次因式的积，再根据三角形的三边的关系进行判断因式的符号.二、综合思维探究题型一：学科内综合题典例6 已知32,01232++=-+x x x x 求的值.【研析】本题要充分利用“012=-+x x ”这个条件,经过变式来求值.这里可将22x 拆成两项,变为)(22x x +,再添加()x x -. 解:∵012=-+x x ，∴=+++-+=++)3()(3222323x x x x x x x )41()1(22+-++-+x x x x x =4.【品思感悟】将多项式变形或拆项，整体运用已知条件，体现“整体”与“分解”思想的有机统一.典例7 已知1248-可以被在60到70之间的两个数整除,则它们是 （ ）A ．61、63B ．61、65C ．63、65D ．63、67【研析】由1248-联想到运用平方差公式进行因式分解，从而做出判断.因为1248-=)12)(12)(12()12)(12(1212242424-++=-+=)12)(12)(12)(12(661224-+++ =)12)(12)(12)(12)(12(3361224-++++,而 65)12(6=+,)12)(12(33-+=9×7=63,所以选择C.【品思感悟】利用因式分解判断数的整除性，大大的简化运算量.从而体现公式方便快捷.题型二：学科间渗透题典例8 如图所示,把321,,R R R 三个电阻串联起来,线路AB 上的电流为I,电压为V,则,321IR IR IR V ++=当1R =34.9,2R =20.8,3R =32.3,I=2.5时,求V 的值.【研析】将因式分解的知识运用到物理学的运算当中,可减少运算量,使运算简化. 解：当1R =34.9,2R =20.8,3R =32.3,I=2.5时,321IR IR IR V ++==)(321R R R I ++=2.5(34.9+20.8+32.3)=220.【梳理总结】根据物理学的知识，串联线路电压等于各部分电压之和，构造数学模型， 运用因式分解中的提取公因式，使运算得以简化.题型三：实际应用题典例9 校园内有一个环形花坛，它的外圆半径R=7.5米,内圆半径r=2.5米,请问:该花坛的占地面积是多少?(π取3.14)【研析】由于花坛是环形的,所以花坛的占地面积是外圆的面积减去内圆的面积.解:πππ=-=-=22r R S S S 内圆外圆环)(22r R -=π))((r R r R -+=π(7.5+2.5)(7.5-2.5)= π×50≈155(米2).答:该花坛的占地面积约是155米2.【迁移应用】此处所用的环形面积计算公式：πππ=-=-=22r R S S S 内圆外圆环)(22r R -，它不仅适应于同心圆，对于内含的两圆的环形面积同样适应.如下图所示的阴影面积等于两圆面积之差.题型四：阅读理解题典例10 阅读下面的解题过程，然后回答问题：（1）分解因式：8)4)(3)(2)(1(-++++x x x x .解：原式=8)3)(2)(4)(1(-++++x x x x=8)65)(45(22-++++x x x x .设m x x =++)45(2，则原式=)4)(2(828)2(2+-=-+=-+m m m m m m . （2）计算：1234567123456812345662⨯-解：设1234567=x ，则原式=1)1()1)(1(222=--=+--x x x x x .利用（1）、（2）的解法计算：2200412006200520042003-+⨯⨯⨯.【研析】本题是属于阅读理解的题目，可仿照（1）、（2）用换元法，使问题变得简单些. 解:设2004=a ,m a a =+2, 则2200412006200520042003-+⨯⨯⨯=21)2)(1()1(a a a a a -+++- =2221)2)((a a a a a -+-++=22221)(2)(a a a a a -++-+ =2212a m m -+-=22)1(a m --=21a m -- =2003120041122=-=-=--+a a a a .【联想类比】解决阅读理解这类题目的要点：要认真仔细阅读题目中的语言文字信息、观察式子的特点，找出内在联系，写出求解过程.本题运用字母代数的特点，将被开方数转化为完全平方数，体现特殊与一般的思想方法.三、创新思维探究题型一：奇思妙解题典例11 计算)1011)(911()411)(311)(211(22222----- . 【研析】若按常规思路从左到右逐个运算，比较麻烦；设法进行简便运算.观察整个算式,不难看出每一个因式都是两数的平方差,于是可以将每个因式分解,得以求解.解: )1011)(911()411)(311)(211(22222----- =)1011)(1011)(911)(911()411)(411)(311)(311)(211)(211(-+-+-+-+-+ =109101198910434532342123⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =)10998433221)(1011910453423(⨯⨯⨯⨯⨯⨯=2011101211=⨯. 【品思感悟】本题如果按照常规思路来解,比较困难,通过分析认真分析式子的结构、发散思维，运用所学知识，利用因式分解，使问题得以简捷解决.题型二：奥赛欣赏题典例12 （第十届希望杯全国数学邀请赛）计算. 【研析】仔细观察算式发现：最后两项10922+-可分解因式，提公因式2后得92，再依次和前一项进行类似计算. 解：=)22(222222229108765432-+-------=)12(22222222298765432-+-------=98765432222222222+-------＝ (6)【技巧点拨】本题逆向思考，从最高的两项进行因式分解，逐次提取公因式，达到消项的目的.典例13 （第十六届“希望杯”全国数学邀请赛）选择题：如果22()()4a b a b +--=，则一定成立的是（ ）（A ）a 是b 的相反数 （B ）a 是b -的相反数（C ）a 是b 的倒数 （D ）a 是b -的倒数【研析】由平方差公式将22()()4a b a b +--=的左边因式分解化简整理即可. 解：∵ 22()()4a b a b +--=，∴4))((=+-+-++b a b a b a b a ，即:242=⨯b a ，∴1=⨯b a .故选择C.【方法探究】本题由已知条件联想平方差公式，化简代数式，从而使a ，b 之间的关系得以显现.三、中考思维探究典例14 （湖北）分解因式:22962y y x x --+=_______________.【研析】22962y y x x --+=)62()9(22y x y x -+-=)3(2)3)(3(y x y x y x -+-+=)23)(3(]2)3)[(3(++-=++-y x y x y x y x .〔方法点拔〕整体上来看此题的各项没有公因式,也不能运用公式,但把第一、四两项作为一组可运用平方差公式，其中有一个因式是)3(y x -；把第二、三项作为一组提公因式后，也有一个因式)3(y x -，于是再一次提公因式就能将原式进行因式分解.典例15 （江苏）把多项式1222-+-b ab a 分解因式,结果是（ ）A ．)1)(1(--+-b a b aB ．)1)(1(-++-b a b aC ．)1)(1(-+++b a b aD ．)1)(1(--++b a b a【研析】整体看各项没有公因式,也不能运用公式,但把前三项作为一组，它是一个完全平方式，可以分解成2)(b a -；把第四项-1作为另一组，那么2)(b a --1是符合平方差形式得多项式，可继续分解因式.解：1222-+-b ab a =1)2(22-+-b ab a =2)(b a --1=)1)(1(--+-b a b a ,故选择A.【中考导向】多项式因式分解作为中考的重要的内容，一是以客观形势出现，占分值在6分左右，二是因式分解常常作为基础性工具，运用于整式或分式的化简.所以熟练地的掌握因式分解的常用方法，十分必要.。