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回归正交试验设计一、概述（1）回归分析与正交试验设计的主要优缺点回归分析的主要优点是可以由试验数据求出经验公式，用于描述自变量与因变量之间的函数关系。
它的主要缺点是毫不关心试验数据如何取得，这样，不仅盲目地增加了试验次数，而且试验数据还往往不能提供充分的信息。
因此，有些工作者将经典的回归分析方法描述成：“这是撒大网，捉小鱼，有时还捉不到鱼”。
所以说，回归分析只是被动地处理试验数据，并且回归系数之间存在相关关系，若从回归方程中剔除某个不显著因素时，需重新计算回归系数，耗费大量的时间。
正交试验设计的主要优点是科学地安排试验过程，用最少的试验次数获得最全面的试验信息，并对试验结果进行科学分析（如方差分析），从而得到最佳试验条件，但是它的主要缺点是试验结果无法用一个经验公式来表达，从而不便于考察试验条件改变后，试验指标将作如何变化。
（2）回归正交试验设计回归正交试验设计，实际上就是将线性回归分析与正交试验设计两者有机地结合起来而发展出的一种试验设计方法，它利用正交试验设计法的“正交性”特点，有计划、有目的、科学合理地在正交表上安排试验，并将试验结果用一个明确的函数表达式即回归方程来表示，从而达到既减少试验次数、又能迅速地建立经验公式的目的。
根据回归模型的次数，回归正交试验设计又分为一次回归试验设计和二次回归试验设计。
二、一次回归正交试验设计（一）一次回归正交试验设计的概念一次回归设计研究的是一个因素z （或多个因素z 1，z 2，……）与试验指标y 之间的线性关系。
当只研究一个因素时，其线性回归模型：y ＝β0＋β1z ＋e (1)其回归方程为：z y ∧∧∧+=10ββ (2)式中∧0β、∧1β称为回归系数，e 是随机误差，是一组相互独立、且服从正态分布Ｎ（０，σ２）的随机变量。
可以证明，∧0β、∧1β和∧y 是β０、β１和y 的无偏估计，即Ｅ（∧0β）＝β０，Ｅ（∧1β）＝β1，Ｅ（∧y ）＝y一次回归正交试验设计是通过编码公式x ＝f(z) −− 即变量变换，将式（２）变为：x b b y 10+=∧(3)且使试验方案具有正交性，即使得编码因素Ｘ的各水平之和为零：∑==mi ix1(4)式中m 是因素x 的水平数。
8回归正交试验设计本章要点：主要讲述了一次回归正交试验设计、二次回归正交试验设计的原理、基本方法和统计分析步骤，并针对不同类型的回归正交试验给出了相应的计算案例。
重点：回归正交试验设计的方法，统计过程中方程的建立以及显著性分析检验。
难点：二次回归组合设计正交性的实现及其统计分析。
8.1 回归正交试验设计简介产品质量通常受多因素的综合影响，试验效应既包括因素的主效应，也包括因素间的交互作用，因此，在产品研究中总希望安排足够多的研究因素以使试验效应有充分的试验论据。
但因素和水平的增加造成试验规模庞大，特别是对于多指标分析的试验往往由于分析困难而无法实施。
线性反应试验一般是研究一个因素多水平的试验设计，面体反应试验是研究两个因素多水平的的试验设计。
当试验因素超过3个的多水平试验时，由于采用组合处理，处理数目等于因素水平间的乘积，它随因素的增加呈几何级数增加。
例如，一个3因素4水平的试验，总共有43＝64个试验处理，而4因素5水平的试验就有54＝625个处理，由于处理数目太大，不仅增加了试验误差，而且由于受试材和条件的限制，这对产品研究来说是难以实施的。
正交试验设计方法在产品工艺改进、新产品的试制中得到了广泛的应用，它能够利用较少的处理安排较多的试验因素，获得较佳的试验结果。
但是正交设计不能在一定的试验范围内，根据数据样本，去确定变量间的相关关系及相应的回归方程。
如果试验传统的回归分析，又只能被动地去处理由试验所得到的数据，而对试验的设计安排几乎不提出任何要求。
这样不仅盲目地增加了试验次数，而且由数据所分析出的结果还往往不能提供充分的信息，造成在多因素试验的分析中，由于设计的缺陷而达不到预期的试验目的。
因而回归正交试验设计应运而生。
回归正交试验设计是将试验安排与数据的回归分析结合起来考虑。
在试验中，通过适当地安排试验点，使得在每个试验点上获得的数据含有最大的信息，并且各自变量(因素)向量间满足正交性以便于回归分析。
第八章.正交试验设计第8章正交试验设计本章要求(1)掌握试验设计的基本概念；(2)掌握正交表的形式与特征；(3)掌握正交设计的试验步骤；(4)熟悉无交互作用的正交设计的数据直观分析方法；(5)熟悉正交设计的统计模型与方差分析；(6)了解正交设计的最佳条件选择。
正交试验设计法是研究与处理多因素实验的一种科学方法。
利用规格化的表格―正交表,科学地挑选试验条件,合理安排实验。
正交试验设计法最早由日本质量管量专家田口玄一提出,称为国际标准型正交试验法。
认为：“一个工程技术人员若不掌握正交试验设计法, 只能算半个工程师”。
我国工业企业特别是化工、纺织、医药、电子、机械行业,正交试验设计法的应用也取得相当的成就,中国数学家张里千教授发明了中国型正交试验设计法。
无交互作用单一指标的正交设计及其基本概念试验设计例为提高某化工产品的转化率，选择了三个有关因素进行条件试验，反应温度(A),反应时间(B),用碱量(C),并确定了它们的试验范围：A:80-90℃ B:90-150分钟C:5-7% 试验目的是搞清楚因素A、B、C对转化率有什么影响，哪些是主要的，哪些是次要的，从而确定最适生产条件，即温度、时间及用碱量各为多少才能使转化率高。
试制定试验方案。
这里，对因素A,在试验范围内选了三种状态；因子B和C也都取三种状态：A:A1=80℃,A2=85℃,A3=90℃ B:B1=90分，B2=120分，B3=150分C:C1=5%,C2=6%,C3=7% 当然，在正交试验设计中，因素可以是定量的，也可以是定性的。
而定量因素各水平间的距离可以相等，也可以不相等。
这个三因子三水平的条件试验，通常有两种试验进行方法：(Ⅰ)取三因素所有状态之间的组合，即AlBlC1,A1BlC2,A1B2C1, ……, A3B3C3,共有33=27次试验。
用图表示就是图1 立方体的27个节点。
这种试验法叫做全面试验法。
全面试验对各因素与指标间的关系剖析得比较清楚。
第一节 一次回归正交设计一 正交设计和回归设计的特点1 正交设计的特点正交设计是一种很实用的试验设计方法，它利用较少的试验次数获得较好的试验结果；但是通过正交设计得到的优方案只是局限在确定的水平组合中，而不是一定试验范围内的最优方案。
2 回归设计回归分析是一种有效的数据处理方法，通过所确定的回归方程，可对试验结果进行预测和控制；但是，它只能对试验数据进行被动的分析和处理，不涉及对试验设计的要求。
如果把两者的优势统一起来，不仅有合理的试验设计和较少的试验次数，还能建立有效的数学模型，这就是回归正交设计方法。
二 一次回归正交设计基本方法一次回归正交设计就是利用回归正交设计原理，建立试验指标y 与m 个因素x 1、x 2、…、x m 之间的一次回归方程：)(ˆ1k j x x b x b a yjk j k kj mj j j ≠++=∑∑<=（k=1，2，…，m ） 如果不考虑交互作用，则一次回归方程为m m x b x b x b a y++++=...ˆ2211 一次回归正交设计的基本步骤如下：1 确定因素的变化范围根据指标y ，确定需要考察的m 个因素x j （j=1，2，…，m ），并确定每个因素的取值范围。
设：x j 的变化范围为[x j 1，x j 2]，分别称x j 1和x j 2为因素x j 的下水平和上水平，并将其算术平均值称为零水平，即2210j j j x x x +=上水平与零水平之差或零水平与下水平之差称为x j 的变化间距j ∆，即2121002j j j j j j j x x x x x x -=-=-=∆例如，某试验中温度的变化范围为30-90℃，则其上水平为x j 2=90℃，x j 1=30℃，零水平x j 0=60℃，变化间距△j =30℃。
2 因素水平的编码编码（coding ）就是将x j 的各水平进行线性变换，即jj j j x x z ∆-=式中，z j ——x j 的编码。
