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回归正交试验设计

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第七章 回归正交试验设计

第七章 回归正交试验设计
因素进行考察，并考虑交互作用x1x2、 x1x3。已知x1=300～700 ℃, x2=1800～2400℃，x3=8～10mA。试通过回归正交试验确定吸光度与三
个因素之间的函数关系。
因素水平编码表
自然变量xj 规范变量zj 1 -1 0 △j x1 700 300 500 200 x2 2400 1800 2100 300 x3 10 8 9 1
7.1.2一次回归方程的建立
设总的试验次数为N，其中原正交表所规定的二水平试验次数为 mc，零水平试验次数为m0，即有： N 建立回归方程
m
mc m0
ˆ a b j x j bkj xk x j，k 1,2,, m 1( j k ) y
j 1 k j
其系数的计算公式如下：
将被剔除变量的偏回归平方和、自由度并入到剩余平方和与自由度中，
然后再进行相关的方差分析计算。具体例子见书P126～129例8－1。
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
14
用石墨炉原子吸收分光光度计法测定食品中的铅，为提高吸光度，
对x1（灰化温度/℃）、x2（原子化温度/℃）和x3（灯电流/mA）三个
F0.05（1,6）=5.99 F0.01（1,6）=13.74
可见因素z2对指标影响高度显著，所建的回归方程高度显著：
y 0.50475 0.03375z2
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
N 1 SST Lyy ( yi y ) 2 yi2 ( yi ) 2 N i 1 i 1 i 1 N N
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
10
②一次项zj偏回归平方和
SS j m b ，j＝ 1 ， 2， ，m

回归正交试验设计

回归正交试验设计

回归正交试验设计一、概述（1）回归分析与正交试验设计的主要优缺点回归分析的主要优点是可以由试验数据求出经验公式，用于描述自变量与因变量之间的函数关系。

它的主要缺点是毫不关心试验数据如何取得，这样，不仅盲目地增加了试验次数，而且试验数据还往往不能提供充分的信息。

因此，有些工作者将经典的回归分析方法描述成：“这是撒大网，捉小鱼，有时还捉不到鱼”。

所以说，回归分析只是被动地处理试验数据，并且回归系数之间存在相关关系，若从回归方程中剔除某个不显著因素时，需重新计算回归系数，耗费大量的时间。

正交试验设计的主要优点是科学地安排试验过程，用最少的试验次数获得最全面的试验信息，并对试验结果进行科学分析（如方差分析），从而得到最佳试验条件，但是它的主要缺点是试验结果无法用一个经验公式来表达，从而不便于考察试验条件改变后，试验指标将作如何变化。

（2）回归正交试验设计回归正交试验设计，实际上就是将线性回归分析与正交试验设计两者有机地结合起来而发展出的一种试验设计方法，它利用正交试验设计法的“正交性”特点，有计划、有目的、科学合理地在正交表上安排试验，并将试验结果用一个明确的函数表达式即回归方程来表示，从而达到既减少试验次数、又能迅速地建立经验公式的目的。

根据回归模型的次数，回归正交试验设计又分为一次回归试验设计和二次回归试验设计。

二、一次回归正交试验设计（一）一次回归正交试验设计的概念一次回归设计研究的是一个因素z （或多个因素z 1，z 2，……）与试验指标y 之间的线性关系。

当只研究一个因素时，其线性回归模型：y ＝β0＋β1z ＋e (1)其回归方程为：z y ∧∧∧+=10ββ (2)式中∧0β、∧1β称为回归系数，e 是随机误差，是一组相互独立、且服从正态分布Ｎ（０，σ２）的随机变量。

可以证明，∧0β、∧1β和∧y 是β０、β１和y 的无偏估计，即Ｅ（∧0β）＝β０，Ｅ（∧1β）＝β1，Ｅ（∧y ）＝y一次回归正交试验设计是通过编码公式x ＝f(z) −− 即变量变换，将式（２）变为：x b b y 10+=∧(3)且使试验方案具有正交性，即使得编码因素Ｘ的各水平之和为零：∑==mi ix1(4)式中m 是因素x 的水平数。

二次回归正交试验

二次回归正交试验

二次回归正交试验为了检测某种原料的吸水倍率，重点考察氮肥含量和催化剂对试验指标的影响，已知氮肥含量（x1）的变化范围为0.7～0.9，催化剂（x2）的变化范围为1～3 mL，用二次正交组合设计分析出这两个因素与试验指标（y）之间的关系。

(1)因素水平编码计算依据m=2，取m0=2，根据星号臂γ计算公式或查表得γ=1.078X(1γ)=0.9 ，x(-1γ)=0.7， x(10)=0.8Δ1=(0.9-0.8)/1.078=0.093X(2γ)=3 ，x(-1γ)=1， x(10)=2Δ2=(3-2)/1.078=0.93(2)试验方案（3）回归方程的建立借助excel分析如下：①回归方程显著性检验：F=186.5564，，，12.4)74(95.0=F因此回归方程非常显著。

'74.41'37.2375.656.2609.952.468y 212121z z z z z z ----+= ②偏回归系数的显著性检验9.496.113305.113806.113308.47058.14583.1822.44615.5528.4705701.274.41)(8.1458701.224.23)(3.182475.6)(2.4461324.656.265.552324.609.95.113801046852206303)(12211122122122222222112111122121212122212222221121122121=-=-==++++=++++==⨯===⨯===⨯===⨯===⨯===-=-=∑∑∑∑∑∑∑=======R T e R ni in i i ni ni i n i in i i n i iT SS SS SS SS SS SS SS SS SS z b SS zb SS z z b SS z b SS z b SS y n y SS 方差分析：dfT=n-1=10-1=9 df1=df2=df12=df1’=df2’=1dfR=df1+df2+df12+df1’+df2’=1+1+1+1+1=5dfe=dfT-dfR=9-5=4MS1=522.5/1=522.5 MS2=SS2/df2=4461.2/1=4461.2 MS12=SS12/df12=182.3MS1’=SS1’/df1’=1458.8MS2’=SS2’/df1’=4705.8MSR=SSR/dfR=11330.6/5=2266.1MSe=SSe/dfe=49.9/4=12.5F1=MS1/MSe=522.5/12.5=41.8F2=MS2/MSe=4461.2/12.5=356.9F12=MS12/MSe=182.3/12.5=14.6F1’=MS1’/MSe=1458.8/12.5=116.7F2’=MS2’/MSe=4705.8/12.5=376.5FR=MSR/MSe=2266.1/12.5=181.3F0.01(1,4)=21.20 F0.05(1,4)=7.71 F0.01(5,4)=15.52 F0.05(5,4)=6.26失拟性检验本例零水平试验次数m0=2，可进行失拟性检验5.45.521220521225)509512(21)259081262144()(12201020101=-=+-+=-=∑∑==m i i m i ie y m y SSSSLf=SSe-SSe1=49.9-4.5=45.4 dfe1=m0-1=2-1=1 dfLf=dfe-dfe1=4-1=359.53)1,3(37.31/5.43/5.45/1/1,01====F df SSe df SS FLf e LfLf检验结果表明，失拟不显著，回归模型与实际情况拟合很好。

一次回归正交设计例子

一次回归正交设计例子

一次回归正交设计某冶炼厂排出的废水中含有大量的镉、鉀、铅等有害元素，对环境造成严重污染。

考察的试验因素为温度（X i）、碱与硫酸亚铁之比（X2）以及硫酸亚铁用量（刈）对指标除镉效率（y）的影响。

不考虑交互作用。

已知X|= 60~80C, x2= 8~ 12, x3= 1~3ml。

（1）因素水平编码及试验方案的确定由于不考虑交互作用，所以建立一个三元线性方程。

因素水平编码如表1所示。

选正交表L8（27）安排试验，将三个因素分别安排在回归正交表的第1、2、4列，试验方案及试验结果见表2,表中的第9、10、11号试验为零水平试验。

表2试验方案及试验结果⑵回归方程的建立表3试验结果及计算表由表3计算a 」皆 \ 二-72.〕6. 6 182n i.i11回归方程为y = 6.6182 0.5125/ 0.5375Z 2 0.3125Z 3由该回归方程偏回归系数绝对值的大小，可以得到各因素的主次 顺序为：X 2>X 1>X 3，即液固比 >乙醇浓度>回流次数。

又由于各偏回归 系数都为正，所以这些影响因素取上水平时，试验指标最好。

(3)回归方程显著性检验b 2b 3、Z 1i Y ii =1m c ' Z 2i%i =1i =1Z 3i Y im c41二 0.5125843二 0.537582^50. 3125 8SS = m c b 2= 8汉 0.5125 = 2.101 = m c b 荻 8 0.53752二 2.311 SQ = m j b ； = 8 0.31252 = 0.781SQ = SS + SS2 + SS3 + SS 2 + SS 厂 2.101+ 2.311+ 0.781= 5.193SS= SS-S&5. 2 9 6- 5. 1 93 0.方差分析结果见表4。

表4方差分析表差异源 SS df MS F 显著性 Z 1 2.101 1 2.101 142.9 ** Z 2 2.311 1 2.311 157.2 ** Z 3 0.781 1 0.781 53.1 ** 回归 5.193 3 1.731117.8**残差 0.103 70.0147总和5.296n — 1 = 10注：F o.o1（1, 7）= 12.25, F o.o1（3, 7） = 8.45可见，三个因素对试验指标都有非常显著的影响， 所建立的回归 方程也非常显著。

第七章-回归正交试验设计

第七章-回归正交试验设计

例7-1：用石墨炉原子吸收分光光度计测定食品中 的铅，为提高测定灵敏度，希望吸光度(y)大。为 提高吸光度，讨论了x1(灰化温度/℃)， x2(原子化 温度/℃)和 x3 (灯电流/mA)三个因素对吸光度的影 响，并考虑交互作用x1x2 ， x1x3 。已知x1＝ 300~700℃， x2＝1800~2400℃，x3＝8~10mA。 试通过回归正交试验确定吸光度与三个因素之间
指标（y）与m个试验因素x1，x2，…，xm之间的一次回归
方程：
m
yˆ a bj x j
bkjxk x j , k 1,2,..., m 1( j k)
j 1
k j
例：m＝3时，一次回归方程： y＝a＋b1x1＋b2x2＋b3x3＋b12x1x2＋b13x1x3＋b23x2x3
➢ 其中x1，x2，x3表示3个因素；x1x2，x1x3，x2x3表示交互作用 ➢ 若不考虑交互作用，为三元一次线形回归方程：
➢ 根据偏回归系数的正负，得到各因素对试验指标 的影响方向
(4)方差分析
SST
n i 1
yi2
1( n n i1
yi )2
2.049044
4.0382 8
0.010864
SS1 mcb12 8 0.009752 0.000761
SS2 mcb22 8 0.033752 0.009113
0.010741
SSe SST SSR 0.010864 0.010741 0.000123
(4)方差分析
dfT=n-1=8-1=7 df1=df2=df3=1 df12=df13=1 dfR=df1+df2+df3+df12+df13=1+1+1+1+1=5 dfe=dfT-dfR=7-5=2 MS1=SS1/df1=0.000761 MS2=SS2/df2=0.009113 MS3=SS3/df3=0.000265 MS12=SS12/df12=0.000181 MS13=SS13/df13=0.000421 MSR=SSR/dfR=0.010741/5=0.002148 MSe=SSe/dfe=0.000123/2=0.000062 F1=MS1/MSe=0.000761/0.000062=12.27 F2=MS2/MSe=0.009113/0.000062=146.98 F3=MS3/MSe=0.000265/0.000062=4.27 F12=MS12/MSe=0.000181/0.000062=2.92 F13=MS13/MSe=0.000421/0.000062=6.79 FR=MSR/MSe=0.002148/0.000062=34.65

江西理工大学研究生实验设计第6题答案

江西理工大学研究生实验设计第6题答案

实验内容：P201习题2、5模版：实验3回归正交试验设计实验目的掌握回归正交试验设计原理及统计分析方法，并能通过SAS编程实现实验内容及实验步骤1某橡胶制品有橡胶，竖直和改良剂复合而成，为提高撕裂强度，考虑进行一次响应曲面正交设计，三个变量的取值范围分别为：Z:橡胶中等成分的含量0~20Z:树脂中等成分的含量10~20Z:改良剂的阿百分比0.1~0.3（1）试对数据进行统计分析，建立y关于xxx的一次响应曲面方程（2）如果在试验中心进行了四次重复试验，结果分别为：417, 401, 455, 439, 试检验在区域中心一次响应曲面方程是否合适？实验步骤：I）在SAS系统软件中对该数据进行一次相应曲面正交试验设计，程序如下: data raw1; in put tno x1 x2 x3 y @@;cards ;1-1-1 -1 4072-1-1 1 4213-11 -1 3224-11 1 37151-1 -1 23061-1 1 24371 1 -1 25081 1 1 259;结果1Source DF Sum of SquaresMe«in Square F Value Pr > FModel338443*37500 12B14.4583B 12.2S0.0174Error 44175*50000 1043,87500Corrected Total7 42613*87500R-Square Coeff齒r Root MSE y Mean0.9D2027 10.32651 32,30305 312J75DSource DF Type I SS Mean Square F Value Pr > Fxl13G315J2500 3G316.12500 94.790.0041x211225J2500 1226.12600 1.170.333Sx31903.12510 903.12500 0.070.4049Source DFType HI SS1Mean Square F Veilue Pr > Fxl186816.1260036315,12500 S4.79 0.0041x2 11225.12500 1225.12500 b 17 0.3396x3190S.12GOO 903.12600 0.87 0.4049StandardParameter Est imate Error t Value Pr > IIIIntercept 312.B750000 11.42297575 £7.99 <.00011xl-67J750000 11.42297575 -5.SO 0.0041x2-12.3750000 11.42297575 -1.080.3396x310.6250000 11.42297575 0.93 0.4049由上述结果可得到一次响应曲面方程:y = 312875-67.375% -12.375X2 10.625x3从方差分析结果来看，X2和X3的显著性不高，可推断该曲面方程的忽略了几个变量之间的交互作用，但是拟合度已经达到90.2027%，整个实验还是显著的。

EXCEL和SPSS在回归分析、正交试验设计和判别分析中的应用


2) 将分组变量和自变量放入格子的列表里，如图所示，上面的是分组变量，选 择”分类”，下面的是自变量，我们看到这里有个自变量: 舒张压和胆固醇。
3) 点击分组变量文本框， 然后点击定义范围按钮， 由于我们的数据是两分类的， 分别为 1 和 2，设置如下图：
4) 点击统计量按钮，将 Box’s M 和 fisher 项打勾。如下图，点击继续回到判别分 析主界面。点击确定，即可出现分析结果。
能力评分（1-100） ；X2：病人年龄；X3：由诊断到进入研究时间（月） ；X4：肿 瘤类型 （“0”表示鳞癌、 “1”表示小型细胞癌、 “2”表示腺癌、 “3”表示大型细胞癌） ； X5： 两种化疗方法 （“1”表示常规、 “0”表示实验新法） ； Y： 病人的生存时间 （“0”： 表示生存时间短，即生存时间小于 200 天；“1”：表示生存时间长，即生存时间 大于或等于 200 天。 ）根据上述分析流程对数据进行分析。
W1=8.294X1+8.055X2-72.740 W2=6.930X1+6.287X2-49.231 若有个样本的舒张压和胆固醇分别为：13.33(X1)和 5.96(X2)，带入上述两个判别 式可知 W1=85.82682，W2=80.61642，W1>W2 属于分类 1。
习题：1991 年全国各省市区城镇平均消费情况如 data.xls 的 Sheet7 所示，是判 别以下上海和西藏的归属类，数据见 sheet8。
系的。图 c 中的 Coefficients 为回归方程的系数，因此，回归结果为 y= — 285.0094+1.5598x1+03145x2， 在使用面积不变的情况下， 地产估价每增加 1 万元， 房产销售的平均价格就会提高 1.5598 万元；在房地产估价不变的条件下，使用 面积每增加 1 平方米， 房产销售的平均价格就会提高 0.3145 元； 图 a 中 Adjusted R Square 为调整复测定系数，本例中约为 0.71，它表示两个变量 x1,x2 对导致结 果 y 的贡献，也就是说还有导致结果 y 的原因中有 29%是由除了 x1,x2 以外的因 素造成的。 习题：在黄芪提取工艺的研究中，选择了前煮时间、煎煮次数和加水量进行考 察，实验数据见 data.xls 的 Sheet3，试对实验数据进行多元线性回归，对结果进 行讨论。

一次回归正交设计、二次回归正交设计、二次回归旋转设计说明

一次回归正交设计、二次回归正交设计、二次回归旋转设计说
明
一次回归正交设计是一种广泛应用于实验设计中的设计方式，该设计最基本的特点是每一个自变量只考虑一次。

这种设计方法可以通过排列组合的方式得到各种不同的设计方案，使得实验者可以通过设计来达到用最少的实验次数获取尽可能多的信息的目的。

一次回归正交设计在实验设计中被广泛使用，尤其在化学制药、工业生产等领域得到了广泛运用。

二次回归正交设计是一种基于一次回归正交设计的设计方式，这种设计方式可以进一步增加实验信息的获取。

在二次回归正交设计中，依然按照一次正交设计的方式来设计实验，但是在每个单独的自变量上，提高对其的测量次数，使得对这些自变量的测量更加准确。

同时，在某些需要深入探究的因素上，可以通过将这些因素的实验次数进一步提高，来获取相关信息。

二次回归旋转设计是一种在二次回归正交设计的基础上发展而来的设计方式。

在二次回归旋转设计中，实验者可以通过旋转矩阵来达到实验变量间的协方差为0的目的。

这样可以在保证基本信息获取的同时，增加获取高阶信息的可能性。

旋转设计特别适合于需要同时考虑多个变量的实验设计，可以使各个变量之间更加独立，减少不必要的干扰。

总的来说，在实验设计领域中，三种设计方法各自有着各自的优势。

对于需要更精准的信息获取的实验，应该选择更高阶的设计方法，在更基础的实验中则可以选择更为简单的设计方法。

另外，在选择设计方法的过程中，还应该根据实验具体情况灵活选择，使得实验设计更加科学合理。

一次回归正交设计、二次回归正交设计、二次回归旋转设计

.
一次回归正交设计
某产品的产量与时间、温度、压力和溶液浓度有关。实际生产中，时间控制 在 30~40min，温度控制在 50~600C，压力控制在 2*105~6*105Pa，溶液浓度控制 在 20%~40%，考察 Z1~Z2 的一级交互作用。
因素编码
Zj(xj)
Z1/min
Z2/oC
Z3/*105Pa
Z4/%
下水平 Z（1j -1）
30
50
2
20
上水平 Z2j
40
60
6
40
（+1）
零水平 Z0j（0）
35
55
4
30
变化间距
5
5
2
10
编码公式 X1=（Z1-35） X2=(Z2-55）/5 X3=(Z3-4)/2 X4=(Z4-30)/10
/5
选择 L8（27)正交表
因素 x1,x1,x3,x4 依次安排在第 1、2、4、7 列，交互项安排在第 3 列。
试验号 X0 X1(Z1) X2(Z2) X3(Z3) X4(Z4) X1X2
Yi
1
1
1
1
1
1
1
9.7
2
1
1
1
-1
-1
1
4.6
3
1
1
-1
1
-1
-1
10.0
.
.
4
1
1
-1
-1
1
-1
11.0
5
1
-1
1
1
-1
-1
9.0
6
1
-1
1
-1
1

回归正交试验设计


z
2
20 10
，x3
z3 0.2 0.1
通过上述变换后，编码空间为中心在原点的立方体，其边
长为2。 在后面我们将会看到，在编码时，有时立方体的边长可以
大于2。
2020/7/18
试验设计与数据处理
20
今后称x (x1, x2 ,, xp ) 的可能取值的空间为编码空间。我们可以 先在编码空间中寻找一个点x0使E(y)满足质量要求，然后通过 编码式寻找到z0。
y b0
bjzj
b
jj
z
2 j
bij zi z j
j
j
i j
为y关于 z1, z2 ,, z p 的多项式回归方程。
2020/7/18
试验设计与数据处理
5
在实际中常用的是如下的一次与二次回归方程（也称一阶 与二阶模型）：
yˆ b0 bj z j
j
yˆ b0
bjzj
b jj
著性之前，先对y 的期望是否是 x1, x2 ,, x p的线性函数进行检
验，这种检验称为失拟检验，它要检验如下假设：
H0： Ey 0 1x1 p x p
H1： Ey 0 1x1 p xp 当在 (xi1, xi2 ,, xip )上有重复试验或观察时，将数据记为
(xi1 ,
xi2 ,,
2020/7/18
试验设计与数据处理
21
§7.2 一次回归正交设计 7.2.1 一次回归正交设计
建立一次回归方程的回归设计方法有多种，这里介绍一种常
用的方法，它是利用二水平正交表来安排试验的设计方法。 其主要步骤如下： 1．确定因子水平的变化范围
设影响指标y的因子有p个 z1, z2 ,, z p ，希望通过试验建立y
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8.1.1 一次回归正交设计的基本方法
（1）确定因素的变化范围 ） 以因素x 为例： 以因素 j为例： 的变化范围为[x 设xj 的变化范围为 j1， xj2] xj1为xj的下水平 xj2为xj的上水平 xj0为xj的零水平： xj0＝ (xj1＋ xj2)/2 的零水平： 因素x 的变化间距 因素 j的变化间距 j： j＝上水平－ 零水平＝xj2－xj0 上水平－ 零水平＝ j= (xj2 － xj1)/2
规范变量z 规范变量 j 上星号臂γ 上星号臂 上水平1 上水平 零水平0 零水平 下水平－1 下水平－ 下星号臂－ 下星号臂－γ 变化间距 变化间距 j
②确定合适的二次回归正交组合设计 参考表8-22 参考表
正交表的选用 因素数m 因素数 2 3 4（1/2实施） （ 实施 实施） 4 5（1/2实施） （ 实施 实施） 5 选用正交表 L4（23） L8（27） L8（27） L16（215） L16（215） L32（231） 表头设计 1，2列 ， 列 1，2，4列 ， ， 列 1，2，4，7列 ， ， ， 列 1，2，4，8列 ， ， ， 列 1，2，4，8，15列 ， ， ， ， 列 1，2，4，8，16列 ， ， ， ， 列 mc 22＝ 4 23＝ 8
第8 章
回归正交试验设计
Orthogonal Regression Design
正交设计：优方案只能限制在已定的水平上， 正交设计：优方案只能限制在已定的水平上，而不是一定 试验范围内的最优方案 回归正交设计（ 回归正交设计（orthogonal regression design） ： ） 可以在因素的试验范围内选择适当的试验点 用较少的试验建立回归方程 能解决试验优化问题 不适合非数量性因素
例8-1： ： （1）因素水平编码 ）
（2）正交表的选择和试验方案的确定 ）
（3）回归方程的建立 ） m0＝0，n＝mc＝8 ， ＝ 计算表 计算各回归系数 写出y与规范变量 写出 与规范变量zj的回归方程 与规范变量 根据偏回归系数绝对值大小， 根据偏回归系数绝对值大小，确定因素和交互作用主次 根据偏回归系数正负， 根据偏回归系数正负，得到各因素对试验指标的影响方向 （4）方差分析 ） 与自然变量x （5）回归方程的回代：得到试验指标 与自然变量 j的回归 ）回归方程的回代：得到试验指标y与自然变量 方程
1 m0 SSe1 = ∑ ( y0i y 0 ) 2 = ∑ y0i2 (∑ y0i ) 2 m0 i =1 i =1 i =1
m0
m0
重复试验误差的自由度： 重复试验误差的自由度： ②回归方程失拟部分： 回归方程失拟部分： 失拟平方和 ：
df e1 = m0 1
SS Lf = SST SS R SS e1 = SS e SS e1
（3）一次回归正交设计表 ） 将二水平的正交表中“ 用 将二水平的正交表中“2”用“－1”代换 ，例： 代换
回归正交设计表的特点： 回归正交设计表的特点： 任一列编码的和为0 任一列编码的和为 任两列编码的乘积之和等于0 任两列编码的乘积之和等于
（4）试验方案的确定 ） 表头设计 ： 可参考正交设计的表头设 计方法 交互作用列的编码等于表 中对应两因素列编码的乘 积 零水平试验（ 零水平试验（中心试验 ）
编码目的： 编码目的： 使每因素的每水平在编码空间是“平等” 使每因素的每水平在编码空间是“平等”的，规范变量 zj的取值范围都是 －1，1] 的取值范围都是[－ ， 编码能将试验结果y与因素 编码能将试验结果 与因素xj（j＝1，2，…，m）之间 与因素 ＝ ， ， ， ） 的回归问题，转换成试验结果y与编码值 与编码值z 的回归问题，转换成试验结果 与编码值 j之间的回归问 题
不考虑交互作用时:df 不考虑交互作用时 R=m，dfe=n-m-1。 ， 。
③均方 检验： ④F检验： 检验 回归方程显著性检验 偏回归系数显著性检验 ： 判断因素或交互作用对试验的影响程度 可直接从回归方程中剔除这些一次和交互项 经检验不显著的因素或交互作用应归入残差， 经检验不显著的因素或交互作用应归入残差，重新检验
8.1.3.1 无零水平试验时 ①平方和： 平方和： 总平方和： 总平方和：
1 n SST = Lyy = ∑ ( yi y) = ∑ y (∑ yi )2 n i =1 i =1 i =1
2 2 i
j
n
n
一次项偏回归平方和 ： S S
= m cb 2 j
2 SS kj = m c bkj 交互项偏回归平方和： 交互项偏回归平方和：
8.1 一次回归正交试验设计及结果分析
建立试验指标（ ） 个试验因素x 建立试验指标（y）与m个试验因素 1，x2，…，xm之间的 个试验因素 ， 一次回归方程 例：m＝3时，一次回归方程： ＝ 时 一次回归方程： y＝a＋b1x1＋b2x2＋b3x3＋b12x1x2＋b13x1x3＋b23x2x3 ＝ ＋ 其中x ， ， 表示3个因素 个因素； 其中 1，x2，x3表示 个因素；x1x2，x1x3，x2x3表示交互作用 ， ， 若不考虑交互作用，为三元一次线形回归方程： 若不考虑交互作用，为三元一次线形回归方程： y＝a＋b1x1＋b2x2＋b3x3 ＝ ＋
②二次项的中心化
1 n 2 对二次项的每个编码进行中心化处理 ： z ji ' = z ji2 ∑ z ji n i =1 (二次项编码 －(二次项编码算术平均值 二次项编码)－ 二次项编码算术平均值 二次项编码算术平均值) 二次项编码
二元二次回归正交组合设计编码表 试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 z1 1 1 －1 －1 1 －1 0 0 0 z2 1 －1 1 －1 0 0 1 －1 0 z1 z2 1 －1 －1 1 0 0 0 0 0 z12 1 1 1 1 1 1 0 0 0 z22 1 1 1 1 0 0 1 1 0 z1’ 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 －2/3 －2/3 －2/3 z2’ 1/3 1/3 1/3 1/3 －2/3 －2/3 1/3 1/3 －2/3
8.2.1 二次回归正交组合设计表
（1）二元二次回归正交组合设计试验方案 ） 二元二次回归方程： 二元二次回归方程：
$ = a + b x + b x + b x x + b x2 + b x2 y 1 1 2 2 12 1 2 11 1 22 2
试验方案
正交组合设计的三类试验点及次数： 正交组合设计的三类试验点及次数： 二水平试验： 二水平试验：
8.2 二次回归正交组合设计
回归方程的建立： 回归方程的建立： 根据最小二乘法原理得到正规方程组 求解正规方程组， 求解正规方程组，得回归系数 要求：试验次数＞回归方程的项数 要求：试验次数＞ 回归正交组合设计： 回归正交组合设计：在一次回归正交试验设计的基础上 再增加一些特定的试验点， 再增加一些特定的试验点，通过适当的组合形成试验方 案
失拟平方和自由度： 失拟平方和自由度： d f = d f d f Lf e e1
③失拟检验 ：
FL f =
SS L f d f L f S S e 1 df e 1
对于给定的显著性水平α（一般取 ） 对于给定的显著性水平 （一般取0.1） 当FLf＜Fα（dfLf，dfe1）时，就认为回归方程失拟不显 失拟平方和SS 是由随机误差造成的， 著，失拟平方和 Lf是由随机误差造成的，所建立的回 归方程是拟合得很好 例8-2
二元二次回归正交组合设计
（2） 三元二次回归正交组合设计试验方案 ） 三元二次回归方程： 三元二次回归方程：
2 2 y = a +bx1 +b2x2 +b3x3 +b12x1x2 +b13x1x3 +b23x2x3 +b11x12 +b22x2 +b33x3 1
试验方案
三元二次回归正交组合设计
回归平方和 ： SS R = ∑ SS 一次项 + ∑ SS 交互项 残差平方和 ：
SS e = SST SS R
②自由度 dfT＝n―1 各种偏回归平方和的自由度＝ 各种偏回归平方和的自由度＝1 回归平方和的自由度 ：
df R = ∑ df一次项 + ∑ df交互项
残差自由度： 残差自由度：
df e = df T df R
（2）因素水平的编码 ） 编码（ ）：将因素 编码（coding）：将因素 j的各水平进行线性变换： ）：将因素x 的各水平进行线性变换：
zj =
x j xj0 j
zj：因素 j的编码 ，称为规范变量 因素x xj：自然变量 上水平x 上水平 j2的编码 ：zj2＝1 下水平x 的编码： ＝－1 下水平 j1的编码：zj1＝－ 零水平x 的编码： 零水平 j0的编码：zj0＝0
8.1.2 一次回归方程的建立
总试验次数为n 总试验次数为 ： n＝mc＋m0 ＝ mc：二水平试验次数 m0：零水平试验次数 一次回归方程系数的计算： 一次回归方程系数的计算： 常数项： 常数项：a 一次项系数： 一次项系数：bj 交互项系数： 交互项系数： bjk
1 n a = ∑ yi = y n i =1
8.2.2 二次回归正交组合设计的应用
（1）基本步骤 ） ①因素水平编码 试验因素的水平被编为－ ，－1， ， ， 试验因素的水平被编为－γ，－ ，0，1，γ 变化间距：j＝上水平－零水平＝零水平－下水平 上水平－零水平＝零水平－ 变化间距：
x jγ x j 0
j =
γ
因素水平的编码表
自然变量x 自然变量 j x1 x1γ x12＝x10＋1 x10 x11＝x10－1 x－1γ 1 x2 x2γ x22＝x20＋2 x20 x21＝x20－2 x－2γ 2 … … … … … … … xm xmγ xm2＝xm0＋m xm0 xm1＝xm0－m x－mγ m