人教版八年级初二下册导学案-平行四边形的判定(2)

E A B CD N M FE P A BC N M F ED A B C 课题：平行四边形的判定2 8006学习目标：1．理解和领会三角形中位线的概念；2．掌握三角形中位线定理及其应用．【预习案】如图，点D ，E 分别是△ABC 的边AB 、AC 的中点，求证：DE ∥BC ，DE ＝21BC定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．定理：__________________________________________________________________．讨论：⑴一个三角形有几条中位线？⑵三角形的中位线与中线一样吗？【探究案】探究1 三角形中位线定理的应用例1 如图，点D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 的中点，AF 是BC 边上的中线，⑴若EF ＝5cm ，则AB ＝ cm ；若BC ＝9cm ，则DE ＝ cm ．⑵中线AF 与中位线DE 有什么特殊关系？证明你的结论．练习：如图，△ABC 内有一点P ，EF 是△ABC 的中位线，MN 是△BCP 的中位线．求证：四边形MNFE 是平行四边形．例2 如图，在□ABCD 中，EF ∥AB 交BC 于E ，交AD 于F ，连结AE ，BF 交于点M ，连结CF ，DE 交于N ．求证：⑴MN ∥AD ；⑵MN ＝21AD ．NM AB C H K F A B C D E GB AD F CE 例3 如图，在△ABC 中，N 是BC 的中点，AM 平分∠BAC ，BM ⊥AM ，若AB ＝14，AC ＝19，求MN 的长．探究2 如图，a ，b 是两条平行线，从直线a 上的任意一点A 向直线b 作垂线l ，垂足为点B ，我们得到线段AB ．按同样的作法，我们作出线段CD ．你能发现AB 与CD 的关系吗？结论：两条平行线间的任何两条平行线段都是___________的． 定义：像AB ，CD 这样的线段是这两条平行线间最短的线段，我们把这样线段的长度叫做两条平行线间的距离．【训练案】1．在△ABC 中，D 、E 、F 是三边的中点，AB ＝7，BC ＝6，AC ＝10，则四边形DBEF 的周长为 ．2．已知△ABC 中的周长为50cm ，D 、E 、F 分别为△ABC 中AB 、BC 、AC 边上的中点，且DE ＝8cm ，EF ＝10cm ，则DF 的长为 cm ．3．已知第一个三角形的周长为a ，它的三条中位线组成第二个三角形，其周长为 ；第二个三角形的三条中位线又组成第三个三角形，其周长为 ；以此类推，第2009个三角形的周长为 ．4．如图所示，已知在ABCD 中，E 是边DA 的延长线上一点，且AE ＝AD ，连结EC ，分别交AB 、BD 于点F 、G ．试证明：AF ＝BF .5．如图在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，延长BA 和CD 分别与EF 的延长线交于K 、H ．求证：∠BKE ＝∠CHE ．a Db A B C。

第十八章平行四边形18.1.2 平行四边形的判定第2课时平行四边形的判定（2）学习目标：1.掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法.2.会进行平行四边形的性质与判定的综合运用.重点：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法.难点：平行四边形的性质与判定的综合运用.一、知识回顾1.上节课我们学习了判定一个四边形为平行四边形的方法有哪几种？一、要点探究探究点1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形想一想我们知道，两组对分别平行或相等的是平行四边形.如果只考虑四边形的一组对边，它们满足什么条件时这个四边形能成为平行四边形呢？对于这个问题，有以下两种猜想：猜想1：一组对边相等的四边形是平行四边形；猜想2：一组对边平行的四边形是平行四边形.这两种猜想对吗？如果不对，你能举出反例吗？活动如图，将线段AB向右平移BC长度后得到线段CD，连接AD，BC，由此你能猜想四边形ABCD 的形状吗？猜一猜经历了上面的活动，你现在能猜出，一组对边满足什么条件的四边形是平行四边形吗？一组对边平__________________的四边形是平行四边形.证一证如图，在四边形ABCD中，AB=CD且AB∥CD，求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：连接AC.∵AB∥CD，∴∠1=∠2.在△ABC和△CDA中,AB=CD，∠1=∠2，∴△ABC_____△CDA(________).AC=CA，∴ BC=DA.又∵AB= CD,∴四边形ABCD是________________.要点归纳：平行四边形的判定定理：一组对边________________的四边形是平行四边形.几何语言描述：在四边形ABCD中，∵AB∥CD,AB=CD,自主学习课堂探究∴四边形ABCD是平行四边形.典例精析例1如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．求证：四边形BFCE是平行四边形．变式题如图，点C是AB的中点，AD=CE，CD=BE．（1）求证：△ACD≌△CBE；（2）求证：四边形CBED是平行四边形.针对训练1.已知四边形ABCD中有四个条件：AB∥CD，AB=CD，BC∥AD，BC=AD，从中任选两个，不能使四边形ABCD成为平行四边形的选法是（）A．AB∥CD，AB=CDB．AB∥CD，BC∥ADC．AB∥CD，BC=ADD．AB=CD，BC=AD2.四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，求证：四边形ABCD 是平行四边形.探究点2：平行四边形的性质与判定的综合运用典例精析例2 如图，△ABC中，BD平分∠ABC，DF∥BC，EF∥AC，试问BF与CE相等吗？为什么？例3如图，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕l交CD边于点E，连接BE．求证：四边形BCED′是平行四边形.方法总结:此题利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，再结合平行四边形的判定及性质进行解题.针对训练1.四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD.从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有( )A．3种B．4种C．5种D．6种2.如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，EF，BF，写出图中除▱ABCD以外的所有的平行四边形.二、课堂小结1.在▱ABCD中，E、F分别在BC、AD上，若想要使四边形AFCE为平行四边形，需添加一个条件，这个条件不可以是（）A．AF=CE B．AE=CFC．∠BAE=∠FCD D．∠BEA=∠FCE当堂检测平行四边形的判定(2)平行四边形的性质与判定的综合运用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.2.已知四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，周长为40cm，两邻边的比是3：2，则较大边的长度是（）A．8cm B．10cmC．12cm D．14cm3.如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形的个数共有____个.4.如图，点E，C在线段BF上，BE=CF，∠B=∠DEF，∠ACB=∠F，求证：四边形ABED为平行四边形．5.如图，△ABC中，AB=AC=10，D是BC边上的任意一点，分别作DF∥AB交AC于F，DE∥AC交AB 于E，求DE+DF的值．能力提升6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=12cm，BC=15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t(s)．（1）用含t的代数式表示：AP=_____；DP=________；BQ=________；CQ=________；（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？。

18.1.2平行四边形的判定（二）导学案一、概述在前面，我们学习了如何判定一个四边形是平行四边形，其中重要的一个条件是对边平行。

现在，我们将深入探讨用哪些性质来判定对边平行。

二、学习目标1.学习并掌握对边平行的性质。

2.锻炼用对边平行的性质判定平行四边形的能力。

3.将所学知识运用到解决实际问题中。

三、学习重点1.对边平行的性质。

2.基于对边平行的性质判定平行四边形。

四、学习难点将对边平行的性质和其他性质结合使用判定平行四边形。

五、预习任务与学习策略1.预习《教材》18.1.2节。

2.思考并理解对边平行的性质。

3.尝试用对边平行的性质判定平行四边形。

六、课堂学习活动6.1 导入（5分钟）•回顾前面所学的对于平行四边形的判定条件。

•引出本节课的主题：对边平行的性质。

6.2 讲授与讨论（40分钟）1.性质1：对边平行的四边形是平行四边形。

2.性质2：如果平行四边形的一组对边相等，则平行四边形是矩形。

3.性质3：如果平行四边形的一组对边相等且相互垂直，则平行四边形是正方形。

4.根据所学的性质和知识，结合例题进行讲解和讨论。

6.3 练习（20分钟）1.在教师的引导下，同学们尝试做出一些基于对边平行的性质判定平行四边形的题目。

2.交流解题过程和方法。

6.4 总结（5分钟）对上述性质和方法进行总结，并检查是否达到了学习目标。

七、课后作业1.完成课堂上未完成的题目。

2.思考并预习下节课的内容：平行线的性质。

八、学习反思在本节课的学习过程中，同学们初步掌握了对边平行的性质，并运用其判定平行四边形。

通过应用到练习题中，同学们对所学知识有了更加深入的理解。

新人教版八年级数学下册《平行四边形的判定（2）》导学案学习目标 1．在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的方法． 2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．3．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题．课前准备：1、平行四边形的判定方法：⑴ ⑵ ⑶ ⑷2、阅读教材P46思考——P47例4课中导学：猜想：一组对边平行且相等的四边形是 A B 平行四边形吗？你能证明吗？如图：在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=CD ，求证：四边形ABCD 是平行四边形证明： C D得出结论：一组对边 且 的四边形是平行四边形。

小组合作与交流：已知：如图，E 、F 分别为 平行四边形ABCD 两边AD 、BC 的中点，连结BE 、DF 。

求证：21∠=∠课中训练： 已知如图，E 、F 、G 、H 分别是平行四边形ABCD 的边AB 、BC 、C D 、DA 上的点，且AE ＝CG ，BF ＝DH 。

求证：四边形EFGH 是平行四边形A B C D E F 12A B CD F H EG课后巩固：1、下列给出的条件中，能判定四边形ABCD 是平行四边形的为（ ）A . AB=BC,AD=CD B. AB=CD,A D ∥BCC. ∠A=∠B, ∠C=∠DD.AB ∥CD, ∠A=∠C2、将两个全等三角形用各种不同的方法拼成四边形，平行四边形的个数是（ ）A. 1个B.2个C.3个D.4个3、A 、B 、C 、D 在同一平面内，从①AB ∥CD ；②AB ＝CD ；③BC ∥AD ；④BC ＝AD ；这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD 成为平行四边形的选法共有（ ）（A ）3种 （B ）4种 （C ）5种 （D ）6种4、如图，E 、F 是四边形ABCD 对角线AC 上两点，AF=CE,DF ∥BE,DF=BE. 求证：四边形ABCD 是平行四边形。

18.1.2 平行四边形的判定（2）【课程目标】探索并证明平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形【学习目标】1．掌握用另外两种判定平行四边形的方法．2．会综合运用平行四边形的四种判定方法和性质来证明问题【学法指导】探索、合作、交流【自主学习】一、预习导学：1、我们已经知道的平行四边形的判定方法有：2、从角以及对角线还能判定平行四边形吗？猜一猜，写下来。

通过自主学习，你的收获或疑惑：。

【合作探究】1、如图，已知OA=OC,OB=OD,求证：四边形ABCD为平行四边形从而可以得到，从对角线得到判定方法（4）的四边形是平行四边形几何语言：2、如图，已知∠A=∠C,∠B=∠D,求证：四边形ABCD为平行四边形从而我们从角得到判定方法（5) 的四边形是平行四边形几何语言【当堂检测】（A层）1．能判定一个四边形是平行四边形的条件是( )．(A)一组对边平行，另一组对边相等(B)一组对边平行，一组对角互补(C)一组对角相等，一组邻角互补(D)一组对角相等，另一组对角互补2．能判定四边形ABCD是平行四边形的题设是( )．(A)AD＝BC，AB∥CD(B)∠A＝∠B，∠C＝∠D(C)AB＝BC，AD＝DC(D)AB∥CD，CD＝AB3．能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是：∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值为( )．(A)1∶2∶3∶4(B)1∶4∶2∶3(C)1∶2∶2∶1(D)1∶2∶1∶24．如图，E、F分别是□ABCD的边AB、CD的中点，则图中平行四边形的个数共有( )．(A)2个(B)3个(C)4个(D)5个（B、C层）1、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E是CD的中点，BE的延长线与AD的延长线交于点F．（1）∥BCE和∥FDE全等吗？为什么？（2）连接BD，CF，则∥BDE和∥FCE全等吗？为什么？（3）BD与CF有何关系？说明理由2．已知：如图，△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A 作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE、CF．求证：CF∥AE.3．已知：如图，△ABC，D是AB的中点，E是AC上一点，EF∥AB，DF∥BE．(1)猜想DF与AE的关系；(2)证明你的猜想．【学后反思】本节课你学会了什么？你还有哪些疑惑？。

19.1.2 课题：平行四边形的判定（2）<目标导学>1、经历平行四边形的判别方法探索过程，使学生逐步掌握说理的基本方法。

2、探索并了解平行四边形的判别方法：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

能根据判别方法进行有关的应用。

3、在探索过程中发展学生的合理推理意识、主动探究的习惯。

学习重点：1．平行四边形性质与判定知识的综合运用．学习难点：2．能区别性质与判定，在推理过程中能适当地添加辅助线．．【学习过程】忆一忆平行四边形的判定方法：1）定义法判定：两组对边分别的四边形是平行四边形2）两组对边分别的四边形是平行四边形3）对角线互相的四边形是平行四边形4）两组对角分别的四边形是平行四边形。

一、自主学习自学P88—90内容，记录重、难点及困惑。

1.自学课本P88平行四边形的判定定理，注意定理条件和结论，并会证明。

2.自学例子，掌握三角形中位线概念和中位线定理，并会证明。

3.掌握平行线间的距离。

4.完成P90面练习1.2.3。

二、合作探究1、判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

∵ AB∥CD ，AB=CD, ∴四边形ABCD是。

已知：四边形ABCD中AB∥CD ，AB=CD。

求证：四边形ABCD是平行四边形。

思考：一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形吗？2、在上图中，AC=BD=16, AB=CD=EF=15,CE=DF=9。

图中有哪些互相平行的线段？3、判定：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。

总结：平行四边形的判别方法：三、巩固提升1.如图，△ABC是等边三角形，P是其内任意一点，PD∥AB，PE∥BC，DE∥AC，若△ABC 周长为8，则PD+PE+PF= 。

2.四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC交AD于E，DF平分∠ADC交BC于点F，求证：四边形BFDE是平行四边形。

3.已知□ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，AF与EB交于G，CE与DF交于H，求证：教师“复备”栏或学生笔记栏四边形EGFH 为平行四边形。

18.1.2 平行四边形的判定（2）学习目标： 1.掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法.2.会综合运用平行四边形的各种判定方法和性质进行推理或计算.学习重点和难点重点：平行四边形判定方法的灵活运用.难点：平行四边形判定方法的综合应用.一、预习内容1.我们已从边、角、对角线的角度研究了平行四边形的判定方法.它们是:边:角：对角线:2.如果我们只考虑四边形的一组对边,能否判断四边形是平行四边形呢?动手:请利用两根长度相等的木条能摆出以木条顶端为顶点的平行四边形吗?利用两根长度相等的木条和两条平行线,能摆出以木条顶端为顶点的平行四边形吗?思考：你能说明你所摆出的四边形是平行四边形吗？如图，在四边形ABCD中，AB∥CD, 且AB=CD. DA求证：四边形ABCD是平行四边形 .B C二、数学概念（或模型）一组对边的四边形是平行四边形. 用几何语言表示：三、例题讲解（精讲）已知:如图，在ABCD中，点E，F分别是AB、CD的中点.求证：四边形EBFD是平行四边形.D F CA E B四、总结反思1.说说你的收获；2.你还有什么问题？五、反馈练习1.下列几个条件中，不能判定一个四边形是平行四边形的是（）A．一组对边相等 B. 一组对边平行且相等C．两组对边分别平行 D. 两组对边分别相等2.四边形ABCD中，AD∥BC，且AD=BC，AB=2cm,则DC= cm3.如图，AC∥ED，点B在AC上且AB=ED=BC．找出图中的平行四边形.并选一种说明理由E DA B C六、能力提升1.下列条件中不能确定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A.AB=CD ，AD ∥BCB.AB=CD ，AB ∥CDC.AB ∥CD ，AD ∥BCD.AB=CD ，AD=BC2.已知:如图, 在ABCD 中，E 、F 分别是AB 和CD 上的点，AE=CF, M 、N 分别是DE 和BF 的中点，求证.四边形ENFM 是平行四边形F D CA E B3.如图，在中，F 是AD 的中点，延长BC 到点E ，使CE=21BC ， 连接DE,CF.求证：四边形CEDF 是平行四边形FM N七、作业布置：教材47页的1、2、4题八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如下图，点E 是BC 的中点，AB BC ⊥，DC BC ⊥，AE 平分BAD ∠，下列结论：①90AED ∠= ②ADE CDE ∠=∠ ③DE BE = ④AD AB CD =+四个结论中成立的是（ ）A ．①②④B ．①②③C ．②③④D ．①③④【答案】A 【解析】过E 作EF ⊥AD 于F ，易证得Rt △AEF ≌Rt △AEB ，得到BE=EF ，AB=AF ，∠AEF=∠AEB ；而点E 是BC 的中点，得到EC=EF=BE ，则可证得Rt △EFD ≌Rt △ECD ，得到DC=DF ，∠FDE=∠CDE ，也可得到AD=AF+FD=AB+DC ，∠AED=∠AEF+∠FED=12∠BEC=90°，即可判断出正确的结论． 【详解】过E 作EF ⊥AD 于F ，如图，∵AB ⊥BC ，AE 平分∠BAD ，∴Rt △AEF ≌Rt △AEB∴BE=EF ，AB=AF ，∠AEF=∠AEB ；而点E 是BC 的中点，∴EC=EF=BE ，所以③错误；∴Rt △EFD ≌Rt △ECD ，∴DC=DF ，∠ADE=∠CDE ，所以②正确；∴AD=AF+FD=AB+DC ，所以④正确；∴∠AED=∠AEF+∠FED=12∠BEC=90°，所以①正确. 故选A.【点睛】此题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.2．关于一次函数123y x =-+，下列结论正确的是（ ） A ．图象过点（3，-1） B ．图象不经过第四象限C ．y 随 x 的增大而增大D ．函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积是 6 【答案】D【分析】根据一次函数的性质，依次分析各个选项，选出正确的选项即可．【详解】解：A 、令3x =，则13213y =-⨯+=，则图像过点（3，1）；故A 错误； B 、由103k =-<，则一次函数经过第二、四象限，故B 错误； C 、由103k =-<，则y 随 x 的增大而减小；故C 错误； D 、令0x =，则2y =，令0y =，则6x =，则面积为：12662⨯⨯=；故D 正确； 故选：D.【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和一次函数的性质，正确掌握一次函数的性质是解题的关键． 3．某中学篮球队12名队员的年龄情况如下：则这个队队员年龄的众数和中位数分别是( )A ．15，16B ．15，15C ．15，15.5D ．16，15【答案】C【分析】由题意直接根据众数和中位数的定义求解可得．【详解】解：∵这组数据中15出现5次，次数最多，∴众数为15岁，中位数是第6、7个数据的平均数，∴中位数为(1516)2+÷=15.5岁，故选：C ．【点睛】本题考查众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．4=（ ）A B ．-C ． D ．-【答案】B=x ＜0y ＜0，根据二次根式的定义解答即可．=∴x ＜0则y ＜0，故选B ．【点睛】此题根据二次根式的性质，确定x 、y 的符号是解题的关键．5．一个两位数的个位数字与十位数字的和为14，若调换个位数字与十位数字，所得的新数比原数小36，则这个两位数是（ ）A ．86B ．95C ．59D ．68【答案】B【分析】先设出原两位数的十位与个位分别为x 和y ，再用含x 和y 的式子表示出原两位数和新两位数，最后根据题意找到等量关系列出方程组求解即可．【详解】设这个两位数的十位数字为x ，个位数字为y则原两位数为10x y +，调换个位数字与十位数字后的新两位数为10+y x∵这个两位数的个位数字与十位数字的和为14∴=14x y +∵调换个位数字与十位数字后的新两位数比原两位数小36∴()()1010=36x y y x +-+ ∴联立方程得()()=141010=36x y x y y x +⎧⎨+-+⎩解得：=9=5 xy ⎧⎨⎩∴这个两位数为95故选：B．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意找出等量关系．6．小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？”小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】由题意可知该三角形为钝角三角形，其最长边上的高应在三角形内部，按照三角形高的定义和作法进行判断即可．【详解】解：三角形最长边上的高是过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上.故选C.【点睛】此题考查的是三角形高线的画法，无论什么形状的三角形，其最长边上的高都在三角形的内部，本题中最长边的高线垂直于最长边.7．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（）A．两个锐角对应相等B．一条边和一个锐角对应相等C．两条直角边对应相等D．一条直角边和一条斜边对应相等【答案】A【分析】直角三角形全等的判定方法：HL，SAS，ASA，SSS，AAS，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．【详解】A、全等三角形的判定必须有边的参与，故本选项符合题意；B、符合判定ASA或AAS，故本选项正确，不符合题意；C、符合判定SAS，故本选项不符合题意；D、符合判定HL，故本选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查直角三角形全等的判定方法，判定两个直角三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．8．下列图象不能反映y 是x 的函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【详解】解：A ．当x 取一值时，y 有唯一与它对应的值，y 是x 的函数，不符合题意；B ．当x 取一值时，y 有唯一与它对应的值，y 是x 的函数，；不符合题意C ．当x 取一值时，y 没有唯一与它对应的值，y 不是x 的函数，符合题意；D ．当x 取一值时，y 有唯一与它对应的值，y 是x 的函数，不符合题意．故选C ．9．下列各式中正确的是（ ）A 42=±B ．2(3)3-=-C 342=D 822=【答案】D【分析】分别根据算术平方根、立方根的性质化简即可判断．【详解】解：A 42=，故选项A 不合题意； 2(3)3-=，故选项B 不合题意； 23342=，故选项C 不合题意； 822222==D 符合题意．故选D ．【点睛】本题主要考查了算术平方根和立方根的定义，熟练掌握算术平方根和立方根的性质是解答本题的关键． 10．△ABC 中，AB =AC ，BD 平分∠ABC 交AC 边于点D ，∠BDC=1．，则∠A 的度数是( )A ．35︒B ．40︒C ．70︒D ．110︒【答案】B【解析】设∠A 的度数是x ，则∠C=∠B=1802x -， ∵BD 平分∠ABC 交AC 边于点D ∴∠DBC=1804x -， ∴1802x -+1804x -+1=180°， ∴x=40°，∴∠A 的度数是40°. 故选：B.二、填空题11．写出一个能说明命题：“若22a b >，则a b >”是假命题的反例：__________.【答案】2,1a b =-=（注：答案不唯一）【分析】根据假命题的判断方法，只要找到满足题设条件22a b >，而不满足题设结论a b >的a ，b 值即可．【详解】当2,1a b =-=时，222(2)4,1a b =-==根据有理数的大小比较法则可知：41,21>-<则此时满足22a b >，但不满足a b >因此，“若22a b >，则a b >”是假命题故答案为：2,1a b =-=．（注：答案不唯一）【点睛】本题考查了假命题的证明方法，掌握反例中题设与结论的特点是解题关键．12．已知点A （3+2a ，3a ﹣5），点A 到两坐标轴的距离相等，点A 的坐标为_____．【答案】 (19，19)或（195，-195） 【解析】根据点A 到两坐标轴的距离相等，分两种情况讨论：3+2a 与3a ﹣5相等；3+2a 与3a ﹣5互为相反数．【详解】根据题意，分两种情况讨论：①3+2a ＝3a ﹣5，解得：a ＝8，∴3+2a ＝3a ﹣5＝19，∴点A 的坐标为（19，19）；②3+2a+3a ﹣5＝0，解得：a ＝25，∴3+2a ＝195，3a ﹣5＝﹣195， ∴点A 的坐标为（195，﹣195）． 故点A 的坐标为(19，19)或（195，-195）， 故答案为：(19，19)或（195，-195 ）． 【点睛】本题考查了点的坐标，解决本题的关键是根据点A 到两坐标轴的距离相等，分两种情况讨论． 13．在一次函数y=﹣3x+1中，当﹣1＜x ＜2时，对应y 的取值范围是_____．【答案】-5<y<1【解析】解：由y=﹣3x+1得到x=﹣13y -，∵﹣1＜x ＜2，∴﹣1＜﹣13y -＜2，解得﹣5＜y ＜1．故答案为﹣5＜y ＜1．点睛：本题考查了一次函数的性质，根据题意得出关于y 的不等式是解答此题的关键．14．将一副直角三角板按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是________．【答案】75°【分析】根据直角三角形的两锐角互余求出∠1的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【详解】如图，∠1=90°-60°=30°，所以，∠α=45°+30°=75°．故答案为75°【点睛】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形两锐角互余的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．15．分解因式：29y x y -=_____________．【答案】(3)(3)y x x +-．【分析】先提取公因式y ，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【详解】229(9)(3)(3)y x y y x y x x -=-=+-．故答案为：(3)(3)y x x +-．【点睛】本题考查了用提取公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直至不能分解为止．16．八年级数学教师邱龙从家里出发，驾车去离家180km 的风景区度假，出发一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原速的1.5倍匀速行驶，并提前40分钟到达风景区；第二天返回时以去时原计划速度的1.2倍行驶回到家里.那么来回行驶时间相差_________分钟.【答案】1【分析】设从家到风景区原计划行驶速度为xkm/h ，根据“实际时间=计划时间－4060”得出方程，求出原计划的行驶速度，进而计算出从家到风景区所用的时间以及回家所用的时间，即可得出结论． 【详解】设从家到风景区原计划行驶速度为xkm/h ，根据题意可得：1801.5x x -+11804060x =-， 解得：x=60，检验得：x=60是原方程的根．∴第一天所用的时间601804060=-=73(小时)， 第二天返回时所用时间=180÷(60×1.2)=2.5(小时)，时间差=2.5－73=16(小时)=1(分钟)． 故答案为：1．【点睛】本题考查了分式方程的应用，正确得出方程是解答本题的关键．17．如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为8cm ，面积是482cm ，腰AB 的垂直平分线EF 分别交AB ，AC 于点E ，F ，若点D 为底边BC 的中点，点M 为线段EF 上一动点，则△BDM 的周长的最小值为___________．【答案】16cm （没单位扣1分）．【分析】连接AD 交EF 于点M '，连接AM ，由线段垂直平分线的性质可知AM=MB ，则BM DM AM DM +=+，故此当A 、M 、D 在一条直线上时，MB DM +有最小值，然后依据三角形三线合一的性质可证明AD 为△ABC 底边上的高线，依据三角形的面积为48可求得AD 的长；【详解】连接AD 交EF 于点M '，连接AM ，∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，∴AD BC ⊥， ∴△11=84822ABC S BC AD AD ⋅=⨯⨯=， ∴12AD =，∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴AM=MB ，∴BM DM AM DM +=+，∴当点M 位于M '时，MB DM +有最小值，最小值为6，∴△BDM 的周长的最小值为41216BD AD cm +=+=；故答案是16cm ．【点睛】 本题主要考查了三角形综合，结合垂直平分线的性质计算是关键．三、解答题18．如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图.乙槽中有一圆柱形铁块放在其中(圆柱形铁块的下底面完全落在水槽底面上)，现将甲槽中的水匀速注人乙槽.甲、乙两个水槽中水的深度()(),y cm y cm 甲乙与注水时间x (分钟)之间的关系如图2所示．根据图象提供的信息，解答下列问题:（1）图2中折线ABC 表示 槽中的水的深度与注水时间的关系，线段DE 表示 槽中的水的深度与注水时间的关系(填“甲”或“乙”)，点B 的纵坐标表示的实际意义是 ；（2）当04x ≤≤时，分别求出y 甲和y 乙与x 之间的函数关系式；（3）注水多长时间时，甲、乙两个水槽中的水深度相同？（4）若乙槽底面积为36平方厘米(壁厚不计) ，求乙槽中铁块的体积．【答案】（1）乙；甲；乙槽中圆柱形铁块的高度是14厘米；（2）y 甲=-2x+12，y 乙=3x+2；（3）注水2分钟；（4）84cm 3【分析】（1）根据题目中甲槽向乙槽注水可以得到折线ABC 是乙槽中水的深度与注水时间之间的关系，点B 表示的实际意义是乙槽内液面恰好与圆柱形铁块顶端相平；（2）根据题意分别求出两个水槽中y 与x 的函数关系式即可；（3）根据（2）中y 与x 的函数关系式，令y 相等即可得到水位相等的时间；（4）用水槽的体积减去水槽中水的体积即可得到铁块的体积；【详解】解：（1）由题意可得：∵乙槽中含有铁块，∴乙槽中水深不是匀速增长，∴折线ABC 表示乙槽中水深与注水时间的关系，线段DE 表示甲槽中水深与注水时间的关系，由点B 的坐标可得：点B 的纵坐标表示的实际意义是：乙槽中圆柱形铁块的高度是14厘米；故答案为：乙；甲；乙槽中圆柱形铁块的高度是14厘米；（2）设线段AB 、DE 的解析式分别为：y 甲=k 1x+b 1，y 乙=k 2x+b 2，∵AB 经过点（0，2）和（4，14），DE 经过（0，12）和（6，0），∴1112414b k b =⎧⎨+=⎩，解得：1132k b =⎧⎨=⎩， 2221260b k b =⎧⎨+=⎩， 解得：22212k b =-⎧⎨=⎩， ∴当04x ≤≤时， y 甲=-2x+12，y 乙=3x+2；（3）由（2）可知：令y 甲=y 乙，即3x+2=-2x+12，解得x=2，∴当2分钟时两个水槽水面一样高．（4）由图象知：当水槽中没有没过铁块时4分钟水面上升了12cm ，即1分钟上升3cm ，当水面没过铁块时，2分钟上升了5cm ，即1分钟上升2.5cm ，设铁块的底面积为acm 2，则乙水槽中不放铁块的体积为：2.5×36cm 3， 放了铁块的体积为3×（36-a ）cm 3，∴1×3×（36-a ）=1×2.5×36， 解得a=6，∴铁块的体积为：6×14=84（cm 3）．【点睛】本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题，解题的关键是理解题意，学会构建方程或方程组解决问题.19．如图，在ABC ∆中，AB CB =，90ABC ∠=，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE CF =.（1）求证：ABE CBF ∆≅∆（2）若30CAE ∠=，求ACF ∠的度数.【答案】（1）见解析；（2）60°【分析】（1）根据在△ABC 中，AB=CB ，∠ABC=90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE=CF ，可以得到Rt △ABE 和Rt △CBF 全等的条件，从而可以证明△ABE ≌△CBF ；（2）根据Rt △ABE ≌Rt △CBF ，AB=CB ，∠CAE=30°，可以得到∠ACF 的度数．【详解】解：（1）证明：∵090ABC ∠=，∴090CBF ABE ∠=∠=，在Rt ABE ∆和Rt CBF ∆中，AB CB AE CF=⎧⎨=⎩ ∴()Rt ABE Rt CBF HL ∆≅∆（2）∵90AB BC ABC =∠=，，∴45CAB ACB ∠=∠=，又∵BAE CAB CAE ∠=∠-∠∴453015BAE ∠=-=，由（1）知：Rt ABE Rt CBF ∆≅∆，∴15BCF BAE ∠=∠=，∵ACF BCF ACB ∠=∠+∠451560ACF ∠=+=【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是明确题意，找出所要证明结论需要的条件． 20．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 边上一点，∠B＝30°，∠DAB＝45°.(1)求∠DAC 的度数；(2)求证：DC ＝AB ．【答案】（1）75°（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）由AB=AC 可得∠C=∠B=30°，可求得∠BAC ，再利用角的和差可求得∠DAC ；（2）由外角的性质得到∠ADC=75°，即可得到∠ADC=∠DAC ，从而有AC=DC ，即可得到结论．试题解析：（1）∵AB=AC ，∠B=30°，∴∠C=30°，∴∠BAC=180°﹣30°﹣30°=120°，∵∠DAB=45°，∴∠DAC=∠BAC ﹣∠DAB=120°﹣45°=75°；（2）∵∠ADC=∠B+∠DAB=30° +45°=75°，∴∠ADC=∠DAC ，∴AC=DC ，∵AB=AC ，∴AB=CD ．考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形的外角性质．21．如图， ABC 是等边三角形，延长BA 到点D ，延长CB 到点E ，使BE AD =，连接CD AE 、，延长EA 交CD 于F ．（1）求证: ACE CBD ≌；（2）求CFE ∠的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）60°【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AB=AC ，∠DAC=∠ABE=120°，结合BE AD =可证明△ABE ≌△ACD ，可得∠BAE=∠ACD ，AE=CD ，故可得∠EAC=∠DCB,，进一步可证明ACE CBD ≌； （2）根据全等三角形的性质得到∠E=∠D ，∠ EAB=∠DAF ，根据三角形的外角的性质得到结论．【详解】（1）证明：∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC ，∠CAB=∠ABC=60°，∴∠DAC=∠ABE=120°，在△ABE 和△ACD 中，AB AC ABE CAD BE AD ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△ABE ≌△ACD ，∴AE=CD ，∠BAE=∠ACD ，∴∠CAE=∠BCD ，在△ACE 和△CBD 中AC BC CAE BCD AE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴ACE CBD ≌；（2）∵△ABE ≌△ACD ，∴∠E=∠D ，∴∠CFE=∠D+∠DAF=∠E+∠EAB ，=∠ABC ，=60°．本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识．22．如图，已知A（﹣4，﹣1），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣3），△ABC经过平移得到的△A′B′C′，△ABC 中任意一点P（x1，y1）平移后的对应点为P′（x1+6，y1+4）．（1）请在图中作出△A′B′C′；（2）写出点A′、B′、C′的坐标；（3）求△ABC的面积．【答案】（1）见解析；（2）A′（2，3）、B′（1，0）、C′（5，1）；（3）11 2.【分析】（1）根据题意可知将△ABC先向右平移6个单位，再向上平移4个单位；（2）根据坐标系即可写出个各点坐标；（3）根据割补法即可求解.【详解】解：（1）如图所示；（2）由图可知，A′（2，3）、B′（1，0）、C′（5，1）；（3）S△ABC＝3×4﹣12×1×3﹣12×1×4﹣12×2×3＝12﹣32﹣2﹣3＝11 2．此题主要考查直角坐标系与几何，解题的关键是熟知坐标点的写法.23．如图，已知点B ，C ，F ，E 在同一直线上，∠1=∠2，BF=CE ，AB ∥DE ．求证：△ABC ≌△DEF ．【答案】证明见解析.【解析】首先根据平行线的性质可得∠E=∠B ，进而求得BC=EF ，再加上∠1=∠2，可利用AAS 证明△ABC ≌△DEF ．【详解】证明：∵BF=CE ，∴BF-FC=CE-CF ，即BC=EF ，∵AB ∥DE ，∴∠E=∠B ，在△ABC 和△DEF 中，12B E BC EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （AAS ）．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．24．化简求值：(3x ＋2y)(4x －5y)－11(x ＋y)(x －y)＋5xy ，其中x ＝312，y ＝－212. 【答案】原式＝x 2－2xy ＋y 2＝36.【分析】先计算多项式的乘法，再去括号合并同类型，然后把x ＝312，y ＝－212.代入计算即可. 【详解】解：原式＝12x 2－15xy ＋8xy －10y 2－11(x 2－y 2)＋5xy＝12x 2－15xy ＋8xy －10y 2－11x 2＋11y 2＋5xy＝x 2－2xy ＋y 2= (x-y)2当x ＝3，y ＝－2时，原式＝[113--222（）]2＝36. 【点睛】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的运算法则是解答本题的关键. 25．先将21112x x x x-⎛⎫-÷ ⎪+⎝⎭ 化简，然后请自选一个你喜欢的x 值代入求值． 【答案】2x +，当10x =时，原式=1【分析】将括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，化除法为乘法运算，约分得到最简结果，取一个使分式分母和除式不为0的数，如10x =代入计算即可得到结果． 【详解】21112x x x x -⎛⎫-÷ ⎪+⎝⎭1(2)1x x x x x -+=⋅-2x =+，取10x =，原式=10+2=1．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=12，AD 平分∠BAC ，点PQ 分别是AB 、AD 边上的动点，则BQ+QP 的最小值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C 【分析】如图，作点P 关于直线AD 的对称点P′，连接QP′，由△AQP ≌△AQP′，得PQ=QP′，欲求PQ+BQ 的最小值，只要求出BQ+QP′的最小值，即当BP′⊥AC 时，BQ+QP′的值最小，此时Q 与D 重合，P′与C 重合，最小值为BC 的长．【详解】解：如图，作点P 关于直线AD 的对称点P′，连接QP′，△AQP 和△AQP′中，''⎧=⎪∠=∠⎨⎪=⎩AP AP QAP QAP AQ AQ ，∴△AQP ≌△AQP′，∴PQ=QP′∴欲求PQ+BQ 的最小值，只要求出BQ+QP′的最小值，∴当BP′⊥AC 时，BQ+QP′的值最小，此时Q 与D 重合，P′与C 重合，最小值为BC 的长． 在Rt △ABC 中，∵∠C=90°，AB=12，∠BAC=30°，∴BC=12AB=6， ∴PQ+BQ 的最小值是6，故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理、轴对称中的最短路线问题、垂线段最短等知识，找出点P 、Q 的位置是解题的关键．2．若1a =，则221a a -+的值为（ ）A ．6B C 2- D 2 【答案】A【分析】先用完全平方公式对221a a -+变形，再代入求值，即可得到答案．【详解】当1a =，原式=2(1)a -=211)-=6， 故选A ．【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握完全平方公式是解题的关键．3．已知某多边形的内角和比该多边形外角和的2倍多180︒，则该多边形的边数是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】B【分析】多边形的内角和比外角和的2倍多180°，而多边形的外角和是360°，则内角和是900度，n 边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，设这个多边形的边数是n ，就得到方程，从而求出边数．【详解】解：根据题意，得（n-2）•180=360×2+180，解得：n=1．则该多边形的边数是1．故选：B ．【点睛】此题主要考查了多边形内角和定理和外角和定理，只要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程即可求解．4．芝麻作为食品和药物，均广泛使用．经测算，一粒芝麻约有1．11111211千克，用科学记数法表示为（ ） A ．2.11×11-6千克B ．1.211×11-5千克C ．21.1×11-7千克D ．2.11×11-7千克【答案】A【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×11-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的1的个数所决定．【详解】1.11111211=62.0110-⨯故选A ．5．如果实数a ，b 满足a+b ＝6，ab ＝8，那么a 2+b 2＝( )A ．36B ．20C ．52D ．14【答案】B【分析】原式利用完全平方公式变形，将已知等式整体代入计算即可求出值．【详解】解：∵a+b=6，ab=8，∴()2222361620a b a b ab +=+-=-=，故选：B ．【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．6．如图1，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为A ．80°B ．50°C ．30°D ．20°【答案】D【详解】试题分析：根据平行线的性质，得∠4=∠2=50°，再根据三角形的外角的性质∠3=∠4-∠1=50°-30°=20°．故答案选D ．考点：平行线的性质;三角形的外角的性质．7．下列运算不正确的是（ ）A ．235a a a ⋅=B ．()4312y y =C ．33(2)8x x -=-D ．3362x x x +=【答案】D【分析】结合选项分别进行同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方的运算，然后选择正确选项．【详解】解：A. 235a a a ⋅=，计算正确，故本选项错误；B. ()4312y y =，计算正确，故本选项错误；C. ()3328x x -=-，原式计算正确，故本选项错误；D. 3336=22x x x x +≠，计算错误，故本选项正确.故选：D ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方等知识，掌握运算法则是解答本题的关键． 8．以下列各组线段为边,能构成直角三角形的是 ( )A ．8cm,9cm,10cmB ．2cm,6cm,3cmC ．1cm,2cm,3cmD ．6cm,7cm,8cm 【答案】C【解析】根据勾股定理的逆定理对四组数据进行逐一判断即可．【详解】A ．∵82+92≠102，∴不能构成直角三角形；B ．∵222(2)(3)(6)+≠，∴不能构成直角三角形；C ．∵2221(3)=2+，∴能构成直角三角形；D ．∵62+72≠82，∴不能构成直角三角形．故选C ．【点睛】本题考查了用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，即只要三角形的三边满足a 2+b 2=c 2，则此三角形是直角三角形．9．不等式2x －1≤5的解集在数轴上表示为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A【分析】先求此不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示即可求得．【详解】解：解不等式得：x ≤3，所以在数轴上表示为：故选：A ．【点睛】不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．10．如图，圆柱的底面周长为24厘米，高AB为5厘米，BC是底面直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的侧面爬行到点C的最短路程是（）A．6厘米B．12厘米C．13厘米D．16厘米【答案】C【分析】根据题意，可以将圆柱体沿BC切开，然后展开，易得到矩形ABCD，根据两点之间线段最短，再根据勾股定理即可求得答案．【详解】解：∵圆柱体的周长为24cm∴展开AD的长为周长的一半：AD=12（cm）∵两点之间线段最短，AC即为所求∴根据勾股定理AC=22+=22AD CD+=13（cm）125故选C．【点睛】本题主要考查了几何体的展开图以及勾股定理，能够空间想象出展开图是矩形，结合勾股定理准确的运算是解决本题的关键．二、填空题11．如图所示，一根长为7cm的吸管放在一个圆柱形杯中，测得杯的内部底面直径为3cm，高为4cm，则吸管露出在杯外面的最短长度为_____cm．【答案】1【分析】吸管露出杯口外的长度最少，即在杯内最长，可构造直角三角形用勾股定理解答．【详解】解：设在杯里部分长为xcm ，则有：x 1＝31+41，解得：x ＝5，所以露在外面最短的长度为7cm ﹣5cm ＝1cm ，故吸管露出杯口外的最短长度是1cm ，故答案为：1．【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理，并在实际问题中构造直角三角形是解答的关键.12．如图，在ABC 中， DE 是AB 的垂直平分线，且分别交AB AC 、于点D 和E ，50,60A C ∠=︒∠=︒，则EBC ∠等于_______度．【答案】20【分析】先根据三角形的内角和求出∠ABC 的度数，再根据DE 是AB 的垂直平分线得出AE=BE ，从而得出∠ABE=∠A=50°，再计算∠EBC 即可.【详解】∵50,60A C ∠=︒∠=︒，∴∠ABC=180°-∠A-∠C=70°，∵DE 是AB 的垂直平分线，∴AE=BE ，∴∠ABE=∠A=50°，∴∠EBC=70°-50°=20°.故答案为20.【点睛】本题考查三角形的内角和定理和线段垂直平分线的性质，根据DE 是AB 的垂直平分线得出AE=BE 是解题的关键.13．已知有理数1a ≠，我们把11a-称为a 的差倒数，如2的差倒数为1112=--，－1的差倒数111(1)2=--，已知11a =-，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数…，依此类推，则1232020a a a a +++⋅⋅⋅+=______． 【答案】20172【分析】根据差倒数的定义分别求出前几个数便不难发现，每3个数为一个循环组依次循环，用2020除以3，根据余数的情况确定出与2020a 相同的数即可得解．【详解】解：∵11a =-， ∴2111(1)2a =--=， 312112a ==-， 41112a ==--，…… ∴这个数列以1-，12，2依次循环，且131222-++=， ∵202036731÷= ， ∴123202032017673122a a a a +++⋅⋅⋅+=⨯-=， 故答案为：20172． 【点睛】 本题是对数字变化规律的考查，理解差倒数的定义并求出每3个数为一个循环组依次循环是解题的关键． 14．十边形的外角和为________________________．【答案】360°【分析】根据任何多边形的外角和都等于360°即可解答．【详解】解：∵任何多边形的外角和都等于360°∴十边形的外角和为360°故答案为：360°．【点睛】此题考查的是求多边形的外角和，掌握任何多边形的外角和都等于360°是解决此题的关键． 15．一组数据3，4，x ，6，7的平均数为5.则这组数据的方差是______．【答案】2 【分析】先根据平均数的公式121()n x x x x n =+++ 求出x 的值，然后利用方差的公式2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++- 计算即可． 【详解】∵3，4，x ，6，7的平均数为5，∴346755x ++++= 解得5x =2222221[(35)(45)(55)(65)(75)]25s ∴=⨯-+-+-+-+-= 故答案为：2【点睛】本题主要考查平均数与方差，掌握平均数与方差的求法是解题的关键．16．如图，延长矩形ABCD 的边BC 至点E ，使CE ＝BD ，连接AE ，如果∠ADB ＝38°，则∠E 等于_____度．【答案】1【分析】由矩形性质可得∠E=∠DAE 、BD=AC=CE ，知∠E=∠CAE ，而∠ADB=∠CAD=38°，可得∠E 度数．【详解】解：如图，记矩形的对角线的交点为O ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BE ，AC=BD ，,OA OD OB OC ===∴ ∠E=∠DAE ，∠ADB=∠CAD=38°，又∵BD=CE ，∴CE=CA ，∴∠E=∠CAE ，∵∠CAD=∠CAE+∠DAE ，∴∠E+∠E=38°，即∠E=1°．故答案为：1．。

学习目标：1．掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法．
2．会综合运用平行四边形的四种判定方法和性质来证明问题．
学习重点：平行四边形各种判定方法及其应用，尤其是根据不同条件能正确地选择判定方法．学习难点：平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用．
学习过程：
一、自主预习（10分钟）
1、平行四边形的判定方法有那些？
2、取两根等长的木条ab、cd，将它们平行放置，再用两根木条bc、ad加固，得到的四边形abcd是平行四边形吗？
1.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
证明：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
已知：如图，在中，ab=cdab∥cd,求证：
2.几何语言表述：∵ab=cd,ab∥cd∴四边形abcd是平行四边形.
二、合作解疑（15分钟）
1、已知：如图，abcd中，e、f分别是ad、bc的中点，求证：be=df
2、已知：如图，abcd中，e、f分别是ac上两点，且be⊥ac于e，df⊥ac于f．求证：四边形bedf是平行四边形．
综合应用拓展（5分钟）
如图，在□abcd中，e、f分别是边ab、cd上的点，已知ae＝cf，m、n是de和fb的中点，求证：四边形enfm是平行四边形。

授课人年级八学科数学授课时间课题课型新授学习目标1．掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法．2．会综合运用平行四边形的四种判定方法和性质来证明问题．学习关键重点平行四边形各种判定方法及其应用, 尤其是根据不同条件能正确地选择判定方法难点平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用学教过程一、回忆旧知平行四边形性质平行四边形判定对边平行对边相等对角相等对角线互相平分二、合作探究取两根等长的木条AB、CD, 将它们平行放置, 再用两根木条BC、AD加固, 得到的四边形ABCD是平行四边形吗？◆平行四边形的判定定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵ , ；∴四边形ABCD是平行四边形. 三、例题精讲例1 ：如图, ABCD中, E、F分别是AD、BC的中点, 求证：BE=DF．例2 ：如图, ABCD中, E、F分别是AC上两点, 且BE⊥AC于E, DF⊥AC于F．求证：四边形BEDF是平行四边形．四、稳固练习1．判断题：(1)相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形； ( )(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ( )(3)一组对边平行, 另一组对边相等的四边形是平行四边形； ( )(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ( )(5)对角线相等的四边形是平行四边形； ( )(6)对角线互相平分的四边形是平行四边形． ( )2．在四边形ABCD中, (1)AB∥CD；(2)AD∥BC；(3)AD＝BC；(4)AO＝OC；(5)DO＝BO；(6)AB ＝CD．选择两个条件, 能判定四边形ABCD是平行四边形的共有________对．3．如图, ABCD的对角线AC, BD相交于点O, E,F分别是OA,OC的中点. 求证：BE=DF五、达标检测〔8分〕1．：如图, AC∥ED, 点B在AC上, 且AB=ED=BC, 找出图中的平行四边形, 并说明理由．〔8分〕2．：如图, 在ABCD中, AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的平分线．求证：四边形AFCE是平行四边形．(8分)选做题：延长△ABC的中线AD至E, 使DE=AD．求证：四边形ABEC是平行四边形．答案：二、解：四边形ABCD 是平行四边形,连接AC,∵AB ∥CD ∴∠BAC=∠DCA, ∵AB ＝CD,AC=CA ∴△ABC ≌△CDA 〔SAS 〕 ∴BC=DA ∴四边形ABCD 是平行四边形例1 证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴ AD ∥CB, AD=CD ．∵ E 、F 分别是AD 、BC 的中点, ∴ DE ∥BF, 且DE=21AD, BF=21BC ． ∴ DE=BF ．∴ 四边形BEDF 是平行四边形〔一组对边平行且相等的四边形平行四边形〕 ∴ BE=DF ． 例2 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AB=CD, 且AB ∥CD ． ∴∠BAE=∠DCF ．∵BE ⊥AC 于E, DF ⊥AC 于F, ∴BE ∥DF, 且∠BEA=∠DFC=90°． ∴ △ABE ≌△CDF 〔AAS 〕． ∴ BE=DF ．∴ 四边形BEDF 是平行四边形〔一组对边平行且相等的四边形平行四边形〕． 四、1、√ √ × √ × √ 2、93、证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形 ∴AO ＝OC, DO ＝BO∵E,F 分别是OA,OC 的中点 ∴OE=OF ∵∠COD=∠BOE ∴△BOE ≌△DOF 〔SAS 〕 ∴BE=DF五、1、解：四边形ABDE 是平行四边形, 四边形BCDE 是平行四边形.∵AB ∥ED,AB=DE ∴四边形ABDE 是平行四边形 同理, 四边形BCDE 是平行四边形. 2、证明：第四单元第1课函数一、根底稳固1．一般地, 如果在一个变化过程中有两个变量x 和y , 并且对于变量x 的每一个值, 变量y 都有________的值与它对应, 那么我们称y 是x 的________, 其中________是自变量． 2．下面选项中给出了某个变化过程中的两个变量x 和 y , 其中y 不是．．x 的函数的是( )A ．y ：正方形的面积, x ：这个正方形的周长B ．y ：等边三角形的周长, x ：这个等边三角形的边长C ．y ：圆的面积, x ：这个圆的直径D ．y ：一个正数的平方根, x ：这个正数 3．以下关系式中, y 不是．．x 的函数的是( )A ．y ＝xB ．y ＝x 2＋1C ．y ＝|x |D ．|y |＝2x4．(泸州)以下曲线中不能．．表示y 是x 的函数的是( ) 5．表示函数的方法一般有________、__________和__________；函数的表示方法可以互相转化, 应用中要根据具体情况选择适当的方法．6．在下表中, 设x 表示乘公共汽车的站数, y 表示应付的票价．x /站 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y /元1112233344A ．y 是x 的函数B ．y 不是x 的函数C ．x 是y 的函数D ．以上说法都不对7．假设每上6个台阶就升高1 m, 那么上升高度h (单位：m)与上的台阶数m (单位：个)之间的函数关系式是( ) A ．h ＝6m B ．h ＝6＋mC ．h ＝m －6D ．h ＝m68．(随州)“龟兔赛跑〞这那么寓言故事讲述的是比赛中兔子开始领先, 但它因为骄傲在途中睡觉, 而乌龟一直坚持爬行最终赢得比赛, 以下函数图象可以表达这一故事过程的是( ) 9．对于一个的函数, 自变量的取值范围是使这个函数________的一切值；对于一个实际问题, 自变量的取值必须使____________有意义．如果当x ＝a 时y ＝b , 那么b 叫做当自变量x 的值为a 时的__________． 10．(内江)函数y ＝x ＋1x －1, 那么自变量x 的取值范围是( ) A ．－1＜x ＜1 B ．x ≥－1且x ≠1C ．x ≥－1D ．x ≠111．函数y ＝2x －1x ＋2中, 当x ＝a 时的函数值为1, 那么a 的值是( )A ．－1B ．1C ．－3D ．312．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3〔x ≤2〕x －1〔x ＞2〕当函数值y ＝6时, 自变量的值是( )A ．7B ．－3C ．－3或7D ．±3或7 二、拓展提升13．在国内投寄本埠平信应付邮资如下表：(2)分别求当x 取5, 10, 30, 50时的函数值．14．某生态公园方案在园内的坡地上造一片只有A, B 两种树的混合林, 需要购置这两种树苗2 000棵, 种植 A, B 两种树苗的相关信息如下表：(1)写出y 与x 之间的函数表达式；(2)假设这批树苗种植后成活1 960棵, 那么造这片树林的总费用为多少元？第26章 反比例函数实际问题与反比例函数2一、根底稳固1.某工厂现有原材料100吨, 每天平均用去x吨, 这批原材料能用y天, 那么y与x之间的函数表达式为〔〕A．y＝100x B．y＝C．y＝+100D．y＝100﹣x2.如图, 市煤气公司方案在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室, 那么储存室的底面积S〔单位：m2〕与其深度d〔单位：m〕的函数图象大致是〔〕A．B．C．D．3.甲、乙两地相距s〔单位：km〕, 汽车从甲地匀速行驶到乙地, 那么汽车行驶的时间y〔单位：h〕关于行驶速度x〔单位：km/h〕的函数图象是〔〕A．B．C．D．4.教室里的饮水机接通电源就进入自动程序, 开机加热每分钟上升10℃, 加热到100℃, 停止加热,水温开始下降, 此时水温〔℃〕与开机后用时〔min〕成反比例关系, 直至水温降至30℃, 饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机, 重复上述自动程序．水温y〔℃〕和时间x〔min〕的关系如图．某天张老师在水温为30℃时, 接通了电源, 为了在上午课间时〔8：45〕能喝到不超过50℃的水, 那么接通电源的时间可以是当天上午的〔〕A．7：50B．7：45C．7：30D．7：205.在温度不变的条件下, 通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压, 测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强, 如下表：那么可以反映y与x之间的关系的式子是〔〕体积x〔mL〕100 80 60 40 20压强y〔kPa〕60 75 100 150 300A．y＝3 000x B．y＝6 000x C．y＝D．y＝6.随着私家车的增加, 交通也越来越拥挤, 通常情况下, 某段公路上车辆的行驶速度〔千米/时〕与路上每百米拥有车的数量x〔辆〕的关系如下图, 当x≥8时, y与x成反比例函数关系, 当车速度低于20千米/时, 交通就会拥堵, 为防止出现交通拥堵, 公路上每百米拥有车的数量x应该满足的范围是〔〕A．x＜32 B．x≤32 C．x＞32 D．x≥327.如图, 在平面直角坐标系中, 函数y＝〔k＞0, x＞0〕的图象与等边三角形OAB的边OA, AB分别交于点M, N, 且OM＝2MA, 假设AB＝3, 那么点N的横坐标为〔〕A．B．C．4D．68.如图, 反比例函数y1＝〔k1＞0〕和y2＝〔k2＜0〕中, 作直线x＝10, 分别交x轴, y1＝〔k1＞0〕和y2＝〔k2＜0〕于点P, 点A, 点B, 假设＝3, 那么＝〔〕A．B．3C．﹣3D．9.直线y＝x+3与x轴、y轴分别交于A, B点, 与y＝〔x＜0〕的图象交于C、D两点, E是点C关于点A的中心对称点, EF⊥OA于F, 假设△AOD的面积与△AEF的面积之和为时, 那么k ＝〔〕A．3B．﹣2C．﹣3D．﹣10.如图, 点A、B在双曲线〔x＜0〕上, 连接OA、AB, 以OA、AB为边作▱OABC．假设点C恰落在双曲线〔x＞0〕上, 此时▱OABC的面积为〔〕A．B．C．D．411.某物体对地面的压强P〔Pa〕与物体和地面的接触面积S〔m2m2时, 该物体对地面的压强是Pa．12.根据某商场对一款运动鞋五天中的售价与销量关系的调查显示, 售价是销量的反比例函数〔统计数据见下表〕．该运动鞋的进价为180元/双, 要使该款运动鞋每天的销售利润到达2400元, 那么其售价应定为元．售价x〔元/双〕200 240 250 400销售量y〔双〕30 25 24 1513.小刚同学家里要用1500W的空调, 家里保险丝通过的最大电流是10A, 额定电压为220V, 那么他家最多还可以有只50W的灯泡与空调同时使用．14.在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体, 当改变容器的体积时, 气体的密度也会随之改变, 密度ρ〔单位：kg/m3〕与体积v〔单位：m3〕满足函数关系式〔k为常数, k≠0〕其图象如下图过点〔6, 1.5〕, 那么k的值为．15.小丁在课余时间找了几副度数不同的老花镜, 让镜片正对太阳光, 上下移动镜片, 直到地上的光斑最小, 此时他测量了镜片与光斑的距离, 得到如下数据：老花镜的度数x/度…100 125 200 250 …镜片与光斑的距离y/m… 1 …m, 那么这副老花镜为度．16.为预防传染病, 某校定期对教室进行“药熏消毒〞, 药物燃烧阶段, 室内每立方米空气中的含药量y〔mg〕与燃烧时间x〔分钟〕成正比例；燃烧后, y与x成反比例〔如下图〕．现测得药物10分钟燃烧完, 此时教室内每立方米空气含药量为6mgmg时, 对人体方能无毒害作用, 那么从消毒开始, 至少需要经过分钟后, 学生才能回到教室．二、拓展提升17.近似眼镜片的度数y〔度〕是镜片焦距x〔cm〕〔x＞0〕的反比例函数, 调查数据如表：眼镜片度数y〔度〕400 625 800 1000 (1250)镜片焦距x〔cm〕25 16 10 (8)〔1〕求y与x的函数表达式；〔2〕假设近视眼镜镜片的度数为500度, 求该镜片的焦距．18.y〔毫克/百毫升〕与时间x〔时〕成正比例；1.5小时后〔包括1.5小时〕y与x成反比例．根据图中提供的信息, 解答以下问题：〔1〕写出一般成人喝半斤低度白酒后, y与x之间的函数关系式及相应的自变量取值范围；〔2〕按国家规定, 车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶〞, 不能驾车上路．参照上述数学模型, 假设某驾驶员晚上21：00在家喝完半斤低度白酒, 第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．19.教室里的饮水机接通电源就进入自动程序, 开机加热时每分钟上升10℃, 加热到100℃停止加热, 水温开始下降, 此时水温y〔℃〕与开机后用时x〔min〕成反比例关系, 直至水温降至30℃, 饮水机关机, 饮水机关机后即刻自动开机, 重复上述自动程序．假设在水温为30℃时接通电源, 水温y〔℃〕与时间x〔min〕的关系如下图：〔1〕分别写出水温上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；〔2〕怡萱同学想喝高于50℃的水, 请问她最多需要等待多长时间？20.某地建设一项水利工程, 工程需要运送的土石方总量为360万米3．〔1〕写出运输公司完成任务所需的时间y〔单位：天〕与平均每天的工作量x〔单位：万米3〕之间的函数关系式；〔2〕当运输公司平均每天的工作量15万米3, 完成任务所需的时间是多少？〔3〕为了能在150天内完成任务, 平均每天的工作量至少是多少万米3？21.蓄电池的电压为定值．使用此蓄电池作为电源时, 电流Ⅰ〔单位：A〕与电阻R〔单位：Ω〕是反比例函数关系, 它的图象如下图．〔1〕求这个反比例函数的表达式；〔2〕如果以此蓄电池为电源的用电器的电流不能超过8A, 那么该用电器的可变电阻至少是多少？22.某公司用100万元研发一种市场急需电子产品, 已于当年投入生产并销售, 生产这种电子产品的本钱为4元/件, 在销售过程中发现：每年的年销售量y〔万件〕与销售价格x〔元/件〕的关系如下图, 其中AB为反比例函数图象的一局部, 设公司销售这种电子产品的年利润为s〔万元〕．〔1〕请求出y〔万件〕与x〔元/件〕的函数表达式；〔2〕求出第一年这种电子产品的年利润s〔万元〕与x〔元/件〕的函数表达式, 并求出第一年年利润的最大值．23.为预防传染病, 某校定期对教室进行“药熏消毒〞．药物燃烧阶段, 室内每立方米空气中的含药量y〔mg〕与药物在空气中的持续时间x〔m〕成正比例；燃烧后, y与x成反比例〔如下图〕．现测得药物10分钟燃完, 此时教室内每立方米空气含药量为8mg．根据以上信息解答以下问题：〔1〕分别求出药物燃烧时及燃烧后y关于x的函数表达式mg时, 对人体方能无毒害作用, 那么从消毒开始, 在哪个时段消毒人员不能停留在教室里？mg的持续时间超过20分钟, 才能有效杀灭某种传染病毒．试判断此次消毒是否有效, 并说明理由．第四单元第1课函数二、根底稳固1．一般地, 如果在一个变化过程中有两个变量x和y, 并且对于变量x的每一个值, 变量y都有________的值与它对应, 那么我们称y是x的________, 其中________是自变量．2．下面选项中给出了某个变化过程中的两个变量x和y, 其中y不是．．x的函数的是()A．y：正方形的面积, x：这个正方形的周长B．y：等边三角形的周长, x：这个等边三角形的边长C．y：圆的面积, x：这个圆的直径D．y：一个正数的平方根, x：这个正数3．以下关系式中, y不是．．x的函数的是()A．y＝x B．y＝x2＋1C．y＝|x|D．|y|＝2x4．(泸州)以下曲线中不能．．表示y是x的函数的是()5．表示函数的方法一般有________、__________和__________；函数的表示方法可以互相转化, 应用中要根据具体情况选择适当的方法．6．在下表中, 设x表示乘公共汽车的站数, y表示应付的票价．x/站12345678910y/元111223334 4 A．y是x的函数B．y不是x的函数C ．x 是y 的函数D ．以上说法都不对7．假设每上6个台阶就升高1 m, 那么上升高度h (单位：m)与上的台阶数m (单位：个)之间的函数关系式是( ) A ．h ＝6m B ．h ＝6＋mC ．h ＝m －6D ．h ＝m68．(随州)“龟兔赛跑〞这那么寓言故事讲述的是比赛中兔子开始领先, 但它因为骄傲在途中睡觉, 而乌龟一直坚持爬行最终赢得比赛, 以下函数图象可以表达这一故事过程的是( ) 9．对于一个的函数, 自变量的取值范围是使这个函数________的一切值；对于一个实际问题, 自变量的取值必须使____________有意义．如果当x ＝a 时y ＝b , 那么b 叫做当自变量x 的值为a 时的__________． 10．(内江)函数y ＝x ＋1x －1, 那么自变量x 的取值范围是( ) A ．－1＜x ＜1 B ．x ≥－1且x ≠1C ．x ≥－1D ．x ≠111．函数y ＝2x －1x ＋2中, 当x ＝a 时的函数值为1, 那么a 的值是( )A ．－1B ．1C ．－3D ．312．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3〔x ≤2〕x －1〔x ＞2〕当函数值y ＝6时, 自变量的值是( )A ．7B ．－3C ．－3或7D ．±3或7 三、拓展提升13．在国内投寄本埠平信应付邮资如下表： 信件质量x /g 0＜x ≤2020＜x ≤4040＜x ≤60邮资y /元(2)分别求当x 取5, 10, 30, 50时的函数值．14．某生态公园方案在园内的坡地上造一片只有A, B 两种树的混合林, 需要购置这两种树苗2 000棵, 种植 A, B 两种树苗的相关信息如下表：(1)写出y与x之间的函数表达式；(2)假设这批树苗种植后成活1 960棵, 那么造这片树林的总费用为多少元？。

第五实验学校初中部18.1.2 平行四边形的判定主备人： 审核人： 班级____________姓名__________导语：亲爱的同学们，前面我们学习了平行四边形的性质，今天我们继续学习平行四边形的内容——平行四边形的判定。

一、成功学习1、成功目标：（学习要高效，目标不可少）（1）．掌握用平行四边形的定义判定一个四边形是平行四边形；（2）．理解并掌握两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）．理解并掌握两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（4）.理解并掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形；（5）.理解并掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

2、成功自学：（自主学习，享受探究乐趣）认真自学课本45--47页内容，独立完成下列问题，然后组内解决疑惑。

（1）从边的条件有：①两组对边__________的四边形是平行四边形；②两组对边__________的四边形是平行四边形；③一组对边__________的四边形是平行四边形．写出第三种判定的已知、求证、证明已知：求证：证明：（2）.从对角线的条件有：④两条对角线__________的四边形是平行四边形．写出第四种判定的已知、求证、证明已知：求证：证明：（3）.从角的条件有：⑤两组对角______的四边形是平行四边形．（4）.注意：一组对边平行另一组对边相等的四边形______是平行四边形．(填“一定”或“不一定”)3、成功合作（1）组长带领组员解决自学过程中的疑惑；要分工明确，照顾全体成员，发生争议请老师帮助。

（2）合作完成的小组可以进入量学检测一下自学效果。

4、成功量学：（自学收获有多少，量学见分晓）（1）、 四边形ABCD 中，若∠A ＋∠B ＝180°，∠C ＋∠D ＝180°，则这个四边形______(填 “是”、“不是”或“不一定是”)平行四边形．（2）、 一个四边形的边长依次为a 、b 、c 、d ，且满足a 2＋b 2＋c 2＋d 2＝2ac ＋2bd ，则这个四边形为______．（3）、四边形ABCD 中，AC 、BD 为对角线，AC 、BD 相交于点O ，BO ＝4，CO ＝6，当AO ＝______，DO ＝______时，这个四边形是平行四边形．（4）、如图，四边形ABCD 中，当∠1＝∠2，且______∥______时，这个四边形是平行四边形．二、成功示学：（勇敢展示，你是最棒的！）三、成功测学：（独立完成，相信你能达到本节课的学习目标）（1）、 下列命题中，正确的是( )．(A)两组角相等的四边形是平行四边形(B)一组对边相等，两条对角线相等的四边形是平行四边形(C)一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形(D)两组对边分别相等的四边形是平行四边形（2）、 已知：如图3，E 、F 分别为平行四边形ABCD 两边AD 、BC 的中点，连结BE 、DF 。