回归正交试验设计

二元二次回归正交组合设计
（2） 三元二次回归正交组合设计试验方案 ） 三元二次回归方程： 三元二次回归方程：
2 2 y = a +bx1 +b2x2 +b3x3 +b12x1x2 +b13x1x3 +b23x2x3 +b11x12 +b22x2 +b33x3 1
试验方案
三元二次回归正交组合设计
规范变量z 规范变量 j 上星号臂γ 上星号臂 上水平1 上水平 零水平0 零水平 下水平－1 下水平－ 下星号臂－ 下星号臂－γ 变化间距 变化间距 j
②确定合适的二次回归正交组合设计 参考表8-22 参考表
正交表的选用 因素数m 因素数 2 3 4（1/2实施） （ 实施 实施） 4 5（1/2实施） （ 实施 实施） 5 选用正交表 L4（23） L8（27） L8（27） L16（215） L16（215） L32（231） 表头设计 1，2列 ， 列 1，2，4列 ， ， 列 1，2，4，7列 ， ， ， 列 1，2，4，8列 ， ， ， 列 1，2，4，8，15列 ， ， ， ， 列 1，2，4，8，16列 ， ， ， ， 列 mc 22＝ 4 23＝ 8
8.2.1 二次回归正交组合设计表
（1）二元二次回归正交组合设计试验方案 ） 二元二次回归方程： 二元二次回归方程：
$ = a + b x + b x + b x x + b x2 + b x2 y 1 1 2 2 12 1 2 11 1 22 2
试验方案
正交组合设计的三类试验点及次数： 正交组合设计的三类试验点及次数： 二水平试验： 二水平试验：
1 m0 SSe1 = ∑ ( y0i y 0 ) 2 = ∑ y0i2 (∑ y0i ) 2 m0 i =1 i =1 i =1
m0
m0
重复试验误差的自由度： 重复试验误差的自由度： ②回归方程失拟部分： 回归方程失拟部分： 失拟平方和 ：
df e1 = m0 1
SS Lf = SST SS R SS e1 = SS e SS e1
8.2.2 二次回归正交组合设计的应用
（1）基本步骤 ） ①因素水平编码 试验因素的水平被编为－ ，－1， ， ， 试验因素的水平被编为－γ，－ ，0，1，γ 变化间距：j＝上水平－零水平＝零水平－下水平 上水平－零水平＝零水平－ 变化间距：
x jγ x j 0
j =
γ
因素水平的编码表
自然变量x 自然变量 j x1 x1γ x12＝x10＋1 x10 x11＝x10－1 x－1γ 1 x2 x2γ x22＝x20＋2 x20 x21＝x20－2 x－2γ 2 … … … … … … … xm xmγ xm2＝xm0＋m xm0 xm1＝xm0－m x－mγ m
（3）一次回归正交设计表 ） 将二水平的正交表中“ 用 将二水平的正交表中“2”用“－1”代换 ，例： 代换
回归正交设计表的特点： 回归正交设计表的特点： 任一列编码的和为0 任一列编码的和为 任两列编码的乘积之和等于0 任两列编码的乘积之和等于
（4）试验方案的确定 ） 表头设计 ： 可参考正交设计的表头设 计方法 交互作用列的编码等于表 中对应两因素列编码的乘 积 零水平试验（ 零水平试验（中心试验 ）
（3）星号臂长度与二次项的中心化 ） ①星号臂长度 与因素数m，零水平试验次数m 星号臂长度γ与因素数 ，零水平试验次数 0及二水平试 验数m 验数 c有关
γ的确定
公式计算
γ=
(mc + 2m + m0 )mc mc 2
参考表8-18 参考表
二次回归正交组合设计γ 二次回归正交组合设计γ值表 m0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 因素数m 因素数 2 1.000 1.078 1.147 1.210 1.267 1.320 1.369 1.414 1.457 1.498 3 1.215 1.287 1.353 1.414 1.471 1.525 1.575 1.623 1.668 1.711 4（1/2实施） （ 实施 实施） 1.353 1.414 1.471 1.525 1.575 1.623 1.668 1.711 1.752 1.792 4 1.414 1.483 1.547 1.607 1.664 1.719 1.771 1.820 1.868 1.914 5（1/2实施） （ 实施 实施） 1.547 1.607 1.664 1.719 1.771 1.820 1.868 1.914 1.958 2.000 5 1.596 1.662 1.724 1.784 1.841 1.896 1.949 2.000 2.049 2.097
失拟平方和自由度： 失拟平方和自由度： d f = d f d f Lf e e1
③失拟检验 ：
FL f =
SS L f d f L f S S e 1 df e 1
对于给定的显著性水平α（一般取 ） 对于给定的显著性水平 （一般取0.1） 当FLf＜Fα（dfLf，dfe1）时，就认为回归方程失拟不显 失拟平方和SS 是由随机误差造成的， 著，失拟平方和 Lf是由随机误差造成的，所建立的回 归方程是拟合得很好 例8-2
8.1.3.2 有零水平试验时 目的：进行回归方程的失拟性（ 目的：进行回归方程的失拟性（lack of fit）检验 （要求 ） m0≥2 ） 失拟性检验： 失拟性检验：为了检验一次回归方程在整个研究范围内的 拟合情况 失拟性检验步骤： 失拟性检验步骤：
次零水平试验结果为y 设m0次零水平试验结果为 01，y02，…，y0m0 ， ①重复试验误差： 重复试验误差： 平方和： 平方和：
8.2 二次回归正交组合设计
回归方程的建立： 回归方程的建立： 根据最小二乘法原理得到正规方程组 求解正规方程组， 求解正规方程组，得回归系数 要求：试验次数＞回归方程的项数 要求：试验次数＞ 回归正交组合设计： 回归正交组合设计：在一次回归正交试验设计的基础上 再增加一些特定的试验点， 再增加一些特定的试验点，通过适当的组合形成试验方 案
第8 章
回归正交试验设计
Orthogonal Regression Design
正交设计：优方案只能限制在已定的水平上， 正交设计：优方案只能限制在已定的水平上，而不是一定 试验范围内的最优方案 回归正交设计（ 回归正交设计（orthogonal regression design） ： ） 可以在因素的试验范围内选择适当的试验点 用较少的试验建立回归方程 能解决试验优化问题 不适合非数量性因素
不考虑交互作用时:df 不考虑交互作用时 R=m，dfe=n-m-1。 ， 。
③均方 检验： ④F检验： 检验 回归方程显著性检验 偏回归系数显著性检验 ： 判断因素或交互作用对试验的影响程度 可直接从回归方程中剔除这些一次和交互项 经检验不显著的因素或交互作用应归入残差， 经检验不显著的因素或交互作用应归入残差，重新检验
8.1 一次回归正交试验设计及结果分析
建立试验指标（ ） 个试验因素x 建立试验指标（y）与m个试验因素 1，x2，…，xm之间的 个试验因素 ， 一次回归方程 例：m＝3时，一次回归方程： ＝ 时 一次回归方程： y＝a＋b1x1＋b2x2＋b3x3＋b12x1x2＋b13x1x3＋b23x2x3 ＝ ＋ 其中x ， ， 表示3个因素 个因素； 其中 1，x2，x3表示 个因素；x1x2，x1x3，x2x3表示交互作用 ， ， 若不考虑交互作用，为三元一次线形回归方程： 若不考虑交互作用，为三元一次线形回归方程： y＝a＋b1x1＋b2x2＋b3x3 ＝ ＋
编码目的： 编码目的： 使每因素的每水平在编码空间是“平等” 使每因素的每水平在编码空间是“平等”的，规范变量 zj的取值范围都是 －1，1] 的取值范围都是[－ ， 编码能将试验结果y与因素 编码能将试验结果 与因素xj（j＝1，2，…，m）之间 与因素 ＝ ， ， ， ） 的回归问题，转换成试验结果y与编码值 与编码值z 的回归问题，转换成试验结果 与编码值 j之间的回归问 题
8.1.3.1 无零水平试验时 ①平方和： 平方和： 总平方和： 总平方和：
1 n SST = Lyy = ∑ ( yi y) = ∑ y (∑ yi )2 n i =1 i =1 i =1
2 2 i
j
n
n
一次项偏回归平方和 ： S S
= m cb 2 j
2 SS kj = m c bkj 交互项偏回归平方和： 交互项偏回归平方和：
全实施： 全实施：mc＝2m
－ 1/2实施：mc＝2m－1 实施： 实施 － 1/4实施：mc＝2m－2 实施： 实施
星号试验： 星号试验：
与原点（中心点）的距离都为 与原点（中心点）的距离都为γ mγ＝2m 零水平试验： 零水平试验： 各因素水平编码都为零时的试验 试验次数m 试验次数 0
回归平方和 ： SS R = ∑ SS 一次项 + ∑ SS 交互项 残差平方和 ：
SS e = SST SS R
②自由度 dfT＝n―1 各种偏回归平方和的自由度＝ 各种偏回归平方和的自由度＝1 回归平方和的自由度 ：
df R = ∑ df一次项 + ∑ df交互项
残差自由度： 残差自由度：
df e = df T df R
8.1.2 一次回归方程的建立
总试验次数为n 总试验次数为 ： n＝mc＋m0 ＝ mc：二水平试验次数 m0：零水平试验次数 一次回归方程系数的计算： 一次回归方程系数的计算： 常数项： 常数项：a 一次项系数： 一次项系数：bj 交互项系数： 交互项系数： bjk
1 n a = ∑ yi = y n i =1
例8-1： ： （1）因素水平编码 ）
（2）正交表的选择和试验方案的确定 ）
（3）回归方程的建立 ） m0＝0，n＝mc＝8 ， ＝ 计算表 计算各回归系数 写出y与规范变量 写出 与规范变量zj的回归方程 与规范变量 根据偏回归系数绝对值大小， 根据偏回归系数绝对值大小，确定因素和交互作用主次 根据偏回归系数正负， 根据偏回归系数正负，得到各因素对试验指标的影响方向 （4）方差分析 ） 与自然变量x （5）回归方程的回代：得到试验指标 与自然变量 j的回归 ）回归方程的回代：得到试验指标y与自然变量 方程
8.1.1 一次回归正交设计的基本方法
（1）确定因素的变化范围 ） 以因素x 为例： 以因素 j为例： 的变化范围为[x 设xj 的变化范围为 j1， xj2] xj1为xj的下水平 xj2为xj的上水平 xj0为xj的零水平： xj0＝ (xj1＋ xj2)/2 的零水平： 因素x 的变化间距 因素 j的变化间距 j： j＝上水平－ 零水平＝xj2－xj0 上水平－ 零水平＝ j= (xj2 － xj1)/2
n
bj =
∑z
i =1
ji
yi
j＝1，2，…，m ＝ห้องสมุดไป่ตู้， ， ，
mc
n i =1 k j i
bkj =
说明： 说明：
∑ (z z ) y
mc
i
j＞k, k＝1，2，…，m－1 ＞ ＝ ， ， ， －
求得的回归系数直接反映了该因素作用的大小 回归系数的符号反映了因素对试验指标影响的正负
8.1.3 回归方程及偏回归系数的方差分析
（2）因素水平的编码 ） 编码（ ）：将因素 编码（coding）：将因素 j的各水平进行线性变换： ）：将因素x 的各水平进行线性变换：
zj =
x j xj0 j
zj：因素 j的编码 ，称为规范变量 因素x xj：自然变量 上水平x 上水平 j2的编码 ：zj2＝1 下水平x 的编码： ＝－1 下水平 j1的编码：zj1＝－ 零水平x 的编码： 零水平 j0的编码：zj0＝0
②二次项的中心化
1 n 2 对二次项的每个编码进行中心化处理 ： z ji ' = z ji2 ∑ z ji n i =1 (二次项编码 －(二次项编码算术平均值 二次项编码)－ 二次项编码算术平均值 二次项编码算术平均值) 二次项编码
二元二次回归正交组合设计编码表 试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 z1 1 1 －1 －1 1 －1 0 0 0 z2 1 －1 1 －1 0 0 1 －1 0 z1 z2 1 －1 －1 1 0 0 0 0 0 z12 1 1 1 1 1 1 0 0 0 z22 1 1 1 1 0 0 1 1 0 z1’ 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 －2/3 －2/3 －2/3 z2’ 1/3 1/3 1/3 1/3 －2/3 －2/3 1/3 1/3 －2/3